Korsningar i kompletta multipartita grafer

Institutionen för naturvetenskap och teknik

Korsningar i kompletta

multipartita grafer

Örebro universitet

Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C

Korsningar i kompletta multipartita grafer

Erik Lissel April 2014

Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Mårten Gulliksson

Självständigt arbete, 15 hp Matematik, Cnivå

Sammanfattning

Syftet med den här uppsatsen är att undersöka graden av planäritet för kompletta multipartita grafer. Det primära resultatet som presenteras är en formel som kan användas för att nedåt begränsa det minsta antalet kors-ningar som behövs för att realisera en komplett bipartit graf indelad i m respektive n noder: cr(Km,n) ≥ q − 2p + 4, m ≥ n ≥ 2, där q = mn och

p = m + n. Därutöver presenteras tabeller som med formeln som utgångs-punkt uppskattar eller bestämmer det minsta antalet korsningar för alla kompletta multipartita grafer med sju noder eller mindre.

Uppsatsen innehåller också en genomgång av några tidigare resultat, där-ibland Zarankiewicz uppställning av kompletta bipartita grafer samt en över-blick över Crossing Number Inequality.

Innehåll

3.2.2 Crossing Number Inequality . . . 14

4 Resultat 17 4.1 Minsta antalet korsningar i en graf . . . 17

4.2 Minsta antalet korsningar i en bipartit graf . . . 19

4.3 Tabeller . . . 21

4.3.1 Antalet korsningar i bipartita grafer . . . 21

4.3.2 Antalet korsningar i små multipartita grafer . . . 21

4.4 Stora kompletta bipartita grafer . . . 29

5 Diskussion 30 5.1 Bipartit . . . 30

5.2 Multipartit . . . 30

Kapitel 1

Inledning

Grafteori har fascinerat människor i generationer. Från broarna i Könings-berg och fram till idag har alla möjliga typer av lättförståeliga problem uppstått. Det är nog inte någon med intresse för lurigheter och matematik som lyckats undgå enkla utmaningar som: fyll i alla streck utan att lyfta pennan.

Som liten parvel ck jag följande bild framför mig:

Det gäller att dra streck så att varje kloss på ovansidan har ett streck till varje kloss på undersidan, utan att strecken korsar varandra. Det verkade ju enkelt. Tre timmar senare satt jag fortfarande kvar och försökte, frustrerad, hitta en lösning på problemet. Möjligheten att det inte skulle gå, den ville jag inte riktigt erkänna ...

I den här uppsatsen konstateras snabbt att problemet är olösligt, och vi lyfter det till nästa nivå. Vad händer om det är fyra klossar på ovansidan? Vad händer om det är tre grupper av klossar? Hur många korsningar behöver man använda?

Kapitel 2

Bakgrund

I bakgrundsdelen ingår enbart tidigare kända resultat.

2.1 Denitioner

I den här delen ges en kort överblick över terminologin som används i den här uppsatsen. Terminologin är i stort sett analog med Wilson [7].

Denition 2.1.1. En graf G är en mängd noder (vertices) V (G), samt en mängd kanter (edges) E(G). Kanterna är en symmetrisk relation på noderna, så en kant uttrycks på formen {a, b}, där a, b ∈ V (G).

Denition 2.1.2. Noderna a och b kallas närliggande om {a, b} ∈ E(G).

Denition 2.1.3. En vandring är en sekvens av närliggande noder. Exempel 2.1.1. Låt V (G) = {a, b, c, d, e} och

E(G) = {{a, b}, {a, e}, {b, c}, {b, e}, {c, d}}. Här nns era vandringar, bland annat (a, b, e), se gur 2.1.

Denition 2.1.4. En väg är en vandring där ingen nod förekommer två gånger.

Denition 2.1.5. En cykel är en väg som börjar och slutar i samma nod. Denition 2.1.6. I en sammanhängande graf ska det nnas en vandring mellan varje par av noder.

Notera att grafen som bara har en nod alltså är sammanhängande. Exempel 2.1.2. Låt V (G) = {a, b, c, d} och E(G) = {{a, c}, {b, c}, {b, d}}. Grafen är sammanhängande. Om {b, d} utesluts från E(G) kommer grafen inte att vara sammanhängande, eftersom det till exempel inte nns någon vandring mellan b och d, se gur 2.2

a

b

e

c

d

Figur 2.1: Vandringen (a, {a, b}, b, {b, e}, e)

a b c d (a) Sammanhängande a b c d (b) Inte sammanhängande

Figur 2.3: K4 - den kompletta grafen över fyra noder. Varje nod är

närlig-gande med varje annan nod.

Figur 2.4: K5 - den kompletta grafen med fem noder. Varje nod är

närlig-gande med varje annan nod.

