Kunskapskrisen i matematik
- undersökning av lärande på Youschool, ett webbaserat matematikstöd
John Rödin
UMK900, Examensarbete (30 hp)
Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapernas didaktik vid Stockholms Universitet
Civilingenjör och Lärare (300 hp) Inriktning: Kemi och matematik Vårterminen 2015
Examinator: Carl-Johan Rundgren Huvudhandledare: Tanja Pelz-Wall
Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapernas didaktik vid Stockholms Universitet
Biträdande handledare: Hans Thunberg
Institutionen för Matematik vid Kungliga Tekniska Högskola
English title: Alarmingly low proficiency in mathematics in Swedish education – A study of learning by Youschool, a private tutor on the
web ! !
!
! 2!
Kunskapskrisen i Matematik
- undersökning av lärande på Youschool, ett webbaserat matematikstöd
John Rödin
Abstract
There!are!a!growing!number!of!companies!in!Sweden!that!provide!private!tutoring!to!students!
in!upper!secondary!school,!one!of!these!companies!is!Youschool.!They!distinguished!themselves!
from!the!others!by!having!a!tutor!communicating!with!a!student!via!Internet!–!using!pencil!and!
sound!in!real!time.!Youschool!provide!virtual!classes!with!two!to!four!students!at!each!time!lead!
by!one!teacher!using!a!“document!camera”!as!the!main!communication!equipment.!The!students!
put!their!notebooks!under!their!document!cameras!and!are!thereafter!able!to!demonstrate!their!
solutions!and!follow!each!other’s.!They!can!literally!follow!each!stroke!of!each!other’s!pencils.!!!!!
!!
Matematik!2b!is!a!mathematics!unit!in!the!Swedish!upper!secondary!school!mainly!taken!by!
students!in!the!Business!Management!and!Economics!Programme!and!the!Humanities!
Programme,!both!theoretical!programmes!preparing!students!for!university!studies.!Statistics!
based!upon!the!Swedish!national!examinations!each!year!shows!that!a!great!number!of!students!
fail!the!tests!in!this!unit.!
!!
This!is!a!qualitative!study!based!on!semi!structured!telephone!interviews!of!students!taking!the!
Matematik!2b!unit,!and!who!are!using!Youschool!as!private!tutoring,!as!well!as!observations!of!a!
screen!filmed!class!where!students!practiced!solving!mathematic!problems.!The!purpose!of!the!
study!is!to!research!whether!Youschool!is!supportive!in!studying!mathematics!or!not.!In!the!
discussion!section!of!this!study,!both!the!curriculum!of!the!unit!and!the!van!HieleJlevels!are!
referred!to!when!analysing!the!findings.!
!!
The!results!points!out!the!importance!of!a!supportive!and!challenging!tutor!to!help!students!to!
keep!their!motivation!up!during!classes!in!Youschool.!Furthermore,!some!mathematics!skills!
might!be!better!practiced!using!Youschool!than!others,!therefore!students!wish!to!exercise!
further!mathematic!problems!to!stimulate!thinking!on!the!higher!van!HieleJlevels.!However,!the!
technology!that!is!supposed!to!enable!learning!by!Youschool!might!sometimes!be!the!one!thing!
to!hinder!a!student!from!learning.!Problems!with!the!technology!therefore!impose!Youschool!to!
update!their!systems!to!affirm!effective!learning.!
Keywords
Youschool, mathematics education, private tutoring, virtual teaching, document camera, van Hiele, crisis of thinking
!
Sammanfattning
En!rad!företag!som!erbjuder!läxhjälp!har!uppstått!sedan!Rutavdraget!för!läxhjälp!utökades!till!
att!gälla!för!gymnasieelever.!Youschool!är!ett!av!dessa!företag.!Det!som!utmärker!Youschool!är!
att!de!erbjuder!läxhjälp!där!elever!och!lärare!kan!kommunicera!med!varandra!både!med!penna!
och!ljud!i!realtid!via!nätet.!De!tillhandahåller!virtuella!lektioner!med!en!lärare!på!2!till!4!elever!åt!
gången,!där!en!dokumentkamera!är!det!verktyg!som!utgör!grunden!i!kommunikationstekniken.!
Eleverna!lägger!exempelvis!sitt!skrivblock!under!sina!dokumentkameror!och!så!kan!de!som!är!
med!på!lektionen!följa!varandras!resonemang,!eftersom!de!hela!tiden!kan!se!vad!alla!gör!med!
sina!pennor.!
!
Matematik!2b!är!en!kurs!främst!för!elever!som!läser!på!Samhällsvetenskapsprogrammet!eller!på!
Ekonomiprogrammet,!två!högskoleförberedande!gymnasieprogram.!Statistik!för!resultaten!på!
de!nationella!proven!i!kursen,!från!totalundersökningar!i!Sverige,!visar!att!en!hög!andel!elever!
får!underkänt!betyg!på!provet.!
!
Denna!studie!är!kvalitativ!och!utgörs!av!semistrukturerade!telefonintervjuer!med!elever!som!
läser!Matematik!2b!och!som!använder!Youschool!som!läxhjälp!samt!av!observationer!från!en!
skärminspelad!lektion!på!Youschool!där!eleverna!jobbar!med!ett!för!studien!tillrättalagt!
material!som!testar!deras!kunskaper!om!funktionsbegreppet.!Syftet!är!att!undersöka!om!och!i!så!
fall!hur!läroverktyget!Youschool!kan!utgöra!ett!stöd!i!elevers!kunskapsutveckling!i!Matematik!
2b.!Kursens!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor!hos!eleverna!och!van!Hieles!
tankenivåer!är!de!analysverktyg!som!används!i!diskussionen!av!resultaten.!
!
Lärarens!roll!som!stöttande!och!utmanande!framträder!som!viktig!för!att!upprätthålla!elevernas!
motivation!till!att!arbeta!under!lektionerna!på!Youschool.!Vidare!kan!eventuellt!antydas!att!
eleverna!tränas!i!vissa!matematiska!förmågor!mer!än!andra,!och!att!elever!önskar!fler!uppgifter!
som!stimulerar!deras!tänkande!på!de!högre!av!van!HieleJnivåerna.!Tekniken!som!å!ena!sidan!
möjliggör!undervisningen!på!Youschool!kan!behöva!utvecklas!eftersom!den!å!andra!sidan!ofta!
strular.!
!
Nyckelord
Youschool,!läxhjälp!på!nätet,!dokumentkamera,!Matematik!2b,!Ma2b,!nationella!prov,!van!Hiele,!
förmågor,!centralt!innehåll,!kunskapskrav!
! Tack
Tack!Tanja!PelzJWall!för!att!du!har!velat!vara!ett!bollplank!genom!hela!den!långa!process!som!
det!har!inneburit!för!mig!att!skriva!ett!examensarbete.!Tack!Hans!Thunberg!för!matematisk!
granskning.!Tack!till!er!båda!för!er!handledning!och!för!att!ni!har!pushat!på!och!hjälpt!mig!
genom!arbetet.!Tack!Fredrik!Jansson!som!har!öppnat!upp!mina!ögon!för!Youschool.!Tack!Björn!
Olsson!för!användbara!kommentarer!som!opponent.!Tack!Jessika!Rödin!för!engelsk!
översättning.!Sist!men!inte!minst!ett!stor!tack!till!familj!och!vänner!som!har!stått!ut!med!mig!och!
har!bidragit!med!värdefullt!stöd!och!kommentarer!under!skrivprocessen. !
!
! 4!
!
Innehållsförteckning0
!
1! Inledning!och!bakgrund!...!5!
1.1! Nationella!prov!i!gymnasieskolan!efter!reformen!2011!...!6!
1.2! Läxläsning!...!7!
1.3! Youschool,!en!virtuell!skola!på!nätet!...!8!
1.4! Pilotstudie!på!komvux!...!9!
1.5! Denna!studie!i!korthet!...!10!
2! Teori!...!11!
2.1! Centralt!innehåll!och!bedömning!av!elevers!kunskaper!i!Ma2b!...!11!
2.2! Funktionsbegreppet!...!15!
2.3! Van!Hieles!tankenivåer!...!18!
2.4! Kommunikativ!teori!om!lärande!...!20!
3! Syfte!och!frågeställningar!...!22!
4! Metod!...!23!
4.1! Telefonintervjuer!...!23!
4.2! Skärminspelad!lektion!...!24!
5! Resultat!...!26!
5.1! Telefonintervjuer,!resultat!...!26!
5.1.1! Vad!inspirerar!de!intervjuade!att!börja!använda!Youschool?!...!26!
