Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903

Sida 1 av 8

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903

Datum: 16 dec 2019 Skrivtid: 8:00-12:00

Examinator: Armin Halilovic

För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar.

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv namn och personnummer på varje blad.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget

• Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar

Uppgift 1. (2p) För vilka värden på parameter a har ekvationssystem (med avseende på x, y och z)







= + +

= + +

= + +

7 8

3

3 4 4

2 2 2

az y x

z y x

z y x

exakt en lösning.

Uppgift 2. (2p) Låt L vara skärningslinjen mellan följande två plan:

3 2 2 + = + y z

x och x+4y+4z=7

Bestäm en ekvation för linjen L på parameterform.

Uppgift 3. (3p) Låt P₁, P₂,...,P vara punkter med motsvarande massor _n m₁, m₂,...,m . Om _n

O betecknar origo och T masscentrum då gäller 1( )

2 2

1OP1 m OP mnOPn

m m OT

→

→

→

→ = + ++ ,

där m=m1+m2++m_n.

Anta att massorna 10 kg och 5 kg är belägna i punkterna P₁=(1,1,1) och P₂=(3,1,2) . Bestäm masscentrum.

Var god vänd.

Sida 2 av 8 Uppgift 4. (4p)

a) (2p) Vi betraktar pyramiden med hörn i punkterna A=(1,1,1), B= (2,2,2), C=(2,3,4), D=(3,4,7).

Bestäm pyramidens höjd från punkten D (till basen ABC).

b) (2p) Låt Π vara planet som går genom punkten D parallell med sidan (dvs basen) ABC.

Bestäm eventuella skärningspunkter mellan planet Π och z-axeln.

Uppgift 5. (2p) Vi betraktar två plan Π₁:2x+3y+4z=1 och Π₂:4x+py+8z=5. a) Bestäm ett värde på parametern p så att Π₁och Π₂ blir parallella.

b) För detta värde på parametern p (som du får i a-delen) bestäm avståndet mellan Π₁och Π₂. Uppgift 6. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen XA=C−XB (med avseende på X)

där 



 





= −



 



=



 





= −

2 1 0

2 1 , 1

4 1

1 , 1

1 0

1

0 B C

A .

b) (2p) Bestäm matrisen Y om

[

]

2 4

1

2 = − −



 





−

Y − .

Uppgift 7. (2p)

Vi betraktar triangeln ABC, där A=(2, 2, p), B=(3, 3, 3) och C=(5, 4, 4) Bestäm p så att arean av triangeln ABC blir

2 3 a.e

Uppgift 8. (2p) Låt x, y och z vara heltal. Visa att determinanten

y x

z

x z

y

z y

x

2 4

10 40

20

200 100

50

är delbart med (x+2y+4z).

Uppgift 9. (3p)

Krafterna F^→1, F^→2 och F^→3 i figuren befinner sig i jämviktsläge dvs.

→

→

→

→1+F2+F3=0

F .

Kraften ^→F³ som är parallell med y-axeln

har storleken |F^→3|=20 newton (alltså F^→3 =(0,−20) ).

(Längderna är givna i meter.) Bestäm 1

→

F och F^→2.

Lycka till!

FACIT

Uppgift 1. (2p) För vilka värden på parameter a har ekvationssystem (med avseende på x, y och z)







= + +

= + +

= + +

7 8

3

3 4 4

2 2 2

az y x

z y x

z y x

exakt en lösning.

Lösning:

Ekvationssystemet har exakt en lösning om determinanten av koefficientmatrisen inte är noll.

1 2 2

4 4 1 4 1 4

1 4 4 2 2 4 32 2( 12) 2(8 12) 2 16

8 3 3 8

3 8

a a a

a a

a

= − + = − − − + − = −

Determinanten av koefficientmatrisen 2a−16=0 ⇒ a= . 8 Svar: Ekvationssystemet har exakt en lösning för a≠8.

