Vid jämförelse av de sprickbredder som beräknats analytiskt samt de sprickvidder som erhållits från de numeriska simuleringarna i Atena ses att de vidder som erhållits i Atena dels är mycket mindre än de analytiskt beräknade samt att de är relativt jämstora för samtliga platthöjder inom en betongklass. Detta är en skillnad jämfört med de analytiska beräkningarna med tyskan nationella bilagan där sprickvidderna ses växa med ökad platthöjd då armeringen är fördelad på två nivåer.
83
Diskussion
7
Erforderligt armeringsinnehåll
7.1
Armeringsinnehåll enligt EC 7.3.2(2) och EC 7.3.2(1)
I jämförelsen av armeringsinnehåll har fem olika mängder beräknats. Tre av alternativen beräknades enligt Eurokod 7.3.2(1) där armeringsmängden uppskattas utifrån spännings- fördelningar motsvarande 80 %, 100 % och 130 % av spänningsfördelningen som erhållits i avsnitt 3.4.2. Två alternativ utfördes även enligt Eurokod 7.3.2(2) som skall användas då inte mer omfattade beräkningar visar att mindre armeringsmängder är tillräckliga för sprick- viddsbegränsning.
Undersökningarna visar att:
Dimensionering av armeringsinnehåll enligt EC 7.3.2(1) där armeringsinnehållet uppskattas med en spänningsfördelning om 100 % ger samma armeringsinnehåll som EC 7.3.2(2) och det tyska nationella bilagan.
Dimensionering av armeringsinnehåll enligt EC 7.3.2(1) där armeringsinnehållet uppskattas med en spänningsfördelning om 130 % ger samma armeringsinnehåll som EC 7.3.2(2) och huvuddokumentet.
De skillnader som finns vid dimensionering enligt EC 7.3.2(2), mellan huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan, berör definitionen av koefficienten . I tyska nationella bilagan justeras värdet på med hänsyn till huruvida den last som orsakar deformationen är en inre eller yttre last. Vid dimensionering enligt tyska nationella bilagan under verkan av inre last fås en reduktion av erforderlig area mot huvuddokumentet med 20 %.
Fördelning av armering
För en platta under gradientkrympning kommer spänningarna i tvärsnittet vara högre i överkant än underkant. Det är då intressant att veta hur den erforderliga armeringen skall fördelas mellan de olika armeringsnivåerna. De dimensioneringar som gjorts enligt EC 7.3.2(1) tar hänsyn till spänningsskillnaderna vid fördelningen av armeringen mellan de olika armeringsnivåerna. Detta då beräkningarna utgår ifrån den armeringskraft som verkar i varje armeringsnivå. I samtliga dimensioneringar enligt EC 7.3.2(1) med spänningsfördelningen för krympningen fås att 61 % av det totala armeringsinnehållet ska placeras i den övre armerings- nivån och 39 % i den nedre. Detta då ges värdet 0,2 och plattan har ett täckande betongskikt om 30 mm i överkant och 50 mm i underkant. Vid dimensionering enligt EC 7.3.2(2) beräknas endast en total mängd armering där riktlinjerna för hur fördelningen skall ske är obestämda.
84
Sprickbildning vid gradientkrympning
7.2
Sprickvidder, armeringsspänning och axialkraft
De numeriska simuleringarna som genomförts har påvisat armeringsinnehållets inverkan på sprickbildningen. Undersökningarna visar på sprickvidder i storleksordningen 0,3-0,6 mm, se Bilaga 8 och där armeringsspänningen som maximalt har uppgått till 150-350 MPa, se Bilaga 10. Det innebär att armeringsinnehållet har tillräcklig kapacitet för att den sprickfördelande funktionen skall kunna fortgå. Om armeringens flytgräns hade nåtts hade armeringen inte längre kunnat fördela nya sprickor, utan de sprickor som redan uppstått hade vidgats. I avsnitt 2.7 beskrevs principen för sprickor av inre last där summan av armeringstöjningen ska vara lika med noll, vilken stämmer väl överens med resultatet i Figur 6.15. Att de armerings- spänningar som uppnåtts är lägre än flytspänningen är också i samstämmighet med denna princip.
