INTERPOL ATIONF ASTRONOMICA,

1. A>

%

DISSERTATIO

GRADUALIS,

DE

INTERPOL ATIONF ASTRONOMICA,

Quam^,

EX CONSENSU ÄMPLISS. FAC. PHILOSOPH.

IN ACADEMIA UPSALENSI,

1'r.iside

BENEDICTO FERNER,

Mathes. PROFESS. Carolicor. Reg. et Ord.

Astron. PROFESS. Yic. Upsal.

Acad. Scient. Stockh. MEMBRO,

IN AUDIT. GUST. D. XV. MARTII

AN NI MDCCLVIII.

H. A.M S.

PUBLICE VENTILANDAM SJSTIT

ALUMNUS REGIUS

THORBERNUS BERGMAN,

V. GOTHUS,

ADScniPTUS SOC. SCIENT. UPSALENSI ET ACsIDENUjE STOLKHOLMENSL

VFSAL/E, Excud.L. M. HÖJER, Reg. Acad. Typogr.

X

a

MONSIEUR

LE BARON

VOLTER REINHOLD STACKELBERG,

COLONEL de Regiment de Cavallerie

de la Noblefle,

CHEVALIER & COMMANDEUR de

F Ordre

de TFpée-

I es

^moigner

hontes

^depuis

que Vous

^que

^avez

^{f ai}

Men F homieur dl voulu me

et

te-

re aupres de

Monfieur Votre

tres

eher fils,

ne

me permettent pas de

negliger

cette

occafion

pour

Vous en marquer une

fotbk mals fincere

recon- noiffance. C efi en prenmt

la liberte de Vous

prefmur ee petit ouvrage que

je Vous ßupp ^{lie de}

•régarder dl un oeilfavorable & comme une preuve

de la parfaite

foumijjion

& du pr

ofond refpect

évec lequel je fuis,

MONSIEUR,

Votre tresbumlte&ires oheijfantjerutern?

THORBERN BERGMAN.

/. M

J.

§. L

luamvis nodro tempore

adcura»

tiffimis Obfervatoria prasdita

fint indrumentis, multisque

prseterea modis pra&icaAdro-

nomia fublevata priorum fecu-

lorumomnem induftriamfupe-

ret, interim tarnen adhuc vel in maxime faventi-

bus circnmdantiis paucorurn fecundorum ^error vix, ac ne vix quidem evitari poted, qui etd in-

terdum parum noceat, interdum tamen enormia

generat vitia. Ut igitur Adronomi in exiguis quantitatibus dimetiendis occupati minuant, quan-

tum pofTunt, errorem, non immediate parvas hafce quantitates,

fed majores illas

continentes

obfervant , & ex Iiis datis intermedias quasvis

eruunt.

Sint _711, p admodum exigna in coelo fpa- tia, f^eorum fumma, e error in obfervando inevi-

A 2 tabilis,

❖ ; 4 ( ❖

tabilis, ti hxcce fpatiola immediatis

obfervationi-

bus innotefcerent, conftat, illa futura viPpPey tt*e, pPte frf^je —

m^etn+efplte,

fed Ii obfervatur

fpatium/illud invenietur ffpe*

In aprico igitar eft, ii ex

dato f

e

inveniri

pos- funt _{in, n} & _p valorem

cujusvis

a vero tantum

non aberraturum, quantum

PPPe valet,

nam

hic

error dividitur inter ?n> n & p, adeo ut errorum famma heic dt aequalis errori

cujusvis quantitatis

in priori cafu.

§. IL

Sint - - - p., ([} Ty

fy

ty TI - - "

- - " Cl_y by C^y (ly ^€y f ^"

duae talesferies quantitatumquarumcumque,utcui-

vis fuperioris feriei termino p

refpondeat quidam

a in inferiore, ex fuperiore certa quadam lege genitus. Termini p,p, r

&c.

^vocantur

radices

Sc _ay by c 8cc.functiones refpondentium radicum.

Inventio radicis datae fun&ioni & funftionis euivis datae radici refpondentis vocatur Interpola¬

tio, _quae aflronomica

audit,

ii

ad folvenda proble-

mata aftronomica adhibetur. Huic fcopo Sum-

mus Newtonus in Princ. math. phil. nat. libr. III.

lem. V. dedit methodum inveniendae curvae para- bolicae per quaevis data pun&a

tranfeuntis,

ubi ra.

dices pro abfciiiis & funftiones pro ordinatis

fu-

mit; fed Celeber. F. C. Majer in A£t. petr. tom.

