NATIONALEKONOMISKA INSTUTIONEN Uppsala Universitet
Examensarbete C
Författare: Elinore Ström Handledare: Martin Holmén Vårterminen 2007
Strukturerade produkter - Aktieindexobligationer
En studie om aktieindexobligationers beståndsdelar,
avkastning och prissättning
Sammandrag
Den höga turbulensen på många av världens börser de senaste åren har ökat efterfrågan på kapitalsäkrade placeringar som ger möjlighet till hög avkastning men innebär en begränsad förlustrisk. En aktieindexobligation sägs vara kapitalsäkrad då den är konstruerad med hjälp av en köpoption och en nollkupongobligation. Mitt syfte med denna uppsats är reda ut begreppet strukturerad produkt av typ aktieindexobligation och med hjälp av Black & Scholes modell försöka prissätta optionen. Detta genom att estimera den implicita volatiliteten på optionen vid olika typer av aktieindexobligationer och jämföra med den historiska volatiliteten. Då den implicita volatilitet är avsevärt högre än den historiska volatiliteten kan slutsatsen dras att emittenter inkluderar ”dolda” marginaler i produkterna i syfte att tjäna mer pengar.
Nyckelord: Aktieindexobligation, Black & Scholes, implicit volatilitet och strukturerad produkt.
1. Inledning _______________________________________________________________ 3
2. Teori ___________________________________________________________________ 6 2.1 Aktieindexobligationer __________________________________________________ 6
Figur 1. Antal utestående aktieindexobligationer i svenska kronor 2003-2007 ______________________ 6 Figur 2. Grafisk illustration av hur aktieindexobligationer fungerar______________________________ 7
2.2 Optioner _____________________________________________________________ 8
Figur 4. Svenska SWAP-räntan __________________________________________________________ 9
2.3 Aktieindexobligationens avkastning _______________________________________ 11
Figur 5. Grafisk illustration av en köpoptions och en nollkupongobligations avkastning ____________ 11
2.4 Risker i samband med köp av aktieindexobligationer__________________________ 12 3. Modellen _______________________________________________________________ 13 3.1 Black & Scholes_______________________________________________________ 13 3.2 Kritik mot modellen____________________________________________________ 15 3.3 Definition av volatilitet _________________________________________________ 15
Figur 6. Graf över historisk samt implicit 180dagars volatilitet på OMXS30TM____________________ 16 Figur 7. Historisk volatilitet gällande OMXS30TM för 30, 90 respektive 180 dagar _________________ 17
3.4 Utdelningar __________________________________________________________ 17 4. Metod och data _________________________________________________________ 19 4.1 Metod_______________________________________________________________ 19 4.2 Data och material _____________________________________________________ 20
Figur 8. Grafisk analys mellan aktieindexens utveckling sedan 1999 ____________________________ 20 Tabell 1: Volatilitet och direktavkastning för respektive aktieindex _____________________________ 21 Figur 9. Aktieindexens volatilitet sedan 2005-01-01 _________________________________________ 22
5. Resultat och analys ______________________________________________________ 23
Tabell 2: Sammanställning aktieindexobligationer___________________________________________ 23 Tabell 3: Historisk volatilitet vid emissionen _______________________________________________ 23 Tabell 4: Direktavkastning _____________________________________________________________ 23 Tabell 5: Uppräkningsfaktor samt pris på köpoptionen _______________________________________ 24 Tabell 6: Implicit volatilitet ____________________________________________________________ 24 Tabell 7: Effekter av direktavkastning ____________________________________________________ 25
6. Slutsats ________________________________________________________________ 26
Källförteckning ___________________________________________________________ 28 Litteratur _______________________________________________________________ 28 Artiklar ________________________________________________________________ 28 Elektroniska källor _______________________________________________________ 28 Programvara ____________________________________________________________ 29 Appendix 1- Uträkningar ___________________________________________________ 30
Appendix 2- Handelsbanken återbetalda aktieindexobligationer __________________ 31
1. Inledning
Intresset för strukturerade produkter har de senaste åren ökat som alternativt investeringsalternativ för många privata sparare, och erbjuds av allt fler banker. En strukturerad produkt är en finansiell produkt som består av flera delar. Aktiemarknaden har historiskt sett givit en god avkastning, men samtidigt inneburit en stor risk. Den höga turbulensen på många av världens börser har ökat efterfrågan på kapitalsäkrade placeringar, då de ger möjlighet till hög avkastning men innebär en begränsad förlustrisk. En aktieindexobligation sägs vara kapitalsäkrad då det är en kombination av en köpoption och en nollkupongobligation. Den kombinerar således aktiens möjligheter till hög avkastning med obligationens låga risk och trygghet. Många investeringsrådgivare anser att en väldiversifierad portfölj bör innehålla en strukturerad produkt med anledning av kapitalskyddet.
Enligt en artikel i Dagens Industri 2007-02-02 är orsaken till den ökade populariteten gällande aktieindexobligationer att ”kunderna vill ha det bästa av världar” och de mest populära marknaderna är Sverige, följt av Europa och tillväxtmarknader. Detta trots kritiken om att de anses vara dyra produkter. I artikeln kan även läsas att aktieindexobligationer spås vara framtidens sparande (DI 1).
Många anser dock att strukturerade produkter är överprissatta och att bankerna försöker vilseleda privatspararna. Det ifrågasätts vad emittenterna (de som utfärdar aktieindexobligationen) får ut av dessa produkter och hur de prissätter dem när de säljs till privata sparare. Är courtaget tillräckligt för att täcka deras kostnader och innebära en förtjänst? Ett annat tillvägagångssätt att ta extra betalt skulle vara genom att inkludera en högre volatilitet i optionsdelen, då volatiliteten bidrar till ett ökat optionspris.
Finansinspektionen gick ut med ett pressmeddelande i slutet av 2004 i samband med det ökade intresset från spararna om att de skulle granska informationen som tillhandahålls vid försäljning av aktieindexobligationer. Det resulterade i rapport 2006:19 som publicerades i december 2006. Problemet är att informera kunderna om vad de egentligen köper, då produkten är komplex och informationen är begränsad. Målet för finansinspektionen var att tillhandahålla spararna relevant och rättvis information inför sina placeringar.
Finansinspektionen beslutade att emittenterna är tvungna att förtydliga informationen som tillhandahålls i grundprospekten. Rapporten innehåller en mängd regler om hur dessa prospekt
ska se ut, i form av information om underliggande index, risk och avkastning (FI-rapport 2006:19). Innan denna rapport publicerades fanns det stora brister i många av de större emittenternas prospekt där risk och avkastning var diffust förklarade.
