Den sprickfördelande armeringen som behövs i en platta där hela tvärsnittet är draget kan dimensioneras utifrån den spänningsfördelning som råder enligt Eurokod 2, avsnitt 7.3.2, paragraf 1. Som beskrivs i avsnitt 3.4.2 har en spänningsgradient definierats utifrån ett tidigare examensarbete skrivet på WSP [2]. Spänningsgradienten är framtagen för de fall då krympning sker med en gradient. Den spänningsfördelning som uppkommer kan ses i Figur 3.3 där faktorn α beskriver förhållandet mellan spänningen i överkant och underkant.
Den erforderliga mängden armering i varje armeringslager kan beräknas utifrån den dimensionerande armeringskraft som verkar i övre och undre armeringslagret, och , samt armeringens sträckgräns, . Minimiarmeringen i överkant, beräknas med Ekv.
(3.24) och minimiarmeringen i underkant, beräknas med Ekv. (3.25).
(3.24)
34
De dimensionerande armeringskrafterna beräknas genom att balansera dessa mot spänningens storlek och fördelning. Metoden för beräkning är att se spänningsfördelningen som en utbredd last på två stöd som representerar de dimensionerande armeringskrafterna ses i Figur 3.4. De okända armeringskrafterna kan sedan lösas ut ifrån en uppställd momentjämvikt i underkant av plattan enligt Ekv. (3.26) samt kraftjämvikt i systemet enligt Ekv. (3.27). Täckskiktens storlek inklusive halva armeringsdiametern för över- och underkant betecknas med
respektive .
Figur 3.4 Spänningsgradient vid gradientkrympning och fullt axialtvång av platta på mark.
(3.26)
35
Analysmetoder
4
Finita elementmetoden
4.1
Finit elementanalys (FEA), också kallad finita elementmetoden (FEM) är en numerisk metod för att lösa fältproblem [29], d.v.s. ett problem där en viss kvantitets spatiala variation ska bestämmas. En sådan kvantitet kan till exempel vara temperatur eller spänning. Ett fältproblem beskrivs matematiskt med antingen differentialekvationer eller ett integraluttryck. Den geometriska strukturen i ett FEA-problem delas upp i element, och inom varje element tillåts fältkvantiteterna variera enligt enkla funktioner. Den verkliga spatiala variationen är generellt sett mer komplicerad än vad dessa funktioner kan beskriva, så FEA ger en approximativ lösning. Genom att dela in strukturen i fler element, alltså att minska storleken på varje element, nås en lösning där varje elements funktion bättre beskriver den verkliga. Detta brukar kallas för meshkonvergens. Elementen i en struktur sitter ihop i gemensamma noder, arrangerade i ett s.k. mesh. Numeriskt så representeras ett FE-mesh av algebraiska ekvationer som löses för okända fältkvantiteter vid noderna. Metoden kan användas för att analysera strukturer för vilka analytiska uttryck är svåra att formulera. Olika komponenter med olika beteende kan kombineras och materialparametrar kan variera mellan element [29].
Ickelinjär FEM
4.2
Inom strukturmekanik finns huvudsakligen tre typer av ickelinjäritet: geometrisk, materiell och kontaktickelinjäritet. Geometrisk ickelinjäritet uppstår då deformationerna blir så stora att jämviktsekvationerna bör skrivas om för att representera den deformerade formen, så som knäckningsfallet för en slank pelare i Figur 4.1 a). Exempel på materiell ickelinjäritet är ståls beteende då flytgränsen nås, och krypning i betong. I Figur 4.1 b) visas en typisk form för en arbetskurva för stål, där beteendet är ickelinjärt då flytspänningen överskrids. Kontakt- ickelinjäritet uppstår till exempel då öppningar sluts eller öppnas, så som exemplifieras i Figur 4.1 c) med ett block fäst i en fjäder. I dessa ickelinjära problem blir en strukturs styvhet, och ibland även last, en funktion av deformationen. Det innebär att de utgångspunkter som normalt skulle ge lösningen inte uppfyller jämvikten, utan en iterativ process måste användas. Ickelinjäritet innebär också att principen om lastsuperpositionering inte är applicerbar [29].