II. p. »8o. viam Aftronomis longe aptiorem

in»

greffus eft, quam in

praefenti diflertatione brevF

ter explicare

ejusque adplicationem in folvendis

quX»

#>5(4

qroefHonibus aftronomicis oftendere animiis eft,

quod

facturus benignam C. L. mihi

expeto

cenfu-

ram.

§. III.

Ex di&is patet,

fummam difficuftatem do0xi-

nx interpolationis in eo confiftere ut inveftigetur

lex

generationis fun&ionum. Sit

x

radix

quse- vis; ^g-,

h, k,

^{- - -} fi quantitåtes

conftantes

ex fun&ionibus a, b, ^{c - - -} f derivandae* v nu¬

merus terminorum, & lex generalis fecim-

dum quam qusevis

fun&io

a

fua radice

generatur g t hx f kx2- ^{- - -} nxv " in eo cardo

refolu-

tionis vertitur, ut eruantur valöres coefficientium

g3 h ^--- n,

hifce

enim cognitis, cognita

quoque eil: lex generationis.

§- iv.

Ut determinentur merporati coefficientes (§.

III.) fupponamus primum paucos terminos in qua- libet ferie.

I;o fint p, q radices

a.} b fun&iones

& erit (§. III.) lex generationis g-f hx. Cum jam x indigitet quamvis radicem, ponamus pri-

mo x Hp eritqueg t hp ~ a, & deinde ^x~ q,

undtgfhq~ b. Ex hifce

duabus

sequationibus faci-

r - __ aci —

bp

^__

b

— a ^.

le eruitur g ——— & b ^, unde

Ü — P q — p

t •• , , ctq —

bp

b ^— a

lex generationis g f hx f x

q p q p

A3 ^_ a

o—

b)

X

« ) 6 ( -f ^_ r

❖

q—p

II:o Sint p3 q, r rad.

aj b, c £un£t.

eruuntur eodem modo valöres

fequentes

'

_aq—bp,

a

(r—q)--l< (r—p)fc(q—p)

g— rr—n—ttt:—rm—r< PI

h~

1 -

g f

b

p't

(p-q)(r—p)(

a jr—q) —b (r—pj 'Ic

(q—p)

(p ^—q)

(r

^—p)

(tf

—p)

ü

.J.

(r ^— j)—b(r~P) fc (g—

Pi

q—P (r ^—q)

(r

^—p)

(q—p)

b i (•i(r^—

q)—P(r—p)\c(q-p) (r—q)(r—p)(q—p)

a

(r—q)—b(r—p)-\c (q—p) (r—q)(r—p)(q—p)

){-<?- -P) -P)

& lex generationis

f hx

f

kx*

c falx

-]Lb~

_q-p

} ^{a ( r—q}

b

(r—p

^{(x—P)(x— q)}

{ \ a (r

L —

■\ c (q—p)i

)(r—tf) (<1-P(

^\ t

(^

P

^) )

^t'

v) —

[

^{f c}

(q—p)\(q-p)(r—p)(r—q)

III:o Sint p, q, r, s rad.

b, c, d funO:.

Cl

ent

.# ) 7 ( &

,rf

a(r—q)

erit _gÅ ^~_- Sé ^-

J7b(.r~P) (*-?)■(/-p)

] f c(q~p)(s—q\ls— p)t

l—

d(q—p)(r—p)(q—p}}

Plr

(q-p)(r-p){s-p)(r-q){s-r)

(s-q)

'

f a (r—q) (s—r)(s

£^— i

j —b{r—p){s—r) (i—p

'[ f r(..4_—p)(s^—

q)(s—

p)f

{—ä(r~q)(r—p)Cq—p i&iprfqr

(V—p)ir—p)(s—p)(r—q)(s—r)(s—

'

f

a(r—q)(s>~r)(s—q)~

—b(r—p}(s—r) C$~-py f

c{q-p)(s—q)(s—p)

— d(r— q)— (—

—j> _{—ff —r}

(q—p)(r—~PHs—p)(r—q)(ks—r)

^(s—q)

f f a(r—q)(s—r)(s—q

j

^—

b (r—p) (s—r ) ( —p~)