Mitt syfte med denna uppsats är att först undersöka hur en strukturerad produkt är uppbyggd och därmed hur avkastningen ser ut. Vidare är syftet att försöka prissätta optionen genom att estimera den implicita volatiliteten på optionen för olika typer av aktieindexobligationer och jämföra med den historiska volatiliteten. Detta för att vidare kunna analysera varför de anses vara dyra, om det kan tänkas bero på att emittenterna inkluderar marginaler för att tjäna pengar utöver courtaget.
Modellen jag kommer att använda mig av är Black & Scholes modell för att få fram värdet på köpoptionen och utifrån det lösa ut den implicita volatiliteten.
Jag kommer endast att analysera aktieindexobligationer och har valt tre aktieindexobligationer där de underliggande produkterna följer utvecklingen av OMXS30TM, FTSE Norex 30 Index respektive Dow Jones STOXX Select Dividend 30 Index. Anledningen till att jag endast valt att analysera aktieindexobligationer är att det finns åtskilliga typer av strukturerade produkter.
Det i sin tur skulle leda till svårigheter att hitta en modell att undersöka dem med, samt tillämpa resultaten. De tre aktieindexobligationerna kommer från Handelsbanken då de är störst i Sverige på kapitalskyddade placeringar och har lanserat sådana sedan 1992.
Handelsbanken har strukturerade produkter med aktieindexobligationer som underliggande index under en bestämd period och utvecklingen av indexen beräknas relativt enkelt på slutdagen (Handelsbanken 719E). De har dessutom mycket information tillgänglig. Många andra emittenter ger inte ut någon information om så kallade uppräkningsfaktorer såtillvida deltagande i emissionen ej kan styrkas.
Jag har valt att inte analysera aktieindexobligationer som köps till överkurs, utan endast de som köps till nominellt belopp. Köp till överkurs innebär en högre kurs än det nominella beloppet som då innebär en högre uppräkningsfaktor. Från början ingick tre produkter som hade OMXS30TM som underliggande produkt, men då de gav liknade resultat när det gällde den implicita volatiliteten valde jag att begränsa mig till endast en i varje region. Anledningen till de liknande resultaten orsakas av att emissionerna skett ungefär samtidigt. Det innebär att
förhållandena på marknaden, volatiliteten samt räntan, stort sett är identisk och leder till identiska resultat.
Det är angeläget att nämna att mycket av information som använts i uppsatsen är hämtat från Handelsbanken. Då Handelsbanken har i avsikt att sälja strukturerade produkter i form av aktieindexobligationer till privata sparare, innebär det att informationen är skriven i marknadsföringssyfte, och kan således vara vinklad och särdeles optimistisk.
Denna studie tydliggör hur stor den implicita volatiliteten är med hänsyn till optionspriserna.
Genom att använda mig av Black & Scholes modell får jag fram att denna volatilitet är avsevärt högre än den historiska volatiliteten och kan dra slutsatsen att emittenter inkluderar
”dolda” marginaler i produkterna i syfte att tjäna mer pengar. Studien visar även hur utdelningar påverkar Black & Scholes modellen och hur den justeras för att ta hänsyn till detta, då de aktieindex jag valt att studera innehåller aktier som faktiskt betalar ut utdelningar till sina ägare. Uteblivna utdelningar innebär ett lägre pris på optionen. För att kunna nå samma optionsvärde innebär det en ökad implicit volatilitet.
I följande kapitel, 2, börjar teorin. Den inleds med en ingående förklaring av aktieindexobligationer samt optioner. Teorin följs av kapitel 3, Black & Scholes samt definition av olika typer av volatilitet. Detta följs av kapitel 4 där jag anger data och material samt förklarar de olika aktieindexen. Kapitel 5 innehåller analys av modellen och diskussion kring resultaten. I det slutliga kapitlet, 6, framställs de slutsatser som jag kunnat dra av resultaten.
2. Teori
2.1 Aktieindexobligationer
Aktieindexobligationer har existerat på den svenska marknaden sedan 1991 och intresset för aktieindexobligationer har tilltagit de sista åren enligt figur 1 nedan. En av de bidragande orsakerna till det ökade intresset är den lägre volatiliteten. 180 dagars volatiliteten på OMXS30TM var väldigt hög fram till år 2004, och det gäller även för de andra två aktieindexen, FTSE Norex 30 Index samt Dow Jones STOXX Select Dividend 30 Index (Bloomberg).
Figur 1. Antal utestående aktieindexobligationer i svenska kronor 2003-2007 (VPC).
En aktieindexobligation är en kombination av två värdepapper, en option och en obligation.
Obligationen är en nollkupongsobligation som köps till ett reducerat pris istället för att tillhandahålla någon avkastning i form av kupongränta. Den växer sedan under löptiden för att på slutdagen betala ut tidigare fastställt belopp enligt figur 2.
Figur 2. Grafisk illustration av hur aktieindexobligationer fungerar (Handelsbanken 2).
Avkastningen på de aktieindexobligationer jag studerar är knutna till utvecklingen på en viss börs1, till exempel Sverige, Japan och USA. Värdet på aktieindexobligationen fastställs som en viss procent av utvecklingen på börsen som den är knuten till. Aktieindexobligationer löper vanligtvis mellan 3 till 10 år och pengarna är inte bundna under tiden, de kan alltid säljas till aktuell dagskurs (Handelsbanken 1).
Syftet med aktieindexobligationer är att innehavaren ska få möjlighet till en hög avkastning samtidigt som risken att förlora investerat kapital är begränsat. Det sämsta scenariot är en förlust av räntan på kapitalet om aktiekurserna sjunker under löptiden, då återstår endast det nominella värdet, förutsatt att banken som utställer obligationen är betalningsvärdig2 (Reppen, 2006, s 92). Det som även riskeras är courtage och eventuell överkurs. Courtage är avgifter som bankerna tar ut för sina kostnader vid köp respektive försäljning av värdepapper och utgår ofta med 1-3 procent. Överkurs innebär att teckna obligationen till en högre kurs än nominellt belopp och då få en uppräkningsfaktor som är över 100 procent3. Uppräkningsfaktorn visar hur stor andel du får ta del av vid en eventuell uppgång i aktiemarknaden (Handelsbanken 1).
Handelsbankens aktieindexobligationer har i genomsnitt alstrat en avkastning på ca 9,4 procent före courtage mellan 1994 och 2006 (Handelsbanken 719E). Utfallet för alla
1 Underlaget kan även vara ett index avseende en viss bransch, råvaror respektive valutor.
2 Betalningsvärdig innebär att banken har höga kreditbetyg och att kunden därmed minimerar risken att förlora pengarna i samband med en konkurs.
3 Det uppstår då en så kallad hävstångseffekt då avkastningen beräknad på nominellt belopp därmed blir större än aktiemarknadens uppgång
återbetalda aktieindexobligationer hos Handelsbanken återfinns i appendix 2 (Handelsbanken, 2005).