Denition 2.1.7. Borttagning av en nod a från grafen G utesluter a från V (G), och dessutom alla {a, x} från E(G), x ∈ V (G).

Denition 2.1.8. En graf H kallas för en subgraf till grafen G, om V (H) ⊆ V (G)och E(H) ⊆ E(G). Detta tecknas H ⊆ G. Om det är säkert att likhet inte gäller mellan nodmängderna eller kantmängderna så används notationen H ⊂ G.

Denition 2.1.9. Knär en graf med n noder, där alla noder är närliggande.

Vi kallar den för den kompletta grafen över n noder.

Exempel 2.1.3. Den kompletta grafen över fyra noder har 6 kanter, se gur 2.3.

Exempel 2.1.4. Den kompletta grafen över fem noder har 10 kanter, se gur 2.4.

Det gäller att Kn har n₂
= n(n−1)₂ kanter (antalet kanter är lika med

antalet olika icke-ordnade par av noder).

Denition 2.1.10. I en bipartit graf kan alla noder delas in i två disjunkta mängder, så att det inte nns något par av noder ur samma mängd som är närliggande.

Figur 2.5: K3,3 - Varje vit nod är närliggande med varje svart nod.

Denition 2.1.11. En komplett bipartit graf är en bipartit graf där varje nod ur den ena mängden är närliggande med varje nod ur den andra. Vi betecknar sådana grafer med Km,n där m och n är storleken på mängderna.

Antalet kanter i Km,n är m · n.

Exempel 2.1.5. I ett scenario nns det tre bostadshus, samt en kraftstation, ett vattenverk och en bensinstation. Uppgiften är att dra ledningar direkt från varje leverantör till varje hus. Detta resulterar i den kompletta bipartita grafen K3,3. Den kallas också för utilitygrafen eller gas, electricity, water,

se gur 2.5.

Denition 2.1.12. En multipartit graf är en graf där alla noder kan delas in i ett godtyckligt antal disjunkta mängder, så att ingen kant går mellan två noder ur samma mängd.

Alla grafer är alltså multipartita om man låter varje nod utgöra en egen mängd.

Följande denition är hämtad ur Andrews [2].

Denition 2.1.13. En partition av ett positivt heltal n är en sekvens av positiva heltal λ = (λ1, λ2, ..., λm) som uppfyller λk ≥ λk+1 (för alla heltal

1 ≤ k ≤ m − 1) samt Pm

k=1λk = n. Matematiskt tecknas detta λ ` n, och

läses λ är en partition av n. p(λ) avser antalet tal i sekvensen, alltså m. Denition 2.1.14. En komplett multipartit graf är en multipartit graf där varje möjligt kant ingår. Vi betecknar den som Kλ1,λ2,...,λm, där λk är

antalet noder i mängd k, n är det totala antalet noder och λ ` n. Dessutom gäller p(λ) > 1.

Sats 2.1.1. Antalet kanter i en komplett multipartit graf är

n

X

1≤j<k≤n

λjλk.

Bevis. Låt oss betrakta två av mängderna, X och Y . Dessa utgör en bipartit graf, så antalet kanter mellan dem är |X||Y |. Om vi gör samma sak för alla andra kombinationer av mängder, och adderar resultaten, så har vi den eftersökta summan.

Kapitel 3

Grafer i planet

Grafer kan realiseras (ritas) i ett plan på olika sätt. Om en graf har ritats i planet utan korsningar kommer den att ha ett visst antal ytor (faces) som begränsas av kanterna. Även ytan utanför grafen räknas till dessa, se gur 3.1.

Denition 3.0.15. För en graf G som har realiserats i planet utan kors-ningar låter vi F (G) vara mängden av alla ytor.

Denition 3.0.16. För att förkorta notationen kommer följande beteck-ningar att användas: p = |V (G)|, q = |E(G)| och r = |F (G)|.

3.1 Eulers sats

Nedan följer en genomgång av Eulers sats och dess följder. Bevisidéer och denitioner är baserade på Wilson [7].

Sats 3.1.1 (Euler). För en sammanhängande graf med p ≥ 1 som har rea-liserats i planet utan korsningar gäller

p − q + r = 2.

Bevis. Vi använder induktion över antalet kanter. Låt basfallet vara: en nod, inga kanter och en yta. Då håller formeln, ty 1 − 0 + 1 = 2.

