Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00

Betygstentamen, SG1216 Termodynamik f¨or T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00

Hj¨alpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), minir¨aknare (som inte f˚ar inneh˚alla information med direkt anknytning till kursen).

Examinator: Anders Dahlkild (ad@mech.kth.se)

Bed¨omning: L¨osningen av dessa uppgifter bed¨oms antingen som godk¨and (G) eller underk¨and (U). F¨or att f˚a G m˚aste du kunna redovisa en l¨osning som dels ¨ar i stort sett korrekt, dels inte strider mot n˚agon grundprincip du ska kunna fr˚an denna eller tidigare kurser och dels redovisar ett djup i f¨orst˚aelsen f¨or ¨amnet.

1. Anv¨and termodynamikens 2:a huvudsats f¨or att visa att: Ingen v¨armepump som drivs mellan tv˚a givna temperaturer, eller v¨armemagasin, kan vara effektivare, d.v.s. ha ett h¨ogre v¨arde p˚a η_vp, ¨an en reversibel v¨armemotor som drivs reverserat mellan samma temperaturer eller v¨armemagasin.

2. Betrakta en jetmotor med en s.k. efterbr¨annkammare. Denna ¨ar monterad direkt efter turbinen och innan motorns utloppsmunstycke. I en efterbr¨annkammare tillf¨ors mer br¨ansle som vid sin f¨orbr¨anning tillf¨or mer v¨arme till den gas som str¨ommar genom mo- torn. Detta leder till att temperaturen stiger i den gas som str¨ommar genom efterbr¨ann- kammaren. Antag att det omedelbart efter turbinen och f¨ore efterbr¨annkammaren g¨aller att trycket ¨ar 250 kPa, temperaturen ¨ar 800 K samt att gasens kinetiska energi kan f¨orsummas. Efterbr¨annkammaren kan betraktas som ett r¨or med konstant tv¨arsnitt genom vilket gasen str¨ommar friktionsfritt. Direkt efter efterbr¨annkammaren finns ett konvergent-divergent munstycke med ett utlopp till den omgivande atmosf¨aren. Antag att trycket i gasen d˚a denna l¨amnar detta utloppsmunstycke ¨ar 80 kPa.

a) Hur stor ¨ar str¨omningshastigheten och hur stort ¨ar machtalet vid utloppet fr˚an motorn om inget br¨ansle (och d¨armed inget v¨arme) tillf¨ors i efterbr¨annkammaren?

Ledning: Vad ¨ar rimligt att anta f¨or tillst˚ands¨andringen i gasen i detta fall?

b) Upprepa denna ber¨akning f¨or det fall d˚a det v¨arme som tillf¨ors i efterbr¨ann- kammaren ¨ar 300 kJ/kg. Gasens tillst˚ands¨andring i efterbr¨annkammaren ska i detta fall antas vara isobar! Vad ¨ar rimligt att anta f¨or tillst˚ands¨andringen i gasen d˚a denna str¨ommar genom utloppsmunstycket efter efterbr¨annkammaren?

c) Hur stort ¨ar massfl¨odet ut ur motorn i de tv˚a fallen ovan? Antag att tv¨arsnitts- arean vid utloppet ¨ar 0,20 m² (i det tv¨arsnitt d¨ar trycket ¨ar 80 kPa).

d) Anv¨and nu detta massfl¨ode f¨or att uppskatta den str¨omningshastighet vid b¨orjan av efterbr¨annkammaren som f¨orsummats ovan. Antag att tv¨arsnittsarean d¨ar ¨ar 1,50 m² (i det tv¨arsnitt d¨ar trycket ¨ar 250 kPa). F¨orsumma tillskottet i massfl¨ode fr˚an det br¨ansle som tillf¨ors i efterbr¨annkammaren.