Då de undersökta plattorna utsätts för krympning och plattans ändar har en förhindrad horisontell rörelse sker en viss total uppsprickning. Denna är den samma för varje platta och motsvarar krympningen över plattans längd, med ett avdrag av den elastiska töjningen mellan sprickorna. Det innebär att för större sprickvidder fås färre antal sprickor. Störst sprickvidder ger de plattor med ett tvärsnitt som är underarmerat. Dessa plattor uppvisar även de högsta armeringsspänningarna och sämre sprickfördelande förmåga, dock utan att single cracks uppstår. Det balanserade tvärsnittet uppvisar sprickvidder och armeringsspänningar som har storlekar mellan det underarmerade och överarmerade. Dock är dess sprickfördelande förmåga i stort sett identisk med det underarmerade tvärsnittet, se Bilaga 9. Så länge sprickvidderna inte är större än det dimensionerade kravet kan underarmerad och balanserad dimensionering enligt EC 7.3.2(1) anses tillräckliga, trots att sprickvidderna är något större än det överarmerade tvärsnittet. Detta innebär även att armeringsinnehållet skulle kunna reduceras ytterligare så länge som sprickviddskravet uppfylls.
Simuleringarna har även omfattat undersökningar av hållfasthetens inverkan på sprickvidder. Resultaten visar att inga större skillnader i maximal sprickvidd finns vid olika betongklasser. Detta kan förklaras med att vid dimensionering av erforderligt armeringsinnehåll tas hänsyn till den rådande betongklassen för att tillgodose jämvikten mellan dragkraften i betongen precis innan uppsprickning samt dragkraften i armeringen. Det innebär att plattor med en högre hållfasthetsklass kräver en större mängd armering för att vara i jämvikt.
Axialkraften kan ses minska drastiskt efter uppsprickning, vilket tydligt visar att den axialkraft som orsakar initial sprickning inte är densamma som verkar på uppkomna sprickor. Hur sprickorna uppkommer är centralt för hur detta faktum kan utnyttjas vid dimensionering. Frågan är om armeringen kan dimensioneras för en lägre axialkraft än den maximala. Oavsett hur många sprickor som uppkommer så kommer sprickorna att ge en viss minskning av axialkraften. Dessa sprickors vidder och avstånd är då direkt relaterade till axialkraftens storlek, eftersom de representerar en minskning i den elastiska töjningen hos plattan. Om armeringen kan hålla tillbaka den axiella kraften vid den sprickvidd som tillåts bör bruksgränskraven kunna uppfyllas för en lägre axialkraft än den maximala. Då handlar det främst om att hitta ett förhållande mellan sprickvidd, sprickavstånd och axialkraft.
85
Men om armeringen är dimensionerad för att klara lägre krafter än vad ett osprucket snitt klarar bör inte fler än en spricka uppstå, vilket ger en single crack. De ospruckna snitten klarar uppenbarligen högre axialkrafter än de som uppkommer efter sprickning, då plattan har varit osprucken upp till maximal axialkraft. FE-analyserna visar att underarmering fortfarande ger sprickspridande effekt. Det kan förklaras med att flertalet sprickor bildas initialt varifrån antagandet om att sprickorna bildats en i taget i sin helhet är en kraftig förenkling av det verkliga förloppet. Dessutom ändras plattans form även i vertikalled efter uppsprickning. Tvärsnitt mellan sprickor bör därför inte jämföras direkt med tvärsnitt före uppsprickning, eftersom det uppstår en deformation som ger ett helt annat lastfall än det som fanns innan bildningen. Den axialkraft som krävs för fortsatt uppsprickning efter att plattan tillåtits deformera är väsentligt lägre än den som krävs för att den första sprickan ska uppstå, vilket beskrivs närmare i Bilaga 14. Spänningen i betongen beror då inte bara på axialkraften utan också på sprickavståndet, egentyngden, armeringens spräckande kraft där denna är tryckt samt kantresningen vid en osprucken sektions ändar.
