Då plattan krymper uppstår en dragande axialkraft. Vid ett visst värde på krympningen spricker plattan och axialtvånget minskar drastiskt, vilket kan ses i Figur 6.16 och Bilaga 11. Den axialkraft som plattan når upp till innan sprickning visar sig i analyserna vara upp till 1,08 gånger högre än den som förväntas i och med den spänningsfördelning som legat till grund för armeringsdimensioneringen. Axialkraften efter uppsprickning är i stort sett konstant eller ökar litet då krympningen ökar ytterligare.
Den maximala axialkraften är 1,8 till 3,6 gånger högre än genomsnittet av axialkraften efter uppsprickning. För de dubbelarmerade plattorna kan förhållandet ses öka, då platthöjden ökar. Axialkraften efter uppsprickning är mindre för mindre armeringsmängder.
Figur 6.16 Axialkraft vid platthöjd 200 mm och betongklass C30/37.
6.2.4 Referensmodeller
Meshkonvergens
Konvergensanalysen visar inte någon tendens till konvergens. Snarare medför en minskad storlek på elementen en divergens i resultatet, vilket kan ses i Figur 6.17 och 6.18 där varje dataserie representerar antal element i plattans höjd och den motsvarande storleken på dessa element så som de definierats i Atena.
Skillnaden i sprickvidd mellan modeller minskar ej då elementen minskas. För den 120 mm höga plattan kan en ökning av skillnad i sprickvidd ses, då elementstorleken minskas. I båda modellerna uppnås den minsta sprickvidden då element med storlek 12 mm används, och en betydligt större för element med storlek 16 mm.
64
Figur 6.17 Sprickvidder vid olika mesh, höjd 120 mm och hållfasthetsklass C30/37.
Figur 6.18 Sprickvidder vid olika mesh, höjd 200 mm och hållfasthetsklass C30/37.
I den 120 mm höga plattan har två modeller fyra element över platthöjden. Sprickvidderna för dessa två modeller överensstämmer väl, men är ej identiska. Figur 6.19 och 6.20 visar sprickmönster och deformerad form för 0,5 ‰ överkantskrympning, där deformationerna förstorats med en faktor 50. Tendens till stora sprickor i modellens kant ökar med större elementstorlek. För mindre elementstorlekar bildas också sprickor nära kanten, men dessa är då inte störst. I modellen med endast två element i platthöjden bildas sprickorna uteslutande vid plattans kant vid detta värde på överkantskrympning, vilket motsvarar “puckeln" på grafen över sprickvidder i Figur 6.17. Antalet bildade sprickor av “medelstorlek" liksom sprick-avstånden varierar beroende på elementstorlek. Speciellt den 120 mm höga plattan uppvisar stora skillnader i antalet bildade sprickor.
65 10 8 6 4 4 2
Figur 6.19 Sprickmönster och deformation av 120 mm hög platta med antal element i platthöjden: 10, 8, 6, 4, 4, 2. 18 12 10 8 6 4
Figur 6.20 Sprickmönster och deformation av 200 mm hög platta med antal element i platthöjden: 18, 12, 10, 8, 6, 4.
Inverkan av modellängd
En analys har utförts för att undersöka modellängdens inverkan på sprickbildningen. Den största skillnaden i sprickvidd mellan två modeller är i storleksordningen 0,14 mm, se Figur 6.21. Då storleken på krympningen ökar, ökar också inverkan av modellängden, vilket kan ses i Figur 6.21. I jämförelse mellan den fem meter långa grundmodellen och den tio meter långa modellen erhölls mycket lika sprickvidder upp till 0,6 ‰ krympning i överkant. För högre värden på krympningen gav den längre modellen upp till 0,12 mm lägre sprickvidder än grundmodellen. Största sprickvidd varierar ej linjärt med plattlängd, då längden ändras litet. Av de undersökta längderna utmärker sig den 4,5 m långa modellen, som ger högst värden på sprickvidder vid 0,5-0,9 ‰ krympning i överkant. För detta intervall ger denna modell konsekvent ca 0,06 mm högre värden på sprickvidder, jämfört med både den fem och den fyra meter långa modellen.