Den gas som str¨ommar genom efterbr¨annkammaren ¨ar i b˚ada fallen ideal och ska antas ha specifika v¨armekapaciteter vars variation med temperaturen i denna del av str¨omningen genom motorn kan antas vara f¨orsumbar. Vidare g¨aller f¨or gasen att γ = 1,32 och att R = 288 J/(kg·K).

3. Betrakta en ideal Ottokretsprocess med kompressionsf¨orh˚allandet r = 8. Det v¨arme som tillf¨ors vid f¨orbr¨anningen ¨ar q = 300 kJ/kg. Ber¨akna f¨or¨andringen i systemets exergi i vart och ett av delstegen med det d¨oda tillst˚andet givet av tillst˚andet vid kretsprocessens st¨orsta volym och minsta tryck och temperatur, V₀ = V_max=1 dm³, T₀ = T_min=300 K, p₀ = p_min=100 kPa. N¨ar ¨ar exergin som st¨orst i kretsprocessen? J¨amf¨or detta v¨arde med

det som du ber¨aknar f¨or processens nettoarbete under en cykel. Betrakta ocks˚a den s˚a kallade exergibudgeten f¨or delprocessen med v¨armetillf¨orseln. Antag att v¨armet tillf¨ors vid randtemperaturen T_rand = T_max och anv¨and exergibudgeten till att ber¨akna systemets irreversibla produktion av entropi i detta delsteg.

4. Nyf˚angade nykokta r¨akor f˚ar kallna till omgivningstemperaturen 20 ^◦C innan de fry- ses i r¨aktr˚alarens kylanl¨aggning. Infrysningen g¨ors i en kompressoranl¨aggning d¨ar kall temperatur-reservoar ¨ar havet (+10 ^◦C). Best¨am minimum tillf¨ort kompressorarbete/kg r¨akor om r¨akorna skall frysas till −22 ^◦C. Antag att r¨akorna har samma termiska egen- skaper som vatten, dvs v¨armekapacitet, fryspunkt och sm¨altv¨arme ¨ar samma som f¨or rent vatten. F¨or vatten g¨aller att c_vatten = 4,18 kJ/(kg·K), c_is = 2,22 kJ/(kg·K), h_sm¨alt = 334 kJ/kg.

L¨osningar till betygstentamen, SG1216 Termodynamik f¨or T2 25 maj 2010, kl. 09:00-13:00

1. Se kursboken av Tony Burden.

2. L˚at index ₁ beteckna tillst˚andet i ett tv¨arsnitt mellan turbinen och efterbr¨ann- kammaren, index _2a tillst˚andet i utloppet fr˚an motorn i deluppgift a) och index _2b detta tillst˚and i deluppgift b). Givet ¨ar att p₁ = 250 kPa, T₁ = 800 K, p_2a = p_2b = 80 kPa samt att v₁ ≈ 0 m/s. S¨okt ¨ar v_2a, M_2a, v_2b och M_2b.

Enligt HS1 g¨aller allm¨ant f¨ar ett ¨appet system att

∆

 h + 1

2v²



= q − w_s

Vid str¨omningen genom efterbr¨annkammaren och utloppsmunstycket ¨ar axelarbetet w_s= 0.

Vidare g¨aller i a) att q = 0 kJ/kg och i b) att q = 300 kJ/kg. Den s¨okta hastigheten i utloppet fr˚an motorn f˚ar vi allts˚a fr˚an

(h₂− h₁) + 1

2(v²₂− v₁²) = q ⇒ v²₂ = v₁²+ 2 [q − (h₂− h₁)] = v²₁+ 2 [q + c_p(T₁− T₂)]

d¨ar det ¨ar givet att v₁ kan f¨orsummas.