För induktionssteget, låt oss anta att vi har en sammanhängande graf G utan korsningar med n kanter. Vi lägger till ytterligare en kant från godtyck-lig nod, och bildar grafen G0_{. Låt p}

n, qn och rn vara antalet noder, kanter

och ytor i G, och pn+1, qn+1 och rn+1 vara antalet noder, kanter och ytor

i G0_{. Vi vet från induktionsantagandet att p}

n− qn+ rn = 2. Det nns två

fall när en kant läggs till: (A) en till nod läggs till och blir kantens andra slutpunkt, se gur 3.2; (B) kanten kopplas mellan två bentliga noder, se gur 3.3.

a b c d 1 2 (a) a b c d (b)

Figur 3.1: Samma graf realiserad på två olika sätt. (a) har två ytor, (b) har en korsning.

Figur 3.3: Fall (B): Kanten dras mellan två bentliga noder.

I (A) tillkommer en nod och en kant men ingen yta, så vi har sambanden            pn+1= pn+ 1 qn+1= qn+ 1 rn+1= rn pn− qn+ rn= 2.

Substitution ger den eftersökta ekvationen

pn+1− qn+1+ rn+1= pn+ 1 − qn− 1 + rn= 2.

För (B) kommer en yta att delas itu av den nya kanten. Det tillkommer alltså ytterligare en yta och en kant, så vi har sambanden

           pn+1= pn qn+1= qn+ 1 rn+1= rn+ 1 pn− qn+ rn= 2. Substitution ger pn+1− qn+1+ rn+1= pn− qn− 1 + rn+ 1 = 2.

Denition 3.1.1. För en yta f låter vi sides(f) vara antalet kanter som går runt ytan.

Sats 3.1.2. För en graf som har realiserats i planet med q ≥ 2 utan kors-ningar gäller

2q ≥ 3r.

Bevis. I fallet med bara en yta ger kravet på q ≥ 2 direkt att satsen gäller. Om det nns era ytor så räknar vi för varje yta kanterna som går runt ytan.

Detta innebär att alla sådana kanter räknas två gånger. Det nns minst tre kanter runt varje yta, så

2q ≥ X

f ∈F (G)

sides(f ) ≥ X

f ∈F (G)

3 = 3r.

Denition 3.1.2. En graf som på något sätt kan realiseras i planet så att inga kanter korsar varandra kallas för planär.

Sats 3.1.3. I en planär graf med q ≥ 2 gäller 3p − q ≥ 6.

Bevis. Låt oss anta att grafen har realiserats i planet utan korsningar (det är möjligt, eftersom grafen är planär). Från sats 3.1.2 samt sats 3.1.1 får vi 2q ≥ 3r (när q ≥ 2) och p − q + r = 2 ⇔ 3p − 3q + 3r = 6. Adderas dessa uttryck erhålls 2q + (3p − 3q + 3r) ≥ 3r + 6, alltså 3p − q ≥ 6.

Exempel 3.1.1. K5 är inte planär, ty p = 5, q = 10 ger 3p − q = 15 − 10 =

5 < 6.

Det är lockande att försöka med exakt samma metod som i exempel 3.1.1 på K3,3. Detta ger dock inget vettigt svar eftersom p = 6, q = 9 resulterar

i 3p − q = 18 − 9 ≥ 6. Lyckligtvis kan vi utnyttja egenskaper hos bipartita grafer för att bestämma huruvida K3,3 är planär eller inte.

Lemma 3.1.1. I en bipartit graf som är realiserad i planet utan korsningar med q ≥ 2 gäller

q ≥ 2r.

Bevis. I en bipartit graf som har ritats i planet måste alla ytor ha ett jämnt antal kanter. Detta eftersom varje kant måste gå mellan de två nodmäng-derna, och ingen kant får kopplas mellan noder i samma mängd. Det krävs åtminstone tre kanter för att innesluta en yta. Tre är ett udda tal, så det minsta antalet kanter kring en yta är alltså fyra! Enligt samma resonemang som i beviset av sats 3.1.3 vet vi att 2q ≥ 4r.

Sats 3.1.4. K3,3 är inte planär.

Bevis. Från lemma 3.1.1 och sats 3.1.1 (Eulers formel), erhålls 2q + (4p − 4q + 4r) ≥ 4r + 8, alltså 4p − 2q ≥ 8.

K3,3 är alltså inte planär, ty p = 6, q = 9 medför att 4p − 2q = 24 − 18 =

3.2 Crossing Number

Om en graf inte är planär kan man fråga sig hur många korsningar av kanter behövs för att rita grafen. Finns det ett optimalt sätt att rita grafen på, så att antalet korsningar blir så få som möjligt?

Denition 3.2.1. Det minsta antalet korsningar som behövs för att rita en graf G betecknas cr(G) (eng: crossing number) (de Klerk [5]).

3.2.1 Zarankiewicz

Olikheten i 3.2.1 nämns av de Klerk [5]. Ett utförligt bevis av den åternns i Appendix A.