•j f l—d(r~q){r—p){q-. c(q—pj(s—q)(s— q)

X

k

X

/

X

(q—p)(r—p)(s—p)(r~-q) (s—r)

(s—

q)

ii // / f

& g \ hx

\ kx2 f /x3

ZZ

L

•k—y

——x

isu

— ibs

— sjib—dbi—

'(f—i) (b—s)

(b—a)(i—s) (i—x)

(i—b) 5 4'

(s—i) (b—i)(b—a)

(i—f) (i—a)

(i—b) p—

(s—i) (b—i)

(b—s) (i—f)

(i—s) (i—i)

o

£}

4 _et q

(s—i) (a—f)

(a—s) (i—f) (i—s)

(i—a) q—

is—f) (a—f)

(a—s) (b—i)

(b—s) (b—a)

v\A

(

S-f)(A~i)(A~s)(b~i)(b-s)(b--a)(i-l)(irS)(i-A)( i-b)

sabi

x

Xs—i)(b—s) (b—a)

(i—s) (i—a) (i—b)

9

^7

(s—f)(b—i) (b—a)

(i—f) (i—a)

(i—b) p—\

(s—i) (b—t)(b—s)

(i—i)(i—s)(i—b) o 4

(s—i) (1—1)

(i—s) (i—i)

(i—s) ( i—a) q—

(s—f) (1—1)

(t—s) (b—i) (b—s)

(b—a) 2g

•^nnj 9 'p 'o 4q 'v

•psj f 's 'a 'b 'i o.*ax ras

1

= ft

(a-s) (b-s)

(b-a) (i- s ) ( i- a) (i-b)

(a

— x) (b

— x)(i—x)

(b-A)(i—A)(i—b)p

—

(b—s)(i—s)(i

— b)f I

( a

— s){i—s)(i—a)

q—

(

a—s)(b

— s)(b—a)v

^

# ) 8 (

❖

x

# ) # V(

rf«

(r—(J-—^ ft—q)

(((t—sh

—b

(r—p)

(s—p) (t—p) r)(t—r) (ts) k—k

f( f c(q—p)(s—p)(t—p)(s—q)(t—

\—d(q—p)

{r—p) Ci—p)

(r—q) (t—q)(tt—s)

Lf

e (q—p)( r—p)(tr—p) (r—q)(.r—q)(

J

rs f ps f qs -j* rp fpq -{• rq

(q-p)(r-p)(s-pj{t-p)(r-q)(s-q){t-qj(s-r)(t-r)(t-s)

rf a(ir—q) Cr—q)

(t—q) (s—r)

(t—r) (

—b(r—p) s—r)(t—r)(r—p) O'—p) C (t—s)

l—

/f( fc(iJ—p) (r—p)(t—p)(s q)(t—q)(t—s)

—d(q—p) Or~P) (f—P)( (t—s)

.fe Ol—P)

Or—p) (s—q)

(t—s)

■—p ^{— q —} r — s

f a(r—q)

(s—q)

(t—q) (s—r)

(t—r)

(t—s) ^

—b(r—p)

(s—p)

(t—p)(s—r) (t—r) (t—s) fc (q—p)(s—p)(t—p) (s—q) (t—q)(t—s)

-d (q—p)(r—p)(t—p)[r—q)(t—q)(t—s)

L f e (tp-p) (r—p) (s^p) (r—q)(s—q)(t—s)

J

X

7)1

X

(q-q)

(r-p)(s-p)(t-p){r~q)(j^)(t-q)(s-r)(far)(t~s)

ill ni il i m

Sc _g f

hx j* kx2 f Ix

?

f

mxA ~Z L

ii H L

B

X

# 10 ( # )

f (s—q) (t—q) a(r—q)

s—r

(t-r) (t—s)

—b (s—p)(r—p)

(t—p) (t—s) t{ ft(q-p)(t—p)(t—P)(t—q).(t-q)(t—s)

—d(q—p) (r—p)

(t—p) (r—q) (t—q) (t—s)

f«(q—p)

(r—p) (s—p) (f—q)(s—q) v—*)

(x—p) (x—q) (x—r) {x—s)

V:o Sint py q-, r, .f, t, u rad.

a, by c, dy ßy f fun£b eritque

lex

generationis

IV IV in ii i a1

g -j- hx

*[• k

x2

f l

x3

f

?n x4

f

n

xs iL

f

ci(r-q)(s-q)(t-q)(u-q)(s-r) (t-r)(u-r)(t-s)(u-s)(u-t)