5.1.2! Vad!i!Youschool!utgör!ett!stöd!för!de!intervjuade!att!närma!sig!sina! betygsmål?!...!26!
5.1.3! Ser!de!intervjuade!något!som!kan!utvecklas!på!Youschool?!...!30!
5.2! Skärminspelad!lektion,!observationer!...!31!
6! Diskussion!...!36!
6.1! Hur!använder!elever!Youschool?!...!36!
6.2! På!vilket!sätt!kan!Youschool!utgöra!ett!stöd!för!elever!i!deras!lärande!i!Ma2b?!.!36! 6.3! Vilka!förmågor!går!att!träna!via!Youschool?!...!37!
6.4! En!vidare!reflektion!...!39!
6.5! Reliabilitet,!validitet!och!generaliserbarhet!...!39!
Källförteckning!...!41!
!
00 0
1 Inledning0och0bakgrund0
!
Idén!till!studien!grundar!sig!i!att!jag!under!höstterminen!2012!får!i!uppdrag!att!starta!
upp!och!genomföra!en!kvällskurs!i!matematik!för!komvuxstuderande.!Kursen!är!
Matematik!2b,!Ma2b.!Tiden!för!detta!är!i!startgroparna!strax!efter!en!sjösättning!av!nya!
läroplaner!med!nya!gymnasiekurser,!GY11!och!VUX12.!Politikers!retorik!är!att!det!ska!
bli!en!mer!kunskapsorienterad!skola!än!tidigare,!vilket!är!en!av!tankarna!som!ligger!
bakom!de!nya!läroplanerna.!!
!
Ma2b!är!den!lägsta!gymnasiekursen!i!matematik!som!av!flera!högskoleutbildningar!
kräver!som!särskild!behörighet.!Kursen!ingår!även!som!obligatorium!i!det!
högskoleförberedande!samhällsvetenskapligaJ!och!ekonomiprogrammet.!Initialt!ligger!i!
dessa!faktorer!enda!motivationen!till!att!läsa!kursen,!för!många!elever!på!såväl!
gymnasiet!som!på!komvux.!De!behöver!minst!det!lägsta!godkända!betyget!i!kursen!för!
att!kunna!få!en!plats!på!önskad!högskoleutbildning.!
!
Kursen!Ma2b!är!även!den!första!påbyggnadskursen!i!matematik!på!gymnasiet!och!
kursinnehållet!upplevs!i!stor!utsträckning!som!helt!nytt!för!elever!jämfört!med!till!
exempel!övergången!från!grundskolematematik!till!kurs!1!på!gymnasiet.!Kvällskursen!
som!nämndes!tidigare!bör!snarare!ses!som!att!den!tas!över,!mer!än!att!den!startas!upp,!
då!likheterna!med!den!tidigare!första!påbyggnadskursen!Matematik!B,!MaB,!är!stora.!
Jämfört!med!innehållet!i!MaB!är!innehållet!i!Ma2b,!i!linje!med!gymnasiereformen,!dock!
något!utökat.!Redan!innan!denna!utökning!upplevdes!påbyggnadskursen!som!en!
problemkurs!på!skolor.!!
!
Det!nationella!provet!i!Ma2b!är!obligatoriskt!för!alla!elever!som!har!kursen!som!den!
högsta!och!avslutande!matematikkursen!i!sin!utbildning,!det!vill!säga!de!elever!som!
läser!samhällsvetenskapligt!eller!ekonomiskt!program.!Ett!undantag!är!de!elever!som!
läser!ekonomiprogrammet!med!inriktning!ekonomi,!eftersom!även!den!efterföljande!
matematikkursen!utgör!en!obligatorisk!kurs!för!dem.!Många!elever!misslyckas!på!det!
nationella!provet!i!Ma2b,!vilket!genererar!en!stor!andel!underkända!betyg!i!kursen.!För!
att!läsa!mer!om!nationella!provresultat!för!Ma2b,!se!1.1.!
!
Problemet!med!underkända!betyg!ärvs!alltså!av!den!nya!kursen!Ma2b!från!den!gamla!
MaB,!men!det!blir!nu,!mer!än!tidigare,!synligt!i!statistiken!eftersom!problemet!är!större!
på!komvux!och!på!de!gymnasieprogram!som!inte!är!naturvetenskapligt!eller!tekniskt!
inriktade.!På!de!naturvetenskapliga!och!tekniska!programmen!kan!antas!att!elever!är!
mycket!medvetna!om!hur!viktiga!matematikkunskaper!är!för!deras!egen!framtid.!Nu!när!
de!eleverna!har!fått!egna!kurser,!Matematik!1c,!2c!och!3c,!som!statistikförs!för!sig,!
kommer!den!stora!andelen!underkända!betyg!på!de!andra!programmen!som!läser!Ma2b!
i!ljuset.!!
!
TIMSS%och!PISA!är!två!omtalade!internationella!jämförelseundersökningar!som!båda!
sägs!visa!att!svenska!elevers!matematikkunskaper!blir!allt!sämre!och!sämre.!Dock!bör!
nämnas!att!båda!studierna!enbart!är!inriktade!på!grundskoleelever,!med!undantag!för!
den!minde!utbredda!undersökningen!TIMSS%Advanced!som!för!svenska!elever!är!
!
! 6!
inriktad!på!sistaårselever!på!naturvetenskapligtJ!eller!tekniskt!program.1!Dessa!elever!
läser!inte!Ma2b.!!
!
De!fallande!resultaten!i!grundskolan!kan!antas!utgöra!en!ytterligare!faktor!till!att!många!
elever!har!svårigheter!att!ta!till!sig!av!den!matematik!som!de!möter!i!det!efterföljande!
gymnasiet.!Dock!klarar!flertalet!av!eleverna!ändå!den!första!kursen!på!gymnasiet.!
!
1.1 Nationella0prov0i0gymnasieskolan0efter0reformen020110
!
Från!och!med!hösten!2011!genomförs!totalinsamlingar!av!provresultaten!på!de!
nationella!proven!av!statistiska!centralbyrån.2!Skolorna!väljer!själva!om!proven!i!Ma2b!
genomförs!på!höstJ!eller!vårterminen!men!majoriteten!av!skolorna!väljer!att!genomföra!
dem!under!vårterminen.!Statistik!som!redovisas!i!tabeller!nedan!är!endast!för!de!prov!
där!minst!18!000!elever!deltar!och!vars!provbetyg!rapporteras.!Betygsskalan!ska!läsas!
så!att!F!är!lägst,!det!vill!säga!underkänt!betyg,!E!näst!lägst!och!lägsta!godkända!betyg!och!
A!är!det!högsta!möjliga!betyget.!!
!
Statistiken!visar!att!42,!8!%!av!eleverna!som!skriver!nationellt!prov!i!kursen!Ma2b!vt!
2014!får!provbetyget!F.!Motsvarande!siffra!för!vt!2013!är!29,2!%.!En!detalj!som!kan!vara!
av!vikt!att!tillägga!är!att!i!provet!vt!2013!ingick!en!muntlig!del!i!provet,!det!ingick!inte!i!
provet!vt!2014.!
!
Provbetyg*NP*Ma2b*(%)* F! E! D! C! B! A!
vt*13* 29,2! 37,7! 18,7! 10,5! 3,1! 0,8!
vt*14* 42,8! 30,4! 14,9! 9,5! 1,9! 0,4!
Tabell01.1.1.00Statistik!för!NP!Ma2b.!
I!sammanhanget!är!det!även!intressant!att!studera!motsvarande!siffror!från!den!första!
matematikkursen!dessa!elever!möter!på!gymnasiet.!!
!
Provbetyg*NP*Ma1b*(%)* F! E! D! C! B! A!
vt*12* 30,2! 33,3! 20,9! 8,7! 5,2! 1,8!
vt*13* 7,3! 40,1! 27,5! 16,1! 6,8! 2,2!
vt*14* 16,7! 35,0! 23,9! 14,7! 6,4! 3,3!
Tabell01.1.2.00Statistik!för!NP!Ma1b.!
Av!resultaten!att!döma,!bara!utifrån!att!till!exempel!studera!andelen!F!i!de!två!olika!
kurserna,!så!har!fler!elever!lättare!att!ta!till!sig!kursinnehållet!i!kurs!1!jämfört!med!kurs!
