5.5 Tillvägagångssätt och parameterval
5.5.6 Simulering av pensionsystemets utveckling
µ = r + Cω
M
σ2
M
(µM − r). (5.5.7)
Detta tillsammans med ekvation 5.2.5 ger
ω∗ = (µ − r1) TC−1 1 C−1(µ − r1) = (r + Cωσ2M M (µM − r) − r1)TC−1 1 C−1(r + Cωσ2M M (µM − r) − r1) (5.5.8) = C−1 Cωσ2M M (µM − r) 1TC−1 Cωσ2M M (µM − r) = ωM 1TωM = ω M
Eftersom denna portfölj innehåller flera olika tillgångar och är väl diversifierad kan den anses vara en bra marknadsportfölj. Målet med optimeringen blir således att finna en optimal fördelningen mellan denna portfölj och en riskfri tillgång, det vill säga den fördel- ning mellan riskfyllda och riskfria tillgångar som buffertfonderna bör ha för att minimera förluster och skapa rättvisa mellan generationer.
5.5.3
Skattning av förväntad varians och kovarians
För att skatta den förväntade volatiliteten kommer en likaviktad historisk volatilitet användas. Anledningen till detta är att volatiliteten kommer skattas på årsbasis och att
använda någon metod som tar hänsyn till volatilitetsklustring, exempelvis EWMA, blir därmed irrelevant eftersom det är lång tid mellan punkterna. Den förväntade volatiliteten kommer skattas enligt
σj = v u u t 12 H H X t=1 (µj,t− µj)2 j = 1, ..., 7 (5.5.9)
där µj,t är den logaritmiska avkastningen för tillgång j under tidsperiod t och µj är den
genomsnittliga logaritmiska avkastningen för tillgång j. Volatiliteten kommer beräknas från månadsvisa observationer som sedan skalas upp för att bli en förväntad volatilitet på årsbasis, därav 12 i täljaren i ekvation (5.5.9). Antalet tidsperioder H kommer sättas till 218, eftersom det likt tidigare beskrivits är så lång historik som finns tillgänglig för flera av indexen. Kovariansen mellan tillgång i och j kommer skattas enligt
σ2i,j = 12 T T X t=1 (µi,t− µi)(µj,t− µj) j = 1, ..., 7 i = 1, ..., 7. (5.5.10)
med samma parametrar som vid skattningen av variansen i ekvation (5.5.9).
5.5.4
Optimering och simulering av marknadsportföljen
Efter att ha fastställt de optimala vikterna i marknadsportföljen kommer den förvän- tade avkastningen och volatiliteten för marknadsportföljen att beräknas, för att senare kunna göra Monte Carlo simulering av marknadsportföljens utveckling. Den förväntade avkastningen för portföljen kommer att beräknas utifrån den förväntade avkastningen för de enskilda tillgångarna och de erhållna optimala vikterna på samma sätt som i ekva- tion (5.5.3). Den förväntade avkastningen på de enskilda tillgångarna kommer beräknas utifrån CAPM:
µCj = r + βj(µM − r) j = 1, ..., 7. (5.5.11)
där r är den förväntade riskfria räntan, µM− r är den förväntade marknadspremien och β
beräknas enligt ekvation (5.5.6). För portföljen blir den förväntade avkastningen därmed
µM = 7 X j=1 ωj · µCj = 7 X j=1 ωj· (r + βj(µM − r)) = 7 X j=1 ωj · r + 7 X j=1 ωj· βj(µM − r) = r + (µM − r) (5.5.12)
Den förväntade riskfria räntan, r, och riskpremien på marknaden, µM − r, behöver skat-
tas för de kommande 85 åren, eftersom det är så långa prognoser som finns tillgängliga för pensionssystemet. I dagsläget är den riskfria räntan negativ och förväntas vara låg de närmsta åren (Riksbanken, 2016a), men eftersom samtliga av Pensionsmyndighetens prognoser för pensionssystemet antar en inflation på 2 procent, kommer den nominella riskfria räntan i detta arbete antas vara positiv. Den riskfria ränta kommer att antas vara 2 procent i genomsnitt under de närmsta 85 åren. Att differensen mellan inflationen och riskfri ränta antas vara noll beror på att enligt Riksbanken (2016b) och Statistiska centralbyrån (2016a) har medelvärdet för differensen mellan inflation och svenska stats- skuldväxlar, med löptid tre månader, de senaste fem åren varit det. Differensen har också