Åtskilliga anser att strukturerade produkter är dyra i förhållande till avkastning och media har fokuserat mycket på placerarens kostnader. Enligt Handelsbanken ingår en ersättning för arrangerandet av aktieindexobligationen i prissättningen. Kostnaden är beroende av förändringar i marknaden samt emissionens storlek. Handelsbanken räknar med en kostnad på 0,3-0,7 procent per år av nominellt belopp (Handelsbanken, 2005).
2.2 Optioner
Innehavet av en köpoption innebär rätten att köpa den underliggande varan till lösenpriset och medför att den som utfärdat köpoptionen har skyldigheten att sälja till lösenpriset. Värdet på en köpoption på slutdagen4 är den underliggande varans värde minus det förutbestämda priset.
Den underliggande varans värde måste överstiga lösenpris och premie för att optionen ska användas, i annat fall är den värdelös. Om optionen används innebär det att aktien kan köpas till lösenpriset och sedan säljas på marknaden för det högre priset som är värdet på den underliggande varan (Luenberger, 1998, s 322).
Figur 3. Grafisk illustration av en innehavd respektive utfärdad köpoptions avkastning.
Vid köp av en köpoption så ser den förväntade avkastningen ut enligt figur 3, en linje med 45 graders lutning då det likaså sker en betalning från köpoptionen på 1 krona för var krona aktien överstiger lösenpriset (Ross, 2005, s 624f). Optioner säljs vanligtvis om 100 stycken.
Vid köp av 10 kontrakt à 100 stycken på köpoptioner för 10 kronor (premie) innebär det en
4 Slutdagen är den sista dag då optionerna gäller, sista dagen för lösen.
Köpoption
Underliggande varans värde Lösenpris
Break-even
Kostnad för optionen Köpoption
Underliggande varans värde Lösenpris
Break-even Kostnad
för optionen
45o
kostnad på 10 000 kronor. Den maximala förlusten är då premien, 10 000 kronor. Lösenpriset är det pris som innehavaren av en köpoption har rätt att köpa aktierna till. Om vi antar att optionen har ett lösenpris på 100 kronor innebär det att breakeven är lösenpris + premie: 100 + 10= 110 kronor. Den maximala vinsten är obegränsad.
En optionspremie består av realvärde och tidsvärde. Realvärdet är optionens värde på slutdagen, det innebär skillnaden mellan börskursen och lösenpriset. Tidsvärdet är resterande värde i premien, det optionsvärde som uppstår på grund av återstående löptid. Tidsvärdet är optionspriset minus realvärdet (Hull, 1998, s 177).
En nollkupongobligation är en obligation som inte ger någon kupongränta, därav namnet. En obligation som inte betalar någon kupong måste säljas till ett pris som är lägre än det nominella beloppet. Innehavaren köper den således till ett reducerat pris och får på förfallodagen ut det nominella beloppet. Det är räntan för obligationen som används för att diskontera investeringen då räntan påverkar nuvärdet och därmed även hur mycket som ska placeras i obligationen och hur mycket som resterar att köpa optioner för. Fallande räntor ger mindre kapital att köpa optioner för, då nuvärdet ökar. Det innebär att allt större del av det investerade beloppet måste placeras i räntemarknaden för att säkra investeringen och den garanterade avkastningen på slutdagen (Reppen, 2006, s91f). Räntan som används är den SWAP-ränta som närmast överensstämmer med optionens löptid, den ränta som kunnat fås vid placering av pengarna på banken.
Svenska SWAP-räntan
0 1 2 3 4 5 6 7
00-01-01 00-04-01
00-07-01 00-10-01
01-01-01 01-04-01
01-07-01 01-10-01
02-01-01 02-04-01
02-07-01 02-10-01
03-01-01 03-04-01
03-07-01 03-10-01
04-01-01 04-04-01
04-07-01 04-10-01
05-01-01 05-04-01
05-07-01 05-10-01
06-01-01 06-04-01
06-07-01 06-10-01
07-01-01 07-04-01 Datum
Ränta %
5 år 3år
Figur 4. Svenska SWAP-räntan (Bloomberg).
I figur 4 kan utläsas att den 5-åriga SWAP-räntan fallit de senaste åren, från 6 procent (2000), till som allra lägst under perioden 2,6 procent (2005) för att efter det stigit igen till 4,48 procent (2007-04-30) (Bloomberg).
Om vi antar en placering gällande 10 000 kronor som löper över 10 år, skulle alternativet vara att köpa en nollkupongobligation för 6139 kronor om räntan är 5 procent enligt formeln för en nollkupongobligation (se ekvation 1 nedan). Den resterande delen är vad som betalas för optionen, som i sin tur innebär rättigheten att tjäna på en eventuell uppgång i underliggande index. För att se hur räntan påverkar nuvärdet jämförs nuvärdet vid de olika räntorna enligt formel för nollkupongobligationer:
Belopp att investera i nollkupongobligationen (ZB)= T r) 1 (
10000
+ (1)
6 procent: Nuvärdet av 100 kronor = 74,73 )
06 , 0 1 (
100
5 =
+
2,6 procent: Nuvärdet av 100 kronor = 87,95 )
026 , 0 1 (
100
5 =
+
Det betyder att 74,73 respektive 87,95 procent av det investerade beloppet bör placeras i räntemarknaden för att säkra investeringen.
2.3 Aktieindexobligationens avkastning
En aktieindexobligation består av både en köpoption samt en nollkupongobligation. Därmed sker avkastningen enligt nedan.
Figur 5. Grafisk illustration av kombinationen av en köpoptions och en nollkupongobligations avkastning (Ross, 2005, s 624).
Investeraren är garanterad 100 kronor (=lösenpriset) från nollkupongobligationen, oberoende av vad som händer med aktien. Förutom det, får han likaså en betalning från köpoptionen på 1 krona för var krona aktien överstiger lösenpriset 100 kronor, därutav lutningen på 45 grader (Ross, 2005, s 624f). Detta gäller under förutsättning att man får ta del av den totala uppgången i underliggande aktieindex, 100 procent.
De aktieindexobligationer jag valt att undersöka har dock en uppräkningsfaktor lägre än 100 procent och då får man till exempel 80 öre för var krona aktien överstiger lösenpriset vid en uppräkningsfaktor på 80 procent (Aktieindexobligation 711N). Det innebär att avkastningen är en linje med en lutning lägre än 45 grader, enligt den gröna linjen i figur 5. Detta beror på att vi även ställer ut köpoptioner, vilket innebär en negativ lutning (se utfärdad köpoption figur 3). Denna negativa lutning motverkar då den avkastningslinje som vanligtvis antas vara 45 grader, och leder till att den i detta fall endast är 36 grader.
