De 17 tapetgrupperna

(1)

(2)

(3)

Inneh˚all

1. Inledning 2

2. Matrisgrupper 3

2.1. Isometrier 3

2.2. Linj¨ara matrisgrupper 3

2.3. Rotation och spegling 5

3. Den euklidiska gruppen 8

3.1. Direkta och semidirekta produkter 8

3.2. Sammans¨attning av den euklidiska gruppen 11

3.3. F¨orflyttning och f¨orskjuten spegling 14

3.4. De diskreta frisgrupperna 14

3.5. Sammanst¨allning av matrisgrupperna och den euklidiska gruppen 14

4. Kristallografiska rymdgrupper 16

5. Klassifikation av tapetgrupper 26

5.1. Gitter och punktgrupper 26

5.2. Antalet inekvivalenta kristallografiska rymdgrupper 33

6. Resultat 44

6.1. Slutsats 44

6.2. Konstn¨arlig inspiration 44

Referenser 45

Bilaga A. Identifiering av kristallografiska rymdgrupper 46 Bilaga B. Exempel p˚a m¨onster i tapetgrupper 47

(4)

1. Inledning

Gruppteorin har blivit ett viktigt verktyg för studier av symmetrier. Den används framför allt inom ämnesomr˚adena fysik och kemi för att beskriva kvantmekaniken och uppbyggnaden av kristaller. Det är speciellt matrisgrupper som har visat sig vara ett bra verktyg för s˚adana modeller av verkligheten. Inom matematiken har gruppteorin f˚att stor betydelse inom s˚aväl algebra som geometri och funktions-teori. Det finns tre historiska rötter som under utvecklingen p˚a 1800-talet ledde fram till den abstrakta gruppteorin: teorin om algebraiska ekvationer, talteorin och geometrin. Under 1882 lyckades Walter von Dyck (1856–1934) och Heinrich Weber (1842–1913) att oberoende av varandra sätta samman de tre rötterna till en tydlig definition av en abstrakt grupp.

Avst˚and och bevarandet av avst˚and ¨ar centrala begrepp i denna uppsats. Det ¨

ar nämligen bevarandet av avst˚and som ger symmetriska kompositioner, s. k. iso-metrier. Ett symmetriskt tapetmönster innebär att ett grundläggande motiv upp-repas över hela tapeten. Beroende p˚a hur motivet ser ut s˚a kan det förflyttas, roteras och speglas. Dessa transformationer är de naturliga isometrierna som ocks˚a kan sättas samman till godtyckliga isometrier. Enligt [11], s. 6, är det tillräckligt om vi förutom de naturliga isometrierna sätter samman produkten av förflyttning och spegling. Denna sammansättning kallar vi förskjuten spegling. Det är iso-metrierna som vi representerar med element i matrisgrupperna och den euklidiska gruppen. Dessa grupper ligger till grund för den kristallografiska rymdgruppen som gör det möjligt att klassificera b˚ade tapetmönster och kristallstrukturer.

Kommentar 1.1. Vi kommer att använda kolumnvektorer x i det euklidiska planet R2 för att beskriva punkter i tapetmönster och tv˚adimensionella kristaller. I det generella fallet är det fr˚_{aga om det euklidiska rummet R}n som vi l˚ater representeras av vektorrummet V . I detta vektorrum V använder vi standardbasen E = {e1, e2, . . . , en}. För en linjär transformation T : V → V gäller att T =

T

E,E∈ Mat (n, R) ¨ar matrisen till T . Omv¨ant f˚ar vi med matrisen A ∈ Mat (n, R)

att TA: V → V, x 7→ Ax är en linjär transformation och även

TA = A

Th

Ti= T.

Om en linj¨ar transformation TArepresenteras med en matris A ∈ Mat (2, R), tolkas

detta som att TA multiplicerar areor med faktorn | det(A)|. I forts¨attningen l˚ater

vi V beteckna antingen vekttorrummet i R2

eller i Rn_{, och I st˚}_{a f¨}_{or antingen 2 ×}

2-eller n × n-enhetsmatriser. Vilket av de tv˚a alternativen som ska gälla för respektive beteckning kommer att framg˚a av sammanhanget. Med mänden M definierar vi ocks˚a den symmetriska gruppen som

Sym(M ) = { f : M → M : f bijektiv }. Dessutom l˚ater vi

Aut(V ) = { T : V → V : T linj¨ar och bijektiv }

vara automorfigruppen p˚a vektorrummet V . S˚alunda ¨ar automorfigruppen delgrupp i den symmetriska gruppen i vektorrummet V .

(5)

2. Matrisgrupper 2.1. Isometrier.

Definition 2.1. L˚at kolumnvektorerna x = (x1, x2, . . . , xn)> ∈ V och

y = (y1, y2, . . . , yn)>∈ V vilket ger skal¨arprodukten

hx, yi = x>y = (x1, x2, . . . , xn)      y1 y2 .. . yn      = x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn.

Definition 2.2. Utifr˚an skal¨arprodukten defineras normen av en kolumnvektor x = (x1, x2, . . . , xn)> som

||x|| =phx, xi = q

x2₁+ x2₂+ · · · + x2 n.

Normen tolkas som längden av en vektor och p˚a s˚a sätt kan ocks˚a avst˚andet mellan tv˚a vektorer beräknas.

Definition 2.3. Avst˚andet mellan kolumnvektorerna x = (x1, x2, . . . , xn)> och

y = (y1, y2, . . . , yn)> definieras som ||x − y||.

Definition 2.4. En transformation T kallas avst˚andsbevarande eller isometri om ∀x, y ∈ V : ||T (x) − T (y)|| = ||x − y||.

Definition 2.5. Vi kan bilda den isometriska gruppen som m¨angden

Iso(V ) = { T : V → V : T bijektiv och ∀x, y ∈ V : ||T (x) − T (y)|| = ||x − y|| }. Vi ser att den isometriska gruppen Iso(V ) ¨ar delgrupp i den symmetriska gruppen Sym(V ).

2.2. Linjära matrisgrupper. Grupper med element som är inverterbara n × n-matriser har matrismultiplikation som operation. Därför representerar dessa element linjära transformationer.

Definition 2.6. Mängden av alla inverterbara n × n-matriser bildar en grupp som kallas den generella linjära gruppen GL(n, R). Gruppens sägs ha graden n. Om kompositionen är matrismultiplikation, är gruppens identitet 1n = I. L˚at istället

m¨angden av alla inverterbara n × n-matriser best˚a av inverterbara element som tillh¨or en ring R med en etta. D˚a kan vi beteckna gruppen av alla dessa matriser med GL(n, R).

Definition 2.7. Den delgrupp i GL(n, R) vars matriser har determinanten 1 kallas den speciella linj¨ara gruppen SL(n, R).

Typiskt för transformationer som representeras med matriser i SL(2, R) är att dessa, som följd av att matrisernas determinanter alltid är 1, bevarar areor [7, 11]. Definition 2.8. Den delgrupp i GL(n, R) vars element är ortogonala matriser, dvs. A−1= A>, kallas den ortogonala gruppen O(n).

Transformationer som representeras med matriser i den ortogonala gruppen O(n) har egenskapen att bevara vektorernas l¨angder. Detta framkommer i den f¨oljande satsen.

Sats 2.9. L˚at A ∈ O(n) och kolumnvektorerna x, y ∈ V vara godtyckliga. D˚a ¨ar f¨oljande p˚ast˚aenden ekvivalenta:

(6)

i. Kolumnerna i den ortogonala matrisen A bildar en ortonormal m¨angd. ii. A−1= A>.

iii. hAx, Ayi = hx, yi. iv. ||Ax − Ay|| = ||x − y||. v. ||Ax|| = ||x||.

Bevis. (ii) ⇒ (i): L˚at A ∈ O(n). D˚a f˚ar vi

det(AA>) = det(I) ∧ det(A) = det(A>) ⇒ det(A) = 1 ∨ det(A) = −1 ⇒

AA>= I.

L˚at aj vara kolumnvektorerna i den ortogonala matrisen A =a1 a2 · · · an.

Vi f˚ar AA>= I ⇒ har, asi = δrs, d¨ar Kroneckers delta ¨ar δrs= ( 1, om r = s; 0, annars.

Detta visar att alla skal¨arprodukter med distinkta kolumnvektorer aj¨ar 0, dvs. alla

aj ¨ar ortogonala. Samtliga aj har ocks˚a normen 1. Allts˚a ¨ar alla aj ortonormala.

(i) ⇒ (ii):

L˚at {a1, a2, . . . , an} vara en ortonormal m¨angd av kolumnvektorer, dvs.

har, asi = δrs, s˚a ¨ar a1 a2 · · · an ∈ O(n). Allts˚a f˚ar vi med A =a1 a2 · · · an att A−1 = A>. (ii) ⇒ (iii):

hAx, Ayi = (Ax)>Ay = x>A>Ay = x>Iy = x>y = hx, yi. (iii) ⇒ (ii):

hx, xi = hAx, Axi = (Ax)>Ax = x>A>Ax = hx, A>Axi, hx, xi = hx, A>Axi ∧ hx, xi = hx, Ixi ⇒ hx, A>Axi − hx, Ixi = 0 ⇒

hx, (A>A − I)xi = 0,

∀x ∈ V : ||x|| > 0 ⇒ A>A − I = 0 ⇒ A−1= A>. (iii) ⇒ (iv):

||Ax − Ay||2_{= ||A(x − y)||}2_{= hA(x − y), A(x − y)i =}

(7)

(iv) ⇒ (v):

S¨att y = 0. Detta ger att

||Ax|| = ||Ax − Ay|| = ||x − y|| = ||x||. (v) ⇒ (iii): hAx, Ayi = 1 2 [||Ax + Ay|| 2 − ||Ax||2− ||Ay||2] = 1 2 [||A(x + y)|| 2 − ||Ax||2− ||Ay||2] = 1 2 [||x + y|| 2 − ||x||2− ||y||2] = hx, yi. Korollarium 2.10. L˚at den linj¨ara transformationen T ∈ Iso(V ). D˚a f¨oljer av sats 2.9 att

T ∈ O(n) och om matrisen A ∈ O(n) s˚a ¨ar

TA∈ Iso(V ).

Definition 2.11. Snittet mellan O(n) och SL(n, R) kallas den speciella ortogonala gruppen SO(n).

Givetvis ¨ar SO(n) en delgrupp i GL(n, R). Elementen i SO(n) ¨ar de matriser i O(n) som har determinanten 1.

2.3. Rotation och spegling. En isometri som roterar objekt med en positiv vinkel θ i vektorrummet V representeras av matrisen R i den ortogonala

gruppen O(2). Ett s˚adant element karakteriseras av att det(R) = 1. Allts˚a är matrisen R även element i den speciella ortogonala gruppen SO(2). Om en ortogonal 2 × 2-matris istället har determinanten -1 s˚a representerar denna en isometri som speglar objekt i symmetriaxeln λ. Vi betecknar en s˚adan matris med S.

Sats 2.12. De ¨andliga delgrupperna i O(2) ¨ar antingen cykliska grupper, Cn, eller

diedergrupper, Dn.

Bevis. L˚_{at G 6= {1} , G ≤ O(2) och A ∈ Mat (2, R) vara element i G. Vidare l˚}ater vi kolumnvektorerna x1, x2∈ V och s¨atter matrisen

A =x1 x2 ∈ O(2).

Detta ger att x1och x2 ¨ar ortonormala, dvs.

||x1|| = 1

||x2|| = 1

hx1, x2i = 0.

För tv˚a enhetsvektorer gäller det samma, nämligen att ||e1|| = 1

||e2|| = 1

he1, e2i = 0.

