Model P3 lokaliserar ett sågverk och dess timmerfångstområde i förhållande till en utskeppningshamn där sågverkets produkter efterfrågas (både flis och sågad vara).
Istället för att, som i model P1 och P2, minimera en totalkostnadsfunktion maximeras en funktion för sågverkets vinst. Vinsten beräknas genom att från för-säljningsintäkter för sågad vara och flis dra kostnader för råvarutransport, produk-tion och färdigvarutransport till hamnen. Vid hamnen lastas de sågade varorna om till fartyg och där ligger ett massabruk som köper flisen.
Sågtimret hämtas, utan konkurrens från andra sågverk, i en skog som omger såg-verket. Med modellen beräknas hur sågverket och timmerfångstområdet ska lokaliseras i förhållande till hamn samt storlek på sågverket och dess timmer-fångstområdet. Problemsituationen illustreras i figur 5.13.
sågverk
hamn och massabruk timmer-fångstområde
skog hav
Figur 5.13 Problemsituationen för model P3. Sågverk och timmerfångstområde lokaliseras relativt ett efterfrågecentrum i hamnen.
Vid lokalisering av sågverket med beaktande enbart av kostnader för råvarutrans-porter och produktion inses att sågverket bör lokaliseras mitt i ett cirkulärt timmerfångstområde. Om marknaden ligger i en punkt vid skogens rand och fär-digvarutransporter dit beaktas inses att sågverket i sitt timmerfångstområde ska lokaliseras med dragning mot marknaden för att minska totala transportarbetet.
Med de geografiska förutsättningarna i figur 5.13 kommer timmerfångstområdet att bestå av en segmentsbeskuren cirkel där det bortskurna segmentet ligger i havet.
I motsats till modellerna P1 och P2, där skogsbeståndet över en yta tillvaratas till lägsta möjliga kostnad, avverkas inte skog belägen längre bort från sågverken än att tillfredsställande vinst uppnås. Med givna marknadspriser på sågad vara och flis samt givna produktions- och transportkostnader kommer råvarutransportavståndet bli avgörande för lönsamheten i att använda timmer beläget allt längre bort från sågverket. Detta förhållande illustreras i figur 5.14. Timmer beläget nära sågverket
ger högre vinstmarginal än timmer beläget längre bort till följd av längre råvarutransportavstånd. Vid en gräns, timmerfångstområdesradien, är intäkter och marginalkostnader för sågtimret lika stora. Längre bort än så ska timmer ej hämtas eftersom det är förlustbringande.
avstånd från sågverket vinstmarginal
timmerfångst-områdesradie total
vinst sågverk
timmerfångst-område
Figur 5.14 Lönsamhet i timmerutvinning som funktion av avståndet från sågverket med givna mark-nadspriser, produktions- och transportkostnader.
Den geometriska problemsituationen i modell P3 illustreras tillsammans med beteckningar på dess variabler i figur 5.15.
hamn och massabruk sågverk
α
p=r cosα
r= områdesradien avstånd
till hamn
Figur 5.15 Geometriska problemförutsättningar.
Produktionskostnaden modelleras med den linjära produktionskostnadsfunktion-en. Vinsten utgörs av en funktion av två variabler timmerfångstområdesradien, r, och vinkeln, α. Då vinstfunktionen deriveras med avseende på resp. variabel erhålls ett ekvationssystem som är svårt att lösa algebraiskt. Numeriska metoder används därför. Funktionen och derivatorna redovisas i appendix C.4.
5 Utveckling av plangeometriska lokaliseringsmodeller Några numeriska exempel
Problemsituationen illustreras med några numeriska exempel. Numeriska indata enligt grundförutsättningarna antas men kompletteras med varierade värden på råvarutransportkostnaden. Därutöver har i modellen parametrar införts för försäljningsintäkt för sågade varor och flis samt kostnader för transport av sågade varor och flis. Eftersom råvarukostnader inte beaktas ska försäljningsintäkterna reduceras med dessa. Försäljningsintäkten varieras kring 680 SEK/m3sv.
Transportkostnaderna för sågad vara, Us, och flis, Uf, sätts till 0,35 SEK/m3sv·km resp. 0,15 SEK/m3s·km. Flisutbytet, φ, är 0,82 m3s/m3fub. Resultaten av beräkningarna presenteras i tabellerna 5.4.
