Olika syner på hur matematiken och begreppen utvecklas

[Matematiken] har inte, som lekmannen tror – även filosofen, om han är lekman på området – en oföränderlig substans, utan den genomgår som alla konstarter omärkliga förändringar från epok till epok.88

Under 1900-talet har vetenskapsfilosofer som Ludvig Wittgenstein (1889 - 1951), Karl Popper (1902 - 1994), Imre Lakatos (1922 - 1974) och Thomas Kuhn (1922 - 1996) format bilden av vetenskap som något som är stadd i ständig förändring och som påverkas av hur samhället ser ut.89

Imre Lakatos tillämpar sina idéer även på matematiken, när han beskriver hur de matematiska begreppen förändras över tiden, i takt med att matematikerna utvecklar och förändrar dem. Lakatos vänder sig emot formalismen, det vill säga den riktning inom den matematiska filosofin som identifierar matematiken med dess formella axiomatiska uppbyggnad. Formalismen avskiljer

matematikens historia från matematikens filosofi och enligt den formalistiska skolan finns det ingen egentlig matematikhistoria. Kreativiteten tas inte upp som matematik och de kritiska perioderna undviks. Lakatos menar att formalismen har varit skadlig för matematiken.90

Kajsa Bråting & Anders Öberg utvecklar Tall & Vinners teorier om begreppsbildning när de skriver om hur begrepp förskjuts under elevernas skolgång. På samma sätt som Lakatos menar att man ska tydliggöra begreppsförskjutningen i historien så menar Bråting & Öberg att man måste tydliggöra begreppsförskjutningen för studenterna. Det finns en klar parallell mellan Lakatos

matematikfilosofiska teori och Bråting & Öbergs pedagogiska synpunkter.

Oswald Spengler menar att den historiska förskjutningen inte sker kontinuerligt utan istället i språng. Dessa språng kan jämföras med hur Jan Thompson ser på olika stadier i

begreppsutvecklingen. Enligt Thompson finns det en koppling mellan matematikens historiska utveckling och hur individens matematiska kunskap växer fram.

88 Spengler (1996): 88

89 Matematiken brukar ofta inte räknas som en vanlig vetenskap och matematiska sanningar ses ofta som något som inte förändras.

I avsnitten nedan kommer vi att fördjupa oss i Thompsons, Lakatos, Bråting & Öbergs och Spenglers teorier.

3.1.1 Rekapitulationstesen

Rekapitulationstesen säger att individen under sitt liv upprepar det mänskliga släktets kognitiva utveckling. Jean Piaget ansåg till exempel att man genom att intervjua barn kunde få veta hur våra förfäder tänkte. Jan Thompson, som har skrivit boken Matematiken i historien, menar att

rekapitulationstesen kan tillämpas på matematikundervisning och ge oss anvisningar om hur vi bör lägga upp undervisningen. Genom att studera ett begrepps historia kan man se vilka aspekter av begreppet som är svåra att förstå. De begrepp som har haft en komplicerad historia är ofta de som är förknippade med svårigheter ur ett pedagogiskt perspektiv.9192

3.1.2 Imre Lakatos historiesyn

I Bevis och motbevis skriver Lakatos om hur begreppet polyeder utvecklats under matematikhistorien.

Leonhard Euler (1707 - 1783) var den som var först med att påpeka att utöver antalet sidor, S, så bestämmer antalet hörn, H, och antalet kanter, K, en polyeders karaktär. Eulers hypotes är att för alla regelbundna polyedrar gäller:

H – K + S = 2

Euler undersökte mycket noggrant olika polyedrar, till exempel prismor och pyramider, för vilka resultatet gällde.93

Senare har flera matematiker försökt bevisa Eulers hypotes. De olika bevisförslagen stötte dock på kritik och flera olika begrepp och lemman, som använts i bevisen, har diskuterats. Man har kommit på flera motexempel, det vill säga polyedrar som inte uppfyller H – K + S = 2. Ett sådant exempel är en kub som har ett kubformat hål inuti och där H - K + S = 4:94

Ett annat exempel är två tetraedrar som har en gemensam kant och där H - K + S = 3:95

Frågan är om dessa båda kroppar är polyedrar eller inte. Om de inte är polyedrar så måste man hitta en definition av begreppet polyeder som utesluter kropparna. Om det sedan dyker upp nya

motexempel som uppfyller den nya definitionen men ändå inte uppfyller Eulers hypotes så är frågan om man ska acceptera dessa eller om man ska fortsätta definiera om begreppet så att alla

motexempel utesluts. Det senare kallar Lakatos metoden att utesluta monster. 96

91 Thompson (1996): 450

92 Rekapitulationstesen bygger på biogenetiska regeln som säger att individens utveckling från embryo till vuxen följer den utveckling som arten har genomgått historiskt.

