ŠEDOTÓNOVÁ MATEMATICKÁ MORFOLOGIE

1/23

ŠEDOTÓNOVÁ MATEMATICKÁ MORFOLOGIE

Václav Hlaváč

Fakulta elektrotechnická ČVUT, katedra kybernetiky Centrum strojového vnímání, Praha

hlavac@fel.cvut.cz

http://cmp.felk.cvut.cz/∼hlavac

2/23

ŠEDOTÓNOVÁ MATEMATICKÁ MORFOLOGIE

 Zobecnění pro obrázky s více jasovými úrovněmi nebo voxely.

 Bodová množina A ∈ _E³. První dvě souřadnice množiny tvoří definiční obor a třetí souřadnice odpovídá funkční hodnotě.

 Strukturní element je funkcí dvou proměnných a ovlivňuje, jakým způsobem se berou v úvahu hodnoty obrazu v okolí.

Hodnota strukturního elementu je přičtena (nebo odečtena), když se v okolí počítá maximum (nebo minimum).

3/23

VRŠEK MNOŽINY (top of the surface)

Nechť A ⊆ _Eⁿ a nechť definiční obor F = {x ∈ _Eⁿ⁻¹ pro některá y ∈ _E, ⁽x, y⁾ ∈ A}. Vršek množiny A, označovaný T ^[A^], je

zobrazením F → _E definovaným jako

T ^[A^](x^{) = max}{y, (x, y⁾ ∈ A} .

4/23

STÍN MNOŽINY (angl. umbra)

Nechť F ⊆ _Eⁿ⁻¹ a f : F → _E.

Stín funkce f se označuje U ^[f^], U^[f^] ⊆ F × _E

U ^[f^{] =} {(x, y⁾ ∈ F × _E, y ≤ f⁽x⁾} .

5/23

1D PŘÍKLAD STÍNU MNOŽINY

6/23

ŠEDOTÓNOVÁ DILATACE, 1D příklad

7/23

ŠEDOTÓNOVÁ EROZE, 1D příklad

8/23

MORFOLOGICKÉ PŘEDZPRACOVÁNÍ, příklad

(a) originál (b) eroze (tmavého)

(c) dilatace (tmavého) (b) (d) rekonstr. buňky

9/23

TRANSFORMACE VRCHNÍ ČÁST KLOBOUKU

Angl. Top Hat transform.

Definice: X \ (X ◦ K).

Používá se pro segmentaci objektů lišících se jasem, i když se jas pozadí pomalu mění.

Části obrazu větší než strukturní element K se odstraní. Po odečtení

zůstanou jen odstraněné části, tj. objekty na vyrovnaném pozadí. Objekty se najdou prahováním.

šedotónový obraz otevøený obraz

vrchní èást klobouku práh

10/23

VÝROBA KAPILÁR SKLENĚNÝCH TEPLOMĚRŮ

Průmyslový příklad na transformaci vrchní část klobouku.

Originál Eroze strukt. Otevření tímž Výsledná 512×256 elem. 1×20 strukt. elem. segmentace

11/23

OBLAST JAKO SJEDNOCENÍ MAX. KRUHŮ

 V binární morfologii lze bodovou množinu X také vyjádřit jako sjednocení maximálních kruhů B.

 Každému bodu p skeletu S⁽X⁾ je jednoznačně přiřazen

maximální kruh o poloměru q_X⁽p⁾ (angl. quench function).

 Známe-li pro každý bod skeletu q_X⁽p⁾, potom lze výchozí bodovou množinu X rekonstruovat jako sjednocení

maximálních kruhů B

X ⁼ [

p∈S(X)

(p ⁺ q_X⁽p⁾B⁾ .

12/23

TŘI TYPY EXTRÉMŮ šedotónové obrazové funkce

Globálním maximem je pixel s nejvyšší hodnotou (nejvyšší vrchol v krajině).

Lokálním maximem je pixel p, právě když pro každý sousední pixel q pixelu p platí I⁽p⁾ ≥ I(q⁾.

Regionální maximum M digitálního šedotónového obrazu I je souvislá množina pixelů s odpovídající hodnotou h (plató ve výšce h), kde každý pixel sousedící s množinou M má

menší hodnotu než h.

13/23

TŘI TYPY EXTRÉMŮ, příklad

okolí bod

regionální maximum lokální maximum

 Každý pixel regionálního maxima M v obrazové funkci I je také lokálním maximem.