— b(r-p)

(s-p)(t-p)(u-p)Cs~r) (t-r)(u-r)(t-s)(u-s)(u-t)

f

c(q-p) (^pW-p^(u-py(MXH)iu"4yt'S%u-s)(U't)

—d(q-p)(r-p)(t-p)(u-p)Cr-qXt-q)Cu-q)(t-r)(u-r)(u-t)

f

)fu-r)(u-s)

—f(q-p)(r-p)(s-p)(t-p)(r-q)(s-q)

(t-q)

(s-r)(t-r) (t-s)

^_

(x-qX^%t-^%u-^)(^Xt-r)(u-r)(t-s)(u-s)(u-t)(r-p)(s-p)(t-p)(ii-pJ(q-f)

( ^—A, ut evitetur prolixa repetitio hujus

membri)

X (x-zrp) (x—q) (x—

r)

(x—s) (x—t)

IV TJI

g~g ^— * (—pqrst)

IV in

b ZZ h — A (pqrt f pqst f pr st fpqrs f

qrst)

in ii

kil b ^— ^ (— _{Prt— pqr}— pqs—prs —pqt—pst

— qst— qrs — qrt — vst)

II I

IZZl —*

(^fprfqt\rs\rt\st)

i

m ~ vi —A (—_p — q — r —s— t)

nZZ— A.

COR. I. Qui adtentius praecedentia

confide-

rat facile videbit quamvis legem

generationis

con- ftare ex lege

prsecedente &

novo

membro, cujus

valör

generalis hunc in modum invenitur.

Sint py q-, r - - - - t, u

radices

Uy by c e,

f fun&iones

Sit A produ&um

differentiarum omnium radf

cum, excepta prima;

B

produ&um differentiarum omnium radicum*

excepta

fecunda;

C

produftum differentiarum omnium radicum,

excepta tertia;

&

ita porro pro numero

radicum.

SitF

produftum differentiarum omnium radicum,

excepta

ultima;

E

produ&um omnium differentiarum inter

x

&

quamvis

radicem,

excepta

ultima;

G produ&um

omnium diverfarum differentiarum

in Ay By C - - - F.

Hifce pofitis

formula novi membri haec eft:

— (Aci—Bb Cc - - -

rtFf).

G

Signum

pofidvum valet fi

^numerus

radicum eft

impar,

negativum

autem

in cafu oppofito.

COR. IL Expreffiones generales pro

omnibus

B 2 coeffi-

^ ) 12 C #

coefficientibus legis generationis g f hx ^{- - - -}

lxv"3 f ?nxv~ 2 f nxVml fequenti modoeruuntur.

Sitß praecedentis legis terminus non du&us in x

h. e. refpondens r£ g in addufta.

y coefficiens t9xv~2 A

$ coefficiens tux1 3

-l

_jn

lege pracedente.

4 coefficiens ^{x -}

J

M Samma omnium radicum - - -

N Summa omnium produ&orum bi-

membrium ^ex omnibus radicibus -

excepta

ultima.

J^Summa omnium produ&orumv-2mem-

brium ex omnibus radicibus ^{- -} R Summa omniumprodu&orum v-/mem-

brium ex omnibus radicibus ^{- -} Et ita porro pro numero radicum.

Praeterea denominationes in preecedente corol- lario factse in hoc quoque valent.

Hinc fequentes exfurgunt formulse

aA — bB f cC ^{- - -} ffi: fF

n - ± 1—

E

Signum f valet fi numerus radicum impar, alias

vero fignum — .

aA^— bB Jr cC - - A fF

m_y± i—

i—(~U\

E

, _ äA— bB f cC ^{- .} ±fF

/ — <? -t— _—N

E

❖ ) »J c #

aA-bB f cC ^{- -} ±fF

b = f ^ ^—

r£ fi)

- -

g=/3^t

rt/F

—«K)

In

penultima formula eft pofitivum fi

numerus radicum eft _par, alias negativum, contrarium ^au-

tem valet de R in ultima, quod quoque ex ipfts fignis patet.

