L Ä R O B O K
iA
R
I
T
M
E
T
I
K
FÖR
• SKOLANS LÅGEE STADIUM \
A F
J . O T T E R S T R Ö M .
S T O C K H O L M ,
F ö r o r d .
D e t t a l i l l a arbete v i l l v a r a e n lärobok i A r i t m e t i k
för skolans lägre s t a d i u m o c h t i l l l e d n i n g för de lärare
och lärarinnor, som i c k e fått göra b e k a n t s k a p m e d A l
-gebrans m e t o d , som här följes.
E n m a t e m a t i k e r , som g i f v i t s k o l a n e n utmärkt väl
o r d n a d e x e m p e l s a m l i n g för öfning efter nämnda m e t o d ,
m e n u t a n lärobok, säger i sitt f ö r o r d : » e n l ä r o b o k i
a r i t m e t i k e n s e l e m e n t e r , som sökte v a r a så t y d l i g att d e n
s k u l l e begripas a f alla, s k u l l e h e l t säkert afskräcka alla».
D e t t a må vara rätt sagdt. M e n det måtte väl äfven här
finnas e t t lagom att söka, t y m e d än större skäl k a n här
tillämpas h v a d e n annan v e t e n s k a p s m a n sagt o m s i n v e
-tenskaps e l e m e n t e r : » e n professor k a n m e d s k e l e t t e t
framför sig g r u n d l i g t framställa m e n n i s k o k r o p p e n s b y g g
-nad, m e n för studentens s j e l f s t u d i u m är s k e l e t t e t i c k e
n o g . »
I denna l i l l a lärobok äro endast de allranödigaste
e x e m p l e n gifna, dels emedan s k o l a n h a r så många och
r i k a e x e m p e l s a m l i n g a r i t r y c k , dels o c k emedan h v a r j e
lärare o c h lärarinna m e d p r a k t i s k d u g l i g h e t k a n s j e l f
göra s i g e x e m p e l i oändlighet efter g i f n a mönster.
D e n p o l e m i k m o t d e n häfdvunna »räknekonsten»,
som i b o k e n f r a m s k y m t a r , k a n ej stöta någon, som s j e l f
vet h v a d h a n h a r a f algebrans metod,, och öfrige hafva
rätt att deröfver döma, när de t i l l e g n a t sig denna m e t o d
och följt den k o n s e q v e n t v i d barns u n d e r v i s n i n g .
Y r k a n d e t på denna metods användning från o c h m e d
början i småskolan s k u l l e v a r a e n s i d i g t , o m ej h v a r j e
erfaren barnalärare visste, att vårt i n t e l l i g e n t a f o l k s b a r n ,
m e d behöffigt minne för benämningar, äfven hafva
för-stånd för sak, sakförhållande samt för d e r a f beroende
operationer, för h v i l k a a x i o m e r l i g g a t i l l g r u n d .
A t t så e n k e l t o c h u t a n a l l »konst», så snabbt, så
säkert och v a r a k t i g t leda barnens förståndsutveckling t i l l
förmågan a f a r i t m e t i k e n s p r a k t i s k a användning, som m a n
h a r det i s i n m a k t g e n o m algebrans m e t o d , förmår ej
d e n snällaste räknekonstnär.
H a n k a n j u ej b l a n d annat undgå a t t på s i n väg
ställa sina lärjungar rådlöse o c h hjelplöse framför många
ganska s i m p l a p r a k t i s k a frågor, sedan de i t i o år svettats
ensamt på .den vägen.
A t t framställningen i b o k e n här o c h der fått f o r m e n
af l e k m e d m i n a käre »pysar», har j a g a l l t i d f u n n i t vara
för d e m u p p i g g a n d e .
V a r o l a i A p r i l 1880.
I n l e d n i n g .
Aritmetik är den vetenskap, som för g i f n a ändamål
behandlar tal.
1. Tal kallas det, som u t t r y c k e r storleken, mängden, i
allmänhet värdet; kallas ock storhet ( q v a i i t i t e t ) .
2. T a l e t kallas benåmndt ( k o n k r e t ) , då värdet u p p g i f v e s
fästadt v i d v i s s t föremål, t . e x . ett bord, två stolar,
t r e bänkar o. s. v .
3. T a l e t kallas obenämndt (abstrakt), då värdet tankes i
och för sig, u t a n att v a r a fästadt v i d något visst f ö
-remål, t . e x . ett, två, tre, fyra o. s. v .
4. T a l e t åskådliggöres m e d e l s t siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 äfvensom m e d 0 ( n o l l ) och en bokstaf, här
x, m e d e l l e r u t a n t e c k e n .
5. T a l e t kallas tecknadt, då d e t är u t t r y c k t i sina
be-ståndsdelar m e d e l s t t e c k e n , h v i l k a e g e n t l i g e n äro + ,
— , x , , t . e. 3 + 2, 3 — 2, 3 X 2, f , u t t a l a d t :
t r e , två mer; t r e , två mindre; t r e , gånger två mer; t r e ,
gånger två mindre; e l l e r t r e lagclt till två, t r e
min-skadt med två, t r e gånger två, t r e deladt genom två.
T e c k n e t + uttalas ock T>plusT> (mer), t e c k n e t — uttalas ock
SminusD (mindre). D e t tecknade t a l e t kallas' äfven sammansatt.
U t t r y c k e t för det tecknade t a l e t f o r m u l e r a s på flera andra sätt. M e n som v i läsa och s k r i f v a från venster åt höger, så h ö r m a n t a l a och fråga så, a t t nybörjaren u t a n b r y d e r i k a n s k r i f v a och t e c k n a såsom talas och frågas. U n d e r fortsättnin-gen får b a r n e t steg för steg lära förstå, a t t samma sakförhål-lande k a n a n n o r l u n d a f o r m u l e r a s t . ex. » t v å från t r e s , » t v å u t i tre» e l l e r »hälften af tre» o. s. v . så a t t b a r n e t u t a n miss-t a g k a n s k r i f v a och miss-t e c k n a »ändavändmiss-t» m o miss-t lärarens miss-t a l a n d e och frågande.
6
6. T a l e t kallas utför dt ( r e d u c e r a d t t i l l m i n d r e f o r m och
e n k l a r e u t t r y c k ) , då så många t e c k e n som möjligt
b o r t f a l l i t , t . ex. 2 + 8 detsamma som 5, 2 X 3
det-samma som 6, | detdet-samma som 2 o. s.-v.
Då a l l a t e c k e n b o r t f a l l i t , k a l l a s t a l e t äfven enliolt. M e n allmänna öfverenskommelsen a t t n t l e m n a e t t t e c k e n , der det skulle stå, gör t a l e t i c k e e n k e l t , t . ex. 1^-, som är 1 + \, der både det k e l a och dess ena d e l äro sammansatta t a l .
7. T a l e t kallas bekant, då d e t är t i l l värdet kändt i dess
h e l h e t e l l e r i alla dess beståndsdelar. D e t u t t r y c k e s
g e n o m siffror, e l l e r siffror och noll, m e d e l l e r u t a n
t e c k e n , t? ex. 9, 7 + 5, 10 — 2, £ + 3, o. s. v.
8. T a l e t kallas obekant, då m a n ej känner dess värde,
som betecknas m e d x. M e n äfven der x g e n o m
t e c k e n är förknippadt m e d b e k a n t a t a l , är t a l e t i
sin h e l h e t obekant, emedan m a n j u i c k e k a n känna
d e t hela, då m a n ej känner alla dess beståndsdelar,
t. ex. x + 2, x — 2, 2 — x, 2 x x o. s. v . D e r åter
x är ensamt, l i k a t i l l värdet m e d något b e k a n t , der
föreställes d e t b l o t t såsom o b e k a n t , m e n är t i l l s i t t
värde b e k a n t g e n o m l i k h e t e n m e d d e t bekanta.
9. L i k h e t e n m e l l a n t a l tecknas m e d = , som derför
kallas likhetstecknet, t . e x . 2 + 5 = 7 = 4 + 3 = 9 — 2
= 2 x 3 + 1 o. s. v . x = 7 — 5 = 2 o. s. v .
Detta likhetsuttryck kallas E q v a t i o n .
10. T a l e t kallas jakadt ( p o s i t i v t ) då det b i d r a g e r t i l l det
helas förökning t . e x . 5 k r o n o r s ' inkomst, förtjenst^
fordran o. s. v . D e t utmärkes m e d t e c k n e t + f r a m
för talet, h v i l k e t t e c k e n d o c k ej utsattes, då d e t j a
kade t a l e t står ensamt e l l e r då det börjar ett t e c k
-nadt t a l , t . ex. 5, 4 — 2, 4 + 2, o. s. v .
1 1 . T a l e t kallas nekadt ( n e g a t i v t ) , då d e t b i d r a g e r t i l l
det helas förminskning, t . e x . 5 k r o n o r s utgift, förlust,
skidcl o. s. v . D e t utmärkes alltid m e d t e c k n e t —
framför sig, t . ex.
—
5, 4 — 2, — 2 + 4, o. s. v .
När m a n , såsom här, h a r e t t af j a k a d t och n e k a d t samman-satt t a l , låter m a n gerna d e t j a k a d e gå förut, h e l l r e 4 — 2 än — 2 + 4, ehuru det i saken gör detsamma, t y f y r a k r o n o r s v i n s t och två k r o n o r s förlust, e l l e r två k r o n o r s förlust och f y r a k r o n o r s v i n s t k o m m e r j u i r e s u l t a t e t på e t t u t .Om m a n från 0 (intet) fortgående åt venster ökar m e d 1,
får m a n
» » J) 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0, a l l t jakadt.
M a n ser a t t + 4 är 1 m i n d r e än + 5, + 3 e t t m i n d r e än
+ 4, + 2 e t t m i n d r e än -f- 3, + 1 e t t m i n d r e än + 2 ock
0 e t t m i n d r e än + 1.
