5.5 Tillvägagångssätt och parameterval
5.5.4 Optimering och simulering av marknadsportföljen
Efter att ha fastställt de optimala vikterna i marknadsportföljen kommer den förvän- tade avkastningen och volatiliteten för marknadsportföljen att beräknas, för att senare kunna göra Monte Carlo simulering av marknadsportföljens utveckling. Den förväntade avkastningen för portföljen kommer att beräknas utifrån den förväntade avkastningen för de enskilda tillgångarna och de erhållna optimala vikterna på samma sätt som i ekva- tion (5.5.3). Den förväntade avkastningen på de enskilda tillgångarna kommer beräknas utifrån CAPM:
µCj = r + βj(µM − r) j = 1, ..., 7. (5.5.11)
där r är den förväntade riskfria räntan, µM− r är den förväntade marknadspremien och β
beräknas enligt ekvation (5.5.6). För portföljen blir den förväntade avkastningen därmed
µM = 7 X j=1 ωj · µCj = 7 X j=1 ωj· (r + βj(µM − r)) = 7 X j=1 ωj · r + 7 X j=1 ωj· βj(µM − r) = r + (µM − r) (5.5.12)
Den förväntade riskfria räntan, r, och riskpremien på marknaden, µM − r, behöver skat-
tas för de kommande 85 åren, eftersom det är så långa prognoser som finns tillgängliga för pensionssystemet. I dagsläget är den riskfria räntan negativ och förväntas vara låg de närmsta åren (Riksbanken, 2016a), men eftersom samtliga av Pensionsmyndighetens prognoser för pensionssystemet antar en inflation på 2 procent, kommer den nominella riskfria räntan i detta arbete antas vara positiv. Den riskfria ränta kommer att antas vara 2 procent i genomsnitt under de närmsta 85 åren. Att differensen mellan inflationen och riskfri ränta antas vara noll beror på att enligt Riksbanken (2016b) och Statistiska centralbyrån (2016a) har medelvärdet för differensen mellan inflation och svenska stats- skuldväxlar, med löptid tre månader, de senaste fem åren varit det. Differensen har också
stundvis varit negativ. Med längre historik har dock den riskfria räntan varit något högre än inflationen. Mellan år 1990 och 2015 har medelvärdet för differensen mellan riskfri ränta och inflation varit 2,4 procentenheter. Därför kommer också tester göras med en högre riskfri ränta i känslighetsanalysen. Marknadspremien, det vill säga skillnaden mel- lan marknadsportföljens avkastning och riskfri ränta, kommer att sättas till 4 procent i detta arbete vilket dels är baserat på de studier som Ilmanen (2012) gjort av den historis- ka riskpremien för amerikanska aktier och obligationer, där lång historik finns tillgänglig. En marknadspremie på fyra procent är även baserad på att Tredje AP-fondens långsik- tiga statiska portfölj är konstruerad så att den långsiktigt ska avkasta 4 procent realt, vilket innebär 6 procent nominellt om 2 procent inflation antas. Ett antagande om en framtida marknadspremie på 4 procent uppfyller en nominell avkastning på 6 procent om den riskfria räntan är 2 procent, vilket likt tidigare nämnts kommer antas i detta arbete. Den förväntade volatiliteten för portföljen kommer att berknas enligt
σM =√ωTCω (5.5.13)
där ω är en vektor med portföljvikter, C är kovariansmatrisen och ωT är transponatet
till ω. Kovariansmatrisen kommer att skattas utifrån den historiska data som finns för de index som bygger upp marknadsportföljen och den kommer därför bestå av de varianser och kovarianser som beräknas vid framtagandet av den optimala marknadsportföljen, på samma sätts som beskrivits i avsnitt 5.5.3.
