Utmanande uppgifter för elever med matematisk fallenhet: En granskning av uppgifter i matematikläromedel för årskurs 6

(1)

Utmanande uppgifter för elever med matematisk fallenhet

En granskning av uppgifter i matematikläromedel för årskurs 6

Författare: Gustav Klaesén, & Åsa Forsö Examinator: Torsten Lindström

Självständigt arbete 1 – 15 hp

(2)

Abstrakt

Studien är en läromedelsgranskning där uppgifter i valda läromedel granskas för att se ifall uppgifterna är utmanande för elever med matematisk fallenhet. Läromedlen i granskningen är ämnade för elever i årskurs 6. Uppgifterna som undersökts är läromedlens problemlösningsuppgifter. Problemlösningsuppgifter är vad läromedlen kallar för utmaningar.

För att svara på frågeställningarna användes ett analysschema vid granskningen av uppgifterna. Det användes för att synliggöra innehållet i uppgifterna.

Analysschemats syfte var även att identifiera uppgifter där kraven i analysschemat uppfyllts. Uppgifterna som uppfyller flest krav i analysschemat valdes ut för en djupare granskning.

Resultatet av frågorna var att problemlösningsuppgifterna i läromedlen innehåller till största del tillräckliga utmaningar för att stimulera en elev med matematisk fallenhet. Alla uppgifter som undersöktes innehöll en variation av räknesätt.

Uppgifterna uppmanade till kreativitet, var kopplade till en verklig situation och uppmanade till flera lösningsmöjligheter. De använde sig av ett abstrakt tänkande och krävde tidigare kunskap för att lösa uppgiften. Det fyra av sex uppgifter saknade var behovet av ny kunskap för att lösa uppgiften.

Nyckelord

fallenhet, läromedel, matematik problemlösningsuppgifter, stimulera, uppgifter utmanande, utmaning, årskurs 6.

Tack

Vi vill rikta ett stort tack till alla som har hjälpt till vid opponeringar samt ett tack till Berit Roos Johansson, Oduor Olande och Torsten Lindström.

(3)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

2 Syfte ... 2

2.1 Frågeställningar ... 2

2.2 Stimulans enligt skolverket ... 2

3 Litteraturbakgrund ... 3

3.1 Fallenhet ... 3

3.2 Utmanande uppgifter ... 4

3.3 Stimulerande uppgifter ... 5

4 Teoretisk utgångspunkt ... 6

4.1 Abstrakt tänkande ... 6

4.2 Kognitivt perspektiv ... 6

4.3 Metakognition ... 7

5 Metod ... 7

5.1 Val av metod och tillförlitlighet ... 7

5.2 Urval av läromedel ... 7

5.3 Matte direkt Borgen 6B ... 8

5.4 Matematikboken Gamma g ... 8

5.5 Etiska aspekter ... 8

5.6 Analysverktyg och tillvägagångssätt ... 9

6 Resultat & Analys ... 10

6.1 Hur ser de utmanande uppgifterna ut i läromedlen? ... 11

6.2 Vad innehåller läromedlens uppgifter för utmaningar som stimulerar elever med matematisk fallenhet? ... 11

6.3 Sammanfattning av resultat ... 12

6.4 Analys ... 12

6.5 Analysschema för uppgifter ... 13

6.6 Abstrakt tänkande ... 13

6.7 Ny och tidigare kunskap ... 14

6.8 Koppling till verklig situation ... 14

6.9 Möjlighet till flera lösningar ... 14

(4)

6.10 Kreativitet ... 14

6.11 Variation av räknesätt ... 15

6.12 Uppgifternas frågeställning ... 15

6.13 Sammanfattning av analys och resultat ... 15

7 Diskussion ... 16

7.1 Metoddiskussion ... 16

7.2 Resultatdiskussion ... 17

7.3 Fördjupad forskning ... 17

8 Referenslista ... 19

Bilagor ... 21

Bilaga 1, Analysschema ... 21

Bilaga 2, Analysschema för uppgifter ... 22

Bilaga 3, Utvalda uppgifter ... 25

(5)

1 Inledning

Alla elever behöver kontinuerligt ha stimulans som utmanar dem att utvecklas, annars riskerar de att tappa intresset för matematiken och skolan (Skolverket, 2018). I Skollagen (2011) står det att: “Elever som lätt når de kunskapskrav som minst ska uppnås eller de kravnivåer som gäller ska ges ledning och stimulans för att kunna nå längre i sin kunskapsutveckling.” Tillsammans med nyfikenhet och kreativ problemlösning är matematiska kunskaper en förutsättning för samhällets utveckling.

Idag råder en ökad medvetenhet om att elever med fallenhet har ett behov att vidareutvecklas. En rapport från Skolverket (2012) visar på att högpresterande elevers resultat har sjunkit. Då medvetenheten om elever med matematisk fallenhet har ökat i samhället, men deras resultat har sjunkit ställer vi oss frågan ifall den rådande undervisningen och de läroböcker som används är tillräcklig för att stimulera elever med matematisk fallenhet. Frågan har uppkommit eftersom vi, under den tid vi har spenderat i årskurserna 4–6, har sett en tydlig trend i att låta läromedlet som används styra matematikundervisningen i klassen.

När en elev tydligt visar att den uppnår A-nivå eller ger annan tydlig indikation på att uppnå kunskapskraven för årskurs 6 får eleven oftast ändrade uppgifter alternativt annat undervisningsmaterial (Laine, 2016). Är det tillräckligt att låta eleverna arbeta med de extrauppgifterna som finns i läromedlet för att ge ledning och stimulans till en fortsatt kunskapsutveckling eller behöver de något mer, något annat? Läromedel kan vara en bra metod för att låta elever utveckla och visa på de matematiska förmågor som krävs för att uppnå de kunskapskrav som ställs. Men om eleven redan uppnår det som krävs, och möjligtvis mer än det, är det då inte lärarens uppgift att förse eleverna med undervisning som gör att de kan nå längre i sin kunskapsutveckling? Läromedel kan vara ett sätt att ge eleverna något att göra, men har materialen utmanande uppgifter för elever med matematisk fallenhet?

Lärare väljer sina egna läromedel, men åtta av tio lärare hinner inte granska läromedlen (Skolvärlden, 2014). Få lärare går in på djupet och granskar läromedlen de använder. De har begränsat med tid till att anpassa undervisningen för att nå de elever som behöver extra stimulans. Därför har vi i denna studie valt att analysera hur olika läromedel skapar möjlighet till stimulerande uppgifter i matematik för elever med matematisk fallenhet.

Vi bestämde oss därför att göra en läromedelsgranskning för att se på vilket sätt läromedlen Matte direkt Borgen 6B (Carlsson, 2013) och Matematikboken Gamma g (Undvall, 2013) når upp till vad tidigare forskning anser vara stimulerande matematikundervisning för elever med matematisk fallenhet. Vi vill se hur

uppgifterna i de olika böckerna är utformade och vilka typer av uppgifter som anses vara stimulerande för elever med matematisk fallenhet.

(6)

2 Syfte

Syftet med studien är att undersöka uppgifter i läromedel för årskurs 6 som tidigare forskning anser vara utmanande för elever med fallenhet i matematik.