I deluppgift a) ger detta att

v_2a² = 2c_p(T₁− T_2a)

I detta fall str¨ommar gasen friktionsfritt och utan n˚agot n¨amnv¨art v¨armeutbyte med om- givningen genom efterbr¨annkammaren och utloppsmunstycket. Gasens tillst˚ands¨andring

¨

ar d˚a adiabatisk och reversibel, dvs. isentrop. D˚a g¨aller att p ∝ T^γ/(γ−1) ⇒ T_2a

T₁ = p_2a p₁

(γ−1)/γ

Vidare g¨aller att

c_p = γR

γ − 1 = 1,32 · 288

1,32 − 1 J/(kg·K) = 1 188 J/(kg·K) Detta ger dels att

T_2a = 800 80 250

0,32/1,32

K = 607 K och dels att

v_2a =p

2 · 1 188 · (800 − 607) m/s = 677 m/s Ljudhastigheten vid utloppet fr˚an motorn (munstycket) ¨ar i detta fall

a_2a =p

γRT_2a =p

1,32 · 288 · 607 m/s = 480 m/s vilket ger att det s¨okta machtalet ¨ar

M_2a = v_2a

a_2a = 677

480 = 1,41

Notera att eftersom M_2a > 1 kr¨avs att utloppet fr˚an motorn ¨ar utformat som ett konvergent- divergent munstycke precis som s¨ags i problemtexten. Notera ocks˚a att eftersom str¨omnings- hastigheten i stagnationskammaren ¨ar l˚ag fungerar denna i detta fall som en stagnations- kammare. Det inneb¨ar bl.a. att p₁ och T₁ i detta fall ¨ar stagnationstillst˚andet f¨or den isentropa str¨omningen genom utloppsmunstycket.

I deluppgift b) g¨aller att

v²_2b = 2 [q + c_p(T₁− T_2b)]

F¨or att finna temperaturen T_2b m˚aste vi dela upp tillst˚ands¨andringen fr˚an 1 till 2b i tv˚a steg, en del genom efterbr¨annkammaren och en del genom utloppsmunstycket. L˚at index ₃ beteckna tillst˚andet vid ¨overg˚angen mellan dessa tv˚a delar. Det ¨ar givet att tillst˚ands¨andringen i efterbr¨annkammaren ¨ar isobar. D˚a g¨aller dels att p₃ = p₁ och dels att q = c_p(T₃− T₁). Detta ger att

T₃ = T₁+ q

c_p = 800 + 300 · 10³

1 188 K = 1 153 K

Str¨omningen genom utloppsmunstycket kan f¨oruts¨attas vara isentrop. Det ger nu att T_2b

T₁ = p_2b p₁

(γ−1)/γ

⇒ T2b = 1 153 80 250

0,32/1,32

K = 799 K och att den s¨okta hastigheten ¨ar

v_2b =p

2 [300 · 10³+ 1 188 (800 − 799)] m/s = 777 m/s Ljudhastigheten och machtalet ¨ar

a_2b=p

γRT_2b=p

1,32 · 288 · 799 m/s = 551 m/s ⇒ M_2b= v_2b

a_2b = 777

551 = 1,41 Notera att machtalen M_2a och M_2b ¨ar lika stora!

Massfl¨odet ut ur motorn ges av

˙

m = ρ2v2A2 = p₂ RT₂ v2A2

d¨ar det ¨ar givet att A₂ = 0,20 m². Det ger i fall a) att

˙

m_a= p₂

RT_2a v_2aA₂ = 80 · 10³

288 · 607· 677 · 0,2 kg/s = 62,0 kg/s och i fall b) att

˙

m_b = p2

RT_2bv_2bA₂ = 80 · 10³

288 · 799· 777 · 0,2 kg/s = 54,0 kg/s I b¨orjan av efterbr¨annkammaren ¨ar massfl¨odet

˙

m = ρ₁v₁A₁ = p₁ RT₁ v₁A₁ d¨ar det ¨ar givet att A₁ = 1,50 m². Det ger i fall a) att

v1a = ˙ma

RT₁

p₁A₁ = 62,0 · 288 · 800

250 · 10³· 1,50 m/s = 38 m/s och i fall b) att

v_1b = ˙m_b RT₁

p₁A₁ = 54,0 · 288 · 800

250 · 10³· 1,50 m/s = 33 m/s

Fr˚an detta framg˚ar att v1a  v2a och att v1b  v2b vilket motiverar det antagande som anvisas i problemtexten att hastigheterna (den kinetiska energin) i tv¨arsnitt 1 kan f¨orsummas.