Referensmodeller
Som beskrivits i avsnitt 5.2.5 kan elementstorleken inte minskas för mycket, utan att sprickbildningen blir orepresentativ för materialet. Problem uppstår då strukturer med smala tvärsnitt kräver mindre elementstorlekar för att uppnå konvergens. En avvägning måste då göras av vilken felkälla som är mest allvarlig. En konvergensanalys bör vara en del av en sådan bedömning. Konvergensanalys med icke-linjär FEA är dock svårare att tolka än linjärelastisk analys. Newton-Raphsons metod kan konvergera till olika lösningar för samma problem, vilket gör lösningarna svåra att jämföra. Om det analyserade fallets natur är instabil, kan små förändringar i modellen leda till att metoden konvergerar till en helt annan lösning. En parameter som påverkar vilken lösning som nås är just meshet. Andra fel införs genom approximationer i beräkningarna. Med en bättre konvergens i varje steg i Newton-Raphsons metod bör de olika lösningarna bli mer lika varandra. Sprickbildning så som den analyserade kan sägas vara ett instabilt fall. Eftersom tillväxt av sprickor sker lättare än nybildande av sprickor, anslås sprickbildningens form tidigt och kan bestämmas av mycket små förändringar i modellen. Dock kan konvergens ändå uppnås, vilket visats i studien av Björnberg och Johansson [3]. I analysen de utförde av en 300 mm hög platta användes då 16 element i tvärsnittets höjd men krympningen varierades ej över tvärsnittet, vilket medförde att uppsprickningen startade från en imperfektion i modellens mitt och spreds mot kanterna. Men i denna studie då krympningen varierar över tvärsnittet införs ett böjande moment som orsakar sprickbildning vilken ej är begränsad till imperfektionens närhet. Det är möjligt att detta fall är mindre stabilt och har svårare att konvergera. Sprickbildning i verkliga plattor bör ske på samma instabila sätt – mikrosprickor som bildas under härdningen anslår var större sprickor bildas. Detta innebär inte nödvändigtvis att modellerna är en bättre beskrivning av verkligheten tack vare detta, utan snarare att både verkligheten och modellerna har en inbyggd osäkerhet. Eventuellt kan små förändringar i modellen ge en anvisning om vilka lösningar som Newton-Raphsons metod kan nå. Modellen av den 120 mm höga plattan med 8 element i tvärsnittets höjd är här intressant eftersom endast fyra sprickor bildas för detta fall, och sprickvidderna är större än för någon annan modell av plattan. Sprickbildningen är dessutom symmetrisk och konsekvent. Det är därför tänkbart att detta därför representerar ett “värsta
86
fall”. I en verklig betongplatta bör inhomogeniteten i betongen, variationer hos underlaget och inverkan av tillfälliga laster motverka en sådan perfekt sprickbildning.
Då modellängden fördubblas kan en ökad sprickspridning observeras. Ett liknande samband har observerats under modellering av balkar med jämn krympning, då nybildandet av sprickor skedde lättare i en längre modell [3]. För en ännu längre modell bör denna effekt öka samtidigt som modellen blir mer representativ för en verklig betongplatta. Då längden varieras mellan fyra och fem och en halv meter visas också en variation i sprickvidder. En liten ändring av plattlängd verkar kunna påverka sprickbildning i nästan lika hög grad som en fördubbling av längden. Skillnaden i sprickbildning beror sannolikt mer på att modellerna skiljer sig åt och därför konvergerar till olika lösningar än effekten av en fördubblad modellängd. Detta resultat påvisar då också en osäkerhet i modelleringen. Det kan också bero på att randvillkorens inverkan på resultatet är relativt stor. Fördubblingen av modellängden tyder på att sprickvidderna bör nedjusteras, samtidigt som variationen de kortare modellerna emellan visar en osäkerhet i modelleringen. Den variationen omfattar ca 0,05-0,1 mm i sprickvidd, och den ungefärliga skillnaden mellan den längre modellen och genomsnittet av de kortare modellerna omfattar upp till 0,1 mm i sprickvidd, beroende på krympningens storlek. Att anta att dessa två effekter ungefärligen tar ut varandra är inte en orimlig approximation i jämförelse med andra osäkerheter i resultaten.
I jämförelsen mellan den tredelat linjära och den linjära krympgradienten fås en mycket god överensstämmelse mellan töjning i armeringen. Sprickvidderna blir dock något större då den tredelat linjära krympgradienten används. Detta kan troligen förklaras med att krympningen är mer koncentrerad runt den övre armeringsnivån där sprickvidderna mäts. Att krympningen är mycket högre i överkant skulle rimligen kunna leda till att nya sprickor bildas lättare, vilket bör minska risken för en single crack.
Randvillkors inverkan på sprickbildning
7.3
Underlag
Ett mjukare underlag ger generellt sett upphov till större sprickvidder. Modellerna visar dock ett inte helt tydligt samband, och sett till de olika mjukare underlagen är variationen mer sporadisk. Detta kan eventuellt bero på brist i precision hos analys-metoden. Underlagets inverkan är större då högre betongklass används vilket kan förklaras med att plattan då är förhållandevis styvare jämfört med underlaget. Då högre elasticitetsmodul används, till exempel korttidselasticitetsmodulen, bör inverkan av under-lagets styvhet vara ännu större. Att mjukare underlag ger större sprickvidder kan förklaras av att det moment som bildas i plattan av egentyngd och reaktion från jorden hjälper till att skapa sprickor med visst sprickavstånd. Fördelningen av trycket mot underlaget är beroende av hur plattan deformerar och av hur styvt underlaget är. Ett styvare underlag ger mindre deformationer och mer koncentrerad spänning. Det teoretiska sambandet som presenteras i Bilaga 14 kan användas för att uppskatta denna effekt samt effekten av axialkraft. Då axialkraften vid uppsprickning i FE-analyserna uppgår till 350 kN för den 200 mm höga plattan och betongklassen är C30/37, ger avläsning i Figur 6.31 ett sprickavstånd på drygt två meter då överkantsspänning ska
87
uppnå draghållfastheten. Överensstämmelsen med sprickavstånden i analyserna är därmed ej perfekt eftersom de i regel är under två meter. En ökning av sprickvidden kan förvänts då underlagen har normal styvhet, i förhållande till modellerna med oeftergivligt underlag. Denna ökning kan approximativt sägas vara från 0,1 mm vid 0,3 ‰ överkants-krympning till 0,3 mm vid 1,0 ‰ överkantskrympning. Ingen tydlig gränsdragning kan göras mellan modellerna med mjukare underlag då resultaten inte är entydiga.
