KVADRATISKA FORMER
Definition 1. ( av en kvadratisk form) En kvadratisk form är ett uttryck av typ
� � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥𝑖𝑖𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
Några exempel på kvadratiska former:
𝑄𝑄1 = 4𝑥𝑥12+ 5𝑥𝑥1𝑥𝑥2+ 8𝑥𝑥1𝑥𝑥3+ 9𝑥𝑥22+ 12𝑥𝑥2𝑥𝑥3+ 7𝑥𝑥32 𝑄𝑄2 = 𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
𝑄𝑄3 = 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2
𝑄𝑄4 = 𝑥𝑥2+ 5𝑥𝑥2+ 6𝑧𝑧2+ 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥𝑧𝑧 + 8𝑥𝑥𝑧𝑧
MATRISBESKRIVNING AV KVADRATISKA FORMER En kvadratisk form 𝑄𝑄(𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) kan beskrivas på följande sätt
𝑸𝑸 = 𝑿𝑿𝑇𝑇𝑨𝑨𝑿𝑿 där
𝑿𝑿 = � 𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥⋮𝑛𝑛
� och A är en symetrisk matris.
i) Låt 𝑄𝑄 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2+ 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑥𝑥2. Vi bildar A på följande sätt
𝐴𝐴 = � 𝑎𝑎 𝑏𝑏/2 𝑏𝑏/2 𝑐𝑐 �.
Då gäller
𝑄𝑄 = [𝑥𝑥 𝑥𝑥] � 𝑎𝑎 𝑏𝑏/2 𝑏𝑏/2 𝑐𝑐 � �𝑥𝑥
𝑥𝑥� ( 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠ä𝑘𝑘𝑙𝑙!).
ii) Låt 𝑄𝑄 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2+ 𝑏𝑏𝑥𝑥2+ 𝑐𝑐𝑧𝑧2+ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑧𝑧 + 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑧𝑧.
Vi bildar A på följande sätt
A=� 𝑎𝑎 𝑑𝑑/2 𝑘𝑘/2 𝑑𝑑/2 𝑏𝑏 𝑓𝑓/2 𝑘𝑘/2 𝑓𝑓/2 𝑐𝑐 �
( Vi delar med 2 koefficienterna för blandade termer och skriver de symmetriskt i A)
Sida 1 av 10
Då gäller
Q=[𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑧𝑧] � 𝑎𝑎 𝑑𝑑/2 𝑘𝑘/2 𝑑𝑑/2 𝑏𝑏 𝑓𝑓/2 𝑘𝑘/2 𝑓𝑓/2 𝑐𝑐 � �𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑧𝑧�
Anmärkning:
Ibland använder vi beteckningen Q=xTAx där
= xn
x x
x
2
1
.
Uppgift1. Skriv på formen 𝑄𝑄 = 𝑋𝑋𝑇𝑇𝐴𝐴𝑋𝑋 följande kvadratiska former a) 𝑄𝑄1 = 7𝑥𝑥2+ 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2
b) 𝑄𝑄2 = 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 c) 𝑄𝑄1 = 5𝑥𝑥𝑥𝑥
d) 𝑄𝑄4 = 𝑥𝑥2+ 5𝑥𝑥2 + 6𝑧𝑧2+ 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥𝑧𝑧 + 8𝑥𝑥𝑧𝑧 e) 𝑄𝑄5 = 3𝑥𝑥2+ 5𝑥𝑥2 + 8𝑧𝑧2
Svar a)
𝑄𝑄1 = [x,y] � 7 5/2 5/2 3 � �𝑥𝑥
𝑥𝑥�
b) 𝑄𝑄2 = [x,y] �0 33 1� � 𝑥𝑥𝑥𝑥�
c) 𝑄𝑄3 = [x,y] � 0 5/2 5/2 0 � �𝑥𝑥
𝑥𝑥�
d) 𝑄𝑄4 = [𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑧𝑧] � 1 1 3/2
1 5 4
3/2 4 6 � �𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑧𝑧�
d) 𝑄𝑄5 = [𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑧𝑧] �3 0 0 0 5 0 0 0 8� �𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑧𝑧�
DIAGONALISERING AV KVADRATISKA FORMER
Låt Q vara en kvadratisk form och A tillhörande symmetriska matris;
𝑸𝑸 = 𝑿𝑿𝑇𝑇𝑨𝑨𝑿𝑿 (∗)
Den symmetriska matrisen A kan vi ortogonal diagonalisera. Låt P vara den ortogonala matrisen (som består av matrisens ortonormerade egenvektorer ) som diagonaliserar A.