3. F¨or¨andring i exergi f¨or ett slutet system kan skrivas

∆A = ∆U + p₀∆V − T₀∆S.

F¨or den adiabatiska kompressionen g¨aller T2

T₁ = V₁ V₂

γ−1

= 8^γ−1 = 2,3 ⇒ T₂ = 300 · 2,3 K = 689 K.

m = p₁V₁

RT₁ = 100 · 1

287 · 300 = 1,16 · 10⁻³ kg.

∆A₁₂ = mc_v(T₂− T₁)+p₁(V₂− V₁)−0 = 1,16·0,7175 (689 − 300)+100 (1/8 − 1) J = 236 J.

F¨or den isokora v¨armetillf¨orseln g¨aller

c_v(T₃− T₂) = q_in ⇒ T₃ = T₂+ q_in cv

= 689 +300 · 10³

717,5 K = 1107 K.

∆A₂₃ = mc_v(T₃− T₂) + 0 − T₀mc_vln T₃ T₂



= 1,16 · 0,7175



(1107 − 689) − 300 · ln 1107 689

 

J = 230 J.

F¨or den adiabatiska expansionen g¨aller T₄

T₃ = V₃ V₄

γ−1

= 1

8^γ−1 = 0,44 ⇒ T₄ = 1107 · 0,44 K = 482 K.

∆A₃₄ = mc_v(T₄− T₃)+p₁(V₄− V₃)−0 = 1,16·0,7175 (482 − 1107)+100 (1 − 1/8) J = −433 J.

F¨or den isokora v¨armebortf¨orseln g¨aller

∆A41 = mcv(T1− T4) + 0 − T0mcvln T₁ T₄



=

= 1,16 · 0,7175



(300 − 482) − 300 · ln 300 482



J = −33 J.

Det st¨orsta v¨ardet p˚a exergin ¨ar A_max = 236 + 230 J = 466 J. Nettoarbetet per cykel blir W_Otto = η_Ottomc_v· 717,5 (T₃− T₂) =



1 − 1 8^γ−1



1,16 · 10⁻³· (1107 − 689) J = 196 J.

Exergibudgeten f¨or processen mellan delsteg 2 och 3 ges av

∆A₂₃= Z 3

2



1 − T0

T_rand



δQ − T₀σ = mc_v(T₃− T₂) − Z T3

T2

mc_vT1

T₃ dT − T₁σ

= mc_v(T₃− T₂)

 1 −T₁

T₃



− T₁σ ⇒

σ = mc_v T₃ T₁ −T₂

T₁

  1 −T₁

T₃



− ∆A₂₃/T₁ = 253,9/300 − 230/300 J = 0,08 J.

4.

Nedfrysningen av r¨akorna sker i tre steg: i) temperaturs¨ankning i vatten-fas fr˚an be- gynnelsetemperaturen till fryspunkten, ii) fas¨overg˚ang fr˚an vatten till is och iii) temper- aturs¨ankning i is-fas fr˚an fryspunkten till sluttemperaturen. Notera att begynnelsetem- peraturen ¨ar lika med temperaturen i det varma magasinet, dvs. i havsvattnet. Att s¨anka temperaturen p˚a r¨akorna fr˚an lufttemperaturen till havsvattnets temperatur kr¨aver inget arbete! (M¨ojligen kan man t¨anka sig att utvinna lite arbete ur denna initiala temper- aturskillnad men det ¨ar v¨al tveksamt om det ¨ar praktiskt genomf¨orbart med kompresso- ranl¨aggningen ombord.)