2.!Ett!undantag!är!den!höga!andelen!F!på!det!nationella!provet!vt!12,!det!första!provet!i!
kursen!som!gavs!efter!att!ett!läsår!gått!sedan!införandet!av!GY11.!Elever!som!skrev!detta!
prov!hade!gått!i!grundskolan!enligt!den!gamla!skolformen,!och!var!kanske!bättre!
förberedda!för!den!gamla!introduktionskursen!Matematik!A!då!de!kom!till!gymnasiet!än!
för!Ma!1b!som!hade!ett!annat!innehåll.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1!Skolverket,!Internationella!studier,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/statistikJochJ utvardering/internationellaJstudier!(hämtad!2014J10J22)!
2!Skolverket,!SIRIS!J!Nationella!prov,!2014,!tillgänglig:!http://siris.skolverket.se/siris/f?p=SIRIS:114:0::NO!
(hämtad!2014J11J20)!
!
En!hypotes!är!att!elever!kan!uppleva!nationella!provet!i!kurs!1!som!lättare!än!vad!
innehållet!i!kursen!är!och!utifrån!detta!överskatta!sin!”förmåga!att!skriva!nationella!
prov”.!I!slutet!av!kurs!2!kanske!dessa!elever!istället!upplever!det!nationella!kursprovet!i!
denna!kurs!som!svårare!än!vad!de!hade!förväntat!sig.!Statistiken!visar!att!ett!glapp!
skapats!mellan!de!två!kurserna!då!det!till!exempel!under!de!senare!av!de!redovisade!
åren!är!en!större!andel!elever!som!får!F!i!kurs!2!än!i!kurs!1.!
!
Statistiken!bör!dock!inte!läsas!så!att!för!stor!vikt!läggs!vid!att!vt!2012!skrev!en!större!
andel!elever!F!i!kurs!1!jämfört!med!motsvarande!andel!F!i!kurs!2!vt!2013.!Många!av!
dessa!elever!kan!antas!vara!samma!elever,!men!det!var!bara!ca!18!000!elever!som!
redovisades!ha!skrivit!NP!Ma2b!vt!2013!jämfört!med!ca!30!000!elever!för!NP!Ma1b!vt!
2012.!
!
För!att!sätta!resultaten!i!relation!till!resultaten!på!kurserna!1c!och!2c,!för!naturvetare!
och!tekniker,!bör!även!motsvarande!siffror!för!dessa!kurser!presenteras.!Dessa!prov!
skrivs!varje!gång!av!färre!elever!än!proven!ovan,!men!de!har!istället!skrivits!fler!gånger!
än!för!kurserna!1b!och!2b.!För!1c!ligger!andelen!F!på!de!hittills!skrivna!proven!mellan!
2,7!%!och!5,4!%,!motsvarande!siffror!för!2c!är!att!andelen!F!ligger!mellan!10,9!%!och!
15,4!%.!Det!går!att!dra!slutsatsen!att!även!för!naturvetarJ!och!teknikelever!är!
kursinnehållet!lättare!att!ta!till!sig!i!kurs!1!jämfört!med!kurs!2,!men!att!en!mindre!andel!
över!lag!får!underkända!betyg!i!matematik!jämfört!med!samhällsvetarJ!och!
ekonomielever.!
!
En!mycket!viktig!fråga!som!dyker!upp!och!behöver!undersökas!är:!Vad%är%det%som%gör%att%
eleverna%har%så%svårt%med%just%denna%kurs?%%
!
1.2 Läxläsning0
!
Lärarledd!undervisningstid!omtalas!inte!sällan!som!en!bristvara.!För!den!omnämnda!
kvällskursen!på!komvux!är!den!sammanlagda!tiden!54!timmar,!inkluderande!två!
provskrivningar,!det!vill!säga!en!tre!timmar!lång!lektion!en!gång!i!veckan,!under!en!
termin.!Gymnasieelever!har!ofta!mer!undervisningstid.!Skollagen!slår!fast!att!elever!på!
högskoleförberedande!program!har!rätt!till!minst!2!180!undervisningstimmar!om!60!
minuter.3!Utslaget!i!lika!stora!andelar!för!varje!poäng!av!de!2500!poäng!som!
högskoleförberedande!examen!innehåller,!motsvarar!kursen!Ma2b,!som!är!på!100!
poäng,!därmed!87,2!undervisningstimmar.!Oavsett!är!troligen!i!båda!fallen!den!knappa!
tiden!långt!ifrån!tillräcklig!för!elever!att!ta!till!sig!kursinnehållet!på!den!nivå!som!krävs!
för!ett!godkänt!kursbetyg.!!
!
Elever!behöver!lägga!ner!tid!utöver!lektionstid!på!läxläsning.!John!Hattie!presenterar!
2009!en!så!kallad!meta?meta?analys!av!en!stor!mängd!effektstudier!i!skolan!i!vilken!han!
använder!effektstorlek!som!måttenhet!för!att!mäta!hur!mycket!olika!faktorer!påverkar!
elevers!studieresultat.4!Effektstorlek!är!en!term!som!är!hämtad!från!medicinsk!forskning!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3!SFS!2010:800,!Skollag,!16!kap.,!Utbildning%på%nationella%program%i%gymnasiet,!18!§.!
4!Hattie,!J.,!Synligt%lärande:%en%syntes%av%mer%än%800%metaanalyser%om%vad%som%påverkar%elevers%skolresultat,!
Natur!&!Kultur,!Stockholm,!2014.!
!
! 8!
och!mäts!huvudsakligen,!ibland!med!små!modifieringar,!enligt!något!av!följande!två!sätt,!
se!nedan:!
!
d = µbehandling−µkontroll
σ eller d =µefter behandling−µföre behandling
σ !
!
En!faktor!som!Hattie!studerar!är!förekomst!av!hemläxor.!Studien!av!hemläxors!
påverkan!omfattar!5!metaanalyser!av!totalt!sett!161!studier!och!därmed!motsvarande!
ett!elevunderlag!på!över!100!000!elever.!Resultaten!visar!att!det!finns!markanta!
skillnader!i!effekt!hos!grundskoleJ!jämfört!med!gymnasieelever.!Medelvärdet!av!
effekterna!på!studier!i!grundskolan!är!d=0,15,!medan!motsvarande!siffra!för!gymnasiet!
är!d=0,64.!!
!
Effekterna!kan!bedömas!utifrån!en!skala!där!d < 0!motsvarar!motsatt!eller!negativ!
effekt,! 0 < d ≤ 0,15 !motsvarar!effekt!som!skulle!kunna!uppnås!utan!påverkan!eller!låg!
effekt,! 0,15 < d ≤ 0, 4 motsvarar!effekt!som!uppnås!med!undervisning!eller!medeleffekt!
och! d > 0, 4 motsvarar!önskad!effekt!eller!hög!effekt.!De!givna!gränserna!ska!inte!ses!som!
orubbliga,!men!de!utgör!en!tumregel!så!att!det!finns!något!att!följa.!
!
En!intressant!notering!som!Hattie!gör!är!att!effekterna!även!ser!ut!att!vara!större!för!
högpresterande!elever!än!för!lågpresterande.!Han!varnar!även!för!att!i!de!fall!hemläxor!
inte!följs!upp!av!läraren,!finns!risken!att!en!förstärkning!sker!av!elevers!känsla!av!att!han!
eller!hon!inte!kan!lära!sig!på!egen!hand!och!därmed!inte!kan!klara!av!skolarbetet.5!
!
Värt!att!ha!i!beaktande!är!att!tyngdpunkten!av!alla!studier!som!Hattie!har!analyserat!är!
från!engelskspråkiga!länder.!Definitionen!av!hemläxor!verkar!även!vara!snävt!definierad!
till!uppgifter!som!lärare!gett!till!eleverna!och!som!är!avsedda!att!utföras!utanför!
lektionstid.6!
!
1.3 Youschool,0en0virtuell0skola0på0nätet0
!
Elever!kan!behöva!hjälp!med!läxläsningen,!dels!med!utformning!av,!och!innehåll!i,!
läxläsningen!och!dels!med!själva!genomförandet!av!den.!Youschool7!är!ett!
läxhjälpsföretag!vars!affärsidé!går!ut!på!att,!till!ett!överkomligt!pris,!erbjuda!elever!
stödundervisning!via!internet!i!främst!grundskoleJ!och!gymnasiematematik.!Läxhjälpen!
utformas!av!virtuella!lektioner!där!elever!i!grupper!om!cirka!två!till!fyra!elever!under!
handledning!av!en!lärare!arbetar!med!matematikuppgifter.!En!begränsning!i!tekniken!är!
dock!att!det!maximalt!går!att!följa!vad!fyra!personer!gör!samtidigt.!
!
