Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Räknedosa och medföljande formelsamling är tillåten!
Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!
Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.
Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien “Något om...”.
För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.
Lycka till! Mats och Bertil Del A
10 poäng med fokus sannolikhetsteori.
1. I en låda finns 10 äpplen av vilka 3 är ruttna i kärnhuset. Om man på måfå tar 4 äpplen utan återläggning vad är då sannolikheten att man får exakt 1 äpple som är ruttet i kärnhuset?
a 14 b 13 c 12 d 23 e Inget av a till d.
2. Vid en produktion kan två olika fel, A och B, uppkomma på den tillverkade detaljen. Dessa fel förekommer oberoende av varan- dra. Om P A 0.2 och P B 0.3 vad är då sannolikheten att inget av felen uppkommer?
a 0.67 b 0.63 c 0.59 d 0.56 e Inget av a till d.
3̅4. Tre mätinstrument, numrerade 1, 2, 3, fungerar med sannolikheten 0.9, 0.8 respektive 0.4. Välj slumpmässigt ett av dem.
3. Hur stor är sannolikheten att det valda instrumentet fungerar?
a 0.76 b 0.67 c 0.63 d 0.60 e Inget av a till d.
4. Antag att det instrument man valt visar sig fungera. Beräkna den betingade sannolikheten att man valt instrument nr 2.
a 0.80 b 0.38 c 0.4 d 0.35 e Inget av a till d.
5. En påse äpple, vars vikt anges till 3 kg, säljs på en Stormarknad nära dig. Låt vikten Ξ N 3, 0.5 och bestäm P 2.8 Ξ 3.1 . a 0.234 b 0.766 c 0.311 d 0.197 e Inget av a till d.
6. Varje vecka ordnar MC-klubben Hjulkul ett lotteri. Sannolikheten att vinna på en lott en given vecka är p 0.04. Vad är sanno- likheten att vinna minst en gång under 52 veckor om man köper en lott per vecka?
a 0.91 b 0.88 c 0.81 d 0.79 e Inget av a till d.
7̅8. Den stokastiska variabeln Ξ har sannolikhetsfunktionen f x xC x2 0 x 2
0 annars , där C är en konstant.
7. Bestäm C.
a 1 b 34 c 43 d 45 e Inget av a till d.
8. Bestäm väntevärdet för Ξ.
a 58 b 107 c 109 d 85 e Inget av a till d.
9̅10. Ett hamburgerställe säljer hamburgare av tre storlekar. Priset i kronor på en såld hamburgare kan betraktas som en stokastisk variabel Ξ, med följande sannolikhetsfördelning
x 10 12 15
p x 0.3 0.5 0.2 9. Bestäm väntevärde och varians för Ξ.
a Μ,Σ2 12.0, 3.00 b Μ,Σ2 12.0, 135.0
c Μ,Σ2 12.0, 1.73 d Μ,Σ2 13.3, 2.21 e Inget av a till d.
1
10. En dag såldes 300 hamburgare. Beräkna approximativt sannolikheten att det såldes för minst 3660 kr denna dag.
a 0.0336 b 0.519 c 0.851 d 0.0966 e Inget av a till d.
Del B
10 poäng med fokus på statistisk analys.
11̅12. Vid en kemisk industri vill man bestämma medelavkastningen (väntevärdet av avkastningen) , för en viss kemisk process.
Under tio dagar fick man följande avkastningar (enhet: ton): 7.3, 7.2, 7.8, 7.1, 8.0, 6.9, 7.5, 8.1, 7.7, 7.5. Antag att mätvärdena kommer från en N Μ, 0.4 .
11. Bestäm ett 95 % konfidensintervall för Μ.
a Μ 7.22, 7.80 b Μ 7.11, 7.91 c Μ 7.26, 7.76 d Μ 7.30, 7.72 e Inget av a till d.
12. Hur många mätningar måste man göra för att längden av konfidensintervallet ovan ska minska till 1/3?
a 30 b 50 c 70 d 90 e Inget av a till d.
13̅14. Vid en simtävling används samtidigt automatisk och manuell tidtagning för varje deltagare. Den automatiska betraktas som felfri, medan the manuella har en slumpmässig osäkerhet och ett systematiskt fel . De manuella mätningarna uppfattas som utfall av oberoende normalfördelade stokastiska variabler med den sanna tiden plus det systematiska felet som väntevärde och med en okänd standardavvikelse, Σ. Följande data erhölls (tidsenhet sek):
Deltagare: 1 2 3 4 5 6
Automatisk tid (X): 60.03 60.17 61.10 64.22 64.88 65.03 Manuell tid (Y): 60.18 60.35 61.27 64.40 65.07 65.18
Beräkningshjälp: x 62.5717, y 62.7417, sx 2.38674, sy 2.39018 och sz 0.016733 standardavvikelsen för skillnaden . Bestäm ett 95% konfidensintervall för , skillnaden mellan manuell tid och automatisk tid.
a 0.156, 0.184 b 2.90255, 3.24255
c 2.32934, 2.66934 d 0.152, 0.188 e Inget av a till d.