2.1 Frågeställningar

1. Hur ser de utmanande uppgifterna ut i läromedlen?

2. Vad innehåller läromedlens uppgifter för utmaningar som stimulerar elever med matematisk fallenhet?

2.2 Stimulans enligt skolverket

I Skollagen står det att utbildningen ska “främja alla barns lust att lära (SFS 2010:800).” Utbildningens syfte är att ge eleverna stöd och stimulans så att de utvecklas så långt som möjligt.

Att stimuleras att utvecklas som elev kan jämföras med att stimuleras till att utvecklas till en ny nivå av kunskapskraven. Värdeorden som presenteras i kunskapskraven för matematik beskriver hur utvecklade elevens förmågor är. De fem förmågorna som eleverna ska ges möjlighet att utveckla är:

• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,

• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,

• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,

• föra och följa matematiska resonemang, och

• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Skolverket, 2018, s. 55) Utveckling mellan de olika nivåerna innebär att eleven utvecklar sin förmåga av det centrala innehållet. Att eleverna ska ges stimulans för att få möjlighet att utvecklas går att jämföra med att uppgifterna ska stimulera till en fördjupad nivå av förmågorna som beskrivs i bedömningens värdeord. Ett exempel på hur värdeorden i matematik presenteras följer i den här ordningen; E-nivå, C-nivå, A-nivå

Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett i huvudsak fungerande sätt […]

Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett relativt väl fungerande sätt […]

Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett väl fungerande sätt […] (Skolverket, 2018, s. 8–9)

(7)

För betygsnivån finns ett högsta betyg; A, men för elevens utveckling finns inget tak.

I grundskolans läroplan finns värdegrunden med. Den tar upp att ”Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den ska främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper (Skolverket, 2018, s. 6).”

Begreppet stimulans är återkommande i läroplanen, men innebörden av begreppet finns inte förklarad. Här följer två meningar där begreppet stimulans återkommer;

“Skolans uppdrag är att främja lärande där individen stimuleras att inhämta och utveckla kunskaper och värden (Skolverket, 2018, s. 7).” “Skolan ska stimulera varje elev att bilda sig och växa med sina uppgifter (Skolverket, 2018, s. 8).” Ordet stimulans förstås som en form av förutsättning för utveckling. Andra förutsättningar kan vara individens behov, erfarenheter, tänkande och motivation. Stimulans kan då kopplas till att vara en förutsättning för att tillgodose olika behov hos eleverna.

3 Litteraturbakgrund

I litteraturbakgrunden finns tidigare forskning som är gjord inom de valda områden som läromedelsgranskningen är fokuserad på. De områden som sökningen fokuserade på består av begreppen fallenhet, utmanande uppgifter och stimulans. Vi har undersökt tidigare forskning och läst vad den säger om det område, samt de begrepp studien fokuseras på. Det har vi gjort för att förtydliga begreppens innebörd och bidra till en förklaring till vad läromedelsgranskningen kommer att använda för tolkningar.

3.1 Fallenhet

Enligt Szabo (2017) är definitionen av begreppet fallenhet bristande. Om man söker i SAOL (2015) och i SO (2009) på fallenhet kommer det att förklaras som en benägenhet, en medfödd förmåga. En förmåga som är medfödd är något man kan utveckla, eller välja att inte utveckla.

I en studie beskriver Pettersson (2008) att elever med matematisk fallenhet existerar i svenska skolor, men att det är svårt att identifiera hur många det faktiskt finns.

Eleverna Pettersson har valt att fokusera på i sin studie tolkar lärarna för klasserna att eleverna besitter en fallenhet för matematik. I studien beskrivs elever med fallenhet som elever med särskilda förmågor (a.a.).

De matematiska kunskaperna mellan elever med fallenhet för matematik skiljer sig åt, precis som det gör mellan olika elever vanligtvis i klassrummet. Elever med matematisk fallenhet bör på grund av det ha olika undervisningsmodeller, enligt Pettersson (2008).

Det har tidigare funnits en myt om att elever med matematisk fallenhet kan klara sig själva i klassrummet, men det stämmer inte enligt Pettersson (2008). Elever med matematisk fallenhet klarar sig inte alls själva i klassrummet utan de behöver också

(8)

vägledning och guidning i sin undervisning, precis som vilken elev som helst. Skälet till myten att elever med matematisk fallenhet kan klara sig själva har uppstått genom felbedömning i prioriteringen av elever, samt av en resursbrist i klassrummet. Det är inte för att lärarna tycker att det ska vara så att eleverna med fallenhet för matematik ska klara sig själva, utan resurserna i skolan har inte räckt till för alla elever (Pettersson, 2008).

Pettersson (2008) förtydligar i sin studie att elever med fallenhet för matematik inte är en exklusiv grupp, utan att elever med fallenhet för matematik är lika olika varandra som andra elever. Elevernas fallenhet kan variera mellan en bred fallenhet för matematik överlag. Den kan även vara inriktad på ett specifikt matematiskt område.

Elevernas intresseområden varierar och kunskapsnivåerna med. Eftersom varje elev är unik blir behoven hos varje elev också unikt (a.a.).

Antalet elever med matematisk fallenhet är troligtvis fler än vad vi vet om. Eleverna utmärks oftast i klassrummet av lärare genom hastighet, precision och goda resultat.

Ett skäl till det kan, enligt Pettersson (2008), vara ett högre snitt i kognitiv förmåga.

Men kognitiv förmåga är inte samma sak som intelligens. Med en god kognitiv förmåga kan man använda sin intelligens eller fallenhet på en högre nivå än de människorna med en lägre fungerande kognitiv förmåga. Bristande kognitiv förmåga kan bidra till nedsatt förmåga att generalisera och dra slutsatser, samt att förstå sammanhang mellan orsak och verkan.

Szabo (2017) belyser i sin studie att det finns en bristande definition av det omfattande begreppet fallenhet för tillfället och att metoderna för att identifiera elever med fallenhet innehåller stora skillnader. För att en elev ska anses besitta en matematisk fallenhet ska eleven, enligt Szabo (2017), ha förmågan att dra slutsatser och kunna förstå problemlösning, d.v.s. ha en god kognitiv förmåga till att börja med. Eleven behöver även besitta en god minnesförmåga, vilket är en del av den goda kognitiva förmågan, för att kunna återkoppla till tidigare kunskaper och dra slutsatser.

Matematisk fallenhet kan vara svårt att se när den jämförs med en elev som kan ta till sig information, men det är lättare att urskilja vid problemlösning då förmågan att generalisera är baserad på tidigare kunskaper, inte den tilldelade informationen i stunden. I Szabos studie identifierade han eleverna till undersökningen genom att observera elevernas problemlösningsförmåga och tidigare resultat. När Pettersson (2008) gjorde sin studie litade hon på lärarnas förmåga att avgöra om eleven har en matematisk fallenhet eller inte.

3.2 Utmanande uppgifter

Pettersson (2008) skrev i sin studie att elever med fallenhet för matematik har olika kunskaper och områden inom matematik där elevernas fallenhet kan vara tydligare att urskilja än andra matematiska områden. En utmanande uppgift kan alltså skilja sig åt mellan eleverna eftersom eleverna är unika individer med olik matematisk bakgrund. Enligt Szabo (2017) skiljer elevernas kunskaper sig åt, eftersom de är individer som har tagit till sig olik mängd kunskap. Men det gör inte eleverna i studien bättre eller sämre än varandra, då alla elever besitter en fallenhet för matematik.