Schol. Formular coefficientium adlatse _{pro ca-} ftbus

particularibus

Ionge

evadunt fimpliciores,

quarum

nonnullas

praxi

maxime infervientes ad-

danir

I. Si o, /, 2 radices

o, b, c fun&iones

crit g H o hu 2b —

kn\c ^—b

IL Si _{Oy iy 2y 3} radices

Oy by Cy d fun&iones

erit g~o

h ~3b ^—\c f

k ZZ2C — — \d lZZ\b — \c f *d

III. Si Oy ty 2, 3y 4 radices

Oy by Cy dy ^e fun&iones

B ₃ erit

# ) 14 C 2jc

crit _g — o

b H 4-b ^{— 3C} f #<* ^— i*

*=-¥>f

¥<r-f f u*

/ II P — 2C f ^— \e mH—zb

{

lc — $d

f

f4?

IV. Si 0, /, 2,^,4,1 radices

o, £j c, d, *, / fun&iones

erit _g H o

h ~Z1 iob ^— f xfd ^— £<?

f

\f

k~- \qb f ♦«*-

vd f

f^-

/*/

i n W* ^- f #<* -

Ü' f A/

7/zH—-T^b f Wc^— d

f

h\e ^—

hf

71 H JjC "I* ~~ 24

i*

ⁱ

V. Si _{o, qy r} radices

Oj b, c fun&iones

crit _g H o

brz ^— cqz

b _H

qr (r —q)

cq —br qr(r—q)

VI. Si _{Oj qj Yj s} radices

Oj b, c, d fun&iones

^ „^—

€Cls (x—tf) —brs (x—y) —(r—q)

72rx (r—g)

(x—r) (#—x)

cq — br

k — - — — l

(q fr)

qr (r-q)

❖ ) *f c ❖

h n -—

Ar

^—

kq

£ ZZ o

§.

v.

Datis quibusdam

radicibus & funStionibus

re- fpondentibus, qua non

muUum diflant, invenire

fimctionem

cujusvis data radicis intermedia, & ra-

dieem cujusvis data

funclionis intermedia.

I. Sit x radix cujus

fun&io quseritur, eritque

haec_g f

hx

^- -

f nxv'1 ( §. III. Cum jam den-

tur quaedam

radices & fun&iones refpondentes ex

formula ^numero datorum conveniente eruuntur coefficientes g, h

--»(§. IV.);

^ quoque

da-

tur (perhyp.), ergo

valoribtis fubflitutis funftio

qusefita

determinatus

II. Sed ex data fun&ione g f hx ^{- -}

f nxv"1

non invenitur radix x, nifi

refolvendo aequatio-

nem, quae

fun&ionem exprimit, quod vel per

Algebram

vulgarem fit, vel

per

Geometriam fub-

limiorem eft tentandum.

§- VI.

Hifce expofitis

de interpolatione in

genere,

jam fupereft

üt

ufum,

quem

hxc do&rina Aftro-

nomise praeftat

paucis

tangamus.

Potuit quidem

hicce calculus adhiberi ad

enodandas plures

qux-

ftiones aftronomicäs, quam in

fequentibus fit, fed

in

prüfend hsecce fumciant,

cum ex

adlatis fatis

conftare crediderim & ubi &

quomodo hxc

me-

thodfus utilis effe poffiu

Per

# ) «d { #

Per locumfideris datum in

fequentibus

intelli-

go, non tantum fitum ejus refpe&u

Eclipticse

&

iEquatoris cognitum, Ted etjam temporis momem tum, quo in eo

fuit.

§. VII.

Datis locis quibusdam vicinis Planeta vel Co-

meta invenire intermediapro tempore quovis inter- fnedio.

Sumantur tempora locis datis convenientia pro radicibus, & loca pro fun&ionibus. Sit ^x tempus cui locus refpondens requiritur, erit hic

g f hx ^{- -} nxv"ly qui facile innotefcit per dato-

rum fubftitutionem ₍ §. V. )_.

Exemplum.