stundvis varit negativ. Med längre historik har dock den riskfria räntan varit något högre än inflationen. Mellan år 1990 och 2015 har medelvärdet för differensen mellan riskfri ränta och inflation varit 2,4 procentenheter. Därför kommer också tester göras med en högre riskfri ränta i känslighetsanalysen. Marknadspremien, det vill säga skillnaden mel- lan marknadsportföljens avkastning och riskfri ränta, kommer att sättas till 4 procent i detta arbete vilket dels är baserat på de studier som Ilmanen (2012) gjort av den historis- ka riskpremien för amerikanska aktier och obligationer, där lång historik finns tillgänglig. En marknadspremie på fyra procent är även baserad på att Tredje AP-fondens långsik- tiga statiska portfölj är konstruerad så att den långsiktigt ska avkasta 4 procent realt, vilket innebär 6 procent nominellt om 2 procent inflation antas. Ett antagande om en framtida marknadspremie på 4 procent uppfyller en nominell avkastning på 6 procent om den riskfria räntan är 2 procent, vilket likt tidigare nämnts kommer antas i detta arbete. Den förväntade volatiliteten för portföljen kommer att berknas enligt
σM =√ωTCω (5.5.13)
där ω är en vektor med portföljvikter, C är kovariansmatrisen och ωT är transponatet
till ω. Kovariansmatrisen kommer att skattas utifrån den historiska data som finns för de index som bygger upp marknadsportföljen och den kommer därför bestå av de varianser och kovarianser som beräknas vid framtagandet av den optimala marknadsportföljen, på samma sätts som beskrivits i avsnitt 5.5.3.
För att Monte Carlo simulera marknadsportföljens utveckling kommer samtliga av de tre modeller som beskrivs i kapitel 4.4 initialt att testas, det vill säga Geometrisk Brownsk rörelse, jump diffusion och Students t-fördelning. De parametrar som behövs till model- lerna kommer estimeras med maximum likelihood-metoden. Genom att simulera många förväntade avkastningar från var och en av de fördelningar som ska testas och sedan jäm- föra dessa med historisk data i en Quantile-Quantile plot (QQ-plot), går det att avgöra vilken av fördelningarna som bäst passar den historiska datan. Den fördelning som passar bäst kommer sedan användas till att simulera utvecklingen för marknadsportföljen. Simu- leringen kommer göras årsvis vilket medför att tidssteget mellan avkastningarna kommer vara ett år. För de tillgångar som finns i marknadsportföljen och beskrivs i avsnitt 5.3 är den historiska datan endast 18 år lång vilket gör det svårt att estimera de paramet- rar som behövs i en jump diffusion modell samt frihetsgraderna i en t-fördelning. För att få fler datapunkter kan månadsdata istället användas, men detta kan ge missvisande resultat eftersom det kan finnas autokorrelation mellan punkterna. Under en börskrasch exempelvis är det vanligt med stora fall flera månader i rad och månadsavkastningarna är därmed inte oberoende. För att kunna estimera parametrarna utifrån årsvisa avkastning- ar kommer därmed historisk data för en portfölj bestående av 50 procent svenska aktier och 50 procent obligationer med löptid 5 år (eftersom den genomsnittliga durationen i Tredje AP-fondens långsiktiga portfölj är 5 år) att användas. Historisk data för denna portfölj kommer hämtas från den sammanställning som Waldenström (2014) har gjort över historiska aktiekurser och obligationsräntor i Sverige. Genom att använda denna data kan parametrarna estimeras utifrån 113 historiska datapunkter.