Geometriskt har vi att x1⊥x2 och e1⊥e2. Vi l˚ater matrisen A representera den

linj¨ara transformationen TA och f˚ar

(8)

Den geometriska tolkningen av detta ¨ar att den r¨ata vinkeln mellan de tv˚a

enhetsvektorerna bevaras med transformationen TA. Detta ger oss de m¨ojliga

kolumn-vektorerna x1= (cos(θ), sin(θ)) (1) x2= (cos(θ + π 2), sin(θ + π 2)) (2) och x1= (cos(θ), sin(θ)) (3) x2= (cos(θ + 3π 2 ), sin(θ + 3π 2 )), (4)

där vinkeln θ ∈ [0, 2π]. Det första paret av kolumnvektorerna (1, 2) är rotationer med vinkeln θ av enhetsvektorerna e1 och e2 medan det andra paret av

kolumn-vektorerna (3, 4) ¨ar speglingar i symmetriaxeln λ av e1 och e2. Om det(A) = 1

s˚a följer att paret (1, 2) är den enda möjliga lösningen, dvs. transformationen TA

utför rotation. I annat fall är det(A) = −1 som ger att paret (3, 4) är den enda möjliga lösningen. I det senare fallet utför transformationen TA spegling.

Fall 1: Alla element i G har determinanten 1.

Det finns ˚atminstone en rotation som har den minsta positiva vinkeln θ. Denna rotation l˚ater vi representeras av Rθ∗. Vi p˚ast˚ar att G ¨ar cyklisk och genererad av

Rθ∗. L˚at Rθ∈ G, θ 6= 0. D˚a g¨aller f¨or n˚agot n ∈ Z + _att

nθ∗≤ θ < (n + 1)θ∗.

Vi har ett element

RθR−nθ∗ ∈ G

som kan skrivas

RθR−nθ∗ = RθR−nθ∗= Rθ−nθ∗.

Med undantag f¨or fallet θ = nθ∗representerar elementet en rotation med en positiv

vinkel som är mindre än θ∗. Därför f˚ar vi

Rθ= Rnθ∗= R n θ∗.

Detta visar att alla element i G ¨ar potenser av matrisen Rθ∗ som ger att G ¨ar en

finit cyklisk grupp.

Fall 2: Det finns element i G som inte har determinanten 1.

Antag att det finns en spegling som representeras av S i G. L˚at homomorfin φH : G → {1, −1} , A 7→ det(A), d¨ar 2 × 2-matrisen A ∈ G. Vidare s¨atter vi

H = ker(φH) = { A : det(A) = 1 }

som med homomorfisatsen f¨or grupper ger att H E G med [G : H] = 2. Eftersom matrisen S /∈ H s˚a f¨oljer kvotgrupperna

G/H = {H, HS} .

Detta ger att H m˚aste vara en ¨andlig delgrupp i O(2) och vars element endast har determinanten 1. Fr˚an fall (1) f˚ar vi att H m˚aste vara cyklisk och genererad av en rotation som representeras av matrisen R. Antag att ord(R) = n. D˚a f˚ar vi

(9)

Elementen i gruppen G f¨oljer relationerna Rn = I S2= I SRS = R−1 = Rn−1.

(10)

3. Den euklidiska gruppen

3.1. Direkta och semidirekta produkter. Den i sammanhanget viktiga euklidiska gruppen kan beskrivas som en yttre semidirekt produkt. Därför definierar vi först s˚aväl inre som yttre direkta och semidirekta produkter.

Definition 3.1. L˚at G vara en grupp under multiplikation och { Gi: i = 1, 2, . . . , n }

vara delgrupper i G. Om varje Gi ¨ar normal delgrupp i G och varje element i G

kan skrivas unikt p˚a formen g = g1g2· · · gn, d¨ar gi∈ Gi, s˚a ¨ar G den inre direkta

produkten av { Gi: i = 1, 2, . . . , n }.

Definition 3.2. En grupp G är den inre semidirekta produkten av en delgrupp N med en delgrupp H om följande villkor är uppfyllda:

1. G = N H. 2. N E G. 3. H ∩ N = {1}.

Sats 3.3. Om gruppen G ¨ar den inre semidirekta produkten av N med H, d¨ar N ¨

ar normal delgrupp i G och H är delgrupp i G, s˚a gäller att kvotgruppen G/N är isomorf med H.

Bevis. L˚_{at G vara grupp, N E G, H ≤ G och H ∩ N = {1}. Detta ger med den} andra homomorfisatsen f¨or grupper att

G/N = N H/N ' H/(H ∩ N ) = H/ {1} ' H.

Sats 3.4. L˚at G vara en inre semidirekt produkt av N med H. F¨or varje element h i H ¨ar avbildningen ϑh: N → N , som definieras ϑh(n) = hnh−1, en automorfi av

N . Avbildningen ϑ : H → Aut(N ) som definieras av ϑ(h) = ϑh ¨ar en homomorfi.

Bevis. Eftersom

N E G s˚a har vi

hnh−1∈ N.

Detta ger f¨or godtyckliga n1, n2∈ N och ett godtyckligt h ∈ H att

ϑh(n1n2) = hn1n2h−1= hn1h−1hn2h−1 = ϑh(n1)ϑh(n2),

dvs. ϑh¨ar en homomorfi. Om vi antar

ϑh(n1) = ϑh(n2)

s˚a f¨oljer att

hnh−1= hn2h−1⇒ n1= n2.

Allts˚a ¨ar homomorfin ϑh injektiv. Dessutom ser vi att

(11)

som innebär att homomorfin ϑh ocks˚a är surjektiv. Därför är homomorfin ϑh

bijektiv, dvs. ϑh ¨ar en automorfi av N . Slutligen visar vi att ϑ en ¨ar homomorfi, ty

ϑ(h1h2)(n) = ϑh1h2(n) = (h1h2)n(h1h2)−1= h1(h2nh−12 )h −1 1 = ϑh1(h2nh −1 2 ) = ϑh1(ϑh2(n)) = ϑ(h1) ◦ ϑ(h2)(n). Definition 3.5. L˚at G och H vara grupper under multiplikation med elementen g ∈ G och h ∈ H. D˚a ¨ar den yttre direkta produkten G×H m¨angden av alla ordnade par (g, h) under multiplikationen

(g1, h1)(g2, h2) = (g1g2, h1h2).

Sats 3.6. Utg˚aende fr˚an grupperna N och H, samt homomorfin ϑ : H → Aut(N ), h 7→ ϑ(h) = ϑh, l˚ater vi G vara m¨angden av ordnade par { (n, h) : n ∈ N, h ∈ H }.

D˚a ¨ar G = N oϑH en grupp under multiplikation som definieras

(n1, h1)(n2, h2) = (n1ϑh1(n2), h1h2).

Gruppen G kallas den yttre semidirekta produkten av N med H.

Bevis. Vi l˚ater N och H vara grupper och använder de fyra gruppaxiomen för att visa att ocks˚a G är en grupp.

i. ∅ 6= G. Med godtyckliga element n1, n2∈ N respektive h1, h2∈ H f˚ar vi

(n1, h1)(n2, h2) = (n1ϑh1(n2), h1h2).

För det första elementet i paret (n1ϑh1(n2), h1h2) gäller att

n1ϑh1(n2) ∈ N,

ty ϑh1(n2) ∈ N . Eftersom H ¨ar en grupp s˚a ¨ar h1h2∈ H, dvs. det andra

elementet i paret (n1ϑh1(n2), h1h2) tillh¨or H. Allts˚a ¨ar (N, H) = G sluten under

den definierade gruppoperationen.

ii. Med godtyckliga element n1, n2, n3∈ N respektive h1, h2, h3∈ H f˚ar vi

((n1, h1)(n2, h2))(n3, h3) = (n1ϑh1(n2), h1h2)(n3, h3) =

(n1ϑh1(n2)ϑh1h2(n3), (h1h2)h3) = (n1ϑh1(n2)ϑh1(ϑh2(n3)), h1(h2, h3) =

(n1ϑh1(n2ϑh2(n3)), h1(h2h3)) = (n1, h1)(n2ϑh2(n3), h2h3) =

(n1, h1)((n2, h2)(n3, h3)).

Av detta framg˚ar att elementparen i G ¨ar associativa under den definierade grupp-operationen.

iii. Identiteten i G ¨ar paret (1, 1), ty

(n, h)(1, 1) = (nϑh(1), h) = (n, h) = (1ϑ1(n), h) = (1, 1)(n, h).

iv. Eftersom

(n, h)(ϑ−1_h (n−1), h−1) = (nϑ−1_h (n−1), hh−1) = (nn−1, 1) = (1, 1) s˚a har varje element i G en h¨ogerinvers, dvs.

(12)

Därför följer att

∃h ∈ G : g0h = 1. Detta ger att

1 = g0h = g01h = g0gg0h = g0g1 = g0g s˚a att g0 ocks˚a har en v¨ansterinvers. D¨armed har vi bevisat att

(v−1_h (n−1), h−1) ¨

ar den dubbelsidiga inversen till (n, h).

Punkterna (i) - (iv) visar att G ¨ar en grupp.

Kommentar 3.7. Om gruppen G i sats 3.6 ist¨allet skrivs G = H nϑN s˚a definieras

gruppens multiplikation

(h1, n1)(h2, n2) = (h1h2, n1ϑh1(n2)).

Korollarium 3.8. I denna följdsats används definitionerna enligt sats 3.6. L˚at mängderna eN = { (n, 1) : n ∈ N } och eH = { (1, h) : h ∈ H }. Dessa är delgrupper i G och isomorfa med N respektive H. D˚a är eN = { (n, 1) : n ∈ N } normal delgrupp i G och eN ∩ eH = {(1, 1)}, dvs. G är den inre direkta produkten av eN med eH, G = eN eH.

Bevis. i. ∅ 6= eN . Med godtyckliga element n1, n2∈ N f˚ar vi

(n1, 1)(n2, 1) = (n1n2, 1),

dvs. eN ¨ar sluten under multiplikation.

ii. Identiteten i G ¨ar paret (1, 1) som ocks˚a ¨ar identiteten i eN , ty (n, 1)(1, 1) = (n, 1) = (1, 1)(n, 1). iii. Eftersom

(n, 1)(n, 1)−1= (n, 1)(n−1, 1) = (nn−1, 1) = (1, 1) (n, 1)−1(n, 1) = (n−1, 1)(n, 1) = (n−1n, 1) = (1, 1)

s˚a har varje elementpar i eN b˚ade höger och vänster invers som tillhör mängden eN . Enligt (i) - (iii) har vi

e N ≤ G, d¨ar eN ' N .

iv. ∅ 6= eH. Med godtyckliga element h1, h2∈ H f˚ar vi

(1, h1)(1, h2) = (1, h1h2),

dvs. eH ¨ar sluten under multiplikation.

v. Identiteten i G ¨ar paret (1, 1) som ocks˚a ¨ar identiteten i eH, ty (1, h)(1, 1) = (1, h) = (1, 1)(1, h). vi. Eftersom

(1, h)(1, h)−1 = (1, h)(1, h−1) = (1, hh−1) = (1, 1) (1, h)−1(1, h) = (1, h−1)(1, h) = (1, h−1h) = (1, 1)

(13)

s˚a har varje elementpar i eH b˚ade höger och vänster invers som tillhör mängden eH. Punkterna (iv) - (vi) visar att

e H ≤ G, d¨ar eH ' H. D˚a f˚ar vi (n, h) = (n, 1)(1, h) ⇒ G = eN eH. Vi har ocks˚a att

(n1, h)(n2, 1)(n1, h)−1= (n1n2, h)(n−11 , h−1) = (n1n2n−11 , hh −1_{) = (n} 1n2n−11 , 1) ∈ N, dvs. e N E G. vii. Vi har e N ∩ eH = { (n, 1) : n ∈ N } ∩ { (1, h) : h ∈ H } = {(1, 1)} . Eftersom e N E G e H ≤ G e N ∩ eH = {(1, 1)}

s˚a ¨ar G den inre semidirekta produkten av eN och eH, dvs. G = eN eH.

