Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 Inversa matriser
KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, ENHETSMATRISER OCH INVERSA MATRISER
KVADRATISKA MATRISER
Definition 1. En matris med n rader och n kolonner, kallas kvadratisk.
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
typ(A)= n × . n
Definition 2. Element i en kvadratisk matris med radindex=kolonnindex , a , 11 a ,…, 22 a , säges ligga på diagonalen. nn
En diagonalmatris är en kvadratisk matris där alla element utanför diagonalen är nollor.
Exempel 1. Några diagonalmatriser.
=
3 0
0
A 2 ,
−
=
5 0 0
0 2 0
0 0 3
B ,
=
9 0 0
0 0 0
0 0 3
C ,
=
4 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2 D
Definition 3. En enhetsmatris är en kvadratisk matris där alla diagonalelement är ettor och alla element utanför diagonalen är nollor.
En enhetsmatris betecknas ofta med I eller E.
Exempel 2. Några enhetsmatriser.
=
1 0
0 1
I2 ,
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I3 ,
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I4
INVERSA MATRISER
Definition 3. Låt A vara en kvadratisk matris av typ n × . Matrisen A är inverterbar om n det finns en kvadratisk matris B, av samma typ n × sådan att n
I BA AB= = , där I är enhetsmatrisen av typ n × . n
En sådan matris B kallas en invers matris till A . Den inversa matrisen betecknas med
1
A . −
Alltså om matrisen A har inversen A då gäller −1 I A A
AA−1 = −1 = och
( )
A−1 −1 = A.Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 2 Inversa matriser
Med det(A) betecknar vi den determinant som har samma element som matrisen A.
Sats om inverterbara matriser. En matris A är inverterbar om och endast om det(A) ≠ 0.
Exempel 3. Undersök om matrisen A är inverterbar
a)
=
3 1
1
A 2 b)
=
2 4
1
A 2 c)
=
2 3
1 A 2
d)
=
5 0 0
0 2 0
1 2 3
A e)
=
5 0 0
2 4 6
1 2 3
A f)
=
3 6 4
2 4 1
1 2 3 A
Svar: a) Matrisen är inverterbar eftersom det(A)=5 ≠ 0.
b) Matrisen är INTE inverterbar eftersom det(A)=0.
c) inverterbar (=reguljär) d) inverterbar e) Ej inverterbar (=singulär) f) Ej inverterbar
Beräkning av inversen för en
2 ×2matris.
Låt
=
d c
b
A a .
Matrisen är inverterbar om det(A)≠0 dvs ad −bc≠0. Inversen kan beräknas med följande formel:
−
= −
−
a c
b d
A A
) det(
1 1 .
Exempel 4.
Beräkna den inversa matrisen för nedanstående matriser.
a)
=
5 4
3
A 2 b)
=
2 1
3
B 3 c)
=−
2 1
4
C 3 d)
=
2 1
5 D 3
Svar:
a) 10 12 2
5 4
3 ) 2
det(A = = − =− ≠0, så är matrisen inverterbar.
−
= −
−
−
= −
−
1 2
2 / 3 2 / 5 2
4 3 5
) 2 (
1 1 A
b)
−
= −
−
= −
−
1 3 / 1
1 3
/ 2 3
1 3 2
3
1 1 B
c)
=−
−
−
−
= −
−
3 . 0 1 . 0
4 . 0 2 . 0 3
1 4 2
) 10 (
1 1 C
d)
−
= −
−
3 1
5 2
1
1 1 D
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 3 Inversa matriser
Beräkning av inversen för en
n ×nmatris.
Jacobis metod för matrisinvertering.
Låt A vara en inverterbar kvadratisk matris ( det A ≠ 0) av typ n × och I enhetsmatrisen n av samma typ.
Vi placerar enhetsmatrisen till höger om A och bildar en matris (A| I) av typ n 2× n
.
Med elementera rad operationer ombildar vi (A| I) till (I |A).
i) Om (A| I) ~(I | B), så är A-1= B .
ii) Om matrisen inte är inverterbar så är det omöjligt att ombilda (A| I) till (I |A) ).
I ett sådant fall får vi ( med hjälp av elementära radoperationer) en nollrad i första halvan som visar att det(A)=0 dvs att matrisen INTE är inverterbar.
Exempel 5.
Beräkna den inversa matrisen för nedanstående matriser.
a)
=
1 0 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
0 0 4 2
A b)
=
1 0 0
0 2 0
0 2 2
B
c)
=
1 0 1
0 2 0
0 2 1
C d)
1 2 3 1 3 4 3 7 10 D
=
Svar: a)
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
0 0 4 2 )
| (A I
(Vi delar rad 1 med 2 och rad 3 med 2 )
1 0 0 0
0 2 / 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2 / 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
~
Två elementera radoperationer: 1) r2*(-2)+r1 , 2) r4*(-1)+r31
−
−
1 0 0
0
1 2 / 1 0 0
0 0 1
0
0 0 2 2 / 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
~ =
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 4 Inversa matriser
Härav
−
−
− =
1 0 0 0
1 2 / 1 0 0
0 0 1 0
0 0 2 2 / 1
A 1 .
b)
−
− =
1 0 0
0 2 / 1 0
0 2 / 1 2 / 1
B 1
c)
−
−
− =
1 1 1
0 2 / 1 0
0 1 1
C 1
d) Ej inverterbar.