Utifrån den valda fördelningen kommer avkastningen i varje tidssteg beräknas enligt de ekvationer som beskrivs i kapitel 4.4. Avkastningen kommer beräknas itterativt för 85 tidsperioder, det vill säga fram till år 2100, eftersom att det är så långa prognoser som
Pensionsmyndigheten har tillgängligt för pensionssystemet. Denna process kommer sedan upprepas flera gånger för att skapa flera scenarier för marknadsportföljens utveckling. I detta arbete kommer många scenarier behöva genereras eftersom tidsperioden är lång. Exakt hur många scenarier som ska genereras kommer fastställas genom tester, eftersom det är en avvägning mellan beräkningstiden och vilken spridning som erhålls på målfunk- tionsvärdet. För att minska antalet scenarier som behövs för att erhålla en bra approx- imation kommer båda de variansreducerande teknikerna Latin hyperkub sampling och antitetisk sampling att testas. Dessa teknik beskrivs närmre i kapitel 4.5.1 och 4.5.2. Ini- tiala tester kommer göras för att fastställa vilken av dessa tekniker som ger mest stabilt svar och denna teknik kommer sedan användas i alla tester framöver. Latin hyperkub samling kommer implementeras genom att använda kommandot lhsnorm i Matlab för att generera de N (0, 1)-fördelade slumptalen ε och vid den antitetiska samplingen kom- mer slumptalen istället genereras i par, där det ena slumptalet är en spegling av det andra. Utifrån scenarierna för marknadsportföljens utveckling kan buffertfondernas värde i varje tidssteg beräknas genom att först beräkna de köp- och säljbeslut som ska tas i tidssteget utifrån ekvation (5.4.13) och (5.4.14) och därefter beräkna det nya värdet för buffert- fonderna enligt ekvation (5.4.2), (5.4.4) och (5.4.5). Detta kräver även värden på ANt,s
och ADt,s, vilka hämtas och beräknas utifrån data från Pensionsmodellen vilket beskrivs
närmre i nästa avsnitt. För att beräkna de köp- och säljbeslut som ska tas behövs även an- delen α som tilldelas marknadsportföljen. Eftersom optimeringsproblemet är icke-konvext kommer lösningsrummet diskretiseras och olika tillåtna värden för α testas. α kommer starta på 0 och sedan i steg av storleken 0,01 öka upp till det maximalt tillåtna värdet på α, vilket styrs av bivillkoret i ekvation (5.4.11).
5.5.5
Hämtning och transformering av pensionsdata
Data som behövs för att beräkna pensionssystemets tillgångar och skulder, vilka kommer behövas för att beräkna målfunktionsvärdet, kommer att genereras med hjälp av Pen- sionsmyndighetens verktyg Pensionsmodellen som gör simuleringar av pensionssystemet. I modellen är befolkningen indelad i kohorter och beskrivs enligt dimensionerna kön, ålder och ursprungsland samt 498 statusgrupper vilket ger en upplösning på 51288. Befolkning- en simuleras år för år genom att en transitionsmatris beskriver sannolikheter att gå från ett tillstånd till ett annat och datan är baserad på SCB:s befolkningsprognoser. Den demografiska modellen tillsammans antaganden om tillväxter, inflation och avkastning samt det regelsystem som används för att styra pensionssystemet är implementerade i Pensionsmodellen. Från Pensionsmodellen kan framtida värden på avgiftstillgången, buf- fertfonderna och pensionsskulden erhållas i ett specifikt demografiskt och ekonomiskt scenario. Avgiftstillgången beror inte på buffertfondernas avkastning och därför kommer värdet på denna att hämtas direkt från Pensionsmodellen. Buffertfondernas värde kom- mer att beräknas enligt ekvation (5.4.2) och värdet på administrationskostnaderna, ADt,
