Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 Kvadratiska system. Cramers regel
1
KVADRATISKA LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM.
CRAMERS REGEL
KVADRATISKA LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM.
Ett system med lika många ekvationer som obekanta kallas kvadratiskt.
n n nn n
n
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
...
(1)
Systemet har precis en lösning om och endast om systemets determinant är skild från 0, dvs
0 ...
...
...
...
...
...
...
) det(
2 1
2 22
21
1 12
11
≠
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
A .
(2) Om det(A) = 0 då har systemet antingen ingen lösning eller oändligt många lösningar, som vi kan undersöka med Gaussmetoden.
det(A)≠0 precis en lösning
det(A)=0 antingen oändligt många lösningar eller ingen lösning
Exempel 1.
För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z)
= +
= +
−
= + +
4 3
1 3
7
z x
z y a x
z y a ax
A) en entydig lösning B) oändligt många lösningar C) ingen lösning
Lösning:
Systemets determinant är det(A)=3a−a2. 3a−a2 =0⇒ a =0 eller a=3 Vi undersöker systemet för a=0 och a=3 För a=0 får vi systemet
= +
= +
=
4 3
1 3
7
z x
z x
z
⇒ (t ex Gaussmetoden )
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 2 Kvadratiska system. Cramers regel
2
−
=
−
=
=
3 0
6 3
7 x
z
. Systemet saknar lösning
För a=3 får vi systemet
= +
= +
−
= + +
4 3
1 3
3
7 3
3
z x
z y x
z y x
~
−
=
−
−
=
−
= + +
3 3
6 6
7 3
3
y y
z y x
~
=
=
= + +
0 0
1 7 3
3 y
z y x
Vi har två ledande variabler x och y. Variabeln z varierar fritt och därför har systemet oändligt många lösningar. Vi kan införa beteckning, z=t och skriva lösningen på följande form:
x = (4-t)/3, y =1, z=t Svar a)
A) En entydig lösning om a ≠0 och a ≠3 B) Oändligt många lösningar om a=3 C) Ingen lösning om a=0
Exempel 2.
För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z)
= + +
= +
−
= + +
4 2 3
1 3
3
z y x
z y a x
z y ax
A) en entydig lösning B) oändligt många lösningar C) ingen lösning
Lösning:
Systemets determinant är D=2a−2a2.
⇒
=
−2 0
2a a2 a=0 eller a=1 Vi undersöker systemet för a=0 och a=1 För a=0 får vi systemet
= + +
= +
= +
4 2 3
1 3
3
z y x
z x
z y
⇒ (t ex Gaussmetoden med y som ledande variabel )
= +
= +
= +
1 3
1 3
3
z x
z x
z y
.
⇒
=
= +
= +
0 0
1 3
3 x z
z y
Systemet har oändligt många lösningar om a=0.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 3 Kvadratiska system. Cramers regel
3 För a=1 får vi systemet
= + +
= +
−
= + +
4 2 3
1 3
3
z y x
z y x
z y x
~
−
=
−
−
−
=
−
−
= + +
5 2
8 2
4
3
z y
z y
z y x
~
−
=
−
−
−
=
−
−
= + +
5 2
4 2
3
z y
z y
z y x
~
−
=
−
=
−
−
= + +
1 0
4 2
3 z
y z y x
( ingen lösning)
Alltså saknar systemet lösning om a=1 A) En entydig lösning om a ≠0 och a ≠1 B) Oändligt många lösningar om a=0 C) Ingen lösning om a=1
Exempel 3.
För vilka värden på a har ekvationssystemet
= +
−
=
− +
−
=
− +
−
1 1 3
1
z y x
z a y x
z a y a x
A) precis en lösning
B) oändligt många lösningar C) ingen lösning
Svar :
. 3 4 1
1 1
3 1
1 )
( =− 2 + −
−
−
−
−
= a a a
a a
A Det
) 1, 3 precis en lösning ,
) 1 eller 3 oändligt många lösningar
A a a
B a a
≠ ≠ ⇒
= = ⇒
(Fallet C kan inte förekomma.)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 4 Kvadratiska system. Cramers regel
4 CRAMERS REGEL
Cramers regel kan användas för att lösa ett kvadratiskt system endast om systemets determinant är skild från 0.
Betrakta systemet
n n nn n
n
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
...
Om D≠0 då gäller
, ,
, 2 2 3 3
1 1 D
x D D x D D
x = D = =
där
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a D
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
= ,
nn n
n
n n
a a
b
a a
b
a a
b D
...
...
...
...
...
...
...
2
2 22
2
1 12
1
1= ,
nn n
n
n n
a b
a
a b
a
a b
a D
...
...
...
...
...
...
...
1
2 2
21
1 1
11
2 = ,
nn n
n n
n n
a b
a a
a b
a a
a b
a a D
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
3 = , …
Exempel 4. Lös med Cramers regel följande systemet a)
= +
= +
7 2 3
4 2
y x
y
x b)
= +
= +
7 2
11 2
y x
y
x c)
= + +
= + +
= + +
7 2
9 2 2
6
z y x
z y x
z y x
Lösning:
a) 1 0
2 3
1
2 = ≠
D= ( OK med Cramers regel),
2 1 7
1 4
1 = =
D , 2 0
7 3
4 2
2 = = ≠
D
1 2 , 2
1 1
1 2
1 = = = = =
= D
y D D
x D
Svar: a) x=1, y=2, b) x=5, y=1, c) x=3, y=2, z=1