(9)

I inledningen uttrycks det att arbetet med matematiska läromedel är vanligt i dagens undervisning. Om eleverna ska få en individanpassad undervisning och utmanande uppgifter behöver lärarna erbjuda en varierad undervisning för att öka elevernas intresse i matematik. Då behöver läromedlen som användas i klassrummet vara tillräckligt utmanande för alla elever. Med hjälp av formativ utvärdering i undervisningen kan den individuella kvalitén hos eleverna öka (Skolinspektionen, 2009). Att arbeta med elever som har fallenhet för matematik ska, enligt Szabo (2017), vara precis som att arbeta i ett vanligt klassrum med andra elever som saknar en matematisk fallenhet. Undervisningen behöver vara individanpassad och formativ.

Matematisk fallenhet innebär att man har goda förutsättningar för matematisk kompetens, men man behöver inte besitta alla matematiska kunskaper.

Undervisningen behöver anpassas till individens rådande kunskapsnivå. Det finns inte ett generellt arbetssätt för alla elever med matematisk fallenhet som man kan ta till menar Szabo (2017). De elever som har matematisk fallenhet är också i behov av individanpassad utveckling, men på sin nivå.

För att identifiera elever med matematisk fallenhet kan man förse elever med utmanande uppgifter, enligt Szabo (2017). En utmanande uppgift kan innehålla en variation av räknesätt, beskriver Szabo. För att räknas som en utmanande uppgift kan den även ge möjlighet till generalisering och problemlösning. I en uppgift som är uppbyggd på det sättet kan de matematiska förmågorna utmanas och elevens förmåga att dra en slutsats bli tydlig. Elevernas lösningar kan bidra till underlag för att identifiera en elev med matematisk fallenhet (a.a.).

Enligt Mellroth (2017) är det viktigt hur eleverna uppfattar en uppgift. Mellroth menar att uppgifter ska vara lustfyllda, lärorika, utmanande och utvecklande för eleven.

Uppgifterna ska vara berikande och utformade för att skapa ett engagerat lärande. De kan t.ex. vara kopplade till verkliga situationer, innehålla flera möjliga lösningar och uppmana till kreativitet. Frågorna i uppgifterna ska vara öppna. Med hjälp av berikande uppgifter som ställs med en öppen fråga kan elever med fallenhet få möjlighet att visa upp sina kunskaper och förmågor. Om den inte uppfyller kriterierna kan man, enligt Mellroth, strunta i den uppgiften.

3.3 Stimulerande uppgifter

Stimulerade uppgifter kan vara ett sätt att främja de individuella behoven, som är en utgångspunkt för utveckling. Stimulerande uppgifter ska även vara motiverande och utmanande för att locka till utveckling. En undersökning i en artikel med fokus på rika uppgifter visar att det krävs olika nivåer för att tillgodose olika behov hos eleverna (Anusha & Hussain, 2014). Sambandet mellan Skollagen (SFS 2010:800) och Anusha och Hussain (2014) visar att stimulans är betydelsefullt för utvecklingen och att det krävs olika nivåer för att tillgodose elevernas behov.

(10)

4 Teoretisk utgångspunkt

I den teoretiska utgångspunkten presenteras teorier från både Jean Piaget och Lev Vygotskij. De är två forskare som har haft stor betydelse för forskningen inom barns utveckling. I Piagets forskning ansågs barnets kunskaper och tänkande synliggöras i språket. För Vygotskij blev forskningen riktad i en nästan motsatt riktning. Enligt Vygotskij blev ett barns tänkande påverkat av miljön och språket barnet befinner sig kring. Vygotskij fokuserade på hur barn tar till sig begrepp från sin omgivning. Han ansåg att barns språkliga och tankemässiga utveckling är beroende av omgivningen barnet befinner sig i (Hwang & Nilsson, 2011).

4.1 Abstrakt tänkande

Ett abstrakt tänkande kan sammanfattas som en förmåga att kunna tänka utan konkreta redskap. Att utföra tankeoperationer med hjälp av abstrakta begrepp, scheman, modeller, symboler och formler är ett abstrakt tänkande. Den abstrakta tanken sker endast i den mentala rymden (Hwang & Nilsson, 2011). Hwang och Nilsson (2011) beskriver hur Piaget anser att ett barn utvecklas i stadier. Först runt elva års ålder har ett barn möjlighet till ett abstrakt tänkande, enligt Piaget. Vygotskij anser däremot att ett barns utveckling och inlärning går hand i hand. Barnet kan få stöd av vuxna för att utveckla ett abstrakt tänkande tidigare än den ålder Piaget anser (Hwang & Nilsson, 2011).

4.2 Kognitivt perspektiv

Kognition inkluderar kunskap, tänkande och lärande. I grova drag inkluderar kognition allt som händer i hjärnan i form av tänkande, tolkning, inlärning, minne, fantasi och symboler (Hwang & Nilsson, 2014).

Enligt Hwang och Nilsson (2014) är Piagets idé att alla människor strävar efter mental jämnvikt. Piaget anser att människor har en ständig strävan att ta till sig sin omvärld.

Enligt Piaget är intelligens ett mått på hur väl man lyckats ta till sig kognitiv kunskap.

För att ta till sig kognitiv kunskap lägger man till ny information och kunskap till den redan existerande kunskapen hos personen. Det kan ske genom assimilation eller ackommodation. Vid assimilation läggs nya kunskaper till utan att man behöver ändra på tidigare strukturer. I en ackommodation behöver man förändra den tidigare kunskapen för att ta till sig den nya. Det man lägger till den nya informationen i kallas för kognitiva scheman. Kognitiva scheman kan antingen utökas eller fyllas på.

(Hwang & Nilsson, 2014). Hwang och Nilsson beskriver att elevernas kognitiva förmåga kan bidra till kommunikationsproblem i undervisningen. När en uppgift presenteras för en elev är det därför viktigt att ta hänsyn till de kritiska aspekterna uppgiften kan ställa eleven inför. Om det skulle uppstå ett kommunikationsproblem kan uppgiftens lösning bli felaktig. När kommunikationen fungerar kan elevens förmåga påverkas. Det kan bidra till att eleven kan ta till sig nya kunskaper. Enligt Vygotskij är utvecklingen kulturspecifik. Vygotskij menar att utvecklingen hos barn är beroende av vilken miljö barnet befinner sig i. Vygotskij anser också att genom kommunikation och interaktion med andra tillägnar sig individen kunskap och

(11)

färdighet, samt att lärande sker i kommunikation med de som kan mer eller mindre än en själv (Hwang & Nilsson, 2014).

4.3 Metakognition

Metakognition handlar om hur man gör för att lösa problem, dra slutsatser och tolka vad som händer. Det kan vara hur man använder sig av minnet för att koppla till tidigare erfarenheter. Eleven är aktiv i sin inlärning. Den kan ta till sig relevant information och använda sig av olika lösningsstrategier med hjälp av sin kognitiva förmåga. En metakognitiv förmåga innebär att eleven kan styra sin inlärning utifrån målet med uppgiften. Eleven kan själv finna bästa sättet att lära sig på och komma fram till vilken metod eleven behöver för att minnas, eleven kan alltså styra sin egen inlärning. När en situation uppstår då eleven ska lösa ett problem kan den välja den mest lämpade strategin för situationen självmant. Med tiden tar eleven till sig nya strategier, men de gamla försvinner inte. Eleven ackommoderar för att ta till sig nya metoder och anpassar dem till befintlig information. De gamla strategierna kan eleven använda som stöd för att komplettera när de nya strategierna är otillräckliga. (Hwang

& Nilsson, 2014).

