Som presenterat i resultatet utvärderades den tillförda effekten till ungefär 10.5 MW för att nå residualmålet av 150 MWh för båda scenarier och alla fall. Tillförd effekt för att nå 0 MWh residual varierade mer mellan fallen men krävde åtminstone extra 3 MW för scenario 1. Mängden tillförd effekt för att uppnå ingen residual beror delvis på hur och när driftbortfallen definieras under året. Om de definieras under en tid med ett högt effektbegär så blir residualen konsekvent större. Residualen vid referensmålet blir inte lika påverkat av detta då tillförd effekt kontinuerligt sänker residualtotalen. Ett mer realistiskt förlopp med slumpvisa bortfall under drifttiden kan
M. Hedkvist
Umeå Universitet 7 DISKUSSION & ANALYS
Hur det kommer sig att svängningsfiltret på 3 MW skapar fler antal effektökningar över 1.5 MW är ovisst. En möjlig förklaring skulle vara att filtret i vissa fall kan orsaka ett fåtal nya svängningar. I och med att filtret med 1.5 MW kraftigt reducerade effektökningarna tycks filtret i regel fungera som avsett.
Vid inspektion av figur 14 verkar det som att införandet av ett TEL i scenario 2 har en väldigt liten påverkan på minskandet av residualen, hur stor volym den än har. Samtidigt finns ett tydligt samband mellan residualen och den tillförda effekten. Sannolikt beror det primärt på att TEL sattes att i första hand plana ut svängningar i systemet och i andra hand minska effekttoppar.
Det förklarar dock inte varför residualen inte minskar nämnvärt med ökad kapacitet i TEL.
Anledningen till det kan bero på den satta temperaturgräns på 100 °C som definierades som ett villkor för när TEL fick ladda ur. Förklaringen kan finnas i hur temperaturen i TEL beräknas.
En större kapacitet medför att en större mängd energi krävs för att värme upp vattnet inuti och påverkar därför tillfällena då kraven för urladdning uppfylls.
I studien av K. Narula m. fl. [49] utvärderar de även den termiska stratifiering som kan ske inuti ett energilager och kan på så sätt uppskatta temperaturen i toppen av TEL. Effekten av stratifieringen skulle kunna bidra till att temperaturgränsen i den här studien oftare uppfylls.
Deras artikel tar även, i kontrast med det här arbetet, hänsyn till värmeförluster från energilagret som ackumuleras under året och skapar totalt en substantiell energiförlust. Det kan även vara fallet att värmeförlusterna i TEL är av betydande faktor i detta arbete. En väsentlig skillnad är dock att deras studie tittar på så kallade säsongsbaserade energilager som ämnar att kunna lagra en större mängd värme över en längre tid relativt den TEL som hypotiserats här. Det går att argumentera för att en högre frekvens av påfyllning och urladdning i kombination en mindre volym kan innebära att värmeförlusterna inte nödvändigtvis har lika stor betydelse, men att det kan vara värt att undersöka.
Vad gäller figur 15, som visar på hur antalet svängningar förhåller sig till storleken på en ny panna och ett TEL, bör den användas för att se tendenser och inte specifika lösningar. Anledningen till detta är att antalet svängningar är väldigt beroende av när TEL kan laddas ur, vilket beror på dess storlek och dess villkor. Det innebär att även om TEL är större kan den på grund av sina villkor i det här fallet ladda ur och fylla på vid mindre optimala tidpunkter och därför är tendenserna i figuren mer intressanta. Det är exempelvis tydligt att införandet av ett TEL, om så endast ett 150 m3 stort, kan minska antalet svängningar avsevärt. Antalet minskar ännu mer om TEL kombineras med en ökande tillförd effekt, vilket är logiskt eftersom det möjliggör mer frekvent påfyllning av TEL. Det lokala eller globala minimum som verkar uppstå i figuren vid en tillförd effekt motsvarande 10 MW kan möjligtvis orsakas av att möjlighet till urladdning förekommer som bäst i samband med när svängningarna uppstår vid denna effekt.
