Stöd i form av extra anpassningar

5a§ Om det inom ramen för undervisningen eller genom resultatet på ett nationellt prov, uppgifter från lärare, övrig skolpersonal, en elev eller en elevs vårdnadshavare eller på annat sätt framkommer att det kan befaras att en elev inte kommer att nå de kunskapskrav som minst ska uppnås, ska eleven skyndsamt ges stöd i form av extra anpassningar inom ramen för den ordinarie undervisningen, såvida inte annat följer av 8 §. Lag (2014:456).

66

Bilaga 2

Nedan presenteras Andrews och Sayers (2015) definition av grundläggande taluppfattning, det vill säga Foundational Number Sense (FONS). De åtta kategorierna är avgränsade men inte orelaterade till varandra. I varje kategori refererar Andrews och Sayers (2015) till tidigare studier av andra författare. För dessa referenser hänvisas till Andrews och Sayers (2015) artikel.

Number Recognition. FONS-aware children recognise number symbols and know associated

vocabulary and meaning. They can identify a particular number symbol from a collection of number symbols and name a number when shown that symbol. Children who experience difficulty with number recognition tend to experience later mathematical problems, particularly with subitising. Alternatively, children who are able to recognise numbers are more able to manage multi-digit arithmetic than those who cannot. Importantly, such skills are better predictors of later mathematics achievement than either general measures of intelligence or earlier achievement scores, effects lasting as late as adolescence.

Systematic Counting. FONS involves systematic counting and includes notions of ordinality

and cardinality. It entails counting to twenty and back or counting upwards and backwards from an arbitrary starting point, knowing that each number occupies a fixed position in the sequence of all numbers. Counting skills underpin arithmetical competence in general and mental arithmetical competence in particular.

Awareness of the Relationship Between Number and Quantity. FONS includes an awareness

of the relationship between number and quantity. In particular, children understand not only the one-to-one correspondence between a number´s name and the quantity it represents but also that the last number in a count represents the total number of objects. Significantly, the correspondence between a number´s name or symbol and the quantity represented is, essentially, a human invention requiring instruction. Children who have difficulty with this mapping process tend to experience later mathematical difficulties.

67

Quantity Discrimination. FONS includes awareness of magnitude and of comparisons

between different magnitudes and deploys language like bigger than or smaller than. Children understand that eight represents a quantity that is bigger than six but smaller than ten. In particular, children who are magnitude aware have moved beyond counting as a memorized list and a mechanical routine, without attaching any sense of numerical magnitudes to the words. Moreover, magnitude awareness has been shown to be a predictor, irrespective of ability or age, of more general mathematical achievement.

An Understanding of Different Representations of Number. FONS incorporates an

understanding that numbers can be represented differently and that these act as different points of reference. The better students understand a number line, for example, the higher their later arithmetical achievement. The better a child understands a partition as a representation of a number, the better developed is that child´s later understanding of numerical structures and arithmetical skills. The more competent a child is with regard to the use of fingers in both counting and early arithmetic, skills that can be taught effectively, the more competent that child is in later years. Significantly, the use of finger strategies increases as socio-economic status increases, justifying targeted interventions. The use of manipulatives, particularly linking blocks, facilitates counting and the identification of errors. Thus, the better the connections between different representations the more likely a child is to become arithmetically competent.

Estimation. FONS aware children are able to estimate, whether it be the size of a set or an

object. Estimation involves moving between representations of number; for example, placing a number on an empty number line. Estimation is thought to be a key determinant of later arithmetical competence, particularly in respect of novel situations.

Simple Arithmetic Competence. A FONS aware child will be able to perform simple

arithmetical operations; skills which underpin arithmetical and mathematical fluency. Indeed, simple arithmetical competence, or the transformation of small sets through addition and subtraction, has been found to be a stronger predictor of later mathematical success than measures of general intelligence. However, drawing on their experiences of combining

68

physical objects, children´s ability to solve non-verbal problems develops before the ability to solve comparable word problems.

Awareness of Number Patterns. FONS includes awareness of number patterns and, in

particular, being able to identify a missing number. Such skills reinforce the skills of counting and facilitate later arithmetical operations. Importantly, failure to identify a missing number in a sequence is one of the strongest indicators of later mathematical difficulties.

69

Bilaga 3

Förmågor och kunskapskrav i årskurs 1-3 enligt kursplanen i matematik (Skolverket, 2011b). Förmågor är kursiverade.

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att

 formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och

metoder,

Kunskapskrav: Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet.

 använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,

Kunskapskrav: Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. Eleven kan även ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra. Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal. Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk. Dessutom kan eleven använda grundläggande geometriska begrepp och vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer. Eleven kan även använda och ge exempel på enkla proportionella samband i elevnära situationer.

 välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa

rutinuppgifter,

70

med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–200. Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt. Eleven kan även avbilda och, utifrån instruktioner, konstruera enkla geometriska objekt. Eleven kan göra enkla mätningar, jämförelser och uppskattningar av längder, massor, volymer och tider och använder vanliga måttenheter för att uttrycka resultatet.

 föra och följa matematiska resonemang, och

Kunskapskrav: Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska mönster och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet.

 använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra

för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Kunskapskrav: Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. Eleven kan dessutom vid olika slag av undersökningar i välkända situationer avläsa och skapa enkla tabeller och diagram för att sortera och redovisa resultat.