Rättningsmall: Korrekt beräknad determinant ger1p. Rätt analys samt allt rätt 2p.

Uppgift 2. (2p) Låt L vara skärningslinjen mellan följande två plan:

3 2 2 + = + y z

x och x+4y+4z=7

Bestäm en ekvation för linjen L på parameterform.

Lösning:

1 2 2 3 1 2 2 3

, 2 , 1

1 4 4 7 0 2 2 4 z t y t x

   

⇒ ⇒ = = − = −

   

   

Svar: L: ( , , )x y z = −( 1, 2, 0)+t(0, 1, 1)−

Rättningsmall: Korrekt lösning av en variabel ger1p. Allt rätt 2p.

Uppgift 3. (3p) Låt P₁, P₂,...,P vara punkter med motsvarande massor _n m₁, m₂,...,m . Om _n

O betecknar origo och T masscentrum då gäller 1( )

2 2

1OP1 m OP mnOPn

m m OT

→

→

→

→ = + ++ ,

där m=m1+m2++m_n.

Anta att massorna 10 kg och 5 kg är belägna i punkterna P₁=(1,1,1) och P₂=(3,1,2) . Bestäm masscentrum.

Lösning:

Sida 3 av 8

3) 14 3, (5 ) 20 , 15 , 25 15( )) 1 10 , 5 , 15 ( ) 10 , 10 , 10 15((

1

)) 2 , 1 , 3 ( 5 ) 1 , 1 , 1 ( 10 15( ) 1 5 10

15( 1

2 1

=

= +

=

⋅ +

⋅

= +

= ^{→ →}

→

OP OP

OT

Rättningsmall: Korrekt till (10 (1,1,1) 5 (3,1,2)) 15

1 ⋅ + ⋅ ger1p. Allt rätt 3p.

Uppgift 4. (4p)

a) (2p) Vi betraktar pyramiden med hörn i punkterna A=(1,1,1), B= (2,2,2), C=(2,3,4), D=(3,4,7).

Bestäm pyramidens höjd från punkten D (till basen ABC).

b) (2p) Låt Π vara planet som går genom punkten D parallell med sidan (dvs basen) ABC.

Bestäm eventuella skärningspunkter mellan planet Π och z-axeln.

Lösning:

a) Metod 1.

Vi kan först bestämma en ekvation för planet α genom punkterna A,B och C och därefter bestämma avståndet från punkten D till planet.

Låt 𝑏𝑏�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 1, 1), 𝑐𝑐⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 2, 3). Då är 𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗ = �𝑒𝑒⃗𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧

1 1 1

1 2 3

� | = (1, −2,1) en normalvektor till planet.

Planets ekvation (genom punkten A=1,1,1) och normalvektorn (1, −2,1)) är 0

) 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1

: x− − y− + z− =

α

dvsα: x−2y+z=0

Pyramidens höjd är lika med avståndet från punkten D till planet:

Avståndet d från punkten D=(x₁,y₁,z₁) till planet ax+by+cz+d =0 är 3 )

( 6 6

| 2 6

| 2 1 |

4 1

0 7 1 4 2 3

|1

|

| 2 2 2

1 1

1 = = =

+ +

+

⋅ +

⋅

−

= ⋅ +

+

+ +

= +

C B A

d cz by

d ax l.e.

Svar a: Pyramidens höjd är ) 3 ( 6 6

2 = (l.e.)

Rättningsmall a) Metod 1: Korrekt till planets ekvation 1(x−1)−2(y−1)+1(z−1)=0ger 1p.

Allt korrekt=2p.

a) Metod 2.

