Termodynamik 180312

Tentamen i termodynamik

7,5 högskolepoäng

Provmoment:

Ten01

Ladokkod:

TT051A

Tentamen ges för:

Årskurs 1

Tentamenskod:

Tentamensdatum:

2018-03-12

Tid:

09.00-13.00

Hjälpmedel:

Tabeller och Formler (Liber),

Lilla fysikhandboken (Sandtorp Consult eller Studentlitteratur),

Valfri gymnasietabellsamling,

Formel och tabellhäfte bifogat tentamen,

Miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande)

Språklexikon

Totalt antal poäng på tentamen:

60 poäng

För att få respektive betyg krävs:

3: 30p

4: 40p

5: 50p

Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2018 får tillgodoräknas vid denna ordinarie

tentamen.

Allmänna anvisningar:

Tentamen omfattar 7 uppgifter.

Nästkommande tentamenstillfälle: Augusti 2018

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, d.v.s .resultatet kommer senast 2018-04-06

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Lycka till!

Ansvarig lärare:

Telefonnummer:

1. [7p] En reaktor producerar 1000 MW el och har en verkningsgrad på 35 %. Bestäm

a. Producerad spillvärmeeffekt

(3)

b. Kylvattenflödet som behövs om vattnet max får hettas upp 5,0 °C.

(4)

2. [6p] En bro av betong är 17,0 m lång vid +10 °C.

a. Hur stor spalt måste bron ha vid -10 °C om den ska klara av att hettas upp till +35 °C.

(4)

b. Betongen har volymen 15m

3

vid +10 °C. Hur mycket ändras dess massa vid

upphettningen i deluppgift a.?

(2)

3. [8p] En grupp studenter har fått i uppgift att analysera ett mystiskt fast ämne. De placerar 10,0

g av ämnet i en kalorimeter vid -10 °C och börjar tillföra värme. De får följande T-Q-diagram:

Bestäm

a) Ämnets smältpunkt

(2)

b) Ämnets specifika värmekapacitet i fast fas

(2)

c) Ämnets specifika värmekapacitet i flytande fas

(2)

d) Ämnets specifika smältentalpi

(2)

4. [9p] 1,5 kg luft upphettas från 11,4 ºC till 28,7 ºC vid det konstanta trycket 0,10 MPa.

a. Beräkna hur mycket värme som måste tillföras

(3)

b. Beräkna arbetet vid processen! Ange också om arbetet uträttas av systemet

eller omgivningarna!

(3)

c. Hur mycket värme hade man behövt tillföra om kärlet varit slutet och haft

en konstant volym med samma temperaturändring?

(3)

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0

100

200

300

400

500

600

700

T

(°

C)

Q (J)

5. [10p] Galne Gunnar har byggt en betongbunker för att skydda sig mot rymdvarelser.

Bunkerväggarna är 1,0 m tjocka och den betong som har använts har λ = 0,50 W m

-1

K

-1

.

Värmeövergångskoefficienten på insidan är 8,0 W m

-2

K

-1

och på utsidan 11 W m

-2

K

-1

.

Temperaturen inne i bunkern är 21 °C och ute är det -2 °C.

a. Hur stora är värmeförlusterna per m

2

genom väggarna?

(5)

b. Gunnar funderar nu på att tilläggsisolera sin bunker med 1,0 dm mineralull

(0,045 W m

-1

K

-1

). Med hur många procent skulle värmeförlusterna minska om

Gunnar lägger till isoleringen?

(5)

6. [9p] En bil drivs med en bensinmotor (Ottomotor). Arbetsmediet kan beskrivas som luft.

Cylindervolymen är 600 cm

3

. I det mest komprimerade läget är gasvolymen 63,2 cm

3

.

Processen tar in luft av 17,0ºC och 100 kPa och man tillför värmet 0,650 kJ vid den isokora

förbränningen.

a. Skissa processen i ett p(V)-diagram.

(2)

b. Vad är den teoretiska verkningsgraden om det är fråga om en ideal

Ottoprocess.

(2)

c. Beräkna den högsta temperaturen och det högsta trycket i cykeln

(5)

Ledning: En Ottocykel består av två isokora processer och två adiabatiska processer.