Då gäller
𝑨𝑨 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷−𝟏𝟏
Eftersom P är en ortogonal matris gäller det 𝑷𝑷−𝟏𝟏= 𝑷𝑷𝑻𝑻 och därför 𝑨𝑨 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑻𝑻 (∗∗)
Om vi samtidigt betraktar basbyte från standardbasen till basen som består av de ortonormerade egenvektorer (kolonner i P) då har vi följande samband
Sida 2 av 10
𝑿𝑿 = 𝑷𝑷𝑷𝑷 (∗∗∗) mellan gamla koordinater 𝑿𝑿 = �
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥⋮𝑛𝑛
� och nya koordinater 𝑷𝑷 = � 𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥⋮𝑛𝑛
�.
Om vi nu substituerar (**) och (***) i (*) får vi
𝑸𝑸 = (𝑷𝑷𝑷𝑷)𝑇𝑇𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑻𝑻(𝑷𝑷𝑷𝑷) ⇒
𝑸𝑸 = 𝑷𝑷𝑇𝑇𝑷𝑷𝑻𝑻𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑻𝑻𝑷𝑷𝑷𝑷 ⇒ ( 𝑘𝑘𝑓𝑓𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑠𝑠𝑘𝑘𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑇𝑇𝑃𝑃 = 𝐼𝐼) 𝑸𝑸 = 𝑷𝑷𝑇𝑇𝑷𝑷𝑷𝑷 ,
Q=[𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ⋯ 𝑥𝑥𝑛𝑛] �
𝜆𝜆1 0 ⋯ 0
0 𝜆𝜆2 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 𝜆𝜆𝑛𝑛
� � 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥⋮𝑛𝑛
�
eller
𝑄𝑄 = 𝜆𝜆1𝑥𝑥12+ 𝜆𝜆2𝑥𝑥22+ ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛2 (∗∗∗∗) Anmärkning: 𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2, … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 är egenvärden till matrisen A.
Alltså, med hjälp av substitutionen 𝑿𝑿 = 𝑷𝑷𝑷𝑷 och nya variabler 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, … 𝑥𝑥𝑛𝑛 har vi skrivit om Q så att blandade termer har försvunnit och endast rena kvadratiska termer kan finnas kvar i uttrycket. När Q skrivs som i (****), säger vi att vi har diagonaliserat den kvadratiska formen Q genom substitutionen 𝑋𝑋 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.
Uppgift 2. Vi betraktar kvadratiska formen 𝑄𝑄 = 2𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 . a) Bestäm den tillhörande symmetriska matrisen A
b) Diagonalisera Q ( dvs ange Q på formen (****))
c) Ange också den ortogonala matrisen P som diagonaliserar Q.
d) Ange sambandet mellan nya och gamla variabler.
Lösning
a) Den kvadratiska formen Q representeras av den symmetriska matrisen 𝐴𝐴 = �2 33 2�.
b) För att diagonalisera formen måste vi bestämma egenvärden till A.