Vid utgivandet av en aktieindexobligation fastställs en uppräkningsfaktor i många aktieindexobligationers villkor. Uppräkningsfaktorn visar hur stor andel du får ta del av vid en eventuell uppgång i aktiemarknaden. Uppräkningsfaktorn påverkas av löptiden, kursrörligheten, ränteläget i Sverige, aktieutdelningar, överkurs och konstruktion. Om
Värde på aktie vid lösen Värde på kombinationen av köpoption
samt nollkupongobligation vid lösen
Lösenpris 100 kr
45o
80%*45o=36o 100%*45o
aktieindexet stigit under löptiden utbetalas på slutdagen nominellt belopp samt ett tilläggsbelopp, som består av den eventuella uppgången i aktieindex multiplicerat med uppräkningsfaktorn (Handelsbanken 1). Det är med hjälp av uppräkningsfaktorn emittenten kan påverka vinsten i samband med aktieindexobligationer.
Uppräkningsfaktorn påverkar analysen genom att det motsvarar en situation där ett antal köpoptioner ställs ut, med samma löptid och lösen för varje köpt köpoption. Om uppräkningsfaktorn är 80 procent, ställs 0,2 köpoptioner ut per köpt köpoption (1-0,80) och mottar då 80 procent av det som skulle ha mottagits om uppräkningsfaktorn varit 100 procent5.
2.4 Risker i samband med köp av aktieindexobligationer
Det finns olika risker i samband med köp av aktieindexobligationer: kreditrisk, marknadsrisk, likviditetsrisk samt valutarisk (Reppen, 2006, s 17).
Marknadsrisken är den risk som uppstår genom optionen på den underliggande aktiemarknaden i förbindelse med kursrörelser på marknaden. Då en aktieindexobligation endast återbetalar det nominella värdet vid nedgång i underliggande aktieindex, tar investeraren en risk som motsvarar den ränta som kunnat fås vid placering av pengarna på banken. Detta innebär att risken i en aktieindexobligation är högre än i en ren ränteplacering.
Kreditrisk innebär risken att kreditgivaren, här banken, inte har möjlighet att betala tillbaka de investerade pengarna på slutdagen och att de i värsta fall går i konkurs. I Handelsbankens broschyr kan läsas att de har höga kreditbetyg, men informerar samtidigt att de inte ställer några säkerheter för emitterade obligationslån och att en placering i aktieindexobligationer inte omfattas av den statliga insättningsgarantin. Likviditetsrisk innebär risken att inte få realisera en investering till marknadskursen när investeraren önskar. Det innebär risken att inte få ut hela det placerade kapitalet vid vissa tidpunkter förorsakat av kraftiga kursrörelser, stängda marknader eller tekniska fel. Kapitalskyddet gäller endast på aktieindexobligationens återbetalningsdag. Valutarisk kan uppstå vid förändringar i valutakurserna vid investering i ett utländskt index. När det gäller Handelsbankens produkter, står de själva för risken, då alla beräkningarna och betalningar sker i svenska kronor (Handelsbanken 722). Detta innebär dock uteblivna vinstmöjligheter i utländska valutan.
5 Detta illustreras grafiskt i figur 5.
3. Modellen
3.1 Black & Scholes
Black & Scholes teori och modell presenterades 1973 av de själva i artikeln ” The Pricing of Options and Corporate Liabilities.
) ( )
( ) ,
(S t SN d1 Ke ( )N d2
C = − −rT−t (2)
t T
t T r
K d S
−
− +
= +
σ
σ /2)( ) (
) /
ln( 2
1 (3)
t T d
t T
t T r
K
d S = − −
−
−
−
= + σ
σ σ
1 2
2
) )(
2 / (
) /
ln( (4)
Vilket innebär att det kan skrivas om det C(S,t)=SN(d1)−Ke−r(T−t)N(d1 −σ T −t)där
C = aktuella värdet på köpoptionen.
S = aktuella värdet på den underliggande aktien (börskurs).
K = optionens lösenpris.
r= effektiva riskfria räntan (i teorin är Black & Scholes formel endast korrekt om den korta räntan är konstant, men i praktiken sätts räntan lika med den kontinuerliga riskfria räntan på en investering som varar i tiden T).
t
T− = återstående löptid.
σ= standardavvikelsen eller volatiliteten i den underliggande varans avkastning.
) (d
N = sannolikheten att en standardiserad normalfördelad slumpvariabel (börskursen) antar ett värde som är mindre än lika med d.
Alla parametrar är kända med undantag av den framtida risken, med andra ord marknadens förväntningar på risken (implicit volatilitet). Den implicita volatiliteten är således den volatilitet som likställer den högra sidan i ekvationen med det faktiska priset på köpoptionen (Black & Scholes, 1973).
Modellen baseras på ett antal olika antaganden om den underliggande tillgångens6 stokastiska process och hur marknaden fungerar. Under dessa antaganden kommer värdet på optionen att endast bero på aktiepris, tid och variabler som antas vara kända konstanter (Black & Scholes, 1973).
6 Här aktieindex
Antaganden:
1) Den korta räntan är känd och konstant över tiden.
2) Avkastningen på den underliggande tillgången är normalfördelad och priset på tillgången är log-normalfördelad7. Variansen gällande aktiens avkastning är konstant.
3) Inga aktieutdelningar.
4) Europeisk option8.
5) Inga transaktionskostnader vid köp respektive försäljning av option respektive aktie.
6) Det är möjligt att låna en del av priset till den korta räntan för att köpa ett värdepapper.
7) Det är inga böter eller straff för blankning (Black & Scholes, 1973). Blankning innebär att sälja aktier som ägaren inte äger utan lånat av annan (Nationalencyklopedin 1).
Värdet på en köpoption påverkas av sannolikheten för att aktiekursen ska överstiga lösenpriset på slutdagen. Sannolikheten för detta påverkas positivt av aktiepriset, ett högre aktiepris innebär en större sannolikhet för att aktien ska ligga över lösenpriset på slutdagen.
Lösenpriset påverkar optionsvärdet negativt, en köpoption med ett lägre lösenpris borde sälja för ett högre pris än en med högre lösenpris. Volatiliteten påverkar värdet positivt då en köpoptions pris på slutdagen är skillnaden mellan aktiepriset och lösenpriset. Mer rörelse i aktien innebär en större sannolikhet att köpoptionen ska ge en hög avkastning. Värdet på slutdagen är noll oberoende av hur mycket lägre aktiepriset är i jämförelse med lösenpriset.