5 Metod

Metodavsnittet består av sex olika textstycken. De berör valet av metod samt läromedel. Det finns en kort sammanfattning om läromedlens bakgrund och de etiska aspekter som tas hänsyn till i granskningen av läromedlen. I slutet finns ett större stycke där analysverktyget beskrivs och hur läromedelsgranskningen ska gå tillväga.

5.1 Val av metod och tillförlitlighet

Studiens läromedelsanalys bestod av en innehållsanalys. Det är en konkret metod som gav resultat som var enkla att förstå, enligt Bryman (2013). Det fanns risk att innehållet kunde tolkas olika på grund av individuella erfarenheter. Därför var det viktigt med en tydlig beskrivning av analysen.

5.2 Urval av läromedel

I läromedelsgranskningen valdes två läromedel ut som var vanligt förekommande i årskurs 6, Matematik direkt Borgen 6b (2013) och Matematikboken Gamma g (2013).

Anledningen till att det var just två läromedel och inte ett läromedel var för att det skulle gå att se skillnader och likheter mellan de olika läromedlens uppgifter. Syftet var inte att ta reda på vilka uppgifter som var bäst, utan meningen var att se hur de utmanande uppgifterna i de olika läromedlen såg ut, för att hitta utmanande uppgifter som passade för elever med matematisk fallenhet.

(12)

5.3 Matte direkt Borgen 6B

Matematik direkt Borgen 6B är ett svenskt läromedel som består av två böcker per läsår. En för höstterminen och en för vårterminen. Det finns en lärarhandledning, metodiska tips, träna-mera häfte, fördjupningshäfte, arbetsblad och prov utöver elevböckerna. Matematik direkt Borgen 6B är en fortsättning på Matematik direkt Borgen 6A. I Matematik direkt Borgen 6B finns fem kapitel som används för undervisningen under vårterminen i årskurs 6. I början av varje kapitel finns en bild som används till diskussionsunderlag. Bilden har tillhörande frågor som är knutna till det moment som tas upp i kapitlet. Det finns även matematiska begrepp och konkreta mål presenterade i inledningen av varje kapitel. Efter inledningen finns flera uppgifter med moment som tränar det som kapitlet tar upp. I slutet av varje kapitel finns en diagnos för att sammanfatta kapitlet. Beroende av diagnosens resultat kan eleverna få träna mer med uppgifter som liknar de tidigare eller få arbeta med mer utmanande uppgifter. Delen med mer utmanande uppgifter kallas för utmaningen. Där får eleverna arbeta med problemlösning av olika slag. Böckerna är utgivna av Sanoma Utbildning AB. Författarna för Matematik direkt Borgen 6B är Gunilla Liljegren, Margareta Picetti, Synnöve Carlsson.

5.4 Matematikboken Gamma g

Matematikboken Gamma g är ett svenskt läromedel som är utgivet av Liber.

Författarna till Matematikboken Gamma g är Lennart Undvall, Christina Melin, Kristina Johnson, Conny Welén. Gamma g består av sex kapitel. Boken är tänkt att användas under hela årskurs 6. Varje kapitel har fyra nivåer. Nivåerna är indelade från enklast till svårast. Nivå ett är lättast och nivå fyra är svårast. Nivå fyra är gjord för att ge rejäla utmaningar. I början av varje kapitel finns det exempeluppgifter och förklaringar till vad som ska läras ut i kapitlet. Introduktionen i början av varje kapitel är tänkt att vara tillräcklig för alla fyra nivåer. I kapitel 6 som kallas Alfa, Beta och Gamma - med sikte på framtiden, repeteras alla tidigare moment från böckerna Alfa, beta och gamma. Alla nivåer tränar elevernas faktagrund, matematiska förståelse och analysförmåga. I slutet av varje kapitel finns en diagnos. Om diagnosen gick bra finns det kluriga problemlösningsuppgifter att lösa individuellt eller parvis.

5.5 Etiska aspekter

Forskning och ny kunskap är väsentlig för samhället och enskilda individers utveckling (Vetenskapsrådet, 2017). Den färdiga studien ska bidra till forskare och samhällets behov av ständig utveckling. De individer studien syftade på var elever med särskild fallenhet för matematik. Forskningskravet i studien innebar att kunskaper om och arbetsmetoder för elever med fallenhet för matematik skulle utvecklas och fördjupas.

I granskningen av stimulerande uppgifter för elever med fallenhet i matematik behövde vi kopiera uppgifter för att förtydliga frågeställningar och analysen. Vi kontaktade förlagen i ett mail där vi beskrev syftet med studien och frågade om tillstånd att använda bilder från läromedlen. Båda förlagen gav sitt medgivande.

(13)

5.6 Analysverktyg och tillvägagångssätt

För att veta vad som var utmanande för elever med matematisk fallenhet användes den kognitiva förmågan som krav för uppgifterna i läromedlen. Den kognitiva förmågan kunde synliggöras om uppgiften bjöd in till att dra slutsatser, koppla till tidigare kunskaper och förstå problemlösningsuppgifter (Szabo, 2017). Uppgifterna som valdes ut i läromedlen var problemlösningsuppgifter. Det valdes eftersom tidigare forskning anser att problemlösningsuppgifter är utmanande uppgifter.

Läromedlen beskriver också problemlösning som kluriga och utmanande uppgifter. I problemlösningsuppgifterna får eleverna använda sig både av ny och tidigare kunskap för att lösa uppgifterna. Ny kunskap är den kunskap eleven precis introducerats för.

Den nya kunskapen kan vara en metod eller lösningsstrategi eleven precis fått lära sig i läromedlet. Den tidigare kunskapen är de metoder eller lösningsstrategier eleven har med sig sen tidigare. Elever tar till sig nya strategier för att lösa uppgifter, men de gamla strategierna finns kvar. Eleven anpassar nya strategier till tidigare kunskap och använder både ny och tidigare kunskap för att lösa uppgifter.

Uppgifterna som läromedlen kallar utmaningar kom att jämföras med definitionen av berikande uppgifter för att se till vilken grad uppgifterna levde upp till kraven.

Berikande uppgifter ska vara öppna. För att en uppgift ska vara öppen får den inte vägleda till lösningen av uppgiften, utan det måste lämnas öppet till den som ska lösa uppgiften. Berikande uppgifter kan även vara kopplade till verkliga situationer, innehålla flera möjliga lösningar och uppmana till kreativitet (Mellroth, 2017). En möjlighet till flera lösningar ger elever möjlighet att visa på matematisk fallenhet oavsett tidigare kunskap. Eleven använder sig av olika lösningsstrategier för att lösa uppgiften efter sin egen kunskapsnivå. De kan till exempel rita upp en lösning eller räkna ut en multiplikationsuppgift med hjälp av addition. Enligt Szabo (2017) kan berikande uppgifter innehålla en variation av räknesätt och ge möjlighet till generalisering samt problemlösning. De teoretiska utgångspunkter som kom att användas i granskningen var abstrakt tänkande och ett kognitivt perspektiv. Teorin om ett abstrakt tänkande användes för att se ifall uppgifterna bjöd in till att tänka utan konkreta redskap. Det kognitiva perspektivet blev synligt om uppgifterna var öppna och gav möjlighet till att använda den analytiska förmågan. En analytisk förmåga används för att bryta ner t.ex. en problemlösningsuppgift i delar för att se vad uppgiften egentligen innebär. Då kan eleven dra en slutsats och lösa uppgiften med hjälp av lämpligt räknesätt.