36
Figur 4.1 Exempel på typer av icke-linjäritet.
Newton-Raphsons metod
4.3
Newton-Raphsons metod är en numerisk metod som ofta används för att hitta en rot till ett polynom. Newton-Raphsons metod är även den vanligaste iterativa metoden för att uppnå jämvikt i ett laststeg, se Figur 4.2. I ett laststeg kan en ickelinjär ekvation formuleras för strukturens beteende, där strukturens styvhet och interna krafter baseras på deformationen i föregående iteration.
Newton-Raphsons metod lämpar sig väl för att finna ett maximum på en arbetskurva, men kan inte beskriva s.k. “snap-back”-beteende, analogt med en nedåt- och bakåtgående arbetskurva. För detta kan Arc-length metoden användas, där iterativa ökningar av last och deformation inom varje nytt laststeg justeras till att ligga inom en cirkel med centrum i utgångspunkten [29].
37
Atena 2D
4.4
Atena 2D är ett finit elementprogram specialiserat på betongmodellering. Det är utvecklat av tjeckiska Červenka Consulting. För att modellera betong i Atena används grundläggande materialmodellen SBETA. I materialmodellen används ett “utsmetat” (även kallat smeared) angreppssätt för materialegenskaper definierade för en punkt [30]. Materialmodellen inkluderar bland annat uppsprickning av dragen betong baserat på ickelinjär brottmekanik, ickelinjärt beteende i kompression, reducering av tryckhållfasthet efter uppsprickning och två sprickmodeller; roterad och fixerad sprickriktning.
De två sprickmodellerna hanterar ortotropin i sprucken betong olika. När betong spricker är den ej längre isotrop, eftersom styvheten längs med en spricka är större än styvheten tvärs en spricka. I den fixerade sprickriktningsmodellen bestäms sprickans riktning av huvud- spänningsriktningen vid spricktillfället, och hålls konstant vid följande pålastning. Sprickans riktning representerar då ortotropins huvudaxel. I den roterade sprickmodellen roterar sprickorna med töjningens huvudaxlar. Töjningens huvudaxlar sammanfaller då med spänningens huvudaxlar, så ingen skjuvtöjning uppstår på sprickplanet. Oavsett vilken sprickmodell som väljs är de beräknade sprickvidderna ungefärliga [31]. Då betong modelleras kan inte elementstorleken minskar så mycket, att den största ballasten ej får plats inom ett element [31]. Detta beror på att sprickningen sker mellan ballastkorn, och sådana små element skulle ge en orepresentativ sprickning i materialet. Två armeringsmodeller finns; diskret och utsmetad armering. Den diskreta armeringstypen modelleras med stångelement. Båda formerna av armering modelleras i enaxiell spänning och kan ges bl.a. linjära, bilinjära eller multilinjära arbetskurvor. Armeringens bindning till betongen är en egen materialtyp, och kan baseras på CEB-FIP 1990 Model Code, Bigajs bindningslag eller definieras av användaren [30].