kommer hämtas från Pensionsmodellen. Övriga variabler som behövs för att lösa optime- ringsproblemet beror på vilken uppskrivningstakt som används på pensionsutbetalningar och pensionsbehållningar och är därmed beroende av buffertfondernas avkastning. Dessa variabler är pensionsskulden St och pensionsutbetalningarna Ut, som i sin tur används
för att beräkna avgiftsnettot ANt, balanstalet BTt, uppskrivningstakten Rt och buffert-
fondernas värde BFt. Dessa värden kan därför inte hämtas direkt från Pensionsmodellen
dellen användas som indata. Denna kommer sedan transformeras för att spegla en annan avkastning för buffertfonderna. Fördelen med att göra detta är att det är beräkningsmäs- sigt lättare att transformera en ursprungsprognos jämfört med att generera en fristående prognos. Samtidigt innebär det dock att vissa antaganden måste göras vilket medför att de beräknade värdena inte ger en helt korrekt spegling av pensionssystemets verkliga utveckling. För pensionsutbetalningarna, Ut, görs reindexeringen:
Ut1 = Ut0B 1 t B0 t (5.5.14) där Ut0 är ursprungsprognosen för utbetalningarna, Bt1 är det balansindex som impliceras av den nya avkastningen för buffertfonderna, B0
t är ursprungsprognosen för balansin-
dex och U1
t är den nya prognosen för utbetalningarna. Denna approximering kan göras
eftersom utbetalningarna indexeras med balansindex. Under en balanseringsperiod blir utbetalningarna lägre men när balanseringen upphör ska utbetalningarna ske på samma nivå som om balanseringen aldrig inträffat, det vill säga när balansindex är samma i scenario 0 och scenario 1 ska utbetalningarna vara lika stora. Utbetalningarnas storlek beror dock inte bara på balansindex, utan även på att det tillkommer och faller bort pen- sionärer i systemet. Ekvation (5.5.14) är därför en approximation av det verkliga värdet. För att validera att ekvation (5.5.14) ger en bra approximation av den verkliga utveckling- en av pensionsutbetalningarna har tester genomförts. Detta har gjorts genom att generera åtta olika scenarier för pensionssystemets utveckling i Pensionsmodellen. Fyra av dessa är baserade på Pensionsmyndighetens basscenario och är helt lika förutom att buffertfon- dernas avkastning skiljer sig och är antingen 0, 1, 1,8 eller 3,25 procent. De andra fyra är baserade på Pensionsmyndighetens pessimistiska scenario och testades med samma fyra antaganden om buffertfondernas avkastning som för basscenariet. Anledningen till att avkastningarna 0, 1, 1,8 och 3,25 procent användes var för att dessa redan fanns inlag- da i Pensionsmodellen. Därefter har modellens förmåga att replikera ett scenario testats genom att låta U0
t vara utbetalningarna i scenariot där buffertfondernas avkastning är
0 procent och U1
t vara utbetalningarna i de andra scenarierna. Det vill säga basscena-
riot med avkastning 0 procent har försökt replikera basscenariot med avkastning 1, 1,8 och 3,25 procent och det pessimistiska scenariot med avkastning 0 procent har försökt replikera det pessimistiska scenariot med avkastning 1, 1,8 och 3,25 procent. De värden som erhölls på Ut1 i ekvation (5.5.14) har sedan jämförts med de verkliga värdena på Ut1 som erhölls från Pensionsmodellen. De procentuella avvikelserna mellan utbetalningarna beräknade enligt ekvation (5.5.14) och de verkliga prognoserna har sammanställts i ett histogram i figur 5.1.