För att Monte Carlo simulera marknadsportföljens utveckling kommer samtliga av de tre modeller som beskrivs i kapitel 4.4 initialt att testas, det vill säga Geometrisk Brownsk rörelse, jump diffusion och Students t-fördelning. De parametrar som behövs till model- lerna kommer estimeras med maximum likelihood-metoden. Genom att simulera många förväntade avkastningar från var och en av de fördelningar som ska testas och sedan jäm- föra dessa med historisk data i en Quantile-Quantile plot (QQ-plot), går det att avgöra vilken av fördelningarna som bäst passar den historiska datan. Den fördelning som passar bäst kommer sedan användas till att simulera utvecklingen för marknadsportföljen. Simu- leringen kommer göras årsvis vilket medför att tidssteget mellan avkastningarna kommer vara ett år. För de tillgångar som finns i marknadsportföljen och beskrivs i avsnitt 5.3 är den historiska datan endast 18 år lång vilket gör det svårt att estimera de paramet- rar som behövs i en jump diffusion modell samt frihetsgraderna i en t-fördelning. För att få fler datapunkter kan månadsdata istället användas, men detta kan ge missvisande resultat eftersom det kan finnas autokorrelation mellan punkterna. Under en börskrasch exempelvis är det vanligt med stora fall flera månader i rad och månadsavkastningarna är därmed inte oberoende. För att kunna estimera parametrarna utifrån årsvisa avkastning- ar kommer därmed historisk data för en portfölj bestående av 50 procent svenska aktier och 50 procent obligationer med löptid 5 år (eftersom den genomsnittliga durationen i Tredje AP-fondens långsiktiga portfölj är 5 år) att användas. Historisk data för denna portfölj kommer hämtas från den sammanställning som Waldenström (2014) har gjort över historiska aktiekurser och obligationsräntor i Sverige. Genom att använda denna data kan parametrarna estimeras utifrån 113 historiska datapunkter.
Utifrån den valda fördelningen kommer avkastningen i varje tidssteg beräknas enligt de ekvationer som beskrivs i kapitel 4.4. Avkastningen kommer beräknas itterativt för 85 tidsperioder, det vill säga fram till år 2100, eftersom att det är så långa prognoser som
Pensionsmyndigheten har tillgängligt för pensionssystemet. Denna process kommer sedan upprepas flera gånger för att skapa flera scenarier för marknadsportföljens utveckling. I detta arbete kommer många scenarier behöva genereras eftersom tidsperioden är lång. Exakt hur många scenarier som ska genereras kommer fastställas genom tester, eftersom det är en avvägning mellan beräkningstiden och vilken spridning som erhålls på målfunk- tionsvärdet. För att minska antalet scenarier som behövs för att erhålla en bra approx- imation kommer båda de variansreducerande teknikerna Latin hyperkub sampling och antitetisk sampling att testas. Dessa teknik beskrivs närmre i kapitel 4.5.1 och 4.5.2. Ini- tiala tester kommer göras för att fastställa vilken av dessa tekniker som ger mest stabilt svar och denna teknik kommer sedan användas i alla tester framöver. Latin hyperkub samling kommer implementeras genom att använda kommandot lhsnorm i Matlab för att generera de N (0, 1)-fördelade slumptalen ε och vid den antitetiska samplingen kom- mer slumptalen istället genereras i par, där det ena slumptalet är en spegling av det andra. Utifrån scenarierna för marknadsportföljens utveckling kan buffertfondernas värde i varje tidssteg beräknas genom att först beräkna de köp- och säljbeslut som ska tas i tidssteget utifrån ekvation (5.4.13) och (5.4.14) och därefter beräkna det nya värdet för buffert- fonderna enligt ekvation (5.4.2), (5.4.4) och (5.4.5). Detta kräver även värden på ANt,s
och ADt,s, vilka hämtas och beräknas utifrån data från Pensionsmodellen vilket beskrivs
närmre i nästa avsnitt. För att beräkna de köp- och säljbeslut som ska tas behövs även an- delen α som tilldelas marknadsportföljen. Eftersom optimeringsproblemet är icke-konvext kommer lösningsrummet diskretiseras och olika tillåtna värden för α testas. α kommer starta på 0 och sedan i steg av storleken 0,01 öka upp till det maximalt tillåtna värdet på α, vilket styrs av bivillkoret i ekvation (5.4.11).