Stödförskjutning
Uppsprickningen sker vid en större krympning då stödet kan förskjutas. Kan stödet förskjutas med så mycket som 50 % av medelkrympningen, spricker plattan avsevärt mycket senare. Underkanten av plattan blir då tryckt, vilket gör att underkantsarmering ej bidrar till den sprickfördelande funktionen. När plattan väl spricker går dock sprickvidderna upp till nästan lika höga värden, vilka skulle uppnåtts vid samma krympning med ett fast stöd. Stödför- skjutningens storlek är i denna analys beroende av plattlängden vilket medför att den totala stödförskjutningen (100 %) är hela 3 mm för denna fem meter långa platta. Ska 50 % av stödförskjutningen uppnås för en 100 m lång platta med samma egenskaper, krävs därmed 30 mm stödförskjutning. Detta är inte alltid rimligt. Dessutom är inverkan av friktionen mot underlaget ej försumbar för längre plattor. Resultaten bör därför främst appliceras på korta plattor.
En rimlig stödförskjutning bör ej överstiga den som skulle uppstå om kanten var fri. Inte heller bör en axiell tryckkraft uppstå i plattan då den krymper i ett verkligt fall. Att tryckkrafter ändå uppstår i modellerna kan bero på att plattan inte kan krympa hela medelkrympningens storlek. Förskjuts stödet motsvarande medelkrympningen kommer fortfarande övre halvan av tvärsnittet vara i drag, vilket innebär att sprickor ändå uppstår. Då sprickor uppstår i tvärsnittets övre kant “försvinner” en del av krympningen och medel- krympningen minskar. Stödförskjutningens storlek i modellerna tar inte hänsyn till denna minskning, vilket innebär att stöden förskjuts mer än vad de bör. Den modell där stödför- skjutningen är hela det värde som baseras på genomsnittskrympningen bör därför ej ses som ett verkligt fall. Ej heller bör fallet då 75 % av denna stödförskjutning används ses som verkligt för den del då axialkraften är negativ, dvs. i tryck. Skulle rotationen i stödet vara begränsad men förskjutningen stor, kan dock de sprickvidder som uppstår för det 75 % förskjutna stödet stämma. Sprickvidderna blir då lägre än om kanten var fri, tack vare att det böjande momentet minskar i takt med uppsprickningen, vilket medför att sprickorna ej koncentreras till en viss punkt, se Figur 6.41. Då kanten är fri beror momentet inte i lika hög grad av uppsprickningen. Då sprickor bildas minskar det böjande momentet i närheten av sprickan, vilket ger en avlastning. I modellen med fri kant minskar dock inte momentet av den fria kantens uppböjning, vilket gör att sprickorna närmast kanten blir förhållandevis stora trots avsaknad av axiell kraft. Vid gradientkrympning finns alltså ett böjande moment som inte kan elimineras genom stödförskjutning.
88
Sprickutveckling
7.4
De undersökningar som har utförts av sprickutvecklingen i en betongplatta belastad med en yttre last respektive inre last påvisar skillnader som kan kopplas till lastens beroende respektive oberoende av uppsprickningen. Den främsta skillnaden är i hur sprickutvecklingen initieras och sedan fortgår. I de fall som analyserats med en yttre last sker sprickbildningen på det ställe där momentet blir tillräckligt stort för att dragspänningar större än draghållfastheten ska uppstå, vilket är i mitten där maximala momentet uppkommer. Då momentets tillväxt är oberoende av uppsprickningen, sker en stabil sprickbildning där ytterligare sprickor breder ut sig med momentets tillväxt. Detta tydliggör lastens oberoende av uppsprickningen då nya sprickor fortsätter att initieras. Med den stegvis ökade lasten växer momentet utmed plattan och de existerande sprickorna blir större samtidigt som nya sprickor bildas mot dess kanter. Fördelningen av sprickvidderna utmed plattan kan då liknas med momentets storlek utmed plattan, se Figur 6.42-6.45.