Innehållsanalysen av läromedlen började vid de valda läromedlens kapitel för problemlösningsuppgifter. I Matematikboken Gamma g valdes nivå fyra ut i kapitlet problemlösningsuppgifter. Nivå fyra var vad läromedlet anser vara utmaningar. I Matte direkt borgen 6B valdes motsvarande del i problemlösningskapitlet. Matte direkt Borgen 6B hade inte en nivåindelning av uppgifter. Uppgifterna i Matte direkt Borgen 6B valdes därför ut efter dem som mest efterliknade uppgifterna i Matematikboken Gamma g.

För att ta reda på hur uppgifterna ser ut i läromedlen används ett analysschema.

Analysschemat innehåller begrepp som definierar utmanande uppgifter enligt tidigare forskning. För att veta om uppgiften hade möjlighet till flera lösningar eller var

(14)

kopplad till ny och tidigare kunskap användes lärarhandledningen för respektive läromedel. Begrepp som granskades enligt analysschemat var:

Läromedel Gamma g Gamma g Gamma g Borgen 6B

Borgen 6B

Uppgift 1084 1085 1086 5 31 36

Abstrakt Ny kunskap Behövs tidigare kunskap för att lösa uppgiften?

Kopplad till verklig situation

Möjlighet/uppmanar till fler lösningar Uppmanar till kreativitet

Innehåller variation av räknesätt

X= Uppfyller kravet. O= Uppfyller inte kravet.

Först granskades alla valda uppgifter med hjälp av analysschemat. Uppgifterna uppfyllde antingen kravet eller inte. Om uppgiften uppfyllde kravet fick den ett x i avsedd ruta i analysschemat annars fick uppgiften ett o i avsedd ruta.

Resultatet användes för att se hur uppgifterna var konstruerade och vilka krav uppgifterna uppfyllde för att stimulera elever med matematisk fallenhet. Om en uppgift hade alla kriterier uppfyllda ansågs den vara en utmanande uppgift. Hade uppgiften inte alla krav uppfyllda räknades den inte som en tillräckligt utmanande uppgift. Resultatet användes även som ett filter för att hitta uppgifter värda en närmre granskning. Efter uppgifterna granskats i ett analysschema sammanställdes resultatet mellan läromedlen.

Efter sammanställningen av uppgifterna användes resultatet för att titta närmre på valda uppgifter. Vid den närmre granskningen observerades de valda uppgifternas formulering av frågeställning. Frågorna kunde antingen vara formulerade på ett öppet sätt eller vara vägledande.

Efter analysschemat och den närmre granskningen var genomförd sammanställdes resultatet i en jämförande analys med hjälp av analysschemat samt en analys av uppgifternas frågeställning.

6 Resultat & Analys

I resultatet används frågeställningarna för att presentera och redovisa läromedlens innehåll. Resultatet sammanfattas i likheter och skillnader mellan det som blivit

(15)

synligt i läromedlen. I läromedlen finns uppgifter för diskussion, individuellt arbete samt uppgifter som ska lösas med miniräknare. De utvalda uppgifterna i läromedlen är endast uppgifter som eleven kan lösa utan samarbete eller stöd av miniräknare.

Uppgifterna som gick att lösa med samarbete valdes bort för att kunna fokusera på elevens individuella lösningsstrategier. Då miniräknare kan klassas som ett hjälpmedel valdes uppgifterna där miniräknare var tillåtet bort. Efter resultatet har redovisats följer analysen av uppgifterna.

6.1 Hur ser de utmanande uppgifterna ut i läromedlen?

I Matematikboken Gamma g finns uppgifterna som läromedlet anser vara

utmanande i kapitlet problemlösning nivå fyra. Nivå fyra består av fem uppgifter.

En av uppgifterna är en diskussionsuppgift. En uppgift är markerad med en streckad linje. Det betyder att eleven bör använda miniräknare på den uppgiften. De tre återstående uppgifterna har benämningen 1084, 1085 och 1086. De är textuppgifter som går att lösa individuellt och utan miniräknare. Uppgift 1084 handlar om tid och sträcka. Eleven ska svara på hur lång tid det tar för ett tåg att passera en bro med hjälp av angiven hastighet och sträcka. Uppgift 1085 handlar om bråkräkning.

Uppgiften vill att eleven ska ta reda på hur många elever som går i en klass. Det ska eleven lösa med hjälp av bråkräkning. Uppgift 1086 handlar om mått, andelar och bråkräkning. Eleven ska ta reda på hur mycket hälften av en blandning är för att kunna späda den med vatten. Eleven ska även svara på hur mycket tre fjärdedelar av en blandning som är vatten. Svaren ska anges i milliliter. Uppgifterna finns

tillgängliga i bilaga 9.3.

I Matte direkt Borgen 6B saknas tornet i problemlösningskapitlet. Tornet är en del där eleven får arbeta med mer utmanande uppgifter om diagnosen gick bra.

Eftersom tidigare forskning anser att problemlösningsuppgifter kan vara utmanande uppgifter för elever med matematisk fallenhet valdes ändå det kapitlet ut i Matte direkt Borgen 6B. Kapitlet saknar nivåindelning på det sätt som Matematikboken Gamma g har, men eftersom det är problemlösning som är i fokus valdes ändå problemlösningskapitlet i Matte direkt Borgen 6B. De valda uppgifterna i Matte direkt Borgen 6B är de som mest efterliknar de valda uppgifterna i Matematikboken Gamma g. Uppgifterna har benämningen 5, 31 och 36 i kapitel 9 Problemlösning.

Uppgift 5 handlar om en damm med guldfiskar. Eleven ska räkna ut hur många plattor som behövs för att det ska räcka runt dammen. Eleven behöver använda sig av exempelvis area som räknesätt. Svaret ska beskriva hur många plattor som behövs. Uppgift 31 handlar om hur personer kliver av och på en flodbåt. Eleven ska svara på hur många personer det fanns från början. Uppgift 36 handlar om 14 lyktor och hur långt det är mellan första och sista lyktan. Eleven ska svara på det totala avståndet mellan första och sista lyktan. Avståndet mellan varje lykta är en halv meter. Uppgifterna finns tillgängliga i bilaga 9.3.

6.2 Vad innehåller läromedlens uppgifter för utmaningar som

stimulerar elever med matematisk fallenhet?

(16)

Uppgifterna i Matematikboken Gamma g kräver ett abstrakt tänkande då uppgifterna inte tillåter konkreta redskap för uträkning. För att lösa uppgifterna behöver eleven använda sig av olika strategier för att komma fram till en lösning. Strategierna som krävs för uppgiften presenteras inte i bokens kapitel om problemlösning, utan strategierna behöver komma från tidigare kunskaper. Uppgifterna är kopplade till verkliga situationer genom enhetsomvandling, tidsuppskattning och möjlighet att beräkna antal elever i en klass. Uppgifterna uppmanar även till kreativitet då eleven kan använda sig av olika lösningsstrategier. Eleven kan exempelvis göra

illustrationer av det matematiska problemet och använda sig av olika räknesätt.

