En av målfunktionerna som kan användas vid ALM-analyser är en nyttofunktion. En nyttofunktion väger avkastning mot risk vilket resulterar i ett värde på erhållen nytta. Genom att maximera nyttan kan en optimal portfölj ges utifrån en investerares specifika riskaversion. Utgångspunkten i optimeringen är beräkningar av förväntad nytta av för- mögenheten i olika scenarier och sedan väljs den portfölj där nyttan är maximal. En av de vanligaste metoderna för att identifiera en optimal portfölj är Markowitz Mean-Variance modell. I den modellen antas att nyttofunktionen är kvadratisk eller att tillgångarnas avkastning är normalfördelade. Används Mean-Variance modellen väljer investeraren en portfölj som ligger på tangenten mellan den effektiva fronten och indifferenskurvan och den optimala portföljen erhålls genom att maximera väntevärdet av förmögenhetens nytta enligt max 1Tω=1µ Tω + γ − 1 2 ω TCω (4.2.1)
där γ är ett mått på investerarens riskaversion, ω är portföljvikterna, µ är tillgångarnas förväntade avkastning och C är tillgångarnas kovariansmatris. (Amenc och Le Sourd, 2003)
Ett sätt att använda denna modell i ALM-analyser för pensionsfonder är enligt Berkelaar och Kouwenberg (2003) att maximera förväntad nytta utöver balanstalet. Investeraren gör därmed en avvägning mellan variansen för överskott i avkastning (tillgångar minus skulder) och förväntat överskott i avkastning. I Berkelaar och Kouwenberg (2003) modell läggs även ett bivillkor till som begränsar det maximala fallet som kan ske i balanstalet vilket blir ett sätt att begränsa risken för att balanseringen aktiveras.
En liknande modell används av Jarvis (2011) där en nyttofunktion med konstant relativ riskaversion maximeras. Nyttofunktionen uttrycks
u(ω) = ω1−γ−1 1−γ γ > 0, γ 6= 1 ln(ω) γ = 1 (4.2.2)
och för att begränsa risken för stora förluster sätts en riskfuntion med en övre gräns på förlust som bivillkor.
En variant av Markowitz Mean-Variance modell är när investeraren också investerar i riskfri ränta. Optimering av allokering mellan en riskfri tillgång och en marknadsportfölj sker endast två dimensioner, vilket underlättar vid icke-konvexa problem. Den riskfria tillgången och marknadsportföljen skapar den så kallade Capital Market Line, CML, vil- ken är en rak linje som utgör den effektiva fronten när en av tillgångarna är riskfri, se figur 4.1 (Amenc och Le Sourd, 2003).
Figur 4.1: Capital Market Line där µM är marknadsportföljens avkastning, σM är mark-
nadsportföljens volatilitet, r är riskfri ränta, µP är förväntad avkastning och σP är port-
följvolatiliteten. (Amenc och Le Sourd, 2003)
Marknadsportföljen innehåller flera olika tillgångar och tangerar den effektiva fronten och CML. Var någonstans på CML en investerare befinner sig beror på dennes riskaverison vilket avgör hur mycket som investeras i marknadsportföljen. Förväntad avkastning för investerarens portfölj ges då av
µP = (1 − α)r + αµM (4.2.3)
där µM utgör förväntad avkastning för marknadsportföljen, r är riskfri ränta och α är
andelen som investerats i marknadsportföljen. (Amenc och Le Sourd, 2003)
Den optimala sammansättningen av marknadsportföljen kan erhållas genom att maxi- mera Sharpe kvoten. Då erhålls marknadsportföljen som lösningen till följande optime- ringsproblem maxω Tµ − r σP (4.2.4) med bivillkoret 1Tω = 1 (4.2.5)
där ω är marknadsportföljens vikter, µ är avkastningen för de olika tillgångarna i port- följen och σP är portföljens volatilitet. Problemet ger marknadsportföljens vikter enligt
ω∗ = C
−1
(µ − r1)
(µ − r1)TC−11 (4.2.6)
där lösningen betecknas ω∗ och C är kovariansmatrisen. (Rachev m.fl., 2008)