3.2. Sammans¨attning av den euklidiska gruppen.

Lemma 3.9. En isometri f som fixerar origo i vektorrummet V är en linjär trans-formation. I synnerhet är f given av ett element i O(n).

Bevis. i. L˚at f vara en isometri med f (0) = 0 och kolumnvektorerna x, y ∈ V vara godtyckliga. Eftersom f (0) = 0 och ||f (x)|| = ||x|| kan vi skriva

||x||2− 2hf (x), f (y)i + ||y||2= ||f (x)||2− 2hf (x), f (y)i + ||f (y)||2= hf (x) − f (y), f (x) − f (y)i = ||f (x) − f (y)||2=

||x − y||2= hx − y, x − yi = ||x||2− 2hx, yi + ||y||2⇒ hf (x), f (y)i = hx, yi. ii. L˚at x =      x1 x2 .. . xn      = x1e1+ x2e2+ · · · + xnen,

vara en godtycklig kolumnvektor i V . Vi har hx, eji = xj⇒

(14)

Eftersom f : V → V, x 7→ f (x) s˚a f˚ar vi

f (x) = hf (x), f (e1)if (e1) + hf (x), f (e2)if (e2) + . . . + hf (x), f (en)if (en).

Enligt (i) har vi

hf (x), f (ej)i = hx, eji = xj⇒

f (x) = x1f (e1) + x2f (e2) + · · · + xnf (en).

Detta visar att isometrin f ¨ar linj¨ar.

Korollarium 3.10. Om transformationen f ∈ Iso(V ) och f (0) = 0, ¨ar f ∈ Aut(V ).

Korollarium 3.11. Om en linj¨ar transformation T ∈ Iso(V ) s˚a ¨ar detta ekvivalent med att T ∈ O(n).

Korollarium 3.12. Den ortogonala gruppen O(V ) = { TA: A ∈ O(n) } ¨ar en

delgrupp i den isometriska gruppen Iso(V ). I synnerhet ¨ar Aut(V ) ∩ Iso(V ) = O(V ).

Definition 3.13. L˚_{at A ∈ Mat (n, R). Vidare l˚}_{ater vi (R}n_{, +) och (O(n), ·) vara}

grupper. Vi definierar E(n) = O(n) nϑRn med homomorfin ϑ : O(n) → Aut(Rn), A 7→ TA f¨or n˚agon kolumnvektor x ∈ V . E(n) kallas den euklidiska gruppen under

multiplikationen

(A1, a1)(A2, a2) = (A1A2, A1a2+ a1),

d¨ar A1, A2∈ Mat (n, R) och a1, a2∈ V .

Bevis. Avbildningen ϑ : O(n) → Aut(Rn_{) definieras}

ϑ(A) = ϑA: A 7→ TA,

dvs.

ϑA(x) = Ax.

F¨or godtyckliga x1, x2∈ V och en godtycklig A ∈ O(n) f˚ar vi

ϑA(x1+ x2) = A(x1+ x2) = Ax1+ Ax2= ϑA(x1) + ϑA(x2),

dvs. ϑA¨ar en homomorfi. Om vi antar

ϑA(x1) = ϑA(x2)

s˚a f¨oljer att

Ax1= Ax2⇒ x1= x2.

Allts˚a är homomorfin ϑAinjektiv. Dessutom är den linjära transformen TA(x) = Ax

som innebär att homomorfin ϑA ocks˚a är surjektiv. Allts˚a är ϑA bijektiv och en

automorfi av R2_.

L˚at matriserna A1, A2 ∈ O(n) vara godtyckliga. D˚a f˚ar vi f¨or n˚agon

kolumn-vektor x ∈ V att

ϑ(A1A2)(x) = ϑA1A2(x) = (A1A2)x = A1(A2x) =

ϑA1(ϑA2(x)) = ϑ(A1) ◦ ϑ(A2)(x),

dvs. ϑ ¨ar en homomorfi.

(15)

Bevis. L˚at varje elementpar (A, a) ∈ E(n) representera en transformation T(A,a)(x) = Ax + a,

d¨ar kolumnvektor x ∈ V ¨ar godtycklig. L˚at x1, x2∈ V vara godtyckliga. D˚a f˚ar vi

||T(A,a)(x1) − T(A,a)(x2)|| = ||(Ax1+ a) − (Ax2+ a)|| =

||A(x1− x2)|| = ||x1− x2||,

ty matrisen A ∈ O(n). Detta ger att

∀(A, a) : T(A,a) ∈ Iso(V ).

L˚at elementparen (A1, a1), (A2, a2) ∈ E(n) som ger att

φ((A1, a1)(A2, a2))(x) = φ((A1A2, A1a2+ a1))(x) =

T(A1A2,A1a2+a1)(x) = A1A2x + A1a2+ a1=

A1(A2x + a2) + a1= T(A1,a1)◦ T(A2,a2)(x) =

φ((A1, a1))φ((A2, a2))(x).

Detta ger att φ ¨ar en homomorfi. Eftersom

∀x ∈ V : Ax + a = x ⇒ (A, a) = (I, 0) s˚a ¨ar ker(φ) = {(I, 0)} , dvs. φ ¨ar injektiv. L˚at transformationen Ta(x) = x + a med inversen T−a(x) = x − a.

Vidare l˚ater vi f ∈ Iso(V ) fixera origo f¨or en kolumnvektor a1∈ V med T−a1◦ f ,

dvs.

T−a1◦ f (0) = T−a1(a1) = a1− a1= 0.

Eftersom T−a1◦ f fixerar origo s˚a f¨oljer att det existerar en matris A ∈ O(2) s˚adan

att den representerade transformationen

TA= T−a1◦ f ⇒

Ta1◦ TA= Ta1◦ T−a1◦ f ⇒

f = Ta1◦ TA= T(A,a1)= φ((A, a1)).

Därför är φ surjektiv. S˚alunda är homomorfin φ : E(n) → Iso(V ), (A, a) 7→ T(A,a)

bijektiv, dvs. en isomorfi.

Kommentar 3.15. Sats 3.14 visar att varje isometri kan skrivas som produkt av en f¨orflyttning och en ortogonal transformation. Det senare ¨ar i fallet n = 2 antingen en spegling eller en rotation.

(16)

3.3. F¨orflyttning och f¨orskjuten spegling.

Definition 3.16. L˚at kolumnvektorn a ∈ V . Vi definierar Tasom den affina

trans-formationen

Ta: V → V, x 7→ x + a.

Isometrin Ta¨ar geometriskt tolkat en f¨orflyttning av kolumnvektorn x med

kolumn-vektorn a. Sammans¨attningen av TAoch Ta ger

T(A,a)(x) = Ta◦ TA(x) = Ax + a.

Allts˚a representerar elementparet (I, a) i den euklidiska gruppen E(n) isometrin T(I,a)(x) = x + a,

dvs.

Ta= T(I,a).

Kommentar 3.17. Det är möjligt att sätta samman kombinationer av de tre naturliga isometrierna. Med produkten av en förflyttning och en spegling f˚as trans-formationen förskjuten spegling, (eng. Glide Reflection). Denna transformation till-sammans med de tre naturliga isometrierna är (som tidigare har nämnts) tillräckliga för att kunna beskriva alla förekommande isometrier i vektorrummet V .

Definition 3.18. L˚at matrisen S ∈ O(2) tillsammans med kolumnvektorn a ∈ V utgöra ett elementpar (S, a) ∈ E(2). Matrisen S representerar en spegling, dvs. det(S) = −1. D˚a kan vi sätta samman isometrin förskjuten spegling med

T(S,a)(x) = Ta◦ TS(x) = Sx + a.

3.4. De diskreta frisgrupperna. Som exempel p˚a isometriska grupper Iso(V ) vars element representerar förflyttningar, rotationer, speglingar och förskjutna speglingar, tar vi de diskreta frisgrupperna. Dessa grupper används för att beskriva mönster med ändliga bredder och höjder som upprepas längs baslinjer. Dessa upprepade mönster ˚aterfinns i dekorationer och konst, som t. ex. tapetborder, m˚alade motiv p˚a väggar, ornament p˚a fasader, utsmyckningar av mosaik och dekorationer p˚a kärl. Det är till och med möjligt l˚ata frisgrupper beskriva

strukturer hos v¨axter och djur [13]. Frisgrupperna ¨ar sju till antalet och isomorfa med en av Z, D∞, Z × Z2 eller D∞× Z2. Se [3, 4, 9]. D∞ betecknar en icke-abelsk

grupp som genereras av förflyttningar av oändlig ordning och rotationer av ordningen 2. Mängden i Znbest˚ar av alla de rester som kan f˚as under heltalsdivision

med n.

3.5. Sammanställning av matrisgrupperna och den euklidiska gruppen. GL(n, R), SL(n, R), O(n) och SO(n) är grupper under matrismultiplikation. Detta innebär att en kolumnvektor x ∈ V avbildas med transformationen

TA(x) = Ax,

där A ∈ Mat (n, R). Däremot är elementen i den euklidiska gruppen E(n) ordnade par av matriser i O(2) och tillhörande kolumnvektorer i V , dvs. (A, a). I E(n) används gruppoperationen

(A1, a1)(A2, a2) = (A1A2, A1a2+ a2),

d¨ar (A1, a1), (A2, a2) ∈ E(n). Om vi l˚ater paret (I, x) representera den

kolumn-vektor x ∈ V som ska avbildas, ger gruppoperationen att transformationen kan skrivas

(17)

d¨ar (A, a) ∈ E(n). Allts˚a f˚ar vi

T(A,a)= Ta◦ TA.

Grupp M¨angd Vissa egenskaper

Transformationer i planet R2 GL(n, R) { A ∈ Mat (n, R) : det(A) 6= 0 } ¨ar bijektiva och linj¨ara.

Transformationer i planet R2

SL(n, R) { A ∈ GL(n, R) : det(A) = 1 } som bevarar areor.

Transformationer i planet R2 O(n) { A ∈ GL(n, R) : A−1_{= A}>_} _{som bevarar avst˚}_and.

Transformationer i planet R2

SO(n) { A ∈ GL(n, R) : A−1_{= A}>_{∧ det(A) = 1 }} _{som bevarar b˚}_{ade areor}

och avst˚and.

Transformationer i planet R2 E(n) { (A, a) : A−1_{= A}>_{∧ a ∈ R}n_} _{innefattar alla de}

naturliga isometrierna. Tabell 3.1. Matrisgrupperna och den euklidiska gruppen.

(18)

4. Kristallografiska rymdgrupper

Kristallografi innebär studiet av distinkta karaktäristikor hos kristaller. En kristalls karaktäristika baseras p˚a upprepningen av ett geometriskt objekt, dvs. ett grundläggande motiv. En kristall kan analogt ses som en tredimensionell upp-repning av ett tapetmönster. I verkligheten är de grundläggande motiven

klungor av atomer. Dessa sätts samman till en komplett kristall efter en regel-bunden struktur. Geometrin hos dessa klungor av atomer och de symmetrier som till˚ats i kristallernas strukturer ligger till grund för klassifikationen av kristaller. Med hjälp av matematiska beskrivningar kan det visas att en kristall uppvisar endast en av 219 möjliga former [10]. Tapetmönster är begränsade till det euklidiska planet R2 _{och kan betraktas som tv˚}_{adimensionella kristaller. Trots detta kommer}

v¨asentliga principer fram under studiet av tapetm¨onster.