Går m a n n u på samma sätt från 0 åt höger, får m a n a l l t
nekadt
0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 » » »
då
—
1 är 1 m i n d r e än 0,
—
2 e t t m i n d r e än
—
1 (således 2
m i n d r e än 0), — 3 e t t m i n d r e än
—
2 (således 3 m i n d r e än 0)
0. s. v .
12. E t t t e c k n a d t t a l kallas en tecknad summa ( 2 + 2 ) ,
en tecknad rest (6 — 2) en tecknad produkt (2 X 2 )
o c l i en tecknad qvot (§).
A l l a här tecknade t a l gifva, o m de utföras, samma t a l 4,
som då k a n kallas en utförd samma, rest, produkt eller qvot,
m e d afseende på dess uppkomst af h v a d t e c k n a d t v a r .
18. Summans beståndsdelar kallas addender (som
sam-manläggas) ; restens beståndsdelar kallas minuend
(som m i n s k a s ) o c h subtrahend (som fråndrages); p r o
-d u k t e n s bestån-ds-delar kallas faktorer ( p r o -d u k t e n s
görare) o c h qvotens beståndsdelar kallas dividend (som
delas) o c h divisor ( d e l a r e n ) .
D e n tecknade qvoten kallas äfven vbråkii, då d i v i d e n d e n
får n a m n af DtäljareT) och d i v i s o r n kallas snänmaren, m e n
o l i k a benämningar på samma sak, förändra ej sakens natur,
eller talens inbördes förhållande t i l l hvarandra.
14. Bekanta, t a l , i s i n sammansättning såsom enheter af
h ö g r e o c h lägre o r d n i n g , k u n n a u t a n t e c k a n u t t r y c
-kas m e d e l s t de n i o siffrorna o c h 0 i e n l i g h e t m e d
h v a d m a n k a l l a r tiotalsordningen ( d e c i m a l s y s t e m e t ) .
E n l i g t denna o r d n i n g få siffrorna, o m e d e l b a r t ställda
i n t i l l h v a r a n d r a , e t t t i o f a l d i g t högre värde i nästa
r u m åt venster o c h följaktligen e t t t i o f a l d i g t m i n d r e
värde i nästa r u m åt höger. O m således t a l e t 1,
u t t r y c k a n d e g r u n d e n h e t e n , får framför s i g åt venster
1, såsom u t i 1 1 , så u t t r y c k e r d e t t a n y a 1 en n y
en-h e t t i o gånger större än d e n förra o c en-h kallas derför
e n tia, ett tiotal, e l l e r tio. O m denna n y a enhet
får framför s i g åt samma håll 1, så får d e n värdet
af t i o gånger t i o , som n u kallas 1 h u n d r a t a l e l l e r
b l o t t hundra. F o r t s a t t e s så, får m a n 10 gånger h u n
-dra, som kallas tusen, t i o t u s e n , h u n d r a t u s e n , tusen
gånger tusen, som kallas m i l l i o n o. s. v . b i l l i o n , •
t r i l l i o n o. s. v .
Går m a n åter från g r u n d e n h e t e n åt höger, såsom
u t i l , i , så får m a n en n y enhet, t i o gånger m i n d r e
än g r u n d e n h e t e n e l l e r en t i o n d e d e l deraf. F o r t g å r
m a n v i d a r e åt samma håll, får m a n en t i o n d e d e l a f
t i o n d e d e l e n , d . v . s. en h u n d r a d e d e l a f g r u n d e n h e
-t e n o. s. v . O c h så u p p k o m m e r h v a d m a n k a l l a r
»decimalbråk», som j u är en q v o t ,
T ] f f, •jrra o. s. v .
fastän m e d de h e l a i n r y m d i decimalsystemet.
E n t i a o c h en g r u n d e n h e t har m a n k a l l a t elfva
(11), en t i a o c h två enheter tolf (12) o. s. v . tretton
(13), fjorton ( 1 4 ) , femton (15), sexton (16), sjutton
(17), aderton (18), nitton (19).
E n t i a tecknas 10, 2 t i o r kallas tjugo (20), 3 t i o r
trettio (30), 4 t i o r fyrtio (40), 5 t i o r femtio (50), 6
t i o r sextio (60), 7 t i o r sjuttio (70), 8 t i o r åttio (80),
9 t i o r nittio (90), 10 t i o r hundra (100) o. s. v .
F ö r att lätta öfversigten indelas d e c i m a l k e d j a n i
»klasser», t r e s i f f e r r u m i h v a r j e , m e d e l s t » k o m m a » ,
o c h skrifvas de »decimaler», som u t t r y c k a t i o n d e
-d e l e n , h u n -d r a -d e -d e l e n o. s. v . a f g r u n -d e n h e t e n , något
m i n d r e , o c h utrnärkes m i l l i o n e n m e d en o c h b i l l i o
-n e -n m e d två p u -n k t e r o. s. v . t . ex.
1",111,111",111,111,in,nr, som utsäges
en billion, etthundra elfva tusen etthundra elfva
millio-ner, etthundra elfva tusen etthundra elfva hela, ett
hundra elfva tusen etthundra elfva milliondelar.
K l a r t är, att h v a r j e annan siffra, som u p p g i f v e s
gällande för det e l l e r det r u m m e t , måste i s i t t r u m
skrifvas, samt att de r u m , för h v i l k a i n g e n siffra
u p p g i f v e s , måste m e d 0 f y l l a s , dels för a t t utmärka .
detta, dels för att de gällande siffrorna skola k u n n a
i n t a g a sina behöriga r u m , t . ex. sexhundra sjuttio
bil-lioner, fyrahundrasex tusen trettiosju milbil-lioner,
tjugo-tusen sju skrifves 670",406,037
<,020,007.
15. V i d o p e r e r a n d e t m e d t a l har m a n f y r a sätt, hvarpå
m a n har att gå t i l l väga, a n t i n g e n m e d e l s t addition
(sammanläggning), e l l e r subtraktion (fråndragning),
e l l e r multiplikation (mångfaldigande), e l l e r division
( d e l n i n g ) . O c h som t e c k n e n detta anvisa, kallas de
äfven additions-, subtraktions-, midtiplikations- o c h
divisionstecknet. >
På här u p p g i f n a h u f v u d g r u n d e r låta v i A r i t m e t i k e n
utgöra två d e l a r :
F ö r r a D e l e n .
Läran om bekanta tals tecknande och utförande, eller
hvad man kallat »qvatuor spiecies i hela tal, sorter och
bråk».
S e d n a r e D e l e n .
Eqvationsläran, eller läran om att ur sin
förknipp-ning med bekanta tal i en aritmetisk fråga utlösa det
obekanta till likhet med ett bekant tal, hvilket utlösande
i egentlig mening kallas problemlösning (eqvationslösning).
10
F ö r r a D e l e n .
Läran om bekanta tals tecknande och utförande t i l l
möjligast enkla form
( » q v a t u o r s p e c i e s i h e l a t a l , s o r t e r o c h b r å k » ) .
I h v a r j e förnuftigt o c h t y d l i g t frarnstäld a r i t m e t i s k
fråga l i g g e r såsom g r u n d s a n n i n g , a t t något år lika med
något, e l l e r h v a d m a n k a l l a r en Eqvation. M e d a t t rätt
u p p f a t t a o c h u t t r y c k a denna g r u n d s a n n i n g l i g g e r g e n o m
tecknens a n v i s n i n g vägen ö p p e n o c h k l a r för de
förstån-dets o p e r a t i o n e r , s o m m a n v i d a r e k a n hafva a t t utföra
m e d tillämpning a f »solklara» a x i o m e r .
När d u , m i n k . P e t t e r P y s , förmår rätt u p p f a t t a o c h
u t t r y c k a h v a d j a g talat o c h frågat o c h när d u d e r m e d
fått åskådliggjordt, a t t det, s o m efterfrågats (as), är l i k a
m e d något bekant, då h a r d u m e d detsamma frågan löst.
M e n s o m d e t bekanta t a l e t likväl k a n hafva en så i n
-v e c k l a d f o r m , a t t d e t för d i g k a n -vara s-vårt a t t i denna
f o r m fatta talets totalvärde, så h a r d u a t t b r i n g a det t i l l
e t t för d i g e n k l a r e o c h lättfattligare u t t r y c k . D e t är n u
d e t t a s o m v i k a l l a tecknade tals utförande o c h h v a r m e d
v i hafva a t t sysselsätta oss i n o m omfånget för »qvatuor
s p e c i e s » .
Addition och Subtraktion,
, s a m t i d i g t öfvade.
F ö r dessa räknesätt l i g g a följande h u f v u d s a n n i n g a r
t i l l g r u n d för d i t t förstånds o p e r a t i o n e r :
1. G e n o m addition får d u summan a f gifna addender. S u m
-m a n l i k a -m e d addenderna t i l l s a -m -m a n s t . ex. 3 + 2 = 5.
11
2. G e n o m subtraktion får d u en addend a f d e n gifna
summan m i n s k a d I n e d den g i f n a addcnden. E n addend
l i k a m e d s u m m a n m i n s k a d m e d d e n andra addenden,
t . e x . 5 — 3 = 2, 5 — 2 = 3.
3 . G e n o m addition göres e t t t a l så mycket större, s o m
d e t t a l gäller, h v i l k e t d e r t i l l adderas, o c h detta så
m y c k e t större t a l e t är summan, t . e x . 3 + 2 = 5 ;
s u m m a n 5 tre mer än 2, och två mer än 3.
4 . G e n o m subtraktion göres e t t t a l så mycket m i n d r e ,
som det t a l gäller, h v i l k e t derifrån subtraheras, och
detta så m y c k e t m i n d r e t a l e t är resten, t . e x . 5 — 3 = 2 ;
5 — 2 = 3 ; resten 2 tre mindre än 5 o c h resten 3
två mindre än 5.