14. Tolka intervallet ovan?
a I det långa loppet innehåller intervallet 95 av försöken.
b I genomsnitt över många försök innerhåller intervallet 95 av observationerna.
c Minst 95 av observationerna faller alltid inom intervallet.
d Det är inte statistiskt säkerställt att 0.15.
e Inget av a till d.
15̅16. Företaget Rocket AB tillverkar fyrverkeripjäser. Kvaliteten på pjäserna är inte speciellt hög men å andra sidan så säljs de till ett väldigt lågt pris. Kurt Stubin, chef för en affärskedja som säljer fyrverkeripjäser tillverkade av Rocket AB, har erhållit en sänd- ning bestående av 10000 pjäser och vill uppskatta hur stor andel av dessa som ej fungerar tillfredsställande. Eftersom det är kostsamt att undersöka samtliga pjäser (de förstörs ju när de kontrolleras) så tar Kurt ett slumpmässigt urval bestående av 350 fyrverkeripjäser.
15. Beräkna ett 99% konfidensintervall för andelen fyrverkeripjäser i sändningen som ej fungerar tillfredsställande om 329 av de 350 pjäserna i urvalet fungerade tillfredsställande.
a p 0.035, 0.085 b p 0.030, 0.090
c p 0.027, 0.093 d p 0.025, 0.095 e Inget av a till d.
16. Hur många fyrverkerier måste man prova om man vill ha en felmarginal på högst 2% i intervallet ovan? Antag att 0 < p < 0.1.
a 865 b 1498 c 542 d 939 e Inget av a till d.
17̅18. En marinbiolog undersöker salthalten i Laholmsbukten i Kattegatt. Antag att varje mätning, som görs på olika ställen i Laholmsbukten, är normalfördelad med väntevärde Μ och känd standardavvikelse, Σ = 0.008. Tidigare mätningar har visat att salthalten är Μ = 0.03 och man vill nu testa om salthalten är den samma eller om den har ökat. Antag att man tänker göra n = 50 mätningar.
17. Om man ska pröva H0:Μ 0.03 mot H1:Μ 0.03 på 1% signifikansnivå vilket är det minsta värdet på x som H0 förkastas.
a förkasta H0om x 0.0327 b förkasta H0om x 0.0322
c förkasta H0om x 0.0327 d förkasta H0om x 0.0322 e Inget av a till d.
2
18. Hur stort stickprov behövs om styrkan för testet ovan ska bli 0.90 för Μ = 0.033?
a n 73 b n 8 c n 93 d n 108 e Inget av a till d.
19. En person, som påstod att han kunde finna vatten med en slagruta, prövades på följande sätt. Han fördes in i en lokal där det fanns 10 täckta behållare på stort avstånd från varandra och fick veta att 5 st innehöll vatten och 5 var tomma. Han identifierade 4 st av de vattenfyllda behållarna rätt och en fel. Pröva hypotesen, signifikansnivå 5%, att slagrutan var värdelös, dvs att han gissade.
Använd direktmetoden och ange p-värdet explicit.
a p–värde 7.92 H0 kan förkastas. b p–värde 9.92 H0kan förkastas.
c p–värde 10.3 H0 kan inte förkastas. d p–värde 12.3 H0kan förkastas. e Inget av a till d.
20. En läkemedelstillverkare använder ibland en viss läkemedelsfärg och man vill veta hur färgen påverkar utseendet hos framställda läkemedlet. Ur tillverkningen tar man därför på måfå tio förpackningar och mäter grumligheten (i någon lämplig enhet) i innehållet efter en tids lagring. Resultat:
4.25 4.21 4.47 4.11 3.95 4.35 4.32 4.45 3.80 4.39
Utan färgtillsats brukar den genomsnittliga grumligheten Μ 4.00. Materialet anses vara ett slumpmässigt stickprov från N Μ,Σ. Hur klarar sig läkemedel med färgtillsats i förhållande till läkemedel utan tillsats? Besvara frågan genom att beräkna och tolka ett konfidensintervall för Μ med konfidensgrad 95%. Beräkningshjälp: Μ x 4.229 ochΣ s 0.2191.
a Grumligheten ökar dåΜ 4.07, 4.39 b Grumligheten ökar inte dåΜ 3.89, 4.57
c Grumligheten ökar inte dåΜ 4.10, 4.36 d Grumligheten ökar dåΜ 4.10, 4.36 e Inget av a till d.
3