71

Bilaga 4

I kursplanens centrala innehåll för taluppfattning och tals användning för grundskolans årskurs 1-3 anges i sju punkter vad som ska behandlas i undervisningen. Dessa presenteras nedan i rutor. Nedanför rutorna finns samtliga bedömningspunkter för taluppfattning och tals användning i årskurs 1-3 i skolverkets material Bedömning för lärande (Skolverket, 2014c).

 Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning.

 Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer.

Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:

o Vilket tal som kommer före och efter ett visst naturligt tal och att addition med 1 genererar nästa naturliga tal i talraden.

o Ordningstalen t ex första, femte, trettioförsta.

o Att ett tal kan delas upp på olika sätt t ex 7-, 10- och 17-kamrater (detta kan ske i handling, med konkret material, med bild eller i huvudet).

o Att antal föremål kan grupperas på olika sätt t ex tiogrupper, femgrupper.

Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:

o Använder ord som har med antal att göra, t ex många, färre än, skillnad. o Uppfattar antal (färre än 10) utan att behöva räkna föremålen ett och ett.

o Behärskar räknesekvensen i olika steg uppåt och neråt från olika naturliga tal t ex två- hopp, tio-hopp, hundra-hopp.

o Storleksordnar naturliga tal.

o Gör rimliga uppskattningar när det gäller större antal.

o Delar upp tal i både termer och faktorer t ex 16 = 10 + 6 ; 8 = 2 .

4

o Jämför och storleksordnar enkla bråk i huvudet, med bild eller med handling t ex delar ett papper i tredjedelar och fjärdedelar.

o Placerar naturliga tal på tallinjen t ex 3; 17; 82. o Skiljer på jämna och udda tal.

72

o Redovisar sina tankar om naturliga tal och antal med olika uttrycksformer t ex i handling, med konkret material, bilder, ord och/eller matematiska symboler.

o Ställer och besvarar frågor om naturliga tal och antal.

Mer om tal i bråkform finns under rubriken Att uttrycka och använda tal.

 Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.

Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:

o Enkla bråk t ex en halv, en tredjedel, tre fjärdedelar.

o Att om man delar en helhet i t ex fjärdedelar så måste alla fjärdedelar vara lika stora. o Att ett naturligt tal kan skrivas som bråk t ex 1 = 3₃

o Att en fjärdedel av en helhet kan vara större än en halv om helheterna är olika t ex att en fjärdedels chokladkaka kan vara större än en halv chokladkaka.

Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:

o Använder hälften/dubbelt som del av helhet (”hälften av kakan”) eller som del av antal (”jag har dubbelt så många byggbitar som hon har”).

o Känner igen, säger och skriver naturliga tal samt enkla bråk tex femton, en fjärdedel, trehundrafem.

o Redovisar sina tankar om tal och enkla bråk med olika uttrycksformer t ex i handling, med konkret material, bilder, ord och/eller matematiska symboler.

o Ställer och besvarar frågor om tal och enkla bråk.

 Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien.

Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:

o Tiotal, hundratal, tusental osv och att siffrans position avgör värdet t ex att tvåan i 23 betyder 2 gånger 10.

o Siffrors platsvärde i tiobassystemet t ex att 435 = 400+30+5. o Betydelsen av siffran 0 i ett tal och talet 0.

73

o Ett tals storlek, t ex att 70 är tio gånger större än 7.

o Hur man i olika kulturer genom historien använt olika föremål eller tecken för att representera ental, tiotal, hundratal, tusental osv innan nollan infördes.

Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:

o Redovisar sina tankar om positionssystemet med olika uttrycksformer t ex i handling, med konkret material, bilder, ord och/eller matematiska symboler.

o Ställer och besvarar frågor om positionssystemet.

 De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.

 Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer.

 Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och uppskattningar.

Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:

o De fyra räknesätten och i vilka situationer som de kan användas.

o Sambanden mellan de olika räknesätten t ex att upprepad addition 5+5+5 är samma sak som multiplikationen 3 . 5.

o Att ett tal kan skrivas som olika matematiska uttryck där olika räknesätt kan finnas representerade t ex 4+5 = 10-1 = 3 . 3.

o Likhetstecknets och olikhetstecknens betydelse (mer om detta finns under

kunskapsområdet algebra).

o Addition som ökning och lägga samman, subtraktion som skillnad och minskning, att beräkningar i ett talområde kan utnyttjas i ett utökat talområde t ex att om 3+4 = 7 så är 33+4 = 37.

Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:

o Använder utvecklingsbara metoder för att utföra beräkningar med naturliga tal vid huvudräkning och överslagsräkning.

o Använder skriftliga och fungerande metoder för att utföra beräkningar med naturliga tal.

74

o Tolkar vad ett matematiskt uttryck kan innebära och kan skriva en räknehändelse till ett uttryck där olika räknesätt finns representerade t ex 3 . 5 = 15; 15-7 = 8.

o Tillämpar de grundläggande räknelagarna t ex att 2+15 = 15+2.

o Bedömer om resultatet är rimligt vid huvudräkning och enkla beräkningar med skriftliga räknemetoder.

o Använder miniräknaren för att utföra beräkningar med naturliga tal.

o Redovisar med olika uttrycksformer t ex i handling, med konkret material, bilder, ord och/eller matematiska symboler.

75

Bilaga 5

Vid sökning av artiklar och avhandlingar är urvalet begränsat genom att endast använda texter publicerade 2011 eller senare. Begränsningar har även gjorts genom att avgränsa till peer- reviewed när det gäller artiklar.

Vid fortsatt urval har begränsningar gjorts till förmån för artiklar som enbart riktar sig mot grundläggande taluppfattning och där studien berör elever i åldern 5 – 10 år. Artiklar och avhandlingar som enbart syftar till att pröva ett visst material i förhållande till taluppfattning har valts bort liksom de som endast behandlar ett specifikt område av taluppfattning som till exempel subitisering eller diskriminering av kvantiteter. Dessutom valdes artiklar som fokuserar på diagnosen dyskalkuli valts bort eftersom det inte finns bevis för att elever som har rätt till insatser i undervisningen behöver en annan design för lärande än vad andra elever gör (Lunde, 2011; Mitchell, 2015). När flera artiklar liknat varandra i innehåll har den senast publicerade artikeln valts. I urvalet har även hänsyn till internationell spridning tagits, liksom till att få en representation av olika publikationer samt olika författare. Flera artiklar och avhandlingar har hittats genom att söka på författare som andra författare refererat till. Särskild vikt har lagts vid författare som refereras till i mer än en artikel. En ytterligare sökning har gjorts genom att läsa innehållsförteckningen i alla Journal for research in

mathematics education år 2011-2015. Andra artiklar har jag hittat genom att söka på

nyckelord. Exempel på sökord som använts vid sökning av artiklar och avhandlingar på summon på Malmö högskolas biblioteks webbsida (http://mah.se/bibliotek): number sense, foundational number sense, early numeracy, innate numerosity, number sense development, core numerical skills, number sense intervention, early numeracy intervention, peer tutoring in math och cooperative learning in mathematics.

76

Bilaga 6

Missivbrev

En studie om speciallärare i matematiks utformning av insatser för att ge elever i grundskolans åk 1-3 möjlighet att nå kunskapskraven i matematik när det gäller grundläggande taluppfattning.

Hej!

I januari börjar jag sista terminen på programmet för speciallärare i matematikutveckling vid Malmö högskola och ska skriva mitt examensarbete. Jag intresserar mig för speciallärare i matematiks utformning av insatser för att ge elever i grundskolans åk 1-3 möjlighet att nå kunskapskraven i matematik när det gäller grundläggande taluppfattning. God grundläggande taluppfattning beskrivs ofta som väsentlig för elevers fortsatta matematikutveckling i texter om matematikundervisning i grundskolans första årskurser. När elever visar resultat i taluppfattning som innebär rätt till extra anpassningar och/eller särskilt stöd ska eleven skyndsamt ges stöd enligt skollagen 3 kap 5§. Samtidigt finns få riktlinjer om stödets utformning och forskning om olika insatser visar varierande resultat. Syftet är att undersöka speciallärare i matematiks utformning av insatser i den vardagliga verksamheten när det gäller grundläggande taluppfattning. Jag intresserar mig för insatsernas utformning, vad som ligger till grund för den utformning som väljs och vad som avgör om en insats utgör en tillräcklig skillnad för elevens kunskapsutveckling.

Därför vill jag intervjua speciallärare i matematik som är verksamma i grundskolans åk 1- 3. Intervjun tar ca 45-60 minuter. Jag kommer gärna till din arbetsplats. Vid intervjun tar jag hänsyn till Vetenskapsrådets forskningsetiska principer. Det innebär att deltagandet är frivilligt och att du när som helst kan avbryta din medverkan. Intervjun behandlas konfidentiellt, vilket till exempel innebär att varken ditt namn, skolans namn eller staden du arbetar i nämns. Intervjun används endast i forskningssyfte för detta examensarbete.

Kan du tänka dig att delta? Maila mig på denna mailadress: sofia.strand@malmo.se eller ring/sms:a min mobil: xxx xxxxxxx.

77

Bilaga 7

Intervjuguide

Information om anonymisering, till exempel om hur ljudinspelning och transkribering behandlas, och att intervjun behandlas konfidentiellt.