5. V i d dessa h v a r a n d r a m o t s a t t a o p e r a t i o n e r , då m a n i
det ena f a l l e t söker summan o c h i andra f a l l e t en
dess addend, k a l l a r m a n i sednare f a l l e t s u m m a n för
minuend o c h summans addender för subtrahend o c h rest.
M e n d u förstår, a t t här b l o t t är o l i k a benämningar
för samma t a l , o l i k a benämda m e d afseende på det
o l i k a sätt, hvarpå m a n opererar m e d d e m .
D e t k a n då i c k e v a r a d i g svårt a t t veta k u r a d u får
minu-enden (summan), då snbtraliminu-enden o c h resten (addenderna) äro
gifna, e l l e r h u r u d u får snbtralienden (den ena addenden), då
minnenden (summan) och resten (den a n d r a addenden) äro gifna.
E x . .1. O m A n d e r s h a r 7 öre i s i n ficka, h u r u många
öre har då C a r l i sin?
Pysen såg n u u n d r a n d e på m i g och sade: » d e t v i l l j a g i c k e gissa». Ja, P e t t e r , frågan v a r o r i m l i g , emedan i den i c k e låg någon e q v a t i o n , och i a r i t m e t i k e n finnes i n t e t ram för »gissning», u t a n a l l t v i s s t o c h säkert gifvet m e d den förnuf-t i g förnuf-t och förnuf-t y d l i g förnuf-t framsförnuf-tällda frågan.
E x . 2. På småskolans b o r d lades fram 6 äplen o c h 5
äplen m e d frågan: h u r u många äro de t i l l s a m m a n s ?
P e t t e r t e c k n a d e på taflan x = 6 + 5.
M e n n u fingo pysarne A , B , C och D , h v i l k a börjat räk-n i räk-n g på »kulrameräk-n», utföra det teckräk-nade m e d a t t räkräk-na äp-lena på b o r d e t . A sade a t t det v a r »sju och fyra», B »åtta och tre», O »nio och två», D »tio och ett» äple t i l l s a m m a n s , m e n längre i iitförande k u n d e de ej k o m m a . A l l a f y r a fingo dock välförtjent beröm för sin räknefärdighet, emedan de b l o t t e n t i m m a dagen förut fått öfva sig i n o m första t i o t a l e t . A hade h u n n i t i minnet i n p r e g l a benämningarne för de utförda
12
summorna t i l l och m e d »sju», B t i l l och m e d »åtta», G t i l l och m e d » n i o s och D t i l l och m e d » t i o » , m e n älven h a n hade ännu ej hört nämnas summan »elfva». A l l a f y r a visste dock att säga h u r u många äplena voro. T o g j a g b o r t e t t äplefrån högen, så sade de m i g h u r u många v o r o q v a r ; lade j a g t i l l ett e l l e r flera äplen, så sade de h u r u många äplena voro, a l l -deles så som d e n gamla gumman r e d o g ö r för s i n skatt, då hon säger, a t t h o n h a r t r e femtioöringar, f y r a tjugofemörin-gar, sju tioöringar och två femöringar. H o n vet h v a d h o n har, ehuru h o n ej lärt a t t utföra d e t t i l l enklaTe u t t r y c k . D u fin-ner således, Petter, a t t d u ej b ö r anse 6 + 5 för e t t o b e k a n t t a l eller k a l l a det så. F ö r A , B , C och D v a r m i n fråga för
tidig, för d i g v a r den oegentlig, t y d i g hade j a g egentligen
b o r t fråga: h v a d enklare u t t r y c k k a n d u gifva åt den b e k a n t a summan 6 + 5 ?
E x . 3. A n d e r s u p p f i s k a d e 15 ålar, m e n 9 a f d e m rände s i n k o s ; h u r u många hade h a n q v a r ?
a, = 15 — 9 =
E x . 4. A n d e r s sålde 6 a f sina d u f v o r o c h hade ändå 7 q v a r . H u r u många hade h a n från b ö r j a n ? a- = 6 + 7 = (6 s u b t r a h e n d , 7 rest, 6 + 7 m i n u e n d . ) E x . 5. A n d e r s hade 7 d u f v o r o c h 5 a n k o r ; h u r u många, t i l l s a m m a n s ? ,v = 7 + 5 = 12.
Månne 12 dufvor? Månne 12 ankor? N e j ! D e två o l i k a
benämnda t a l e n k u n d e ej utföras förrän d u tänkte d e m lik-benämnda, såsom foglar, fjäderfän, djur, o. s. v . som d u k u n d e
k a l l a d e m a l l a 12, såsom 1 t i a och 1 enhet ej b l i r 1 + 1 = 2 t i o r eller 2 enheter, hvarför d u »förvandlar» 1 t i a t i l l 10 en-beter, då d u får 10 + 1 = 11 enheter.
När m a n således h a r o l i k a benämda t a l a t t addera eller subtrahera, k a n ej utförandet ske, u t a n a t t m a n »förvandlar» det ena t i l l l i k a benämning m e d d e t andra, e l l e r bägge t i l l en benämning gemensam för begge, t . ex. 1 k r o n a + 10 öre
= 100 öre + 10 öre = 110 ö r e ; 7 fiskar + 8 kråkor = 15 djur. E x . 6. a) A n d e r s hade 28 öre o c h E m i l 15 öre m i n d r e
än A n d e r s ; h u r u många öre hade E m i l ?
x = 28 - 15 =
b ) A hade 37 k r o n o r o c h B h a d e 22 k r o n o r m e r än A ; h u r u många k r o n o r hade B ?
13
7. A f sina' 16 äplen åt A n d e r s u p p 7 ; h u r u många
hade h a n då?
x = 16 — 7 =
De äplen, som A åt upp, b i d r o g o j u t i l l äplehögens
för-minskning och voro således nekade, hvarför de måste läggas
t i l l de 16 jakaäe m e d tecknet — framför sig. Samma 7 äplen
voro förut hans egendom b l a n d de 16 = 9 + 7 och hade derför
+ framför sig såsom bidragande t i l l a t t h a n m e d de 9 hade
16. I exemplet ser d u det a x i o m e t : att tillägga ett nekadt är
detsamma som att fråntaga ett lika stort jakadt.
8. A n d e r s har 6, C a r l 7, E m i l 5, F r a n s 8, G u s t a f
9 o c h I v a r 4 ö r e ; h u r u många t i l l s a m m a n s ?
m = 6 + 7 + 5 + 9 + 4 .
Här ser d u sex addender, m e n d u k a n utmärka
d e m såsom två, e l l e r t r e , e l l e r f y r a , e l l e r f e m . D e t t a
utmärkes d e r i g e n o m att d u »klämmar» o m de t a l ,
som d u v i l l b e t r a k t a såsom ett. D u får då
(6 + 7 + 5) + (8 + 9 + 4) en t e c k n a d s u m m a a f två
tecknade s u m m o r .
(6 + 7 ) + (5 + 8 ) + (9 + 4 ) en t e c k n a d s u m m a a f
t r e tecknade s u m m o r .
(6 + 7 ) + (5 + 8 ) + .9 + 4 en t e c k n a d s u m m a a f två
t e c k n a d e s u m m o r och två e n k l a t a l .
(6 + 7) + 5 + 8 + 9 + 4 en t e c k n a d s u m m a a f en
t e c k n a d s u m m a o c h f y r a e n k l a t a l .
»Klammesn spelar hos oss en v i g t i g r o l och räknas t i l l
aritmetikens behöfliga tecken, ehuru den i detta exempel var
m i n d r e behöflig.
9. C a r l hade två d u f h u s . I det ena hade h a n b l o t t
3 äufhanar och 2 dufhonor; i det andra hade han
b l o t t 4 hanar och' 5 honor, sedan k a t t e n k n i p i t från
det förra d u f h u s e t 6 hanar o c h 7 honor, samt från
d e t sednare 8 hanar o c h 9 honor.
a) H u r u många dufvor hade C a r l qvar i det förra
duf-h u s e t ? x = 3 + 2.
b) H u r u många dufvor hade k a t t e n k n i p i t från det
d u f h u s e t ? x = 6 + 7.
c) H u r u många dufvor hade C a r l i det huset, i n n a n
k a t t e n k n i p i t n å g o n ? x = ( 3 + 2 ) + (6 + 7 ) .
d ) H u r u många dufvor hade C qvar i det andra
14
e) H u r u många dufvor hade k a t t e n k n i p i t från det
d u f huset? # = 8 + 9 .
f ) H u r u många dufvor hade C i d e t huset, i n n a n
k a t t e n k n i p i t n å g o n ? x = (4 + 5) + (8 + 9 ) .
g ) H u r u många dufvor t i l l s a m m a n s hade C q v a r i
b e g g e d u f h u s e n ? x = (3 + 2) + (4 + 5).
h ) H u r u många dufvor t i l l s a m m a n s hade k a t t e n k n i
-p i t från b e g g e d u f h u s e n ? x = (6 + 7) + (8 + 9).
i ) H u r u många dufvor t i l l s a m m a n s i begge d u f h u s e n
hade C, i n n a n k a t t e n hade k n i p i t n å g o n ? x —
(3 + 2) + (G + 7) + ( 4 + 5) + (8 + 9).
k ) H u r u många dufhanar t i l l s a m m a n s hade C qvar i
begge d u f h u s e n ? x = 3 + 4 .
