Utförlig beskrivning och utveckling av segmenteringsmetoden ges i Kapitel 4.
3.6
Övriga metoder
Nedan presenteras kortfattat en ny metod och ett par centrala metoder som inte har utvärderats eller implementerats.
3.6.1
Metod D
Problemet med någon olinjäritet som stiktion i en ventil är att den styrsignal som regulatorn ställer ut inte påverkar processen. Det leder till att mätsignalen inte kommer att följa styrsignalen. Tanken med den nya metoden trending är att dela in signalen i tre tillstånd; ett första när den växer, ett andra när den minskar och ett tredje när den är konstant. Ju oftare styr- och mätsignalen är i samma tillstånd, desto mindre är risken för någon olinjäritet hos ventilen. Svårigheten med metoden är att bestämma hur lika två signaler behöver vara för att klassificeras som lika. Algoritmen
För att algoritmen ska fungera ska följande antaganden gälla
• Detekterad svängning i processen. • Processen antas vara linjär. • Processen är inte integrerande.
• Inga störningar större än styrsignalen får påverkar systemet. • Processen antas inte innehålla några större tidsfördröjningar.
En signal kan tilldelas tre tillstånd. När signalen växer är den i tillstånd d = 1, när den minskar är den i tillstånd d = −1 och när den är konstant är den i d = 0. En signal y anses växa när den uppfyller
y[k] − y[k − τ] ≥ a(ymax− ymin), (3.29)
minska när den uppfyller
y[k] − y[k − τ] ≤ −a(ymax− ymin) (3.30)
och vara konstant när
|y[k] − y[k − τ]| < a(ymax− ymin) (3.31)
τ beskriver en tidsförskjutning och a(ymax− ymin) beskriver en procentuell del av
3.6 Övriga metoder 31 mellan en styrsignal u och mätsignal y med respektive tillståndsvektorer dN
u och dN y ges av p = 1 − PN k=1 dNu(k) ∧ dNy(k) N (3.32)
där ∧ beskriver en logisk konjunktion. Ju mer lika tillståndsvektorerna dN u och dNy
är desto mindre bli sannolikheten att det är någon olinjäritet i processen.
Om parametern τ sätts till sampelintervallet Tsberäknas derivatan av signalen.
En anledning till att öka parametern är att metoden ska bli mindre känslig för brus och små variationer i signalen. Parametern a(ymax− ymin) bör väljas något
större än signalens standardavvikelse σy. Praktiska tester har visat att det är svår
att hitta lämpliga värden på parametrarna, främst för att andelen falsklarm blir för hög. Riktlinjer för parametrarna ges av
• τ = 3Ts.
• a(ymax− ymin) = 2σy om σy är känd, annars a = 0.1.
Det är lämpligt att filtrera mätsignalen innan den tilldelas dess tillstånd för att reducera högfrekvent brus. Ett lämpligt filter kan vara ett digitalt lågpass-filter eller ett medelvärdesbildande filter.
3.6.2
Metod E
Horch presenterar i [10] en metod för detektion av stiktion i främst integreran- de processer. Grundtanken är att detektera mätsignalens abrupta förändringar i svängningen vid stiktion genom att studera mätsignalens andraderivata. I en krets med stiktion kommer mätsignalen vara triangulär och dess andraderivata kommer vara ett pulståg. Genom att anta gaussiskt brus och genom att filtrera bort pulserna kommer andraderivatan vara normalfördelad. För det felfria fallet kommer mätsignalen och dess andraderivata vara sinusformad. Andraderivatans sannolihetsfunktion kommer då att innehålla två separata maxima. Detektions- algoritmens uppgift blir till att se vilken fördelning som anpassar sig bäst till mätsignalens andraderivata. I Figur 3.6 visas mätsignaler för självsvängande kret- sar som beror på stiktion och som inte beror på stiktion. Metoden förutsätter att reglerkretsens svängning är detekterad.
Det är värt att notera att denna metod även fungerar för icke integrerande processer. Den enda förändringen blir att studera mätsignalens förstaderivata om det inte finns någon integrering i processen.