𝑑𝑑𝑘𝑘𝑘𝑘(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝐼𝐼) = 0 ⇒ �(2 − 𝜆𝜆) 3
3 (2 − 𝜆𝜆)� = 0 ⇒ (2 − 𝜆𝜆)2 − 9 = 0 ⇒ (2 − 𝜆𝜆)2 = 9 ⇒ 2 − 𝜆𝜆 = ±3 𝜆𝜆1 = 5 och 𝜆𝜆2 = −1
Om vi betecknar nya koordinater med u och v då kan vi skriva Q på följande diagonaliserade form ( med variablerna u och v) :
𝑄𝑄 = 5𝑢𝑢2− 𝑙𝑙2
Sida 3 av 10
c) För att bestämma P måste vi bestämma en bas med ORTONORMERADE egenvektorer till A :
𝑙𝑙⃗1 = �11� 𝑘𝑘𝑐𝑐ℎ 𝑙𝑙⃗2 = �−11 �
Vektorerna är uppenbart ortogonala, 𝑙𝑙⃗1∙ 𝑙𝑙⃗2 = 0. Kvarstår att ”normera” 𝑙𝑙⃗1 och 𝑙𝑙⃗2 dvs.
dela varje vektor med dess längd . Alltså vi normerar vektorer och bildar P
𝑢𝑢�⃗1 = 1
|𝑙𝑙⃗1| 𝑙𝑙⃗1 = �1/√2
1/√2� 𝑘𝑘𝑐𝑐ℎ 𝑢𝑢�⃗2 = 1
|𝑙𝑙⃗2| 𝑙𝑙⃗2 = �−1/√2 1/√2 � Därmed är
𝑃𝑃 = �1/√2 −1/√2 1/√2 1/√2 � d) Sambandet mellan nya och gamla variabler är därför 𝑋𝑋 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 ⇒ �𝑥𝑥
𝑥𝑥� = �1/√2 −1/√2 1/√2 1/√2 � �𝑢𝑢𝑙𝑙�
eller
𝑥𝑥 = 1
√2𝑢𝑢 − 1
√2𝑙𝑙 𝑥𝑥 = 1
√2𝑢𝑢 + 1
√2𝑙𝑙.
VÄRDEMÄNGDEN TILL EN KVADRATISK FORM
Sats 1 ( om värdemängden till Q)
Låt 𝑸𝑸(𝑿𝑿) = 𝑿𝑿𝑻𝑻𝑨𝑨𝑿𝑿, där A är symetrisk , 𝑿𝑿 = � 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥⋮𝑛𝑛
� och låt 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 och 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 vara minsta respektive största egenvärdet till A.
Då gäller
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛|𝑿𝑿|2 ≤ 𝑸𝑸(𝑿𝑿) ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚|𝑿𝑿|2
{ eller 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛( 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛2) ≤ 𝑸𝑸(𝑿𝑿) ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚( 𝑥𝑥12+ 𝑥𝑥22+ ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛2) }.
Bevis:
Om vi diagonaliserar formen Q med hjälp av en ortogonal matris P och variabelsubstitutionen 𝑿𝑿 = 𝑷𝑷𝑷𝑷 då får vi
𝑸𝑸(𝑿𝑿) = 𝑸𝑸(𝑷𝑷𝑷𝑷) = 𝜆𝜆1𝑥𝑥12 + 𝜆𝜆2𝑥𝑥22 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛2 Härav, eftersom 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ≤ 𝜆𝜆𝑘𝑘≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 , får vi
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22+ ⋯ 𝑥𝑥𝑛𝑛2) ≤ 𝜆𝜆1𝑥𝑥12 + 𝜆𝜆2𝑥𝑥22 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛2 ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑥𝑥12+ 𝑥𝑥22+ ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛2) dvs.
Sida 4 av 10
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛|𝑷𝑷|2 ≤ 𝑸𝑸(𝑿𝑿) ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚|𝑷𝑷|2.
Eftersom P är en ortogonalmatris och 𝑿𝑿 = 𝑷𝑷𝑷𝑷 , har vi |𝑿𝑿| = |𝑷𝑷𝑷𝑷| = |𝑷𝑷| och därför 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛|𝑿𝑿|2 ≤ 𝑸𝑸(𝑿𝑿) ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚|𝑿𝑿|2
𝑉𝑉. 𝑆𝑆. 𝐵𝐵.
