Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903
24 okt 2018,
Skrivtid: 14:00-18:00
Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Skriv namn och personnummer på varje blad.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget
• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar
Uppgift 1. (2p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
−
= +
−
= +
−
−
= + +
3 2 3
1 1 2
z y x
y x
z y x
Uppgift 2. (2p) Beräkna arean av en triangel med hörn i punkterna (1, 3, 1)
A= , B=(2,1, 0) och C=(3,5, 2).
Uppgift 3. (2p) Lös följande ekvation (med avseende på x)
4 1 1 ) 1
( + =− −
x x
x .
Var god vänd.
Uppgift 4. (5p)
a) (1p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A=(2,−1,3)som är parallell med vektorerna p =(3,0,−1) och q=(−3,2,2). Ange planets ekvation på formen
=0 + + +by cz d
ax .
Lösning:
(2, 3, 6) n = × =p q −
2x−3y+6z+ =d 0, insättning av punkten A ger d = − 25 Svar: Planets ekvation: 2x−3y+6z−25= 0
Rättningsmall: Rätt eller fel
b) (2p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x+2y+2z=4 som har kortast avstånd till punkten B=(4,5,4).
Lösning:
Linjen L genom B vinkelrät mot planet skär planet i punkten som ligger närmast B.
Linjen L har ekvationen ) 2 , 2 , 1 ( ) 4 , 5 , 4 ( ) , ,
(x y z = +t
som ger tre skalära ekvationer:
t
x= 4+ , y=5+2t och z=4+2t.
För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation
4 2
2 + =
+ y z
x och får
4 ) 2 4 ( 2 ) 2 5 ( 2
4+t+ + t + + t = Härav t+4t+4t=−18, och t=−2.
Skärningspunkten har följande koordinater 2
4+ =
= t
x , y=5−4=1 och z=4−4=0. Svar: (2,1,0)
Rättningsmall: Korrekt ekvation för linjen L ger 1p. Allt korrekt =2p.
c) (2p) Den räta linjen L1 går genom punkterna P=(1,1,2) och Q=(2,2,2). Linjen L2 går genom punkterna R=(0,0,6) och S =(1,1,5).
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L1 och L2 . Lösning:
Linjernas ekvationer på parameterform:
1 2
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2 2
(1,1, 0) (1,1, 1)
1
: 1 , :
2 6
r PQ och r RS
x t x t
L y t L y t
z z t
= = = = −
= + =
= + =
= = −
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 2 2 1
1 1
2 6 4 3 : (4, 4, 2)
x x t t
y y t t
z z t t som ger t skärningspunkt
= ⇒ + =
= ⇒ + =
= ⇒ = − ⇒ = = ⇒
Svar: (4,4,2)
Rättningsmall: Rätta parametrar ger 1p. Allt rätt =2p.
Uppgift 5. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C (med avseende på X)
där
= −
=
= −
0 2
1 , 1
3 1
0 , 0
1 0
0
1 B C
A .
b) (2p) Bestäm matrisen Y om
−
= −
−
− 3 5
5 3 2
1 2
1 Y .
Lösning:
1 1
1 1
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
AX BX C
A B X C
A B A B X A B C
EX A B C X A B C
− −
− −
+ =
+ =
+ + = +
= + ⇒ = +
1 0 1 1 2 0
, ( ) ,
1 2 2 1 1
1 1
2 0 1 1 2 2
1 1
3 1
1 1 2 0 3 1
2 2
2 2
A B A B
X
−
+ = + = −
= − − = − − = − − Rättningsmall: Korrekt inversen 1 1 2 0
( )
1 1
A+B − = 2− ger 1p.
Allt korrekt ger 2p.
b) (2p) Bestäm matrisen Y om
−
= −
−
− 3 5
5 3 2
1 2
1 Y .
Lösning:
Notera att matrisen 1 2
1 2
− −
saknar invers.
Insättning av y och y i (1) och (2) ger: 11 12
11 21
11 12 12 22
21 22 11 21 11 21
12 22 12 22
2 3 (1)
2 5 (2)
1 2 3 5
2 3 3 2
1 2 3 5
2 5 5 2
y y
y y y y
y y y y y y
y y y y
+ =
+ =
= ⇒
− − − − − − = − ⇒ = −
− − = − ⇒ = −
21 21
21 22
22 22
3 2 2 3
5 2 2 5
y y
som alltid gäller y t och y s
y y
där t och s är godtyckliga reella parametrar
− + =
⇒ = =
− + =
11 12
21 22
3 2 5 2
y y t s
y y t s
− −
=
Rättningsmall:
Korrekt till systemet
11 21
12 22
11 21
12 22
2 3
2 5
2 3
2 5
y y
y y
y y
y y
+ =
+ =
− − = −
− − = −
ger 1p .
Allt korrekt =2p.
Uppgift 6. (2p)
En konstant kraft på 12N, som är parallell med vektorn v=(1,−2, 2)
, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A=(1, 1, 2) till punkten B=(2, 2, 5) och därefter från punkten B till punkten C=(4, 4, 11). Beräkna det totala utförda arbetet.