I Matte direkt Borgen 6B, uppgift 5, 31 och 36 behöver eleven tänka sig situationen, som uppgiften bjuder in till att lösa, på ett abstrakt sätt. Eleven kan antingen vara kreativ i sin lösning och rita uppgiften för att förtydliga den. Den kan t.ex. rita dammen som det ska läggas plattor runt i uppgift fem, eller rita lyktorna i uppgift 36 för att få en tydlig bild av uppgiften. Eleven kan också beräkna antalet plattor i uppgift 5 med hjälp av en formel för area. Uppgifterna bjuder alltså in till flera olika räknesätt eller lösningsstrategier. I uppgift 5 får eleven inte formeln för area

tilldelad sig i kapitlet för problemlösning, eleven behöver därför ha med sig den kunskapen sen tidigare. Däremot tipsar boken vid uppgift 31 och 36 om förslag på lösningar. I exempeluppgiften föreslår boken att arbeta baklänges, rita en bild och att leta mönster. Uppgift 5, 21 och 36 har kopplingar till verkliga situationer.

Uppgift 5 visar hur man kan tänka för att ta reda på hur många plattor man kan behöva köpa vid ett dammbygge. Uppgift 31 tränar eleven i att ta reda på hur många personer det kan finnas på en båt. I uppgift 36 får eleven ta reda på hur långt avstånd det blir om man hänger upp lyktor med en halv meters mellanrum.

6.3 Sammanfattning av resultat

Uppgifterna i de två läromedlen liknar varandra. Innehållet består av att mäta avstånd och bråkräkning. Samtliga uppgifter är textuppgifter som behöver lösas i flera steg. Det som skiljer dem åt är att uppgift 1085 i Matematikboken Gamma g presenterar information som inte behövs för att lösa svaret, tio minuter före dagens första lektion och fem minuter senare. Uppgift 1086 frågar efter två svar istället för ett svar. Uppgift 1084 handlar om tid. Det gör inte de andra uppgifterna. Uppgift 1085 använder mått i sitt innehåll.

Samtliga uppgifter innehåller en situation att relatera till. Hur mycket det går att relatera till en uppgift beror på elevens erfarenhet. Uppgift 1085, med elever i en klass, jämfört med en professor som gör en blandning i en bägare kan vara lättare att relatera till för en elev. Men att relatera till en verklig händelse som ligger långt ifrån elevens vardag borde då kunna bli en utmaning. I det här fallet kan uppgiften med professorn, 1085, bli en utmaning om eleven har svårt att koppla uppgiften till en verklig händelse.

6.4 Analys

Analysen är strukturerad i olika begrepp från analysschemat. Under varje begrepp analyseras uppgifterna i en sammanfattande text kopplat till tidigare forskning kring

(17)

begreppet. Efter uppgifternas innehåll har analyserats med begreppen sammanfattas uppgifterna i sin helhet i ett sista stycke. I det sista stycket kopplas uppgifterna till teorierna. Genom analysen kopplas resultatet in löpande i texten.

6.5 Analysschema för uppgifter

Läromedel Gamma g Gamma g Gamma g Borgen 6B

Borgen 6B

Uppgift 1084 1085 1086 5 31 36

Abstrakt X X X X X X

Ny kunskap O O O O X X

Behövs tidigare kunskap för att lösa uppgiften?

X X X X X X

Kopplad till verklig

situation X X X X X X

Möjlighet/uppmanar till fler lösningar

X X X X X X

Uppmanar till kreativitet

X X X X X X

X= Uppfyller kravet. O= Uppfyller inte kravet.

6.6 Abstrakt tänkande

Att tänka abstrakt är att kunna utföra tankeoperationer med hjälp av abstrakta begrepp, scheman, modeller, symboler och formler. I analysschemat för uppgifterna kan man se att alla problemlösningsuppgifter använder sig av ett abstrakt tänkande oavsett läromedel. Uppgifterna presenterar en situation där eleven behöver föreställa sig hur uppgiften kan lösas utan konkreta redskap. Eleven behöver alltså lösa uppgiften i sin mentala rymd. När en uppgift är gjord för att lösas med abstrakt tänkande begränsas möjligheterna då eleven inte kan använda konkreta redskap. Det kan bidra till att uppgiften kan upplevas som mer utmanande än en uppgift som går att lösa konkret. Om uppgift 1084 används som exempel kan man se att eleven behöver föreställa sig hur ett tåg ska passera en bro som är 500m lång. Tåget är 100m långt och färdas i 30m/s. För att lösa uppgiften behöver eleven ”se” bron framför sig i sin mentala rymd och använda informationen i uppgiften för att komma fram till en lämplig lösningsstrategi. Enligt Hwang och Nilsson (2014) går ett barns inlärning och utveckling hand i hand. Ett abstrakt tänkande är en del av utvecklingen och kommer i ett senare stadie än vad ett konkret tänkande gör. Om ett abstrakt tänkande är en förmåga barn utvecklar senare än det konkreta är den abstrakta förmågan nyare och kan anses vara mer utmanande då den kräver mer av barnet.

(18)

6.7 Ny och tidigare kunskap

I analysschemat för uppgifterna kan man se att endast uppgift 31 och 36 uppfyller kravet på ny kunskap. Uppgift 31 och 36 använder sig även av tidigare kunskap. I resterande uppgifter behövs endast tidigare kunskap för att lösa uppgifterna. Att använda sig av tidigare kognitiv kunskap blir en repetition av tidigare kunskaper. Då får eleven koppla uppgiften till vad den tidigare lärt sig och tillämpa den metoden som en lösningsstrategi. Om uppgiften bjuder in till att använda sig av både ny och tidigare kunskap kan en ackommodation eller assimilation ske. Eleven behöver använda den nya kunskapen tillsammans med den tidigare för att lösa uppgiften. Att använda både ny och tidigare kunskap i en uppgift kan bjuda in till en större

utmaning än endast tidigare kunskap, då eleven behöver assimilera eller

ackommodera. Om en elev kan ta till sig relevant information och använda sig av tidigare och nyligen inlärda lösningsstrategier med hjälp av sin kognitiva förmåga visar eleven på en metakognition.

6.8 Koppling till verklig situation

Analysschemat för uppgifterna visar att alla uppgifter var kopplade till en verklig situation. En uppgift med koppling till en verklig situation använder sig exempelvis av verkliga föremål i uppgiftsbeskrivningen. Om man tittar på uppgift 36 som exempel så kan man se att den använder sig av lyktor i uppgiftsbeskrivningen.

Uppgiften använder sig av konkreta föremål istället för abstrakta föremål. Svaret på uppgiften påverkas inte i uppgift 36 om lyktorna istället skulle vara prickar. Men det gör att uppgiften går att relatera till. Om eleven känner igen sig i uppgiften för det är en situation den tidigare har funderat över eller om eleven känner att det finns ett syfte med uppgiften bidrar det till elevens stimulans.

6.9 Möjlighet till flera lösningar

Samtliga utvalda uppgifter gjorde det möjligt för två eller flera uträkningar av svaret. I uppgift 1085 kan eleven exempelvis välja att räkna baklänges eller rita streck för hur många elever det går på varje femtedel. En elev med matematisk fallenhet är som vilken annan elev som helst; behoven av utmaningar skiljer sig åt från individ till individ (Pettersson, 2008). Därför är det bra om en uppgift har fler än ett lösningsalternativ.