1) H u r u många dufhanar t i l l s a m m a n s hade k a t t e n
k n i p i t i b e g g e husen? x = 6 + 8.
m ) H u r u många dufhanar t i l l s a m m a n s i begge h u s e n
hade C, i n n a n k a t t e n k n i p i t n å g o n ? x = (3 + 4)
^ + (6 + 8 ) .
n ) H u r u många dufhonor t i l l s a m m a n s hade C qvar
i b e g g e d u f h u s e n ? x = 2 + 5.
o) H u r u många dufhonor t i l l s a m m a n s i begge husen
hade k a t t e n k n i p i t ? x — 7 + 9.
p ) H u r u många dufhonor t i l l s a m m a n s hade C, i n n a n
k a t t e n k n i p i t n å g o n ? x = (2 + 5) + (7 + 9 ) .
q) H u r u många flera dufvor v o r o q v a r i det sednare,
än i d e t förra d u f h u s e t ? x = (4 + 5) — (3 + 2 ) .
r ) H u r u många flera dufvor k n e p k a t t e n från d e t
sednare, än från det förra d u f h u s e t ? x = (8 + 9)
- (6 + 7). •
s) H u r u många färre dufvor hade C qvar, än de som
k a t t e n hade k n i p i t ? x = (6 + 7 + 8 + 9) —
(3 + 2 + 4 + 5 ) .
t ) H u r u många dufhanar flera hade k a t t e n t a g i t , än
de, som C hade q v a r ? I det förra d u f h u s e t ? I
det sednare? I b e g g e h u s e n t i l l s a m m a n s ?
u) H u r u många färre dufhonor hade G qvar, än de,
som k a t t e n hade t a g i t ? I det förra d u f h u s e t ?
I det sednare? I b e g g e ?
15
honorna, i d e t förra d u f h u s e t ? i n n a n k a t t e n hade
h u s e r a t ? o c h sedan k a t t e n hade g j o r t d e t ? A f d e t t a exempel ser d u h u r u e t t k o m b i n e r a d t sakför-hållande gifveT a n l e d n i n g t i l l en massa speciella frågor för öfning. M e n de k u n n a j u varieras i oändlighet b l o t t genom a t t förändra de a b s t r a k t a t a l e n .
K o n s t e n a t t göra frågor är således ej stor, m e n större den p r a k t i s k a förmågan a t t göra frågor, som gå i o r d n i n g steg för steg f ö r förståndets gradvisa u t v e c k l i n g , så a t t a l l t h i n n e r »smältas», u t a n a t t b a r n e t uttråkas m e d e t t och samma »räknesätt» i månader, j a h e l a t e r m i n e n .
V i d frågornas tecknande fästes barnets uppmärksamh e t på klämmens i n v e r k a n . I frågan q) uppmärksamhade k u n n a t t e c k -nas x = 4 + 5 — 3 — 2, m e n tecknades oi •= (4 + 5) — (3 + 2 ) , der 3 o c h 2 i n o m klämmen hafva + m e n der — framför klämmen säger a t t d e t hela d e r i n o m txtan k l a m h a r — . K l a r t är, a t t »facit» b l i r detsamma a n t i n g e n m a n m i n s k a r 4 + 5 = 9 först m e d 2 o c h derefter m e d 3 e l l e r m a n m i n -skar på en gång m e d deras summa 5. M a n m i n s k a r o c k en summa d e r m e d a t t m a n m i n s k a r dess addend, hvarför anan i 4 + 5 k u n d e hafva m i n s k a t 4 m e d 2, och 5 m e d 3, då m a n hade fått samma f a c i t 2 + 2 = 4.
De dufvor, som k a t t e n knep, h a r d u fått behandla så-som hade de v a r i t jaltaäe, ehuru de för C a r l v e r k l i g e n v o r o nekade. M e n d u hade l i k a gerna k u n n a t taga d e m såsom nekade och beteckna d e m m e d — framför sig, i h v i l k e t f a l l d u äfven då hade fått samma f a c i t , m e n m e d — framför sig, då f a c i t skulle b l i f v a de dufvor, som k a t -t e n k n i p i -t .
10. E m i l sålde 20 a f s i n a k a n i n e r o c h hade 3 0 q v a r ; h u r u många h a d e h a n före f ö r s ä l j n i n g e n ? x =
20 + 30 =
1 1 . A . h a r 47 öre o c h B . h a r 3 2 , h u r u många öre har B . m i n d r e än A . ?
Besten, som uppkommer, då det m i n d r e t a l e t dragés, från d e t större, u t t r y c k e r skilnaden emellan t a l e n , d . v .
: s. h u r u m y c k e t d e t större är större än d e t m i n d r e , e l l e r
h u r u m y c k e t d e t m i n d r e är m i n d r e än d e t större. D e t t a , » m e r » k a l l a s o c k »öfverskott» och detta, »mindre» k a l l a s »brist».
Då t a l e n äro det ena jakadt o c h det andra nekadt, säger resten t i l l i k a a t t öfverskottet är j a k a d t , o m d e t större t a l e t är j a k a d t , m e n nekadt, o m det större t a l e t är nekadt, t . ex. 5 — 3 = + 2 ; 3 — 5 = — 2 .
12. A eger 46 k r o n o r , m e n är b o r t s k y l d i g 58 k r o -n o r ; h v a d h a r h a -n , seda-n h a -n m e d h v a d h a -n e g e r g j o r t a f b e t a l n i n g på s i n s k u l d ? x = 4 6 — 58 = — 1 2 ,
16
S k i l n a d e n m e l l a n förmögenheten och s k u l d e n är j u s k u l d , emedan s k u l d e n v a r större, än förmögenheten.
När du, m i n käre P e t t e r Pys, väl förstår t i o t a l s o r d n i n -gen och fått färdighet i a t t operera m e d ensiffriga t a l , är det d i g l i k g i l t i g t , h u r u mångsiffriga t a l e n äro, som du får a t t ad-dera eller subtrahera. D u opererar i a l l a f a l l endast m e d en och en siffra.
A f t i o t a l s o r d n i n g e n förstår du, a t t de t i o r , som v i d addi-t i o n e n fås af enheaddi-terna, skola sammanräknas m e d addi-t i o r n a , samaddi-t att v i d s u b t r a k t i o n e n en näst högre enhet i m i n u e n d e n måste Blånas», reduceras t i l l näst lägre enheter och m e d dem sam-manföras, o m en större siffra är i subtrahendens än som var i minuendens samma r u m ; v i d a r e a t t o m 0 är i det r u m , h v a r -ifrån skulle »lånas», lånet måste tagas från den gällande siffra, som först k a n träffas, och lånet gå från r u m t i l l nästa r u m u n d a n för undan, så långt som" behöfs. T i l l d i t t ögnamärke må d u få signera det r u m , hvarifrån lånet tagits, för a t t er-i n r a d er-i g både h v a d som lånats och h v a d som fer-innes qvar er-i det r u m m e t . »Konsten» är ingen, då förståndet får syn på
saken och sakförhållandet.
E x . 13. P a t r o n A . l i a r e t t hus värdt 5,672 k r o n o r , lösö r e b o i värde 895 k r o n o r o c h e n säker k o n t a n t f o r -d r a n hos B . a f 3,431 k r o n o r ; h u r u stör är hans för-m ö g e n h e t ? m = 5,672 + 895 + 3 4 3 1 = N u först t o r d e »uppställning» af t a l e n under h v a r a n d r a vara användbar, för a t t d u lättare må hafva sigte på hvar du h a r samma sorter a t t addera.
E x . 14. Samme p a t r o n Ä h a r d o c k en s k u l d t i l l C på 2,700 k r o n o r , h a r d e r j e m t e förlorat på en affär 7,908 k r o n o r o c h måste i n f r i a s i n b o r g e n för d e n u t f a t t i g e D på 5,000 k r o n o r ; h u r u m y c k e t •utgör d e t t a hans » m i n u s » ? ss = — 2,700 — 7,908 — 5,000 = ' — 1 5 , 6 0 8 . E x . 1 5 . När n u samme p a t r o n A n ö d g a s »realisera» och betala sina s k u l d e r så långt hans förmögenhet ( E x . 1 3 ) räcker; h v a d h a r h a n då ?
x = (5,672 + 895 + 3,431) — (2,700 + 7,908 + 5,000). E x . 16. F ö r b y g g a n d e t a f en j e r n v ä g v a r anslaget
5,600,082 k r o n o r , m e n v i d arbetets utförande hus-hållades så, a t t 325,300 k r o n o r inbesparades; h v a d kostade då j e r n v ä g e n ? x = 5,600,082 — 325,300 = E x . 17. A och B i d k a bolagsrörelse. A . har i
är s k i l n a d e n m e l l a n begges andelar i b o l a g e t ? H u r u m y c k e t har A mindre än B . d e r i ? H u r u m y c k e t har B mer än A d e r i ? H v a r m e d öfverskjutes A : s andel af B:s? H v a d b r i s t e r i A : s a n d e l för att vara l i k a m e d B:s?
F e m frågor i o l i k a f o r m , m e n månne ock fem serskilda eqvationer ock uträkningar?
E x . 18. A n d e r s reste t i l l staden m e d 9 k r o n o r på fickan och en g r i s i kärran. F ö r g r i s e n fick h a n 7 k r o n o r . D e r e f t e r k ö p t e h a n sig en mössa för 4 k r . o c h kaffe och socker åt » m o r » för 3 k r o n o r ; h u r u m y c k e t hade h a n då h e m a f de p e n n i n g a r h a n hade m e d sig b o r t ? x = (9 + 7) - ( 4 - f 3) = 9.
Här ser du det a x i o m e t :
ett tal blir till s i t t värde oförändradt, om det Skos och minskas med till värdet samma. tal.