Denition 3.2.2. Talet x avrundat uppåt till närmsta heltal betecknas dxe. Talet x avrundat nedåt till närmsta heltal betecknas bxc.

Sats 3.2.1 (Zarankiewicz). cr(Km,n) ≤ b m 2cb m − 1 2 cb n 2cb n − 1 2 c.

Zarankiewicz hade tesen att olikheten i 3.2.1 egentligen var en likhet. Enligt de Klerk [5] är likhet verierad upp till m = 8 och n = 8.

3.2.2 Crossing Number Inequality

Crossing number inequality är en olikhet som kan användas för att ta reda på en undre gräns på antalet korsningar. Beviset nedan är en blandning av Ajtai [1] och Pach [6], samt ett utökat resonemang kring olikheten i lemma 3.2.1.

Lemma 3.2.1. För alla grafer realiserade i planet gäller cr(G) ≥ q − 3p.

Bevis. Vi behöver generalisera sats 3.1.2 och sats 3.1.1 så att de gäller för alla grafer. Specikt måste båda gälla då p = 0, q = 0 och r = 1. Alltså

2q + 3 ≥ 2q ≥ 3r och

p − q + r = 2 ≥ 1.

Lite algebra ger 3p − q ≥ 0. Låt G vara en optimalt realiserad icke-planär graf. Om vi för varje korsning tar bort en kant, så kommer vi få en garan-terat planär graf med q − cr(G) kanter och oförändrat antal noder, alltså 3p − (q − cr(G)) ≥ 0, vilket är ekvivalent med cr(G) ≥ q − 3p.

Sats 3.2.2 (Crossing Number Inequality). Låt G vara en sammanhängande graf med q > 4p. Då gäller att cr(G) ≥ q 3 64p2.

Bevis. Låt G vara en sammanhängande graf. Vi låter x vara en sannolikhet (som vi bestämmer senare), alltså 0 ≤ x ≤ 1.

Vi ska nu slumpmässigt generera en ny graf genom att plocka bort noder från G. Låt x vara sannolikheten att en nod får vara kvar. En kant får vara kvar endast om båda dess noder är kvar. Sannolikheten för att en kant är kvar blir alltså x2 _{(då det krävs två på varandra oberoende händelser med}

sannolikhet x). Vi kallar den nya grafen för G1. Enligt lemma 3.2.1 gäller

cr(G1) ≥ q1− 3p1.

Genom att ta ett statistiskt väntevärde på båda sidorna (och utnyttja att väntevärden är linjära) erhålls

E(cr(G1)) ≥ E(q1− 3p1) = E(q1) − 3E(p1).

Vi vet att E(p1) = xp samt E(q1) = x2q. Hur stor är sannolikheten att en

korsning överlevde? En korsning beror på fyra noder, alla måste vara kvar för att korsningen ska vara kvar, så E(cr(G1)) = x4cr(G), vilket ger

x4cr(G) ≥ x2q − 3xp ⇐⇒ cr(G) ≥ q x2 −

3p x3.

Det har blivit dags att bestämma ett lämpligt värde på x. Vi väljer x = 4p

q .

Värdet är mindre än 1, eftersom vi förutsätter q > 4p, så vi har slutligen cr(G) ≥ q 3 42_p2 − 3pq3 43_p3 = q3 64p2.

Det skall tilläggas att Pach och Toth [6] har lyckats förbättra resultatet för grafer med q > 7,5p, genom att bevisa och utnyttja olikheten cr(G) ≥ 5q − 25p. Beviset för denna olikhet är dock tillräckligt mycket material för en hel artikel, så vi nöjer oss med att konstatera resultatet.

Sats 3.2.3 (Pach, Toth). I en sammanhängande graf G med q > 7,5p gäller

cr(G) ≥ 4q

3

Förutsatt att en graf G uppfyller det striktare villkoret i sats 3.2.3 så får man alltså ett högre minsta värde på cr(G) jämfört med sats 3.2.2. Detta blir uppenbart om man utför divisionen 4

135 = 1 33,75.

Kapitel 4

Resultat

4.1 Minsta antalet korsningar i en graf

Det är dags att försöka svara på frågan om hur många korsningar multipar-tita grafer kommer att ha. Till att börja med konstateras två enkla lemman som itigt kommer att användas för att bestämma det minsta möjliga antalet korsningar.

Lemma 4.1.1. En graf G som ritats i planet med t korsningar har cr(G) ≤ t.

Lemma 4.1.2. För en graf G och dess subgraf H gäller cr(G) ≥ cr(H).

Genom en utökning av resonemanget i sats 3.1.3 kan vi få fram en enkel formel som nedåt begränsar det minsta möjliga antalet korsningar.