En annan modell för att ta fram en optimal allokering i ALM-kontext har utvecklats av Yang m.fl. (2003). I denna modell maximeras förmögenheten i varje tidsperiod och en straffkostnad sätts på att inte kunna möta skulden. För att kontrollera risken sätts ett bi- villkor som använder stokastisk dominans för att begränsa hur mycket risk som får tas. En fördel med denna modell är att det går att variera straffet på att inte kunna möta skulden. En annan metod som kan användas för optimera tillgångsallokeringen är att minimera en målfunktion med riskmåttet Conditional Value at Risk (CVaR) som är en utveckling av riskmåttet VaR. VaR är det historiskt mest använda måttet på finansiella marknader vilket kan bero på att det är lätt att förstå och hantera när riskfaktorer är normalför- delade men CVaR blir allt populärare. (Krokhmal m.fl., 2001) VaR är ett riskmått som kan ge ett nummerärt värde som representerar risken för en hel portfölj. Måttet visar hur mycket en investering riskerar att förlora givet en bestämd tidsperiod och sannolikhet. VaR är variabeln V i påståendet: med X procent säkerhet erhålls inte en förslust större än
V under tidsperioden T. Måttet har fördelen att det är lätt att förstå men det beskriver
inte hur sannolikhetsfunktioners svansar ser ut. (Hull, 2015)
CVaR är ett riskmått som beskriver risker i svansen över en bestämd tidsperiod. Förlus- ten är, likt VaR, bestämd på en specifik sannolikhetsnivå, exempelvis förlusten kommer att vara mindre än en viss nivå i 95 procent av fallen. CVaR beskriver till skillnad från VaR hur fördelningen ser ut i svansen då måttet representerar medelförlusten som är större än VaR. CVaR kvantifierar hur stora potentiella förluster kommer att vara vilket visas i figur (4.2). CVaR visas av den streckade linjen och är medelförlusten av den mörka arean. (Jarvis, 2011)
Figur 4.2: Sannorlikhetsfördelning och CVaR, (Jarvis, 2011)
Riskmåttet CVaR är till skillnad från VaR subadditivt för icke normalfördelningar vil- ket betyder att CVaR kan adderas för enskilda tillgångar för att hitta en övre gräns för portföljens totala CVaR. VaR för en portfölj med två tillgångar kan vara större än det in- dividuella VaR för de enskilda tillgångarna. VaR är också svårt att optimera för diskreta fördelningar då det är icke-konvext vilket betyder att det kan ha många lokalt optimala
punkter. (Krokhmal m.fl., 2001)
Enligt Rockafellar och Uryasev (2000) kan CVaR minimeras genom att minimera mål- funktionen F (ω, ζ) = ζ + 1 q(1 − θ) q X k=1 [−ωTyk− ζ]+ (4.2.7)
där ζ är värdet för VaR, θ är konfidensnivån för förlusten och −ωTy
k är förlusten. ω
representerar en portföljs tillgångar och
n
X
j=1
ωj = 1 (4.2.8)
där ωj är portföljens position i tillgång j. yk är en vektor med slumpade avkastningar
för alla j med gemensam fördelning och q är antalet slumpade scenarier. F (ω, ζ) kan reduceras till ett konvext problem genom att skriva om det på linjär form enligt
min ζ + 1 q(1 − θ) q X k=1 uk (4.2.9) med bivillkoren 0 6 uk (4.2.10) och 0 6 ωTyk+ ζ + uk. (4.2.11)
Då erhålls ett linjärt optimeringsproblem med linjär målfunktion och linjära bivillkor. Re- duceringen är oberoende av y:s fördelning och fungerar för tillgångar som inte är normal- fördelade. Rockafellar och Uryasev (2000) visar att eftersom VaR 6 CVaR så minimeras också VaR vid optimering av CVaR. Eftersom VaR också är en variabel i optimeringen så är det möjligt att även erhålla värdet på VaR vid minimeringen av CVaR.
Minimeringen av CVaR som målfunktion kan ske med hänsyn till hela portföljen med ett avkastningskrav, R, som uttrycks
µ(x) > R (4.2.12)
där µ(x) ges av
µ(x) = ωTm (4.2.13)
där m är medelavkastningen. Avkastningskraven medför att endast portföljer med för- väntad avkastning som är större än R kommer att bli accepterade. Optimeringsmodellen ger ett resultat som långsiktigt genererar en förväntad avkastning.
