Sida 1 av 4
Tentamen TEN2 (analys delen) i HF1903, Matematik 1,
DEL 2
Examinator: Armin Halilovic
Jourhavande lärare: Armin Halilovic Datum: 4 juni 2020
Skrivtid: Del 2: 10:30- 12:30 (+ 15 min för uppladdning av lösningar) . För de som har rätt till extra tid, enligt LADOK:
Extra skrivtid Del 2 extratid: 11:30-14:30 (+ 15 min för uppladdning av lösningar) Endast de som är synliga i Zoom under hela tentamen har rätt att lämna in lösningar.
Du använder papper och penna för att lösa uppgifterna. Du skannar eller tar bilder av dina lösningar (jpg, jpeg, png, pdf, heic, format är OK). Dina lösningar samlade i en mapp och komprimerade (som en zip eller rar fil) laddar du upp på Canvas:
https://kth.instructure.com/courses/23634
Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_NAMN för mappens namn.
---
För godkänt betyg krävs 10 poäng (totalt i båda delar) av max 24 poäng .
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorna skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.
T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.
---
Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös
uppgifterna.
Sida 2 av 4 DEL2
Uppgift 7. (3p) Bestäm volymen av kroppen som definieras av
2 2 2
0≤x +y ≤(p+1) , z= +1 2x2+2y2
Uppgift 8. (2p)
Beräkna dubbelintegral ( 1) x y
D
x+ e + dxdy
∫∫
,då D definieras genom 0≤ ≤x 1, 0≤ ≤ . y 2
Uppgift 9. (5p)
Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤x2+ y2 ≤(q+1)2 och y x≤ (se figuren).
Beräkna koordinater för områdets tyngdpunkt.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 7. (3p) Bestäm volymen av kroppen som definieras av
2 2 2
0≤x +y ≤(p+1) , z= +1 2x2+2y2
Lösning (i allmänt fall) : Definitionsområdet, D, är en cirkelskiva i xy-planet, med centrum i origo och radien p+1. Gör en övergång till polära koordinater i den dubbelintegral som ställs upp för att beräkna den sökta volymen, V.
(
2 2) (
2)
2 1(
3)
0 0
1 2 2 1 2 p 2
D D
V =
∫∫
+ x + y dxdy=∫∫
+ r rdrdθ =∫ ∫
p + r+ r drdθ =( ) ( ) ( ) ( )
21 2 4 2 4
2 2 4 2
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2 0 0 2 2
p p p p p
r r d d
p p p
θ θ θ
+ + + + +
=
∫
+ ⋅ =∫
+ − − ⋅ = + ⋅ =Sida 3 av 4
(
p21) (
2 p21)
4 2p 0( (p 1) (
2 p 1)
4)
p v e. .
+ +
= + ⋅ − = + + + ⋅
Svar: Kroppens volym är
( (p+1) (
2+ p+1)
4)
⋅p v e. .
Rättningsmall: Ställer upp en dubbelintegral i polära koordinater med korrekta gränser och korrekt integrand +1p. Gör detta samt den första integrationen korrekt +2p. Allt korrekt 3p.
Uppgift 8. (2p)
Beräkna dubbelintegral ( 1) x y
D
x+ e + dxdy
∫∫
,då D definieras genom 0≤ ≤x 1, 0≤ ≤ . y 2 Lösning:
1 2 1
0 0 0
( 1) ( 1) ( 1) 2
0
x y x y x y
D
x e dxdy dx x e dy dx x e y y
+ + + =
+ = + = + =
∫∫ ∫ ∫ ∫
1 2
0
(x 1)(ex+ e dxx)
+ −
∫
.Först beräknar vi den obestämda integralen
2 2 2
(x 1)(ex+ ex) dx (x 1)(ex+ ex) (ex+ e dxx)
+ − = + − − −
∫ ∫
=2 2 2
(x 1)(ex+ ex) (ex+ ex) x e( x+ ex)
= + − − − = − .
Nu har vi 1 2
0
(x 1)(ex+ e dxx)
+ −
∫
=x e( x+2−ex)01=e e3−Uppgift 9. (5p)
Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤x2+ y2 ≤(q+1)2 och y x≤ (se figuren).
Beräkna koordinater för områdets tyngdpunkt.
Lösning (i allmänt fall):
Arean = 𝜋𝜋∙𝑟𝑟82 = 𝜋𝜋8(𝑞𝑞 + 1)2
𝑥𝑥𝑇𝑇 = 1𝐴𝐴∬ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝐷𝐷 = �𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟𝑥𝑥𝜑𝜑� =𝜋𝜋8(𝑞𝑞+1)1 2∫0𝜋𝜋/4�∫0𝑞𝑞+1𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟� 𝑥𝑥𝜑𝜑 =
Sida 4 av 4
= 𝜋𝜋(𝑞𝑞+1)8 2∫ ��𝑟𝑟33cos 𝜑𝜑�
0
𝑞𝑞+1� 𝑥𝑥𝜑𝜑
𝜋𝜋/4
0 =𝜋𝜋(𝑞𝑞+1)8 2(𝑞𝑞+1)3 3∫0𝜋𝜋/4cos 𝜑𝜑 𝑥𝑥𝜑𝜑= 8(𝑞𝑞+1)3𝜋𝜋 [sin 𝜑𝜑]0𝜋𝜋/4
= 8(𝑞𝑞+1)3𝜋𝜋 √22 = 4√23𝜋𝜋 (𝑞𝑞 + 1) På samma sätt
𝑦𝑦𝑇𝑇 = 1𝐴𝐴∬ 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝐷𝐷 = � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟𝑥𝑥𝜑𝜑� = 8𝜋𝜋(𝑞𝑞+1)1 2∫0𝜋𝜋/4�∫0𝑞𝑞+1𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟� 𝑥𝑥𝜑𝜑 =
= 𝜋𝜋(𝑞𝑞+1)8 2∫ ��𝑟𝑟33sin 𝜑𝜑�
0
𝑞𝑞+1� 𝑥𝑥𝜑𝜑
𝜋𝜋/4
0 = 𝜋𝜋(𝑞𝑞+1)8 2(𝑞𝑞+1)3 3∫0𝜋𝜋/4sin 𝜑𝜑 𝑥𝑥𝜑𝜑 =8(𝑞𝑞+1)3𝜋𝜋 [−cos 𝜑𝜑]0𝜋𝜋/4
= 8(𝑞𝑞+1)3𝜋𝜋 �1 −√22�
Rättningsmall: Korrekt area =1p . Korrekt dubbelintegral (för x koordinat) med polära koordinater och gränser +1p.
Korrekt beräknad x-integral med korrekt svar +2p.
Korrekt dubbelintegral (för y koordinat) med polära koordinater och gränser +1p.
Korrekt beräknad y-integral med korrekt svar +2p.