Sats 4.1.1. Låt G vara en sammanhängande graf med p noder och q kanter, där q ≥ 2. Då gäller

cr(G) ≥ q − 3p + 6.

Bevis. Det här resultatet kan fås genom samma resonemang som i lemma 3.2.1. Här presenteras dock en alternativ metod för att nå olikheten.

Låt G vara en sammanhängande graf och låt den vara uppritad med cr(G) korsningar. Genom att lägga till en nod i varje korsning kommer en planär graf, G0_{, att uppstå, se gur 4.1. För G}0 _{gäller alltså}

v3 v2 v1 v4 (a) v3 v2 v1 v4 v5 (b)

Figur 4.1: En nod, v5, läggs till i korsningen. Detta ger upphov till att två

kanter delas itu.

Figur 4.2: K6 ritad med tre korsningar.

(

p0 = p + cr(G) q0 = q + 2 cr(G). Enligt sats 3.1.3 gäller då att

3p0− q0≥ 6, 3(p + cr(G)) − (q + 2 cr(G)) ≥ 6, 3p + 3 cr(G) − q − 2 cr(G) ≥ 6,

cr(G) ≥ q − 3p + 6.

Exempel 4.1.1. K6 har 15 kanter och 6 noder. Alltså får vi enligt sats 4.1.1

att

cr(K6) ≥ 6 − 3 · 6 + 15 = 3.

Nu vet vi att det minsta antalet korsningar varken kan vara ett eller två! Enligt gur 4.2 och lemma 4.1.1 så är cr(K6) ≤ 3. Alltså är cr(K6) = 3.

(a) Från nod (b) Från kant

Figur 4.3: En nod läggs till i en korsning. Notera att det alltid är en yta som har minst fyra sidor.

4.2 Minsta antalet korsningar i en bipartit graf

Minns från lemma 3.1.1 att man i bipartita grafer utan korsningar kan räkna med att varje yta har fyra kanter. Om vi försöker lägga till noder i korsning-arna så borde denna na egenskap förstöras. Hur mycket förstörs den? Lemma 4.2.1. När en yta f med sides(f) ≥ 4 delas i två till följd av att en korsning ersatts med en nod, kommer åtminstone en av de resulterande ytorna också att ha fyra sidor. Se gur 4.3.

Vi är nu redo att, för kompletta bipartita grafer, presentera en sats som ger en undre begränsning av det minsta antalet korsningar. Eftersom faktiska uppritningar ger övre begränsningar av antalet korsningar så kan nedanstå-ende sats tillsammans med en uppritning användas för att bestämma ett intervall [a, b] så att cr(Km,n) ∈ [a, b].

Sats 4.2.1. Låt G vara en komplett bipartit graf med q kanter och p noder. Då gäller

cr(G) ≥ q − 2p + 4. (+)

Bevis. Låt G vara en komplett bipartit graf, och låt den vara uppritad med cr(G) korsningar. Bilda grafen G0 genom att ta bort en kant från varje

korsning. G0 kommer att vara bipartit och planär. Bilda grafen G0 genom

att lägga tillbaks kanterna, men infoga en nod i varje korsning. Låt p0_{, q}0 _och

r0 vara antalet noder, kanter och ytor i G0. Det gäller att (

p0 = p + cr(G)

q0 = q + 2 cr(G). (*)

Enligt lemma 4.2.1 kommer alla ytor utom maximalt två per korsning (r0₋

2 cr(G)) att ha minst fyra sidor. Maximalt två ytor per korsning kan ha tre sidor. Om vi för alla ytor summerar antalet sidor får vi (enligt samma resonemang som i beviset av sats 3.1.2) att

Figur 4.4: K3,4 uppritad med två korsningar.

2q0 ≥ 4(r0− 2 cr(G)) + 3 ∗ 2 cr(G),

q0 ≥ 2r0− cr(G). (**)

Från Eulers formel, sats 3.1.1, har vi p0_{− q}0_{+ r}0 _{= 2 ⇔ 2p}0_{− 2q}0_{+ 2r}0 _{= 4,}

som tillsammans med (**) ger

q0+ (2p0− 2q0+ 2r0) ≥ (2r0− cr(G)) + 4 cr(G) ≥ q0− 2p0+ 4. Insättning av (*) ger oss

cr(G) ≥ (q + 2 cr(G)) − 2(p + cr(G)) + 4 cr(G) ≥ q − 2p + 4.

Exempel 4.2.1. Vad är cr(K3,4)? Vi har p = 7 och q = 12, som instatt i

(+) ger

cr(G) ≥ q − 2p + 4 = 2.