Axialkraften per meter platta, för den fem meter och den tio meter långa plattan kan ses i Figur 6.22. Sprickbildningen för samma plattor vid 0,5 ‰ och 1,0 ‰ krympning i överkant
66
kan ses i Figur 6.23. Axialkraften är lägre vid stor krympning för den längre plattan. I den längre plattan bildas fler sprickor då krympningen ökar medan den kortare plattan inte visar någon tendens till bildande av fler sprickor då krympningen ökar, se Figur 6.23. För 0,5 ‰ krympning i överkant, vilket representeras av Figur 6.24, är sprickvidden minst för 5,5 m platta och näst lägst för 5 m.
Figur 6.21 Sprickvidder vid olika plattlängd, höjd 120 mm och hållfasthetsklass C30/37.
67
0,5 ‰ 1,0 ‰ 0,5 ‰ 1,0 ‰
Figur 6.23 Sprickmönster för 10 m samt 5 m lång platta vid 0,5 ‰ och 1 ‰ krympning i överkant. Platthöjd 200 mm, hållfasthetsklass C30/37 och armering enligt EC 7.3.2(1) balanserad. 4 m 4,5 m 5 m 5,2 m 5,5 m 10 m
Figur 6.24 Sprickmönster för olika plattlängder vid överkantskrympning 0,5 ‰. Platthöjd 200 mm, hållfasthetsklass C30/37 och armering enligt EC 7.3.2(1) balanserad.
Approximation krympgradient
För att undersöka om den linjära approximationen av krympgradienten är god har den jämförts med en krympgradient som ligger nära den ickelinjära krympgradienten. Tre genomgående sprickor uppstår i varje modell, men ej på samma ställen, se Figur 6.25 och 6.26. Sprickvidderna vid övre armeringsnivån för modellen med tredelat linjär gradient är något större, se Tabell 6.2.
Den tredelade krympgradienten visar större benägenhet till sprickor längs med överkant, precis innan en genomgående spricka bildas. En jämförelse mellan modellerna visar att efter att den första genomgående sprickan bildats är sprickorna i överkant av likartad storlek och spridning. Den största töjningen i armeringen överensstämmer mycket väl med 1,196 ‰ för modellen med tredelat linjär krympgradient och 1,197 ‰ för modellen med linjär krymp- gradient vid medelkrympning 0,264 ‰. I Figur 6.27 och 6.28 kan diagram över armerings- töjningen ses.
Figur 6.25 Sprickmönster, tredelat linjär krympgradient, medelkrympning 0,264 ‰. Platthöjd 400 mm, hållfasthetsklass motsvarande karaktäristisk tryckhållfasthet om 54 MPa och
68
Figur 6.26 Sprickmönster, linjär krympgradient, medelkrympning 0,264 ‰. Platthöjd 400 mm, hållfasthetsklass motsvarande karaktäristisk tryckhållfasthet om 54 MPa och
armeringsinnehåll enligt [2].
Tabell 6.2 Sprickvidder vid övre armeringsnivå.
Modell
Tredelat linjär krympgradient Linjär krympgradient
Sprickvidd vid övre armeringsnivå, genom- gående sprickor [mm]
0,271 0,265 0,218 0,245 0,229 0,226
Figur 6.27 Töjning i armering, tredelat linjär krympgradient, medelkrympning 0,264 ‰.
Figur 6.28 Töjning i armering, linjär krympgradient, medelkrympning 0,264 ‰.
Randvillkors inverkan på sprickbildning
6.3
En kompletterande studie har utförts där numeriska simuleringar behandlat underlagets och tvångets inverkan på sprickbildningen i plattorna. Resultatet från underlagets inverkan har analyserats utifrån uppkomna sprickvidder och kantresning. Inverkan av tvångets storlek har analyserats utifrån uppkomna sprickvidder och axialkrafter vid ett antal olika stöd- förskjutningar.