WIN-Statik
4.5
WIN-Statik är ett program som hanterar vanligt förekommande konstruktionsproblem. Dimensionering kan utföras av pelare, balkar, sektioner, ramar och förspända element vilka bygger på statiska analyser enligt Eurokod 1992:1-1-2004. I dess betongbalksmodul baseras dimensioneringen av det erforderliga armeringsinnehållet på analytiskt beräknade moment och skjuvande krafter som verkar i strukturen. I bruksgränstillstånd kan analyser utföras över spruckna sektioner utifrån, av användaren, fördefinierade deformationskrav. Sprickor och deformationer kan även beräknas utifrån armeringsinnehållet. [32]
39
Förutsättningar för analys
5
Studien av sprickbildningen i en krympande betongplatta på omfattar ett antal olika analyser. De plattor som undersökts har varierats med betongklass C20/25, C30/37 och C40/50 samt fyra olika plattjocklekar, 120 mm, 160 mm, 200 mm och 300 mm. Underlaget har antagits vara oeftergivligt och friktionsfritt. Dels har en undersökning gjorts över den erforderliga mängd sprickfördelande armering som krävs enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 samt enligt huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan. Armeringsinnehållet har beräknats med fem olika metoder där storleken på de erforderliga armeringsmängderna jämförts. Tre av dessa armeringsinnehåll har sedan ingått i en numerisk simulering i programmet Atena, för att förklara sprickbildningen i plattor på mark. En kompletterande studie har även utförts där numeriska simuleringar behandlat underlagets och tvångets inverkan på sprickbildningen. Då arbetet även syftar till att påvisa skillnaden mellan sprickor som uppkommer till följd av krympning respektive belastning i form av yttre last har en studie över plattornas sprick- beteende genomförts. Jämförelsen har gjorts mellan de resultat som erhållits vid analytiska beräkningar av belastningssprickor enligt Eurokod 2 samt numeriska simuleringar av en platta utsatt för krympning i Atena. Studien har även omfattat analytiska beräkningar av sprickvidder som beräknats enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 samt enligt huvud- dokumentet och den tyska nationella bilagan. Jämförelser har sedan gjorts över de sprick- vidder som de olika tolkningarna i Eurokod 2 ger. De analytiskt beräknade sprickvidderna har även jämförts med de maximala sprickvidder som erhållits i de numeriska simuleringarna för att se hur väl de normenliga uppskattade sprickvidderna stämmer med de som beräknats med FEM.
Erforderligt armeringsinnehåll enligt Eurokod 2
5.1
En undersökning av den erforderliga mängd sprickfördelande armering som krävs i en platta på mark utsatt för gradientkrympning har utförts för fem olika beräkningsalternativ. Då plattan är grundlagd på mark som ger 100 % RF är denna utsatt för en gradientkrympning. Hela tvärsnittet har antagits vara draget i samtliga beräkningsfall. Spänningsfördelningen som induceras av den med plattans höjd växande krympningen antas som den spänningsfördelning presenterad i avsnitt 3.4. Koefficienten α, som beskriver förhållandet mellan spänningen i överkant och underkant, baseras på Tabell 3.2 och antas vara 0,2 för samtliga fall. Beräkningarna har omfattat tre olika betongklasser, C20/25, C30/37 och C40/50 samt fyra olika plattjocklekar, 120 mm, 160 mm, 200 mm och 300 mm. Den lägsta plattjockleken förses med en armeringsnivå i mitten av plattan. Övriga plattor förses med två armeringshöjder, där täckskikten är 30 mm i överkant och 50 mm i underkant. Armeringens stångdiameter vid olika platthöjder redovisas i Tabell 5.1.
40
Tabell 5.1 Armeringsstångsdiameter vid olika plattjocklekar. Plattjocklek [mm] Armeringsstångsdiameter [mm] 120 10 - - 160 - 8 6 200 - 10 8 300 - 12 10 5.1.1 Enligt EC 7.3.2(2) SS-NA
Minsta armeringsinnehåll beräknat enligt Eurokod 2 avsnitt 7.3.2, paragraf 2, vilken är beskriven i denna rapport under avsnitt 3.5.5. Då krympningen i plattan sker med en gradient måste hänsyn tas till denna. Gradientkrympningen kan då skildras som en böjning med axialkrafter, detta innebär att den axialkraft som påverkar tvärsnittet, skall tas med i beräkningarna. Då gradientkrympning sker är hela tvärsnittet draget, vilket vid beräkning enligt Eurokod erhålls en total minimiarea för armeringen i tvärsnittet. De ingående parametrarna för de gradientkrympbelastade plattorna ses i Tabell 5.2.
Tabell 5.2 Indata kontrollmodeller.
Parameter Indata
med platthöjden och bredden m
500 MPa
Enligt Tabell 2.1
då mm
Enligt Ekv. (3.13)
Enligt spänningsfördelning avsnitt 3.4.2
Enligt Tabell 3.2
Enligt Ekv. (3.17)
41