Kommentar 4.1. Sedan tidigare har vi att vektorrummet V representerar det euklidiska rummet Rn_{. I vektorrummet V har vi skal¨}_{arprodukter hx, yi och normer}

||x|| =phx, xi. Med hj¨alp av detta f˚ar vi den isometriska gruppen

Iso(V ) = { T : V → V : T bijektiv och ∀x, y ∈ V : ||T (x) − T (y)|| = ||x − y|| } som ¨ar delgrupp i den symmetriska gruppen Sym(V ). Enligt kor. 2.10 f˚ar vi dels f¨or transformationer T att

T ∈ Lin(V, V ) ∩ Iso(V ) ⇒T _E∈ O(n) och dels f¨or matriser A att

A ∈ O(n) ⇒ TA∈ Iso(V ).

D¨arf¨or kunde vi i kor. 3.12 bilda den ortogonala gruppen som i vektorrummet V skrivs

O(V ) = Aut(V ) ∩ Iso(V ) = GL(V ) ∩ Iso(V ).

I def. 3.13 satte vi samman den euklidiska gruppen E(n) som den semidirekta produkten mellan O(n) och Rn_{. I vektorrummet V f˚}_{ar vi p˚}_{a motsvarande s¨}_{att att}

Iso(V ) = E(V ) ' O(V ) nvV,

d¨ar homomorfin ϑ : O(V ) → Aut(V ), T 7→ T . Detta ¨ar en grupp under multi-plikationen

(T1, x1)(T2, x2) = (T1◦ T2, T1(x2) + x1),

d¨ar T1, T2∈ O(V ) och x1, x2∈ V .

Kommentar 4.2. Strukturen som bär upp alla speglade motiv kallas gitter, (eng. Lattice). Dessa gitter kan ha olika grundläggande former. Om vi begränsar oss till det euklidiska planet R2 är det t. ex. fr˚aga om romber, rektanglar och hexagoner. En grundläggande form upprepas tills hela tapeten blir täckt. I fig. 4.1 visas ett gitter best˚aende av kvadrater. De tv˚a kolumnvektorerna t1 och t2 bildar basen

i gittret. Ett gitter kan ha flera baser, t. ex. kan basen i fig. 4.1 bytas ut med (1, 0)>_{, (1, 1)}>_.

(19)

6 -6 _t 1 t2 {t1, t2} = {e1, e2} q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

Figur 4.1. Gitter med kvadratiska grundformer.

Definition 4.3. L˚at B = {t1, t2, . . . , tn} ∈ V , där B är linjärt oberoende, dvs. en

gitterbas. D˚a kallas

L = L(t1, t2, . . . , tn) = L(B) = { m1t1+ m2t2+ · · · + mntn: mi∈ Z } =

Zt1+ Zt2+ · · · + Ztn

f¨or ett gitter.

Sats 4.4. L˚atB1 och B2 vara gitterbaser som g¨or att gittret L(B1) = L(B2). D˚a

existerar en matris U ∈ Mat (n, Z) s˚adan attid_B

2,B1 = U och det(U ) = ±1.

Bevis. Antag att vi har tv˚a baserB1 ochB2 som g¨or att gittret L(B1) = L(B2).

D˚a avbildas en godtycklig kolumnvektor t ∈ L(B1) till gittret L(B2) med

t

B2 =idB2,B1tB1.

För det omvända gäller att t ∈ L(B2) avbildas till gittret L(B1) med

t B1 =idB1,B2tB2. Med U =id_B 2,B1 har vi U =hT (t1)_B 2T (t2) B2· · ·T (tn) B2 i ,

d¨ar alla T (ti) ∈ L(B2), dvs. linj¨arkombinationer med heltalskoefficienter som ger

U ∈ Mat (n, Z). P˚a samma s¨att ¨arid_B

1,B2 = U

−1 _{∈ Mat (n, Z). Eftersom}

U U−1= I = U−1U det(I) = 1

det(U U−1) = det(U ) det(U−1) = det(U−1) det(U ) = det(U−1U ) s˚a f¨oljer att

det(U ) = ±1.

Definition 4.5. En matris U ∈ Mat (n, Z) som har det(U ) = ±1 kallas

unimodul¨ar.

Definition 4.6. Ett par (G,B), där G ≤ E(V ) och B ⊆ V är bas till V , kallas för kristallografisk rymdgrupp, (eng. Crystallographic Space Group,) med avsende p˚a gittret L(B) om

(20)

Vidare definierar vi den f¨orflyttande delgruppen, (eng. the Translation Subgroup,) i (G,B) som

e

L = ]L(B) = {idV} × L(B).

Lemma 4.7. Den f¨orflyttande delgruppen eL = {idV} × L(B) i en kristallografisk

rymdgrupp ¨ar en abelsk delgrupp och isomorf med Zn_.

Bevis. L˚at (idV, t1) och (idV, t2) vara godtyckliga element i eL = {idV} × L(B),

d¨ar kolumnvektorerna t1, t2∈ L(B). Med dessa element f˚ar vi

(idV, t1)(idV, t2)−1 = (idV, t1)(idV, −t2) = (id2V, idV(−t2) + t1) = (idV, t1− t2) ∈ eL

och

(idV, 0) ∈ eL 6= ∅

som ger att

e L ≤ G. Dessutom f˚as

(idV, t1)(idV, t2) = (id2V, idVt2+ t1) = (idV, t2+ t1) =

(idV, t1+ t2) = (id2V, idVt1+ t2) = (idV, t2)(idV, t1),

dvs. eL är en abelsk grupp. Eftersom varje kolumnvektor t ∈ L(B) är en linjärkombination med heltalskoefficienter av gitterbasen B s˚a gäller att t ∈ Zn_{. Detta ger att}

{(idV, t) : t ∈ L(B)} ' Zn⇒

e L ' Zn.

Definition 4.8. En punktgrupp, (eng. Point Group,) best˚ar av m¨angden

G0= { T ∈ O(V ) : ∃x ∈ V : (T, x) ∈ G },

d¨ar (G,B) ¨ar en kristallografisk rymdgrupp.

Sats 4.9. Alla transformationer T ∈ G0 av godtyckliga kolumnvektorer t i gittret

L(B) ger avbilningar i samma gitter, dvs. T (t) ∈ L(B).

Bevis. F¨or ett godtyckligt element (T, x) ∈ G, d¨ar T ∈ G0, och en godtycklig

kolumnvektor t ∈ L(B) g¨aller att

(T, x)(idV, t)(T, x)−1∈ G och (T, x)(idV, t)(T, x)−1= (T, T (t) + x)(T−1, −T−1(x)) = (T ◦ T−1, T ◦ (−T−1)(x) + T (t) + x) = (idV, −x + T (t) + x) = (idV, T (t)), ⇒ T (t) ∈ L. Kommentar 4.10. Om G0 ≤ O(V ) ¨ar en punktgrupp som tillh¨or en

kristallo-grafisk rymdgrupp G och fG0 = { (T, 0) : T ∈ G0} s˚a är fG0 ≤ E(V ). Däremot är

f

G0 inte n¨odv¨andigtvis en delgrupp i G. Eftersom fG0 ≤ Iso(V ) s˚a verkar fG0 p˚a

vektorrummet V med (T, 0)x = T (x) + 0. Denna verkan av fG0 ¨ar faktiskt verkan

av fG0 p˚a gittret L som den f¨oljande satsen visar.

Sats 4.11. L˚at G0 vara en punktgrupp i en kristallografisk rymdgrupp (G,B). D˚a

¨

(21)

Bevis. Vi har eL ≤ G. L˚at avbildningen φ

e

L: G → G0, (T, x) 7→ T , d¨ar

(T, x) ∈ G. F¨or godtyckliga elementpar (T1, x1) och (T2, x2) g¨aller att

φ e L((T1, x1)(T2, x2)) = φLe((T1◦ T2, T1(x2) + x1)) = T1◦ T2= φ_L_e((T1, x1))φ_L_e((T2, x2)), dvs. φ e

L ¨ar en surjektiv homomorfi. Eftersom

ker(φ

e

L) = { (idV, x) : ∃x ∈ V : (idV, x) ∈ G } = eL

s˚a ger homomorfisatsen f¨or grupper att G/ eL ' G0.

Korollarium 4.12. Den f¨orflyttande delgruppen i en kristallografisk rymdgrupp ¨ar normal.

Korollarium 4.13. Distinkta element T1 och T2 i en punktgrupp G0 ger

till-sammans med den f¨orflyttande delgruppen eL att eLT16= eLT2som fastst¨aller distinkta

sidoklasser eL(T, x) = { (T, x + t) ∈ G : t ∈ L(B) } i en kristallografisk rymdgrupp (G,B).

Bevis. L˚at transformationerna T1, T2∈ G0. D˚a f¨oljer att

∃x1, x2∈ V : (T1, x1)(T2, x2) ∈ G. Om vi har e LT1= eLT2, f¨oljer att { (idV, t)(T1, x1) : t ∈ L(B) } = { (idV, t)(T2, x2) : t ∈ L(B) } ⇒ { (T1, x1+ t) : t ∈ L(B) } = { (T2, x2+ t) : t ∈ L(B) } ⇒ T1= T2.

Detta visar att

T16= T2⇒ eLT16= eLT2.

Vidare vet vi (enligt sats 4.11) att

G/ eL ' G0= { T ∈ O(V ) : ∃x ∈ V : (T, x) ∈ G },

dvs. distinkta element i G0ger distinkta sidoklasser

e

L(T, x) = { (idV, t)(T, x) : t ∈ L(B) } = { (T, x + t) ∈ G : t ∈ L(B) }

i den kristallografiska rymdgruppen (G,B).

Kommentar 4.14. fG0 = { (T, 0) : T ∈ G0} är inte nödvändigtvis en delgrupp i

dess kristallografiska rymdgrupp (G,B). Om s˚a ¨ar fallet, ¨ar G den inre semidirekta produkten av eL och fG0, dvs.

G = fG0L = { (T, t) : T ∈ Ge 0, t ∈ L }.

En s˚adan kristallografisk rymdgrupp kallas symmorfi.

Kommentar 4.15. En punktgrupp G0 verkar p˚a gittret L(B) via homomorfin

ϑ : O(V ) → Aut(V ), T 7→ T .

Korollarium 4.16. För varje transformation T ∈ G0 gäller att T _B,B är

(22)

Bevis. L˚at P =T

E,E. Vi har T ∈ G0, dvs. T ∈ O(V ), som ger att

det(P ) = ±1.

Med gitterbasen B = {t1, t2, . . . , tn} ∈ V l˚ater vi M =T _B,B, N =idV_B,E och

N−1₌_id V

E,B som ger att

M = N P N−1. Detta ger att

det(M ) = det(N P N−1) = det(N ) det(P ) det(N−1) = det(P ) = ±1. Dessutom har vi (enligt sats 4.9) M ∈ Mat (n, Z), dvs.T _B,B= M ¨ar unimodul¨ar.

Sats 4.17. En punktgrupp G0 som tillh¨or en kristallografisk rymdgrupp (G,B) ¨ar

¨ andlig.

Bevis. Vi har B = {t1, t2, . . . , tn} ∈ Rn som gitterbas i gittret L(B). L˚at x vara

en godtycklig vektor iB. D˚a g¨aller att

∃r ∈ R : kxk ≤ r. D¨arf¨or l˚ater vi

B = { x ∈ Rn: kxk ≤ r } ⊇B som ger att

∃k ∈ Z+: |B ∩ L(B)| = k.