Uppgift 7. (2p)
Bestäm spegelbilden av punkten P=(0, 6, 3)− i linjen ( , , ) (2 ,1 2 , 2 )x y z = −t + t − t . Uppgift 8. (3p) Följande ekvationssystem är givet
= + +
= + +
= + +
1 3
2
1 2 2
3 2
az y x
z y x
z y x
För vilket vilka värden på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ?
Uppgift 9. (2p)
Låt ABC vara en triangel. Vi betecknar med A1, B1, C1 mittpunkter på BC, AC och AB. Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA1 och BB1. Bevisa att |AT| 2 |= A T1 |
. (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median. Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt.
Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet 2:1. )
Lycka till!
FACIT
Uppgift 1. (2p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
−
= +
−
= +
−
−
= + +
3 2 3
1 1 2
z y x
y x
z y x
Lösning:
−
= +
−
= +
−
−
= + +
3 2 3
1 1 2
z y x
y x
z y x
⇔
=
−
−
= +
−
= + +
⇔
0 4 4
0 2 2
1 2
z y
z y
z y x
=
= +
−
= + +
0 0
0 1 2
z y
z y x
Oändlig många lösningar z= , t y =−t, x= 1− −t
Svar: Oändlig många lösningar z= , t y=−t, x= 1− −t, (t varierar fritt).
Rättningsmall: Korrekt till
=
= +
−
= + +
0 0
0 1 2
z y
z y x
ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 2. (2p) Beräkna arean av en triangel med hörn i punkterna (1, 3, 1)
A= , B=(2,1, 0) och C=(3,5, 2). Lösning:
) 1 , 2 , 1 ( − −
=
AB , AC=(2,2,1)
| 2|
1 AB AC
A= ×
k j i k j i AC
AB 0 3 6
1 2 2
1 2
1 − − = − +
==
×
2 5 36 3 2 9
1 + =
=
A a.e.
Svar: 5
2
== 3
A a.e.
Rättningsmall: Korrekt AB×AC ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 3. (2p) Lös följande ekvation (med avseende på x)
4 1 1 ) 1
( + =− −
x x
x .
Lösning:
0 3 2 1
4 ) 1 ( 4 1
1 ) 1
( 2
=
− +
⇔
−
−
=
− +
⇔
−
− + =
x x x
x x x x
x
Härav (med pq-formeln) x1=−3 och x2 =1.
Svar: x1=−3 och x2 =1.
Rättningsmall: Korrekt till x(x+1)−4=−x−1 ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 4. (5p)
a) (1p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A=(2,−1,3)som är parallell med vektorerna p =(3,0,−1) och q=(−3,2,2). Ange planets ekvation på formen
=0 + + +by cz d
ax .
b) (2p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x+2y+2z=4 som har kortast avstånd till punkten B=(4,5,4).
c) (2p) Den räta linjen L1 går genom punkterna P=(1,1,2) och Q=(2,2,2). Linjen L2 går genom punkterna R=(0,0,6) och S =(1,1,5).
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L1 och L2 .
Uppgift 5. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen AX+BX =C (med avseende på X)
där
= −
=
= −
0 2
1 , 1
3 1
0 , 0
1 0
0
1 B C
A .
b) (2p) Bestäm matrisen Y om
−
= −
−
− 3 5
5 3 2
1 2
1 Y .
Uppgift 6. (2p)
En konstant kraft på 12N, som är parallell med vektorn v=(1,−2, 2)
, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A=(1, 1, 2) till punkten B=(2, 2, 5) och därefter från punkten B till punkten C=(4, 4, 11). Beräkna det totala utförda arbetet.
Lösning:
En konstant kraft på 12N, som är parallell med vektorn v=(1,−2, 2)
, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A=(1, 1, 2) till punkten B=(2, 2, 5) och därefter från punkten B till punkten C=(4, 4, 11). Beräkna det totala utförda arbetet.
Kraften: (1, 2, 2)
12 12 4(1, 2, 2) (4, 8, 8)
3 F v
v
= = − = − = −
Arbetet: W =F AB +F BC =(4, 8, 8) (1, 1, 3) (4, 8, 8) (2, 2, 6)− + − =20 40+ =60J
Rättningsmall: Korrekt (1, 2, 2)
12 3
F −
=
ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 7. (2p)
Bestäm spegelbilden av punkten P=(0, 6, 3)− i linjen ( , , ) (2 ,1 2 , 2 )x y z = −t + t − t . Lösning:
Metod 1. Låt O=(0,0,0). Beteckna med S den sökta spegelbilden av punkten P. Låt Q vara den punkt på linjen L som ligger närmast punkten P. Då är Q mittpunkten av sträckan PS. (se figuren nedan).
Q S
O P
L
Först bestämmer vi punkten Q. Planet Π som går genom punkten P=(0, 6,− vinkelrät 3) mot linjen L skär linjen i punkten Q. Linjens riktningsvektor r = −( 1, 2, 2)−
kan användas som planets normalvektor. Planets ekvation är
−(x−0)+2(y−6)−2(z+3)=0 eller −x+2y−2z−18=0. För att få Q löser vi systemet
=
−
− +
−
−
= +
=
−
=
0 18 2 2 2
2 1 2
z y x
t z
t y
t x
som ger t=2, x=0, y=5 och z=–4.