Då volymen 𝑉𝑉 för en pyramid kan beräknas som 𝑉𝑉 = ^𝐵𝐵ℎ₃ där ℎ är höjden och 𝐴𝐴 är basytans area gäller alltså ℎ =^3𝑉𝑉_𝐵𝐵. Volymen för pyramiden kan även beräknas som en sjättedel av beloppet av den skalära trippelprodukten av vektorerna

𝑏𝑏�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 1, 1), 𝑐𝑐⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 2, 3) och 𝑑𝑑⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (2, 3, 6). enligt

Sida 4 av 8

𝑉𝑉 =¹₆��𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗� ∙ 𝑑𝑑⃗� =¹₆| �

𝑑𝑑_𝑥𝑥 𝑑𝑑_𝑦𝑦 𝑑𝑑_𝑧𝑧 𝑏𝑏_𝑥𝑥 𝑏𝑏_𝑦𝑦 𝑏𝑏_𝑧𝑧

𝑐𝑐_𝑥𝑥 𝑐𝑐_𝑦𝑦 𝑐𝑐_𝑧𝑧� �=¹₆� �2 3 6 1 1 1 1 2 3^�|

= ¹₆�2 �1 12 3� − 3 �1 1

1 3� + 6 �1 1

1 2�� = ¹⁶|2 ∙ 1 − 3 ∙ 2 + 6 ∙ 1| =¹₆|2| =¹₃ v.e..

Basytans area 𝐴𝐴 =¹₂�𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗� =¹₂| �𝑒𝑒⃗_𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗_𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗_𝑧𝑧

1 1 1

1 2 3� | =¹₂|(1, −2,1)| = ^�12+(−2)₂ ²⁺¹² =^√6₂ a.e.

Då är ℎ =^�3∙_√6/2^13�= _√6² = ^√6₃ l.e.

Rättningsmall a) Metod 2: Korrekt volym eller korrekt basarea för pyramiden 1p. Allt rätt 2p.

a) Metod 3.

Höjden ℎ är längden av ortogonalprojektionen av vektor 𝑑𝑑⃗ på vektor 𝑎𝑎⃗ = �𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗� = (1, −2,1).

ℎ = |�𝑑𝑑⃗� cos 𝜃𝜃| = ||𝑎𝑎�⃗|�𝑑𝑑⃗� cos 𝜃𝜃

|𝑎𝑎�⃗| | =^{|𝑎𝑎�⃗∙𝑑𝑑|}_{|𝑎𝑎�⃗|}^{����⃗}=^|2−6+6|_√6 =_√6² = ^√6₃ l.e.

Rättningsmall a) Metod 3: Korrekt uttryck med skalärprodukt (ℎ = |_{|𝑎𝑎�⃗||𝑎𝑎}^{|𝑎𝑎���⃗∙𝑑𝑑|}_{���⃗|}^{����⃗}𝑎𝑎⃗| =^{|𝑎𝑎���⃗∙𝑑𝑑|}_{|𝑎𝑎�⃗|}^{����⃗}) ger 1p.

Allt rätt 2p.

b) En normalvektor till planet (och basen ABC) ges av 𝑛𝑛�⃗ = 𝑎𝑎⃗ = 𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗ = (1, −2, 1) så att planets ekvation kan skrivas 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 och isättning av 𝐴𝐴 = (3, 4, 7) ger

3 − 2 ∙ 4 + 7 = 𝑘𝑘 ⇒ 𝑘𝑘 = 2 så att 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2. Skärningspunkter med 𝑧𝑧-axeln då 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 0 vilket ger 𝑧𝑧 = 2, alltså i punkten (0, 0, 2).

Rättningsmall: Korrekt ekvation för planet 1p. Allt rätt 2p.

Uppgift 5. (2p) Vi betraktar två plan Π₁:2x+3y+4z=1 och Π₂:4x+ py+8z=5. a) Bestäm ett värde på parametern p så att Π och ₁ Π blir parallella. ₂

b) För detta värde på parametern p (som du får i a-delen) bestäm avståndet mellan Π och ₁ Π . ₂ Lösning:

a) Planen parallella om deras normalvektorer har samma riktning.