L˚at matrisen A ∈ G0_B,B. D˚a existerar (enligt sats 4.9) en motsvarande

trans-formation TA. D¨arf¨or inducerar varje A ∈G0_B,Ben permutation i Sym({1, 2, . . . , k}) =

Sk, dvs. vi har en homomorfi ρ : G0→ Sk. D˚a ¨ar ker(ρ) = { A ∈G0_B,B: ∀x ∈ B ∩ L(B) : TA(x) = x }. Vi ser att A ∈ ker(ρ) ⇒ ∀1 ≤ i ≤ k : ρ(A)(i) = i ⇒ ∀1 ≤ j ≤ n : TA(tj) = tj.

EftersomB ¨ar en gitterbas s˚a f¨oljer att

TA= idRn⇒ A = I,

dvs. homomorfin ρ ¨ar injektiv. Detta ger att |G0| ≤ |Sk| = k!,

dvs. punktgruppen ¨ar ¨andlig.

Kommentar 4.18. L˚_{at matrisen A ∈ Mat (n, R). D˚}a är sp˚aret av matrisen, tr(A), summan av elementen i huvuddiagonalen fr˚an det övre vänstra hörnet till det nedre högra. Detta ger att tr(A) + tr(B) = tr(A + B), tr(A>) = tr(A) och tr(AB) = tr(BA). Om ett element A ∈G0

B,B avbildas med U AU−1 = A0 till gitterbasen

B0_{, blir f¨}_orh˚_{allandet mellan matriserna tr(A) = tr(A}0_).

Kommentar 4.19. Inför den följande satsen p˚aminner vi om sats 2.12. Enligt denna sats är varje ändlig delgrupp i den ortogonala gruppen O(2) isomorf med antingen en cyklisk grupp Cn eller en diedergrupp Dn.

(23)

Sats 4.20. Den kristallografiska restriktionen i det euklidiska planet R2_:

Om TRθ ∈ O(R 2_{) ∩ G}

0¨ar en rotation med vinkeln θ = 2π_k , ¨ar

k = 1, 2, 3, 4 eller 6. Bevis. L˚at rotationen TRθ ∈ O(R

2_{) representeras av matrisen [T} Rθ]E,E = Rθ ∈ O(2), d¨ar vinkeln θ = 2π k. Antag att Rθ= cos θ − sin θ sin θ cos θ

som ger att

tr(Rθ) = 2 cos(θ).

˚

A andra sidan, en matris som representerar en rotation i ett gitter har (enligt sats 4.9) heltalselement. Eftersom matriser i olika gitterbaser som representerar samma linj¨ara transformation har samma sp˚ar, s˚a f˚ar vi

tr(TRθ B,B) = tr(Rθ) ∈ Z ⇒ cos θ = 0, 1, −1,1 2 eller − 1 2 ⇒ k = 1, 2, 3, 4 eller 6. Korollarium 4.21. Punktgrupperna i tapetgrupperna (eller de tv˚adimensionella kristallografiska rymdgrupperna) ¨ar isomorfa med Cn eller Dn, d¨ar n = 1, 2, 3, 4

och 6.

Kommentar 4.22. W. Barlow var f¨orst med att bevisa den kristallografiska restriktionen som leder till punktgrupperna enligt kor. 4.21. Kristallografer kallar dessa 10 punktgrupper f¨or kristallklasser. Motsvarande studie av kristaller i tre dimensioner ger 32 kristallklasser [10].

Definition 4.23. Tv˚a kristallografiska rymdgrupper (G,B) och (G0_,_B0_{) kallas}

ek-vivalenta om det existerar en isomorfi φ : G → G0_{, s˚}_{adan att φ( ]}_L(_{B)) = ^}_L(_B0_{). I}

ett s˚adant fall skriver vi (G,B) ≡ (G0,B0).

Sats 4.24. Om de kristallografiska rymdgrupperna (G,B) och (G0,B0) ¨ar ekvi-valenta s˚a existerar en unimodul¨ar matris U ∈ GL(n, Z) s˚adan att

G0 0 B0_,_B0 = UG0 B,BU−1.

Lemma 4.25. L˚at de kristallografiska rymdgrupperna (G,B) och (G0,B0) vara ekvivalenta s˚a att vi har φ( ]L(B)) = ^L(B0_{), d¨}_{ar φ : G → G}0 _¨_{ar en isomorfi. D˚}_a

g¨aller att m¨angden

C = { s ∈ L0_{: ∃t ∈}_{B : φ(}

et) = (idV, s) }

¨

ar en gitterbas i L0 = L(B0).

Bevis. Eftersom avbildningen φ är injektiv s˚a kan vi skriva att C = {c1, c2, . . . , cn} , där e ci= φ( ebi), där B = {b1, b2, . . . , bn} .

(24)

i. Varje t0 ∈ L0 _{kan skrivas som en linj¨}_{arkombination med heltalskoefficienter av}

kolumnvektorer i basen C:

t0∈ L0 _{⇒ ∃t ∈ L : φ(e}_{t) = e}_t0_.

EftersomB ¨ar en bas s˚a f¨oljer att

∃mi∈ Z : t =

X mibi

som p˚a grund av att avbildningen φ ¨ar en isomorfi ger att φ(et) = φ((idV, X mibi)) = X miφ((idV, bi)) = X mi(idV, ci) = (idV, X mici) = et0.

Detta ger att

t0 =Xmici.

ii. Vidare kan vi visa att C ¨ar linj¨art oberoende, ty X

mici= 0 ⇒

X

mibi= 0 ⇒ mi = 0 ∀i.

Korollarium 4.26. L˚at de kristallografiska rymdgrupperna (G,B) och (G0_,_B0₎

vara

ekvivalenta s˚a att vi har en isomorfi φ : G → G0 med φ((idV, t)) = (idV, t0). D˚a

existerar en unimodul¨ar matris U ∈ GL(n, Z) som ger att t0

B0 = Ut_B.

Bevis. Som i beviset till lemma 4.25 ¨ar t =P mibi och t0 =P mici, dvs.

t

B=t0

C.

Fr˚an sats 4.4 f˚ar vi att det existerar en unimodul¨ar matris U ∈ GL(n, Z) s˚adan att U =idV

B0_,_C.

Detta ger att

t0 B0 =idV B0_,_Ct 0 C= UtB. Nu kan vi bevisa sats 4.24:

Bevis. Vi l˚ater (G,B) ≡ (G0,B0) och ska bevisa att det existerar en unimodul¨ar matris U ∈ GL(n, Z) s˚adan att

G0 0 B0_,_B0 = UG0 B,BU−1.

L˚at elementen (T, t), (idV, x) ∈ G vara godtyckliga. S¨att

(T0, t0) = φ(T, t) (idV, x0) = φ(idV, x)

y = T (x) y0= T0(x0). Detta ger att

(T, t)(idV, x)(T, t)−1= (T, T (x) + t)(T−1, −T−1(t)) =

(T ◦ T−1, −T ◦ T−1(t) + T (x) + t) = (idV, T (x)) = (idV, y).

P˚a samma s¨att f˚ar vi att

(25)

Vi ser att

(T, t)(idV, x)(T, t)−1= (idV, y)

↓ φ ↓ φ ↓ φ ↓ φ

(T0, t0)(idV, x0)(T0, t0)−1 = (idV, y0)

som ger oss

φ(idV, y) = (idV, y0) ⇔ φ(idV, T (x)) = (idV, T0(x0)).

Kor. 4.26 ger att

x0

B0 = Ux_B

y0

B0 = Uy_B,

där matrisen U =idV_B0_,_C är unimodulär. Detta ger att

y0 B0 = Uy_B= UT (x)_B= UT _B,Bx_B y0 B0 =T 0_(x0₎ B0_,_B0 =T 0 B0_,_B0x 0 B0 =T 0 B0_,_B0Ux_B f¨or alla T ∈ G, x ∈ L(B). Vi f˚ar T0 B0_,_B0U = UT _B,B⇔ T0 B0_,_B0 = UT _B,BU −1_. Kommentar 4.27. Vi s¨atter samman den affina gruppen med

Af f (V ) = GL(V ) nidV,

dvs. E(V ) ≤ Af f (V ). L˚at elementet (S, s) ∈ Af f (V ) vara fixerat. D˚a g¨aller att b

φ : Af f (V ) → Af f (V ), (T, t) 7→ (S, s)(T, t)(S, s)−1 är en automorfi av Af f (V ). Om nu G ≤ E(V ) är en kristallografisk rymdgrupp s˚a är G0 = bφ(G) ≤ Af f (V ) isomorf med G och bφ = φ_|G : G → G0 _¨_{ar en isomorfi. Emellertid, om G ¨}_{ar en}

kristallografisk rymdgrupp med avseende p˚a gittret L(B), ¨ar det inte sj¨alvklart att det existerar en gitterbasB0 _{som ger att (G}0_,_B0_{) ¨}_{ar en kristallografisk rymdgrupp.}

Härnäst gör vi n˚agra beräkningar.

Lemma 4.28. Vi har automorfin bφ : Af f (V ) → Af f (V ), (T, t) 7→ (S, s)(T, t)(S, s)−1. Detta ger att

i. b φ((T, 0)) = (ST S−1, −ST S−1(s) + s). ii. b φ((idV, t)) = (idV, S(t)). iii. b φ((T, t)) = (ST S−1, −ST S−1(s) + S(t) + s). Bevis. L˚at automorfin bφ : Af f (V ) → Af f (V ), (T, t) 7→ (S, s)(T, t)(S, s)−1, dvs. b φ((T, t)) = (S, s)(T, t)(S, s)−1= (ST, S(t) + s)(S−1, −S−1(s)) = (ST S−1, −ST S−1(s) + S(t) + s).

Vi ans¨atter t = 0 som ger att b

(26)

Om vi ist¨allet ans¨atter T = idV, f˚ar vi

b

φ((idV, t)) = (SidVS−1, −SidVS−1(s) + S(t) + s) =

(SS−1, −SS−1(s) + S(t) + s) = (idV, −idV(s) + S(t) + s) =

(idV, −s + S(t) + s) = (idV, S(t)).

Sats 4.29. L˚at (G,B) vara en kristallografisk rymdgrupp som med homomorfin φ : G → G0= φ(G), där φ(G) är konjugatet till G med (S, s) ∈ Af f (V ). Detta ger att (G0,B0) är en kristallografisk rymdgrupp om och endast om L(B0) = S(L(B)). I detta fallet är (G,B) ekivialent med (G0,B0).

Bevis. Vi har

ST S−1= idV ⇔ T = idV

som med lemma 4.28 ger att

({idV} × V ) ∩ G0= { (idV, S(t)) : t ∈ L(B) } = ^S(L(B)).

Om (G0_,_B0_{) ¨}_{ar en kristallografisk rymdgrupp, ¨}_{ar detta det samma som att S(L(}_{B)) =}

L(B0). I detta fallet f˚ar vi

φ( ]L(B)) = φ({ (idV, t) : t ∈ L(B) }) = { (idV, S(t)) : t ∈ L(B) } =

^

S(L(B)) = ^L(B0_).

Enligt def. 4.23 ger detta att

(G,B) ≡ (G0,B0).

Lemma 4.30. L˚_{at U ∈ Mat (n, Z) vara unimodulär, B vara gitterbas till gittret} L(B) och B0 = {u1, u2, . . . , un}, där U = u1_Bu2_B· · ·un_B . D˚a är B0 en

gitterbas med L(B0) = L(B) och U = id_B,B0.