Det finns (˚atmindst˚ande) tv˚a alternativa l¨osningsmetoder.

Alternativ 1: Det minsta arbete som kr¨avs ¨ar lika stort som det arbete som kan utvinnas i den omv¨anda processen. Detta inses eftersom den optimala processen ¨ar reversibel. Om havsvattnets temperatur definierar det d¨oda tillst˚andet, T₀ = 283,15 K, kan man helt enkelt r¨akna ut systemets exergi i sluttillst˚andet, vilket blir det minsta m¨ojliga arbete som kr¨avs. Man f˚ar

adjupfryst= u − u0+ p0(v − v0) − T0(s − s0)

Den andra termen ¨ar noll om man betraktar r¨akorna som inkompressibla. F¨or den f¨orsta termen f˚ar man

u − u₀ = c_is(T_djupfryst− T_fryspunkt) − h_sm¨alt+ c_vatten(T_fryspunkt− T₀) =

= 2,2 · (−22 − 0) − 334 + 4,2 · (0 − 10) kJ/kg = −424,2 kJ/kg.

Den andra termen ger att

−T₀(s − s₀) = −T₀



c_isln T_djupfryst T_fryspunkt



− h_sm¨alt

T_fryspunkt + c_vattenln T_fryspunkt T₀



=

= −283,15



2,2 · ln 251,15 273,15



− 334

273,15+ 4,2 · ln 273,15 283,15



= 441,1 kJ/kg.

S˚aledes blir

a_djupfryst = u − u₀− T₀((s − s₀) = −424,2 + 441,1 kJ/kg = 16,9 kJ/kg.

(Det arbete man eventuellt skulle kunna tillgodog¨ora sig vid kylningen av r¨akorna fr˚an luftttemperaturen till havsvattentemperaturen blir

a_r¨akor = u − u₀ + 0 − T₀(s − s₀) = c_vatten(T_r¨akor− T₀) − T₀



c_vattenln T_r¨akor T0



= 0,72 kJ/kg.)

Alternativ 2: Minimum erforderligt kompressorarbete erh˚alls vid en reversibel Carnot- process. D˚a g¨aller att f¨or de tv˚a delprocesser d¨ar temperaturen s¨anks att (med n˚agot annorlunda beteckningar)

dw = dqut− dqin= T_ut T − 1

 dqin

d¨ar dqin= −cvattendT resp. dqin = −cisdT

Notera −tecknet! Enligt den teckendefinition som anv¨ands h¨ar ¨ar dq_in positiv d˚a r¨akornas temperatur sjunker. Vid sj¨alva fas¨overg˚angen g¨aller i st¨allet att

w₀₀= q_ut− q_in = T_ut T0

− 1

 q_in

d¨ar q_in ¨ar sm¨altv¨armen h_sm¨alt. Med givna siffror ger nu detta att kompressionsarbetet vid temperaturs¨ankningen i vatten-fas ¨ar

w₁₀ = −c_vatten Z T0

T1

 T_ut T − 1



dT = c_vatten



(T₀− T₁) − T_utlnT0

T₁



=

= 4, 18 ·



(273 − 283) − 283 · ln273 283



kJ/kg = 0, 756 kJ/kg

P˚a samma s¨att blir kompressionsarbetet vid temperaturs¨ankningen i is-fas w02 = −cis

Z T2

T0

 T_ut T − 1



dT = cis



(T2− T0) − TutlnT₂ T₀



=

= 2, 22 ·



(251 − 273) − 283 · ln251 273



kJ/kg = 3, 946 kJ/kg Kompressorarbetet vid fas¨overg˚angen fr˚an vatten till is blir

w₀₀= 283 273 − 1



· 334 kJ/kg = 12, 234 kJ/kg

vilket, till slut, ger det totala kompressorarbetet w = w₁₀+ w₀₀+ w₀₂ = 0, 756 + 12, 234 + 3, 946 kJ/kg = 16,9 kJ/kg