Ponamus Cometam quendam menfe Majo ob- fervatum. ehe, diftantem a ftella quadam fixa

O III

9' 58- 33 die S'-z media nofte

11. 13. 40 - 6

12. 32. 2 7

13- 53- 52 - 8

qussritur ejus locus die 6:a & hora 6:a poft mediam

no&em. Sumtis temporibus pro radicibus, & lo¬

cis pro fun£tionibus, erit p ~: y, #~ 6, r ZZ 7,

O / // o tu

s __ 8 ^? xZZ6&, a~ 9- 58- 33i bzzu. 13. 40,

Olli o 4 H

c ZZ 12. 32. 2, d ZZ 13. 53. 52. Hifce valoribus fubfticutis in formula _g f hx f kx 1 f lx% prodit

flin&io tempori x refpondens. Sed calculus tali modo

& ) n ( #

modo inflitutus admodum prolixus & toedii plenus

evadit, quo igitur hoc

incommodum

evitetur,

io-

co radicum _5, 6, ^7, 8> 6T| ponantur aliae éodem

modo progredientes 0, /, 2, 7, &

loco fiirt-

£tionis cujusvis differentia eam inter & prknam,

Hoc modo pzz o, (]Zi, r ~~ 2^y s H f>

O I II fl o

XZZI2T, «no, £ ~i 1. 15. 7 11 4507, c .1: 2.

/ // II o / // //

33. 29 H 9209*, d ~ 2. 55. 19 ~ 10519. & per fbrmülam fecundam in §:i IV:ae Scholio datam in*

venitur / II— 597^, £n 1891 ^> h ^— 3213L £—o>

// o III

unde _g f /a.v f 2 f /.v * ZZ 5745 H 1. 35. 45,

quod additum primo loco obfervato

dat

quaefitum

o / //

II 11. 30. 48. ^-

Schol. Per addu&um problema velocitas

angularis'

^pro parvo quovis tempore inveniri poteft. Nam fit T parvum tempus pro quo re-

quiritur velocitas angularis.

Interpolando

prodit

locus planet^ ad initium & finem

ftujus

temporis,

quorum differentia eil: fpatium tempore T percur-

uim, quod proinde oftendit velocitatem angula-

rem huic convenientem.

In exemplo modo adlato locus Cometx media

o / //

noQie die 6:a Maji erat 11. 13. 40 & hora fexta

o 1 II / 11

fubfequente 11. 30. 48,

differentia

17. 8 monftrat

velocitatem pro lex

horis.

C §.

VIIL

♦ ) i8 _C #

§. VIII.

Iisdein datis cic in prxcedentepciragrcipho^, in*

venire tempus, gz/ofidus in quovis puncto interme¬

dia verfetur. Sit ^# tempus quaefitum, locus ei

conveniens erit g *\ hx ^-- nxvm1, ex quo valöre,

numero datorum convenienter determinato, qua>

ritur x (§„ V,).

COR. L Hinc ex datis quibusdam locis paulo

ante &poft oppofitionem vel conjunctionem Planetas invenituripfüm^{mo?nentum.Nam}Tumtistemporibus,

locis datiscongruentibus^, proradicibus (quodinfe- quentibusfemperfit,nifiexpreffe aliud moneatur)ßc

locis profunfHonibus, asquatiopro momento oppo-

o

fitionis Xefi:^ f

h

^{x- -}f nxvm1 ~ 180, & pro mo¬

mento conjunfifeionis g f bx-- f nxv~l ZZ 0,

COR. IL Momientum elongationis maxim#

Planetas inferioris ex datis quibusdam

elongattyni-

bus- ante & poft, quas pro fun&ionibus adfunvan-

tur, per hanc asquationem eruitur hdx - - f n. v-2xv"2 dx ~ 0.

COR. III. Ex datis quibusdam altitudinibus

meridianis folis paulo ante & poft folftitium, in-

notefcit ipfum Solßitii momentum x. Nam funi-

tis diebus-obfervationum _pro radicibus, & altitu¬

dinibus meridianis _pro

fun&ionibus

^r formula ge¬

neralis _pro omnibus altitudinibus folis eft g ,f hx

^kx 2 ^{- -} f nxv"Iy Sed altitudo folftitialis efi: vel

maxima vel minima, ergo fi

formula propoftta

diffe

$ ) i? { $

differentietur & elementum nihilo sequetur, prod-

it asquatio pro obtinendo momento folftitii refol*.

venda xv~2 ^{- -} f ^{—-^rx} f —-— ~~ o.

72.v- / 71.v-1

Haec ^a Cel. Majero primum inventa metho- dus cum reliquis notis collata & facilitate & exa£H- tudine fefe commendat.

COR. IV. Exdatis quibusdam Iocis folis asqui-

no&io utrinque vicinis, datoque primo pun&o figni Arietisdeterminatur momentum cequinodtii.