 Opak neplatí, tj. existují lokální maxima, která nejsou regionálními maximy.

14/23

MYŠLENKA AUTOMATICKÉHO ZNAČKOVÁNÍ

 Myšlenka: konvexní oblast v binárním obraze lze reprezentovat značkou “uprostřed oblasti”.

 Triviálně splněno pro nedotýkající kruhy.

 Obecně složitější. Postupné erodování, značkou je místo

těsně před úplným zmizením oblasti. Pojem: konečná eroze.

 Pro nekonvexní oblasti se nejdříve rozdělí na jednodušší konvexní části.

15/23

POSTUPNÉ ERODOVÁNÍ, příklad

Originál 1. eroze 2. eroze

3. eroze 4. eroze 5. eroze

16/23

KONEČNÁ EROZE U lt⁽X⁾

Nechť X je bodová množina, S⁽X⁾ je její skelet, q_X⁽p⁾ je

(quench) funkce přiřazující každému bodu skeletu kruh vepsaný do X se středem c.

Konečná eroze U lt⁽X⁾ je definována jako množina regionálních maxim funkce q_X(p).

R

R

S(X) X

c

c

c

c

q (p)

17/23

KONEČNÁ EROZE, pokračování příkladu

výchozí obrázek výsledek konečné eroze

18/23

MORFOLOGICKÁ REKONSTRUKCE

Předpokládejme dvě bodové množiny A, B, B ⊆ A.

Morfologická rekonstrukce ρ_A⁽B⁾ množiny A z množiny B je

sjednocením souvislých částí množiny A s neprázdným průnikem s B

B A

19/23

VYJÁDŘENÍ KONEČNÉ EROZE POMOCÍ REKONSTRUKCE

N je množina přirozených čísel, která poslouží pro rostoucí poloměry kruhů.

Konečná eroze se může vyjádřit U lt⁽X^{) =} [

n∈N

(X nB⁾ \ ρ_{X nB}⁽X ⁽n ^{+ 1)}B⁾
.

Efektivní výpočet konečné eroze se opírá o vzdálenostní funkci.

20/23

POUŽITÍ VZDÁLENOSTNÍ TRANSFORMACE

Vzdálenostní transformace (funkce) dist_X⁽p⁾ přiřazuje každému pixelu p z množiny X velikost první eroze množiny, která už

neobsahuje pixel p, tj.

∀p ∈ X, dist_X⁽p^{) = min} {n ∈ _N , p not in ⁽X nB⁾} . dist_X⁽p⁾ je nejkratší vzdáleností mezi pixelem p a doplňkem množiny X^C.

Vzdálenostní funkce má dvě přímá použití:

 Konečná eroze množiny X je tvořena sjednocením regionálních maxim vzdálenostní funkce množiny X.

 Skelet pomocí maximálních kruhů množiny X je dán

množinou lokálních maxim vzdálenostní funkce množiny X.

21/23

GEODETICKÉ METODY

V MATEMATICKÉ MORFOLOGII

 Geodetické metody změní morfologické operace tak, aby operovaly pouze na části obrázku.

 Příklad: má-li se například rekonstruovat objekt ze značky, řekněme buněčného jádra, je žádoucí zabránit růstu mimo buňku.

 Další důležitou výhodou je, že se strukturní element může měnit v každém pixelu podle lokálních hodnot obrazové funkce.

22/23

GEODETICKÁ VZDÁLENOST

Geodetická vzdálenost d_X⁽x, y⁾ je délka nejkratší cesty mezi dvěma body x, y, za podmínky, že leží uvnitř množiny X.

Není-li taková cesta, definuje se geodetická vzdálenost d_X(x, y)

= ⁺∞.

d (x,y) X w

x y

set X

d (w,y) = X

23/23

GEODETICKÝ KRUH

 Geodetický kruh (koule, nadkoule pro dimenzi prostoru > ³) je kruh omezený množinou X.

 Geodetický kruh B_X(p, n) se středem p ∈ X a poloměrem n je definován jako

B_X⁽p, n^{) =} {p⁰ ∈ X, d_X(p, p⁰⁾ ≤ n} .

 Zavedení geodetického kruhu dovoluje použít eroze a dilatace pouze uvnitř podmnožiny Y obrazu X.