E x . 19. I en gemensam hönsgård hade A n n a 7 hönor och 1 t u p p , E m m a 8 h ö n o r o c h 2 t u p p a r , L i n a 9 h ö n o r o c h 3 t u p p a r o c h N i n a 6 h ö n o r o c h 2 t u p p a r . M e n så k o m d e n l i s t i g e M i c k e l i n i hönsgården o c h k n e p från A n n a 3 hönor, från E m m a 4 h ö n o r och 1 t u p p , från L i n a 5 h ö n o r o c h 2 t u p p a r o c h från N i n a 4 h ö n o r .
N u k a n du, käre Petter, öfva d i g m e d a t t u r d e t t a sak-förhållande ställa frågor för a d d i t i o n och s u b t r a k t i o n t i l l dina y n g r e k a m r a t e r på första bänken! (se E x . 9) t y det är en väl sa god och behöflig tankeöfning i a t t fråga som i a t t svara rätt.
E x . 20. A hade 800 k r o n o r s f ö r m ö g e n h e t , m e n t i l l i k a en s k u l d på 6 0 0 k r o n o r . Då m i n s k a d e hans fader hans s k u l d m e d 400 k r o n o r ; h u r u stor var sonens v e r k -l i g a f ö r m ö g e n h e t före o c h efter fadrens ti-l-lgörande ?
D ö o
V i d öfversigten af sonens »Credit» och »Debet», egde han + 800 — 600 = + 200 k r o n o r . N u minskade f a d r e n hans skuld m e d 400 k r o n o r , d. v. s. h a n drog ifrån h o n o m — 4 0 0 k r o n o r . Då hade sonen sina (800 — 600) — ( — 4 0 0 ) , t y teck-net — framför 400 i n o m klämmen säger a t t de 400 k r o n o r n a voro skuld och — framför klämmen säger a t t den skulden fråndrogs, eller a t t h v a d A hade, minskades m e d den skulden. M e n n u skedde detta d e r m e d a t t f a d r e n skänkte sonen 400 k r o n o r ; alltså hade sonen n u (800 — 600) + 400 k r o n o r = + 600. V i se således a t t (800 — 600) — (—400) är detsamma som
18
(800 — 600) + 400. V i se således här a t t det a t t lägga en s k u l d (— 600) t i l l eri förmögenhet (800) är detsamma som a t t från draga en förmögenhet l i k a stor, t y 8 0 0 — 6 0 0 = 200; h var-emot det a t t fråndraga en s k u l d (— 400) är detsamma som att tillägga en förmögenhet l i k a stor, t y (800 — 600) + 400 = + 600. N u är förmögenhet jakadt och. s k u l d nekadt; alltså, hafva v i den allmänna sanningen: att fråndraga ett jakadt är detsamma som att tillägga ett lika stort nekadt, och att från-draga ett nekadt är detsamma som att tillägga ett lika stort jakadt. E x . 2 1 . A l l a »sorttal», h v i l k a s i n d e l n i n g grundas på
de-c i m a l s y s t e m e t , k u n n a genast i s u m m a skrifvas u t a n t e c k e n o c h såsom h e l a t a l behandlas. a) H v a d är s u m m a n a f 7 s t y c k e n t i o k r o n e s e d l a r o c h 5. s t y c k e n e n k r o n e s e d l a r ? x = 75 k r o n o r . b) H v a d är s k i l n a d e n m e l l a n d e m ? x == 70 — 5 = c) H v a d är s u m m a n a f 15 t i o k r o n e s t y c k e n i g u l d och 8 e n k r o n e s t y c k e n i s i l f v e r ? x = 158 k r o n o r . d) H v a d är s k i l n a d e n m e l l a n d e m ? x = 150 — 8 = e ) H u r u m y c k e t t i l l s a m m a n s 36 sedlar å 100 k r o -n o r s t y c k e t o c h 9 sedlar å 10 k r o -n o r s t y c k e t , samt en sedel å 5 k r o n o r ? x = 36,9,5 k r o n o r . f ) H u r u m y c k e t t i l l s a m m a n s 25 sedlar å 1000 k r o
-nor, 2 sedlar å 100 k r o n o r , 7 sedlar å 10 k r o n o r o c h 8 e n k r o n e s t y c k e n i s i l f v e r ? x = 25,2,7,8. g) Huru mycket mer äro 19 sedlar å 1000 k r o n o r
s t y c k e t och 98 sedlar å 10 k r o n o r s t y c k e t , än 125 sedlar å 10 k r o n o r och 9 e n k r o n e s t y c k e n ? x = 19,98,0 - 125,9 =
Endast då k a n summan ej u t a n tecknande eller »huf-vudräkning» genast skrifvas, när flera t a l af samma »sort» äro, h v i l k a s summa ej i n r y m m e s i samma decimalkedjans r u m , t . ex. h v a d är summan af 3 sedlar å 100 k r o n o r , 8 sedlar å 10 k r o n o r och 9 sedlar å 10 kronor, der 8 och 9 t i l l s a m m a n ej få r u m i tiotalsrummet, hvarför måste teck-nas 380 + 90 eller 390 + 80, eller f u l l t , i »hufvudet» utfö-ras = 470.
h ) A hade två sedelbundtar, den ene innehållande 27 sedlar å 100 k r o n o r s t y c k e t o c h 9 sedlar å 10 k r . st.; d e n andre innehållande 120 sedlar å 10 k r . st. och 1 sedel å 5 k r o n o r . N u k ö p t e han hästar o c h v a g n och selar för 3,050 k r o n o r . K u n d e h a n betala inköpet m e d h v a d h a n hade i »kontanter»?
19 Sedan h a n g i f v i t ifrån s i g den ene s e d e l b u n d -t e n såsom b e -t a l n i n g , h u r u m y c k e -t f i c k han -t a g a från den a n d r a för att f y l l a b r i s t e n ?
22. A f d i n l i l l a g e o m e t r i får d u lära a t t k o r t a s t e afståndet m e l l a n två p u n k t e r är den r a k a l i n i e , som dragés m e l l a n dem. Måttet för denna l i n i e , »längdmåttet», har k a l l a t s fot, som, i n d e l a d i »sorter» efter deeimalsystemet, g i f v i t 1 ref= 10
stän-ger, 1 stång = 10 fot, 1 f o t = 10 tum, 1 t u m = 1 0 linier. T a l e t
11111 u t t r y c k e r detsamma, sedt från venster. T a l e t 26857 u t t r y c k e r således 2 ref, 6 stänger, 8 f o t , 5 t u m och 7 l i n i e r , hvarföre j u ock detta »sorttal» k a n genast så skrifvas u t a n t e c k e n öch såsom h e l t t a l behandlas.
Om j a g v i l l hafva s o r t t a l e t u t t r y c k t endast i linier, så har j a g det sådant det är och således tjugosextusen åttahun-dra f e m t i o s j u l i n i e r . T i l l j a g hafva det u t t r y c k t endast i tum, så af skiljer j a g t u m och får 2685,7 d. v. s. tvåtusen sexhundra
åttiofem t u m och sju tiondedels t u m ( = 7 l i n i e r ) . V i l l j a g hafva t a l e t u t t r y c k a n d e endast fot, så af skiljes fot 268,6 7 d.
v. s. tvåhundra sextioåtta f o t och f e m t i o s j u hundradels f o t ( = 5 t u m och 7 l i n i e r ) .
Jag k a n således genom åtskiljande få u t t r y c k t h v a d »sort» j a g v i l l , h u r u många de o l i k a sorterna än äro. K l a r t är a t t j a g måste f y l l a de s o r t r u m m e d 0, h v a r i något af den lägre sorten icke finnes efter en högre sort, t y t a l e t t . ex. 207 säger m i g i c k e a t t det är 207 f o t , u t a n a t t det är 207 l i n i e r , hvarför, om det s k a l l u t t r y c k a f o t , r u m m e n för t u m och l i n i e r måste f y l l a s m e d 0, alltså 207,00, såsom 0 m e l l a n 2 och 7 f y l -ler r u m m e t för stång.
H a n d l a n d e n A i n k ö p t e 4 klädesstycken, det ena 52 f o t 7 t u m , det a n d r a 28 f o t 6 t u m , d e t t r e -dje 64 f o t 9 t u m , det fjerde 80 f o t 6 t u m ; h u r u många f o t och t u m i n n e h ö l l o s t y c k e n a t i l l s a m m a n s ? x = 527 + 286 + 649 + 806.
Här behöfver m a n n a t u r l i g t v i s i c k e f y l l a l i n i e r u m m e n m e d 0 emedan m a n v e t a t t a l l t är b l o t t f o t och t u m . I han-d e l n räknar man »alngohan-ds» b l o t t i fot och tum, emehan-dan han-den l i l l a l i n i e s m u l a n »prutas» b o r t . A t t räkna äfven i r e / o c h stång lemnar man åt landtmätaren.
När d u f u n n i t d i t t f a c i t , m i n käre Petter, och reducerat det, så underlåt i c k e a t t a f s k i l j a och utsäga h v a d du har af hvarje sort! ,
23. I n g e n i ö r e n uppmätte gränserna för e t t f e m s i -d i g t fält och fick si-dan a) 8 r e f 9 stänger 2 f o t 7 t u m 8 l i n i e r lång. S i d a n b ) f i c k han 7 r e f 5 st. 9 f. 6 t.: sidan c) 7 st. 9 t.; sidan cl) 4 r e f 7 f. 9 l i n . ; sidan e) 4 st. 3 f. 6 1.
20
H u r u s t o r v a r h e l a fältets g r ä n s ?
N u , Petter, t o r d e vara skäl för »uppställning». D u u p p -ställer här från venster, samma »sorter» u n d e r h v a r a n n a n .
x = a) 89278 + b ) 7596 + c ) 709 + (1; 40709 + e) 4 3 0 6 .
V i l l d u n u f y l l a l i n i e r u m m e n i b ) och o), så gör så; dock ser du j u ändå a t t i n t e t är i r u m m e n .