Det finns fler fördelar som ett TEL kan erbjuda till ett fjärrvärmesystem än den parameter som har undersökts i denna studie. Hur ett TEL väljer att styras påverkar förstås vilken driftpara-meter som den gör nytta för. Som påpekat i studien av E. Guelpa och V. Verda [54] så kan ett TEL medföra lägre krav på storleken av de värmeproducerande enheterna, möjlighet att använda kraftvärmeverk för mer elproduktion och stabliare drift i synnerhet när intermittenta energikällor tillämpas är några exempel som lyfts. Hur och vad den bidrar till beror således på bland annat på vilket syfte styrningen ämnar att uppfylla och erbjuder på så sätt en flexibilitet.
I och med det kan incitamentet för att investera i ett TEL styrkas.
M. Hedkvist
Umeå Universitet 7 DISKUSSION & ANALYS
Kostnadsuppskattningen visar på att totalkostnaden ökar konsekvent med större tillförd effekt och större volym på ett TEL vilket kan förväntas. Skulle utgifterna som tillkommer för att hålla verken igång skulle kostnaden ökas ytterligare. Uppskattningen av driftkostnaden talar för att ett TEL ökar kostnaden, om så väldigt lite i sammanhanget, medan en ny panna minskar driftkost-naden med ökande storlek. Reduceringen i driftkostdriftkost-naden som den nya pannan medför ses dock avta allt eftersom effekten ökar. Relationen förhåller sig på samma sätt som residualeffekten i figur 14 gör och det är även den minskade oljeförbrukningen som minskar driftkostnaden. Varför driftkostnaden ökar när ett TEL införs är till följd av att massflödet stiger vid vissa tidpunkter för att fylla på energilagret vilket i sin tur ökar pumparbetet.
Analysen av kostnaden indikerar att den mest kostnadseffektiva konfigurationen av de undersök-ta scenarierna som möter målen består av en ny panna motsvarande 10.5 MW och inget TEL.
En 10.5 MW panna håller sig just under gränsen för residualeffekten och en större panna minskar inte driftkostnaden särskilt mycket under ett år. Om utökad analys utförs som tar hänsyn till den nya pannans livstid kan den minskade driftkostnaden som ett större verk medför visa sig mer lönsamt. Det är också värt att påpeka att effektsvängningarna i systemet kan medföra en viss kostnad och att reducering av de därför kan implicera en eventuell vinning.
Ifall kostnader för att hålla igång verken och att starta upp dem adderas till ekvationen så kan förutsättningarna ändras. Under nuvarande premisser så resulterar optimering av effektfördel-ningen under året enbart i det teoretiskt bästa fallet som innebär inget bortfall av drift hos kraftvärmeverket och därför en lägre oljeförbrukning, som ses i figur 19.
Resultaten från båda scenarier har baserats på förutsättningen att sågverket kommer dubble-ra sitt effektbehov, något som i sin tur basedubble-ras på att det är det mesta som utökningen kan förväntas öka effektbehovet. Det medför att modellen kan återutvärderas när och om mer ex-akta uppskattningar av det nya effektbehovet finns tillgängligt. Det skulle kunna reducera den nödvändiga storleken på den nya produktionsenheten.
M. Hedkvist
Umeå Universitet 8 SLUTSATS & FRAMTIDSUTSIKTER
8 Slutsats & Framtidsutsikter
En modell har med hjälp av tillgänglig litteratur etablerats som möjliggör simulering av energi-flödet i ett generellt fjärrvärmesystem, men den har anpassats för det specifika fallet. Modellens precision har sedan utvärderats genom jämförelse med driftdata med avseende på massflöde.
Till sist användes modellen för att utvärdera effektbehovet vid två hypotiserade scenarion och kunde erbjuda en uppskattning av hur pass stor tillförd effekt som kan komma att behövas, hur svängningarna i systemet påverkas och vilket alternativ som är mest kostnadseffektivt.
Resultaten enligt modellens beräkningar visar på att den tillförda effekt som behövs från en ny panna för att nå en residual om 150 MWh årligen motsvarar cirka 10.5 MW för båda scenarier.