3.6.3
Metod F
Thornhill presenterar i [23] en metod för detektion av olinjäriteter hos signaler. I metoden studeras förutsägbarheten hos signalen jämfört dess surrogate. En sur-
rogate till en signal har samma amplitudspektrum, men med en slumpmässigt
fördelad fas. En förändring av fas görs genom att fouriertransformera signalen, slumpmässigt fasförskjuta alla frekvenser och inverstransformera tillbaka till tids- domänen. Om förändringen av fas leder till att surrogate-signalen förlorar struktur och regelbundenhet kan det bero på olinjäriteter i ursprungssignalen.
ddy y t t t dy ddy dy y t t t
Figur 3.6.Grundtanken med Horchs metod för integrerande processer. Till vänster visas metoden för del felfria fallet och till höger visas metoden för en krets med en ventil med stiktion.
3.6.4
Metod G
Singhal m fl presenterar i [20] en metod för att detektera stiktion i reglerkretsar. I metoden beräknas svängningens symmetri kring maximum/minimum i förhållande till närmaste nollgenomgång. I Figur 3.7 ses att för en krets som självsvänger till följd av stiktion kommer arean innan maximum/minumum vara större än arean efter.
Teststorheten R definieras enligt
R, A1
A2 (3.33)
där
R > 1 ⇒ stiktion i ventil. R ≈ 1 ⇒ ej stiktion i ventil.
Teststorheten är extremt känsligt för brus då det kan påverka placeringen av både nollgenomgångarna och svängningens maximum och minimum. En själv- svängning som beror på en extern störning kan generera en teststorhet R > 1. Det leder att vid en diagnos måste systemet kontrolleras för externa störningar genom att köra reglerkretsen manuellt.
3.6 Övriga metoder 33 0 0 A1 A2 A1 A2 A1 A2 ____ > 1 ____A1 A2 ~ 1
Stiktion i ventil Självsvängning av annan orsak
reglerfel reglerfel
tid tid
Kapitel 4
Segmentering
I detta kapitel behandlas den metod som Stenman m fl presenterar i [21] för att detektera stiktion. Först ges en beskrivning av metoden för att kompletteras med förslag på utvecklingar och teststorhet.
I detta kapitel kommer metodens resultat presenteras i plottar av samma struktur. Den översta bilden presenterar mätsignalen heldragen och dess skatt- ning streckad, den mellersta presenterar styrsignalen heldragen och den skattade ventilpositionen streckad och den nedersta presenterar modellparametrarna enligt figurtext.
4.1
Ursprungsmetoden
Stenman, Gustafsson och Forsman presenterar i [21] en modellbaserad metod för stiktionsdetektering med inspiration från området change detection. I metoden finns två modeller för ventilens dynamik vid stiktion och genom att beräkna olika modellkombinationers sannolikhet erhålls en skattning av ventilens position. Al- goritmen visas i ett flödesschema i Figur 4.1. Detta avsnitt beskriver huvuddragen för algoritmen och för en mer ingående presentation av området rekommenderas [7].
4.1.1
Algoritmen
Antaganden
Metoden kräver inte att några antaganden ska vara uppfyllda om processens dy- namik. Den enda begränsningen är samma som gäller för alla metoder, det vill säga att de externa störningarna inte får dominera över styrsignalen så att signal till brusförhållandet är stort.
I metodens modell av ventiler antas att dess karakteristik ska vara linjär och att en fungerande ventils flöde ska vara proportionell mot styrsignalen. Antagandet är korrekt för de flesta typer av reglerventiler, men det finns även olinjära ventiler.
Eftersom stiktion är en olinjäritet kommer detta leda till att sannolikheten för falsklarm kommer att öka med en olinjär ventil.
Start [u y] Stiktionsmodell x(t) = (1 − δ(t))x(t − 1) + δ(t)u(t) Rekursiv skattning av ARX-modell Beräkna sannolikheten för grenen gren äldre än minseg gren äldre än ll gren med störst sannoliket
gren med minst sannoliket
dela grenen och låt
den nya grenen byta modell klipp av grenen
x [x(t) y(t)] ˆ θ(t, j), ˆy(t, j) M ggr jmax N ggr jmin
Figur 4.1. Flödesdiagram för segmenteringsmetoden. För varje gren skattas en unik
sekvens δN
som beskriver den modell som ger ventilens position x. M står för antalet grenar och N är längden på datamängden.
4.1 Ursprungsmetoden 37 Stiktionsmodell
I metoden modelleras ventilens position genom att den är styckvis konstant vid stiktion och följer styrsignalen i det felfria fallet enligt
x(t) = (1 − δ(t))x(t − 1) + δ(t)u(t) (4.1)
där δ(t) är en binär variabel som beskrivs av
δ(t) =
1 hopp i ventilens position
0 ventilens position är konstant (4.2)
PID ventil G
r e u x y
-
Figur 4.2.Reglerkrets med stiktion.