Uppgift 3. Bestäm maximum och minimum av Q(x,y) = 2𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 om 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 satisfierar villkoret 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 = 8 .
Lösning:
Den tillhörande symetriska matrisen 𝐴𝐴 = �2 33 2� har egenvärden 𝜆𝜆1 = 5 och 𝜆𝜆2 = −1.
Enligt föregående sats gäller
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛|𝑿𝑿|2 ≤ 𝑸𝑸 ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚|𝑿𝑿|2 dvs.
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥2) ≤ 𝑸𝑸 ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥2) och, eftersom 𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥2 = 8, 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛= −1 , 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 5,
−8 ≤ 𝑸𝑸 ≤ 40 . Svar: Qmin =−8 , Qmax =40
Uppgift 4. Bestäm maximum och minimum av 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑥𝑥, 𝑧𝑧) = −𝑥𝑥2+ 4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2
då 𝑥𝑥, 𝑥𝑥, 𝑧𝑧, satisfierar
𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥2+ 𝑧𝑧2 = 2 ( villkor 1) . Lösning:
Den tillhörande symetriska matrisen är 𝐴𝐴 = �−1 2 0
2 0 −2
0 −2 1�
som har egenvärden 𝜆𝜆1 = −3 och 𝜆𝜆2 = 0 och 𝜆𝜆3 = 3 ( kontrollera själv).
Därför 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛= −3 , 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3.
Enligt ( villkor 1) har vi |𝑿𝑿|2= 𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥2 + 𝑧𝑧2 = 2 . Enligt föregående sats
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛|𝑿𝑿|2 ≤ 𝑸𝑸 ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚|𝑿𝑿|2
Sida 5 av 10
och därmed
−6 ≤ 𝑸𝑸 ≤ 6
Med andra ord Qmin =−6 , Qmax =6 Svar: Qmin =−6 , Qmax =6
POSITIVT/ NEGATIVT DEFINIT KVADRATISK FORM Definition 2. En kvadratisk form Q är
a) positivt definit om Q(X)≥0 för allaX och om Q(X)=0endast för 0
= X
b) positivt semidefinit om Q(X)≥0 för alla X och om det finns någon 0
≠
X för vilken 0
) (X = Q
c) negativt definit om Q(X)≤0 för allaX och om Q(X)=0endast för 0
= X
d) negativt semidefinit om Q(X)≤0 för alla X och om det finns någon 0
≠
X för vilken 0
) (X = Q
e) indefinit om Q( X)antar såväl positiva som negativa värden.
Ett enkelt sätt att bestämma typ av en kvadratisk form Q är kvadratkomplettering.
Uppgift 5. Bestäm typ av följande kvadratiska former:
a) Q(x,y)=x2−4xy+7y2 b) Q(x,y,z)=x2−2xy+y2+z2 c) Q= x2−4xy+2y2 d) Q(x,y)=−x2+4xy−9y2
Lösning:
a) Vi kvadrat kompletterar Q(X)=Q(x,y)= x2−4xy+7y2 =(x−2y)2 +3y2. Det är uppenbart att Q(x,y)≥0 för alla (x,y).
Vi undersöker för vilka (x,y) är Q=0:
2
2 3
) 2
(x− y + y =0 endast om både (x− y2 )2 =0 och 3y2 =0.
{(x− y2 )2 =0 och 3y2 =0 }⇒ { x=2y och y=0}⇒ {x=0och y=0}.
Alltså Q(X)≥0 för allaX och Q(X)=0endast för X =0. Enligt definitionen är Q(x,y) positivt definit
b) Q(X)=Q(x,y,z)=x2 −2xy+y2+z2 =(x−y)2+z2. Vi ser att Q(x,y,z)≥0 för alla (x,y,z).
Sida 6 av 10
Vi undersöker för vilka (x,y,z) är Q=0:
Q=0 om (x− y)2 =0och + z2 =0 dvs om x= y och z=0.