6.10 Kreativitet

I uppgift 1084 kan eleven använda sin kreativitet genom att rita upp sträckan tåget ska färdas på och se att hela tåget hamnar efter sträckan. Det leder då till att man räknar ut sträckan som 500m och sträckan av tåget som 100m till. Prova sig fram, rita en bild eller jämföra är exempel på kreativitet som handlar om att hitta lösningar. Kreativitet är en av ingredienserna i öppna och utmanande frågor (Mellroth, 2017).

(19)

6.11 Variation av räknesätt

Samtliga uppgifter innehåller en variation av räknesätt. I uppgift 1086 används exempelvis division för att först räkna ut hur mycket en tredjedel är. Sedan används multiplikation för att få fram hur mycket två tredjedelar är. Fortsättningsvis kan eleven använda subtraktion för att räkna ut hur mycket vatten det saknas. Enligt Szabo (2017) kan en utmanande uppgift innehålla en variation i räknesätten.

6.12 Uppgifternas frågeställning

Alla elever är individer och har en egen utgångspunkt i sitt kunnande. En elev kan ha matematisk fallenhet även om den inte har haft möjlighet att lära sig en mängd olika lösningsstrategier. Öppna frågeställningar bjuder in till kreativa lösningar med hjälp av metakognition och elevens tidigare erfarenheter samt kunskaper. I en uppgift där man ska ”lägga till” eller ”ta bort” en viss mängd vägleds eleven till addition eller subtraktion. Med en öppen frågeställning får eleven själv välja metod för att lösa uppgiften. Om eleven själv får välja lösningsmetod blir uppgiften individanpassad, då eleven kan använda kunskapen den har vid tillfället.

Uppgifterna 31 och 36 uppfyllde alla kriterier i analysschemat för uppgifterna.

Analysschemats kriterier kan bidra som en vägledning till vad en berikande och utmanande uppgift kan vara. Då uppgift 31 och 36 uppfyllde alla kriterier kan dem anses vara berikande samt utmanande. Det analysschemat inte bidrar med är en analys av hur frågeställningen i uppgiften är formulerad. De uppgifter som uppfyllde alla kraven analyseras därför i sin frågeställning.

Uppgift 31 bjuder in till att eleven kan visa upp sina kunskaper och förmågor. Det är enligt Mellroth (2017) vad en öppen frågeställning ska bidra med. Eleven kan visa upp sina kunskaper och förmågor genom att använda en variation av räknesätt och kreativitet för att lösa uppgiften. Frågeställningen i uppgiften är hur många personer det fanns på båten från början. För att svara på uppgiften kan eleven själv välja hur den ska komma fram till svaret. Om uppgiften inte hade varit öppen skulle

frågeställningen kunna vara till exempel hur många personer finns det på båten om man tar bort tio stycken. Då vägleder frågeställningen istället till subtraktion och bidrar till att eleven måste kunna använda sig av subtraktion.

I uppgift 36 ska eleven svara på hur långt det är mellan den första och sista lyktan.

Hur eleven kommer fram till svaret är valfritt och öppet för en kreativ lösning.

Eleven kan t.ex. rita lyktorna på ett papper och addera avståndet mellan lyktorna för att komma fram till svaret. Den kan också lösas genom att eleven utesluter att det inte blir ett avstånd efter den 14:e lyktan. Eleven dividerar 13 med 2, då avståndet mellan lyktorna skulle vara en halv meter och tvåan representerar då hälften av en meter. Svaret av 13 dividerat med 2 blir 6.5.

6.13 Sammanfattning av analys och resultat

(20)

Här sammanfattas vad resultatet och analysen har bidragit med. Det kopplas till tidigare forskning, teorier och frågeställningar.

I läromedlens utvalda delar har vi sett att båda läromedlen använder sig av ett abstrakt tänkande i problemlösningsuppgifterna. När läromedlen använder sig av abstrakta uppgifter utgår de ifrån att eleven har utvecklat ett abstrakt tänkande och har möjlighet till att lösa uppgiften. Enligt lärarhandledningen har eleven rustats under tidigare kapitel för att klara av abstrakta uppgifter. Ett barns utveckling och inlärning går hand i hand enligt, Hwang och Nilsson (2014). Om eleven har rustats i sin inlärning till att klara abstrakta uppgifter bör eleven enligt Hwang och Nilsson (2014) ha utvecklats för att klara av abstrakt tänkande.

Med hjälp av analysschemat har uppgifternas innehåll blivit synligt. Då

analysschemat är baserat på vad tidigare forskning anser vara utmanande uppgifter gav analysschemat en indikation på den första frågeställningen. Den andra

frågeställningen blev synlig genom analysschemat och den djupare analysen av uppgift 31 och 36. Uppgift 31 och 36 frågeställning analyserades för att ge en insikt i hur en uppgift, som uppfyller alla krav i analysschemat, kan vara formulerad. Om uppgiften är formulerad med en öppen frågeställning och uppfyller alla krav i analysschemat anses uppgiften vara en utmanande uppgift. Det fyra av sex uppgifter saknade var kravet på ny kunskap för att lyckas räkna ut uppgiften.

Om de fyra uppgifterna som inte uppfyllde kravet på ny kunskap hade inkluderat det skulle alla uppgifter anses vara utmanande uppgifter för att stimulera elever med matematisk fallenhet.

7 Diskussion

Nedan diskuteras analysens metod, trovärdighet, tillförlitlighet och resultat, följt av tankar kring fortsatt forskning inom området.

7.1 Metoddiskussion

I urvalet av läromedel valdes två läromedel ut som används i årskurs 6. Syftet med läromedelsgranskningen var att göra en rättvis och objektiv granskning. Enligt Vetenskapsrådet (2017) handlar det om en balans mellan olika kunskapsintressen där personliga intressen läggs åt sidan. Risken att studiens objektivitet skulle påverkas av författarens eller andra forskares erfarenheter (Denscombe, 2009) minskades med analysens och resultatets tydliga verktyg. På så sätt ökar möjligheter för andra forskare att komma fram till samma resultat som i studien.

Resultatet av tre uppgifter från varje läromedel kan verka lite. Men för att få ett rättvist resultat valdes uppgifter ut som var inom samma ämnesområde och liknade varandra.

(21)

7.2 Resultatdiskussion

Ambitionen med studien var att granska utmanande uppgifter i Matematik direkt Borgen 6B (Carlsson, 2013) och Matematikboken Gamma g (Undvall, 2013) samt att se vad de utmanande uppgifterna innehåller för att stimulera elever med

matematisk fallenhet. Under studien skapades ett verktyg för att få en överskådlig blick över vilka typer av uppgifter som var utmanande och på så sätt kunde passa elever med matematisk fallenhet. På så sätt sparas tid vid lärarens val av läromedel, då många lärare inte hinner granska sina läromedel enligt Skolvärlden (2014).

För att få ett generaliserbart resultat behövs fler uppgifter och fler läromedel analyseras. En större mängd av insamlade fakta ökar tillförlitligheten för ett generaliserbart resultat. En mer omfattande läromedelsanalys där fler läromedel granskas skulle ge ett mer varierat och kvalitetssäkrat resultat.

