−1 0 1 2 u,xc [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −2 0 2 theta [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −5 0 5 10 y,yhat [min]
Figur 4.4.Resultatet av en testkörning med segmenteringsmetoden. Den nedre plotten
visar modellparametern a1 heldragen och b1 streckad.
4.2
Utveckling av metoden
Eftersom segmenteringsmetoden har ett par uppenbara brister i sin konstruktion föreslås i detta avsnitt ett antal förslag på förbättringar av metoden.
4.2.1
Stiktionsmodell
I Avsnitt 4.1.2 isolerades två problem med ventilens modell för stiktion. Det första problemet är att en ventil med stiktion inte kan ha en position som följer styr- signalen. Det gör att ventilens position inte kan vara lika med styrsignalen i flera sampel. Den andra problemet är att ventilen kan göra ett hopp oavsett hur liten skillnaden är mellan förra ventilpositionen och styrsignalen.
Förbättringsförslag 1
Ett sätt att lösa problemet med att ventilens position kan följa styrsignalen i flera sampel är att tillåta att dess position endast kan vara lika med styrsignalen i ett sampel. Det innebär att vetilens position tvingas att vara styckvis konstant. För filterbanken innebär denna förändring att fler grenar kan byta modell i samma sampel, oberoende av deras sannolikhet. En stor nackdel med den nya stiktions- modellen är att metoden endast kan detektera stiktion och kan inte förklara det felfria fallet då ventilen följer styrsignalen.
I Figur 4.6 visas den nya ventilmodellen för den nersamplade datamängden i Figur 4.5(b). Det syns tydligt att införande av restriktionen i ventilens modell fick
0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 2 u,xc [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −2 −1 0 1 theta [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −5 0 5 10 y,yhat [min]
(a) Datamängden initieras med styrsig- nal som börjar i en extrempunkt och med ett sampelintervall Ts= 15s. 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 2 u,xc [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 2 theta [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −5 0 5 10 y,yhat [min]
(b) Nersamplad data från Ts = 1s till
Ts= 15s.
Figur 4.5.Jämförelse mellan olika sampelintervall för en flödesreglering med stiktion.
Ursprungsmodellen av metoden användes. Den nedre plotten visas modellparametern a1
heldragen och b1 streckad.
metoden att generera en mer trovärdig skattning av ventilens position. Förbättringsförslag 2
I metoden görs en förenkling av modellen för ventilens position från (2.1) till (4.1). Med ett konstant referensvärde kan hoppstorleken d för ventilen antas vara kon- stant och bero på hur mycket styrsignalen varierar. Om reglerkretsen självsvänger ges största skillnaden i styrsignalen av ∆u = umax− umin. Genom att definiera en
minsta hoppstorlek som d = c∆u, där c är en konstant mellan 0 och 1, kan hopp- storleken regleras. Begränsningen implementeras i stiktionsmodellen genom att en gren inte får byta modell om skillnaden mellan styrsignalen och ventilpositionen är mindre än d = c∆u enligt
x(t) =
x(t − 1) då |u(t) − x(t − 1)| ≤ c∆u
u(t) annars (4.20)
Dessvärre leder detta till att ventilen hoppar då hoppstorleken uppnåtts alterna- tivt förblir konstant. Filterbanken överväger endast vid vilken tidpunkt hoppet ska genomföras. Ett möjligt sätt att utöka metoden för att inkludera en minsta hoppstorlek skulle kunna vara att utöka filterbanken med fler modeller för olika hoppstorlekar. Att utöka filterbanken med fler modeller ökar beräkningsbördan och den felfria ventilen är fortfarande utesluten ur metoden.
4.2.2
Modellskattning
Val av konfektionsmodell
Enligt Avsnitt 4.1.2 är det stor risk att skattningen av ARX-modellen baseras mer på gamla mätsignaler än av ventilens position genom att skatta modellen
ˆ
4.2 Utveckling av metoden 45 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 2 u,xc [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 theta [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −5 0 5 10 y,yhat [min]
Figur 4.6.Resultatet för samma datamängd som i Figur 4.5(b), men med en ventilmodell där ventilens position endast får vara lika med styrsignalen i minseg sampel. Den nedre
plotten visas modellparametern a1heldragen och b1streckad.
En konfektionsmodell vars prediktor endast beror av insignaler istället för gam- la mätsignaler är Output-Error (OE)-modellen som beskrivs enligt
y(t) =B(q) F (q)x(t − nk) + e(t) (4.22) med prediktorn ˆ y(t|θ) = B(q) F (q)x(t − nk) (4.23)
För OE-modellen är störningsmodellen H(q, θ) ≡ 1 och det betyder att stör- ningen inte modelleras. Det är en korrekt modell om störningen kommer in sent i processen eller att den enda störningen är mätbruset. Fördelen är att system- dynamiken beskrivs separat och att den inte behöver använda parametrar för att beskriva störningsmodellen.