93 Lakatos (1990): 19, 166-167

94 Lakatos (1990): 25 Från denna sida är även bilden på den ihåliga kuben hämtad. 95 Lakatos (1990): 27 Bilden är hämtad därifrån.

Om man accepterar dessa nya motexempel som polyedrar så får man ta ställning till vad man ska göra med hypotesen. Ska man förkasta den eller revidera den? Lakatos ställer frågan om det är så att ingen hypotes är giltig överallt utan endast inom vissa områden. Vilka är i så fall de tillräckliga och nödvändiga villkoren för att en polyeder ska vara eulersk och uppfylla H – K + S = 2?97

Under diskussionen av Eulers hypotes började man definiera begreppet polyedrar på olika sätt och beroende på definition så fick man olika resultat. Begreppsbilden utvecklades och efter ett tag producerades en förbättrad hypotes och ett mer utvecklat bevis. Lakatos menar att även om de olika bevisen inte alltid bevisade hypotesen, som avsikten var, så hjälpte de till att förbättra hypotesen.Då hypotesen först lades fram var begreppet polyedrar förbundet med kroppar som var eulerska (och därmed uppfyllde hypotesen). Sedan kom de matematiker som Lakatos kallar vederläggarna och utvidgade begreppet och fann motexempel. Det naiva begreppet hade aldrig fastlagts genom en definition och därför var monsteruteslutarna tvungna att gång på gång definiera om begreppet när motexempel dök upp. Lakatos anser att kunskapen växer när man accepterar motexempel och därmed tillåter fantasifulla och intressanta tolkningar av begreppen.98

Om vi inte tillåter dessa tolkningar, utan istället håller oss till vårt ursprungliga språk och våra ursprungliga begrepp, så är dessa kroppar inte motexempel eftersom de inte tillåts att vara polyedrar. Motexempel blir de endast genom begreppsuttänjning. Därför är alla vederläggningar heuristiska, de utvecklar matematiken och ökar kunskapsinnehållet. Uttänjandet har dock sina gränser och motexempel måste betraktas med misstänksamhet. De kanske inte är motexempel utan i stället exempel för en annan teori. I så fall måste vi ge upp försöket att öka kunskapsinnehållet, vi måste stoppa begreppsuttänjning där den upphör att vara ett verktyg för tillväxt och blir ett verktyg för förstörelse av kunskap.99

Lakatos tar upp andra historiska exempel på metoden med bevis och vederläggningar som visar hur det egentligen gick till vid några matematiska upptäckter. Han argumenterar för att den euklidiska matematiken och det sätt som matematiken ofta beskrivs sätter käppar i hjulet för kreativiteten och senare döljer den verkliga historien genom att återberätta den enligt euklidiskt mönster. Så länge som ett motexempel är en skönhetsfläck för ett teorem och för matematikern som förespråkar teoremet och så länge som matematiska bevis måste vara ofelbara så kommer matematisk kritik att vara hämmad. Lakatos menar att den mest spännande matematiken är när man utforskar begreppens gränser, när man utvidgar dem. I dessa lägen är matematikerna oerfarna och tar miste. Han menar också att det inte finns någon matematik som inte gått igenom en sådan här period. Han avslutar diskussionen med att skriva

Det är därför som Euklides har varit den onde anden speciellt för matematikens historia och för matematikundervisningen, både på de inledande och kreativa nivåerna.100

Annars skriver Lakatos inte mycket om pedagogik. Andra tillfället är där han bemöter argumentet att införandet av heuristisk stil skulle kräva att läroböckerna skrevs om och skulle göra dem så långa att man aldrig skulle kunna läsa dem till slutet. Uppsatser skulle också bli mycket längre. Svaret som Lakatos har på detta är: ”låt oss försöka”.101

3.1.3 Bråting och Öbergs syn på begreppsbildning

Kajsa Bråting och Anders Öberg, universitetslektorer vid matematiska institutionen vid Uppsala universitet, skriver om begreppsförskjutning i Definitioner och åskådlighet av matematiska

begrepp. De tror att det finns en tendens till att förskjuta de matematiska begreppens betydelser,

utan att ändra på orden, för att lösa matematiska problem. Begreppsförskjutningen påpekas inte utan det är bara genom den formella definitionen som man kan upptäcka förskjutningen i efterhand. När man håller fast vid de ursprungliga orden får studenterna ingen hjälp av de begreppsbilder de har 97 Lakatos (1990): 35