Införandet av ett TEL med syftet att reducera svängningar och minimera residualen i modellen visar på att en liten volym ändå bidrar till minskat antal svängningar, speciellt om den kom-bineras med en ny panna. Ingen markant minskning i den nödvändiga tillförda effekten kunde härledas till inkluderingen av ett TEL, vilket resonerades härstamma från hur styrningen var definierad.
Kostnadsuppskattningen talar för att en ytterligare panna som motsvarar 10.5 MW och ingen ackumulatortank är den ekonomiskt bättre konfigurationen av de undersökta scenarierna.
Kommande studier kan uppnå komplettering av beräkningsmodellen genom implementering av transient värmeöverföring, en mer noggrann värmeförlustsmodell, effektivisering via minskat an-tal sparade värden under simuleringsförloppet samt indata baserat på ett förutspått effektbehov.
Intressant för vidare analys av fallstudien skulle vara att omdefiniera villkoren för TEL så att det primära och sekundära målet skiftas för att se huruvida det kan minska den nödvändiga storleken hos en ny panna. Ytterligare scenarier kan även undersökas genom introduktion av nya komponenter eller förutsättningar i systemet. Med bättre kännedom om driftkostnader och kalkylrelaterade parametrar kan den ekonomiska lönsamheten bättre utvärderas.
Referenser
[1] S. Werner och S. Frederiksen, Fjärrvärme och fjärrkyla, upplaga 1:2. Lund: Studentlitte-ratur, 2014, isbn: 978-91-44-08529-6.
[2] T. Kaiserfeldt, ”Ett lokalt energisystem mellan vattenkraft och kärnkraft: Uppbyggnaden av kraftvärme i Karlstad mellan 1948 och 1956”, Program Energisystem, IKP, Linköpings Universitet, Arbetsnotat 10, 1999.
[3] S. Werner, ”District heating and cooling in Sweden”, Energy, vol. 126, s. 419–429, 2017.
doi: https://doi.org/10.1016/j.energy.2017.03.052.
[4] SCB, Land- och vattenareal per den 1 januari efter region och arealtyp. År 2012 - 2021, 2021. [Online]. Tillgänglig: https://www.statistikdatabasen.scb.se/pxweb/sv/ssd/
START__MI__MI0802/Areal2012N/table/tableViewLayout1/(hämtad 19 april 2021).
[5] SCB, Folkmängd i riket, län och kommuner 31 december 2020 och befolkningsförändringar 1 oktober–31 december 2020, 2021. [Online]. Tillgänglig: https://www.scb.se/hitta-statistik / https://www.scb.se/hitta-statistik - efter - amne / befolkning / befolkningens - sammansattning / befolkningsstatistik/pong/tabell-och-diagram/kvartals--och-halvarsstatistik--kommun-lan-och-riket/kvartal-4-2020/(hämtad 19 april 2021).
[6] U. Hedqvist, Malå Småskaligt KVV, Presentation, Skellefteå Kraft, 2020.
[7] Lantmäteriet, Skala 1:10000, Malå. [Online]. Tillgänglig: https://minkarta.lantmateriet.
se/?e=675322.3314606742&n=7234672.050561798&z=11&background=1&boundaries=
false(hämtad 19 april 2021).
[8] H. Lund, S. Werner, R. Wiltshire, S. Svendsen, J. E. Thorsen, F. Hvelplund och B. V.
Mathiesen, ”4th Generation District Heating (4GDH): Integrating smart thermal grids into future sustainable energy systems”, Energy, vol. 68, s. 1–11, 2014. doi: https://doi.
org/10.1016/j.energy.2014.02.089.
[9] A. Dahash, S. Mieck, F. Ochs och H. J. Krautz, ”A comparative study of two simulation tools for the technical feasibility in terms of modeling district heating systems: An opti-mization case study”, Simulation Modelling Practice and Theory, vol. 91, s. 48–68, 2019.
doi: https://doi.org/10.1016/j.simpat.2018.11.008.
[10] D. Olsthoorn, F. Haghighat och P. A. Mirzaei, ”Integration of storage and renewable energy into district heating systems: A review of modelling and optimization”, Solar Energy, vol. 136, s. 49–64, 2016. doi: https://doi.org/10.1016/j.solener.2016.06.054.