Resultatet är beroende av vilka uppgifter som analyserades. Studien utgick från det läromedlen själva namngav som utmanande uppgifter. Sedan analyserades

uppgifterna med hjälp av analysverktyget som togs fram efter teoriernas begrepp för att se om de matchade begreppen från tidigare forskning. Frågan om läromedlen innehåller utmanande uppgifter för elever med fallenhet kunde lätt ses i

analysschemat. Antal X besvarade hur många begrepp från tidigare forskning som uppfylldes. Uppgift 31 och 36 innehåller alla kriterier för utmanande uppgifter.

Övriga fyra uppgifter innehåller 6/7 kriterier för utmanande uppgifter. Utmanande uppgifter ger elever möjlighet till stimulans och att utvecklas matematiskt. Men studien svarar inte på hur eleverna utvecklar sina matematiska förmågor (Skolverket, 2018).

Det kan konstateras att det finns utmanande uppgifter i Matematik direkt Borgen 6B och Matematikboken Gamma g . Analysschemat anger hur många kriterier

uppgifterna uppfyller och gör det lätt att upptäcka vilka uppgifter som är utmanande i olika läromedel. Genom att använda sig av analysschemat kan lärares arbete underlättas när de vill se till att elever med matematisk fallenhet får utmanande uppgifter.

7.3 Fördjupad forskning

Resultatet av granskningen visade att problemlösningsuppgifter kan vara uppgifter som uppfyller kraven för utmaningar hos elever med matematisk fallenhet. För att genomföra granskningen användes ett analysschema baserat på tidigare forskning inom området. Med hjälp av det analysschemat kan man granska uppgifter oavsett läromedel.

I läraryrket kommer man troligtvis att undervisa elever med matematisk fallenhet vid något tillfälle. Med hjälp av granskningen kan lärare oavsett läromedel använda analysschemat för att undersöka ifall uppgifterna eleverna med matematisk fallenhet får är tillräckligt utmanande. Granskningen kan förhoppningsvis även bidra med en insikt i strukturen på en utmanande uppgift samt en insikt i hur elever med

matematisk fallenhet kan bemötas.

(22)

Om en fördjupad forskning skulle ske inom området skulle den kunna undersöka andra typer av uppgifter med hjälp av analysschemat. Det skulle kunna bidra till en fördjupad förståelse kring uppgifter som kan utmana och utveckla elever med matematisk fallenhet.

Det hade även varit intressant att göra intervjuer av elever med matematisk fallenhet för att se hur de upplever olika uppgifter i läromedlen. Det hade varit av intresse för att få faktiska elevsvar på vad de själva anser vara utmanande och vilken typ av uppgifter de själva tycker är stimulerande. Den informationen skulle kunna

användas för att utveckla uppgifter i läromedel för elever med matematisk fallenhet.

(23)

8 Referenslista

Bryman, A. (2013). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber Ekonomi.

Carlsson, S. (2013). Matte direkt Borgen. 6B. (2. uppl.) Stockholm: Sanoma utbildning.

Denscombe, M. (2009). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. (2. uppl.) Lund: StudentlitteraturHolmqvist, M.

(red.) (2004). En främmande värld: om lärande och autism. Lund:

Studentlitteratur.

Hwang, P. & Nilsson, B. (2011). Utvecklingspsykologi. (3., rev. utg.) Stockholm:

Natur och kultur.

Laine, S., & Tirri, K. 2016. How finnish elementary school teachers meet the needs of their gifted students. High Ability Studies, 27(2), 149-164.

M, Anusha., & N, Hussain. (2014). Motivating Learning in Mathematics through Collaborative Problem Solving: A Focus on Using Rich Tasks. Journal of Education and Educational Development (1), 26-39.

Mellroth, E. (2017). The suitability of rich learning tasks from a pupil perspective. I CERME 10: Proceedings of the Tenth Congress of European Society for Research in Mathematics Education (s. 1162–1169).

Pettersson, E. (2008). Hur matematiska förmågor uttrycks och tas om hand i en pedagogisk praktik (Licentiate dissertation). Matematiska och systemtekniska institutionen, Växjö.

SAOL, (2015). Svenska Akademiens ordlista över svenska språket. 14. uppl.

Stockholm: Svenska Akademien

SFS 2010:800. Skollag. Stockholm: Utbildningsdepartementet.

Skolinspektionen, (2009). Undervisning i matematik – utbildningens innehåll och ändamålsenlighet.

Skollagen, 2011. Den nya skollagen – för kunskap, valfrihet och trygghet.

Skolverket, 2011. Högpresterande elever, höga prestationer och undervisningen.

Tillgänglig:

https://www.skolverket.se/getFile?file=2929

Skolverket. (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Reviderad 2018).

Skolvärlden, 2014. Åtta av tio lärare hinner inte granska läromedel.

(24)

SO, (2009). Svenska Akademiens ordlista över svenska språket. 13. uppl. Stockholm:

Svenska Akademien

Szabo, A. (2017). Mathematical abilities and mathematical memory during problem solving and some aspects of mathematics education for gifted pupils (PhD dissertation). Department of Mathematics and Science Education, Stockholm University, Stockholm.

Undvall, L. (red.) (2013). Matematikboken Gamma γ, A-boken. (1. uppl.) Stockholm: Liber.

Vetenskapsrådet (2011). Forskningsetiska principer.

Vetenskapsrådet. (2017). God forskningssed. Vetenskapsrådets rapportserie.

(25)

Bilagor

Bilaga 1, Analysschema

ANALYSSCHEMA Förklaring/definition/Innehåller minst ett kriterie

Uppfyller Uppfyller inte

Abstrakt • Symboler

• Begrepp

• Talmönster

• Ekvation

• Hitta samband

• Mönster

Ny kunskap • T.ex. en förövning

till ett nytt kapitel i läromedlet.

• Geometri

• Tabell

• Mönster

• Procent Kopplad till verklig

situation ^•

Bild eller text innehåller t.ex.: mat, nöjesfält, en klass med elever Möjlighet/uppmanar

till fler lösningar ^•

Rita en bild

• Prova sig fram

• Rita en bild

• Rita två eller fler lösningar

• Jämföra Innehåller variation av

räknesätt

• Addition

• Subtraktion

• Multiplikation

• Division

(26)

Bilaga 2, Analysschema för uppgifter

Analysschema Gamma g uppgift 1084

Uppfyller X Uppfyller inte O

Abstrakt X

Ny kunskap O

X

Abstrakt X

Ny kunskap O

X

situation X

X Uppmanar till

kreativitet

X Innehåller variation av räknesätt

X

(27)

Abstrakt X

Ny kunskap O

X

X Möjlighet/uppmanar till fler lösningar

X Uppmanar till

kreativitet

X

Analysschema Borgen 6B Uppgift 5

Abstrakt X

Ny kunskap O

X

X Uppmanar till

kreativitet

X

(28)

Abstrakt X

Ny kunskap X

X

X Uppmanar till

kreativitet

X

Abstrakt X

Ny kunskap X

X

situation X

X Uppmanar till

kreativitet

X

(29)

Bilaga 3, Utvalda uppgifter

(30)

Figur 4 (s. 285) Liber, Undvall, L. (red) (2013). Matematikboken Gamma g A- boken. (1. Uppl

(31)

Fakulteten för teknik

391 82 Kalmar | 351 95 Växjö