Av de åtta brickor med olika former, som finns i det Geometriska kabinettet är det den tredje brickan uppifrån, efter cirklar och kvadrater, som innehåller trianglar. Arbetet med dessa trianglar kan beskrivas i fyra dimensioner av variat-ion, form och storlek, som främst är inbyggda i materielen samt jämförbarhet och ordning. Detta förenar dessa objekt till en gemensam form och är också en grund för etablerandet av invarians hos dem.
Övningarna med formerna i det Geometriska kabinettet påminner om övningarna med cylinderblocken. Trianglarna har en sfärisk knopp på ovansidan, som barnet skall hålla i precis som på cylindrarna. Varje form passar i ett hål med samma form, precis som cylindrarna. Skillnaden är att cylindrarna på ett konkret sätt skall visa den tredimensionella formen. Det avsedda lärandemålet i använd-ningen av det Geometriska kabinettet skall hjälpa barnet att utveckla förmågan att kunna tänka abstrakt. Övningarna utförs på samma sätt i varje bricka.
Montessoris syfte, det avsedda lärandemålet, med dessa trianglar är att, med syn- och känselsinnet, träna förmågan att urskilja variationerna i trianglarnas sidor och vinklar. Innan barnet gör övningarna med de olika formerna i det Geomet-riska kabinettet på egen hand visar läraren, med hjälp av en presentationsbricka med de geometriska grundformerna, cirkel, kvadrat och triangel, för att barnet skall få namn på dem och veta hur formerna skall hanteras.
Att förstå trianglarnas användning i det Geometriska kabinettet med hjälp av variationsteoretiska begrepp
Triangelformen har en central ställning i detta materiel och är det som avses att fokusera. Brickan innehåller sex trianglar, där både vinklar och kantlängder varie-rar. Trots att form (och färg) är konstant hos alla trianglar, innebär det ändå att formen ändrar karaktär, eftersom sidornas längd och därmed storleken varierar i varje triangel, en variation som erbjuder olika jämförelsemöjligheter mellan stor-lek och karaktär på triangelformen. Trianglarna är indelade i två grupper, tre av
dem är liksidiga, och tre är oliksidiga. I var och en av dessa grupper finns en tri-angel med rät vinkel, en med spetsig vinkel och en med trubbig vinkel.
Arbetet inom denna dimension av trianglar kan ses som ett etablerande av variation i en intern karaktär, det vill säga ett urskiljande av de sidolängder som finns inom en gemensam form – triangeln – samtidigt som den kan relateras till hålkaraktären av samma form.
Övningen handlar om att hitta både figur och hål. Detta innebär också att det, för att barnet skall kunna urskilja variationen mellan trianglarna och kunna jämföra storleksordningen, ligger i övningens kritiska aspekter att urskilja kantlinjen på alla trianglar. Det är framförallt jämförelserna mellan triangel och hål som är aktuella.
Uppgifterna med de olika trianglarna, som går ut på att ordna dem i sina respektive hål, fokuserar en variation av jämförbarhet. Dessa trianglar kan jämfö-ras med varandra med avseende på storlek, liksom trianglar och hål. För de olika manifestationerna (trianglar – hål) kan direkt överensstämmelse urskiljas och vid en jämförelse av en triangel mot en annan triangel kan mer eller mindre likhet eller ytterlighet skapas. Detta är en dimension av variation som kan ses som en hierarkiskt underordnande form.
Övningen görs främst med synsinnet, men också med känselsinnet då barnet tränas i att urskilja skillnader i storlek, form.
Syftet inom jämförbarhet är att kunna urskilja på vilket sätt olika delar kan jämföras med varandra och att erfara olika grader av jämförbarhet (likhet).
Barnet skall med denna övning lära sig att beakta flera kritiska aspekter samti-digt (fusion), så att det kan hitta rätt hål i brickan för varje triangel.
Liksom med de andra sinnestränande materielen, visar läraren hur barnet skall utföra övningen med trianglarna, innan det på egen hand kan träna dimens-ioner av variation i de olika trianglarna. Det kan börja med att placera trianglarna framför sig på bordet och så småningom fortsätta att jämföra dem mot hålen, för att slutligen hitta de hål som korresponderar med varje triangel. Det finns en fast ordning mellan hålen och friheten ges i variationen, medan trianglarna både kan ordnas fritt från hålens ordning och i samma typ av sekventiell ordning som hålen. Det är en övning från helhet till delar och tillbaka till helheten igen, där möjligheten för barnet att hitta rätt plats för varje triangel underlättas av att det finns flera trianglar att jämföra med. Hålens fixerade läge och systematiska ord-ning i brickan ger barnet en referens för att jämföra trianglars storlek med varandra och meningen med att särskilja de små (och stora) storleksskillnaderna, så att de lättare kan placera varje triangel i rätt hål.