Tekniskt!krävs,!för!att!lektionerna!på!Youschool!ska!fungera!som!tänkt,!att!både!lärare!
och!elever!har!en!dokumentkamera!och!är!uppkopplade!till!internet.!I!grunden!utgör!
Youschools!hemsida!en!lärplattform!där!både!lärare!och!elever!kan!kommunicera!med!
varandra!muntligt!och!skriftligt.!För!att!det!ska!gå!att!se!varandras!skrifter!läggs!ett!
vanligt!skrivhäfte!under!dokumentkameran!som!är!kopplad!till!internet!via!en!dator.!Det!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
5!ibid.!s.!315.!
6!ibid.!s.!314.!
7!Youschool,!webbplats:!www.youschool.se!
d=effektstorlek µ=medelvärde σ=standardavvikelse
går!då!för!alla!närvarande!att!följa!varandras!resonemang!i!skrift,!live,!även!om!alla!inte!
befinner!sig!på!samma!plats.!En!artikel!i!Aftonbladet!fångar!essensen!av!det!som!gör!att!
Youschool!kan!vara!tilltalande!att!prova!som!ett!komplement!till!undervisningen.!!!
!
”Youschool!ska!enligt!Fredrik8!kännas!som!en!blandning!mellan!Facebook,!Youtube!
och!Skype,!och!är!en!virtuell!skola!där!man!som!elev!kan!välja!ett!klassrum!med!
lärare!eller!där!man!kan!plugga!tillsammans!med!sina!kompisar.![…]!!
!
Nyckeln!till!interaktiviteten!ligger!i!webbkameran[dokumentkameran],!men!att!bara!
se!varandras!ansikten!hjälper!inte!mycket!när!man!ska!visa!krångliga!
matteuträkningar.!Därför!säljer!Youschool!en!egen!webbkamera![dokumentkamera]!
som!istället!filmar!anteckningsblocket!vid!sidan!av!datorn.!’Jag!vet!att!det!är!väldigt!
”analogt”!att!använda!papper!och!penna,!men!rent!pedagogiskt!är!det!snabbt!enkelt!
och!överlägset!mest!effektivt.!Vår!kameralösning!är!ganska!unik,!och!vi!föredrar!
förstås!att!våra!elever!använder!den!förr!eller!senare.’”%9%
%
Ett!sidoprojekt!som!också!bedrivs!på!Youschool!är!inspelning!av!filmer!med!
lösningförslag!till!flera!av!de!vanligaste!läroböckerna!i!matematik!i!svensk!gymnasieJ!
och!grundskola.!Filmerna!kan!ses!gratis!för!alla!som!skapar!ett!konto!på!Youschool.!
!
1.4 Pilotstudie0på0komvux0
!
För!att!återgå!till!komvuxeleverna!på!kvällskursen!ht!2012,!så!informeras!de!om!den!
stora!vikten!av!att!utöver!lektionstid!kontinuerligt!plugga!i!kursen.!I!viss!utsträckning!
följer!flera!av!eleverna!också!instruktionerna.!Trots!ambitionerna!så!lyckas!ett!flertal!av!
kursdeltagarna!inte!nå,!alternativt!kan!inte!uppvisa,!den!kunskapsnivå!som!krävs!för!ett!
godkänt!betyg!i!Ma2b.!!
!
Inför!kursstarten!av!kvällskursen!vt!2013!kommer!jag!i!kontakt!med!Youschool.!Med!en!
ny!grupp!elever!i!samma!kurs!gör!jag!under!vt!2013!ett!pilotprojekt!för!att!undersöka!
och!öka!förståelsen!kring!hur!YS!skulle!kunna!utvecklas!som!ett!stöd!i!Ma!2b,!
komvuxeleverna.!!
!
I!projektet!tillkommer!två!timmars!undervisningstid!varje!vecka.!Eleverna!har!kvällen!
innan!varje!lektion!möjlighet!att!gå!in!på!Youschools!lärplattform!och!där!besöka!mitt!
klassrum!under!dessa!två!timmar!för!att!få!läxhjälp.!Då!de!går!in!i!klassrummet!under!
angiven!tid!finns!jag!där!för!att!hjälpa!dem!med!den!teori!och!uppgifter!som!de!har!svårt!
med.!Varje!ordinarie!undervisningspass!i!kvällskursen!inleds!därefter!med!ett!kort!
skriftligt!läxförhör,!vilket!följs!av!en!genomgång!av!förhörsuppgifterna!så!att!eleverna!
får!snabb!feedback!på!sina!prestationer.!
!
Med!dessa!tillägg!gjorda!i!upplägget!för!kvällskursen!minskar!andelen!elever!som!får!F!i!
kursen!från!75!%,!ht!2012,!till!45!%,!vt!2013.!Dessutom!ökar!antalet!elever!som!är!kvar!i!
kursen!vid!kursslut,!från!16!till!20!elever,!räknat!utifrån!att!det!vid!de!två!olika!
kursstarterna!var!ungefär!lika!många!elever!vid!kursstart.!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
8!Fredrik!Jansson,!grundare!av!och!matematiklärare!på!Youschool!
9!von!Essen,!C.,!Din!skola!på!nätet,!Aftonbladet,%Fokus:%Studera,!Mars!2013!
!
! 10!
Att!siffrorna!rimmar!dåligt!med!totalundersökningen!av!nationella!provresultat,!se!1.1,!
bör!i!sammanhanget!försvaras!något.!Dels!med!att!flertalet!av!eleverna!på!komvux!som!
läser!kursen!Ma2b!inte!gör!det!för!första!gången!utan!har!ett!okänt!antal!misslyckade!
försök!bakom!sig.!Dels!med!att!det!nationella!provet!inte!är!obligatoriskt!för!
komvuxelever!och!att!de!därmed!inte!ingår!i!statistiken.!
!
Eftersom!pilotstudien!endast!omfattar!ett!litet!elevunderlag,!rör!det!sig!inte!om!någon!
statistisk!studie.!Därmed!är!det!svårt!att!kunna!avgöra!ifall!det!finns!några!avgörande!
faktorer!i!och!med!de!nämnda!förändringarna!av!kursen,!eller!om!det!bara!råkar!röra!sig!
om!att!det!är!andra!elever!under!de!två!olika!terminerna.!Vidare!går!det!tyvärr!heller!
inte!att!säga!något!om!i!vilken!utsträckning!den!extra!lärarledda!läxläsningstiden!eller!
de!återkommande!förhören!separat!från!varandra!skulle!kunna!tänkas!bidra!till!en!
eventuell!positiv!effekt.!Det!skulle!kunna!vara!så!att!det!positiva!utslaget!är!ett!resultat!
av!de!båda!förändringarna!i!kombination.!
%
Även!läsår!ht!14/vt!15!testar!jag!ett!liknande!kursupplägg,!men!denna!gång!för!
gymnasielever.!Gymnasieungdomarna!erbjuds!samma!kvällsläxhjälp!och!ungefär!en!
gång!per!vecka!har!även!de!läxförhör!som!är!utformade!på!ungefär!samma!sätt!som!för!
komvuxeleverna.!Därvid!upphör!likheterna!med!pilotstudien.!Eleverna!läser!på!en!
annan!skola.!Undervisningen!sträcker!sig!över!ett!läsår!istället!för!under!en!termin.!De!
har!tre!kortare!undervisningspass!i!veckan!istället!för!ett!enda!längre!pass.!De!läser!i!
skolan!på!dagtid.!De!har!en!annan!lärobok.!Dessa!elevers!studieresultat,!som!grupp!
betraktat,!visar!vid!en!jämförelse!med!föregående!års!elevers!resultat,!då!Youschool!inte!
tillämpades,!tyvärr!inga!förändringar.!Beräkningarna!som!gjordes!var!i!andelar!elever!
som!får!högre,!lägre!eller!oförändrat!betyg!i!kurs!2!jämfört!med!i!kurs!1.!
!
1.5 Denna0studie0i0korthet0
*
Utifrån!mitt!perspektiv,!ett!lärarperspektiv,!bidrar!de!framsteg!som!pilotstudien!på!
komvux!eventuellt!visar!till!att!jag!blir!intresserad!av!att!göra!en!kvalitativ!studie!som!
undersöker!vilka!möjligheter!till!stöd!som!går!att!finna!i!Youschool,!för!elever!i!sitt!
lärande.!En!annan!utgångspunkt!för!denna!studie!är!min!utbildning,!Civilingenjör!och!
lärare!med!inriktningen!kemi!och!matematik!vid!KTH.!I!utbildningen!lärde!jag!mig!att!
anta!ett!”lösningsorienterat!perspektiv”,!kanske!är!det!därför!som!jag!ofta!stimuleras!av!
att!upptäcka!problem!och!att!undersöka!om!jag!kan!hitta!lösningar!på!dem.!Målet!med!
denna!studie!är!att!undersöka!om!Youschool!kan!vara!ett!pedagogiskt!och!effektivt!
redskap!i,!eller!ett!komplement!till,!undervisningen!i!problemkursen!Ma2b.!