Exempelvis är Q(1,1,0)=0 trots att (1,1,0) inte är nollvektor.
Alltså Q(X)≥0 för allaX och det finns det finns någon X ≠0 (t ex X =(1,1,0)) för vilken 0
) (X =
Q .
Enligt definitionen är Q(x,y,z) positivt semidefinit.
Svar: a) positivt definit b) positivt semidefinit d) indefinit e) negativt definitA
Ett annat sätt att bestämma typ av en kvadratisk form är med hjälp av följande sats. Enligt sats 1 gäller
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛|𝑿𝑿|2 ≤ 𝑸𝑸 ≤ 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚|𝑿𝑿|2 där
𝑸𝑸(𝑿𝑿) = 𝑸𝑸(𝑷𝑷𝑷𝑷) = 𝜆𝜆1𝑥𝑥12 + 𝜆𝜆2𝑥𝑥22 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛2 Härav följer nedanstående sats:
Sats 2. Ett kvadratisk form Q(X)= XTAX , där A är en symmetrisk matris, är a) positivt definit om och endast om λmin >0 (dvs. alla egenvärden till A är positiva) b) positivt semidefinit om och endast om λmin =0
c) negativt definit om och endast om λmax <0 (dvs. alla egenvärden till A är negativa) d) negativt semidefinit om och endast om λmax =0
e) indefinit om och endast om matrisen A har både positiva och negativa egenvärden.
Uppgift 6. Bestäm typ av följande kvadratiska form
a) Q(x,y)=6x2−4xy+9y2 b) 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑥𝑥, 𝑧𝑧) = −𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2 . Lösning:
a) Den tillhörande symetriska matrisen är
−
= −
9 2
2 A 6
som har egenvärden 𝜆𝜆1 = 5 och 𝜆𝜆2 = 10 ( kontrollera själv).
Kvadratiska formen är positivt definit eftersom λmin >0 (dvs. alla egenvärden till A är positiva).
b) Den tillhörande symetriska matrisen är
Sida 7 av 10
𝐴𝐴 = �−1 2 0
2 0 −2
0 −2 1�
som har egenvärden 𝜆𝜆1 = −3 och 𝜆𝜆2 = 0 och 𝜆𝜆3 = 3 ( kontrollera själv).
Kvadratiska formen är indefinit eftersom matrisen A har både positiva och negativa egenvärden.
Svar: a) positivt definit b) indefinit
Uppgift 7. (Uppgift 3. tentamen 17 mars 2016)
Den kvadratiska formen Q på R2 ges av Q(x)=x12+x1x2+x22 . a) Ange den symmetriska matris A som uppfyller Q(x =) xTAx.
b) Avgör om Q är positivt definit, negativt definit, positivt semidefinit, negativt semidefinit eller indefinit.
Lösning:
a) Den kvadratiska formen Q(x)=x12+x1x2+x22
kan skrivas som xTAx med den symmetriska matrisen
=
1 2 / 1
2 / 1
A 1 .
Egenvärdena till matrisen A är nollställen av 4 ) 1 1 ) ( 1 ( 2 / 1
2 / 1 ) 1 ) (
det( = − 2 −
−
= −
− λ
λ λI λ
A
Från .
2 1 1 4
) 1 1 4 (
) 1 1 ( 4 0
) 1 1
( −λ 2 − = ⇒ −λ 2 = ⇒ λ− 2 = ⇒λ− =±
Detta ger egenvärden 1/2 och 3/2. Då alla egenvärdena är positiva, har vi att den kvadratiska formen är positivt definit.
Svar: a)
=
1 2 / 1
2 / 1
A 1 b) positivt definit
Uppgift 8. (Uppgift 8. tentamen 13 jan 2016) Låt A vara en symmetrisk och inverterbar matris.
a) Bevisa att inversen A−1 också ar en symmetrisk matris.
b) Bevisa att xTAx
ar en positivt definit kvadratisk form om och endast om xTA−1x ar en positivt definit kvadratisk form.