Kam fumtis diftantiis ab interfe&ione- iEquatoris

& Eclipticae pro fun&ionibus ^, adparet formulam generalem pro diftantia quasfita nihilo elfe sequan-

dam, & ex hac aequatione x eruendum.

COR. V. Ex datis locis quibusdam adparentL

bus centrorum folis & lunce paulo ante, poft &

inträ ipfam

ecliphn folarem

momentnm

initii, finisy

maximacque obfcuratioms innotefcit. Nam (it O dia¬

meter adparens folis, d lunas, _qure ad momentum

quodlibet calculo erui poffunt, Si diftantias adpa-

rentes centrorum folis & lunae fumantur pro fun- ctionibus, eritg f hx - ^- f nxVm/ ~D f d aequa- tio pro initio.& fme, & hdx ^{- - -} fn.v i. xv*2 dx

ZZ. o pro momento maximas obfcurationis.

§. IX.

Datis locis quibusdam nodis lätitudmi ma-

ximx utrinque vicinis, invenire lova no-åorum zf mclinationem Orbits. L Sumtis diftantiis a nodo pro

fun£tioniDus,_gf

hx - - \nxy'1 ~ o efl valör

C 2 pro

$ ) i© ( $

pro loco nodi, ex quo, inveftigato per

fubftb

tutionem prodit quaefitum ( §. VII.).

II. Sumtis latitudinibus pro fun&ionibus, per üuxionem fbrmulae functionum invenitur _{x, ex-} quo dato inveftigatur per §. VII. latitudo maxima

b. e. inclinatio orbitae.

§. X.

Ex åatis quibusåam velocitatibus angiilctrwm

invenire locum'& tempus cuivis alii intermedia re-

fpondentia. Sumantur velocitates angulares ^pro functionibus, & (i locus quaeritur loea pro radici- bus, _{tempora vero,} fi indagandum tempus. De-

inde per §. V. eruitur quaeßtum.

COR. Ex datis quibusdam velocitatibus Pla¬

netas, maximas & minimae utrinque vicinis invefti- gari

poteft perihelium, aphelium

& momentet tran- jitus. Nam invento _tempore veloeitati maximae

vel minimae congruente, locus huic conveniens erui poteft (§.VI1.) i. e. perihelium vel aphelium.

Idem hoc qtioque modo ohtinetur: quaeritur pro- f>e lineam apßdum utrinque locus aequali velocita-

ti refpondens, locus interhos medius eft perihe¬

lium vel aphelium.

§.XI.

Datis quibusdam altitudinibus ^ante poft fi- deristranfitwn per meriäianum, mowentum tranfi-

lus & altitudinem meridianam invenire. Sumtis altitudinibus obfervatis, fed _pro parallaxi Se

refra-

eftione corre&is, pro

funöionibus,

cum

altitudo

meridpma ßt maxima exaequatione hdx f

2k

^x

dr

^-

- -

fn.

) 21 ( ^

• -

fv-i.xVm2 dx ~o

inveniri potefl:

x

f.

momen*

tum tranfitus, quo cognito ^per

folam fubftitutio-

nem innotefcit fun&io refpondens

h»

^e.

altitudo

meridiana.

ScboL Hoc problema magno

ufui efTe potefl

Lo quando

nubecula qusedam ipfam lideris culmi-

nationem celat, quam tarnen

cognofcere

interdum

e re eft, _{quaeque prseterea}

dimeilius immediate

obfervatur, (altem extra Obfervatoria. Infervit igitur Geographo

alicubi

non

ultra diem

commo- ranti, fi unice per

oblervatam akitudinem folis

me- ridianam latitudinem loci eruere polTet. 2:0 Quin

ad corrigendum

meridiem adhiberi poflit nulTus

dubito,nam nec calculi,quos tentavi, aliudinnuunt,

nec altitudo meridiana fuppofita maxima ullam pa- titur variationen! _per augmentum vel deeremen-

tum declinationis, faltem ad quandam folis diftan-

tiam ab asquino&iis^, qux omnia

forte alio

tempo¬

re uberius exponere licebit.

§. XII.

Ut ipfe

calculus facilior evadat fequentia im-

primis funt obfervanda:

REGULA I:a. Si radices in ratione arithmeti-

ca progrediuntur & prima

nihilo eft major,

earum loco alia ponaturferiesin eade?n ratione progredient^

fed qua a

ziphra incipit.

e. g.