!
I!kapitel!2!studeras!först!de!styrdokument!från!skolverket!som!ligger!till!grund!för!
Ma2b.!Studien!avgränsas!sedan!till!att!behandla!de!delar!i!det!centrala!kursinnehållet!
som!är!kopplat!till!funktionsbegreppet.!Vidare!redovisas!olika!tolkningar!av!kursens!
styrdokument,!dels!av!de!ansvariga!för!de!nationella!proven,!dels!av!olika!
läroboksförlag.!Kapitlet!avslutas!med!några!teorier!om!och!forskning!kring!lärande.!I!
kapitel!3!beskrivs!studiens!syfte!och!de!frågeställningar!som!undersöks!i!studien.!I!
kapitel!4!redogörs!för!de!metoder!för!kvalitativa!studier!som!används,!intervjuer!och!
lektionsobservation.!I!kapitel!5!redovisas!resultatet!av!de!undersökningar!som!görs!i!
studien.!Studien!avslutas!i!kapitel!6!med!en!diskussion!om!resultatet,!kopplad!till!
styrdokument!och!teori!om!lärande.!
2 Teori0
!
2.1 Centralt0innehåll0och0bedömning0av0elevers0kunskaper0i0Ma2b0
Ämnesplanerna!i!läroplanen!Gy11!är!skrivna!med!rubrikerna!centralt%innehåll!och!
kunskapskrav.%10!I!denna!studie!är!tolkningen!av!styrdokumenten!gjord!så!att!
undervisningen!i!kursen!ska!handla!om!det!centrala!innehållet!i!kursen,!men!inte!att!
eleverna!ska!bedömas!utifrån!vilka!kunskaper!inom!det!centrala!innehållet!som!de!visar!
att!de!har!tillgodogjort!sig.!Elevernas!betyg!ska!bedömas!utifrån!vilka!kunskapskrav!som!
de!har!uppfyllt.!!
Någon!vill!kanske!i!sammanhanget!passa!på!att!spetsfundigt!hävda!att!eleverna!kravlöst!
kan!klara!kurserna!utan!att!de!egentligen!har!tillgodogjort!sig!några!kunskaper!om!det!
centrala!innehållet.!För!att!undvika!att!detta!sker!anammas!därför!här!en!
bedömningskultur!som!innebär!att!elevers!kunskaper!testas!genom!att!de!utsätts!för!väl!
valda!uppgifter!som!är!avsedda!att!testa!kursinnehållet.!De!kunskapskrav!eller,!som!
andra!kallar!dem,!de!förmågor%som!eleverna!har!tillgodogjort!sig!i!kursen!sätts!därmed!
”ändå”!på!prov.!Beroende!på!hur!varierade!uppgifterna!är!och!med!exempelvis!lämpligt!
valda!följdfrågor!går!det!att!arrangera!så!att!eleverna!kan!behöva!tillämpa!de!flesta!eller!
kanske!rentav!alla!matematiska!förmågor!i!en!sekvens!av!uppgifter.!Vilka!de!
matematiska!förmågorna!är!och!hur!de!är!kopplade!till!kunskapskraven!utreds!närmre!
efter!att!det!centrala!innehållet!har!presenterats.!
Centralt%innehåll%i%Ma2b%
Eftersom!det!i!studien!undersöks!hur!elever!på!Youshool!arbetar!med!funktioner!så!
hänsyn!taget!till!detta!i!urvalet!ur!det!centrala!innehållet!i!Ma2b!nedan.!Utvalt!är!allt!i!
det!centrala!innehållet!som!handlar!om!funktioner,!men!under!den!observerade!
lektionen!i!studien!arbetar!eleverna!enbart!med!punkt!2!och!punkt!4.!
”Undervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehåll:**
• Begreppet!logaritm!i!samband!med!lösning!av!exponentialekvationer.!
!
• Räta!linjens!ekvation!samt!hur!analytisk!geometri!binder!ihop!geometriska!
och!algebraiska!begrepp.!
!
• Egenskaper!hos!andragradsfunktioner.!
• Konstruktion!av!grafer!till!funktioner!samt!bestämning!av!funktionsvärde!och!
nollställe,!med!och!utan!digitala!verktyg.”!
% %
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
10!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och- kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04)!
!
! 12!
Kunskapskrav%för%Ma2b%
Kunskapskraven!har!av!flera!styrdokumentstolkare!försökt!att!konkretiseras!genom!att!
de!kategoriseras!i!7!förmågor!som!elever!ska!ges!möjlighet!att!utveckla!i!
undervisningen.!Sedan!ska!elevernas!betyg!bedömas!i!utifrån!den!nivå!på!varje!av!
förmågorna!som!de!uppnått!i!slutet!av!kursen.!Förmågorna!som!här!skrivs!kursivt!har!
sin!grund!i!skolverkets!sammanfattning!av!gymnasieämnet!matematiks!syfte11!och!är!
formulerade!i!tabell!2.1.1.!
Förmåga! Förkortning! Skolverkets!definition!
”Undervisningen!i!ämnet!matematik!ska!ge!eleverna!förutsättningar!att!
utveckla!förmåga!att:!
Begrepp% B använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.
Procedur% P hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.
Problemlösning% PL formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.
Modellering% M tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.
Resonemang% R följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
Kommunikation K kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.
Relevans Rlv relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.”
! Tabell02.1.1.0Skolverkets!definition!av!matematiska!förmågor!med!gängse!förkortningar.0
Som!har!setts!avsnitt!1.1!om!resultat!från!nationella!proven,!betygssätts!elever!enligt!en!
6Jgradig!skala,!där!F!är!det!lägsta!betyget!och!underkänt,!E!det!näst!lägsta!och!första!
godkända!betyget!och!A!det!högsta!betyget.!Det!är!för!betygen!E,!C!och!A!som!det!finns!
kunskapskrav.!Mellanbetygen!D!och!B,!ges!de!elever!som!inte!fullt!ut,!men!till!
övervägande!del,!har!uppfyllt!kunskapskraven!för!ett!högre!betyg!i!betygsskalan.!I!
Appendix!I!återfinns!de!fullständiga!kunskapskraven!i!skolverkets!egen!matris.!
Ett!exempel!på!konkretisering!som!kan!göras!av!kunskapskraven!i!Ma2b!är!kopplat!till!
förmågorna!i!tabell!2.1.1!ovan!kan!ses!i!tabell!2.1.2!på!nästa!sida.!Urvalet!av!
kunskapskrav!som!presenteras!i!denna!tabell!är!gjort!så!att!det!är!kopplat!till!vilka!
uppgifter!eleverna!får!i!uppdrag!att!arbeta!med!på!den!lektion!på!Youschool!som!
observeras!i!denna!studie.!Kunskapskrav!knutna!till!förmågan!relevans!är!därför!inte!
redovisade!i!tabellen.!Kunskapskrav!knutna!till!förmågan!kommunikation!är!samtidigt!
knutna!till!andra!förmågor!som!till!exempel!förmågan!begrepp,!därför!finns!heller!inte!
kommunikation!med!i!tabellen.!Kunskapskrav!finns!som!nämnts!tidigare!endast!för!
betygen!E,!C!och!A,!och!vid!en!närmre!observation!kan!ses!att!kravformuleringarna!
överensstämmer!för!alla!tre!betygen!i!allt!utom!de!fetmarkerade!orden.!Dessa!avvikande!
ord!är!de!”värdeord”!som!ska!användas!vid!bedömning,!i!exempelvis!kraven!som!
kopplats!till!förmågan!begrepp!används!bland!andra!orden!översiktligt!kontra!utförligt!
för!att!skilja!mellan!två!olika!betygsnivåer.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
11!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014
! E0 C0 A0 Begrepp Eleven kan översiktligt
beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen.
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen.!
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen.
!
Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer.!
Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer.
Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer.
!
Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av
matematiska symboler och andra
representationer.
Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.
Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.
Procedur I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av
standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av
standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.
Problem- lösning
Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta situationer.
Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena.!
Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa
matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena.!