Ett reglersystem med stiktion i ventilen kan beskrivas enligt Figur 4.2. Proces- sens modell GT(q) är en diskret approximation av den tidskontinuerliga modellen G(p) vars dynamik oftast kan beskrivas av
GT(q) =
b1q−nk+ . . . + bnbq−n b−nk+1 1 + a1q−1+ . . . + anaq−na
(4.3) med tidsfördröjningen nk. Processen kan enkelt beskrivas av en ARX-modell enligt
A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (4.4)
där
B(q)
A(q) = GT(q). (4.5)
ARX-modellen kan skattas med hjälp av linjär regression enligt
y(t) = ϕT(t)θ + e(t) (4.6) med parametervektorn θ = (a1, . . . , ana, b1, . . . , bnb) T (4.7) och regressionsvektorn ϕ(t) = (−y(t − 1), . . . , −y(t − na), x(t − nk), . . . , x(t − nb− nk+ 1))T (4.8)
Om skattningsfelet e(t) antas vara normalfördelat kan modellparametrarna skattas enligt ˆ θ(t) = R−1(t)f(t) (4.9) där R(t), t X k=1 µt−kϕ(k)ϕT(k) och f(t) , t X k=1 µt−kϕ(k)y(k)
och µ är en exponentiell glömskefaktor som uppfyller 0 ≤ µ ≤ 1. Segmentering med hjälp av filterbank
Algoritmens huvuduppgift blir att skatta modsekvenser δN av den binära variabeln δ(t) i (4.2) enligt
δN = (δ(1), . . . , δ(N)) (4.10)
och välja den sekvens som maximerar ett optimeringskriterium enligt c
δN = arg max
δN V(δ
N) (4.11)
V(·) defineras genom en posteriori-sannolikhetsfunktion p(δN|yN) = p(yN|δN)p(δN)
p(yN) (4.12)
där p(yN|δN) är sannolikheten att yN = (y(1), . . . , y(N)) har observerats givet δN, p(δN) är en prior på modsekvensen och p(yN) är en normaliseringskonstant.
Att maximera (4.12) är ekvivalent med att maximera dess logaritm. Genom att anta en fast hoppsannolikhet q ges
p(δN) = qn(1 − q)N −n (4.13)
vilket leder till (bevis ges i [21])
V(δN) = p(δN|yN) ≈ − 2n log1 − qq + log det PN(δN)
− (N − 2) log VN(δN) (4.14)
där n är antalet hopp, PN(δN) , λR−1N och
VN(δN) ,
N
X
k=1
(y(k) − ϕT(k)ˆθ)2
För att skatta modellparametern θ och generera PN och VN i (4.14) används rekursiv minstakvadratmetoden (RLS) enligt
ˆ θ(t) = ˆθ(t − 1) + K(t)(y(t) − ϕT(t)ˆθ(t − 1)) (4.15a) K(t) = P (t)ϕ(t) (4.15b) P (t) = P (t − 1) − P (t − 1)ϕ(t)ϕ T(t)P (t − 1) µ + ϕT(t)P (t − 1)ϕ(t) /µ (4.15c)
4.1 Ursprungsmetoden 39 där µ är glömskefaktorn och
V (t) = V (t − 1) + (y(t) − ϕT(t)ˆθ(t))2 (4.16)
Lokal sökning efter optimala sekvensen δN
Den optimala segmenteringen ges av att lösa optimeringskriteriet (4.11), men be- räkningsbördan växer exponentiellt då det finns 2N modsekvenser att välja mellan.
Författarna i artikeln [21] föreslår att använda en lokal sökalgoritm vars komplex- itet kan liknas vid ett växande träd enligt Figur 4.3. Varje möjlig modsekvens av
δN representerar en gren där 0 motsvarar inget hopp och 1 motsvarar ett hopp
i ventilens position. Genom att endast låta de mest sannolika grenarna växa kan följande algoritm användas:
1. Beräkna rekursivt a posteriori-sannolikhetsfunktionen (4.12) genom att an- vända en bank av M stycken skattningar, där varje skattning är unik för varje modsekvens.
2. Behåll endast ett specifikt antal sekvenser M genom att tillämpa följande: a) Låt endast den mest sannolika sekvensen dela på sig.
b) Klipp av den minst sannolika sekvensen så att endast M sekvenser är kvar.
c) Antag en minsta segmentlängd. Låt endast den mest sannolika sekvensen dela på sig om den inte är för ung.
d) Antag att sekvenser inte klipps av direkt efter att de har bildats. Klipp endast av den minst sannolika sekvensen om den är äldre än en viss
minsta livslängd så att M sekvenser är kvar.
