Analys av rationella funktioner
Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter
Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.
Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.
Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).
Derivatan av en kvot
Övning 1 Använd definitionen av derivata för att beräkna derivatan av funktionen 1/x2.
Övning 2 Beräkna derivatan av följande funktioner
a) 1
xn b) 2x
2+1 (x+1)2
Övning 3 I exemplen i huvudtexten behöver vi följande funktioners derivator. Beräkna dem.
a) x
2
1−x3 b) x
3
x2−1 c) x
2−2|x| x−1 Övning 4 Betrakta funktionen
f(x) = 1 x(x−1). Beräkna dess derivata på följande fyra sätt:
a) Derivera funktionen som en kvot.
b) Skriv funktionen som en produkt och derivera den med hjälp av produktformeln.
c) Skriv funktionen som en skillnad mellan två rationella funk- tioner och derivera.
d) Derivera ekvationen f(x)x(x−1) =1.
Vilken metod skulle du använda om du ska avgöra i vilka intervall funktionen är växande? Vilken metod skulle du använda om du ska beräkna n:te-derivatan av funktionen?
Vertikala asymptoter
Övning 5 Bestäm de vertikala asymptoterna till funktionen
f(x) = 1
x−1+ 1 (x−2)2. Skissera hur grafen ser ut i närheten av dessa.
Nästa uppgift är mycket illustrativ för något som är viktigt i analysen.
Tänk igenom den noga!
Övning 6 Beräkna gränsvärdet lim
x→2
x−2 x2+x−6.
Om gränsvärden i oändligheten
Övning 7 Beräkna följande två gränsvärden (som är skrivna på ett kompakt sätt som borde vara lätt att genomskåda):
x→±lim∞
x2−10x+1 2x3+4x2+1.
Övning 8 Beräkna följande gränsvärde
xlim→∞
x2−10x+1 3x2+x .
Sneda asymptoter
Övning 9 Bestäm alla (vertikala och sneda) asymptoter till följande kurvor
a) y=2x+1
x b) y=1−x− 1
x2 c) y= 2x
3+2x 3x2−3
Grafritning av rationella funktioner
Övning 10 Rita grafen till följande funktioner i stora drag
a) 1 9
x3
x+2 b) x+1 x
Svar och anvisningar
Övning 1 Vi har att 1 x2− 1
a2 = 1
x2a2(a2−x2) = −x+a x2a2(x−a) så kvotfunktionen är
A(x) = −x+a x2a2 → −2a
a4 = −2
a3 då x→a.
Derivatan i punkten a är därför−2/a3
Övning 2 a) Vi ska derivera f(x) =1/g(x)då g(x) =xn. En- ligt formeln för derivation av en kvot är derivatan
f0(x) = −g
0(x) g(x)2 = −nx
n−1
x2n = −nx−n−1.
Notera att det är ett specialfall av den allmänna derivations- regeln(xα)0=αxα−1, nämligen då α= −n.
b) Vi får med derivationsformeln för en kvot att
(2x2+1)0(x+1)2− (2x2+1)((x+1)2)0 (x+1)4
= 4x(x+1)2− (2x2+1)2(x+1) (x+1)4 = 4x
2+4x− (4x2+2) (x+1)3
= 4x−2 (x+1)3
Ett uttryck som det i b) är ofta enklare att hantera genom att man ser det som en produkt istället:
(2x2+1) · 1
(x+1)2 = (2x2+1)(x+1)−2. Deriverar vi det som en produkt får vi
4x(x+1)−2+ (2x2+1)(−2)(x+1)−3.
Men sedan ska ju detta ställas på gemensam nämnare:
4x(x+1) −2(2x2+1)
(x+1)3 = 4x−2 (x+1)3.
Övning 3 a) 2x(1−(x13−)−xx22)2(−3x2)= (12x−+xx34)2,
b) 3x2((x2x2−−11)−)2x32x= (xx42−−3x2
1)2 c) När x>0 har vi derivatan
(2x−2)(x−1) − (x2−2x) (x−1)2 = x
2−2x+2 (x−1)2 medan vi för x<0 har derivatan
(2x+2)(x−1) − (x2+2x) (x−1)2 = x
2−2x−2 (x−1)2 .