Figur 5.1 visar att majoriteten av de beräknade utbetalningarna bara skiljer sig mar- ginellt från den verkliga prognosen. Maximalt blir avvikelsen 0,14 procent och det är framförallt för de pessimistiska scenarierna som det blir en viss avvikelse vilket beror på att det främst är i dessa som balanseringar inträffar. Eftersom avvikelsen blir mycket liten kommer ekvation (5.5.14) att användas till att beräkna utbetalningarna i varje tidpunkt i optimeringsmodellen.
Figur 5.1: Procentuell avvikelse mellan utbetalningar beräknade enligt ekvation (5.5.14) och verkliga prognoser för utbetalningar
För pensionsskulden görs samma reindexering som för utbetalningarna, vilket medför att skulderna beräknas enligt
St1 = St0B 1 t B0 t (5.5.15) där B1
t är det balansindex som impliceras av den nya avkastningen för buffertfonderna
och B0
t är ursprungsprognosen för balansindex. För att ekvation (5.5.15) ska gälla borde
samtliga delar av pensionsskulden följa samma indexering och varierar med balanssindex med samma tidsindex. Detta är inte fallet i verkligheten, eftersom de pensionsrätter som tjänas in under året inte indexeras förrän året efter. På samma sätt som för utbetalning- arna har tester genomförts för att validera att ekvation (5.5.15) ger en bra approximation av den verkliga utvecklingen av pensionsskulden. Den procentuella avvikelsen mellan pensionsskulden beräknad enligt ekvation (5.5.15) och den verkliga prognosen har sam- manställts i ett histogram i figur 5.2.
Figur 5.2 visar att beräkningen av pensionsskulden enligt ekvation (5.5.15) ger en bra approximation av det verkliga värdet på pensionsskulden. Majoriteten av avvikelserna ligger mycket nära noll procent och ekvation (5.5.15) kommer därför användas till att beräkna pensionsskulden i varje tidpunkt i optimeringsmodellen.
Figur 5.2: Procentuell avvikelse mellan pensionsskulden beräknad enligt ekvation (5.5.15) och den verkliga prognosen för pensionsskulden
5.5.6
Simulering av pensionsystemets utveckling
För att modellera pensionssystemets utveckling finns tre huvudscenarier tillgängliga som har tagits fram av Pensionsmyndigheten. Dessa är ett basscenario, som är mest sannolikt, samt ett pessimistiskt och ett optimistiskt scenario. De antaganden som ligger till grund för scenarierna beskrivs i kapitel 3.8 och appendix A.1. Pensionsmyndigheten bedömer att basscenariet är det mest troliga utfallet för pensionssystemet, men de har inte något prediktionsintervall för hur sannolikt det är. I det pessimistiska och optimistiska scenariot har variablerna justerats till det sämre eller till det bättre, men Pensionsmyndigheten har inte tagit fram någon sannolikhetsfördelning mellan scenarierna. Detta gör det svårt att bestämma vilket scenario som ska ligga till grund för att bestämma ett avkastningsmål. Baseras simuleringen enbart på basscenariot, som ser mycket positivt ut enligt de figurer som presenteras i kapitel 3.8, blir avkastningsmålet troligtvis lågt vilket gör att buffert- fonderna blir dåligt förberedda för en eventuell negativ utveckling av demografin eller ekonomin. Om utgångspunkten istället är det pessimistiska scenariot, där sannolikheten för förluster är högre, kan det leda till ett högt avkastningsmål där buffertfonderna tar mer risk än vad som är lämpligt. För att sätta ett avkastningsmål som tar hänsyn till alla de olika utfall som kan inträffa måste därför Pensionsmyndighetens scenarier viktas på lämpligt sätt. Det optimala hade varit att ansätta stokastiska processer för alla de variabler används för att beräkna utvecklingen på pensionsskulden och avgiftstillgången, se formler i kapitel 3.7.2 och 3.7.1, och sedan simulera olika utfall för pensionssystemet från det. Men eftersom den demografiska modellen är komplex och har hög dimension är det mycket omfattande att modellera variablerna stokastiskt. Ett annat sätt att ta hän- syn till stokastiken i pensionssystemet är att bestämma en sannolikhetsfördelning mellan scenarierna. Pensionsmyndigheten har likt tidigare nämnts ingen egen sannolikhetsfördel-
ning men deras demografiska modell är baserad på SCB:s befolkningsprognoser. SCB har under 2015 gjort en stokastisk prognos över den framtida befolkningsmängden 2015-2060 där de har simulerat olika utveckling för nettomigrationen, dödligheten och fruktsamhe- ten och utifrån det skapat ett huvudalternativ och ett 95-procentigt prediktionsintervall runt huvudalternativet (Statistiska centralbyrån, 2015). Givet att den framtida varia- tionen i de demografiska komponenterna kommer att vara lika frekventa och i samma storleksordning som historiskt kommer det riktiga observerade värdet att vara inom det intervall som visas i figur 5.3.