Skattning av OE-modellen
Parametrarna till OE-modellen kan skattas genom linjär regression [22] enligt (4.6) - (4.8), men skattningen kommer att generera ett skattningsfel hos parametervek- torn för att bruset inte är vitt. Antag att det sanna systemet beskrivs av
y(t) = ϕT(t)θ
där v(t) beskriver en stokastisk störning och θ0 beskriver den sanna parameter-
vektorn. Enligt minstakvadrat-metoden ges skattningen av den sanna parameter- vektorn av ˆ θ = N X t=1 ϕ(t)ϕT(t) !−1 N X t=1 ϕ(t)y(t) ! (4.25) Skillnaden mellan skattningen ˆθ och den sanna värdet θ0 i (4.24) ges av
ˆ θ − θ0= 1 N N X t=1 ϕ(t)ϕT(t) !−1 1 N N X t=1 ϕ(t)v(t) ! (4.26) och genom att låta N gå mot oändligheten ges
ˆ
θ − θ0= Eϕ(t)ϕT(t)−1(Eϕ(t)v(t)) (4.27)
Minstakvadrat-metodens skattning ˆθ i (4.25) kommer att ha ett skattningsfel om
inte
Eϕ(t)v(t) = 0 (4.28)
Då ϕ(t) beror på utsignalen och således på gamla värden av v(t) enligt (4.24) är (4.28) väldigt restriktiv. Det kan visas att (4.28) generellt endast gäller då v(t) är vitt brus. Då minsta kvadrat-skattningen av en OE-modell leder till skattningsfel hos ˆθ då v(t) ej beskriver vitt brus motiverar det till att introducera metoden Instrumental Variable (IV).
IV-metoden
Idén med IV-metoden är att ersätta regressorn ϕ(t) med en annan variabel Z(t) som är okorrelerad med e(t). Skattningen av θ ges då av
ˆ θ = N X t=1 Z(t)ϕT(t) !−1 N X t=1 Z(t)y(t) ! (4.29) och är endast konsistent om matrisen ZTϕ är inverterbar och om E[ZTe] = 0.
Genom att jämföra IV-metodens skattning (4.29) med minsta kvadrat-metodens skattning (4.25) ses att minsta kvadrat-metoden är ett specialfall av IV-metoden med Z(t) = ϕ(t).
Val av instrumentvariabler i segmenteringsmetoden
I segmenteringsmetoden skattas den rekursiva OE-modellen enligt Matlab-funktionen roe. I funktionen väljs instrument enligt Recursive prediction error method (RPEM) och finns beskrivet i [13].
4.2 Utveckling av metoden 47 Jämförelse mellan ARX- och OE-modell
I Figur 4.7(a) visas resultatet av segmenteringsmetoden med skattning av en re- kursiv OE-modell. Vid jämförelse med ARX-modellen i Figur 4.5(a) ses att OE- modellen ger en betydligt mer varierande parameterskattning ˆθ och att ventilposi-
tionen fortfarande inte är korrekt. Att det är svårt att skatta en systemmodell från styrsignalen till mätsignalen ger utslag i ett stort fel i skattningen av mätsignalen. Genom att jämföra Figur 4.7(b) med Figur 4.6 ses att de olika modellerna ger lika ventilpositioner, men OE-modellen har en större variation i parameterskatt- ningen.
En systemidentifiering med en OE-modell jämfört med en ARX-modell ger fördelen att den minskar risken för att modellen föredrar att lita på gamla mät- signaler. Eftersom huvudsyftet inte är att identifiera systemmodeller, utan att studera hur sannolika de är, är det inte lika viktigt att identifieringen blir perfekt.
0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 2 u,xc [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 theta [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −10 0 10 y,yhat [min]
(a) Modellskattning med rekursiv OE.
0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 2 u,xc [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 0 1 2 theta [min] 0 5 10 15 20 25 30 35 −5 0 5 10 y,yhat [min]
(b) Modellskattning med rekursiv OE och med nersamplad data från Ts = 1s till
Ts = 15s.
Figur 4.7.Jämförelse mellan olika sampelintervall för segmenteringsmetoden med stik- tionsmodell 2 på en flödesreglering med stiktion. Den nedre plotten visar modellparame-
tern b1 heldragen och f1 streckad.
4.2.3
Låsning av poler
Ett stort problem i systemidentifieringen är att metoden ofta tenderar att skatta en felaktig modell. En tänkbar begränsning kan vara att använda informationen om vilket typ av reglerkrets det är och styra polerna i modellskattningen. Flödes- regleringar är kända för att vara snabba och nivåregleringar för att innehålla en integrator i processmodellen.
En tänkbar begränsning kan vara att skatta tidskonstanten i processmodel- len för flödesregleringar och att processmodellen för nivåregleringar måste vara integrerande.
