Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903
18 dec 2017, kl. 8:00-12:00
Examinator: Armin Halilovic
Undervisande lärare: Jonas Stenholm, Elias Said, Nils Dalarsson För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.
Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv namn och personnummer på varje blad.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget
• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar
Uppgift 1. (4p)
a) (2p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna )
3 , 2 , 1
=( a
och b=(1,1,1) .
b) (2p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna )
2 , 1 , 1
=( u
, v=(1,2,2)
och w =(2,3,6) .
Uppgift 2. (4p) Följande ekvationssystem är givet
= + +
= + +
= + +
1 3
2
1 2 2
1
az y x
z y x
z y x
För vilket vilka värden på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ? Uppgift 3. (2p)
a) Bestäm avståndet från punkten A=(1,1,–3) till planet 2x−2y+z+9=0. b) Bestäm avståndet från punkten O=(0,0,0) till linjen (x,y,z)=(2+t,2t,3t).
Var god vänd.
Uppgift 4. (2p)
Lös följande ekvation (med avseende på x)
0 ) 3 ( 5 2
1 3
1
3 ) 1 ( 1
= + +
x x
.
Uppgift 5. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen XA+XB=C+D (med avseende på X)
där
− −
=
=
=
=
1 1
1 , 1
0 0
2 , 2
1 1
0 , 0
2 0
1
1 B C D
A .
Tips: Faktorisera vänsterledet i ekvationen.
b) (2p) Lös matrisekvationen MY+YN =F (med avseende på Y)
där
=
=
=
5 3
3 , 1
1 1
1 , 0
0 0
0
2 N F
M .
Uppgift 6. (2p) Ett föremål, A, ligger på ett lutande plan vars ekvation är x+y+2z=20. Den tyngdkraft som verkar på A kan beskrivas med vektorn F =(0,0,−10)
N. F
kan delas upp i två mot varandra vinkelräta komposanter så att F F1 F2
+
= , där F1
är vinkelrät mot det lutande planet och F2
är parallell med det lutande planet.
Bestäm de två komposanterna F1
och F2 .
Tips: Använd vinkelrät projektion för att lösa detta problem.
Uppgift 7. (2p) En kropp K består av två homogena kuber K1 och K2 vars kanter är parallella med axlarna i ett koordinat system. Den större kuben K1 har ett hörn i origo O=(0, 0, 0) och varje kant har längden a=4 dm. Den mindre kuben K2 är placerat på den större kuben så att ett hörn ligger i punkten (0,0,4) (se figuren) Varje kant i den mindre kuben har längden b=2 dm. Kuberna är gjorda av ett homogent material med densiteten ρ =2kg/dm3. Bestäm masscentrum till kroppen K.
Tips: Låt T1 och T2vara tyngdpunkterna för delkroppar K1 och K2 med motsvarande massor m1 och m2. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller
) 1 (
2 2 1 1
→
→
→ = m OT +m OT
OT m där m=m1+m2.
Uppgift 8. (4p) I ett stort tredimensionellt rum befinner sig ett ogenomskinligt klot, vars yta har ekvationen x2 +y2+z2 =9. I samma rum befinner sig också en punktformig ljuskälla, P, med koordinaterna (4, 4, –1). Inga andra föremål eller ljuskällor av något slag finns i detta rum. Punkten Q med koordinaterna (0, 0, 3) ligger på klotets yta. Avgör om Q ligger på klotets, av ljuskällan i P, belysta sida eller på dess skuggsida.
Lycka till!
a= 4dm b= 2dm
O
x
y z
4
4 4 6
FACIT
Uppgift 1. (4p)
a) (2p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna )
3 , 2 , 1
=( a
och b=(1,1,1) .
b) (2p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna )
2 , 1 , 1
=( u
, v=(1,2,2)
och w =(2,3,6) . Lösning:
a) Arean av parallellogrammen är arean=|a ×b|
Först 1 2 1 ( 1,2, 1)
1 1 1
3 2
1 =− + − = − −
=
× x y z
z y x
e e e e
e e b
a
.
Därmed arean=|a×b|= 1+4+1= 6 Svar a) arean= 6 a.e.
b) ... 2
6 3 2
2 2 1
2 1 1
=
=
=
Volymen v.e.
Rättningsmall. a) Korrekta vektorprodukten=1p. Allt korrekt =2p b) Korrekt uppställning av determinanten =1p. Allt korrekt =2p
Uppgift 2. (4p) Följande ekvationssystem är givet
= + +
= + +
= + +
1 3
2
1 2 2
1
az y x
z y x
z y x
För vilket vilka värden på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ? Lösning:
Systemets determinant är ... 3
3 2
2 2 1
1 1 1
−
=
=
= a
a
D .
=0
D om a=3.
Systemet har exakt en lösning om a≠3.