𝑛𝑛�⃗1 = (2, 3, 4) och 𝑛𝑛�⃗2 = (4, 𝑝𝑝, 8). 𝑛𝑛�⃗2 = 𝑡𝑡𝑛𝑛�⃗1 ⇒ 𝑡𝑡 = 2 ⇒ 𝑝𝑝 = 𝑡𝑡 ∙ 3 = 2 ∙ 3 = 6 Svar: 𝑝𝑝 = 6 Rättningsmall: Allt rätt 1p.

b) Normalvektorn 𝑛𝑛�⃗₁ = (2, 3, 4) har längden |𝑛𝑛�⃗₁| = √2²+ 3²+ 4² = √29

Utgå från en punkt i Π1, t.ex. 𝑃𝑃1 = (0, 0,1/4) och bestäm det 𝑡𝑡 för vilket 𝑃𝑃1 + 𝑡𝑡𝑛𝑛�⃗1 skär Π2, dvs. då (0 + 2𝑡𝑡) ∙ 4 + (0 + 3𝑡𝑡) ∙ 6 + (1/4 + 4𝑡𝑡) ∙ 8 = 5 ⇒ 8𝑡𝑡 + 18𝑡𝑡 + 2 + 32𝑡𝑡 = 5

⇒ 58𝑡𝑡 = 3 ⇒ 𝑡𝑡 =₅₈³ och 𝑑𝑑 = 𝑡𝑡 ∙ |𝑛𝑛�⃗1| =^3√29₅₈ Svar: ^3√29

58 l.e.

Rättningsmall: Allt rätt 1p.

Sida 5 av 8

Uppgift 6. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen XA=C−XB (med avseende på X)

där 



 





= −



 



=



 





= −

2 1 0

2 1 , 1

4 1

1 , 1

1 0

1

0 B C

A .

b) (2p) Bestäm matrisen Y om

[

]

2 4

1

2 = − −



 





−

Y − .

Lösning:

a) 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 − 𝑋𝑋𝐴𝐴 ⇔ 𝑋𝑋𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ⇔ 𝑋𝑋(𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) = 𝐴𝐴 (*) .

Matrisen (𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) är en 2x2 matris. Multiplikationen 𝑋𝑋(𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) är definierad om X är en

×2

m matris. För en sådan matris X blir produkten (𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) också en ^m×2matris. Eftersom 𝐴𝐴 är en 2x3 har ekvationen 𝑋𝑋(𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) = 𝐴𝐴 ingen lösning.

Enligt (*) gäller samma för ekvationen 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 − 𝑋𝑋𝐴𝐴.

Svar a) Ekvationen saknar lösning.

Rättningsmall a) Konstaterar att ekvationen inte går att lösa 1p. Motiverar varför 2p.

b) det � 2 1

−4 −2� = � 2 1

−4 −2� = 0 så matrisen � 2 1

−4 −2� är inte inverterbar.

𝑌𝑌 måste vara av typ 1 × 2. Sätt 𝑌𝑌 = [𝑦𝑦¹¹ 𝑦𝑦12] så erhålls [2𝑦𝑦₁₁− 4𝑦𝑦₁₂ 𝑦𝑦₁₁− 2𝑦𝑦₁₂] = [−6 −3]

som ger två ekvationer,

2𝑦𝑦11− 4𝑦𝑦12 = −6 och 𝑦𝑦11− 2𝑦𝑦12= −3,

(som säger samma sak). Med 𝑦𝑦12 = har vi 𝑦𝑦11 = 2𝑡𝑡 − 3.

Därmed = [2𝑡𝑡 − 3 𝑡𝑡] , där t är ett godtyckligt tal.

(Alternativ med 𝑦𝑦11= 𝑠𝑠 erhålls �𝑠𝑠 ^𝑠𝑠+3₂ �).

Svar: = [2𝑡𝑡 − 3 𝑡𝑡]

Rättningsmall: Korrekt samband mellan 𝑦𝑦₁₁ och 𝑦𝑦₁₂ (de två ekvationerna) 1p. Allt rätt 2p.