Genom att tillämpa att denna algoritm byggs på en bank av M filter är det sedvanligt att kalla denna sökalgoritm för filterbank.
4.1.2
Praktiska aspekter
Val av parametrar
Metoden kräver endast kunskap om systemets styr- och mätsignal. Det finns ett flertal olika parametrar att ställa in vilka är viktiga för metodens prestanda. De valbara parametrarna är:
• strukturparametrar na, nb och nk hos ARX-modellen.
• glömskefaktor µ i RLS.
• sannolikheten q för ett hopp i ventilposition. • antal levande grenar M i filterbanken.
1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 t
Figur 4.3.Visualisering av lokal sökalgoritm för att hitta den optimala modsekvensen
δN
. Genom beräkna sannolikheten för varje gren och endast låta de mest sannolika grenarna växa kan modsekvensen bestämmas.
• den minsta längd minseg hos ett segment innan den får delas.
Den viktigaste parametern att ställa in är antalet filter och tillika antalet le- vande grenar M. Artikeln [21] rekommenderar att välja antalet grenar i storleks- ordningen 10 för att göra en bra avvägningen mellan möjligheten att välja rätt modell och metodens beräkningsbörda. Generellt rekommenderas att välja ll så stor om möjligt och minseg så liten som möjligt. Eftersom en ventil med stiktion endast är lika med styrsignalen i ett sampel bör minseg väljas till 1 och en lämplig storlek på ll rekommenderas enligt artikeln till 6.
Att använda första ordningens ARX-modell är en bra anpassning då vi primärt inte är intresserade av att identifiera systemets dynamik. Det är svårt att ange en korrekt tidsfördröjning nk, men eftersom filterbanken hela tiden jämför olika tid-
punkter att ändra modell kan det ses som en mindre viktig parameter. Skattningen av ARX-modellen sker rekursivt med minsta kvadrat (RLS) och i algoritmen finns en faktor µ som beskriver hur gammal data ska viktas. µ är definierad från 0 till 1 ett riktmärke på hur många sampel RLS kommer ihåg ges av N = 1/(1 − µ). Om µ är liten litar RLS mer på de senaste mätningarna, medan om µ = 1 litar RLS lika mycket på all data. För ytterligare riktlinjer kring val av ordning hos modellskattning hänvisas till litteraturen kring systemidentifiering.
I artikeln [21] förespråkar författarna att välja hoppsannolikheten q = 0.5 och det innebär att det är lika stor sannolikhet att att ventilen följer styrsignalen som att den är konstant. Det innebär att modparametern för ventilmodellen δ har lika stor sannolikhet att vara 0 som 1. En fungerande ventil följer styrsignalen och då är det störst sannolikhet att δ = 1. För en ventil med stiktion är ventilpositionen endast lika med styrsignalen då den gör ett hopp och annars är den konstant. Det innebär att sekvensen δN innehåller betydligt fler nollor än ettor. Om metodens
4.1 Ursprungsmetoden 41 fungerade ventil har en hög sannolikhet för hopp är det ingen bra lösning. Sam- manfattningsvis kan valet av q = 0.5 vara en bra avvägning om det är lika stor sannolikhet att ventilen har stiktion som inte.
Genom hela arbetet, om inget annat anges, kommer värden på parametrarna väljas som µ = 0.96, q = 0.2, M = 10, ll = 6, minseg = 1 och med första ordningens processmodell. Att hoppstorleken väljs som väldigt liten beror på att metoden främst avser att detektera stiktion, det felfria fallet beskrivs redan av styrsignalen.
Val av stiktionsmodell
I artikeln [21] görs en förenkling av den stiktionsmodell som Hägglund har före- slagit i Kapitel 2.5.1 till (4.1). Den förenklade modellen förklarar att när en ventil fungerar korrekt följer den styrsignalen (δ = 1) och när den har stiktion är den styckvis konstant (δ = 0 och 1). Modellen lämnar då åt algoritmen att vid stik- tion modellera storleken på hoppen och se till att ventilens position skattas som styckvis konstant.
När en reglerkrets börjar att självsvänga till följd av stiktion i ventilen pendlar flödet mellan två nivåer. I stiktionsmodell (4.1) tillåts ventilen att hoppa flera gånger under en period när ventilen i verkligheten endast pendlade mellan två positioner.