7. [11p] Efter att ha klarat tentan i termodynamik bestämmer sig en student för att slå på stort

och fira med ett glas kallt vatten.

a. Hur stor massa is direkt från frysen (-18 °C) behöver studenten tillsätta för att kyla ner

150 g kranvatten (12 °C) till 4,0 °C?

(5)

Formler och tabeller i termodynamik 2018

Peter Ahlstr¨om, Ingenj¨orsh¨ogskolan vid H¨ogskolan i Bor˚

as

10 januari 2018 - upplaga 4.2

Denna formelsamling ¨ar gjord f¨or termodynamikkursen i˚arskurs 1 vid H¨ogskolan i Bor˚as och de ¨ovriga l¨ararna genom ˚aren har alla bidragit till formelsamlingen. Vi tar tacksamt emot kommentarer och f¨orb¨attringsf¨orslag. I denna upplaga har bl.a. beteckningen f¨or ¨amnesm¨angd genomg˚aende satts till n

1

N˚

agra konventioner

Oftast skrivs extensiva storheter (de som beror p˚a systemets storlek) med stora bokst¨aver (versaler), t.ex. (systemets totala) v¨armekapacitet C (enhet J/K) och volym V medan intensiva storheter (som inte beror p˚a systemets storlek) skrivs med sm˚a bokst¨aver (gemener), t.ex. specifik v¨armekapacitet c (enhet J/(K· kg). Undantag ¨ar bl.a. temperatur (T ) och ofta tryck (P eller p) som skrivs med stora bokst¨aver fast de ¨ar intensiva storheter.

Mol¨ara storheter kan skrivas med ett index m, t.ex. Cm(mol¨ara v¨

armekapa-citeten, enhet J/(K· mol)) men skrivs oftast inte med liten bokstav fast de ¨ar intensiva storheter.

Tidsderivator och storheter per tidsenhet skrivs med en prick, exempel: ˙W ¨

ar arbetet per tidsenhet, d.v.s. arbetseffekten.

2

Konstanter

Av pedagogiska sk¨al ¨ar definitionerna delvis omv¨anda mot de vanligen anv¨anda (vanligen brukar t.ex. kb anses som mer grundl¨aggande ¨an R).

Namn Beteckning = V¨arde Enhet Definition Allm¨anna gaskonstanten R = 8, 314510 J/(mol_{· K)}

Avogadros tal NA= 6, 0221367· 10 23 _mol−1 Boltzmanns konstant kb= 1, 380658· 10−23 J/K kb= R/NA Konstanten i Stefan-Boltzmanns lag σ = 5, 6705_{· 10}−8 _W/(m2 · K4₎ Tyngdaccelerationen g = 9, 80665 m/s2 (Paris) Tyngdaccelerationen g_{≈ 9, 82} m/s2 (Bor˚as)

Den absoluta temperaturen T m¨ats i kelvin och har m¨atetalet ϑ + 273, 15 d¨ar ϑ ¨ar m¨atetalet i◦C, d.v.s. den absoluta temperaturen vid 0◦C ¨ar 273,15 K och vid 100◦_{C ¨ar T = 373, 15K}

1 bar = 105_Pa

NTP betecknar ett tillst˚and med T = 273, 15K och p = 1atm = 101325Pa.

Arbete definierat som positivt om det utf¨ors p˚a systemet 2

3

Beckningar och definitioner

Storhet Beteckning Alternativ Enhet Beskrivning/ beteckning definition

Degenerationen Ω - Antal s¨att ett visst

tillst˚and kan f¨orverkligas p˚a

Entalpi H J U + pV Entropi S J/K k ln Ω Inre energi U J K¨oldfaktor ǫ COPR -Q_K |W tillf¨ord| = Q_L |W tillf¨ord| L¨angdutvidgnings-koefficient αL K−1 Massa m kg

Molmassa M kg/mol, g/mol

Slutet system System utan materieutbyte med omgivningen

Station¨art system System d¨ar den mekaniska energin f¨or tyngdpunkten inte ¨andras Substansm¨angd n ν mol n = _Mm, “antalet mol” Tryck p P Pa = N/m2