Si diebus

8> 9, 10

& 11 Martii, eadem hora qualibet die, qusedam

faftse funt obfervationes,quarum tempora pro radi-

cibus habenda funt, earum loco progreffio ^o, 1, 2, 3 poni

debet, modo

notetur o

indicare

8:am Martii, x nonam,& itaporro.

REG/

$ ) 22 (

REG. II. Si radicum differenti#in#qiiales

funt

&primus termmus nihilo major, ali# radicesfub- Jlituend#, quarum prima efl ziphra, quarum

differenti# äquales funt differentiis rej*ectarum. ^e.

g, pro 7, 9, io, 13 üibflitui debent _{o, 2, 3,} 6.

REG. III. Pro qaavis funciione fubflituenda eß differentia ea?n inter primam. Sit a funCtio rima, b fecunda Sc c tertia, loco a, by c poni de-

ent a — a ~o, a — b, a —c refpeCtive, _quod

tarnen ultimo adtendendum, (i enimquxritur fun-

Ctio y, ultimus valör hane non dat fed a ^— y.

REG. IV. Si _{magnus numerus}terminorum in' calculum introduci debet, loco functionum inter_po¬

land#

Junt

^earum differenti# ( differenti#prim#),

vel etjdm differenti# harum differentiarum ( diffe¬

renti#

fecund#).

Notandum eil:, hoc modo in- veniri poffe non tantum differentiam datas radici convenientem 3 fed etjam maximam Sc minimam

poffibilem.

§. XIII.

Quod ad numerum terminorum interpolando-

rum adtinet, obfervandum efl:, tres radices tres-

que funCtiones fufficere, (i radices Sc fun&iones continue crefcant vel decrefcant

uniformiter,

(ive crefcant radices decrefcentibus

funCtionibus,

five hifce crefcentibus _decrefcant radices; fed ad mini¬

mum quatuor radices totidernquefunCtiones _requi-

ri, (i radicum functionumve differentiaeadmodum funt inasquales, vel etjam modo adfirmativte, mo¬

do negativas h. e. modo crefcentes, modo decre-

icentes. Tandem

$ > 2J ( $

Tandem verba Cel. Abbatis D.i De la Gallie

jv addere liceat: "Tout

ce

calcul, inquit,

n'edqu"

une approximation: par le moien de certaines di-cc menfions prifes d'efpace en efpace,onconclud les^c intermediaires, ^en fuppofant que leurs inegalités Ä

fuivent condamment une certaine loi; ce que n"

approche de la judefle qu'autant que ces elpaces"

font plus ferrés, ^{& ces} dimenlions moins irregu-a

lieremcnt inegales, ou que la loi qu'on a trouvée"

approche le plus de la veritable loi de ces ine- "

galités". Vid. Ejus Adr. p. 73. « XIV.

Problemata addu&a exemplis ex Cometa nu- per obfervato petitis illudrare animus fuit, fed

cum dellas quasdam, quibuscum in Obferva-

torio Upfalenii ed collatus, adhuc ^non fuerit

occaho fatis exa£te determinandi, & prasterea ii\

nodrarum lupplementum hucusque deh-

derentur obiervationes _exterorum, hifce

fubfidere _cogor.

TANTUM.

MONSIEUR.

eß Vous, ä qui ^{mon tres} eher Pere, ?n* a con-

fiéj quand je trieloignois de chez lui, la premiere

fois:

La fendrejje, vif les grands foins, lesquels Vous avez Jdtisfait ä ^cette confian-

cey fonty qu il riy a pas un moment pour moi plus agreahle, ^que celui de V occafion que Vous me

fourniffésy de Vous en montrer ma reconnoiffaii-

ce. Comment donc pourrois je me negliger quand

Vous

aüez donner au

public

une ß

feavan-

te dijfertationy Jans

Vous

marquer majoie en Vous

en felicitaM. Vous n'avez pas befoin de mes lou-

anges, & je ne pourrois en ajouter aueunes d

Celles que Vous font deja accordées par des juges plus competens, mais / ai le plaifir de prendre

pant d

rhonneur

qui Vous attend

hf

d Vous fou-

halter d' un coetir fincere toutes fortes de

profpe-

rites. Je

fuis

ctvec éfiime,

MONSIEUR,

Vblretreshumble&Jres obeifantferviteurt ADOLPH STACKEI.fiERG.