Uppgift 7. (2p)

Vi betraktar triangeln ABC, där A=(2, 2, p), B=(3, 3, 3) och C=(5, 4, 4) Bestäm p så att arean av triangeln ABC blir

2

3 a.e.

Lösning:

Arean av triangeln ABC är

1 ) 2 5 ( ) 2 2 (

| 1 ) 1 , 2 5 , 2 ( 2|

| 1 1 1 2

) 3 ( 1 1 2|

| 1 2|

1 _{2 2}

+

− +

−

=

−

−

−

=

−

=

× p p p p p

k j i BC AB

 



Alltså ( −2) +(5−2 ) +1= 2

1 2 2

p

p 2

3 eller 3

1 ) 2 5 ( ) 2

(p− ²+ − p ² + = , ( kvadrera båda leden) 3

1 ) 2 5 ( ) 2

(p− ² + − p ² + = , (förenkla)

Sida 6 av 8

Sida 7 av 8 0

27 24 5p² − + =

Härav har vi två lösningar: p₁ =3 och 5 9

2 = p . Svar: Två lösningar: p₁ =3 och

5 9

2 = p .

Rättningsmall: Korrekt till planets ekvation ( −2) +(5−2 ) +1= 2

1 2 2

p

p 2

3ger 1p.

Allt korrekt=2p.

Uppgift 8. (2p) Låt x, y och z vara heltal. Visa att determinanten

y x

z

x z

y

z y

x

2 4

10 40

20

200 100

50

är delbart med (x+2y+4z).

Lösning:

Bryt 50 ur första raden och 10 ur andra raden

50 100 200 2 4

20 40 10 50 10 2 4

4 2 4 2

x y z x y z

y z x y z x

z x y z x y

= ⋅

Addera rad 1 och rad 2 till rad 3

2 4 2 4

50 10 2 4 500 2 4

4 2 2 4 2 4 2 4

x y z x y z

y z x y z x

z x y x y z x y z x y z

⋅ =

+ + + + + +

(Bryta ut (x+2y+4 )z )

2 4

500 ( 2 4 ) 2 4

1 1 1

x y z

x y z y z x

= ⋅ + +

Det sista uttrycket visar att determinanten är delbar med (x+2y+4z).

Rättningsmall: Bryta ut 50 och 10 ur första och andra raden ger 1p. Allt korrekt ger 2p.

Uppgift 9. (3p)

Krafterna F^→1, F^→2 och ^→F³ i figuren befinner sig i jämviktsläge dvs.

→

→

→

→1+F2+F3=0

F .

Kraften ^→F³ som är parallell med y-axeln

har storleken |F^→3|=20 newton (alltså F^→3 =(0,−20) ).

(Längderna är givna i meter.) Bestäm 1

→

F och F^→2.

Lösning:

Kraften 1

→

F har samma riktning som kraften AB= −( 6, 8)

, dvs. att F₁ = ⋅x AB= −x( 6, 8) för något tal x. (egenskaper av två parallella vektorer)

Kraften F2

→

har samma riktning som kraften AC=(6, 12)

, dvs. att F₂ = ⋅y AC= y(6, 12) för något tal y.

1 2 3 0 ( 6, 8) (6, 12) (0, 20) (0, 0)

F +F +F = ⇒ x − +y + − =

  

Detta ger:

6 6 0 0 ` 0

1: 2 : 5 5 1 1

8 12 20 0 2 3 5

x y x y

rad x y rad x x och y

x y x y

− + + = − + =

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

+ − =  + =

Svar: F₁ = −( 6, 8) och F₁=(6, 12)

Rättningsmall: Teckna att F₁ = ⋅x AB= −x( 6, 8)

och F₂ = ⋅y AC=y(6, 12)

ger 1p. Fel här ger 0p. Korrekt ekvationssystem ger 1p. Rätt lösning av ekvationssystemet samt rätt erhållna krafter ger 1p.

Sida 8 av 8