Tryckvolymarbete W Wb J −RpdV

Volym V m3

Volymsutvidgnings-koefficient αv K−1

V¨arme Q J allm¨an beteckning

V¨arme Qv QH, Q1 J ¨overf¨ort vid den h¨ogre temperaturen

V¨arme Qk QL, Q2 J ¨overf¨ort vid den l¨agre temperaturen

OBS! Qv, Qk osv. definieras

som positiva tal i ekvationerna V¨armefaktor ǫv COPHP -Q_V |W tillf¨ord| = Q_H |W tillf¨ord| V¨armefl¨ode Q˙ Φ W

V¨armekapacitet Cp J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan

vid konstant tryck - Hela systemets v¨armekapacitet V¨armekapacitet Cv J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan

vid konstant volym - Hela systemets v¨armekapacitet V¨armekapacitetskvot γ κ, k - Cp Cv = cp cv = Cp,m Cv,m

V¨armekonduktivitet λ k W/(m_{· K)} V¨armeledningsf¨orm˚aga V¨arme¨overg˚angs- α h W/(m2

· K) koefficient

¨

Oppet system System med materieutbyte med omgivningen

4

Mol¨

ara och specifika storheter

En mol¨ar storhet Xm(enhet t.ex. J/mol) ¨ar relaterad till motsvarande specifika

storhet x (enhet t.ex. J/kg) genom

Xm= x· M (1)

Arbete definierat som positivt om det utf¨ors p˚a systemet 3

5

Formler och ekvationer

5.1

Arbete

Ber¨akning av tryckvolymsarbete (“boundary work”) W =₋

Z

pdV (2)

Isobar process (p = konstant)

W =− Z V2

V1

pdV =−p(V2− V1) = p(V1− V2) (3)

Isokor process V = V1 = V2 konstant, allts˚a blir b˚ada integrationsgr¨anserna

samma (V1) och integralen =0

W =− Z V1

V1

pdV = p(V1− V1) = 0 (4)

Isoterm process f¨or ideal gas

W =− Z V2 V1 pdV = nRT ln  V1 V2  (5)

Adiabatisk sluten process (Q = 0_{⇒ ∆U = W )}

W = Cv∆T = mcv∆T = nCv,m∆T (6)

Adiabatisk process f¨or ideal gas

W = p2V2− p1V1

γ_{− 1} (7)

Adiabatisk ¨oppen process ( ˙Q = 0_{⇒ ˙}H = ˙W ) ˙

W = ˙H = ˙m∆h = ˙mcp∆T = ˙nCp,m∆T (8)

eller om flera str¨ommar ¨ar inblandade ˙ W =X i ˙ mi∆hi = X i ˙ micpi∆Ti= X i ˙niCp,mi∆T (9)

5.2

V¨

arme

Tillf¨ort v¨arme vid konstant tryck (med totala v¨armekapaciteten vid konstant tryck Cp= nCp,m= mcp)

¯

dQ = CpdT = nCp,mdT = mcpdT (10)

eller integrerat (med Cp etc. som medelv¨armekapaciteter)

Arbete definierat som positivt om det utf¨ors p˚a systemet 4

Tillf¨ort v¨arme vid konstant volym (med totala v¨armekapaciteten vid konstant volym Cv= nCv,m= mcv)

¯

dQ = CvdT = nCv,mdT = mcvdT (12)

eller integrerat (med Cv etc. som medelv¨armekapaciteter)

Q = Cv∆T = nCv,m∆T = mcv∆T (13)

Vidare g¨aller alltid

dU = CvdT = mcvdT = nCv,mdT (14)

dH = CpdT = mcpdT = nCp,mdT (15)

eller om v¨armekapaciteten inte ¨andras i temperaturintervallet

∆U = Cv∆T (16)

∆H = Cp∆T (17)

Specialfall: Kalorimetri i fast fas eller v¨atskefas Q = mc∆T + X

fas¨overg˚angar

mℓi (18)

d¨ar c ¨ar ¨amnets specifika v¨armekapacitet, ℓi ¨ar specifika fas¨overg˚angsentalpin

(specifika fas¨overg˚angsv¨armet) f¨or fas¨overg˚ang i. OBS! Tecknet p˚a ℓi beror

p˚a om v¨arme upptas eller frig¨ors vid ¨overg˚angen. Vidare ¨andras c vid varje fas¨overg˚ang varf¨or man m˚aste dela upp den f¨orsta termen i flera.