En ventil som har stiktion kan inte följa styrsignalen i mer än ett sampel, det vill säga att δ(t) kan endast vara lika med 1 i ett sampel. Det innebär att när en ventil har hoppat och ändrat nivå stannar den igen. Om ventilen skulle börja följa styrsignalen efter det att den har hoppat kan fenomenet snarast beskriva glapp i ventilen än stiktion.
Modellskattning
I metoden modelleras processens dynamik av en ARX-modell enligt (4.4). I ARX- modellen är störningsmodellen H(q, θ) = 1/A(q) och det leder till en något felaktig skattning av processdynamiken på grund av att A(q) även beskriver egenskaper hos störningen. Om störningen kommer in tidigt i processen kan detta vara ett lämpligt sätt att beskriva processen.
Prediktorn av en modell enligt linjär regression ges av ˆ
y(t|θ) = ϕ(t)Tθ(t) (4.17)
vilken för första ordningens ARX-modell är ˆ
y(t|θ) = −a1y(t − 1) − b1x(t − nk) (4.18)
För ARX-modellen baseras prediktorn på både insignalen och gamla värden på utsignalen till systemet. Med denna modell föreligger det alltid en risk att modellen anpassar sin parametervektor θ så att den bästa prediktorn ges av att endast lita på gamla värden på utsignalen. Det sker lätt när det är små skillnader i utsignalen som till exempel när ett system är snabbt samplat i förhållande till förändringar mätsignalen.
Initialskattning av ventilposition
Den rekursiva skattningen av ARX-modellen startas upp vid tiden t = 0 med ett initialvärde ˆθ(0) och dess kovariansmatris P (0). P (0) återspeglar trovärdigheten
hos gissningen ˆθ(0). I [8] rekommenderas att om det inte finns någon information
om ˆθ(0) är det sedvanligt att välja
ˆ
θ(0) = 0, P (0) = α · I, α ∈ [100 10000] (4.19)
Eftersom θ varierar mycket beroende på vilket system som studeras och kan både innehålla positiva som negativa element är valet av ˆθ = 0 rimligt även för denna
tillämpning.
Eftersom ventilens position är en funktion av styrsignalen kan det initialt bli problem om det inte finns någon gammal styrsignal att tillgå som kan beskriva ven- tilens position. Tills dess att en trolig ventilposition kan skattas har ARX-modellen svårt att skatta en linjär processmodell, givet att det är stiktion i ventilen. Pa- rameterskattningen kommer att kompensera detta genom att hellre lita på gamla värden av mätsignalen än på ventilens position.
4.1.3
Utvärdering på en industriell process
Figur 4.4 visar metodens resultat på en flödesreglering med känd stiktion i ventilen. Det syns tydligt att modellen gärna litar på gamla mätsignaler genom att a1 ≈
−1 och b1 ≈ 0 under större delen av tidsintervallet. Eftersom datamängden har
sampelintervall Ts= 1s och svängningen är relativt långsam är det liten skillnad
mellan de olika mätsignalerna. ARX-modellen finner det då enklast att lita på förra mätvärdet istället för att vikta in ventilens position i modellskattningen. Om modellskattningen inte tar hänsyn till ventilens position blir det omöjligt för filterbanken att värdera olika skattningar av dess position. Vid stiktion är även sambandet från u till y olinjär och det leder till att i detta exempel kan processens dynamik inte beskrivas av en linjär modell.
Enligt Avsnitt 4.1.2 är ett initialt problem med metoden att ventilpositionen inte kan beskrivas av någon gammal styrsignal. Figur 4.5(a) visar resultatet av samma körning av metoden, men där datamängden börjar i en extrempunkt av styrsignalen. Modellskattningen litar fortfarande främst på gamla mätsignaler och det leder till att ventilens position inte påverkar det skattade systemet. En korrekt skattning av ventilpositionen kan fortfarande inte erhållas.
Ett sätt att hantera problemet med små skillnader mellan samplen i mätsig- nalen är att sampla ner datamängden så att skillnaden blir större. Figur 4.5(b) visar resultatet av samma körning av metoden, men där datamängden är nersamp- lad från Ts = 1s till Ts = 15s. Skattningen av ventilens position börjar likna en
styckvis konstant signal, med undantag av vid vändpunkterna av styrsignalen. Att ventilen skulle börja röra sig i motsatt riktning efter att den har släppt verkar inte trovärdigt.
4.2 Utveckling av metoden 43