[11] H. Zhao, ”Analysis, modelling and operational optimisation of district heating systems”, diss., Centre for District Heating Technology, Laboratory of Heating och Air Conditioning, Technical University of Denmark, 1995.
[12] H. Pálsson, H. Larsen, H. Ravn, B. Bohm och J. Zhou, ”Equivalent Models of District Heating Systems”, i Proceedings of the 7th International Symposium on District Heating and Cooling, jan. 1999.
[13] H. V. Larsen, B. Bøhm och M. Wigbels, ”A comparison of aggregated models for simu-lation and operational optimisation of district heating networks”, Energy Conversion and Management, vol. 45, nr 7–8, s. 1119–1139, 2004.
[14] M. Vesterlund och J. Dahl, ”A method for the simulation and optimization of district heating systems with meshed networks”, Energy Conversion and Management, vol. 89, s. 555–567, 2015. doi: https://doi.org/10.1016/j.enconman.2014.10.002.
[15] M. Vesterlund, A. Toffolo och J. Dahl, ”Simulation and analysis of a meshed district
[16] A. Menapace, W. Boscheri, M. Baratieri och M. Righetti, ”An efficient numerical sche-me for the thermo-hydraulic simulations of thermal grids”, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 161, s. 120 304, 2020. doi: https : / / doi . org / 10 . 1016 / j . ijheatmasstransfer.2020.120304.
[17] I. del Hoyo Arce, S. Herrero López, S. López Perez, M. Rämä, K. Klobut och J. A. Feb-res, ”Models for fast modelling of district heating and cooling networks”, Renewable and Sustainable Energy Reviews, vol. 82, s. 1863–1873, 2018. doi: https://doi.org/10.1016/
j.rser.2017.06.109.
[18] E. Guelpa, A. Sciacovelli och V. Verda, ”Thermo-fluid dynamic model of large district heating networks for the analysis of primary energy savings”, Energy, vol. 184, s. 34–44, 2019. doi: https://doi.org/10.1016/j.energy.2017.07.177.
[19] E. Guelpa, C. Toro, A. Sciacovelli, R. Melli, E. Sciubba och V. Verda, ”Optimal operation of large district heating networks through fast fluid-dynamic simulation”, Energy, vol. 102, s. 586–595, 2016. doi: https://doi.org/10.1016/j.energy.2016.02.058.
[20] J. Wang, Z. Zhou och J. Zhao, ”A method for the steady-state thermal simulation of district heating systems and model parameters calibration”, Energy Conversion and Management, vol. 120, s. 294–305, 2016. doi: https://doi.org/10.1016/j.enconman.2016.04.074.
[21] G. Barone, A. Buonomano, C. Forzano och A. Palombo, ”A novel dynamic simulation model for the thermo-economic analysis and optimisation of district heating systems”, Energy Conversion and Management, vol. 220, s. 113 152, 2020. doi: https://doi.org/
10.1016/j.enconman.2020.113052.
[22] B. Gumpert, C. Wieland och H. Spliethoff, ”Thermo-hydraulic simulation of district hea-ting systems”, Geothermics, vol. 82, s. 244–253, 2019. doi: https://doi.org/10.1016/
j.geothermics.2019.07.001.
[23] E. Guelpa, ”Impact of network modelling in the analysis of district heating systems”, Energy, vol. 213, s. 118–393, 2020. doi: https://doi.org/10.1016/j.energy.2020.
118393.
[24] X. Zheng, K. Shi, Y. Wang, S. You, H. Zhang, C. Zhu, L. Li, S. Wei och N. Wang, ”Perfor-mance analysis of three iteration-free numerical methods for fast and accurate simulation of thermal dynamics in district heating pipeline”, Applied Thermal Engineering, vol. 178, s. 115 622, 2020. doi: https://doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2020.115622.
[25] M. Capone, E. Guelpa och V. Verda, ”Accounting for pipeline thermal capacity in district heating simulations”, Energy, vol. 219, s. 119 663, 2021. doi: https://doi.org/10.1016/
j.energy.2020.119663.