Fallet a=3 löser vi med Gaussmetoden. Substitutionen a=3i systemet ger
−
=
= +
= + +
+
−
⇔
−
= +
= +
= + +
+
− +
−
⇔
= + +
= + +
= + +
1 0
0 1
) 3 2 ( 1 0
1
) 3 1 2 (
) 2 1 1 ( 1 3 3 2
1 2 2
1
z y
z y x
E E z
y z y
z y x
E E
E E z
y x
z y x
z y x
(ingen lösning)
Svar: i)Fallet ” oändligt många lösningar ” kan inte förekomma i denna uppgift ii) Systemet har exakt en lösning om a≠3.
iii) Ingen lösning om a=3
Rättningsmall. Korrekta determinanten D= a−3 ger 1p . Korrekt metod och svar i varje del: i, ii och iii ger +1p.
Uppgift 3. (2p)
a) Bestäm avståndet från punkten A=(1,1,–3) till planet 2x−2y+z+9=0. b) Bestäm avståndet från punkten O=(0,0,0) till linjen (x,y,z)=(2+t,2t,3t). Lösning:
a) Avståndet från punkten A=(x0,y0,z0)=(1,1,−3)till planet 0
9 2
2 − + + =
= + +
+By Cz D x y z
Ax kan med hjälp av formelsamlingen räknas som
3 2 6 1
) 2 ( 2
9 ) 3 ( 1 1 2 1 2
2 2 2
2 2 2
0 0
0 = =
+
− +
+
−
⋅ +
⋅
−
= ⋅ +
+
+ +
= +
C B A
D Cz By d Ax
b) Avståndet från punkten O till linjen kan med hjälp av formelsamlingen fås ur
v v PO
d
×
= , där i detta fall
) 0 , 0 , 2 ( ) 0 , 0 , 2 ( ) 0 , 0 , 0
( − = −
=
PO , v=(1,2,3) ⇒ v = 12+22 +32 = 14
52 16 36 0 )
4 , 6 , 0 ( 3 2 1
0 0
2 = − ⇒ × = + + =
−
=
× PO v
e e e v PO
z y
x
så att man får
7 26 14
52 =
× =
= v
v PO
d
Rättningsmall. a) rätt eller fel b) rätt eller fel.
Uppgift 4. (2p)
Lös följande ekvation (med avseende på x)
0 ) 3 ( 5 2
1 3
1
3 ) 1 ( 1
= + +
x x
.
Lösning:
Man kan utveckla determinanten längs den första kolonnen enligt nedan:
( )
[
3 3 5)]
1[ (
1)(
3)
15]
2[ (
1)
9]
( 1) 0 1) 3 ( 5 2
1 3
1
3 ) 1 ( 1
=
−
−
=
− + +
− + +
−
− +
= + +
x x x
x x x
x x
Därmed är de två lösningarna till den givna ekvationen: x1 =0 och x2 =1. Rättningsmall. Korrekta determinanten ger 1p . Allt korrekt =2p
Uppgift 5. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen XA+XB=C+D (med avseende på X)
där
− −
=
=
=
=
1 1
1 , 1
0 0
2 , 2
1 1
0 , 0
2 0
1
1 B C D
A .
Tips: Faktorisera vänsterledet i ekvationen.
b) (2p) Lös matrisekvationen MY +YN =F (med avseende på Y)
där
=
=
=
5 3
3 , 1
1 1
1 , 0
0 0
0
2 N F
M .
a) Den givna matrisekvationen kan skrivas som
(
A+B)
=C+D ⇒ X =(
C+D)(
A+B)
−1X
där
( )
−
= − +
⇒
=
+ −
1 1
1 3 2 1 3
1 1
1 1
B A B
A
är en inverterbar matris med inversen enligt ovan, och
=
+ 1 1
1 D 1
C
Därmed får man lösningen för X som följer
( )( )
=
−
−
= + +
= −
0 1
0 1 1 1
1 3 1 1
1 1 2 1 B 1
A D C X
Rättningsmall. Korrekta inversmatrisen
−
− 1 1
1 3 2
1 ger 1p . Allt korrekt =2p
b) Notera att vi inte kan använda samma metod som i a-delen eftersom vi kan inte faktorisera uttrycket MY +YN, (matrisen Y ligger på olika sidor i termerna MY och YN) Antag här att
= d c
b Y a
Då kan man skriva den givna matrisekvationen som följer
=
+ +
= +
+
5 3
3 1 3
2 1 1
1 0 0
0 0 2
d c d
b a b a d
c b a d c
b a
Detta ger upphov till två ekvationssystem för respektive (a,b) och (c,d) vars lösningar blir 3
, 2 ,
1 ,
0 = = =
= b c d
a
Därmed är svaret
=
=
3 2
1 0 d c
b Y a
Rättningsmall. Korrekt till
=
+ + +
5 3
3 1 3 2
d c d
b a b
a ger 1p .
Allt korrekt =2p
Uppgift 6. (2p) Ett föremål, A, ligger på ett lutande plan vars ekvation är x+y+2z=20. Den tyngdkraft som verkar på A kan beskrivas med vektorn F =(0,0,−10)
N. F
kan delas upp i två mot varandra vinkelräta komposanter så att F F1 F2
+
= , där F1
är vinkelrät mot det lutande planet och F2
är parallell med det lutande planet.