Övning 4 a) D(1/(x2−x)) = −(2x−1)/(x2−x)2 b) D(1xx−11) = −x12x−11+1x(−(x−1
1)2) = −−(x2x(−x−1)−x
1)2
= −(2x−1)/(x2−x)2 c) D(x−11−1x) = −(x−1
1)2+x12 = xx22−((xx−−1)2
1)2
= −(2x−1)/(x2−x)2
d) Deriverar vi ekvationen får vi f0(x)(x2−x) +f(x)(2x−1) = 0 vilket är detsamma som f0(x) = −f(x)(2x−1)/(x2−x) =
−(2x−1)/(x2−x)2
För att avgöra över vilka intervall funktionen är växande behöver vi derivatan faktoriserad både i täljare och nämnare, men för att be- räkna en hög derivata torde den tredje metoden vara överlägsen.
N:tederivatan blir
f(n)(x) = (−1)n+1n!(x−1)−n−1+ (−1)nn!x−n−1.
Övning 5 Hela grafen är ritad nedan i en omgivning av asymptoter- na. Uppgiften är endast de delar som är närmast asymptoterna.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
−20 20 40
x y
Övning 6 Om vi stoppar in x=2 i den rationella funktionen får vi 0/0, vilket betyder att vi inte vet vad det är. Men det betyder också att x = 2 är ett nollställe till både täljare (självklart!) och nämnare. Om vi därför bryter ut faktorn(x−2)och förkortar, vad får vi då? Vi gör räkningen:
x−2
x2+x−6 = x−2
(x−2)(x+3) = 1 x+3.
Denna räkning är gjord under förutsättning att x6= −3, 2, men vi kan nu låta x→2 och få
limx→2
x−2
x2+x+6=lim
x→2
1 x+3 = 1
5.
Vad detta betyder är att vi kan definiera funktionen(x−2)/(x2+x+ 6)i punkten x=2 som 1/5 och då få en funktion som är kontinuerlig i x=2.
Övning 7 Vi börjar med att bryta ut den snabbast växande termen i täljare och nämnare:
x2−10x+1 2x3+4x2+1= x
2(1−10x +x12) x3(2+x42+x13)= 1
x·1−10x +x12 2+x42+x13.
Den andra faktorn här har gränsvärde 12++00++00=1/2 medan 1/x→0 då|x| →∞. Det följer att gränsvärdet är 0·12 =0.
Övning 8 Vi har att
xlim→∞
x2−10x+1 3x2+x = lim
x→∞
x2(1−10x +x12)
x2(3+1x) = 1−0+0 3+0 = 1
3.
Övning 9 a) Eftersom 1/x→0 då x→ ±∞, så ser vi direkt att vi har den sneda asymptoten y = 2x i båda oändligheterna (funktionen är f.ö. en rationell funktion, så det ska bara finnas en sned asymptot). Vertikal asymptot i x=0.
b) Samma argument visar att den sneda asymptoten är y=1−x och att x=0 är den enda vertikala asymptoten.
c) Vi börjar med en polynomdivision:
2x3+2x 3x2−3 = 1
3(2x+ 4x x2−1).
Från det ser vi att vi har den sneda asymptoten y = 2x/3.
Vidare har vi vertikala asymptoter i x= ±1.
Övning 10 a) En polynomdivision ger att funktionen är lika med
f(x) = 1
9(x2−2x+4− 8 x+2),
så vi ser att det inte finns någon sned asymptot (däremot när- mar sig grafen asymptotiskt kurvan y= 19(x2−2x+4)), men vi ser att f(x) →∞ då x→ ±∞. Vertikal asymptot i x= −2.
Funktionens derivata är
f0(x) = 2 9
x2(x+3 (x+2)2 som är noll då x=0 och x= −3. Teckentabellen
x : −3 −2 0
f0(x): − 0 + † + 0 +
f(x): & 3 % † % 0 %
Vi ser alltså att x= −3 är ett lokalt minimum och x= 0 en terrasspunkt. I grafen nedan är också kurvan y=x2−2x+4 inritad som en sträckad kurva.
−15 −10 −5 5 10
−20 20 40
x y
b) Här ser vi direkt att den sneda asymptoten är y=x och att vi har en vertikal asymptot i x=0. Derivatan är
f0(x) =1− 1 x2 som är noll då x= ±1. Teckentabell blir
x : −1 0 1
f0(x): + 0 − † − 0 + f(x): % −2 & † & 2 %
Vi ser att x= −1 är ett lokalt maximum medan x =2 är ett lokalt minimum.
−4 −2 2 4
−10
−5 5 10
x y