Innehavaren av en köpoption betalar inte lösenpriset förrän de utnyttjar optionen. När räntan är hög är det värdefullt att kunna fördröja betalningen och spara in ränta genom att placera pengarna på banken fram till betalning på slutdagen. Även löptiden påverkar värdet på köpoptionen positivt, då en längre löptid innebär att mer kan ske med aktiekursen och sannolikheten är då större för att den ska överstiga lösenpriset före slutdagen. (Black &
Scholes, 1973)
7 En log-normal fördelning är när en variabels logaritm ör normalfördelad (Hull, 1998, s 455).
8 Tillåter endast användande på slutdagen
3.2 Kritik mot modellen
Ett av antagandena som modellen grundar sig på är konstant ränta över löptiden.
Strukturerade produkter löper över flera år och därmed används den långa räntan. Det är ett relativt orealistiskt antagande. Att priset på optionen ska vara kontinuerligt, innebär att det inte ska öka eller minska omfattande samt att volatiliteten är konstant över tiden, kan även det kritiseras med anledning av den långa löptiden. I figur 6 nedan över volatiliteten syns detta tydligt.
3.3 Definition av volatilitet
Volatilitet betyder prisrörlighet på finansiella marknader, en hög volatilitet innebär att priset varierar mycket (Hull, 1998, s 459). Ett aktiepris volatilitet är standardavvikelsen, σ , av avkastningen (prisförändringarna). Vid beräknande av osäkerheten i ett framtida aktiepris med standardavvikelsen observeras att den ej ökar linjärt utan ökar med kvadratroten beroende av hur långt fram i tiden som studeras (Hull, 1998, s 253).
Den implicita volatiliteten är den volatilitet som är inkluderad i ett observerat optionspris på marknaden. Det är ett bra sätt att undersöka om en option är dyr respektive billig. I regel stiger den implicita volatiliteten när den historiska volatiliteten stiger, men om dessa skulle skilja ansenligt kan optionen anses vara över- respektive undervärderad. Den implicita volatiliteten används även för att värdera optioner med olika lösenpriser och löptider. Många traders beräknar ofta den implicita volatiliteten på en flitigt handlad option för att erhålla priset på en annan, mindre handlad option gällande samma aktie. Detta kan gemensamt användas för att få fram en sammansatt implicit volatilitet för aktien (Hull, 1998, s 261f).
Volatilitet OMX 180 dagar
0 5 10 15 20 25 30 35 40
05-01-01 05-02-01
05-03-01 05-04-01
05-05-01 05-06-01
05-07-01 05-08-01
05-09-01 05-10-01
05-11-01 05-12-01
06-01-01 06-02-01
06-03-01 06-04-01
06-05-01 06-06-01
06-07-01 06-08-01
06-09-01 06-10-01
06-11-01 06-12-01
07-01-01 07-02-01
07-03-01 07-04-01 Datum
Volatilitet %
SD3P Index OMX 30 Index SD3P Index OMX 30 Implicit volatilitet
Figur 6. Graf över historisk samt implicit 180dagars volatilitet på OMXS30TM (Bloomberg).
I figuren ovan kan utläsas hur den historiska respektive implicita 180 dagars volatiliteten varierat på OMXS30TM sedan januari 2005. Den implicita ser ut att variera mer än den historiska som är jämnare. Orsaken till detta är att den implicita volatiliteten ”spikar” när aktiemarknaderna stiger respektive faller, man betalar en högre premie för att skydda sig då den förväntade volatiliteten ökar samtidigt som stora förväntade kursrörelser på marknaderna innebär att investeraren har möjlighet till en hög avkastning. Detta innebär dyrare optioner (Reppen, 2006, s 95).
Den historiska volatiliteten är den faktiska rörligheten i en aktie under en viss period, med andra ord hur mycket aktiekursen har varierat. Det finns olika uppfattningar om hur långt tillbaka i tiden som ska studeras avseende den historiska volatiliteten, exempelvis lika långt tillbaka som optionens löptid, endast de sista 30 dagarnas respektive de sista 90 till 180 dagarnas förändring. Mer data leder i regel till större precision, men då standardavvikelsen förändrar sig över tiden kan gammal data riskera att vara irrelevant (Hull, 1998, s 254). I figur 7 på nästa sida ser vi hur de olika historiska volatiliteterna ser ut i förhållande till varandra.
Historisk volatilitet OMXS30TM
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
05-01-01 05-02-01
05-03-01 05-04-01
05-05-01 05-06-01
05-07-01 05-08-01
05-09-01 05-10-01
05-11-01 05-12-01
06-01-01 06-02-01
06-03-01 06-04-01
06-05-01 06-06-01
06-07-01 06-08-01
06-09-01 06-10-01
06-11-01 06-12-01
07-01-01 07-02-01
07-03-01 07-04-01 Datum
Volatilitet %
Volatility 180d Calc Volatility 90d Calc Volatility 30d Calc
Figur 7. Historisk volatilitet gällande OMXS30TM för 30, 90 respektive 180 dagar (Bloomberg).
I figur 7 kan vi utläsa att de olika historiska volatiliteterna följs åt mestadels. Vid en oro på börsen, som sommaren 2006, kan vi dock se att den historiska volatiliteten över de sista 30 dagarna påverkas betydligt mer än de andra historiska volatiliteterna. Om vi istället ser till 180 dagars volatiliteten så är det ett genomsnitt över volatiliteten de sista 180 dagarna och därmed försvinner den skarpa uppgången då det är genomsnittet beräknas över en längre tid.
3.4 Utdelningar
Den ursprungliga Black & Scholes modellen antar att aktierna inte ger utdelningar. I verkligheten är det dock annorlunda. Förutsättningarna ändras då hänsyn även tas till tillväxttakten i aktieindexen. I detta sammanhang definieras ordet utdelning som reduktionen i aktiepriset efter aktieutdelningen9 som uppstår med anledning av de annonserade utdelningarna (Hull, 1998, s 274).
Aktieindex är jämförligt med aktier som betalar kontinuerlig direktavkastning10, således används resultaten för optioner på aktier som betalar kontinuerlig direktavkastning (Hull, 1998, s 272).
De tre strukturerade produkterna jag studerar är aktieindexobligationer där det underliggande aktieindexet består av aktier som betalar ut utdelningar. Därmed måste hänsyn tas till detta vid
9 Om aktieutdelningen är känd men ej konstant över optionens löptid, bör genomsnittliga årliga direktavkastningen användas (Hull, 1998, s 274).
10 Direktavkastningen är de totala utdelningarna dividerat med det totala marknadsvärdet (Hull, 1998, s 285).
användande av Black & Scholes modell. Uteblivna utdelningar innebär ett lägre pris på optionen. För att kunna nå samma optionsvärde innebär det en ökad implicit volatilitet.