69
6.3.1 Underlag
Fem olika variationer av underlagets styvhet har undersökts, genom en variation av under- lagets fjäderkonstant, K. Då fjäderkonstanten ges värdet 40 GPa/m kan underlaget anses vara oeftergivligt. Fjäderkonstanter med värden 20 och 30 MPa/m kan anses representera normalstyva underlag vid grundläggning, medan 6 och 8 MPa/m bör ses som mjuka underlag, så som ett tjockt lager cellplast. I Figur 6.29 kan formen på underlagsreaktionen ses för 200 mm höga plattor vid 0.5 ‰ krympning i överkant. Plattorna består av betong av klass C30/37 och balanserad armering enligt EC 7.3.2(1). En teoretisk formel för spänningen i en osprucken betongsektion som innefattar underlagets styvhet redovisas i Bilaga 14. Detta samband ger dock betydligt större sprickavstånd än vad som observerats i FE-analyserna. I Figur 6.30 visas det teoretiska sambandet mellan överkantsspänning och sprickavstånd för det fall då kontaktlängden mellan jord och platta är lika med sprickavståndet, vilket ungefärligen motsvarar modeller med fjäderkonstanten 30 MPa/m. I Figur 6.31 visas motsvarande samband för ett oeftergivligt underlag.
K=6 MPa/m K=8 MPa/m K=20 MPa/m K=30 MPa/m K=40 GPa/m
Figur 6.29 Underlagsreaktionens form för olika fjäderkonstanter. 200 mm, 0.5 ‰ ök- krympning, balanserad armering mot spänning, C30/37.
70
Figur 6. 30 Teoretiskt samband mellan sprickavstånd och spänning i betongens överkant mitt emellan sprickor vid 0,3 ‰ överkantskrympning. Underlagsreaktionen motsvarar ungefärligen en fjäderkonstant av 30 MPa/m. Platthöjd 200 mm och betongklass C30/37.
Figur 6. 31 Teoretiskt samband mellan sprickavstånd och spänning i betongens överkant mitt emellan sprickor vid 0,3 ‰ överkantskrympning. Underlagsreaktionen motsvarar ungefärligen ett oeftergivligt underlag. Platthöjd 200 mm och betongklass C30/37.
71 Sprickvidder
Sprickvidder för de fyra olika platthöjderna för betongklass C30/37 kan ses i Figur 6.32-6.35. För den 200 mm höga plattan undersöktes även betongklass C20/25 och C40/50, vars sprickvidder presenteras i Figur 6.36 respektive 6.37. Sprickvidderna blir generellt sett mindre med ett styvare underlag. Sprickvidder i den 160 mm höga plattan är mindre påverkad av variation av underlagets styvhet, där den största skillnaden i sprickvidd uppgick till ca 0,1 mm. För de undersökta underlagen, ger en högre betongklass större spridning av sprickvidder, vilket kan ses då Figur 6.34, 6.36 och 6.37 jämförs. Skillnaden ökar i takt med att krympningen ökar. För betongklass C20/25 är den största skillnaden i sprickvidd ca 0,2 mm. För betongklass C40/50 är den största skillnaden i sprickvidd ca 0,3 mm. De lägsta sprickvidderna uppnås i modeller med det mycket styva underlaget.
Figur 6.32 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 120 mm.
Figur 6.33 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 160 mm.
72
Figur 6.34 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 200 mm.
Figur 6.35 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C30/37 och platthöjden 300 mm.
Figur 6.36 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C20/25 och platthöjden 200 mm.
73
Figur 6.37 Sprickvidder vid olika underlag (K-värden). Armeringen dimensionerad enligt EC 7.3.2(1) balanserad, hållfasthetsklass C40/50 och platthöjden 200 mm.
Kantresning
Kantresning för plattor av betongklass C30/37 kan ses i Figur 6.38. I figuren redovisas kantresning av de fyra platthöjderna för underlag med fjäderkonstant 40 GPa/m och 6 MPa/m. Kantresningen är högre då underlaget är mjukare, speciellt direkt efter upp-sprickning. Den enkelarmerade plattan utmärker sig med en högre kantresning än de dubbel-armerade, både då underlaget är mjukt och då det är hårdare.