Lösning:
a) Beviset är enkelt om vi använder räknelagen för transponering av en inversmatris
1
1) ( )
(A− T = AT − (*):
Med hjälp av * har vi
2 1 1 1
1) ( )
(A− T = AT − = A− dvs A−1 ar en symmetrisk matris.
Sida 8 av 10
Anmärkning: Likheten
= gäller enligt (*) och 1 = gäller eftersom , enligt antagande, 2
=A AT .
Vi kan även enkelt bevisa räknelagen (*)genom att transponera sambandet AA−1=I:
Vi har
I A A
I AA
AA
T T
T T
=
⇓
=
⇓
−
−
−
) (
ukt) matrisprod av
onering för transp
regeln enligt (
) ( ) (
1 1
1
Därmed är AT inverterbar och (AT)−1=(A−1)T , dvs (*) är bevisad.
b) Enligt en sats om positivt definita matriser gäller: En kvadratisk form xTAx
ar positivt definit om och endast om alla egenvärden till A är positiva. Vi vet att λk är ett egenvärde till A om och endast om
λk
1 är ett egenvärde till A-1 . Eftersom λk och λk
1 har samma tecken har vi följande resonemang:
(xTAx
ar en positivt definit kvadratisk form)
(alla egenvärden till A är positiva)
(alla egenvärden till A-1 är positiva)
x A xT −1
ar en positivt definit kvadratisk form. (VSB)
Anmärkning: Vi kan enkelt bevisa påståendet : λk är ett egenvärde till en inverterbar matris A om och endast om
λk
1 är ett egenvärde till A-1 .
Anta att λk är ett egenvärde till A med motsvarand egenvektor v
. Då gäller v
v
A=λk (multiplicera med A-1)
v A
v=λk −1 (dela medλk. Notera att λk ≠0eftersom A är inverterbar )
v v A
k
λ
1 = 1
− V.S.B.
Med andra ord: λk är ett egenvärde till en inverterbar matris A om och endast om λk
1 är ett egenvärde till A-1 .
Sida 9 av 10
Uppgift 9. (Upp 5. koncepttentamen. )
Låt A vara en (n × n)-matris och Q(x) = x T (ATA)x den kvadratiska formen definierad av den symmetriska matrisen ATA.
(a) Visa att Q är positivt semidefinit oavsett valet av A. (3 p) (b) Visa eller vederlägg: Om A ar inverterbar så är Q positivt definit. (3 p) Lösning:
a) Vi ska bevisa att Q(x)≥0för alla x.
Notera att x=
xn
x
1
är en n-dimensionell vektor.
Vi har
0 )
(x =xT(ATA)x=1(xTAT)(Ax)=2(Ax)T(Ax)=3(Ax)⋅(Ax)=|(Ax)|2≥
Q för alla x, V.S.B
Förklaring:
= gäller enligt associativa lagen för matrismultiplikation 1
= gäller enligt regler för transponering av en produkt : (MN)2 T=NTMT
= gäller eftersom skalerprodukt av två kolonn vektorer v3 u⋅ kan skrivas som matrisprodukten uTv och omvänt. Notera också att Axär en kolonnvektor. Därför
(Ax) (Ax) (Ax)
(Ax)T = ⋅ .
b) Anta att A är inverterbar. Från a delen har vi att Q(x)=|(Ax)|2≥0 för alla x. (Med andra ord är Q positivt semidefinit. ) Från Q(x)=|(Ax)|2 ser vi att Q(x)=0om och endast om
=0 Ax .
Men Ax=0⇔A−1Ax=A−10⇔x=0
Alltså Q(x)≥0och Q(x)=0 endast om x=0. Detta betyder att Q(x) är positiv definit ( dvs.
om A är inverterbar så är Q(x)=xT(ATA)x positivt definit.
Sida 10 av 10