Vid prissättning av en aktieindexobligation som antas ge en angiven utdelning, justeras Black
& Scholes ekvation för att ta hänsyn till detta. Utbetalning av utdelningar innebär att aktiepriset sjunker med ett värde motsvarande utdelningen. Vid värdering av en Europeisk option som varar i en viss period (T-t) med underliggande aktieindex med angiven direktavkastning på q procent, reduceras aktiepriset från S till Se−q(T−t)och därefter värderas optionen som om den underliggande aktien, eller i detta fall aktieindexen, inte betalade någon utdelning (Black & Scholes, 1973).
) ( )
( )
,
(S t Se ( )N d1 Ke ( )N d2
C = −qT−t − −rT−t (5)
t T
t T q
r K d S
−
− +
−
= +
σ
σ /2)( ) (
) /
ln( 2
1 (6)
t T t d
T
t T q
r K
d S = − −
−
−
−
−
= + σ
σ
σ
1 2
2
) )(
2 / (
) /
ln( där (7)
q = kontinuerlig direktavkastning i procent.
C = aktuella värdet på köpoptionen.
S = aktuella värdet på den underliggande aktien (börskurs).
K = optionens lösenpris.
r= effektiva riskfria räntan (i teorin är Black & Scholes formel endast korrekt om den korta räntan är konstant, men i praktiken sätts räntan lika med den kontinuerliga riskfria räntan på en investering som varar i tiden T).
t
T− = återstående löptid.
σ= standardavvikelsen eller volatiliteten i den underliggande varans avkastning.
) (d
N = sannolikheten att en standardiserad normalfördelad slumpvariabel (börskursen) antar ett värde som är mindre än lika med d.
En förutsättning för att de nya uträkningarna med hjälp av den modifierade Black & Scholes modellen ska vara rimliga får ej utdelningarna återinvesteras. Enligt Handelsbanken broschyrer sker ingen återinvestering av utdelningar, och det verkar vara generell standard för flertalet flesta emittenter.
4. Metod och data
4.1 Metod
Uppsatsen är en studie av den implicita volatilitet som ingår i optionspriser och i sin tur ingår i aktieindexobligationer. För att nå fram med syftet av uppsatsen kommer jag att applicera Black & Scholes teori för att därefter med hjälp av deras ekvation för prissättning av optioner analysera resultaten. Jag kommer med hjälp av John C. Hulls programvara DerivaGem beräkna den implicita volatiliteten för optionerna som ingår i aktieindexobligationerna. Det nominella beloppet som jag antar är 10 000 kronor för alla strukturerade produkterna.
Den riskfria ränta som används är den kontinuerliga räntan ln(1+r)som skulle bli resultatet av en nollkupongobligation med betaldag så nära optionens slutdag som möjligt där r är den SWAP-ränta som närmast överensstämmer med optionens löptid11, med andra ord, den ränta som kunnat fås vid placering av pengarna på banken (Latane, Rendleman, 1976).
Räntan som används i formlerna framöver är den kontinuerliga räntan. Värdena för ränta, kontinuerlig ränta, kontinuerlig direktavkastning ln(1+q)samt historisk volatilitet är hämtade från startdagen på aktieindexobligationen från Bloomberg.
Det nominella beloppet används för att köpa en nollkupongobligation (ZB) och en köpoption C samt ställa ut köpoptioner motsvarande (1-uppräkningsfaktorn) för varje köpt option,
c u ZB
Köpoption c
u köpoption
ZB 1 (1 ) 10000 (1 )
10000= + − − → = − + − .
Det är i samband med fastställandet av en uppräkningsfaktor som emittenten prissätter produkten. Uppräkningsfaktorn är den enda del av en aktieindexobligation som emittenten i praktiken kan påverka. Den tar hänsyn till förhållanden på marknaden, räntor, volatilitet etcetera vid emissionsstart.
11 Avseende den svenska respektive nordiska aktieindexobligationen har jag använt mig av den 5-åriga långa räntan och gällande den sista, den europeiska, har jag använt den 3-åriga, då den närmast motsvarar löptiden på aktieindexobligationen.
Vid beräkning av priset på köpoption med hänsyn till direktavkastning och uppräkningsfaktor sker det således enligt följande
Köpoption= u c
r T (1 ) )
1 (
10000
10000 + −
− + där (9)
u är uppräkningsfaktorn och c är priset på köpoptionen enligt den historiska volatiliteten.
Ekvation 9 innebär således att kostnaden för köpoptionen blir lägre desto högre uppräkningsfaktorn är. Detta beror på att den relativa kostnaden för optionen blir lägre då man får ta del av mer av vinsten när uppräkningsfaktorn är högre.
4.2 Data och material
Jag har valt tre strukturerade produkter som använder olika aktieindex som underliggande produkt. För att se om det existerar några skillnader mellan marknaderna har jag valt att studera tre olika börser. En av produkterna bygger på det svenska aktieindexet OMXS30TM 12, en på det nordiska FTSE Norex 30 Index13 och en på det europeiska aktieindexet Dow Jones STOXX Select Dividend 30 Index14. Den historiska volatiliteten samt direktavkastningen är hämtat vid emissionsstart från Bloomberg (2007-04-23).
Close
Europe, STOXX, Select Dividend, 30 Index, Price Return, EUR Nordic Countries, FTSE, NOREX 30 Index, SEK
Sweden, OMX - Stockholm Stock Exchange, OMXS30 Index, Price Return, SEK Source: Reuters EcoWin
99 00 01 02 03 04 05 06
Index
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Figur 8. Grafisk analys mellan aktieindexens utveckling sedan 1999 (EcoWin Pro).
12 OMX Stockholm 30 Index är Stockholms optionsmarknads OMX-index och avser de 30 värdemässigt mest omsatta aktierna. OMXS30TM har basdag den 30 september 1986 och då var värdet på indexet 125. De bolag som ingår uppdateras varje hel- och halvårsskifte (Nationalencyklopedin 2).
13 FTSE Norex 30 Index består av de 30 största och mest likvida företagen på börserna i Norden som innebär Danmark, Finland, Norge och Sverige. Avkastningen kopplas därmed till utvecklingen på de nordiska aktiemarknaderna, beräknat i svenska kronor (FTSE Nordic 30 Index).
14 Dow Jones STOXX Select Dividend 30 Index består av företag med hög avkastning i 18 länder: Belgien, Danmark, Finland, Frankrike, Grekland, Irland, Island, Italien, Luxemburg, Nederländerna, Norge, Portugal, Schweiz, Spanien, Storbritannien, Sverige, Tyskland och Österrike (STOXX).
I figur 8 kan utläsas att STOXX Select Dividend 30 Index har haft en brantare uppgång sedan starten 1999 jämfört med FTSE Norex som startade 1995, och OMX som startade 1986.