98 Lakatos (1990): 47, 100 99 Lakatos (1990): 103-105 100 Lakatos (1990): 148 101 Lakatos (1990): 152

när de ska lära sig definitionerna. Begreppsbilden hänger ihop med ett annat begrepp än det som definitionen hör till. Detta är en viktig orsak till att studenterna får problem med att förstå definitionerna.102

Bråting & Öberg menar att matematiska begrepp i många fall kan vara svåra att åskådliggöra, exempelvis när det gäller begrepp som innehåller oändligheten. Åskådliggörandet görs ofta med hjälp av exempel där man knyter begrepp till vardagliga situationer och med hjälp av konkreta bilder. De menar att det är svårare att göra sig en bild när oändligheten är inblandad. Som exempel på detta tar de Torricellis trumpet som är en oändligt utsträckt kropp som har en ändlig volym.103104

Torricellis trumpet ledde till en debatt om ifall oändligt utsträckta kroppar kunde existera och uppfattningen om att de matematiska begreppen vilar på en konkret materiell grund var tvungen att revideras. Det blev klart för flera matematiker att man behöver utvidga begreppen. Idag undervisar man om oändligt utsträckta rotationsvolymer på universitetet men man talar inte om att

volymbegreppet har generaliserats och förskjutits.105

Bråting & Öberg är alltså överens med Lakatos om att det sker en begreppsförskjutning över tiden när matematiken utvecklas. Enligt Bråting & Öberg sker det också en begreppsförskjutning i elevens enskilda utveckling. Ett exempel på det sista är hur volymsbegreppet utvecklas under elevernas skolgång. Ett annat, som Tall & Vinner tog upp, är hur begreppet subtraktion förskjuts från att först handla om naturliga tal och skillnader till att senare hantera all möjliga tal och bli en differens som kan vara negativ. Om man får tro rekapitulationstesen så sker samma

begreppsförskjutningar i matematikens historia som i elevens individuella kunskapsutveckling.

3.1.4 Oswald Spenglers teori om matematik i olika högkulturer

Den tyske filosofen Oswald Spengler (1880 - 1936) är mest känd för sin teori om att alla kulturer, även den västerländska, har en början och ett slut. Men han har också, redan 1918, beskrivit

matematiken ur ett relativistiskt perspektiv. Detta gör Spengler intressant ur ett matematikhistoriskt perspektiv.

Spengler menar att matematikens historia inte är kontinuerlig. Högkulturer har kommit och gått och i varje kultur utvecklas matematiken på nytt, även om det sker med influenser från andra kulturer. Matematiken kan inte existera oberoende av människan utan i varje mänsklig kultur uppstår ett slags tänkande som påverkar den matematik som hör ihop med den kulturen. Det finns alltså ett indiskt, ett arabiskt, ett antikt och ett västerländskt typ av matematiskt tänkande och i varje matematik finns en unik typ av tal. Därmed kan man inte säga att det endast finns en matematik utan det finns flera arter av matematik. Taluppfattningen är grunden i varje matematik som påverkar resten.106

När pythagoréerna ca 540 f.Kr. myntade uttrycket ”Alla tings väsen är talet” så skapades en ny matematik med tal som var gripbara för de mänskliga sinnena. Antikens matematik utgick från det antika konstverket, skulpturen av den nakna människan, där ytor, mått och delarnas proportioner var viktiga. Volym stod för kroppslighet och matematik var läran om konkreta kroppar. Euklides kallar till 102 Bråting & Öberg (2004)

103 Bråting & Öberg (2004)

104 Bilden är hämtad på http://curvebank.calstatela.edu/volrev/torricelli.gif 2010-12-14 105 Bråting & Öberg (2004)

exempel faktorerna i en produkt för sidor. För honom var en produkt den area eller volym som man räknade ut med multiplikationen. Eftersom talen var avgränsade enheter fanns bara naturliga tal och förhållanden mellan dessa tal. Man kunde därmed inte föreställa sig irrationella tal. Ojämförbara sträckor, till exempel sidan och en diagonal i en kvadrat, förhöll sig inte till varandra som tal, enligt Euklides.107108