Därmed är Q=(0,5,−4)
Nu kan vi bestämma vektorn PQ→ =(0−1−1)och därmed QS→ =PQ→ =(0−1−1). Slutligen
) 5 , 4 , 0 ( ) 1 1 0 ( ) 4 , 5 , 0
( − + − − = −
= +
= → →
→
QS OQ OS
och därmed S=(0,4,−5) Svar:
) 5 , 4 , 0
( −
= S
Rättningsmall: Korrekt punkten Q=(0,5,−4) ger 1p. Allt korrekt=2p.
Metod 2 . (Projektion)
En punkt i linjen P0 =(2, 1, 0). Linjens riktningsvektor är r= −( 1, 2, 2)−
Q S
O P
L P0
Projektionen av vektor u =P P0 = −( 2, 5, 3)−
på linjen är
1 0 2 2 10 6
( 1, 2, 2) 9
u P Q u rr r
+ +
= = = − − =
2( 1, 2, 2)− − = −( 2, 4, 4)− . Eftersom P P 0 =P Q0 +QP
har vi QP =P P0 −P Q0 eller,
( 2, 5, 3) ( 2, 4, 4) (0, 1, 1) QP= − − − − − =
Spegelpunkten S uppfyller
2 (0, 6, 3) 2(0, 1, 1) (0, 6, 3) (0, 2, 2) (0, 4, 5)
OS OP PS OP OS
= + = − QP= − − =
= − − = −
och därmed S=(0,4,−5)
Rättningsmall: Rätt bestämning av vektorn QP
=(0,1,1)ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 8. (3p) Följande ekvationssystem är givet
= + +
= + +
= + +
1 3
2
1 2 2
3 2
az y x
z y x
z y x
För vilket vilka värden på a har systemet
i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ? Lösning:
det(A)= 4
3 2
2 2 1
2 1 1
−
= a a
Om a≠4 har systemet exakt en lösning.
Om a=4 har vi systemet
= + +
= + +
= + +
1 4 3 2
1 2 2
3 2
z y x
z y x
z y x
⇔
−
=
−
=
= + +
⇔
5 2
3 2
y y
z y x
−
=
−
=
= + +
3 0
2 3 2 y
z y x
Därmed har systemet ingen lösning om a=4.
Fallet ”oändlig många lösningar ” kan inte förekomma i denna uppgift.
Svar: i) Fallet ”oändligt många lösningar” förekommer inte.
ii) exakt en lösning om a≠4 iii) ingen lösning om a=4.
Rättningsmall: 1poäng för varje del: i, ii och iii.
Uppgift 9. (2p)
Låt ABC vara en triangel. Vi betecknar med A1, B1, C1 mittpunkter på BC, AC och AB. Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA1 och BB1. Bevisa att |AT| 2 |= A T1 |
. (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median. Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt.
Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet 2:1. ) Lösning:
A B
C
A B
C
1
1 1
T
a) Vi söker talet x så att
→
→ =xAA1
AT .
och talet y så att
→
→ = yBB1 BT
Vidare betecknar vi
= AB→
a och
= AC→
b
och uttrycker
→
AT som en linjär kombination av a och b
på två olika sätt:
i) xb
xa a b a x BA AB x AA x
AT
2 )) 2
2( ( 1 )
( 1
1= + = + − = +
= → → →
→
(*) Andra sätt att beräkna vektorn
→
AT : Vi går genom punkten B.
ii) yb
a y b
a y a AB BA y a BB y AB BT AB
AT
) 2 1 ( 2 ) ( 1 )
( 1
1 = + + = + − + = − +
+
= +
= → → → → → →
→
(**) Från (* ) och (**) har vi
yb a y xb
xa
) 2 1 2 (
2 + = − +
eller ( om vi skriver a b
, på var sin sida)
x b a y
x y
2) (2 ) 2 1
( + − = − (***) Eftersom a b
, är icke parallella vektorer är (***) möjlig endast om följande två villkor är uppfyllda
0 2+ y−1=
x och 0
2 2y− x =
.
Från 0
2 2y− x =
har vi x= som vi substituerar i y 1 0 2+ y− =
x och får
3 1 2
2 0 3
2+ −1= ⇒ x = ⇒x= x x
. Därför
3
= 2
= x
y .
Alltså, vi har fått
→
→
→ = 1 = 1
3 2AA AA
x
AT och
→
→
→ = 1 = 1
3 2BB BB
y
BT .
Därmed 2/ 3 delar av medianen AA1 ligger mellan hörnet A och T och 1/3 mellan T och sidans mittpunkten A1.
Alltså T delar AA1 i förhållandet 2:1.
Rättningsmall. 1p för korrekt bevis med dålig förklaring. 2p om beviset är korrekt (med bra förklaring.).