Bestäm de två komposanterna F1
och F2 .
Tips: Använd vinkelrät projektion för att lösa detta problem.
Lösning:
Den komposant (F1
) som är vinkelrät mot planet fås som projektionen av F
på planets normalvektors riktning.
Planets normalvektor: n=(1,1,2)
3 ) , 20 3 , 10 3 ( 10 ) 2 , 1 , 1 6 ( ) 20 2 , 1 , 1 ) ( 2 , 1 , 1 ( ) 2 , 1 , 1 (
) 2 , 1 , 1 ( ) 10 , 0 , 0 ) (
1 ( ⋅ =− ⋅ = − − −
−
=
⋅
=
=
n
n n
n F F
proj
F n
Den andra komposanten, F2
, fås ur = − = − − − − − )=
3 , 20 3 , 10 3 ( 10 ) 10 , 0 , 0
1 (
2 F F
F
3) , 10 3 ,10 3 (10 −
=
Svar: )
3 , 20 3 , 10 3 ( 10
1= − − −
F
och )
3 , 10 3 ,10 3 (10
2= −
F
.
Rättningsmall. Korrekt F1
ger 1p . Allt korrekt =2p
Uppgift 7. (2p) En kropp K består av två homogena kuber K1 och K2 vars kanter är parallella med axlarna i ett koordinat system. Den större kuben K1 har ett hörn i origo O=(0, 0, 0) och varje kant har längden a=4 dm. Den mindre kuben K2 är placerat på den större kuben så att ett hörn ligger i punkten (0,0,4) (se figuren) Varje kant i den mindre kuben har längden b=2 dm. Kuberna är gjorda av ett homogent material med densiteten ρ =2kg/dm3. Bestäm masscentrum till kroppen K.
Tips: Låt T1 och T2vara tyngdpunkterna för delkroppar K1 och K2 med motsvarande massor m1 och m2. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller
) 1 (
2 2 1 1
→
→
→ = m OT +m OT
OT m där m=m1+m2. Lösning:
Kuberna är homogena. Detta medför att deras tyngdpunkter ligger i mitten av respektive kub: T1 =(2,2,2) och T2 =(1,1,5)
Kubernas massor: (m=ρ⋅V ) m1 =2⋅43 =128,m2 =2⋅23 =16,m=128+16=144 (kg) K:s masscentrum:
3) ,7 9 ,17 9 (17 144) ,336 144 ,272 144 (272 )) 5 , 1 , 1 ( 16 ) 2 , 2 , 2 ( 128 144(
1 ⋅ + ⋅ = =
→ = OT
Svar: K:s masscentrum är ) 3 ,7 9 ,17 9 (17
Rättningsmall. Korrekt till (128 (2,2,2) 16 (1,1,5)) 144
1 ⋅ + ⋅ ger 1p .
Allt korrekt =2p
Uppgift 8. (4p) I ett stort tredimensionellt rum befinner sig ett ogenomskinligt klot, vars yta har ekvationen x2 +y2+z2 =9. I samma rum befinner sig också en punktformig ljuskälla, P, med koordinaterna (4, 4, –1). Inga andra föremål eller ljuskällor av något slag finns i detta rum. Punkten Q med koordinaterna (0, 0, 3) ligger på klotets yta. Avgör om Q ligger på klotets, av ljuskällan i P, belysta sida eller på dess skuggsida.
Lösning:
Bilda ljusstrålen (en rät linje) från P till Q. Bestäm dess skärningspunkter (Q och R) med klotets yta. Bestäm sedan avstånden PQ och PR. Om PQ är det mindre av dessa avstånd så ligger Q på den belysta sidan. Om PQ är det större av dessa avstånd ligger Q på skuggsidan.
a= 4dm b= 2dm
O
x
y z
4
4 4 6
P
Ljusstrålens riktningsvektor PQ→ =(0,0,3)-(4,4,-1)=(-4,-4,4) som är parallell med vektorn (–1, –1, 1) .
Ljusstrålens ekvation: (x,y,z)=(0,0,3)+t⋅(-1,-1,1) eller
+
=
−
=
−
= t z
t y
t x
3 Insättning av strålens ekvation i klotets ekvation:
9 ) 3 ( ) ( )
(−t 2+ −t 2+ +t 2 = 0
3 6t+ t2 = Härav
−
=
= 2 0
2 1
t t
Detta ger skärningspunkterna mellan klotet och strålen:
=
=
= 3 0 0
z y x
Detta är Q,
=
=
= 1
2 2
z y x
detta är R.
Avståndet PQ = (4−0)2 +(4−0)2+(−1−3)2 = 48 Avståndet PR = (4−2)2+(4−2)2 +(−1−1)2 = 12
PQ är det större av de båda avstånden. Q ligger alltså på klotets skuggsida.
Svar: Punkten Q ligger på klotets skuggsida.
Rättningsmall. Korrekt till ljusstrålens ekvation ger +1p . Korrekt skärningspunkt R ger +1p
Korrekt avstånd PR +1p Allt korrekt =4p
Lycka till!