Minimering av CVaR i ALM-analyser kan också ske med hänsyn till skillnaden mellan skulder och tillgångar vilket ställer krav på avkastning (Ferstl och Weissensteiner, 2011). Detta skulle för det svenska pensionssystemet kunna liknas med att beräkna CVaR för ba- lanstalet. I modellen från Ferstl och Weissensteiner (2011) minimeras CVaR för skulderna minus tillgångarna. Modellen har bivillkor som matchar tillgångar och skulder för varje tidsperiod samtidigt som den ser till nya investeringar och utbetalningar. Den tar även
hänsyn till transaktionskostnader. Modellen är en flerstegsmodell som minimerar CVaR i slutet av planeringshorisonten. Resultatet från optimeringen blir hur tillgångarna ska allokeras idag givet att investeraren vill minimera CVaR i slutet av planeringshorisonten och får göra omallokeringar vid ett visst antal tidpunkter fram tills dess. Ett problem med flerstegsmodeller är att scenarieträdet växer för varje tidssteg vilket kan göra modellen svår att implementera och köra. Ytterligare ett problem med Ferstl och Weissensteiner (2011) modell är att den minimerar CVaR i slutet av planeringshorisonten och inte i varje tidsperiod.
En annan optimeringsvariant är att istället för att minimera risken med bivillkor för avkastning, maximera avkastning med bivillkor för risk. Detta kan enligt Krokhmal m.fl. (2001) göras genom målfunktionen
min ω,ζ N X j=1 −E[Pj]ωj∗ (4.2.14)
där Pj är en vektor med scenariogenererade priser i slutet av perioden för tillgångarna j
och ω∗j är en vektor med de optimala positionerna. Denna modell har som bivillkor ett krav på CVaR, där CVaR approximeras som en viktad summa av alla scenarier. Modellen tar också hänsyn till transaktionskostnader.
Optimering av tillgångsallokering kan även ske med olika riskfunktioner som målfunktion, exempelvis med varians, varianter av varians eller med CVaR som beskrivits ovan. Det finns många olika riskmått som utgår från variansen. Ett av dem är volatilitet eller standardavvikelse vilket är roten ur variansen och beräknas som
v u u t 1 T T X t=1 (µt,j − µj) 2 (4.2.15) där T är antalet mätpunkter eller antalet perioder, µt,j är avkastningen för tillgång j i
perioden t och µj är medelavkastningen. Standardavvikelsen är det mest använda måt-
tet på risk men det har nackdelen att det både ser till positiva och negativa avvikelser från medelvärdet. Investerare ser normalt sett inte utfall över medelvärdet som något negativt. Vid optimering med en riskfunktion som minimerar standardavvikelsen straffas avkastningar som skiljer sig från medelvärdet vilket medför att även positiva avvikelser straffas. (Amenc och Le Sourd, 2003)
Ett mått som bara tar hänsyn till utfall som är mindre än medelavkastningen är semi- varians som beräknas enligt
1 T X 0≤t≤T µt,j<µj (µt,j − µj) 2 . (4.2.16)
Semi-varians ser till skevhet i risk då det endast tar hänsyn till avkastningar som är mindre än medelavkastningen. Om avkastningen anses vara symmetriskt fördelad, vilket den är vid normalfördelning, är semi-varians hälften av variansen. Detta är inte fallet om avkastningen har en skevhet i fördelningen. (Amenc och Le Sourd, 2003) Vid optimering med en riskfunktion som minimerar semi-variansen straffas avkastningar som är negativa
och skiljer sig från medelvärdet.
En utveckling av semi-varians är måttet Lower Partial Moments (LPM) som mäter risken för avkastningar som är under ett bestämt avkastningsmål. LPM beräknas enligt
1 T T X t=1 (max(0, h − µt,j)) n (4.2.17) där h är avkastningsmålet. Måttet kan beräknas med flera olika värden på n och när
n = 2 är uttrycket det samma som semi-varians med medelavkastningen som avkast-
ningsmål. Beroende på en investerares riskaversion sätts olika värden på n. Sätt n ≤ 1 är investeraren risksökande, om n = 1 är investeraren riskneutral och om 1 ≤ n är inve- steraren riskaversiv. Ju högre värde på n desto mer riskaversiv är investeraren. (Amenc och Le Sourd, 2003)