Bevis. Vi har id B,B0 =u1 Bu2 B· · ·un B = U. Eftersom det(U ) 6= 0

s˚a ¨arB0 en bas i vektorrummet V . L˚at gittervektorn t ∈ L(B0) som medf¨or att ∃mi∈ Z : t =

X miui.

Eftersom matrisen U ¨ar unimodul¨ar f˚ar vi t =Xmiui=

X

m0_ibi∈ L(B),

och vice versa.

Lemma 4.31. L˚at (G,B) vara en kristallografisk rymdgrupp, matrisen U ∈ Mat (n, Z) vara unimodul¨ar, matrisen M0 = UG0_B,BU−1, gitterbasen B0 vara s˚adan att

id

B0_,_B= U . D˚a g¨aller att M0=G0

B0_,_B0.

Bevis. Det existerar enligt lemma 4.30 en gitterbas B0 s˚adan att L(B) = L(B0). Därför f˚ar vi att (G,B) och (G, B0) är samma kristallografiska rymdgrupp. Detta ger

G0_B0_,_B0 =id_B0_,_BG0

B,BidB,B0 = M0.

(27)

Sats 4.32. L˚atB vara en gitterbas i gittret L = L(B). Vidare l˚ater vi (G,B) och (G0,B) vara kristallografiska rymdgrupper i gittret L(B) med punktgruppen G0 =

G0₀= {T1, T2, . . . , Tm} samt xi, x0i∈ V s˚adana att

G = m [ i=1 e L(Ti, xi) G0 = m [ i=1 e L(Ti, x0i).

Om det existerar en kolumnvektor s ∈ V : ∀i : xi− (Ti− idV)(s) − x0i ∈ L(B), ger

detta att

(G,B) ≡ (G0,B).

Bevis. Betrakta φ : Af f (V ) → Af f (V ), (T, x) 7→ (idV, s)(T, x)(idV, −s) som ¨ar

en gruppisomorfi (som i sats 4.29) och l˚at bG = φ(G), där G är en kristallografisk rymdgrupp. Eftersom id(L(B)) = L(B) s˚a följer av sats 4.29 att

(G,B) ≡ (G,b B). Vi ska visa att bG = G0.

i. Vi visar att ett element ( bT ,x) ∈ b_b G ⇒ ( bT ,_bx) ∈ G0_{. L˚}_at

( bT ,x) ∈ b_b G ⇒ ∃i ∃v ∈ L : ( bT ,_bx) = φ((idV, v)(Ti, xi)).

Med hj¨alp av lemma 4.28 f˚ar vi

( bT ,_bx) = φ((idV, v)(Ti, xi)) =

(idV, v)(Ti, −(Ti− idV)(s) + xi) = (Ti, xi− (Ti− idV)(s) + v).

Villkoret xi− (Ti− idV)(s) − x0i∈ L ger oss

xi− (Ti− idV)(s) + v =bx − x 0 i∈ L ⇒ e L( bT ,x) = e_b L(Ti, x0i) ⇒ ( bT ,x) ∈ e_b L(Ti, x0i) ⊂ G 0_.

ii. Vi visar att element (T0_{, x}0_{) ∈ G}0 _{⇒ (T}0_{, x}0_{) ∈ b}_{G. L˚}_at

(T0, x0) ∈ G0 ⇒ ∃i ∃v ∈ L : (T0, x0) = (idV, v)(Ti, x0i).

Villkoret xi− (Ti− idV)(s) − x0i∈ L ger oss

∃w ∈ L : w = xi− (Ti− idV)(s) − x0i.

Med hj¨alp av lemma 4.28 f˚ar vi

φ((idV, −w + v)(Ti, xi) = (Ti, xi− w + v − (idV − Ti)(s)) =

(Ti, v + x0i) = (idV, v)(Ti, x0i) = (T0, x0) ⇒

(T0, x0) ∈ bG.

(28)

5. Klassifikation av tapetgrupper

För att klassificera tv˚adimensionella kristaller och tapetmönster s˚a studerar vi först vilka gitter och punktgrupper som kan förekomma i bestämda gitterbaser. Därefter kan antalet kristallografiska rymdgrupper per punktgrupp bestämmas. 5.1. Gitter och punktgrupper.

Sats 5.1. L˚at matrisen R ∈ O(2) representera en rotation TRθ ∈ G0, d¨ar vinkeln

θ = 2π_k för k = 3, 4 eller 6. Vidare l˚ater vi kolumnvektorn t ∈ L, t 6= 0, ha minimal längd. D˚a är {t, Rt} en gitterbas.

Bevis. L˚atB1= {t1, t2} vara gitterbas i gittret L(B1) och

t B1 = α β , d¨ar t 6= 0 och ||t|| ¨ar minimal, och

Rt_B 1= γ δ ,

d¨ar α, β, γ, δ ∈ Z och R = TRθ ∈ O(2) som representerar rotationen TRθ ∈ G0

med vinkeln θ = 2π

k f¨or k = 3, 4 eller 6. Eftersom k /∈ {1, 2} s˚a kan vi l˚ataB2 =

{t, Rt} vara en bas i V som ger att t1_B 2 = a b t2 B2= c d , d¨ar a, b, c, d ∈ Q. Vidare l˚ater vi M =a b c d =id B2,B1.

Av t1 och t2 bildar vi nu kolumnvektorer som har heltalskoefficienter. Vi g¨or det

genom att l˚ata_ba beteckna det till a n¨armaste heltalet med fallet b1

2 = 1 o.s.v. f¨or b,

c och d. Detta ger att

s1 B2 = ba bb s2 B2 = b c b d . Vi bildar kolumnvektorn t1− s1_B 2 = a −_ba b − bb =x y , d¨ar 0 ≤ |x|, |y| ≤ 1

2. Detta ger oss tre fall d¨ar vi utnyttjar att R ∈ O(2), dvs.

||t|| = ||Rt||.

i. Om vi har x = 0 och y 6= 0, ger detta att

||t1− s1|| = ||yRt|| = y||t|| < ||t||.

ii. Om vi har x 6= 0 och y = 0, ger detta att

||t1− s1|| = ||xt|| = x||t|| < ||t||.

iii. Om vi har x 6= 0 och y 6= 0, f˚ar vi med hj¨alp av triangelolikheten att ||t1− s1|| = ||xt + yRt|| < ||xt|| + ||yRt|| ≤ (|x| + |y|)||t|| ≤ ||t||.

(29)

De tre fallen (i)-(iii) p˚avisar en mots¨agelse: Det finns en kolumnvektor t1− s1 som

¨

ar kortare än kolumnvektorn t som har minimal längd. Det samma kan visas för en kolumnvektor t2− s2. Allts˚a är a, b, c och d heltal. Därmed är ocks˚a {t, Rt} en

gitterbas i gittret L.

Kommentar 5.2. Vi undersöker vilka gitter som är möjliga genom att studera en spegling TS och en kolumnvektor t ∈ L som inte ska ha samma riktning som varken

x- eller y-axeln. Med x-axeln som symmetriaxel speglar vi t, dvs. t0 = TS(t). I fig.

5.1 ser vi att t + t0 _{och t − t}0_f˚_{ar samma riktningar som x-axeln respektive y-axeln.}

6 -6 t1 t2 * H H H j t t0 -6 t + t0 t − t0

Figur 5.1. Spegling av en kolumnvektor i x-axeln.

L˚at t1 och t2 vara gittervektorer med minimala l¨angder p˚a x- respektive y-axeln.

D˚a f˚_{ar vi med n, m ∈ Z att} t + t0= mt1 t − t0= nt2. Detta ger t = m 2t1+ n 2t2. Vidare g¨aller att

m ≡ n (mod 2).

Antag utan inskränkning av den allmänna giltigheten att n är ett jämt heltal och att m är ett udda heltal. D˚a skulle vektorn

x = t −n 2t2=

m 2t1

vara en gittervektor p˚a x-axeln med x /∈ Zt1. Detta ¨ar en mots¨agelse. Om

m ≡ n ≡ 0 (mod 2)

s˚a ¨ar {t1, t2} gitterbas och gittret kallas rektangul¨art. Ett specialfall av s˚adana

gitter ¨ar det kvadratiska. Om

m ≡ n ≡ 1 (mod 2) s˚a f˚ar vi t = m 2t1+ n 2t2= ( m + n 2 )( t1 2 + t2 2) + ( m − n 2 )( t1 2 − t2 2 ), d¨art1 2 + t2 2, t1 2 − t2

2 ¨ar gitterbas och gittret kallas rombiskt. Om rombiska gitter

¨

ar m¨ojliga, har vi ocks˚a hexagonala gitter. Se fig. 5.4 och 5.6. Slutsatsen blir det f¨oljande: Gitter i planet R2 _¨_{ar antingen rektangul¨}_{ara, kvadratiska, rombiska eller}

(30)

Kommentar 5.3. En gitterbas {t, TRθ(t)} enligt sats 5.1 ger f¨or vinkeln θ = 2π

k,

där k = 3, 4 eller 6, bestämda gitter och punktgrupper. Detta ska vi visa. i. De cykliska grupperna. L˚at gitterbasenB = {t, TRθ(t)} där tB = (1, 0) > _och _T Rθ(t) B = (0, 1)>. D˚a har vi TRθ B,B= 0 a 1 b = R,

d¨ar a, b ∈ Z. Om vinkeln θ = 2π3 ska den cykliska punktgruppen vara av ordningen

3. Detta ger att

T2 Rθ(t) B=T −1 Rθ(t) B⇔ TRθ(TRθ(t)) B=T −1 Rθ(t) B⇔ 0 a 1 b 0 1 = −1 a b −a −1 0 1 0 ⇔ a b = −1 a b −1 ⇔ ( a = −b a b = 1_a ⇔ ( a3_{= −1} b = 1_a som f¨or a, b ∈ Z ger att

a b =−1 −1 ⇒ R =0 −1 1 −1 . Vi f˚ar R2=0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 =−1 1 −1 0

som ger punktgruppen C3= I,0 −1 1 −1 ,−1 1 −1 0

i ett gitter med hexogonal grundform enligt fig. 5.6. De cykliska grupperna C4 och

C6 f˚as p˚a samma s¨att men med vinkeln θ = π₂ respektive θ = π₃. (C1 och C2 ¨ar

enklare att visa eftersom de ¨ar punktgrupper i gitter med generell grundform som i fig. 5.2.)

ii. Diedergrupperna.

Eftersom den cykliska gruppen C3 ⊂ D3 s˚a utnyttjar vi att rotationen TRθ med

vinkeln θ = 2π₃ i gitterbasenB = {t, TRθ(t)} representeras av matrisen

TRθ B,B= 0 −1 1 −1 = R. L˚at speglingen TS representeras av matrisen

TS_B,B=

a b c d

= S.

Vi har ett gitter med hexagonal grundform och kan spegla i tv˚a olika symmetriaxlar enligt fig. 5.6.

(31)

Fall 1. Spegling i en kort diagonal.

Med spegling i den korta symmetriaxeln enligt fig. 5.6 f˚ar vi TS(t) B=TRθ(t) B⇔ a b c d 1 0 =0 1 ⇔ a c =0 1 . Eftersom vi i en diedergrupp har S2= I s˚a f˚ar vi

0 b 1 d 0 b 1 d =1 0 0 1 ⇔ b bd d b + d2 =1 0 0 1 ⇒ b d =1 0 ⇒ S =0 1 1 0 . Diedergruppen som har denna spegling kallas D3,s.

Fall 2. Spegling i en l˚ang diagonal.

