Hur många mikrotillstånd, Ω, finns det för en gas av två identiska partiklar som kan vara till höger eller vänster (dålig upplösning) i lådan?

Repetition:

l  Termodynamikens andra huvudsats:

l  Entropin minskar inte över tid (i ett isolerat system)

l  Multiplicitet: Ω = Antal mikrotillstånd

Fundamentalt antagande: Samma sannolikhet för alla mikrotillstånd

l  Entropi (”oordning”): S = k ln Ω

l  Fri expansion av gas ökar entropin.

l  Om entropin ökar är processen irreversibel.

l  Mixning av olika gaser är irreversibel.

l  Mixning av samma gas är reversibel (S ändras ej)

l  Identiska partiklar (kvantmekanisk korrektion till multiplicitet)

Inledande fråga:

l 

Hur många mikrotillstånd, Ω, finns det för en gas av två identiska partiklar som kan vara till höger eller vänster (dålig upplösning) i lådan?

a) 2 b) 3 c) 4

Inledande fråga:

l 

Hur många mikrotillstånd, Ω, finns det för en gas av två identiska partiklar som kan vara till höger eller vänster (dålig upplösning) i lådan?

a) 2 b) 3 c) 4

Föreläsning 4:

Entropi och andra huvudsatsen

l 

Kvantmekanik och multiplicitet

l 

Entropins energiberoende

l 

Entropin har maximum för isolerat system

l 

Vad är temperatur egentligen?

S ∝ k 3N

2 lnU

Harmonisk oscillator

Ekvidistanta energinivåer:

Harmonisk oscillator

Ekvidistanta energinivåer:

3 st harmoniska oscillatorer

Ekvidistanta energinivåer:

FRÅGA: Hur många mikrotillstånd

med energin ?

1 2 3

a)  4 b)  6 c)  8

3 st harmoniska oscillatorer

Ekvidistanta energinivåer:

FRÅGA: Hur många mikrotillstånd

med energin ?

1 2 3

a)  4 b)  6 c)  8

S.E ger energierna :

0 L x

V(x)

∞

∞ 0

E_n

E₁ E₂=4E₁ E₃=9E₁ E_n = !²k_n²

2m = !²

2m n

π

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= n²E₁

E

= !

π

2mL

där

Tillståndstäthet i kvantmekaniken (se kap. 4 i Kvantvärldens fenomen)

En partikel i en-dim oändlig låda

m

Hur många mikrotillstånd finns vid viss energi?

n=1, 2, 3, …..

n

n

n

Varje kub med sidorna 1 x 1 x 1 motsvarar ett tillstånd

En partikel i en tre-dim oändlig låda ger energierna:

E = (n

+ n

+ n

)E

n_max

= Volymen =

1 8

4

3 π ⁿ

Γ(E_max)

Hur många tillstånd, , finns det med energin Γ(E_max)

E < E

= n

E

= π 6

2mL²

!²π ²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3/2

E_max^3/2

Γ(E) = V

6 π

!

(2mE)

V = L

n = (n !

, n

, n

) n = (n

+ n

+ n

)

N partiklar i lådan

U = E

k=1 N

∑

Totala (inre) energin:

Γ(U) = c

V

N!

U N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

3N /2

Antal tillstånd med energi < U:

Entropin:

S = k lnΩ = k(ln F + N lnV + 3N

2 lnU)

Antal tillstånd med energin = U:

Ω(U,V, N ) ≈ Γ = F(N )V

U

≈ Γ U N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

N

Γ(U) = Γ(E

)⋅ Γ(E

)⋅ Γ(E

)... ⋅ Γ(E

)

Energifördelning vs temperaturfördelning för två sammansatta system

Sätt ihop två system med samma volymer och antal partiklar men med olika inre energier, U_A och U_B:

Hur fördelas energin mellan A och B?

V, N, U_A V, N, U_B

A B

Fråga: Om N=15 får A och B:

a) exakt samma energi?

b) ungefär samma energi?

Potensfunktioner

Potensfunktioner

Total multiplicitet

Toppen blir mycket small om N ~10²³

Alla tillstånd är lika sannolika è

systemet antar Ω’s maximum, dvs U_A=U_B.

Maximum är extremt skarp dvs

andra energikombinationer än U_A=U_B är ytterst osannolika.

Jämvikt inträffar då entropin har maximum, dvs

∂S

∂U

= 0 ⇒ U

= U

Entropin har maximum för isolerat system i jämvikt

Definiera temperaturen som: 1

T = ∂S

∂U

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

V ,N

⇒ 1

T

= 1 T

dvs T

= T

vid jämvikt

⇒ ∂S

∂U

= ∂S

∂U

∂S

∂U

= 0

Sammanfattning

l 

Multipliciteten är antal mikrotillstånd

(kvanttillstånd) med givna tillståndsvariabler

l 

Sannolikheten för ett mikrotillstånd i systemet

l 

Definition av temperatur

Entropin = stort tal Multipliciteten = mycket stort tal