Samband mellan det diskreta och kontinuerliga systemets poler Det samplade systemets poler ges av
eλiTs, i = 1, . . . , n
där λi, i = 1, . . . , n är det kontinuerliga systemets poler [6]. Detta samband kan
enkelt åskådliggöras genom
λ = µ + iω ⇒ eλTs = eµTs(cos(ωT
s) + i sin(ωTs)) (4.30)
Om samplingsintervallet Ts är litet kommer det samplade systemets poler att
koncentrera sig kring punkten 1, vilket stämmer med vad som sågs i Figur 4.4. För ett system med tidskonstant T motsvarar det en kontinuerlig pol i λ = −1/T . Flödesreglering
En flödesreglering är generellt snabb och kan ha en tidskonstant upp till 60 s. Beroende av samplingstid och skattad tidskonstant ges dess diskreta pol q av Tabell 4.1. Ts T q 1 30 0.97 1 60 0.98 15 30 0.60 15 60 0.37
Tabell 4.1.Beroende på val av samplingstid Ts och tidskonstant T ges olika diskreta
poler q.
För ett samplingsintervall på Ts= 1s kommer polerna att centrera sig nära 1
oavsett skattning av tidskonstant. För större sampelintervall kommer skattningen av tidskonstanten påverka placeringen av polen. Eftersom det är svårt att skatta en exakt tidskonstant för ett system i drift förkastas idén att generellt låsa poler för flödeskretsar.
Nivåreglering
En nivåreglerad process modelleras som en ren integrerande process med en för- stärkning K. En enkel integrerande process har en kontinuerlig pol i origo vilket motsvarar en diskret pol i 1.
En första ordningens ARX-modell enligt (4.4) kan skattas med hjälp av linjär regression enligt
y(t) + a1y(t − 1) = b1x(t − nk) (4.31)
där den diskreta polen q ges av q = −a1.
Genom att sätta a1= −1 placeras den diskreta polen i 1 och endast processens
förstärkning K = b1skattas. För a1= −1 ses även att y(t) + a1y(t − 1) = ˙y(t) och
enklast blir då att skatta modellen
4.2 Utveckling av metoden 49 som gäller både för ARX- och OE-modellen.
Derivering av en mätsignal leder till en förstärkning av bruset. För att de- riveringen ska vara användbar måste mätsignalen filtreras innan den deriveras. Svårigheten är att välja en filterkonstant så att bruset filtreras bort utan att på- verka svängningens utseende för mycket. Lämpligen kan ett första ordningens låg- passfilter av Butterworth-typ med skärfrekvens ωc användas. För självsvängande
och integrerande kretsar rekommenderar Horch i [10] att välja en gränsfrekvens
ωc= 3ωosc, där woscär självsvängningens frekvens. Om skärfrekvensen väljs för li-
ten kommer svängningen blir för mjuk och om den är för stor kommer deriveringen leda till att bruset förstärks. Ett lågpassfilter rekommenderas enligt
H(q−1) = 1 − α
1 − αq−1 (4.33)
där α = e−ωcTs.
I Figur 4.8 visas en jämförelse mellan att låsa polen i 1 och att skatta den för en nivåreglering med stiktion. Ett första ordningens lågpassfilter av Butterworth-typ med gränsfrekvens ωc = 0.1 används. Det syns tydligt att metoden är bättre på
att identifiera en korrekt ventilposition om modellskattningen tvingas att vara en integrerande process. I Figur 4.8(a) ses det även att det går bra att beskriva ett system med en icke-integrerande process då f1≈ −0.89 i slutet av dataserien.
4 5 6 7 8 9 10 −0.1 0 0.1 u,xc [min] 4 5 6 7 8 9 10 −10 −5 0 5 theta [min] 4 5 6 7 8 9 10 −1 0 1 y,yhat [min]
(a) Modellskattning av första ordning- ens OE-modell. 4 5 6 7 8 9 10 −0.2 0 0.2 u,xc [min] 4 5 6 7 8 9 10 −1 0 1 2 [min] theta 4 5 6 7 8 9 10 −1 0 1 y,yhat [min]
(b) Modellskattning av första ordning- ens OE-modell med låst diskret pol i 1.
Figur 4.8.Jämförelse mellan att låsa polen i 1 och låta den skattas för en nivåreglering
med stiktion. Nedersta bilden visar modellparametern b1 heldragen och f1 streckad.
4.2.4
Initiering av ventilposition
Ventilens position beror alltid av något gammalt värde av styrsignalen och det leder till att det är viktigt att det finns något gammalt värde på styrsignalen som kan beskriva ventilens position. Troligast är att ventilens position är lika med styrsignalen i vändpunkterna och därför kan det vara lämpligt att initiera datamängden där. Att förändra initieringspunkten för metoden är viktigast när datamängden innehåller relativt få svängningar.
En extrempunkt hittas enkelt genom att studera derivatan hos den lågpassfil- trerade styrsignalen och låta metoden initieras i den första extrempunkten. Det
kan vara lämpligt att sätta en övre gräns på hur mycket av datamängden som får klippas bort för att undvika för stora förluster av data.
4.2.5
Nersampling av data
Enligt Figur 4.7 kan segmenteringsmetoden lättare skatta en korrekt ventilposi- tion om datamängden inte är samplad för tätt i förhållande till självsvängningen. Problemet med att sampla ner data är att det kan få till följd att viktig informa- tion om ventilens karakteristik försvinner. För en krets som svänger kan tumregler skapas för antal sampel för en svängning, men eftersom metoden inte kräver att kretsen svänger är detta inte att föredra.