Om vi i fig. 5.6 anv¨ander en l˚ang diagonal som symmetriaxel f¨or spegling, f˚ar vi TS(t)_B= −TRθ(t) B⇔ a b c d 1 0 = −0 1 ⇔ a c = 0 −1 . Eftersom vi i en diedergrupp har S2_{= I s˚}_{a f˚}_{ar vi}

0 b −1 d 0 b −1 d =1 0 0 1 ⇔ −b bd −d −b + d2 =1 0 0 1 ⇒ b d =−1 0 ⇒ S = 0 −1 −1 0 . Diedergruppen som har denna spegling kallas D3,l.

Eftersom

D3= C3∪ { S, RS, R2S : R3= S2= I }

s˚a f˚ar vi att de tv˚a fallen ger D3,s= C3∪ 0 1 1 0 ,−1 0 −1 1 ,1 −1 0 −1 D3,l= C3∪ 0 −1 −1 0 ,1 0 1 −1 ,−1 1 0 1 .

(32)

Diedergrupperna D1,rh, D2,rh, D4och D6 f˚as p˚a samma s¨att. (D¨aremot f˚ar vi D1,r

och D2,r p˚a ett enklare s¨att.) Eftersom vi fick tv˚a m¨ojliga D3-grupper s˚a m˚aste vi

kontrollera om D3,s och D3,l ¨ar ekvivalenta. Om s˚a ¨ar fallet ska endast en av dem

vara med i klassifikationen. Därför undersöker vi om det existerar en unimodulär matris U ∈ Mat (2, Z) s˚a att D3,s= U D3,lU−1, dvs. D3,sU = U D3,l. L˚at

U =a b c d

,

där a, b, c, d ∈ Z. Vi f˚ar att förh˚allandet mellan S-matriserna i D3,l och D3,s är

0 −1 −1 0 a b c d =a b c d 0 1 1 0 ⇔ −c −d −a −b = b a d c ⇔ b + c a + d a + d b + c =0 0 0 0 . (4)

F¨orh˚allandet mellan R-matriserna i D3,l och D3,s ger oss

0 −1 1 −1 a b c d =a b c d 0 −1 1 −1 ⇔ −c −d a − c b − d = b −a − b d −c − d ⇔ b + c a + b − d a − c − d b + c =0 0 0 0 . (5) Av (5) och (6) f˚ar vi ekvationssystemet          a + b − d = 0 a − c − d = 0 a + d = 0 b + c = 0.

Vi skriver ekvationssystemet p˚a matrisform och utför elimination enligt Gauss-Jordan:     1 1 0 −1 0 1 0 −1 −1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0     ⇔     1 1 0 −1 0 0 −1 −1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0     ⇔     1 1 0 −1 0 0 1 1 0 0 0 −1 0 2 0 0 1 1 0 0     ⇔     1 1 0 −1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0     ⇔     1 1 0 −1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0     ⇔     1 1 0 −1 0 0 1 0 −2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0     ⇔     1 0 0 1 0 0 1 0 −2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0     . Om vi sätter a = α ∈ Z f˚ar vi lösningen          a = α b = −2α c = 2α d = −α.

(33)

Vi f˚ar

U = α −2α

2α −α

som f¨or α 6= 0 ger att

det(U ) = 3α26= ±1,

dvs. matrisen U är inte unimodulär. Eftersom övriga element i D3,soch D3,lär olika

sammans¨attningar av R och respektive grupps S, s˚a ¨ar D3,soch D3,l inekvivalenta.

D¨arf¨or ska b˚ada grupperna vara med i klassifikationen.

I de f¨oljande avsnitten (5.1.1 - 5.1.5) fixerar vi en gitterbas och anger alla trans-formationer med matriser i denna bas.

5.1.1. Generellt gitter. - t1 t2

Figur 5.2. En gitterbas i ett gitter med generell grundform, (dvs. parallellogram).

i. En cyklisk grupp av ordningen 1: C1= {I}

ii. En cyklisk grupp av ordningen 2: C2=

I,−1 0 0 −1

5.1.2. Rektangul¨art gitter.

-6

t1

t2

Figur 5.3. En gitterbas i ett gitter med rektangulär grundform. i. Endast en basvektor är symmetriaxel för spegling:

D1,r =

I,1 0 0 −1

ii. B˚ada basvektorerna ¨ar symmetriaxlar f¨or spegling: D2,r= I,1 0 0 −1 ,−1 0 0 −1 ,−1 0 0 1

(34)

(35)

ii. En cyklisk grupp av ordningen 6: C6= C3∪ 1 −1 1 0 ,−1 0 0 −1 , 0 1 −1 1

iii. Rotation med 120◦moturs och spegling i den korta diagonalen: D3,s= C3∪ 0 1 1 0 ,1 −1 0 −1 ,−1 0 −1 1

iv. Rotation med 120◦ moturs och spegling i den l˚anga diagonalen: D3,l= C3∪ 0 −1 −1 0 ,1 0 1 −1 ,−1 1 0 1

v. Rotation med 60◦moturs och spegling i en av diagonalerna: D6= C6∪ 0 1 1 0 ,1 0 1 −1 ,1 −1 0 −1 , 0 −1 −1 0 ,−1 0 −1 1 ,−1 1 0 1

Kommentar 5.4. Av 5.1.1-5.1.5 framg˚ar att det finns minst 13 kristallografiska rymdgrupper som är inekvivalenta. En s˚adan rymdgrupp hör samman med en av de 13 punktgrupperna i den följande listan:

C1, C2, C3, C4, C6,

D1,r, D1,rh, D2,r, D2,rh, D3,s, D3,l, D4, D6.

5.2. Antalet inekvivalenta kristallografiska rymdgrupper. Vi har ännu inte visat n˚agot av de motiv som kan finnas inne i gittrens former. Detta är heller inte nödvändigt under en klassifikation. Däremot gör man det motsatta under

typning av tapetmönster. D˚a söker man efter en kristallografisk rymdgrupp som passar för ett mönster. Under ett s˚adant arbete kan en färdig tabell användas, t. ex. tabellen enligt bilaga A. I detta avsnitt ska vi ta fram det totala antalet inekvivalenta tv˚adimensionella rymdgrupper.

Vi studerar liksom i avsnitt 5.1 fallet V = R2. I avsnittet 5.1 studerade vi alla abstrakta punktgrupper samt deras representationer i alla olika gitterbaser s˚a att man f˚ar inekvivalenta rymdgrupper. Vi klassificerade 13 par best˚aende av var sin punktgrupp och var sitt gitter. Nu ska vi f¨or var och en av de 13 paren studera antalet inekvivalenta rymdgrupper. Vi antar att b˚ade punktgruppen G0

och gitterbasenB är fixerade. Därför skriver vi G0 som en matrisgrupp, dvs.

G0= { A1, A2, . . . , An: Ai∈ Mat (2, Z) }

ist¨allet f¨or

G0

B,B= {A1, A2, . . . , An} .

Analogt skriver vi (Ai, a) ∈ G, där a ∈ R2, istället för (Ti, x) ∈ G. Vi har allts˚a

Ti_B,B= Ai och x_B= a. Vi uttrycker ¨aven den f¨orflyttande delgruppen ]L(B)

relativt till basenB och skriver

Γ = { (I,x_B) : x ∈ L(B) }.

Vi s¨oker alla inekvivalenta rymdgrupper G f¨or de tretton paren (G0,B) med

G/Γ ' G0.

D¨arf¨or kan vi skriva varje G som en disjunkt union av sidoklasser, dvs. G =

n

[

i=1

Γ(Ai, ai),

där ai∈ R2. Vilka aiär till˚atna? En lösning är alltid att a1= · · · = an= 0. Enligt

(36)

Γ. Detta kallas det symmorfa fallet som ger oss minst 13 inekvivalenta rymdgrupper. Vi ska allts˚a visa att det finns ytterligare fyra inekvivalenta rymdgrupper. Observera att

Γ = { (I,x

y) : x, y ∈ Z }.

Eftersom Γ(A, a) = Γ(A, a + t) för alla t ∈ Z2s˚a kan vi anta att ∀1 ≤ i ≤ n : ai=xyii , där 0 ≤ xi, yi< 1. Lemma 5.5. L˚at AiAj = Ak i G0. D˚a är Aiaj+ ai ≡ ak (mod 1), där 1 =1 1 .

Bevis. L˚at (Ai, ai), (Aj, aj), (Ak, ak) ∈ G och G0vara punktgrupp i G. Vidare l˚ater

vi AiAj= Ak. Detta ger att

(Ai, ai)(Aj, aj) = (AiAj, Aiaj+ ai) = (Ak, Aiaj+ ai).

D¨arf¨or m˚aste

Aiaj+ ai= ak+ t,

d¨ar t ∈ Z2. Detta inneb¨ar att de tv˚a vektorerna Aiaj+ ai och har en differens som

¨

ar en vektor med heltalskoordinater. D¨arf¨or kan vi skriva Aiaj+ ai ≡ ak (mod 1). Korollarium 5.6. L˚at G = n [ i=1 Γ(Ai, ai), och G0= n [ i=1 Γ(Ai, bi),

vara kristallografiska rymdgrupper med samma punktgrupp G0 och gitter L(B). Om

det existerar en kolumnvektor s ∈ R2 s˚adan att

∀1 ≤ i ≤ n : ai− (Ai− I)(s) ≡ bi (mod 1)

s˚a ¨ar

(G,B) ≡ (G0,B).

I synnerhet, om det existerar en kolumnvektor s ∈ R2 _s˚_{adan att}

∀1 ≤ i ≤ n : (Ai− I)(s) ≡ ai (mod 1)

(37)

5.2.1. De cykliska grupperna C1, C2, C3, C4 och C6. Eftersom den cykliska gruppen

C1 = {I} s˚a finns det endast en kristallografisk rymdgrupp f¨or denna. F¨or att

unders¨oka de cykliska grupperna C2, C3, C4 och C6 anv¨ander vi C3 som typfall.

Generatorn i C3 ¨ar

A =0 −1 1 −1

,

dvs. matrisen A representerar en rotation. Vi ser att skillnaden A − I =0 −1 1 −1 −1 0 0 1 =−1 −1 1 −2 ¨

ar en inverterbar matris, ty det(A − I) = 3 6= 0. Ett annat element i C3 ¨ar A2.

Detta g¨or att vi kan l˚ata

G = Γ(I, 0) ∪ Γ(A, a) ∪ Γ(A2, b)

vara den kristallografiska rymdgruppen (G,B) som har punktgruppen G0 ' C3.

Eftersom (A, a)2= (A2, Aa + a) s˚a kan vi s¨atta b = Aa + a. Vi l˚ater (med ledning av kor. 5.6) kolumnvektorn

s = (A − I)−1a, dvs.

a = (A − I)s. Vi ber¨aknar

(I, s)(A, a)(I, s)−1= (A, a + s)(I, −s) = (A, −As + a + s) = (A, −As + (A − I)s + s) =

(A, −As + As − s + s) = (A, 0) ⇒ a = 0 ⇒ s = 0.

Eftersom vi har satt

b = Aa + a s˚a blir

(I, s)(A2, b)(I, s)−1= (I, s)(A2, Aa + a)(I, s)−1= (A2, Aa + a + s)(I, −s) = (A2, −A2s + Aa + a + s) som med a = 0 och s = 0 ger att

(I, s)(A2, b)(I, s)−1= (A2, 0) ⇒ b = 0.

Vi f˚ar (enligt kor. 5.6) att den kristallografiska rymdgruppen (G,B) ¨ar ekvivalent med en symmorfi. Unders¨okningar av de cykliska grupperna C2, C4och C6kommer

att visa att respektive (G,B) är det samma. Slutsatsen blir att det endast finns en kristallografisk rymdgrupp för respektive cyklisk punktgrupp som bygger upp tapetmönster.