74
6.3.2 Stödförskjutning i horisontalled av ändupplag
I Figur 6.39 visas sprickvidder mot krympning i plattans överkant vid stödförskjutning av ändupplag. Vid större förskjutning av stödet sker uppsprickningen senare, vid en större krympning. Vid 75 % och 100 % förskjutning blir sprickvidderna lägre än sprickvidderna för modellen av en fri kant. I Figur 6.40 visas axialkraft i plattan per meter bredd, mot för- skjutningen av stödet. Vid en mindre förskjutning uppnås en större axialkraft. Vid 75 % och 100 % förskjutning uppstår tryckkrafter i plattan. I Figur 6.41 kan skillnader i sprickning ses mellan modellerna med fri kant och stöd-förskjutning. Finns ingen fri kant så bildas sprickor längs hela modellen. I figuren visas även momentdiagrammet för plattorna, för att visa hur momentet ändras vid uppsprickning, där ett moment som ritas ovanför plattans underkant ger dragning i plattans överkant.
Figur 6.39 Sprickvidder vid olika stödförsskjutning. Platthöjd 200 mm och betongklass C30/37.
75
Fri kant
75 %
100%
Figur 6.41 Deformerade plattor överlagda med momentdiagram vid olika krympning. Överst: fri kant. Mitt: 75 % av stödförskjutning. Underst: 100 % av stödförskjutning. För varje modell är den övre bilden precis efter uppsprickning och den undre vid 1 ‰ krympning i överkant. Deformationen är 50 gånger förstorad.
Sprickutveckling
6.4
Undersökningar över sprickutveckling vid yttre last respektive inre last har gjorts för att påvisa skillnaden mellan sprickor som uppkommer till följd av yttre och inre belastning. Resultaten redovisar de sprickvidder och den fördelning av sprickor som uppkommit i respektive fall samt en stegvis utveckling av sprickornas uppkomst.
6.4.1 Sprickutveckling vid yttre last
En undersökning av sprickutvecklingen har utförts med programmen Atena och WIN-Statik. Analyserna har omfattat fyra fall, där fall 1 och 2 inneburit en yttre belastning motsvarande två gånger betongens draghållfasthet samt där fall 3 och 4 inneburit en yttre belastning motsvarande fem gånger draghållfastheten. Analyserna visade de uppkomna sprickvidderna och läget på dessa utefter plattan. Resultatet för sprickvidderna i fall 1-4 visas i Figur 6.42- 6.45.
76
Figur 6.42 Fall 1, sprickvidder i Atena och WIN-Statik. Betongklass C40/50, last motsvarande och armeringsdiameter 10 mm.
Figur 6.43 Fall 2, sprickvidder i Atena och WIN-Statik. Betongklass C40/50, last motsvarande och armeringsdiameter 12 mm.
Figur 6.44 Fall 3, sprickvidder i Atena och WIN-Statik. Betongklass C40/50, last motsvarande och armeringsdiameter 12 mm.
77
Figur 6.45 Fall 4, sprickvidder i Atena och WIN-Statik. Betongklass C40/50, last motsvarande och armeringsdiameter 16 mm.
Resultatet tyder på att fördelningen av sprickor i plattan är centrerad till mitten där de största sprickorna uppstår. Ytterligare sprickor är sedan fördelade med avtagande storlek ut mot plattans ändar. I Figur 6.42-6.45 visas ett polynom för varje sprickserie som påvisar detta samband. Denna kurva kan liknas med kurvan över momentfördelningen utmed plattan då den modelleras som en fritt upplagd balk med en utbredd last. En stegvis utveckling av sprickorna i plattan visas i Figur 6.46 där sprickinitieringen tydligt ses i kanten på plattans mitt. Då lasten ökas efter ytterligare analyssteg växer vidderna av de bildade sprickorna samtidigt som nya sprickor bildas utmed plattkanten. Figur 6.47 visar att den största sprickan i plattan fortsätter att växa även då nya sprickor bildas.
a)
b)
c) d)
Figur 6.46 Fall 3, sprickutveckling vid yttre utbredd last motsvarande efter 100 steg.
78
Figur 6.47 Fall 3, maximal sprickvidd samt total sprickvidd på övre armeringsnivå.