Det minsta antalet korsningar kan alltså inte vara mindre än två. Ef-tersom gur 4.4 är en realisering med två korsningar kan vi dra slutsatsen att cr(K3,4) = 2.

Tabell 4.1: Tabell över antalet korsningar i en bipartit graf G. Det faktiska värdet, Z, uträknat från sats 3.2.1, samt värdet som sats 4.2.1 ger, a.

G a Z Kn,2 0 0 K3,3 1 1 K4,3 2 2 K4,4 4 4 K5,3 3 4 K5,4 6 8 K5,5 9 16 K6,3 4 6 K6,4 8 12 K6,5 12 24 K6,6 16 36 K7,3 5 9 K7,4 10 18 K7,5 15 36 K7,6 20 54 K7,7 25 81

4.3 Tabeller

4.3.1 Antalet korsningar i bipartita grafer

Vi tillämpar sats 4.2.1 för att hitta en undre begränsning av det minsta antalet korsningar för cr(Km,n), där m, n ≤ 7. Dessa jämförs med de faktiska

värdena från 3.2.1 (Zarankiewicz), se tabell 4.1.

4.3.2 Antalet korsningar i små multipartita grafer

Vi har inte presenterat någon direkt formel för övre gräns av crossing number för multipartita grafer som inte är bipartita. Genom att hitta bra uppritning-ar kan vi ändå säga något om crossing number för sådana grafer. Tabell 4.2 är en översikt över cr(Kλ), p(λ) > 2,för alla grafer med sex eller sju noder.

Genom att utnyttja värdena för K4,3och K4,1,1,1 i tabell 4.2 kan vi direkt

konstatera ett värde för cr(K4,2,1).

Sats 4.3.1. cr(K4,2,1) = 2

Bevis. lemma 4.1.2 och (K4,3 ⊂ K4,2,1⊂ K4,1,1,1) ger att

Tabell 4.2: Tabell över antalet korsningar. Om b inte är angivet gäller cr(G) = a, annars a ≤ cr(G) ≤ b. G a b Referens Kn,1,1 0 gur 4.5 K2,1,1,1,1 2 gur 4.10 K2,2,1,1 1 gur 4.6 K2,2,2 0 gur 4.8 K3,1,1,1 1 gur 4.9 K3,2,1 1 gur 4.7 K2,1,1,1,1,1 5 6 gur 4.11 K2,2,1,1,1 4 gur 4.12 K2,2,2,1 3 gur 4.13 K3,2,2 2 gur 4.14 K3,1,1,1,1 3 5 gur 4.15 K3,2,1,1 2 3 gur 4.16 K3,3,1 2 3 gur 4.17 K4,2,1 2 sats 4.3.1 K4,1,1,1 2 gur 4.18

Figur 4.5: Kn,1,1 uppritad utan korsningar. lemma 4.1.1 ger att Kn,1,1 är

planär.

Figur 4.6: K2,2,1,1uppritad med en korsning. lemma 4.1.1 ger att cr(Kn,1,1) ≤

Figur 4.7: K3,2,1 uppritad med 1 korsning ger cr(K3,2,1) ≤ 1 enligt lemma

4.1.1. Dessutom ger K3,3 ⊂ K3,2,1 att cr(K3,2,1) ≥ 1 enligt lemma 4.1.2.

Figur 4.8: K2,2,2 uppritad utan korsningar. Grafen är alltså planär enligt

lemma 4.1.1.

Figur 4.9: K3,1,1,1 uppritad med 1 korsning ger cr(K3,1,1,1) ≤ 1enligt lemma

Figur 4.10: K2,1,1,1,1 uppritad med 2 korsningar. lemma 4.1.1 ger att

cr(K2,1,1,1,1) ≤ 2. sats 4.1.1 ger cr(K2,1,1,1,1) ≥ q − 3p + 6 = 14 − 18 + 6 = 2.

Figur 4.11: K2,1,1,1,1,1 uppritad med 6 korsningar. lemma 4.1.1 ger att

Figur 4.12: K2,2,1,1,1 uppritad med 4 korsningar. lemma 4.1.1 ger att

Figur 4.13: K2,2,2,1 uppritad med 3 korsningar. lemma 4.1.1 ger att

Figur 4.14: K3,2,2 uppritad med två korsningar. lemma 4.1.1 ger cr(K3,2,2) ≤

2. Dessutom är K4,3 ⊂ K3,2,2, så enligt lemma 4.1.2 är cr(K3,2,2) ≥

cr(K4,3) = 2.

Figur 4.15: K3,1,1,1,1 uppritad med 5 korsningar. lemma 4.1.1 ger att

cr(K3,1,1,1,1) ≤ 3. sats 4.1.1 ger cr(K3,1,1,1,1) ≥ q − 3p + 6 = 18 − 21 + 6 = 3.