Med detta kan man se att det finns en skillnad mellan det antika talbegreppet och begreppet storlek; det finns sträckor, och därmed ytor och volymer, som inte kan mätas. När man studerar förhållandet mellan en sida och en diagonal i en kvadrat så snuddar man vid det irrationella och en annan talsort. På denna tid fanns en rädsla för det irrationella eftersom det var ett brott mot det gudomliga och när den diskreta talföljden av positiva heltal förändras och blir kontinuerlig tar man bort grunden för

antikens talbegrepp. Därför kan antikens matematiker inte heller föreställa sig rationella tal, negativa tal eller talet noll.109

Hos Diofantos (ca 250 e.Kr.) är tal inte längre mått och storlek hos konkreta ting. Diofantos använder obenämnda, abstrakta, tal som talet 3 och obestämda tal, a. Spengler menar att inget av

dessa tal är någon storhet, mått eller sträcka.110

Diofantos levde i den arabiska kulturens tredje sekel. Till den arabiska kulturen hör allt som skapats sedan den kristna tideräkningens början i det område som sedan skulle bli islamiskt. Som uttryck för den nya mentaliteten kan man ta de nya kulterna i öster, kristendomen och nyplatonismen. Den arabiska matematiken har en mystisk, magisk ton.111112

Spengler skriver inte mycket om den arabiska/magiska matematiken. Därför har jag även läst artikeln Islamic Mathematics av Jacques Sesiano. Sesiano tar som ett exempel på den arabiska matematiken upp magiska kvadrater som, även om de är kända i vår tid, faktiskt användes för magi inom den arabiska kulturen. Varje bokstav i det arabiska alfabetet var kopplat till ett tal (ental, tiotal, hundratal och tusental) och det var därför möjligt att översätta ett namn eller en mening till en följd av tal och att sedan konstruera en magisk kvadrat med dessa tal i första raden. Talen i den magiska kvadraten kunde sedan översättas till bokstäver och uttolkas av den magiske matematikern.113

Den arabiska matematiken utvecklades sedan från Diofantos fram till höjdpunkten på 800-talet, vilket kännetecknas av matematiker som al-Khwarizmi och Abu Kamil. Khwarizmis beskrivning av det indiska systemet och hur man använder det i aritmetiska operationer kom ca 820 e.Kr.

Khwarizmi nämner inte Euklides över huvud taget, hans illustrationer bygger på en intuitiv, visuell geometri när han bland annat löser andragradsekvationer. Den andra mest viktiga matematikern under detta århundrade, egyptiern Abu Kamil (ca 890 e.Kr.), refererar dock till Euklides i sin bok som är skriven för matematiker som har studerat grekisk matematik. Abu Kamil är också den förste som systematiskt accepterar irrationella tal som lösningar till andragradsekvationer.114115

107 Spengler 1996: 90-91, 93

108 Bilden på den antika statyn är hämtad på

http://www.royalcourt.se/kungligaslotten/kungligaslottet/gustaviiisantikmuseum/skulpturerna/calliope.4.1a6f639212652 d9b15a80004921.html 2010-12-14

109 Spengler (1996): 92-93 110 Spengler (1996): 98 111 Spengler (1996): 98-100

112 Bilden är hämtad på http://home.swipnet.se/~w-48176/trianglar/historia.html 2010-12-14 113 Sesiano (2000): 160-162

114 Sesiano (2000): 144-148

115 Det är intressant att boken Mathemathics Across Cultures, där den tidigare nämnda artikeln om islamisk matematik ingår, behandlar matematik i en lång rad olika kulturer från alla världsdelar men inte den antika matematiken. Detta trots att den medeltida västerländska kulturen fick tillgång till antika matematiska texter från araberna och inte från grekerna.

René Descartes startade den västerländska matematiken under 1600-talet med ännu en ny idé om talen. Idén innebar att matematiken frigjordes från den konkreta geometrin och från den mätbara sträckan och istället utgick från den mer abstrakta punkten. Medan det antika talbegreppet utgick från

sinnesintrycken är det västerländska talbegreppet istället ett rent resultat av mänskligt tänkande. Denna förändring leder till diskussionen om hur talen skulle kunna användas i verkligheten, ett problem som, enligt Spengler, inte fått något bra svar. Den innebär också att det blir ett visst ologiskt drag i matematiken som exempelvis kan leda till icke-euklidiska geometrier.116

En av de saker som är specifika i den västerländska matematiken är idén om oändligheten, som finns i vår världsuppfattning både när det gäller den oändliga världsrymden och att sträckor kan delas in ett oändligt antal gånger. När man frigör matematiken från det konkreta och ändliga bäddar man för rationella och irrationella tal.117