Syftet inom dimensionen ordning, innefattar förmåga att urskilja den övergri-pande ordning det innebär att sortera trianglarna sekventiellt, dels i förhållande till inbördes karaktär, men också i samma ordning som den fasta ordning som hålen har.
Majas arbete med trianglarna i det Geometriska kabinettet
Övningen, dvs. arbetet för att nå det avsedda lärandemålet, börjar med att lära-ren hjälper Maja att ta ut den tredje brickan från kabinettet, som Maja sedan själv bär till mattan på golvet. Efter detta fortsätter Maja att hantera triangelinsatserna i denna bricka på egen hand, utan hjälp av någon lärare.
Maja börjar sitt manifesta arbete med att ta ut en av trianglarna ur brickan och tar sedan även ut ramen från brickan. Först lägger hon ramen i knäet och försöker placera triangeln i hålet. Sedan placerar hon både ramen och triangeln på mattan.
Efter detta tar Maja ut ytterligare en triangel och lägger den ovanpå den tri-angel som ligger på mattan (bild 118). Maja för ihop dessa två trianglar. Hon re-ser sig upp och låtsasflyger med det, som om det är ett flygplan.
Bild 118. Ett flygplan har skapats
Maja går omkring med trianglarna i rummet en stund innan hon går fram och visar dem för några andra barn i gruppen (bild 119). Maja säger: ”Kolla på det här flygplanet!” Då svarar ett annat barn: ”Det är en stjärna, inget flygplan. Det är en stjärna ser du väl?”
Bild 119. Flygplansdialog
När läraren inte är med, leker och fantiserar Maja med trianglarna i stället för att hantera dem på det sätt som läraren tidigare visat henne. Maja använder därige-nom trianglarna på ett eget sätt med utgångspunkt i sitt eget tänkande, dvs. på ett annat sätt än det tänkta. Hon har ändå möjlighet att erfara formen på trianglarna genom att den blå färgen kontrasterar mot det träfärgade underlaget och tar fasta på formen hos trianglarna. De blå trianglarna och de träfärgade ramarna bildar tillsammans en helhet. Maja jämför två av trianglarna åt gången genom att lägga dem ovanpå varandra. Utifrån sina tidigare erfarenheter har hon utvecklat en förståelse för vad som karakteriserar vissa visuella former. Genom detta har Maja fått möjlighet att upptäcka likheter hos objekt, som inte direkt erfars i den aktu-ella situationen. Det är denna tidigare erfarenhet som gör att Maja, då hon lyfter ut två av trianglarna ur sin ram och sätter trianglarna tillsammans ovanpå varandra, ser dem som ett flygplan. Hon utnyttjar triangelns knopp till rörelse och prövar variationen mellan trianglarnas kantlängder och vinklar och får ge-nom denna möjlighet träning i att urskilja variationerna mellan formerna på många fler sätt än då hon tidigare prövade cirklarna tillsammans med läraren.
Maja tappar en av trianglarna på golvet och säger: ”Vad ser det ut som nu då?” Maja lyfter upp triangeln genom att hålla den i knoppen och snurrar den (bild 120). De andra flickorna säger: ”En trekant, en tvåkant, en trekant.” Här är det formen på trianglarna som är viktig för Maja. De andra barnen är här delakt-iga med de kunskaper de tiddelakt-igare har om former.
Bild 120. Begreppsprövning
Maja står med trianglarna vid ett bord. Hon vänder sig bort från bordet. En tri-angel ligger kvar på bordet. Maja har en tritri-angel i handen. Hon vänder sig mot ett annat barn och pekar med triangelns spets mot sin hand och säger: ”Känn på den här?” (bild 121).
Bild 121. En knivskarp användning
Trots att Maja från början inte genomför denna övning som det är tänkt, utan leker med trianglarna på olika sätt, fyller hon ändå till slut alla hål med passande
insatser och resultatet blir det som Montessori avsåg med övningen. Maja når det levda tänkandet helt i linje med det avsedda, men på egna villkor och med egen fantasi. Även här är formen viktig för Maja. I detta fall, där Maja använder trianglar som flygplan, uppstår en tydlig skillnad mellan det avsedda lärandeobjektet och det levda lärandet. Det är sannolikt att Montessori, då hon skapade det Geometriska kabinettet, hade i tankarna att de olika formerna i det Geometriska kabinettet skulle hjälpa barnen lära sig hur såväl trianglar som vinklar i trianglar kan variera och ändå finnas kvar inom kategorin trianglar. Det Maja upplever är att ett par trianglar tillsammans kan bilda en form som påmin-ner henne om flygplan. Det är inte omöjligt att denna association kan vara ett led i lärandet av vad en triangel är.
