3.4 Metod B
3.4.2 Algoritmen
Antaganden
För att algoritmen ska fungera ska följande antaganden gälla
• Processen antas vara lokalt linjär.
• Inga olinjära störningar påverkar reglersystemet.
Bikoherens
Olinjäriteter i en reglerkrets kan ofta bero på stiktion, dödband eller hysteres i en reglerventil eller att processen i sig är olinjär. Dessa olinjära system resulterar ofta i icke-gaussiska och olinjära signaler. Genom att testa om signalen är icke-gaussisk eller om den kommer från en olinjär process tas ett steg mot att diagnosticera reglerkretsen.
En diskret, ergodisk och stationär tidsserie y[k] är linjär om den kan beskrivas av
y[k] = M −1X
n=0
h[n]e[k − n] (3.19)
där e[k] är en sekvens av oberoende och identiskt fördelade stokastiska variabler med E(e[k]) = 0, σ2
e = E(e2[k]) och µ3 = E(e3[k]). För signalen i (3.19) gäller
följande
Spektrum: Φ2(ω) = σ2
e|H(ω)|2≡ |Y (ω)Y∗(ω)| (3.20)
Bispektrum: Φ3(ω
där
H(ω) = M −1X
n=0
h[n]e−∞
Ekvation (3.17) kan skrivas om till BIC2(ω
1, ω2) ≡ |Φ 3(ω
1, ω2)|2
E(|Φ2(ω1)||Φ2(ω2)|)E(|Φ2(ω1+ ω2)|) (3.22)
Genom att substituera (3.20) och (3.21) i (3.22) ges för linjära tidsserier BIC2(ω 1, ω2) =µ 2 3 σ6 e (3.23) Det syns tydligt att för någon linjär signal y är den kvadratiska bikoherensen oberoende av bifrekvenserna och således konstant i dess plan. För en gaussisk signal är µ3= 0 och det leder till att den kvadratiska bikoherensen är noll.
Teststorheter för detektion av olinjäriteter
För att studera om den kvadratiska bikoherensen är konstant eller inte krävs det två test. Det första testet ser om den kvadratiska bikoherensen är noll vilket visar att signalen är gaussisk och kommer från en linjär signalgenererande process. Det andra testet ser om den kvadratiska bikoherensen är konstant och skild från noll vilket visar att signalen är inte är gaussisk, men kommer från en linjär signalge- nererande process.
Bikoherens är komplex funktion och består av en reell och en imaginär del. Storleken på den kvadratiska bikoherensen ges av
BIC2= ℜ(BIC)2+ ℑ(BIC)2 (3.24)
Eftersom bikoherensen är normalfördelad är även skattningen av de reella och de imaginära delarna normalfördelade om de är oberoende. Det leder till att den kvadratiska bikoherensen vid varje bifrekvens är X2-fördelad med 2 frihetsgrader.
För att sätta upp lämpliga teststorheter skapades följande hypotes
H0: Signalen är gaussisk.
H1: Signalen är icke-gaussisk.
Under nollhypotesen gäller följande samband för medelvärdet av den kvadratiska bikoherensen [BIC2 i huvudområdet
P (2KL [BIC2> cX2
α ) = α (3.25)
där cX2
α är den kritiska gräns för en Xα2-fördelning med 2L frihetsgrader, där L
står för antalet bifrekvenser i huvudområdet. K är antalet segment som används under beräkning av bikoherensen.
3.4 Metod B 27 Om antalet bifrekvenser som [BIC2beräknats ur är fler än 100 bifrekvenser kan
Xα2-fördelningen approximeras med en normalfördelning och följande samband ges P [ BIC2> 1 4KL[c N α + √ 4L − 1]2 (3.26)
Genom att skriva om (3.26) fås Non Gaussianity Index av
P (NGI > 0) = α (3.27)
där NGI , [BIC2
− [BIC2
crit och [BIC2crit = 4KL1 [cNα + √
4L − 1]2. Om NGI > 0
förkastas H0med signifikans α och om NGI ≤ 0 är signalen gaussisk.
Om signalen är gaussisk antas att den signalgenererande processen är linjär. I fallet då signalen inte kan sägas vara gaussisk kan den signalgenererande pro- cessen testas om den är linjär. Om den kvadratiska bikoherensen är konstant och skild från noll är den signalgenererande processen linjär för alla bifrekvenser. För att testa den kvadratiska bikoherensens flathet jämförs det största värdet av den kvadratiska bikoherensen [BIC2
max med medelvärdet av den kvadratiska bikohe-
rensen plus två gånger standardavikelsen för den skattade kvadratiska bikoheren- sen [BIC2+ 2σ
[
BIC2. Genom att introducera Non Linearity Index ges
NLI , | [BIC2
max− ( [BIC2+ 2σBIC[2)| (3.28)
På grund av att den kvadratiska bikoherensen är bunden mellan 0 och 1 är även NLI bunden mellan 0 och 1. Därför gäller att med signifikans α kan den signalgenererande processen antas vara linjär om NLI = 0 och olinjär om NLI > 0. Genom att anta en signifikansnivå på 0.05 kan följande sägas från teststorhe- terna:
• om NGI ≤ 0.01 är signalen gaussisk och den signalgenererande processen är
linjär.
• om NGI > 0.01 är signalen inte gaussisk, men
– om NLI ≤ 0.001 är den signalgenererande processen linjär. – om NLI > 0.001 är den signalgenererande processen olinjär. Orsaker till olinjäritet
Om signalen antas komma från en process som uppfyller antaganden i Avsnitt 3.4.2 är den troligaste orsaken till att en olinjäritet har detekterats att ventilen har ett olinjärt beteende. För att studera om ventilen har stiktion föreslås i artikeln att studera mätsignalen plottad mot styrsignalen för en period med regelbund- na självsvängningar. I metoden ingår det även att kvantifiera storleken på stiktion genom att mäta storleken på den ellips som uppkommer i plotten. På grund av be- gränsningarna i att hitta regelbundna självsvängningar har metoden ej analyserats vidare.
3.4.3
Praktiska aspekter
Testet kan appliceras på vilken tidsserie som helst för att kontrollera om signalen är gaussisk eller om systemet är olinjärt. Det är lämpligt att använda reglerfelet
r − y för applikationer på reglerkretsar då reglerfelet antas vara mer stationärt
än mät- eller styrsignalen. I artikeln rekommenderas att beräkna bikoherensen av en signal som är 4096 sampel lång, en segmentlängd av 64, ett 50% överlapp, ett Hanningfönster av längd 64 och en DF T av längd 128.
Vid beräkning av bikoherens finns Higher Order Statistical Analysis (HOSA)
Toolbox att tillgå gratis till Matlab. Dessvärre beräknas inte den begränsade biko-
herensen så därför rekommenderas att normalisera bikoherensen enligt (3.17). Vid beräkningen av bikoherensen antas det att signalen är stationär. För en signal som driver kan kommandot detrend användas i Matlab. Om signalen har större variationer kan det underlätta att dela upp signalen i mindre stationära segment.
I artikeln rekommenderas att utesluta den yttre triangeln i huvudområdet i beräkningen av medelvärdet av den kvadratiska bikoherensen för att minimera bidraget av en icke stationär signal till NLI och NGI.
Beräkningen av bikoherens är även väldigt känslig för outliers och abrupta förändringar i signalen. Outliers bör filtreras bort och påverkan av abrupta för- ändringar kan minskas genom att dela in signalen i mindre segment.