Något annat specifikt i vår matematik är funktionsbegreppet. Ta till exempel potensbegreppet:

Tanken med potenser var från början att det var ett taltecken för en viss grupp av multiplikationer. 56

kan skrivas om som 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5. Potenserna utvidgades i och med införandet av

exponentialfunktionen och numera räknar man med potenser med negativa exponenter och bråk i exponenten. 5-3 _{och 5}1/4 _{har inte samma konkreta tolkning som 5}6_{. I och med detta har man avlägsnat}

sig från den ursprungliga idén hos potensbegreppet.118

Spengler menar att upptäckterna i den västerländska matematiken är en seger över vår vanliga konkreta talkänsla. Ju mer matematikerna kommer på desto mer avlägsnar vi oss från antikens talbegrepp. Han skriver också att ju mer matematik man studerar desto mer befrias matematiken från konkreta bilder.119

Vårt matematiska teckenspråk ger oss en falsk bild av att vara kvar i antiken. Spengler menar att vi borde ha skapat ett nytt formelspråk för att undvika missuppfattningar. Som ett exempel på detta tar han ekvationsbegreppet:

Ekvationen 3x _{+ 4}x _{= 5}x _{fastställer en likhet mellan bestämda storheter. Ekvationen x}n _{+ y}n _{= z}n

däremot visar en relation mellan olika variabler. Den första ekvationen kan lösas men inte den andra och därmed anser inte Spengler att den andra ekvationen egentligen ska kallas ekvation.120

Geometri är enligt Antiken mätandets konst och aritmetik är räknandets konst. Västerländsk matematik har inte längre något gemensamt med dessa ”två arter av begränsningens konst”, vi har befriat geometrin från åskådning och räknandet från storhet. Ändå har man inte infört några nya namn utan använder de gamla namnen på något nytt. Eventuellt är det därför som vi västeuropéer tenderar att använda vårt eget talbegrepp när vi diskuterar den matematik som man arbetade med i Aten. Detta leder till förvirring och vi får svårare att begripa hur antikens matematiker tänkte. När vi använder antika namn på våra egna begrepp får vi dessutom svårare att förstå de begrepp som vi använder idag. Vi lever kvar i tron att de tal vi använder är de som kan härledas till Antiken. När 116 Spengler (1996): 94, 101

117 Spengler (1996): 95-97

118 Fritt efter Spengler (1996): 102-103 119 Spengler (1996): 102-103, 115 120 Spengler (1996): 103-104

man i en klass presenterar potenser som en upprepad multiplikation så får eleverna svårt att förstå en potens med en negativ exponent.121122

3.1.5 Diskussion

Enligt rekapitulationstesen är det viktigt att vara medveten om den historiska utvecklingen av olika begrepp. Eleverna kommer nämligen att få problem med samma frågor som det har tagit tid för matematikerna att utveckla. Därför är det viktigt att man är medveten om den historiska

utvecklingen och att det finns en helhetssyn när man planerar undervisningen från förskola till universitet för att få en medveten begreppsutveckling hos eleverna.

Innehållet i ett matematiskt begrepp är inte detsamma genom historien. Imre Lakatos visar hur matematiken förändras genom att hypoteser och deras bevis diskuteras. Genom begreppsutvidgning kan matematiker hitta motexempel som förändrar både hypoteserna och bevisen. Därför kan det vara vanskligt att göra jämförelser och ta exempel från historien rakt av. Om vi däremot visar eleverna hur begreppen har förändrats kan vi kanske öka förståelsen på ett sätt som väcker intresse både för begreppet och för matematiken som en kreativ process.

Lakatos anser att den matematikundervisning som vi har idag döljer matematikens ursprung. Matematiken tas ur sitt sammanhang och eleverna får lära sig metoder, som de inte alls förstår hur de uppkommit, utantill. Detta gör matematiken opedagogisk och tråkig. Att undervisa genom matematikhistoria kräver dock att vi som lärare har kunskap om matematikhistorien. Dessutom behöver man förändra läroböckerna så att de tar upp andra saker än idag.

Begreppen förändras också genom elevernas skolgång. Tall & Vinner tar upp hur

begreppsinnehållet i subtraktionen förändras.123 _{Bråting & Öberg diskuterar utvidgningen av}

volymsbegreppet, som sker utan att man tydliggör förändringen för eleverna/studenterna. När man pratar om volym i samband med oändligt utsträckta kroppar och inte talar om att begreppsinnehållet har förändrats så får eleverna ingen hjälp av de begreppsbilder de har. Istället blir många förvirrade.