Gruppens arbete med uppgiften

A: Vad ska vi g¨ora, volymen? C: Ja, den ¨ar 1.5x1.5x1.5 ungef¨ar B: Tre meter

Direkt in i diskussion om material

A: Den ¨ar en centimeter tjock runt om B: Inte en chans

C: G˚ar inte att bocka d˚a C: M˚aste vara en r¨or-ram B: Ja m˚aste g˚a in ett r¨or i botten

H¨ar kommer alla till tals och gruppen bygger ut problemet. Bertil och Cesar, som troligvis har en teknisk bakgrund g¨or en rimlighetsbed¨omning och tillf¨or ytterligare en dimension till problemet genom att g¨ora tekniska ¨overv¨aganden.

J¨amf¨orelse med annat objekt

C: Hur mycket kan den v¨aga?

C: Den d¨ar golfen (C pekar p˚a en bil p˚a parkeringen) v¨ager v¨al 1150 kilo

H¨ar visar Cesar p˚a ett gott tekniskt kunnande genom att j¨amf¨ora kulans vikt med ett annat objekt och f¨ors¨oker skaffa sig en uppfattning om vad som ¨ar en rimlig vikt p˚a kulan.

4 meter d˚a ¨ar den ju som n¨astan tre g˚anger dig i l¨angden C: Vi vet ju ungef¨ar hur stor den ¨ar, vi tar fyra meter

A: Men om den ¨ar 4 meter d˚a ¨ar den ju som n¨astan tre g˚anger dig i l¨angden p˚a ett ungef¨ar

A: Den kan ju inte va s˚a stor, drygt 3 meter kanske, 2 g˚anger din l¨angd A: Men om den ¨ar 4 meter d˚a hade man sett stor skillnad p˚a er

B: Ja men en rund sak ¨ar j¨avligt sv˚ar att se hur stor den ¨ar B: Ska vi s¨aga 3 meter d˚a?

C: Ja

H¨ar ser vi hur gruppen arbetar fram en kompromiss om kulans diameter. Denna kompromiss skapas p˚a grund av att Adam inte ¨ar n¨ojd med uppskattningen p˚a 4 m utan argument. De ¨ovriga i gruppen accepterar Adams f¨orslag motvilligt. Att Adam inte f˚ar geh¨or f¨or sina goda id´eer kan bero p˚a att hans argument inte st¨ammer (4 meter motsvarar endast 2.2 g˚anger en normal m¨anniskas l¨angd).

3 och en halv i alla fall

B: Men han ¨ar nog 3 och en halv i alla fall C: Det hade ju underl¨attat om man st˚att d¨aruppe B: Ska vi dra till med 3.5 d˚a?

Bertil och Cesar ¨ar inte n¨ojda och best¨ammer sig d¨arf¨or f¨or ytterligare en kompromiss. Adam ¨ar dock inte med i den diskussionen.

Papper, penna och klassrum

B: Vi kan g˚a in o r¨akna ut volymen i alla fall C: Det kan vi ju g¨ora

B: Har du med π d¨ar ocks˚a? C: Ja

B: 6.125 B: G˚anger 3.14 C: Ja

C: Vi f˚ar det till 22.44, ska vi g¨ora om det? B: N¨a, 22.44

B: De e kubikmeter? C: Ja

Bertil och Cesar s¨atter sig bredvid varandra och b¨orjar r¨akna. Adam sitter vid sidan om och r¨aknar f¨or sig sj¨alv. Diskussionen ¨ar ganska knapp h¨ar eftersom de skriver och r¨aknar, vilket medf¨or att de endast utbyter korta kommentarer med varandra.

Begreppsf¨orvirring - Area vs Volym

C: Hur m˚anga kvadratmeter ¨ar en 2 mm pl˚at i kilo?

B: Det h¨ar g˚anger kilovikten, vi har ju hela, men vi m˚aste ha arean C: Det h¨ar ¨ar ju arean

B: Arean d˚a tar man ju radien g˚anger radien n¨a v¨anta nu C: Det h¨ar e ju arean

C: Vi har ju hela volymen B: Ja men det e ju inuti ocks˚a B: Man ska ju bara ha arean runt om B: V¨anta nu, hur blir det n¨ar det ¨ar runt

H¨ar blandas matematiskt spr˚ak med vanligt vilket ¨ar riskfyllt, begreppen area och volym blan- das p˚a ett s¨att som inte g¨or det m¨ojligt f¨or observat¨oren och Adam att f¨orst˚a vad som p˚ag˚ar.

2 mm pl˚at runt blir 2 cm

C: R¨akna om, kan vi inte ta 1.73, kan vi g¨ora det? B: Ja

C: D˚a f˚ar man ju 2 mm runt B: Japp

C: D˚a tar vi allts˚a 1.73

B: 2 centimeter, d˚a f˚ar vi den h¨ar radien B: Har du r¨aknat med π?

C: Ja det blir 21.68, den andra var 22.44 B: Och det ¨ar?

B: D˚a ¨ar π medr¨aknat? C: 0.76 kubikmeter B: Va sa du?