Till skillnad mot sprickinitieringen vid yttre last, är tillväxten av dragspänningarna i betongen vid inre last beroende av sprickbildningen. Här bildas de första sprickorna utmed hela plattkanten och inte på ett koncentrerat ställe. Då krympningen sedan stegvis ökar bildas sprickor med jämn storlek utmed hela plattans längd, se Figur 6.46. Lastens beroende uppmärksammas i och med att sprickbildningen stillas efter att de första sprickorna uppstått då spänningarna i betongen sjunkit. För att ytterligare sprickor ska uppstå krävs en sådan stor ökning av krympningen att spänningarna i betongen mellan sprickorna igen stiger till betongens draghållfasthet. Det bör noteras att medvetenhet om vilken typ av last som orsakar en uppsprickning är viktig vid t.ex. beräknande av sprickvidder. Den stabila sprickutveckling som sker med yttre last ger ett statiskt bestämt fall, vilket normer primärt avser. Dock är sprickutvecklingen vid inre laster beroende av uppsprickningen, vilket ger sprickbildning med ett minskat tvång. Detta fall är därmed statiskt obestämt och att beräkna det tvång som råder är komplicerat, vilket även innebär att det är komplicerat att beräkna de sprickvidder som uppkommit och de armeringshalter som krävs för det gällande tvånget.
Analytisk beräkning av sprickvidder
7.5
Jämförelse mellan huvuddokumentet Eurokod 2 och tyska nationella bilagan
Resultaten av de analytiska beräkningarna visar att beräkningsmetoden enligt Eurokod 2 ger större sprickvidder än den beräknad med tyska nationella bilagan. Skillnaden dem emellan är som minst för den enkelarmerade 120 mm höga plattan och den dubbelarmerade 300 mm höga plattan. De sprickvidder som beräknats för de 160 mm och 200 mm höga plattorna uppvisar däremot större olikheter. Dessa kan förklaras med skillnaderna i beräkningsmetodik för sprickavståndet. De två definitionerna baseras på olika parametrar där uttrycket i den tyska nationella bilagan har förenklats till att endast bero på förhållandet mellan armerings- spänningen, armeringsdiametern samt betongens draghållfasthet.
89
Jämförelse mellan analytisk beräkning och numeriska simuleringar
Vid jämförelse av de sprickbredder som beräknats analytiskt samt de sprickvidder som erhållits från de numeriska simuleringarna i Atena finns stora olikheter. Den sprickbredds- beräkning som använts gör ingen skillnad på om medeltöjningen i en sektion uppstått på grund av yttre eller inre last, vilket kan innebära att Ekv. (3.21) inte är representativ för de undersökta plattorna. Valet av är då kritiskt för storleken på medeltöjningen. Då fallet är statiskt obestämt kan det faktiska värdet inte direkt beräknas, vilket hör samman med att storleken på tvärsnittskrafterna är beroende av uppsprickningen i ett krympningsfall. En möjlig orsak till olikheterna mellan de analytiskt beräknade sprickvidderna och de som erhållits från Atena kan vara att de senare ges vid en krympning om 1 ‰. Vad denna krympning motsvarar i relation till de analytiskt beräknade är oklart. Önskvärt hade varit om ett samband mellan de analytiska sprickvidderna och krympningen kunde visas.
Felkällor
7.6
Sprickbildningen i betong påverkas av ett flertal faktorer som den utförda studien inte tar hänsyn till. Det erhållna resultatet påverkas dessutom av beräkningsfel och förenklingar. Nedan följer ett antal faktorer som ej beaktats i de utförda analyserna.
Den utförda studien tar inte hänsyn till mikrosprickor som bildats på grund av plastisk krympning. Att införa sådana sprickor är ej möjligt i Atena, så plattorna i pre-processorn har modellerats som helt ospruckna. Detta bör innebära att plattorna i verkligheten ej är ospruckna upp till den krympning som resultaten anger. Den plötsliga ökningen i sprickvidd som har visats, i regel vid 0,3 ‰ krympning i överkant, kan vara missvisande då sprickor bör ha uppstått redan vid lägre krympning. Betongens hållfasthet och krympningens storlek är båda tidsberoende, vilket innebär att det värsta fallet inte nödvändigtvis är långtidsfallet. Den betongklass som levereras är ofta högre än den som beställts, om beställaren inte uttryckligen angett annat. Detta kan medföra att armeringsmängden är otillräcklig, eftersom