E x . 24. E t t annat fält uppmättes äfven. D e r v å r s i d a n a) 15 r e f 4 f.; s i d a n b) 8 r e f 2 t u m 3 l i n i e r ; s i d a n c) 36 r e f 2 st.; s i d a n d ) 5 r e f 2 f o t ; s i d a n e) 56 f. 4 l i n .
H u r u m y c k e t är d e t t a fältets gräns större än d e t förras ( i E x - 23)?
F ö r frågans besvarande måste j u först summan af sed-nare fältets gränser utföras. Alltså teckna, P e t t e r !
x = a) 15,04 + b ) 8,0023 + c) 36,2 + d) 5,02 + e) 5604.
Från dessa exempel (23 och 24) k a n d u göra d i g oänd-l i g t inånga exempeoänd-l för s u b t r a k t i o n , när d u jemför t a oänd-l e n m e d h v a r a n d r a .
E x . 25. D e t n y a s t a n t a g n a längdmåttet är metern, i n d e -lad i s o r t e r på samma sätt som foten, m e n i än f l e r a : 1 myriameter — 10 k i l o m e t e r , 1 k i l o m e t e r = 10
hek-tometer, 1 h e k t o m e t e r = 10 dekameter, 1 d e k a m e t e r
= 10 meter, 1 m e t e r = 10 decimeter, 1 d e c i m e t e r = 10 centimeter, 1 c e n t i m e t e r = .10 millimeter. 1 m y -r i a m e t e -r k a l l a s äfven mil.
T a l e t 11111111 u t t r y c k e r n u detta sedt från venster. T a l e t 23456789 u t t r y c k e r således 2 m y r i a m e t e r , 3 k i l o m e t e r , 4 h e k t o m e t e r , 5 dekameter, 6 meter, 7 decimeter, 8 centime-t e r 9 m i l l i m e centime-t e r .
A f s k i l d från höger får m a n den »sort», som m a n en-samt v i l l hafva i hela, och t i o n d e d e l a r , h u n d r a d e l a r o. s. v .
När du, PetteT, h u n n i t i minnet i n p r e g l a de o l i k a sor-ternas benämningar, så h a r d i t t förstånd l i k a lätt för opera-t i o n e r n a m e d m e opera-t e r n som för operaopera-tionerna m e d f o opera-t e n .
21 Såsom m a n i allmänna samfärdseln räknat endast i f o t och t u m , så k o m m e r m a n ock a t t räkna endast i meter, deci-meter och centideci-meter, b o r t p r u t a n d e m i l l i m e t e r n , förbehållande
ät de m y c k e t stora afstånden räknandet i de öfver m e t e r n högre sorterna.
V i begagna förkortad b e t e c k n i n g för m y r i a m e t e r n mil, för k i l o m e t e r n km, för h e k t o m e t e r n Tim, för d e k a m e t e r n dkm, för m e t e r n m, för d e c i m e t e r n dom, för c e n t i m e t e r n om, och för m i l l i m e t e r n mm.
D e t är påbjudet a t t decimeterns förkortning s k a l l v a r a
dm, der i allmänna samfärdseln dekametern ej o m t a l a s ; m e n
der begge i räkning b r u k a s , använda v i dem för d e c i m e t e r n och dkm för d e k a m e t e r n t i l l förekommande af förvexling. a) E n h a n d l a n d e har i n k ö p t 900 m e t e r kläde o c h
d e r t i l l 726 m e t e r 8 d e c i m e t e r och 9 c e n t i m e t e r k l ä d e ; h u r u m y c k e t t i l l s a m m a n s ?
x = 900 + 72689 =
b ) Ä sålde 5720 m 8 dem o c h 6 cm a f en sorts t y g och 356 m 7 dem 5 cm a f en andra sorts t y g ; h u r u många flera m e t e r a f d e n förra än a f d e n sednare s o r t e n ?
4- 572086 x = 572086 — 35675 • = — 35675 =
Utför resten och säg u t alla de särskilda sorterna i densamma, då du lärer få 5 km 3 hm 6 dkm i m 1 dem och 1 cm, m e n i n g e n millimeter, emedan denne ej i n g i c k i någon af addenderna. K u n n a v i k a l l a t a l e n addender 1 E x . 26. F ö r en j e m v ä g hade i n g e n i ö r e r n a A och B a t t
uppmäta en l i n i e från p u n k t e n a) t i l l p u n k t e n c) öfver p u n k t e n b ) . A mätte från a) t i l l b ) och fick på h å r e t 68 km 428 m 5 dem 7 cm och 9 mm. B mätte från b) t i l l c) och f i c k 95 km 78 m 4 dem och 9 mm. H u r u lång b l e f h e l a j e r n v ä g s l i n i e n ?
« = 68423579 + 95078409.
Utför summan och säg u t a l l a särskilda d e r i ingående sorter! Glöm i c k e h e l l e r a t t af t a l e n göra d i g frågor för sub-t r a k sub-t i o n !
Och nu, Petter, sedan d u i öfning k o m m i t så långt, för-stått och e r f a r i t sanningen i vår g r u n d r e g e l , a t t summan fås p,f addenderna sammanlagda, och a t t addenden fås af summan
22
m i n s k a d m e d andra addenden, så bör du en gång för alla veta, a t t d u i det ena h a r d i n » p r o b a » för r i g t i g b e t e n a f d i n o p e r a t i o n i det andra. När d u derför öfvar d i g på egen h a n d m e d a t t lösa exempelsamlingarnes frågor, så kasta b o r t den följaktiga, mer än onödiga »facitboken», som v i l l b e f r i a d i g från a t t sjelf tänka, pröfva och undersöka r i k t i g h e t e n af h v a d d u g j o r t , och h i n d r a d i g a t t s a m t i d i g t och vexelvis öfva de motsatta räknesätten, h v i l k e n sam-t i d i g a öfning är af så s sam-t o r sam-t gagn för förssam-tåndsusam-tvecklingen.
E x . 27. E n »hvitvaruhandlare» »inventerade» s i t t »lager»
o c h fann a t t han a f »kaliko» hade en » p a c k e » på
245 m , 8 dem, 7 cm, en annan packe på 96 m, 6 dem.
5 cm, en t r e d j e packe på 125 m, 8 dem, en fjerde
på 68 m, 8 cm samt en »stuf» på 8 m; h u r u många
m e t e r t i l l s a m m a n s ?
a = 24587
+ 9665
+ 1258
, + 6808
+ 8 =
D e r e f t e r sålde han l : s t a och 2:dra p a c k e n samt
stuf-v e n ; h u r u m y c k e t hade han då på l a g e r ?
M e n d e t t a reducerade l a g e r förstärkte h a n m e d
en packe på 3,050 m , 9 dem, samt m e d en packe på
709 m, 8 dem och 7 cm; h u r u m y c k e t hade h a n n u
på l a g e r ?
E x . 28. Vårt nyaste vigtmått kallas gram o c h i n d e l a s ,
såsom längdmåttet, efter t i o t a l s o r d n i n g e n ; 1 kilogram
= 10 hektogram, 1 h e k t o g r a m = 10 dekagram, 1
d e k a g r a m = 10 gram, 1 g r a m = 10 decigram, 1
deci-g r a m = 10 centideci-gram, 1 c e n t i deci-g r a m = 10 millideci-gram.
T a l e t 1111111 u t t r y c k e r detta. Benämningarne äro andra, sorterna en m i n d r e än i längdmåttet, föröfrigt a l l t l i k a , så a t t d u förstår a t t behandla det ena när d u förstår a t t be-h a n d l a det andra.
Såsom beteckningsförkortningar antagas 7ig, hg, dkg, g, deg,
eg och mg.
A » e x p o r t e r a d e » 8 5 % , 9 gr, 7 deg fläsk; 67 kg, 5
hg, 8 dkg o c h 7 g kött; 56 kg, 5 dkg, 3 g o c h 9 deg
»primasmör» och 60 kg, 8 hg, och 7 g
»secundas m ö r » ; h u r u m y c k e t i v i g t v o r o de»secundas»secundasa v a r o r t i l l
-sammans?
23
,r - 850097
• + 67587
+ 560539
• + 60807 =
Beducera den. tecknade summan och säg u t alla sorterna d e r i ! Obs. a t t mg ej förekommer, m e n a t t det ( m i l l i g r a m ) kan i f o r m e n förekomma, o m m a n v i l l f y l l a dess r u m m e d 0.
Såsom » p r o b a » subtrahera från den utförda summan de tre addendernas summa, så måste d u j u få fjerde a d d e n d e n ; e l l e r subtrahera från utförda summan de två addendernas summa, så måste du j u få de två andra addendernas summa t i l l r e s t : eller subtrahera från den utförda summan dess ena addend, så måste d u j u få t i l l rest summan af de t r e andra addenderna; och n o g är d e t t a bättre, än a t t förstulet t i t t a i »facitboken», som j u k a n hafva » t r y c k f e l » .
-Ex. 29. E n g u l d s m e d smälte t i l l s a m m a n s i s i n » d e g e l »
12 g, 7 deg, o c h 8 mg f i n t g u l d , 26 g, 5 deg o c h 9
mg m i n d r e fint g u l d o c h 4 g, 8 cg, o c h 7 mg k o p
p a r ; h u r u m y c k e t v ä g d e hela den blandade g u l d
-k l i m p e n ?
E x . 30. M a n väntade m e d säkerhet en förhöjning i
»importtullen» å t o b a k . D å s k y n d a d e »patrioterne»(?)
A , B och C a t t i m p o r t e r a t o b a k , A 4328 kg, 6 ho
och 98 g; B 3 0 5 0 % , 7 dkg och 9 g; C 187 kg, 5 hg
och 38 deg; h u r u m y c k e t t o b a k i v i g t b l e f då u t a n
förhöjd t u l l införd?
H u r u m y c k e t , i n f ö r d e A mer än B ?