5.3

Termodynamikens f¨

orsta huvudsats (energiprincipen)

F¨or slutna system

Q + W = ∆E = ∆U + ∆Ekin+ ∆Epot (19)

F¨or station¨ara slutna system

Q + W = ∆U (20) F¨or ¨oppna system g¨aller kontinuitetsekvationen

IN + PROD = UT + ACK (21) som f¨or energi (utan ACK-term) blir

X in ˙ mi(hi+ ekin,i+ epot,i) + ˙Q + ˙W = X ut ˙ mj(hj+ ekin,j+ epot,j) (22) d¨ar ekin,i=V 2 i

2 och epot,i = gyi medVi= str¨omningshastigheten, g

Arbete definierat som positivt om det utf¨ors p˚a systemet 5

5.4

Entropi

Definition

S = kbln Ω (23)

d¨ar Ω ¨ar antalet s¨att tillst˚andet kan f¨orverkligas p˚a. Vid tillf¨orsel av v¨arme g¨aller

dS =dQ¯ rev

T + dSgen (24)

d¨ar Qrev¨ar v¨armet som tillf¨ors vid en reversibel process som ger samma tillst˚ands¨andring,

dSgen ¨ar den entropi som produceras genom irreversibla processer i systemet.

Om volymen ¨andras se avsnitt 5.6 om vad som g¨aller f¨or ideala gaser.

5.5

Kondenserade faser

I kondenserade faser (v¨atska, fast fas) ¨ar volyms¨andringarna oftast sm˚a och allts˚a Cv≈ Cp≡ C varf¨or ∆H_{≈ ∆U = C∆T} (25) och ∆S = mcavln _T 2 T1  (26)

5.6

Ideala gaser

F¨or ideala gaser g¨aller dessutom

Gasernas allm¨anna tillst˚andslag (“allm¨anna gaslagen”)

pV = nRT≡ νRT (27) En variant kan skrivas

pV = mRiT (28)

d¨ar Ri = R/Mi ¨ar den ¨amnesspecifika gaskonstanten f¨or ¨amne i som har

molmassan Mi.

Inre energi f¨or en ideal gas f˚as fr˚an ekvipartitionsprincipen vilken ger U =f

2N kT = f

2nRT (29)

d¨ar N = antalet molekyler, f = antalet frihetsgrader i varje molekyl, f = 3 f¨or enatomig gas, f = 5 f¨or tv˚aatomig gas, f_{≤ 3N}atom f¨or Natom−atomig gas

och d¨armed ¨ar Cv,m= 3₂R f¨or en enatomig gas och Cv,m=5₂R f¨or en

tv˚aatomig gas.

Vidare g¨aller f¨or ideala gaser Cp,m= Cv,m+ R

Adiabatisk process f¨or ideal gas

p1V1γ = p2V2γ (30) T1V1γ−1 = T2V2γ−1 (31) T1 T2 = _p 1 p2 (γ−1 γ ) (32) W = p2V2− p1V1 γ_{− 1} (33) (34)

Arbete definierat som positivt om det utf¨ors p˚a systemet 6

Entropi¨andring f¨or ideal gas ∆S = nCv,mln _T 2 T1  + nR ln _V 2 V1  = mcvln _T 2 T1  + mRiln _V 2 V1  (35)

5.7

Verkningsgrader

Allm¨an definition η = nyttigt tillf¨ort (36) Motorer och andra v¨armemaskiner

η =|Wnyttigt| Qtillf¨ort = Qv− Qk Qv (37) Kylmaskiner: k¨oldfaktor ǫ = Qk |Wtillf¨ort| = Qk Qv− Qk (38) V¨armepumpar: v¨armefaktor ǫv= Qv |Wtillf¨ort| = Qv Qv− Qk = ǫ + 1 (39)