Figur 4.16: K3,2,1,1 uppritad med 3 korsningar. lemma 4.1.1 ger att

Figur 4.17: K3,3,1uppritad med 3 korsningar ger cr(K3,3,1) ≤ 3enligt lemma

4.1.1. Dessutom ger K4,3 ⊂ K3,3,1 att cr(K3,3,1) ≥ 2 enligt lemma 4.1.2.

Figur 4.18: K4,1,1,1 uppritad med 2 korsningar ger begränsning uppåt enligt

lemma 4.1.1. Dessutom är K4,3 en subgraf med cr(K4,3) = 2, vilket ger

4.4 Stora kompletta bipartita grafer

För stora kompletta bipartita grafer används med fördel sats 3.2.3 eller sats 3.2.2 (Crossing Number Inequality) tillsammans med sats 3.2.1 (Zaranki-ewicz).

Exempel 4.4.1. Vad är cr(K17,15)? Vi vet att q = 17 · 15 = 255 och p = 32.

Detta uppfyller kravet q ≥ 7.5p, så vi använder sats 3.2.3 och sats 3.2.1 som ger att q3 33.75p2 ≤ 480 ≤ cr(K17,15) ≤ 3136 = b 17 2 cb 17 − 1 2 cb 15 2 cb 15 − 1 2 c. Notera att det blir ett stort gap mellan största och minsta värdet. Eftersom Zarankiewicz bygger på en faktiskt möjlig uppritning av grafen (och likhet aldrig har motbevisats), så är det troligt att cr(K17,15)ligger mycket närmre

Kapitel 5

Diskussion

5.1 Bipartit

Som synes i tabell 4.1 stämmer värdena från sats 4.2.1 väl överens med Zarankiewicz (sats 3.2.1) till en början. Ju större graferna blir, desto mer skiljer sig resultaten. Eftersom likhet aldrig har motbevisats är det möjligt att även för större grafer (Km,n, m > 8, n > 8) anta att Zarankiewicz sats

ger crossing number (eller åtminstone en väldigt bra uppskattning).

Anledningen till de avvikande värdena från sats 4.2.1 är förmodligen att den satsen bygger på en allt för generös uppskattning, se gur 5.1. Förhopp-ningsvis är det möjligt att förna sats 4.2.1 ytterligare med hjälp av mer avancerad grafteori, till exempel genom att i stora grafer påvisa att någon kant måste vara inblandad i mer än en korsning.

a

b

Figur 5.1: En kant dras från a till b. Detta ger upphov till två korsningar, och två ytor med tre kanter. Uppskattningen i sats 4.2.1 bygger på att det för varje korsning tillkommer två ytor med tre kanter.

5.2 Multipartit

Tabell 4.2 (multipartita grafer) lyckas ganska väl med att precisera exakta värden av crossing number för de multipartita graferna. Det nns dock lite oklarheter kring exempelvis K3,1,1,1,1. Ho [4] använder mer kraftfulla metoder

bevisar han formeln cr(Kn,1,1,1,1) = b4₂cb4−1₂ cbn₂cbn−1₂ c + n. Vi ser att n = 3

ger cr(K3,1,1,1,1) = 5, vilket innebär att uppritningen i gur 4.15 verkligen

är en uppritning med så få korsningar som möjligt.

Övriga resultat från Ho [4] bekräftar också resultaten i tabell 4.2. Låt Z(m, n) = bm 2cb m − 1 2 cb n 2cb n − 1 2 c. Ho visar att cr(Kn,4,1) = Z(5, n) + 2b n 2c, cr(Kn,2,2,1) = Z(5, n) + b 3n 2 c och cr(Kn,2,1,1,1) = Z(5, n) + 2n,

vilket bekräftar att värdena för cr(K4,2,1), cr(K2,2,2,1) och cr(K2,2,1,1,1) är

riktigt uppskattade i tabell 4.2.

Asano [3] visar att cr(K1,3,n) = Z(4, n)+bn₂c, vilket innebär att cr(K3,3,1) =

3. Även det värdet ligger inom det från resultatet angivna intervallet, och visar att uppritningen i gur 4.17 är en uppritning med så få korsningar som möjligt.

Litteraturförteckning

[1] M. Ajtai, V. Chvátal, M.M. Newborn, E. Szemerédi, Crossing-Free Subgraphs, North-Holland Mathematics Studies 60 (1982) 9-12. [2] Andrews, George E., The Theory of Partitions, Cambridge University

Press, 1984, s. 1-2.

[3] Kouchei Asano, The crossing number of K1,3,n and K2,3,n, Journal of Graph Theory 10 (1980) 1-8.