C: 0.76 kubikmeter pl˚at allts˚a

Gruppen best¨ammer sig att anv¨anda en 2 mm tjock pl˚at men r¨aknar med en tjocklek av 2 cm. Ytterligare ett exempel p˚a d¨ar vanligt spr˚ak blandas med matematiskt vilket leder till os¨akerhet. Om gruppen anv¨ant enheter genomg˚aende i diskussionen s˚a hade ber¨akningen troligtvis blivit korrekt (dvs. radien 1.748).

Cesar f¨orklarar f¨or Adam

C: 2mm p˚a pl˚aten tog vi. R¨aknar f¨orst ut arean p˚a yttre och s˚a tog vi inre o r¨aknade med att det var 2 mm pl˚at. Vid tog 1.73 och 1.75 ytterdiametern, eller radien menar jag

A: Har ni kommit fram till n˚agot p˚a den? C: Vi fick 0.76 kubikmeter pl˚at runt om

Cesar f¨orklarar f¨or Adam som r¨aknat sj¨alv. Adam har anv¨ant en radie p˚a 1.5 m och r¨aknat ut hela volymen men har inte kommit vidare. Det ¨ar oklart om Adam f¨orst˚ar Cesars f¨orklaring. Cesar anv¨ander felaktiga begrepp i diskussionen, area n¨ar han menar volym, vilket kan vara en orsak till att Adam troligtvis inte f¨orst˚ar.

Detaljer som ¨ar viktigare ¨an helheten

B: Men vi m˚aste ju r¨akna bort d¨ar r¨oret g˚ar in C: Hur stort kan det va?

B: Kan det va som ett stupr¨or? B: Fast dom ¨ar ju inte s˚a h˚allbara B: M˚aste va n˚agot inuti ocks˚a, en ram C: Tre olika fack

C: R¨orst¨allningen, vi m˚aste ha m˚att p˚a hur l˚ang och grov den ¨ar det kan ju va plattj¨arn ocks˚a, det kan va vad som helst bara att vi r¨aknar ut n˚agot

B: 40x40 plattj¨arn C: Hur tjocka ¨ar dom?

C: Ska vi s¨aga en centimeter?

B: Fyra s˚a och s˚a h¨ar ¨ar dom en, dom ¨ar stabila B: Eller ¨ar det r¨or?

Bertil och Cesar visar h¨ar p˚a en ut¨okning av uppgiften som vi inte hade t¨ankt p˚a. De uppvisar ett stor tekniskt kunnande. Det ¨ar ocks˚a ett gott exempel p˚a hur elever kan bygga ut ett problem och g¨ora det till sitt eget och d¨armed jobba mycket fokuserat och motiverat.

R¨or ¨ar sv˚arare att r¨akna p˚a

C: Fast vi tar n˚agot, r¨or ¨ar ¨annu sv˚arare C: Den ¨ar ju rund s˚a det m˚aste ju vara ...

C: D¨ar ¨ar ju diametern, vi tar den g˚anger π s˚a f˚ar vi omkretsen B: M˚aste va tungt om det ska bockas runt

C: Om det ¨ar r¨or m˚aste vi r¨akna bort det som det ¨ar inuti

Bertil och Cesar m¨arker h¨ar att deras ut¨okning av uppgiften inneb¨ar att de f˚ar ganska sv˚ara ber¨akningar att utf¨ora.

J¨amf¨orelse med en stol

C: Vi avrundar det till 10 kilo B: Det verkar ju j¨avligt lite

B: Vad v¨ager en stol? (B lyfter en stol) C: Ska vi ¨oka p˚a till det dubbla? B: Ja

C: 20 kg d˚a med den h¨ar B: Vi s¨ager att dom v¨ager 0.6 ˚

Ater igen visar de prov p˚a stor f¨orst˚alelse d˚a de j¨amf¨or f¨or att f˚a en rimlig vikt. ˚

Ater till h¨oljet p˚a kulan

B: Men om man ska g¨ora om det d¨ar till kvadrat sen?

B: Tar man delat med hundra? Det ¨ar ju 1 meter g˚anger 1 meter C: Densiteten ¨ar ju en centimeter ˚at varje h˚all, hur mycket v¨ager det

C: Ja har f¨or mig att j¨arn ¨ar typ 5 (B visar med armarna hur stor en kubikmeter ¨ar)

Densitet

B: S¨ag att vi tar 10 d˚a, d˚a v¨ager den 760 kg (B fr˚agar l¨araren om densiteten och f˚ar svaret 7800 kg/m3₎

B: Kilogram eller? 7800 kilo.

Kulan plus st¨allningen och rimlighetsbed¨omning C: D˚a blir det 593 kg plus 20

C: 613 kilo

B: Det kan vi ju s¨aga det l˚ater riktigt B: D˚a ¨ar vi klara.

En korrekt ber¨akning skulle ge 7800 kg/m3_{* 0,76 m}3 _{= 5928 kg vilket ¨ar orimligt tungt. Detta}

p˚a grund av att de anv¨ande sig av en tjocklek p˚a 2 cm ist¨allet f¨or 2 mm. Eleverna v¨aljer ¨and˚a av n˚agon intuitiv anledning en tiondel av detta och f˚ar ett rimligt resultat.