Grafen visar även att STOXX inte påverkades i samma utsträckning som de andra i samband med börsnedgången 2000.
Som tidigare diskuterat i avsnitt 3.2 om volatilitet finns det olika uppfattningar om hur långt tillbaka i tiden som ska studeras avseende den historiska volatiliteten. I tabell 1 sammanställs de tre vanligaste historiska volatiliteterna som används samt direktavkastningen för respektive aktieindex.
Tabell 1: Volatilitet och direktavkastning för respektive aktieindex15
Som vi kan utläsa så skiljer sig dessa volatiliteter åt, volatiliteten på 180 dagar är högst för alla de tre aktieindexen. Detta kan bero på att volatiliteten observerats under en längre tid och därmed observerat fler chocker som inträffat på börsen. Framöver kommer jag att använda mig av den långa historiska volatilitet som löper över 180 dagar, då aktieindexobligationerna jag undersöker löper över så lång tid som tre till fem år vill jag använda mig av en historisk volatilitet som löper över längre tid.
15 Beteckningarna i tabell 1 definieras enligt följande: 709S står för den aktieindexobligation med det svenska indexet OMXS30TM som underliggande index, 711N är aktieindexobligationen som består av det nordiska indexet FTSE Nordic 30 Index och slutligen 719E som har det europeiska indexet Dow Jones Select Dividend Index 30 som underliggande index.
Aktieindex – produkt OMXS30TM 709S
FTSE Norex 30 711N
DJ STOXX 30 719E Historisk volatilitet 30 dagar 12,72 % 11,91 % 10,87 % Historisk volatilitet 90 dagar 11,52 % 10,84 % 9,84 % Historisk volatilitet 180 dagar 15,76 % 13,89 % 12,19 %
Direktavkastning 3,5 % 3.08 % 3,8 %
Volatilitet 180 dagar
0 5 10 15 20 25
05-01-01 05-02-01
05-03-01 05-04-01
05-05-01 05-06-01
05-07-01 05-08-01
05-09-01 05-10-01
05-11-01 05-12-01
06-01-01 06-02-01
06-03-01 06-04-01
06-05-01 06-06-01
06-07-01 06-08-01
06-09-01 06-10-01
06-11-01 06-12-01
07-01-01 07-02-01
07-03-01 07-04-01 Datum
Volatilitet %
SD3P Index DJ Select Dividend Index 30 SD3P Index FTSE Nordic 30 Index SD3P Index OMX 30 Index
Figur 9. Aktieindexens volatilitet sedan 2005-01-01 (Bloomberg).
I figuren ovan över volatiliteten i de olika indexen sedan januari 2005, kan utläsas att STOXX har en relativt lägre volatilitet än de andra, ca 10-15 procent. OMX ligger i topp med en volatilitet på ca 10-22 procent och Norex följer med 10-20 procent. Den observerade historiska volatiliteten 2007-04-30 var 15,76 procent för 709S, 13,89 procent för 711N respektive 12,19 procent när det gäller 719E.
Anledningen till att volatiliteten är högre gällande OMXS30TM och Norex är att den svenska och nordiska börsen egentligen är utan betydelse och inflytande i det stora hela. De är dock stora i Sverige respektive Norden där de handlas. Avsaknaden av stora världsbolag innebär att inte så många andra än just dessa som handlar. Om det skulle finnas utländska intressen skulle de relativt enkelt kunna driva upp kurserna, respektive ned med större belopp, därav den högre volatiliteten.
Det är den historiska volatiliteten vid emissionsstart som används, då uppräkningsfaktorn bestäms utifrån de förutsättningar som gäller då. Markeringarna som återfinns i figur 9 visar när emissionen utfördes för respektive aktieindexobligation. 719E emitterades då volatiliteten var väldigt hög. Det beror på att volatiliteten spikade kraftigt i maj/juni 2006 och nådde historiskt höga nivåer när börserna föll kraftigt och var höga en tid med anledning av den högre osäkerheten (DI 2).
709S
711N
719E
5. Resultat och analys
Tabell 2: Sammanställning aktieindexobligationer
Aktieindexobligation 709S 711N 719E
Underliggande Aktieindex
OMXS30TM FTSE Norex 30 Index
DJ Stoxx Select Dividend 30
Löptid (datum) 060222-110127 060504-110404 061220-100404
Löptid (år) 4,87 4,92 3,29
Ränta 3,32 % 3,88 % 4,00 %
Kontinuerlig ränta 3,27 % 3,81 % 3,92 %
Investerat i
nollkupongobligation
8 551,18 8 319,66 8 811,79
Räntan är lägst i 709S och högst i 719E. Orsaken till detta är att räntorna har stigit det sista året. Enligt datumen vid respektive start kan vi se att detta stämmer, räntan har ökat med tiden. Detta har i sin tur påverkat andelen av det nominella värdet som måste placeras i nollkupongobligationen för att säkra investeringen. Som tidigare nämnt innebär fallande räntor att större andel bör placeras i nollkupongobligation och vid stigande räntor tvärtom.
Nuvärdet minskar och då även beloppet som bör placeras där i samband med att räntan stiger.
719E avviker från detta då löptiden är mycket kortare här än i de andra aktieindexobligationerna, endast 3,29 år jämfört med 4,87 respektive 4,92 år. Anledningen till att jag använt mig av en aktieindexobligation med har en kortare löptid än de andra beror på att det inte fanns någon med längre löptid tillgänglig hos Handelsbanken.
Tabell 3: Historisk volatilitet vid emissionen
Aktieindexobligation 709S 711N 719E
180 dagars historisk volatilitet 11,30% 10,76 % 15,11%
Den historiska volatiliteten visar en något högre volatilitet på OMXS30TM jämfört med FTSE Norex 30. Volatiliteten gällande det europeiska indexet 719E är högst och beror med stor sannolikhet på att 719E emitterades 20 december 2006 då volatiliteten fortfarande var hög med anledning av börsfallet maj/juni 2006.
Tabell 4: Direktavkastning
Aktieindexobligation 709S 711N 719E
Direktavkastning 3,50 % 3,08 % 3,80 %
Kontinuerlig direktavkastning 3,44 % 3,03 % 3,73 %
Utifrån tabellen kan utläsas att 719E med underliggande index Dow Jones STOXX Select Dividend 30 toppar direktavkastningen. Det beror med stor sannolikhet att detta index består
av aktier med större utdelningar. Detta är siffror över direktavkastning för de respektive aktieindexen från 2007, men då jag blivit informerad om att de sällan avviker avsevärt har jag använt samma siffror för 2005 respektive 2006.