Figur 5.3: SCB:s prognos över framtida befolkningsutveckling med 95-procentigt predik- tionsintervall.
Hur viktig den demografiska utvecklingen är för pensionssystemets utveckling i de olika scenarierna kan undersökas genom att se vad som skiljer scenarierna åt. Det som skiljer Pensionsmyndighetens tre olika scenarier åt presenteras i tabell 5.2.
Tabell 5.2 visar att skillnaderna mellan Pensionsmyndighetens scenarier främst beror på olika antaganden gällande demografins utveckling. Buffertfondernas avkastning kommer simuleras stokastiskt och denna kommer därmed inte bero på vilket av Pensionsmyndig- hetens scenerier som gäller. Om löneutvecklingen antas vara samma i de olika scenari- erna och sysselsättningen antas vara konstant även i det optimistiska scenariot, kommer därför skillnaderna mellan scenarierna endast bero på olika antaganden gällande den de- mografiska utvecklingen. Detta är användbart eftersom SCB har en stokastisk prognos för demografins utveckling. Genom att anta att alla skillnader beror på demografin och att det finns ett linjärt förhållande mellan demografins utveckling och pensionssystemets utveckling kan SCB:s prognos användas till att skapa en sannolikhetsfördelning för de olika scenarierna. Om antagandet görs att befolkningsutvecklingen är normalfördelad, är SCB:s övre och nedre gränser på prediktionsintervallet två standardavvikelser bort eftersom
P (µ − 2σ ≤ x ≤ µ + 2σ) = Φ(2) − Φ(−2) ≈ 0, 9772 − (1 − 0, 9772) ≈ 0, 9545 ≈ 95%.
Beräkningsgrund Bas Pessimistiskt Optimistiskt Inflation 2 % 2 % 2 % Förändring av genomsnittsin- komsten 1,8 % 1 % 2 % Buffertfondernas avkastning (re- alt) 3,25 % 1 % 5,5 %
Sysselsättning Konstant Konstant SCB:s prognos 2012
Pensionsålder Konstant Konstant Konstant
Nativitet 1,88 barn/kvinna 1,66 barn/kvinna 2,10 barn/kvinna
Livslängd SCB:s huvudpro- gnos 2015 SCB:s låga prognos 2015 SCB:s höga pro- gnos 2015 Immigration SCB:s huvudpro- gnos 2015 SCB:s låga prognos 2015 SCB:s höga pro- gnos 2015 Emmigration SCB:s huvudpro- gnos 2015 SCB:s höga pro- gnos 2015 SCB:s låga prognos 2015
Tabell 5.2: Beräkningsantaganden i Pensionsmyndighetens tre scenarier (Tredje AP- fonden, 2016b)
Om Pensionsmyndighetens pessimistiska och optimistiska scenarier för befolkningens ut- veckling ritas upp tillsammans med SCB:s prognos visar det att Pensionsmyndighetens pessimistiska och optimistiska scenarier ligger långt utanför SCB:s 95-procentiga pre- diktionsintervall. Tester visar att Pensionsmyndighetens pessimistiska och optimistiska scenarier snarare ligger fyra standardavvikelser bort från SCB:s huvudprognos. SCB:s pre- diktionsintervall, Pensionsmyndighetens scenarier och befolkningsutvecklingen som ligger 4 standardavvikelser från huvudscenariot visas i figur 5.4.