[26] Y. Wang, S. You, H. Zhang, X. Zheng, W. Zheng, Q. Miao och G. Lu, ”Thermal transient prediction of district heating pipeline: Optimal selection of the time and spatial steps for fast and accurate calculation”, Applied Energy, vol. 206, s. 900–910, 2017. doi: https:
//doi.org/10.1016/j.apenergy.2017.08.061.
[27] I. del Hoyo Arce, S. Herrero López, S. López Perez, M. Rämä, K. Klobut och J. A. Feb-res, ”Models for fast modelling of district heating and cooling networks”, Renewable and Sustainable Energy Reviews, vol. 82, s. 1863–1873, 2018. doi: https://doi.org/10.1016/
j.rser.2017.06.109.
[28] T. Oppelt, T. Urbaneck, U. Gross och B. Platzer, ”Dynamic thermo-hydraulic model of district cooling networks”, Applied Thermal Engineering, vol. 102, s. 336–345, 2016. doi:
https://doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2016.03.168.
[29] B. van der Heijde, M. Fuchs, C. Ribas Tugores, G. Schweiger, K. Sartor, D. Basciotti, D.
Müller, C. Nytsch-Geusen, M. Wetter och L. Helsen, ”Dynamic equation-based thermo-hydraulic pipe model for district heating and cooling systems”, Energy Conversion and Management, vol. 151, s. 158–169, 2017. doi: https://doi.org/10.1016/j.enconman.
2017.08.072.
[30] K. Sartor och P. Dewalef, ”Experimental validation of heat transport modelling in district heating networks”, Energy, vol. 137, s. 961–968, 2017. doi: https://doi.org/10.1016/
j.energy.2017.02.161.
[31] TRNSYS, TRNSYS 17 Mathematical Reference, Type 31. [Online]. Tillgänglig: http : / / web . mit . edu / parmstr / Public / TRNSYS / 04 - MathematicalReference . pdf (hämtad 10 febr. 2021).
[32] A. Dénarié, M. Aprile och M. Motta, ”Heat transmission over long pipes: New model for fast and accurate district heating simulations”, Energy, vol. 166, s. 267–276, 2019. doi:
https://doi.org/10.1016/j.energy.2018.09.186.
[33] H. Wang, W. Ying, E. Avdollahi, R. Lahdelma och W. Jiao, ”Modelling and optimization of CHP based district heating system with renewable energy production and energy storage”, Applied Energy, vol. 159, s. 401–421, dec. 2015. doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.
apenergy.2015.09.020.
[34] M. Sameti och F. Haghighat, ”Optimization approaches in district heating and cooling thermal network”, Energy and Buildings, vol. 140, s. 121–130, april 2017. doi: https:
//doi.org/10.1016/j.enbuild.2017.01.062.
[35] M. Vesterlund, A. Toffolo och J. Dahl, ”Optimization of multi-source complex district heating network, a case study”, Energy, vol. 126, s. 53–63, 2017. doi: https://doi.org/
10.1016/j.energy.2017.03.018.
[36] S. Velut, P.-O. Larsson, J. Windahl, K. Boman och L. Saarinen, ”Non-linear and Dynamic Optimization for Short-term Production Planning”, Värmeforsk, Stockholm, Sverige, P12-203, okt. 2013.
[37] H. Ryoo och N. Sahinidis, ”Global optimization of nonconvex NLPs and MINLPs with applications in process design”, Computers & Chemical Engineering, vol. 19, nr 5, s. 551–
566, 1995. doi: https://doi.org/10.1016/0098-1354(94)00097-2.
[38] L. Moretti, G. Manzolini och E. Martelli, ”MILP and MINLP models for the optimal scheduling of multi-energy systems accounting for delivery temperature of units, topology and non-isothermal mixing”, Applied Thermal Engineering, vol. 184, s. 116 161, 2021. doi:
https://doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2020.116161.
[39] T. Fang och R. Lahdelma, ”Genetic optimization of multi-plant heat production in district heating networks”, Applied Energy, vol. 159, s. 610–619, 2015. doi: https://doi.org/10.
1016/j.apenergy.2015.09.027.
[40] Y. A. Çengel och A. J. Ghajar, Heat and Mass Transfer, Fundamentals & Applications, Fifth Edition. McGraw-Hill Education, 2015, isbn: 978-981-4595-27-8, New York, NY.