[4] Pak Tung Ho, On the crossing number of some complete multipartite graphs, Utilitas Mathematica 79 (2009) 125-143.

[5] E. de Klerk, Improved bounds for the crossing numbers of Km,n and

Kn, SIAM Journal on Discrete Mathematics 20 (1) (2006) 189202.

[6] János Pach, Géza Tóth, Graphs drawn with few crossings per edge, Combinatorica 17 (3) (1997) 427-439.

[7] Robert A. Wilson, Graphs, Colourings and the Four-colour Theorem, Oxford University Press, 2002.

Bilaga A

Bevis av Zarankiewicz

Här följer ett egenkomponerat bevis av Zarankiewicz olikhet, baserat på en generalisering av uppritningen i de Klerk [5].

Lemma A.0.1. En komplett bipartit graf Km,n kan ritas med

1

4mn(m − 1)(n − 1) korsningar.

Bevis. Vi använder induktion över n (vilket behändigt nog också bevisar fal-let över m, eftersom uttrycket är symmetriskt med avseende på variablernas ordning). Låt n = 1 vara basfallet. Uttrycket ger då 0, och en bipartit graf Km,1 kan alltid ritas utan korsningar. För induktionssteget, förutsätt att vi

har en uppritning av Km,n, se gur A.1. En kant som dras mellan un+1och v1

kommer att korsa alla kanter som tidigare dragits till v2, v3, ..., vm. Eftersom

det är n kanter dragna till varje v kommer antalet nya korsningar att bli n(m − 1).

Låt oss nu på samma sätt dra en kant mellan un+1 och v2. Den kommer

att korsa alla kanter som tidigare dragits till v3, v4, ..., vm. Tillskottet här

blir alltså n(m − 2). Om vi upprepar processen ända till vm kommer hela

tillskottet att bli

n(m − 1) + n(m − 2) + n(m − 3) + ... + n = n m−1 X k=1 k = nm(m − 1) 2 .

v1 v2 v3 vm ... u1 u2 ... un un+1

Figur A.1: Ett möjligt antal korsningar i en komplett bipartit graf.

plus korsningarna från Km,n, vilka ges av induktionsantagandet. Vi får att

1 4mn(m − 1)(n − 1) + n m(m − 1) 2 = 1 4mn(m − 1)(n − 1) + 2nm(m − 1) 4 = 1 4mn(m − 1)(n − 1 + 2) = 1 4m(n − 1 + 2)(m − 1)n = 1 4m(n + 1)(m − 1)((n + 1) − 1), vilket fullbordar induktionen.

Lemma A.0.2. För alla x ∈ N gäller 1 2  bx 2c(b x 2c − 1) + d x 2e(d x 2e − 1)  = bx 2cb x − 1 2 c. Bevis. Låt f(x) = 1 2 b x 2c(b x 2c − 1) + d x 2e(d x 2e − 1)
. Om x är jämnt gäller bx 2c = d x 2e, vilket resulterar i f (x) = 1 2  2bx 2c(b x 2c − 1)  = bx 2c(b x − 1 2 c).

Om x är udda gäller att bx 2c + 1 = d x 2e, så f (x) =1 2  bx 2c(b x 2c − 1) + (b x 2c + 1)((b x 2c + 1) − 1)  = 1 2b x 2c  (bx 2c − 1)(b x 2c + 1)  = bx 2cb x 2c = bx 2cb x − 1 2 c.

Sats A.0.1 (Zarankiewicz). I en komplett bipartit graf Km,n gäller att

cr(Km,n) ≤ b m 2cb m − 1 2 cb n 2cb n − 1 2 c. Bevis. Placera ut noderna ur m så att bm

2c noder är på den positiva x-axeln

och dm

2e noder hamnar på den negativa x-axeln. Placera på samma sätt ut

noderna från n, alltså bn

2cpå den positiva y-axeln och d m

2epå den negativa

y-axeln, se gur A.2.

Varje kvadrant i koordinatsystemet kan nu ses som en komplett bipartit graf enligt lemma A.0.1. Vi kan alltså alltid rita en komplett bipartit graf så att antalet korsningar blir

1 4  bm 2 cd n 2e(b m 2c − 1)(d n 2e − 1) + d m 2eb n 2c(d m 2e − 1)(b n 2c − 1)+ + bm 2cb n 2c(b m 2c − 1)(b n 2c − 1) + d m 2ed n 2e(d m 2 e − 1)(d n 2e − 1)  = 1 2  bm 2c(b m 2c − 1) + d m 2e(d m 2e − 1) 1 2  bn 2c(b n 2c − 1) + d n 2e(d n 2e − 1)  = bn 2cb n − 1 2 cb m 2cb m − 1 2 c.