Tabell 5.4 Timmerfångstområde, sågverksstorlek och transportkostnadsrelationer för varierande råvarutransportkostnader och försäljningsintäkter.
Timmerfångstområdesradie [km] Avstånd till hamn [km2] Τ [SEK/ Intäkt, I [SEK/m3sv] Τ [SEK/ Intäkt, I [SEK/m3sv]
m3fub*km2] 660 680 700 m3fub*km2] 660 680 700
0,40 75 100 125 0,40 0 0 0
0,50 58 78 97 0,50 3 4 5
0,70 47 62 78 0,70 7 9 12
Sågverksstorlek [k m3*sv/år] Förhållande mellan in- & uttrsp.
Τ [SEK/ Intäkt, I [SEK/m3sv] Τ [SEK/ Transport- Vinkeln m3fub*km2] 660 680 700 m3fub*km2] kostnadskvot α
0,40 370 660 1 030 0,40 0,74 90
0,50 240 420 660 0,50 0,60 87
0,70 170 300 470 0,70 0,43 77
Beräkningarna visar att för en råvarutransportkostnad på 0,50 SEK/m3fub·km och en intäkt på 680 SEK/m3sv ska ett sågverk med kapaciteten 420000 m3sv/år etableras 4 km från hamnen. Timmerfångstområdesradien blir 73 km. Detta illustreras i figur 5.16.
Hamn och massabruk Sågverkskap.
446 k·m3sv/år
p=4 km r=78 km
Figur 5.16 Resultat för råvarutransportkostnaden 0,50 SEK/m3fub·km och försäljningsintäkten 680 SEK/m3sv.
Det är intressant att sågverket lokaliseras nära hamnen. Avgörande för sågverkets lokalisering relativt hamn är förhållandet mellan kostnader för råvaru- och färdig-varutransporter (jämför med Weber i avsnitt 4.3). Detta förhållande operation-aliseras med transportkostnadskvoten, U U
T
sυ + fcφ
. I denna ingår transportkostna-derna för timmer, T, sågad vara, Us, och flis, Uf, samt utbytena av sågad vara, υ, och flis, φ. I tabellerna 5.4 ses hur variationen av råvarutransportkostnaden påverkar transportkostnadskvoten. Ju högre kvot desto närmare hamnen ska såg-verket lokaliseras.
Tabellerna 5.4 visar också att storleken på sågverken varierar kraftigt med föränd-rade intäkter. Detta förklaras av att en ökad vinstmarginal ger möjlighet att hämta timmer längre bort från sågverket. Med givna geometriska förutsättningar kommer arean på timmerfångstområdet och sågverksstorleken att öka med kvadraten på timmerfångstområdesradien.
Känslighetsanalys
Transportkostnadskvoten har en avgörande betydelse för lokaliseringen av såg-verket och den analyseras därför närmare. Genom att tillämpa modell P3 på vari-erade värden på parametrarna i transportkostnadskvoten har diagrammet i figur 5.17 skapats.
I figur 5.17 ses att sågverkets optimala timmerfångstområde är cirkulärt endast då transportkostnadskvoten är noll, d.v.s. då utransporterna är gratis. Med ökande transportkostnadskvot lokaliseras sågverket allt närmare hamnen och timmer-fångstområdet blir en alltmer beskuren cirkel. Observera att vid en transport-kostnadskvot på 0,64 uppträder en brytpunkt där sågverket lokaliseras i hamnen.
Jaakko Pöyry (1995) presenterar ett huvudscenario med en transportkostnadskvot på 0,67. Den verkliga transportkostnadskvoten för enkelriktade materialflöden ut från sågverket ligger således i närheten av den kritiska gränsen 0,64.
5 Utveckling av plangeometriska lokaliseringsmodeller
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Transportkostnadskvot
Vinkeln,
0,64
α=68 Sågverk
α=0 Sågverk
Sågverk α=90 Hamn och
massabruk Hamn och
massabruk Hamn och
massabruk
Figur 5.17 Sågverkets lokalisering och fångstområdesgeometrier som funktion av transportkostnadskvoten.