[41] S. E. Haaland, ”Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Pipe Flow”, Journal of Fluids Engineering, vol. 105, nr 1, s. 89–90, mars 1983. doi: 10.1115/
1.3240948.
[42] MathWorks, Heaviside. [Online]. Tillgänglig: https://se.mathworks.com/help/symbolic/
heaviside.html(hämtad 31 mars 2021).
[43] C. J. Willmott och K. Matsuura, ”Advantages of the mean absolute error (MAE) overthe root mean square error (RMSE) in assessing average model performance”, Climate Rese-arch, vol. 30, nr 1, s. 79–82, 2005. doi: doi:10.3354/cr030079.
[44] T. Chai och R. R. Draxler, ”Root mean square error (RMSE) or mean absolute error (MAE)? - Arguments against avoiding RMSE in the literature”, Geoscientific Model De-velopment, vol. 7, nr 3, s. 1247–1250, 2014. doi: 10.5194/gmd-7-1247-2014.
[45] MathWorks, MATLAB. [Online]. Tillgänglig: https://se.mathworks.com/products/
matlab.html(hämtad 14 mars 2021).
[46] D. C. Montgomery, G. C. Runger och N. F. Hubele, Engineering Statistics, SI Version, Fifth Edition. John Wiley & Sons, Inc., 2012, isbn: 978-0-470-64607-6, Hoboken, NJ.
[47] MathWorks, fmincon. [Online]. Tillgänglig: https://se.mathworks.com/help/optim/
ug/fmincon.html#busp5fq-7(hämtad 13 mars 2021).
[48] MathWorks, Optimization Toolbox. [Online]. Tillgänglig: https://se.mathworks.com/
products/optimization.html(hämtad 13 mars 2021).
[49] K. Narula, F. de Oliveira Filho, W. Villasmil och M. K. Patel, ”Simulation method for assessing hourly energy flows in district heating system with seasonal thermal energy storage”, Renewable Energy, vol. 151, s. 1250–1268, 2020. doi: https://doi.org/10.
1016/j.renene.2019.11.121.
[50] J. Henriksson och N. Olersbacken, ”Dimensionering och styrning av ackumulatortank hos Malåkraftvärmeverk”, 2020.
[51] Energimyndigheten, Trädbränsle och torvpriser, per år exklusive skatt, från och med 1993, kronor/MWh fritt förbrukare, löpande priser, 2021. [Online]. Tillgänglig: https://pxexternal.
energimyndigheten.se/pxweb/sv/Tr%C3%A4dbr%C3%A4nsle- %20och%20torvpriser/-/EN0307_2.px/(hämtad 22 april 2021).
[52] MathWorks, linprog. [Online]. Tillgänglig: https://www.mathworks.com/help/optim/
ug/linprog.html(hämtad 21 april 2021).
[53] B. Falay, G. Schweiger, K. O’Donovan och I. Leusbrock, ”Enabling large-scale dynamic simulations and reducing model complexity of district heating and cooling systems by aggregation”, Energy, vol. 209, s. 118 410, 2020. doi: https://doi.org/10.1016/j.
energy.2020.118410.
[54] E. Guelpa och V. Verda, ”Thermal energy storage in district heating and cooling systems:
A review”, Applied Energy, vol. 252, s. 113 474, 2019. doi: https://doi.org/10.1016/j.
apenergy.2019.113474.
[55] Vackertväder, Malå - Väderstatistik och klimat månad för månad. [Online]. Tillgänglig:
https://www.vackertvader.se/mal%C3%A5/klimat-och-temperatur (hämtad 29 mars 2021).
Appendix
A Värmeförluster i fjärrvärmesystemet
Förlustuppskattningen av värmeenergin i fjärrvärmesystemet skapades genom ett resistansnät-verk. En illustration av det tänkta nätverket, där ett tvärsnitt av ett fjärrvärmerör ligger under markytan, visas i figur A.1. Parametern r i bilden representerar radien för för de tre olika mate-rialen som i sin tur benämns med indexen v, s samt iso. Dessa står för vatten, stål och isolering i respektive ordning. Avståndet Z är längden från markytan ner till ytan av isoleringen.