Det visar sig att de barn som istället får möjlighet att göra övningarna på egen hand, utan hjälp av läraren, prövar materielen på många olika sätt. De fantiserar och leker med föremålen och tycks se andra figurer i materielen än de klossar eller trianglar som de egentligen är. Det tar längre tid, innan barnen kommer fram till det resultat som är syftet med övningen, men genom den spontana le-ken med föremålen får de möjlighet att själv upptäcka variationer och variations-mönster. Slutresultatet blir ändå att de använder materielen på det tänkta sättet, men de har i egen takt fått träna sig fram till den förmåga som lärandeobjektet syftar till att träna.
Reflektioner utifrån Majas användning av trianglarna i det Geometriska kabinettet
Det tänkta (avsedda) lärandemålet är att barnet skall kunna utveckla en förståelse för och kunna urskilja skillnader i storlek och form mellan olika trianglar. Detta avsedda lärandemål ska sedan kunna bidra till barnets förståelse av sådana innebörder i såväl matematik som språk. Variationsmönstret i denna övning är kontrast och fusion. Maja genomför denna övning på egen hand och fokus i hennes jämförande är formen hos trianglarna. Maja urskiljer då hon jämför de olika trianglarna med varandra att, trots att storleken på trianglarna varierar, så är formen är lika. Hon arbetar med generalisering av formen triangel tillsammans med de andra barnen, vilket framgår av deras samtal där olika former benämns.
Separation sker mellan de olika gestalter som materielens trianglar har som också inbjuder Maja till att kontrastera formerna mot varandra. Hon prövar andra kontraster än de som varit avsedda i och med att hon väljer att karakterisera en kombination av trianglar som flygplan vilket leder henne vidare i lärandet. Detta sätt att skapa en fusion av grundformen i materielen stimulerar också andra barn att utmana Majas sätt att tänka i och med att hon får förslag på vad
kombinat-ionen av trianglar kan vara istället. Det manifesta lärandet visar sig i denna öv-ning bli att Maja genom sitt arbete och sin lek med trianglarna drar nytta av variationerna i trianglarnas form och storlek.
Maja leker på egen hand med trianglarna utan att någon lärare intervenerar.
Hon får fullt spelrum för att uttrycka vilka föreställningar hon arbetar med. Hon visar ett tydligt engagemang för att använda den enkla materielen på ett skapande sätt. Hon samspelar med andra barn och luftar tillsammans med dem vilka föreställningar man kan ha om de trianglar som hon använder. Det arbete och den lek hon ger sig in i kan användas av en lärare som iakttar flickans agerande med hjälp av något slags teoretiskt perspektiv. Genom att till exempel utgå från variationsteorin för lärande kan lärare stödja flickan att gå vidare i sitt lärande.
Lärdomen för en sådan iakttagande lärare kan vara att tillsammans med barnet utgå från sådana fantasier som tar in materielen i leken och genom att anknyta till lekens begrepp och de variationer som framstår genom denna få barnet att gå vidare i lärandet. Att agera på ett sådant sätt är dock problematiskt för lärare som utbildats i att hantera inlärningsmaterial av det slag som de sinnestränande materialen utgör exempel på. Materielkonstruktörer har ofta klara direktiv till läraren om vad som behöver ske när barn använder materielen för att dessa ska leda till avsett lärande. Den situation som Maja är upptagen av visar att en rigid hållning från lärares sida i arbete med detta slags materiel förmodligen inte ger ett optimalt lärande. Läraren har användning av mer generella teoretiska ramar än de som en materiel förser henne med.
En schematisk översikt av barnens arbete med de olika sinnestränande mate-rielen visas i bilaga 2.
diskussion
I detta avslutande kapitel, diskuterar och sammanfattar jag studiens resultat i relation till dess undersökningsproblem. Kapitlet inleds med en tolkning av cen-trala delar i studiens huvudresultat på en övergripande teoretisk nivå. Teoretiska och didaktiska förhållanden integreras men har även enskilda avsnitt i kapitlets slut. Vad läraren behöver förstå för att kunna hjälpa barnet att utveckla kunskap med hjälp av de sinnestränande materielen lyfts fram. Konsekvenser av studiens resultat både för pedagogisk praxis och för pedagogisk forskning diskuteras.