Tabell 5: Uppräkningsfaktor samt pris på köpoptionen
Aktieindexobligation 709S 711N 719E
Uppräkningsfaktor 81 % 80 % 81 %
Pris på köpoptionen 1 602,21 1 875,42 1 376,09
Uppräkningsfaktorerna för respektive aktieindexobligation skiljer sig inte åt beaktansvärt, och påverkar således ej det beräknade priset för köpoptionen avsevärt. Det som påverkar priset på köpoption är således endast ränta, direktavkastning, historisk volatilitet och löptid. Det resulterar att optionspriset för 719E är betydligt lägre än priset på de andra aktieindexobligationerna. Detta beror på att löptiden påverkar, som tidigare nämnts, optionsvärdet positivt. Då 719E löper över betydigt kortare tid än de andra två aktieindexobligationerna innebär det ett lägre optionsvärde.
Tabell 6: Implicit volatilitet
Aktieindexobligation 709S 711N 719E
Implicit volatilitet 22,12 % 23,09 % 21,26 %
180 dagars historisk volatilitet 11,30 % 10,76 % 15,11%
Differens 10, 82 % 12,33 % 6,15 %
Då jag löser Black & Scholes ekvationen för implicit volatilitet kan jag konstatera att den är betydligt högre än den historiska volatiliteten. Då jag antar att den höga historiska volatiliteten för 719E endast beror på en tillfällighet, att volatiliteten vid start var hög med anledning av det tidigare börsfallet, antar jag att differensen för denna kan förväntas ligga i nivå med de andra aktieindexobligationerna. Jag kan ej observera någon påfallande skillnad mellan de respektive aktieindexen.
Differensen mellan den historiska och den implicita volatiliteten kan ha sin förklaring i att emittenterna tar ut en andel i form av marginaler av den del som går till optionshandel, således det som återstår av det nominella beloppet efter att en viss del placeras i nollkupongobligationen för att säkra det nominella värdet.
Resultatet i tabellerna ovan har jag fått fram genom att använda mig av DerivaGem och infogat det som var känt, vilket innebar allt utom den implicita volatiliteten, den tog programmet fram genom de andra värdena. Detta kan kontrollräknas genom att sätta in den
implicita volatiliteten i Black & Scholes ekvation för aktieindexobligation 709S, ekvation 5 till 7.
2267 , 92 0
, 4
* 2212 , 0
87 , 4
* ) 2 / ) 2212 , 0 ((
0344 , 0 032661 ,
0 ( ) 10000 / 10000 ln(
) )(
2 / (
) / ln(
2 2
1
+ =
− +
− =
− +
−
= +
t T
t T q
r K d S
σ
σ
5897 , 0 ) (d1 = N
3969 , 0 ) (d2 = N
kr e
e
d N Ke
d N Se
t S
C qT t rT t
00 , 1602 3969
, 0
* 10000
5897 , 0
* 10000
) ( )
( )
, (
87 , 4
* 032661 , 0 87
, 4
* 0344 , 0
2 ) ( 1
) (
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
Resultatet är 1 602,00 kronor vilket stämmer väldigt bra överens med 1 602,21 kronor, avvikelsen beror på avrundning.
Utdelningsnivån i form av direktavkastning påverkar den implicita volatiliteten, då det är en okänd variabel. För att kontrollera hur känslig analysen är för utdelningsnivån antar jag istället att utdelningsnivån för samtliga aktieindex är 2,5 procent, därmed är den kontinuerliga direktavkastningen 2,497 procent. Resultatet blir då en lägre implicit volatilitet, se tabell 7 nedan.
Tabell 7: Effekter av direktavkastning
Aktieindexobligation 709S 711N 719E
Implicit volatilitet med faktisk direktavkastning 22,12 % 23,09 % 21,26 % Implicit volatilitet med direktavkastning på 2,5 % 18,77 % 20,98 % 17,7 %
Differens 3,35 % 2,11 % 3,56 %
I händelse av att det inte skulle existera någon direktavkastning, att utdelningen är noll, innebär det att den implicita volatiliteten skulle vara väldigt låg. Då jag i denna undersökning satte direktavkastning till noll procent fick jag en implicit volatilitet som i själva verket var lägre än den historiska volatiliteten vid emissionsstarten.
2614 , 0 87 , 4
* 2212 , 0 2267 , ) 0
)(
2 / (
) / ln(
1 2
2 = − − = − =−
−
−
−
−
= + d T t
t T
t T q
r K
d S σ
σ
σ
6. Slutsats
Syftet med uppsatsen var att redogöra för vad en strukturerad produkt av kategorin aktieindexobligation består av och hur den prissätts. Vid köp av en aktieindexobligation innebär det en kombination av en köpoption samt en nollkupongobligation. Priset för denna produkt är ett nominellt belopp, som jag antagit är 10 000 kronor för de tre respektive aktieindexen samt ett courtage på 1-3 procent. Men är detta allt som betalas för aktieindexobligationen?
För att besvara detta har jag beräknat den del av investeringen som måste placeras i en nollkupongobligation för att garantera avkastningen på slutdagen och redovisat hur resterande belopp används till att köpa köpoptioner med hänsyn till uppräkningsfaktorn. Då indexen innehåller aktier som betalar utdelning har jag även förklarat hur det påverkar modellen.
Uteblivna utdelningar innebär ett lägre pris på optionen. För att kunna nå samma optionsvärde innebär det en ökad implicit volatilitet. Desto högre direktavkastning på de underliggande aktieindexen desto högre blir den implicita volatiliteten då man går miste om dessa utdelningar.
Vid beräkningen av den implicita volatiliteten har jag som tidigare nämnt i inledningen använt mig av Black & Scholes ekvation för att med hjälp av att de andra parametrarna i modellen lösa ut denna. Även här har hänsyn tagits till direktavkastningen på de underliggande aktieindexen. Utifrån de resultat som tidigare redovisats har ett antal slutsatser kunnat dras.
Resultatet tyder på att den implicita volatiliteten är betydligt högre än den historiska, faktiska volatiliteten. Differensen mellan de olika volatiliteterna ligger mellan sex till tolv procent beroende på underliggande aktieindex. Då aktieindexobligation 719E är den produkt som endast har en differens på sex procent och det antas bero på börsfallet maj/juni 2006, antar jag att den vanligtvis inte skulle ha avvikit från de andra aktieindexobligationerna. Det innebär att inga direkta avvikelser mellan de olika aktieindexen kan iakttas. Orsaken till denna differens kan bero på eventuella marginaler till emittenterna. Den bristande informationen har kritiserats av många, då det inte riktigt framgår i grundprospekten hur produkterna är uppbyggda respektive hur avkastningen beräknas. Detta resulterade i en rapport från Finansinspektionen i slutet av 2006, som innehåller regler om hur grundprospekten emittenterna tillhandahåller till sina kunder ska se ut.