H u r u m y c k e t C mindre än B ?
H u r u m y c k e t A mer än B och C t i l l h o p a ?
H u r u m y c k e t mindre B än A o c h C t i l l h o p a ?
E x . 3 1 . Vårt nyaste mått för målkärl kallas liter och
indelas i sina sorter såsom längdmåttet och v i g t
-måttet efter t i o t a l s o r d n i n g e n ; 1 hektoliter = . 1 0
deka-liter, 1 d e k a l i t e r = 10 deka-liter, 1 l i t e r = 10 deciliter. 1
d e c i l i t e r = 10 centiliter.
T a l e t 11111 u t t r y c k e r detta. Här äro benämningarne an-dra, sorterna färre, men för öfrigt a l l t l i k a i hvad^ lärdt är om b e h a n d l i n g e n af längdens och v i g t e n s s o r t t a l . • Äfven här hafva v i beteckningsförkortningar hl, dhl, l, del, el.
E n v i n h a n d l a r e hade 5 hl, 8 l, 9 del o c h 7 cl v i n
så f i n t och d y r t , att h a n ej fick d e t såldt. Då b l a n
-dade k a n det m e d 12 hl, 6 dld, 7 del och 9 cl v i n
af en m i n d r e f i n och m i n d r e d y r sort, o c h så sålde h a n b l a n d n i n g e n m e d stor v i n s t . H u r u m y c k e t v a r a t t sälja?
« = 50897 + 126079.
' E x . 32. V å r t m y n t kronan indelas efter
hundratalsord-ningen, 1 k r o n a = 100 öre. T a l e t l , o i u t t r y c k e r
således 1 k r o n a och 1 öre.
a) A eger en fastighet värd 12,870 k r o n o r 75 öre,, k o n t a n t k a p i t a l 6,856 k r o n o r 68 öre. B har en fastighet värd 30,675 k r . 59 öre, m e n har t i l l i k a en s k u l d på 11,860 k r . 8 öre. H v a d eger d e n ene m e r än den andre?
m= (12,870,75 + 6,856,68) — (30,675,59 — 11,860,08).. b) Å r 1870 ärfde A 8,570 k r o n o r 78 öre o c h u n d e r följande år har han t i l l denna d a g ökat s i n för-m ö g e n h e t för-m e d 2,356 k r . 75 öre. B ärfde v i d samma t i d 1,454 k r . 97 öre mer än A ärfde. M e n B har uppoffrat 12,860 k r . 28 öre på oförnuftiga, s p e k u l a t i o n e r och u n d e r t i d e n t i l l dato l e f v a t u p p 8,093 k r o n o r u t a n a t t hafva förtjenät e t t öre. H u r u stå n u begges affärer?
A . a; — 8,570,7s + 2,356,76 =
B . m = (8,570,78 + 1,454,97) — (12,860,28 + 8,093). E x . 33. " Af s i n l i l l a åskådningsgeometri lära b a r n e n a t t vårt
ytmått, qvadratfoten, b a r sin s o r t i n d e l n i n g efter hundratals-ordmngen, såsom vårt m y n t k r o n a n b a r det. M e n bär äro sorterna l i k a många som hos foten såsom längdmått; alltså 1 qvadratref = 100 ([vaäratstänger, 1 qvactratstång = 100 qva-dratfot, 1, qvadratfot — 100 qvadrattum, 1 q v a d r a t t u m = 100 q v a d r a t l i n i e r . Här intager således hvarje sort två r u m i deci-malkedjan, då längdmåttets sorter intaga b l o t t ett.
T a l e t 1010101010 u t t r y c k e r således h v a d v i här hafva, och • beteckningens förkortningar äro qr, qst, qf, qt, ql.
A uppmäter en ytas innehåll 6 qr, 79 qst, 86 qf, 96 qt o c h 25 ql. B uppmäter en y t a , som innehåll e r 65 qr, 3 qst, 50 qf, 8 qt och 76 qinnehåll. H v a d i n n e -hålla begge y t o r n a t i l l s a m m a n s ? « = 6 , 7 9 , 8 6 , 9 6 , 2 5 + 65, 03, 50, 08, 76 = H u r u m y c k e t är d e n sednare y t a n större än d e n förra?
•Ex. 34. A och B läto »enskifta» s i t t h e m m a n . A fick a f åkerjorden 275 qr, 90 qst, 86 qf och a f ängen 127 qr, 79 qst, 50 g / B fick a f åkerjorden 320 <«', 99 qst, 87 g / och a f ängen 94 g r , 85 ^ s i . a) H u r u stor v a r h e l a h e m m a n e t s åkerjord? h) H u r u stor v a r h e l a h e m m a n e t s äng?
c) H u r u stor h e l a h e m m a n e t s »areal» i åker o c h ä n g ? d) H u r u m y c k e t a f åkerjorden fick d e n ene mer än
den a n d r e ?
e) H u r u m y c k e t a f ängen fick den ene m e r än d e n andre ?
f ) H u r u m y c k e t a f åker o c h äng t i l l s a m m a n s fick den' ene m e r än den andre?
Vårt nyaste ytmått är q y a d r a t i n e t e m . När m a n känner meterns sorter såsom längdmått, k a n m a n väl v e t a a t t den har motsvarande sorter såsom qvadratmått, alltså 1
qv.-myria-meter eller q v a d r a t m i l = 100 qc.-kiloqv.-myria-meter, 1 qv.-kiloineter =
100 helttometer, 1 hektom. = 100 deltameter, 1 qv.-decam. = 100 qv.-meter, 1 qv.-meter = 100 qv.-decimeter, 1 qv.-decim. = 100 qv..-centimeter, 1 qv.-eentim. = 100
qv.-milli-meter.
Beteckningens förkortningar ä r o :
qmil, qkm, qhm, qdkm, gm, qdcm, qcm, qmm. V i d uppmätning
af jordområden k a l l a s 100 qm 1 ar, detsamma således som en qvadratdekameter, och 100 ar k a l l a s 1 hektar, detsamma såle-des som en q v a d r a t h e k t o m e t e r . 1 h e k t a r är sålesåle-des = 100 X 100 q v a d r a t m e t e r = 10,000 qm. S k r i f u t e n l i g t d e c i m a l -systeniet s o r t t a l e t 36 qmil, 8 qkm, 72 qhm, 5 qdkm, 85 qm, 19 qdcm, 3 qcm och 50 qmm\ A f s k i l j s o r t e r n a ! 3 6 , 0 8 , 7 2 , 0 5 , 8 5 , 1 9 , 0 3 , 5 0 . I n d e l a t a l e t 80370005046805 i sina sorter o c h säg u t d e m !
T r e landtmätare, A , B o c h C fingo att uppmäta, en s k o g s t r a k t i N o r r l a n d . A uppmätte d e r a f 5 qmil, 76 qdkm o c h 9 qm. B 86 qkm, 96 qhm o c h C, som räknat » p å håret» 2 qmil, 70 qkm, 8 qhm, 22 qdkm, 4 qm, 62 qdcm, 9 qcm och 99 qmm.
H u r u stor v a r h e l a t r a k t e n s »areal»?
x = A 5,00,00,76,09
+ B 86,96
Talen uppställas så från venster, rnen orn a l l a sortrurnmen i A - och B-addenden fyllas m e d 00, k u n n a t a l e n l i k a lätt upp-ställas från höger.
E x . 35. Vårt ännu "begagnade vigtmått är i n d e l a d t Båsom ytmåt-tet efter h u n d r a t a l s o r d n i n g e n : 1 centner = 100 skålpund, 1 skalp. = 100 ort, 1 o r t = 100 korn.
E n j o r d b r u k a r e v i l l e p å j c r n v ä g e n s k i c k a sin spanne-mål t i l l e x p o r t ö r e n och betingade sig derföre en v a g n , som lastade 260 c e n t n e r . F ö r s t inlastade han hvete, som v ä g d e 120 centner, 95 skålpund, 89 o r t , 78 k o r n ; derefter inlastade han råg i v i g t 130 centner, 49 skålpund, 7 o r t och 96 k o r n . S l u t l i g e n v i l l e han äfven »lägga på» hafre, som v ä g d e 1,300 skålpund. » N e j stopp!» sade jernvägsmannen, » v a g n e n iastar b l o t t 260 c e n t n e r = 26,000 skålpund.» H u r u m y c -k e t a f h a f r e n fic-k j o r d b r u -k a r e n återtaga?
Såsom d u finner, Petter, upplöser sig frågan i t r e frågor: a) H u r u m y c k e t väga l i v e t e t o c h rågen t i l l s a m m a n s ?
x ="120,95,89,78 + 130,49,07,96 =
b ) H u r u m y c k e t lastar v a g n e n m e r än detta?
x = 260,00,00,00 — a)
c) H u r u m y c k e t mer än detta är hafrens v i g t ?
x = 13,00,00,00 — b)
h v i l k e t öfverskott var att återtaga.
N u hade m a n väl i en eqvation k u n n a t u t t r y c k a hufvud-frågan sålunda:
Hvad som af hafrens vigt är att återtaga, utgör skilnaden emellan hafrens vigt och hvad vagnen lastar mer än rågen och hafren väga tillsammans. M e n dels m e d af seende på nybör-jarens behof af a t t få f a t t a saken så e n k e l t som möjligt, dels ock m e d afseende på talens v i d l y f t i g h e t , upplöses hufvudfrågan, då r e d u k t i o n e n i a) gifver k o r t a r e t a l i b ) , och r e -d u k t i o n e n -der gifver ännu k o r t a r e t a l i c).
E x . 36. Vårt ännu begagnade målkärlsmått är i n d e l a d t i sorter efter decimalsystemet, m e n h v a r k e n ensamt efter t i o t a l s - eller hundratals- eller tusentalsordningen; 1 k u b i k f o t = 10 kannor, 1 kanna = 100 kubiktum. Talet 1,1,01 u t t r y c k e r detsamma.