(38)

5.2.2. Diedergruppen D1,r. Denna grupp har f¨orutom identiteten, I, elementet A =1 0 0 −1 . Vi ser att skillnaden

A − I =1 0 0 −1 −1 0 0 1 =0 0 0 −2

inte är en inverterbar matris, ty det(A − I) = 0. Därför kan vi inte använda samma undersökande metod som för de cykliska grupperna. Vi l˚ater

G = Γ(I, 0) ∪ Γ(A, a)

vara den kristallografiska rymdgruppen (G,B) som har punktgruppen G0' D1,r.

Sätt a = (x, y)>. Om vi väljer kolumnvektorn s = (0, −y₂)>, f˚ar vi (med ledning av kor. 5.6) att a − (A − I)s =x y −0 0 0 −2 0 −y₂ =x y −0 y =x 0 , dvs. de kristallografiska rymdgrupper som har punktgruppen G0' D1,r är

ekvivalenta med en kristallografisk rymdgrupp som har a = (x, 0)>. Eftersom D1,r

¨

ar en diedergrupp s˚a ¨ar A2= I som (enligt lemma 5.5) ger att Aa + a ≡ 0 (mod 1) ⇔ 1 0 0 −1 x 0 +x 0 =x 0 +x 0 =2x 0 ≡ 0 (mod 1). Vi f˚ar 2x ≡ 0 (mod 1), 0 ≤ x < 1 ⇒ x = 1 2∨ x = 0.

Detta ger tv˚a m¨ojliga kristallografiska rymdgrupper (G,B) och (G0_,_{B) s˚adana att}

G = Γ(I, 0) ∪ Γ(A, 1 2 0 ) G0 = Γ(I, 0) ∪ Γ(A, 0). Vi har A2_{= I och och ber¨}_aknar

A 1 2 0 + 1 2 0 =1 0 0 −1 1 2 0 + 1 2 0 = 1 2 0 + 1 2 0 =1 0 ⇒ (A, 1 2 0 )2= (A2, A 1 2 0 + 1 2 0 ) = (I,1 0 ) och med k, l ∈ Z Ak l +k l =1 0 0 −1 k l +k l = k −l +k l =2k 0 ⇒ (A,k l )2= (A2, Ak l +k l ) = (I,2k 0 ).

Antag att (G,B) och (G0,B) är ekvivalenta kristallografiska rymdgrupper med iso-morfin φ : G → G0 och φ(L(B)) = UL(B), för n˚agon U ∈ Mat (2, Z) som är unimodulär. Vi l˚ater

φ((A, 1 2 0 )) = (A,k l )

(39)

som ger φ((I,1 0 )) = φ((A, 1 2 0 )2) = φ((A, 1 2 0 ))φ((A, 1 2 0 )) = (A,k l )2= (I,2k 0 ). D˚a f˚ar vi (enligt kor. 4.26) att

2k 0 = U1 0 ,

där matrisen U är unimodulär. Den första kolumnen i U är (2k, 0)>. Eftersom en unimodulär matris har heltalselement s˚a följer att | det(U )| ≥ 2. Detta är en motsägelse ty unimodulära matriser har determinanten ±1, dvs. (G,B) och (G0,B) ¨

ar inekvivalenta. Allts˚a finns det tv˚a kristallografiska rymdgrupper som har punkt-gruppen G0' D1,r.

5.2.3. Diedergruppen D1,rh. F¨orutom identiteten, I, s˚a har denna grupp elementet

A =0 1 1 0 . L˚at G = Γ(I, 0) ∪ Γ(A, a)

vara den kristallografiska rymdgruppen (G,B) som har punktgruppen G0' D1,rh.

Sätt a = (x, y)>. Eftersom D1,rhär en diedergrupp s˚a är A2= I som (enligt lemma

5.5) ger att Aa + a ≡ 0 (mod 1) ⇔ 0 1 1 0 x y +x y =y x +x y =x + y x + y ≡ 0 (mod 1). Vi f˚ar x + y ≡ 0 (mod 1),

dvs. vi kan s¨atta a = (x, −x)>_{. L˚}_{at kolumnvektorn s = (0, x)}>_{. Detta ger att}

(A − I)s = (0 1 1 0 −1 0 0 1 )0 x =−1 1 1 −1 0 x = x −x = a. Vi f˚ar enligt kor. 5.6 att den kristallografiska rymdgruppen (G,B) ¨ar

ekvivalent med en symmorfi.

5.2.4. Diedergruppen D2,r. I gruppen D2,r representerar

A =−1 0 0 −1 en rotation och B =1 0 0 −1

en spegling. Eftersom D2,r är en diedergrupp av ordningen 4 s˚a är de övriga

elementen I och AB. L˚at

G = Γ(I, 0) ∪ Γ(A, a) ∪ Γ(B, b) ∪ Γ(AB, c)

vara den kristallografiska rymdgruppen (G,B) som har punktgruppen G0' D2,r.

(40)

ekvivalent med en symmorfi s˚a antar vi att a = 0. S¨att b = (x, y)>. Eftersom A = −I s˚a har vi

BA = B(−I) = −B = −IB = AB. Vi ber¨aknar

(A, a)(B, b) = (AB, Ab + a) = (AB, −Ib + 0) = (AB, −b). Enligt lemma 5.5 f˚ar vi Ba + b ≡ −b (mod 1) ⇔ B0 + b ≡ 0 (mod 1) ⇔ 2b ≡ 0 (mod 1) ⇔ 2x 2y ≡ 0 (mod 1). Vi f˚ar 2x ≡ 0 (mod 1), 0 ≤ x < 1 ⇒ x = 0 ∨ x =1 2 och 2y ≡ 0 (mod 1), 0 ≤ y < 1 ⇒ y = 0 ∨ y = 1 2.

Detta ger fyra möjliga vektorer a som i sin tur innebär att det finns fyra möjliga kristallografiska rymdgrupper. Dessa presenteras i tabell 5.1.

x y Kristallografisk rymdgrupp Speciell inneb¨ord

0 0 (G1,B) (G1,B) ¨ar ekvivalent med en symmorfi

0 1₂ (G2,B) 1 2 0 (G3,B) 1 2 1 2 (G4,B)

Tabell 5.1. De fyra m¨ojliga kristallografiska rymdgrupperna som har punktgruppen G0' D2,r.

Vi ska undersöka om det finns ekvivalenser mellan de fyra kristallografiska rymd-grupperna i tabell 5.1. Eftersom D2,r är en diedergrupp s˚a är B2= I. Detta

utnyttjas i de kommande ber¨akningarna. i. F¨orh˚allandet mellan (G1,B) och (G3,B)

Vi ber¨aknar B 1 2 0 + 1 2 0 =1 0 0 −1 1 2 0 + 1 2 0 = 1 2 0 + 1 2 0 =1 0 ⇒ (B, 1 2 0 )2= (B2, B 1 2 0 + 1 2 0 ) = (I,1 0 ) och med k, l ∈ Z Bk l +k l =1 0 0 −1 k l +k l = k −l +k l =2k 0 ⇒ (B,k l )2= (B2, Bk l +k l ) = (I,2k 0 ).

P˚a samma sätt som för diedergruppen D1,r visar detta att (G1,B) och (G3,B) är

(41)

ii. F¨orh˚allandet mellan (G1,B) och (G4,B) Vi ber¨aknar B 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =1 0 0 −1 1 2 1 2 + 1 2 1 2 = 1 2 −1 2 + 1 2 1 2 =1 0 ⇒ (B, 1 2 1 2 )2= (B2, B 1 2 1 2 + 1 2 1 2 ) = (I,1 0 ). Fr˚an (i) f˚ar vi (B,k l )2= (I,2k 0 ).

P˚a samma sätt som för diedergruppen D1,r visar detta att (G1,B) och (G4,B) är

inekvivalenta.

iii. F¨orh˚allandet mellan (G2,B) och (G3,B)

Vi har G2= Γ(I, 0) ∪ Γ(A, 0) ∪ Γ(B, 0 1 2 ) ∪ Γ(AB, 01 2 ) G3= Γ(I, 0) ∪ Γ(A, 0) ∪ Γ(B, 1 2 0 ) ∪ Γ(AB, 1 2 0 ).

Antag att (G2,B) och (G3,B) ¨ar ekvivalenta med isomorfin φ : G2 → G3 och

φ(L) = U L, för n˚_{agon U ∈ Mat (2, Z) som är unimodulär. Eftersom A = -I s˚}a f˚ar vi

(U, 0)(A, 0)(U, 0)−1 = (U A, 0)(U−1, 0) = (U AU−1, 0) = (−U U−1, 0) = (−I, 0) = (A, 0).

L˚at U =0 1 1 0 som ger U 01 2 =0 1 1 0 0 1 2 = 1 2 0 och U BU−1=0 1 1 0 1 0 0 −1 0 1 1 0 −1 =0 −1 1 0 0 1 1 0 = −1 0 0 1 =−1 0 0 −1 1 0 0 −1 = BA. Vi f˚ar (U, 0)(B, 01 2 )(U, 0)−1= (U B, U 01 2 )(U−1, 0) = (U BU−1, U 01 2 ) = (AB, 1 2 0 ). Detta visar att (G2,B) och (G3,B) ¨ar ekvivalenta.

iv. F¨orh˚allandet mellan (G2,B2) och (G4,B4)

Vi har den kristallografiska rymdgruppen G2= Γ(I, 0) ∪ Γ(A, 0) ∪ Γ(B, 0 1 2 ) ∪ Γ(AB, 0₁ 2 ).

(42)

Eftersom D2,r ¨ar en diedergrupp av ordningen 4 s˚a ¨ar A2= I. Detta ger att

(A, 0)2= (A2, 0) = (I, 0). Vi vet att B2= I och ber¨aknar

B 0₁ 2 + 0₁ 2 =1 0 0 −1 0 1 2 + 0₁ 2 = 0 −1 2 + 0₁ 2 = 0 ⇒ (B, 01 2 )2= (B2, B 01 2 + 01 2 ) = (I, 0) samt (B, 0)2= (B2, 0) = (I, 0). Vi sett att AB =−1 0 0 1

och ber¨aknar

(AB)2=−1 0 0 1 −1 0 0 1 =1 0 0 1 = I samt AB 01 2 + 01 2 =−1 0 0 1 0 1 2 + 01 2 = 01 2 + 01 2 =0 1 . Vi f˚ar (AB, 01 2 )2= (AB2, AB 01 2 ) + 01 2 ) = (I,0 1 ).

Av beräkningarna ser vi att det finns tv˚a element (förutom identiteten) i sido-klasserna vars kvadrater är identiteten, (I, 0). Om de kristallografiska rymd-grupperna (G2,B) och (G4,B) är ekvivalenta s˚a ska dessa egenskaper ˚aterfinnas i

(G4,B). Detta ska vi unders¨oka. Vi har

G4= { (I, t), (A, t), (B, 1 2 1 2 + t), (AB, 1 2 1 2 + t) : ∀t ∈ L(B) }. Vi ber¨aknar med A2= I

(A, t)2= (A2, At + t) = (I, At + t) som med t = 0 ger att

(A, 0)2= (I, 0). Vi har B 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =1 0 0 −1 1 2 1 2 + 1 2 1 2 = 1 2 −1 2 + 1 2 1 2 =1 0 . Detta ger med B2= I att

(B, 1 2 1 2 + t)2= (B2, B 1 2 1 2 + Bt + 1 2 1 2 + t)) = (I, B 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + Bt + t) = (I,1 0 + Bt + t). Vi s¨oker n˚agon gittervektor t ∈ L(B) som ger att

1 0