Figur 5.4 visar att Pensionsmyndighetens optimistiska och pessimistiska scenarier lig- ger ungefär 4 standardavvikelser från SCB:s huvudscenario. Eftersom antagandet gjorts att befolkningsutvecklingen är normalfördelad medför detta att sannolikheten för att en demografisk utveckling som i det pessimistiska scenariot eller sämre händer med sanno- likheten
P (x ≤ µ − 4σ) = Φ(−4) ≈ 0, 000031671 ≈ 0, 00317% (5.5.17) Även om denna sannolikhet är låg, är det fortfarande ett försiktigt antagande att det pessimistiska scenariot är 4 standardavvikelser från huvudscenariot baserat på figur 5.4. I detta arbete kommer antagandet göras att det pessimistiska och optimistiska scenariot ligger 4 standardavvikelser från basscenariot. Detta medför att det pessimistiska scena- riot kommer vara något mer sannolikt än vad som impliceras av figur 5.4 och därmed tas mer hänsyn till den risken, vilket kan vara lämpligt för buffertfonderna eftersom det framförallt är i pessimistiska utfall som buffertfonderna får en viktig roll. Även antagan- det att det pessimistiska och optimistiska scenariot ligger 2 och 3 standardavvikelser från basscenariot kommer att testas i arbetet för att undersöka hur ytterligare försiktighet påverkar det optimala avkastningsmålet.
Figur 5.4: SCB:s och Pensionsmyndighetens prognoser över framtida befolkningsutveck- ling.
För att generera scenarier för pensionssystemets utveckling kommer ett optimistiskt, pes- simistiskt och ett basscenario med samma löneutveckling och sysselsättning simuleras i Pensionsmodellen så att det enda som skiljer scenarierna åt är den demografiska utveck- lingen. Antagandet kommer göras att det finns ett linjärt samband mellan demografins utveckling och utvecklingen på pensionsskulden, avgiftstillgången, administrationskost- naderna, balansindex, utbetalningarna och inbetalningarna och varje slumpmässigt sce- nario för pensionssystemets utveckling kommer att beräknas som en konvexkombination av Pensionsmyndighetens scenarier. För varje scenario som skapas kommer därmed först ett normalfördelat slumptal med väntevärde 0 och varians 1 att genereras,
ξ = N (0, 1). (5.5.18)
Detta slumptal styr hur mycket som ska viktas till det pessimistiska, optimistiska respek- tive basscenariot. Om ξ är 0 inträffar basscenariot och om ξ är -1 inträffar en kombination som består till 75 procent av basscenariot och 25 procent av det pessimistiska scenari- ot och så vidare. För varje scenario och tidpunkt beräknas därmed ett nytt värde på prognosen enligt Zt,s = ZtOptimistiskt ξ ≥ 4 4−ξ 4 Z Bas t + ξ 4Z Optimistiskt t 0 ≤ ξ < 4 4+ξ 4 Z Bas t + −ξ 4 Z P essimistiskt t −4 ≤ ξ < 0 ZP essimistiskt t ξ < −4 (5.5.19)
där Z är prognoser för antingen pensionsskulden, avgiftstillgången, administrationskost- naderna, balansindex, utbetalningarna eller inbetalningarna. För utbetalningarna och skulden görs därefter vidare transformationer enligt de formler som beskrivs i ekvation
(5.5.14) och (5.5.15). Varje scenario s motsvarar därför en viss demografisk utveckling och en viss utveckling för marknadsportföljen.