A g a f sina hästar hafre, i J a n u a r i 35 k f o t , 8 k a n -n o r , 67 k t u m ; i F e b r u a r i 47 k f o t , 9 k a -n -n o r , 23 k t u m ; i M a r s 69 k f o t och 890 k t u m ; h u r u m y c k e t t i l l -sammans?
27 Orsaken t i l l den egna i n d e l n i n g e n är den, a t t Svensken l a d e så svårt för a t t lemna den kära »kannan». M e n som en kanna = 100 k i i b . t m n , så får m a n en »rationel» k u b i k i n d e l -n i -n g efter tuse-ntalsord-ni-nge-n, om m a -n l e m -n a r k a -n -n a -n ( m e d s i t t »stop, halfstop, q v a r t e r och jumfru») 1 kub.-fot = 1000 k . - t u m . H u r u q v a d r a t e n u p p k o m m e r af längden ocb k u b e n af qvadraten får d u lära af d i n l i l l a åskådningsgeometri.
37. A inköpte 232 k f o t , 7 k a n n o r , 38 k t u m h v e t e , vägande 1 1 1 centner, 28 skalp., 72 o r t , 53 k o r n , som kostade 568 k r o n o r 75 öre. D e r t i l l inköpte han 427 k f o t , 8 k a n n o r , 78 k t n m råg, vägande 210 centner, 95 skålpund, 46 o r t och 89 k o r n , som k o -stade 840 k r o n o r 67 öre. S l u t l i g e n i n k ö p t e h a n 3,856 k f o t , 9 k a n n o r , 87 k t u m hafre, vägande 1,195 centner, 60 skalp. 38 o r t och 79 k o r n , som kostade 2,390 k r o n o r 96 öre. H v a d innehöll a l l säden i mått? » » j> >> i vigt? » » )> » i penningevärde? H u r u m y c k e t v a r hafren mer än h v e t e t i mått? » » j> » » » )> i v i g t ? » » » » » » y> i p e n n i n g e -värde ? H u r u m y c k e t v a r hafren m e r än rågen i mått? » » » » » » )> i v i g t ? » >.i v » » » y> i p e n n i n g e -värde? H u r u m y c k e t v a r hafren m e r än rågen och h v e -t e -t -t i l l s a m m a n s i må-t-t? i v i g -t ? i p e n n i n g e v ä r d e ?
38. K u b i k f o t e n h a r äfven sina öfverafdelningar: 1 knb.-ref *= 1000 kub-stänger, 1 kub.-stång = 1000 kub.-fot.
E n sjö s k a l l uttappas m e d e l s t en k a n a l . D e n j o r d m a s s a som s k a l l utgräfvas, s k a l l mätas t i l l s i t t
kubikinnehåll, t y derefter k a n kanalgräfningens kost-nad beräknas. På ett stycke a f k a n a l l e d e n måste utgräfvas 8 k u b . r e f , 728 kub.st., 53 k u b . f o t , 359 k u b . -t u m , 90 k u b . l i n i e r ; på e-t-t a n d r a s -t y c k e 15 k u b . r e f , 20 kub.st., 985 k . f o t ; på sista s t y c k e t 36 k u b . r e f , 9 kub.st., 500 k u b . f o t , 390 k u b . t u m , 705 k u b . l i n i e r . H u r u m y c k e t t i l l s a m m a n s ?
x= 8,728,058,359,090
+ 15,020,985
+ 36,009,500,390,705
•Vi se, a t t kubikmåttets sorter upptaga t r e r u m h v a r d e r a i deoimalkedjan, då qyadratmåttets upptogo tvä och längdmåttets ett. a l l t af b e g r i p l i g a skäl. E n h e t e n af hvarje sort u t -t r y c k e s genom -t a l e -t 1,001,001,001,001.
X . 39. Vårt nyaste kubikmått, kubikmetern, fördelas i sina sor-t e r på samma säsor-tsor-t och g r u n d .
Beteckningens förkortningar ä r o : k u b i k m y r i a m e t e r eller k u b i k m i l kmil, k u b i k k i l o m e t e r kkm, khm, kdkm, km, kdcm, kem,
hmm. T a l e t 1,001,001,001,001,001,001 u t t r y c k e r de särskilda
sor-ternas enhet i decimalkedjan.
B x . a) 2 kmil, 50 kkm, 7 khm, 90 kdkm, 479 km, 25
kdcm, 8 kem och 350 kmm, samt d e r t i l l 1 kmil, 307
kkm, 508 khm, 709 kdkm, 4 km, 798 kdcm, 807 kem
och 8 kmm. H u r u m y c k e t t i l l s a m m a n s ?
x = 2,050,007,090,479,025,008,350
+ 1,307,508,709,004,798,807,008.
Reducera, utsäg derefter alla särskilda sorter.
I allmänhet räknar m a n b l o t t i k k m e t e r , k . d e c i m e
t e r och k . c e n t i m e t e r . M a n »prutar» b o r t k . m i l l i m e
-t e r n , der de-t ej gäller m y c k e -t fina, v i g -t i g a e l l e r
d y r b a r a föremål för mätning. D e öfver k . m e t e r n
l i g g a n d e högre s o r t e r n a användas för mätning a f
m y c k e t stora föremål, såsom j o r d k l o t e t m . m .
E x . b ) E n d u b b e l k l i j 3 p a s k a l l bortsprängas o c h
arbet e arbet bearbetalas m e d 10 k r o n o r för hvarje f u l l k u b i k
-m e t e r . Ingeniören A har upp-mätt k l i p p a n och fått
den ena delen innehållande 8,536 km, 996 kdcm och
798 kem, den andra d e l e n 9,758 km, 869 kdcm och
579 kem. H u r u m y c k e t t i l l s a m m a n s ?
x = 8536,996,798
+ 9758,869,579.
Beduceradt = 18,295 f u l l a k u b i k m e t e r .H u r u m y c k e t s k a l l för dessas bortrödjande betalas?
L i k a många t i o r af k r o n a n , alltså 182,950 k r o n o r . D e t t a v a r nu en l i t e n »anticipation» på m u l t i p l i k a t i o n , h v a r m e d v i ännu ej h a f t a t t göra, m e n af så o s k y l d i g a r t , a t t du är b e k a n t dermed af decimalsystemets u p p f a t t n i n g .
B e h a n d l i n g e n för a d d i t i o n ooh s u b t r a k t i o n af andra »tal i sorter» än de, som g r u n d a sin i n d e l n i n g på decimalsystemet, äfvensom af andra » b r å k » än »decimalbråk», k o m m e r följd-r i g t i g a s t föföljd-re, sedan m a n g j o följd-r t sig b e k a n t m e d g följd-r u n d e följd-r n a föföljd-r m u l t i p l i k a t i o n och d i v i s i o n » i hela tal» och i samband der-med för a d d i t i o n och s u b t r a k t i o n , då t e r m e r n a äro äfven teck-nade p r o d u k t e r e l l e r qvoter.
Multiplikation och division,
s a m t i d i g t ö f v a d e :
Ilufvudgrunder :
1 . Multiplikation är en förkortad addition af samma
ad-dender. H v a d t . e x . 3 + 3 + 8 + 3 = 4 + ' 4 + 4 = 12
säger, n e m l i g e h att s u m m a n 12 u p p k o m m i t a f 4 treor
e l l e r 3 fyror, detsamma säger p r o d u k t e n 4 x 3 =
3 X 4 = " i 2 .
2. Division är en förkortad subtraktion med samma
sub-trahender. H v a d 12 — 3 — 3 - - 3 — 3 = 1 2 — 4 — 4
— 4 = 0 säger, n e m l i g e n a t t 3 l i g g e r i 12 fyra
gån-ger o c h a t t 4 l i g g e r i 12 tre gångån-ger, e l l e r a t t 3 är
fjerdedelen a f 12 o c h 4 t r e d j e d e l e n a f 12, detsamma
säga q v o t e r n a ^ och \?*).
*) När a r i t m e t i k öfvades uteslutande i lärdoms- och högskolan, skrefs l i k h e t s t e c k n e t m e d f y r a p u n k t e r ::, h v i l k a längre f r a m fingo löpa samman t i l l = . Då tecknades ock q v o t e n m e d två p u n k t e r :, h v i l k a längre f r a m fingo löpa samman t i l l / m e d t a l e n i en t r y c k
-8 2
r a d t . ex. %, zfs, sednare t i l l -g-> -g- m e d t a l e n i två t r y c k r a d e r .
Sedan a r i t m e t i k e n införts i svenska b y s k o l a n , b l e f det snart nog häfdvunnet a t t k a l l a q v o t f o r m e n j 8 : 2 »divisionstal», t e c k n e t »kolon»" och t e c k n e n i allmänhet »skiljetecken m e l l a n talen». § såsom | kallades »bråk» och t e c k n e t »bråkstreck». H v a d ett »skilje-tecken» b e t y d d e fick b a r n e t veta af sin renläsningsöfning, och h v a d »bråkstrecket» b e t y d d e fick det sluta t i l l af öfriga » s t r e c k » k o r s och tvärs för »uppställningen». H v a d häfd skapade nedifrån sträckte sig snart högre u p p .
Den häfdvunna förklaringen öfver »bråkets uppkomst» h a r det emot sig a t t den l i g g e r längre b o r t för barnets förstånd, er-f o r d r a n d e m i n s t två operationer i barnets h u er-f v u d och passar ej i n på a l l a » b r å k » . A t t t . ex. |- u p p k o m m i t »af 1 d e l a d t i 4 l i k a stora delaT, och sedan m a n t a g i t 5 sådane delar», k a n b a r n e t i c k e ens