Modellering I arbetet gör eleven om realistiska
problemsituationer till matematiska
formuleringar genom att tillämpa givna
matematiska modeller.
I arbetet gör eleven om realistiska
problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller.
I arbetet gör eleven om realistiska
problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller.
Resonemang Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden
Eleven kan föra
välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras
resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden.
Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden.
Tabell02.1.2.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor.!
!
! 14!
Både!författare!till!de!nationella!proven!och!till!flertalet!av!de!mest!använda!
läroböckerna!har!beslutat!sig!för!att!på!olika!sätt!och!i!olika!grad!ta!fasta!på!dessa!
förmågor.!
PRIMJguppen!som!ansvarar!för!provkonstruktionen!av!de!nationella!proven!för!
grundskolan!och!för!gymnasiekurserna!Ma1a,!1b,!och!1c!har!sammanställt!en!7!gånger!
3Jmatris!där!varje!förmåga!tilldelats!de!tre!betygsnivåerna!E,!C!och!A,!liknande!den!i!
tabell!2.1.2.12!Elevsvaren!på!uppgifter!på!de!nationella!proven!poängsätts!utifrån!hur!
fullständig!och!korrekt!en!lösning!på!dem!bedöms!vara.!Vissa!uppgifter!på!proven!
innehåller!en!eller!få!poäng,!alltså!bedömningspunkter,!medan!andra!innehåller!
betydligt!fler.!Poängen!är!också!nivåbestämd,!och!kallas!beroende!på!nivå!för!EJ,!CJ!eller!
AJpoäng.!Till!varje!poäng!kopplas!en!av!de!sju!förmågorna.!Oavsett!hur!många!av!
förmågorna!som!eleven!behöver!behärska!för!att!kunna!avge!ett!poänggivande!svar!så!
görs!en!avvägning!vilken!av!förmågorna!som!uppgiften!huvudsakligen!testar.!Det!är!
denna!förmåga!som!också!blir!kopplade!till!poängen.!Man!använder!då!förkortningarna!i!
tabell!2.1.1.!Till!exempel,!EP,!Betyder!en!poäng!på!EJnivå!där!den!huvudsakliga!förmågan!
som!har!bedömts!testas!i!uppgiften!är!procedur.!Samtliga!förmågor!utom!relevans!
kopplas!på!detta!sätt!till!poängen!på!de!nationella!proven.!
Institutionen!för!tillämpad!utbildningsvetenskap!vid!Umeå!universitet!som!ansvarar!för!
konstruktionen!av!de!nationella!proven!i!de!högre!kurserna!på!gymnasiet!använder!
samma!system!för!poängsättning!av!provuppgifter!som!görs!under!PRIMJgruppens!
ansvar.!Avvägningar!av!vad!som!är!den!huvudsakliga!förmågan!som!testas!i!uppgifterna!
kan!däremot!antas!skilja!från!mellan!de!två!olika!huvudmännen!för!de!nationella!
proven.!Figur!2.1.3.!visar!ett!exempel!på!uppgift!med!tillhörande!bedömningsanvisning!
från!provkonstruktören.!Uppgiften!är!första!uppgiften!på!det!nationella!provet!i!Ma2b!vt!
2012,!ett!av!de!prov!som!släppts!för!att!kunna!användas!som!övningsprov!i!
undervisning.!I!bedömningen!kan!ses!att!aJuppgiften!har!avvägts!testa!främst!förmågan!
procedur!respektive!bJuppgiften!främst!förmågan!begrepp.!Uppgiften!är!även!den!
inledande!uppgift!som!elever!arbetar!med!under!en!lektion!på!Youschool,!se!4.2!och!5.2.!
! !
!
Figur02.1.3.00Uppgift!1!på!NP!Ma2b!vt!2012,!med!bedömningsanvisning.13!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
12!Stockholms%universitet,!PRIM?gruppen,%Dokument,!2014,!tillgänglig:!
http://www.su.se/polopoly_fs/1.129061.1402923516!/menu/standard/file/A4_Kunskapskrav%201bc%
20i%20matrisform_140128.pdf!(hämtad!2015J06J24)!
13!Umeå%universitet,!Nationella!kursprov!i!matematik!2J4,!2015,!tillgänglig:!
http://www.edusci.umu.se/np/npJ2J4/tidigareJgivnaJprov/!(hämtad!2015J06J15)!
NpMa2b vt 2012
2 1.
a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten k 1 (1/0/0)
2. Förenkla uttrycket (x 5)(x 5) 25 så långt som möjligt.
______________________(1/0/0)
3. Lös ekvationerna
a) x(x 7) 0 ______________________(1/0/0)
b) lg x 3 ______________________(1/0/0)
c) 23 2x 22x ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
NpMa2b vt 2012
8 Bedömningsanvisningar
Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlös- ningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i mate- rialet markeras detta med en symbol.
Del I
1. Max 2/0/0
a) Korrekt svar (y 2x 4) +1EP
b) Godtagbart ritad rät linje +1EB
2. Max 1/0/0
Korrekt svar (x ) 2 +1EP
3. Max 2/1/0
a) Korrekt svar (x1 0ochx2 7) +1EP
b) Korrekt svar (x 103) +1EP
c) Korrekt svar (x 3) +1CP
4. Max 1/0/0
Korrekt svar (Alternativ B: x2 6 0) +1EB
5. Max 0/1/0
Korrekt svar (y 7 0,35x) +1CM
6. Max 0/1/0
Korrekt svar (x 2) +1CB
7. Max 0/1/1
a) Korrekt svar ( 7
m
x ) +1CP
b) Korrekt svar 3
x +1AP
NpMa2b vt 2012
2 1.
a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten k 1 (1/0/0)
2. Förenkla uttrycket (x 5)(x 5) 25 så långt som möjligt.
______________________(1/0/0)
3. Lös ekvationerna
a) x(x 7) 0 ______________________(1/0/0)
b) lg x 3 ______________________(1/0/0)
c) 232x 22x ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Även!läroboksförfattare!har!lagt!fokus!på!dessa!förmågor!på!olika!sätt.!Sanoma!har!
poängsatt!uppgifterna!i!sina!exempelprov!på!samma!sätt!som!görs!på!de!nationella!
proven.!Exempelproven!tillhandahåller!de!lärarna!som!använder!deras!böcker.!Gleerups!
har!för!alla!olika!uppgifter!eller!för!grupper!av!uppgifter!i!boken!märkt!dem!med!vilken!
förmåga!de!avser!att!testa.!Natur%och%kultur!håller!på!att!utarbeta!en!mobilapp!som!i!
vilken!de!uppgifter!från!boken!som!hamnar!där!kommer!att!vara!markerade!utifrån!
vilka!förmågor!den!testar,!ungefär!på!samma!sätt!som!Gleerups!gör!i!sina!läroböcker.!Ett!
snabbt!experiment!gjordes!under!en!övning!då!lärare!var!inbjudna!till!en!föreläsning!om!
Natur%och%Kulturs!planer!kring!elektroniska!läromedel.!Det!visade!sig!att!en!slumpvis!
utvald!uppgift!från!deras!lärobok!kunde!bedömas!testa!helt!olika!förmågor!beroende!av!
olika!lärare,!det!som!kanske!avgjorde!var!på!vilken!skola!läraren!undervisade,!vilka!
program!som!gavs!på!skolan!eller!kortare!sagt!vilka!erfarenheter!läraren!hade.!
!
2.2 Funktionsbegreppet0
Elevers!förståelse!för!begreppet!funktion!utgör!en!bas!och!är!en!avgränsning!för!denna!
studie.!Förutsättningarna!att!arbeta!med!den!del!av!det!centrala!innehållet!i!Ma2b!som!
handlar!om!funktioner!beror!av!de!erfarenheter!av!funktioner!elever!har!med!sig!av!från!
i!tidigare!kurs,!Ma1b,!och!från!grundskolan.!För!att!inte!göra!en!för!lång!tillbakablick!kan!
det!räcka!med!att!studera!det!centrala!innehållet!i!Ma1b.!
”Undervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehåll:**
• Begreppen!funktion,!definitionsJ!och!värdemängd!samt!egenskaper!hos!linjära!
funktioner!och!potensJ!och!exponentialfunktioner.!
!
• Representationer!av!funktioner,!till!exempel!i!form!av!ord,!gestaltning,!
funktionsuttryck,!tabeller!och!grafer.!
!
• Skillnader!mellan!begreppen!ekvation,!algebraiskt!uttryck!och!funktion.”14!
!
Vad!är!en!funktion?!!
!