Figur A.1: Principskiss av det termiska resistansnät som använts i beräkning av värmeförluster.
De olika resistanstermerna kunde sedan definieras utifrån nätverket [40]. Resistansen för marken beräknades genom
Rmark= ∆x
(kmark· Z · ∆x) (A1)
där ∆x representerar den längd som tittas på, till exempel avståndet på rörbiten i figur A.1, och kmark motsvarar den termiska konduktivteten för marken. På liknande sätt kunde resistansen för fjärrvärmeröret beräknas med hjälp av
och resistansen för isoleringen enligt
Riso= ln(riso/rs)
(2 · π · kiso· ∆x). (A3)
För i denna studie använda värden för den termiska konduktiviteten samt radier finns i tabell A.1. Värdena för termisk konduktivitet är hämtade från litteratur [40] medan tjocklekarna samt djupet är baserade typiska värden. Avståndet ∆x berodde på vattenelementens längd och var därför inte konstant genom simuleringens förlopp.
Tabell A.1: Använda värden på termisk konduktivitet samt tjocklekar på radier och djup för resistansberäkning.
Mått Värde Enhet
kmark 0.9 (W/mK)
krör 10 (W/mK)
kiso 0.025 (W/mK)
Z 1 (m)
rrör 1 (mm)
riso 80 (mm)
En fjärde resistans, Rm,övrig, etablerades men lämnades att varieras i en optimeringsalgoritm.
Med funna värden på den sista resistansen kunde den totala resistansen summeras genom att addera den med ekvationer (A1)-(A3) enligt
Rtot= Rmark+ Rrör+ Riso+ Rm,övrig. (A4)
Med den totala resistansen känd kunde konsekvent värmeförlusten bestämmas genom
Pförlust= ∆x · (Tv,1− T∞)
Rtot (A5)
där Tv,1betecknar vattenelementets initiala temperatur och T∞ omgivningstemperaturen. I stu-dien nyttjades en omgivningstemperatur som baserats på snittet mellan medeltemperaturen för dag och natt på en månadsvis basis i Malå [55] och är listade i tabell A.2.
Tabell A.2: Medeltemperaturer dag och natt samt snittemperaturen mellan de två för varje månad under ett år i Malå [55].
Månad Dag (°C) Natt (°C) Snitt (°C)
Jan -10 -13 -11.5
Feb -8 -12 -10
Mar -4 -8 -6
Apr 2 -1 0.5
Maj 9 6 7.5
Jun 14 12 13
Jul 17 15 16
Aug 14 12 13
Sep 9 6 7.5
Okt 2 0 1
Nov -3 -6 -4.5
Dec -5 -8 -6.5
Till sist kunde den för tidsperiodens slutgiltiga temperaturen hos det avsedda vattenelementet beräknas med resultatet från ekvation (A5) enligt
Tv,2= Tv,1− Pförlust
m · cp,v. (A6)
Med den initiala temperaturen samt den slutgiltiga temperaturen hos vattenelementen känt kunde temperaturförlusten över perioden beräknas genom att subtrahera Tv,1 med Tv,2.
B Kalibrering och normalfördelning
Det nyttjade feluppskattningmåttet baseras på antagandet om normalfördelad data. Kalibre-ringen genomfördes på en månadsbasis och detta skapade på så vis tolv olika dataset. Hur väl datan förhöll sig till detta antagande över alla månader illustreras i figurerna B.2 och B.3. De blå kryssen motsvarar värdet för det simulerade resultatet minus det uppmätta. Den strecka-de svarta linjen är en referenslinje och indikerar god korresponstrecka-dens med normalförstrecka-delning ifall
Det nyttjade feluppskattningmåttet baseras på antagandet om normalfördelad data. Kalibre-ringen genomfördes på en månadsbasis och detta skapade på så vis tolv olika dataset. Hur väl datan förhöll sig till detta antagande över alla månader illustreras i figurerna B.2 och B.3. De blå kryssen motsvarar värdet för det simulerade resultatet minus det uppmätta. Den strecka-de svarta linjen är en referenslinje och indikerar god korresponstrecka-dens med normalförstrecka-delning ifall