En!studie!av!hur!de!4!ledande!läroböckerna!för!gymnasiekurserna!i!matematik!
presenterar!detta!ger!en!fingervisning.!I!tabell!2.2.1,!nästa!sida,!finns!en!
sammanställning!av!hur!en!funktion!definieras!i!läroböckerna!i!kursen!Ma1b.!Elever!
förväntas!som!tidigare!nämnts!ha!med!sig!dessa!kunskaper!när!de!börjar!kurs!2b.!
! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
14!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och- kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04)!
!
! 16!
!
Lärobok,!
förlag! Definition!av!funktion!
Origo, Sanoma
”En funktion är ett samband eller ett beroende mellan två variabler.
Man säger att y är en funktion av x, om det till varje värde på x endast finns ett bestämt värde på y.”15
Ma 5000, Natur och kultur
”Om sambandet mellan två variabler x och y är sådant att varje x- värde, enligt någon regel, ger ett bestämt y-värde, kan vi säga att y är en funktion av x.16
Exponent, Gleerups
”y är en funktion av x om det finns en regel eller ett samband som för varje x-värde i en given mängd ger precis ett y-värde. För att ange att y är en funktion x används beteckningen y = f(x).”17
M, Liber Saknas
0 Tabell02.2.1.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor.0
!
Alla!böckerna!utom%M!förklarar!vad!en!funktion!är!och!väljer!att!likna!den!vid!en!maskin,!
som!ifall!man!stoppar!in!ett!invärde!i!maskinen!ger!tillbaka!ett!utvärde.!M!varken!
försöker!sig!på!att!definiera!eller!att!förklara!vad!en!funktion!är,!men!inleder!sitt!kapitel!
om!funktioner!med!att!beröra!begreppet!kortfattat.!
!
”Ordet!funktion!betyder!samband.!En!funktion!kan!vara!något!helt!vardagligt!som!t!
ex!att!telefonräkningen!beror!på!hur!mycket!du!ringer.!Ofta!beskrivs!funktioner!med!
hjälp!av!formler,!tabeller!och!grafer.”%18%
%
Resten!av!funktionskapitlet!i!M!består,!förutom!av!räkneuppgifter,!enbart!av!lösta!
uppgiftsexempel.!Viktiga!tillhörande!begrepp!såsom!olika!representationsformer!för!en!
funktion,!formel,!värdetabell!och!graf,!illustreras!genom!små!kommentarer!tillhörande!
instruktioner!av!hur!räkneexempel!ska!lösas.!På!liknande!sätt!introducerar!de!
beteckningen f (x) ,!genom!att!utgå!från!ett!exempel!på!en!funktion!där!kostnaden!beror!
av!körsträckan!hos!en!hyrbil!samt!en!beräkning!av!kostnaden!efter!8!körda!mil.!
!
”Lägg!märke!till!att!K(8) är!ett!skrivsätt.!Det!är!inte!en!multiplikation!!Här!har!vi!
använt!bokstaven!K!som!i!Kostnad.!Vanligast!är!att!använda!bokstaven!f,!som!i!ordet!
funktion.”%19%
!
Origo!utmärker!sig!genom!att!de!undviker!att!använda!begreppet!formel%som!
representationsform!för!en!funktion.!Deras!kapitel!inleds!med!en!kommentar!om!hur!
begreppet!funktion!används!i!några!andra!sammanhang!än!inom!matematiken!innan!de!
kommer!till!hur!det!bör!tolkas!i!matematiken.!Där!de!nämner!där!att!en!funktion!kan!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
15!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!
Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!178.!
16!Alfredsson,!L.,!Björk,!L.!E.,!Brolin,!H.,!Bråting,!K.,!Erixon,!P.,!Heikne,!H.,!Ristamäki,!A.,!Matematik%5000,%
Kurs%1b%Grön%lärobok,%Natur!och!Kultur,!Stockholm!s.!316.!
17!Gennow,!S.,!Gustafsson,!I.!M.,!Silborn,!B.,!Exponent%1b,!1!uppl.,!Gleerups!Utbildning!AB,!Malmö,!2011,!s.!
202.!
18!Holmström,!M.,!Smedhamre,!E.!och!Sjunnesson,!J.,!M%Matematik%1b,!1!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2011,!s.!
184.!
19!ibid.!s.!197.!
skrivas!som!en!formel,!men!sedan!överges!begreppet!formel!helt.20!I!resten!av!kapitlet!
om!funktioner!används!istället!synonymt!för!formel!ekvation,!eller!funktionsuttryck.!
%
Gemensamt!för!samtliga!av!läroböckerna!är!att!de!låter!elever!som!läser!kursen!i!
lärobokens!ordning!att!komma!i!kontakt!med!begreppet!formel,!innan!de!kommer!
i!kontakt!med!begreppet!funktioner.!Det!väljer!alla!att!lägga!definition!av!vad!en!
formel!är!i!ett!kapitel!för!algebra,!som!är!kapitlet!före!eller!några!kapitel!före!det!
om!funktioner.!
!
Ett!annat!gemensamt!drag!är!att!de!även!väljer!att!repetera!från!grundskolan!i!
varierande!grad!kunskaper!om!koordinatsystem,!avläsning!i!grafer!och!linjära!
samband!innan!de!introducerar!beteckningen! f (x) .!Minst!repetition!står!Exponent!
för!som!verkar!vilja!introducera!beteckningen!snabbare!än!de!övriga,!de!väntar!
med!att!låta!eleverna!arbeta!med!linjära!funktioner!tills!efter!att!de!gjort!
definitionen!för!en!funktion!samt!introducerat!beteckningen f (x) .!
!
I!bredare!bemärkelse!behöver!en!funktion!inte!enbart!begränsas!till!en!relation21! mellan!element!i!mängder!som!innehåller!tal.!Nedanstående!figur!visar!exempel!på!
hur!en!relation!mellan!element!i!definitionsmängd!X!och!värdemängd!Y!som!är!en!
funktion!kan!se!ut,!där!värdemängden!innehåller!bokstäver.!!
!
%
Figur002.2.2.00Diagram!för!olika!observationstyper.!22!
Även!definitionsmängden!kan!bestå!av!något!annat!än!tal.!För!att!ge!det!hela!en!lite!
mer!vardaglig!beskrivning!så!kan!följande!exempel!betraktas!som!en!funktion.!I!en!
grupp!människor,!mängd!A,!har!varje!person!en!favoritsmak!bland!glassmaker,!
vanilj,!choklad,!och!hallon,!mängd!B.!Invärdet!till!funktionen!är!i!detta!fall!en!
person,!och!utvärdet!är!en!av!de!tre!glassmakerna.!Favoritsmak,!regeln,!är!en!
funktion!av!person!till!glassmak.!Johan!kan!till!exempel!ha!favoritsmaken!vanilj,!
medan!Kent!har!favoriten!choklad.!Det!är!fullt!möjligt!för!två!personer!att!ha!
samma!favoritsmak.!Det!kan!till!exempel!vara!så!att!både!personerna!Johan!och!
Anna!tycker!bäst!om!vanilj.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
20!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!
Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!161.!
21!Ma2b!har!ett!avgränsat!centralt!innehåll.!Definition!av!begreppet!relation!kan!bedömas!ligga!
utanför!kursen!samt!inte!tillföra!något!djup!i!studien.!Det!begrepp!som!används!fortsättningsvis!
utanför!detta!stycke!istället!för!relation!är!regel,!samma!begrepp!som!också!några!av!kursens!
läroböcker!använder.!
22!Garten.!B.!i.,%Injection%keine%Injektion%2a,%,!2011,%tillgänglig!
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg#/media/File:Injection_
keine_Injektion_2a.svg%(hämtad!2015J06J09)!
!
! 18!
2.3 Van0Hieles0tankenivåer0
!
Nivåerna!gällande!matematiskt!tänkande!kallas!fortsättningsvis!enbart!van%Hiele?
nivåerna.!Detta!är!min!tolkning!av!van!HieleJnivåerna,!det!finns!avvikande!tolkningar.23!
!
1955!presenterar!makarna!van!Hiele!en!artikel!som!påverkar!efterföljande!
matematikundervisning!och!läroplanskrivning,!främst!inom!geometri!och!kanske!främst!
i!deras!hemland,!Nederländerna.!Pierre!van!Hiele!skriver!1986,!efter!hans!fru!Dina!van!
Hieles!bortgång,!en!bok!som!placerar!van!HieleJnivåerna!i!ett!perspektiv!som!omfattar!
en!större!del!av!matematikämnet!än!enbart!geometrin.!24!Denna!bok!ligger!till!grund!för!
min!tolkning!av!van!Hielenivåerna.!
!
Van!Hiele!skriver!att!en!viktig!inspirationskälla!till!idéerna!om!elevers!olika!tankenivåer!
i!matematiken!är!kommentarer!från!hans!egna!elever.!Han!lägger!märke!till!att!flertalet!
av!eleverna!i!början!har!svårt!att!förstå!geometri,!men!när!de!har!fått!arbeta!med!ämnet!
en!längre!period!och!med!väl!valda!uppgifter!övervinner!de!flera!av!svårigheterna!och!
istället!ser!det!geometri!som!ganska!lätt.!Inte!sällan!händer!det!då!att!någon!elev!ger!
uttryck!för!sin!undran!om!varför!van!Hiele!väljer!att!förklara!innehållet!inledningsvis!på!
ett!så!komplicerat!sätt!och!med!ett!så!komplicerat!språk.!Efter!att!ha!övergivit!teorin!om!
att!det!är!resultatet!av!att!han!själv!är!en!dålig!lärare!väljer!van!Hiele!istället!att!fokusera!
på!att!eleven!måste!ha!lärt!sig!ett!nytt!språk!som!gör!att!innehållet!inte!upplevs!så!
komplicerat!längre.!Eleven!har!gått!från!en!tankenivå!till!en!annan!inom!ämnet,!till!en!
nivå!som!kräver!kunskaper!om!och!djupare!förståelse!för!olika!geometriska!begrepp.!
!
En!annan!viktig!inspirationskälla!för!van!Hiele!är!Piagets!teorier!om!att!utveckling!av!
kunskap!och!insikt!sker!i!olika!perioder!av!ett!barns!liv.!Enligt!van!Hiele!avviker!dock!
hans!teorier!från!Piagets!på!flera!olika!sätt.!Till!exempel!så!är!van!Hiele!mer!intresserad!
av!hur!övergångarna!mellan!olika!stadier!går!till!och!är!övertygad!om!att!det!kan!ske!
genom!olika!former!av!pedagogisk!stimulering.!Han!vill!inte!begränsa!sig!till!att!
övergångarna!enbart!är!ett!resultat!av!biologisk!utveckling!eller!kopplade!till!elevers!
ålder!som!han!menar!att!många!anhängare!av!Piaget!gör.!!Det!som!kan!ha!varit!det!som!
inspirerade!van!Hiele!mest!i!Piagets!teorier!är!den!om!att!inlärningsprocessen!sker!med!
hjälp!av!assimilation!och!ackomodation.!
!
Assimilation!innebär!att!nya!intryck!anpassas!till!de!av!erfarenhet!invanda!tanke!och!
handlingsmönster,!gamla!scheman,!som!man!har.!Ackomodation!innebär!den!process!
som!utgörs!av!att!de!gamla!schemana!måste!utvecklas!och!omformas!eftersom!de!
utmanas!av!intryck!som!inte!går!att!organisera!in!i!dem.!När!det!råder!en!sådan!obalans!
mellan!de!gammalt!och!nytt!är!det!en!strävan!efter!jämvikt!som!driver!på!inlärningen.25!
!
Efter!den!första!publikationen!1955!utökar!van!Hiele!nivåerna!från!tre!till!fyra!nivåer.!
En!”0Jnivå”!diskuterades!bland!matematikundervisare!och!det!är!denna!nivå!han!
anammar!och!lägger!till!de!ursprungliga!nivåerna!som!en!ny!nivå!1.!Vidare!nämner!van!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
23!tex.!Hedrén,!R.,!Van%Hiele?nivåer%och%deras%betydelse%för%geometriundervisningen,!publicerad!i:!!
Emanuelsson,!G.,!Johansson,!B.,!och!Ryding,!R.!(red.),!Geometri%och%statistik,!Studentlitteratur,!Lund,!1992.!
24!van!Hiele,!P.,!Structure%and%Insight,%a%Theory%of%Mathematics%Education,!UK!Edition,!Academic!Press!Inc.,!
London,!1986.!
25!Imsen,!G.,!Elevens%värd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl.,!Studentlitteratur,!Lund,!2000,!s.!
102J108.!
Hiele!också!att!andra!har!försökt!att!identifiera!fler!tankenivåer!än!vad!han!själv!har!
gjort,!men!att!han!inte!ser!det!som!nödvändigt!för!matematikundervisning!före!högskola!
och!universitet.!Van!Hiele!ifrågasätter!istället!ifall!lärare!gör!rätt!i!att!försöka!inrikta!sin!
undervisning!i!den!allmänna!skolan!för!att!eleverna!ska!uppnå!den!ämnesmässigt!mest!
avancerade!nivån,!nivå!4.!Han!hävdar!att!den!främst!är!riktad!mot!dem!som!ska!läsa!
vidare!inom,!och!sedan!arbeta!med,!matematik.!Enligt!hans!erfarenheter!är!det!få!elever!
som!uppnår!denna!nivå!på!matematiskt!tänkande.!
! Nivå%1%
%
Jag!beskriver!nivå!1!som!igenkänning.!Oavsett!ifall!en!person!är!undervisad!i!matematik!
eller!inte!så!har!han!eller!hon!denna!förmåga.!För!att!använda!van!Hieles!eget!exempel!
så!går!det!att!lära!sig!att!känna!igen!en!romb!enbart!efter!att!ha!sett!några!ritade!romber,!
men!det!kan!bli!svårare!att!uppmärksamma!en!romb!som!avviker!från!det!invanda!
mönstret.!!!
!
En!tredje!inspirationskälla!för!van!Hiele,!som!ligger!till!grund!för!nivå!1,!är!
gestaltpsykologin,!som!fokuserar!på!att!människan!har!en!naturlig!förmåga!att!se!
strukturer!och!mönster!i!sin!omgivning.!Bjørndal!skriver!om!gestaltpsykologi!att!det!
genom!omfattande!experiment!har!kartlagts!ett!antal!ordningsprinciper!som!människor!
använder!sig!av!för!att!tillgodose!ett!behov!av!att!ordna!omvärlden!i!meningsfulla!
helheter.!Dessa!principer!kan!tolkas!olika!av!olika!personer!och!är,!principen%om!figur%
kontra%bakgrund,!närhetsprincipen,!likhetsprincipen!samt!komplettering%av%
sinnesintryck.26!En!vidare!fördjupning!av!gestaltpsykologin!ligger!långt!utanför!ramen!
för!denna!studie,!men!värt!att!nämna!är!det!kanske!mest!den!sista!av!de!nämnda!
principerna!som!van!Hiele!utvecklar!i!sitt!resonemang.!Bara!genom!att!se!en!del!av!ett!
regelbundet!mönster!är!det!lätt!att!fylla!i!luckorna!och!bilda!sig!en!uppfattning!om!hur!
hela!mönstret!är.!
! Nivå%2%
%
För!att!uppnå!denna!nivå!krävs!ett!grundläggande!ordförråd!av!matematiska!begrepp,!
samt!förståelse!för!några!samband!mellan!dem.!Elevens!utveckling!i!matematik!kan!
liknas!vid!att!eleven!först!skapar!sig!och!sedan!utvecklar!ett!tankenätverk.*För!att!återgå!
till!exemplet!med!romben!skulle!en!elev!som!uppnått!nivå!2!kunna!identifiera!flertalet!
av!de!egenskaper!som!är!specifika!för!en!romb!och!även!ha!förmågan!att!jämföra!dem!
med!egenskaper!hos!andra!geometriska!figurer!som!eleven!känner!till.!!
! Nivå%3%
%
Min!tolkning!av!van!Hieles!beskrivning!av!nivå!3,!är!att!den!motsvarar!elevers!förmåga!
att!använda!generella!resonemang.!Denna!nivå!har!en!elev!uppnått!exempelvis!när!han!
eller!hon!väljer!ut!specifika!egenskaper!hos,!och!använder!kända!samband!mellan,!olika!
figurer!för!att!på!egen!hand!genomföra!matematiska!bevis!och!för!att!upptäcka!nya!
samband.!En!svårighet!som!van!Hiele!nämner!om!att!försöka!identifiera!ifall!en!elev!har!
uppnått!denna!nivå!eller!ej!är!att!det!finns!risk!att!eleven!steg!för!steg!kortsiktigt!har!lärt!
sig!ett!givet!bevis!som!en!procedur!som!går!att!lära!utantill.!Eleven!har!inte!själv!valt!de!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
26!Bjørndal,!C.!R.!P.,!%Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%
handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!29J31.!