5.8

Carnotprocesser

η Carnot= |Wnyttigt| Qtillf¨ort = Qv− Qk Qv =Tv− Tk Tv (40) ǫ Carnot= Qk |Wtillf¨ort| = Qk Qv− Qk = Tk Tv− Tk (41) ǫv_Carnot= Qv |Wtillf¨ort| = Qv Qv− Qk = Tv Tv− Tk (42)

5.9

Ottomotorn

η = 1₋ 1 rγ−1 (43)

d¨ar kompressionsf¨orh˚allandet r = Vmax

Vmin och γ = Cp/Cv

5.10

V¨

arme¨

overf¨

oring

5.10.1 Str˚alning - Stefan-Boltzmanns lag St˚alning fr˚an kropp med temperaturen T ges av

˙

Q = ǫAσT4 ₍₄₄₎

d¨ar ǫ ¨ar emissiviteten (0 < ǫ < 1), A arean, σ_{≈ 5, 67 · 10}−8_W/(m2

· K4_).

Om kroppen befinner sig i en omgivning med temperaturen T0 f˚as

nettostr˚alningen ur

˙

Arbete definierat som positivt om det utf¨ors p˚a systemet 7

5.10.2 V¨armeledning

I ett enkelt material med tjocklek d och tv¨arsnittsarea A f˚as ˙ Q = Aλ d∆T (46) 5.10.3 V¨armegenomg˚ang ˙ Q = AU ∆T (47) d¨ar v¨armegenomg˚angskoefficienten U (skilj detta U fr˚an den inre energin!) ges av 1 U = 1 α1 + 1 α2 + X lager di λi (48)

d¨ar v¨armeledningsf¨orm˚agan f¨or lager i ¨ar λi och dess tjocklek ¨ar di. α1och α2

¨ar v¨arme¨overg˚angstalen mellan v¨aggen och den omgivande luften, d.v.s. v¨arme¨overf¨oringen genom konvektion. (Om det bara ¨ar fr˚aga om en form av v¨arme¨overf¨oring stryks de andra termerna)

5.11

L¨

angdutvidgning, volymsutvidgning

L¨angden L av en kropp med ursprungsl¨angden L0 till f¨oljd av en

temperatur¨andring ∆T ges av

L = L0(1 + αL∆T ) (49)

d¨ar αL ¨ar l¨angdutvidgningskoefficienten. P˚a samma s¨att g¨aller f¨or volymen V

av en kropp med ursprungsvolymen V0

V = V0(1 + αv∆T ) (50)

d¨ar volymsutvidgningskoefficienten αv≈ 3αL

Referenser

• O. Beckman, G. Grimvall, B. Kj¨ollerstr¨om & T. Sundstr¨om, Energil¨ara, Grundl¨aggande termodynamik, Stockholm: Liber, 2005.

• Y.A. C¸engel, Introduction to thermodynamics and heat transfer, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, 2008.

• C. Nordling, Jonny ¨Osterman, Physics Handbook for science and engineering, Lund: Studentlitteratur, 2004.

• Swep,

https://www.swep.net/refrigerant-handbook/appendix/appendix-b (u.˚a) [h¨amtad 2017-10-25]

Arbete definierat som positivt om det utf¨ors p˚a systemet 8

¨

Amne Formel Molmassa Ri, specifik cv cp γ Tk pk

gaskonstant g/mol J/(kg_·K) kJ/(kg_·K) K MPa Etan C2H6 30,07 276,5 1,4897 1,7662 1,186 305,5 4,48 Helium He 4,003 2076,9 3,1156 5,1926 1,667 5,3 0,23 Koldioxid CO2 44,01 188,9 0,657 0,846 1,289 304,2 7,39 Luft 28,97 287,0 0,718 1,005 1,400 132,5 3,77 Kv¨ave N2 28,013 296,8 0,743 1,039 1,400 126,2 3,39 Metan CH4 16,043 518,2 1,735 2,254 1,299 191,1 4,64 Neon Ne 20.183 411,9 0,6179 1,0299 1,667 44,3 2,72 Propan C3H8 44,097 188,5 1,4909 1,6794 1,126 370 4,26 Syre O2 31,999 259,8 0,658 0,918 1,395 154,8 5,08 Vatten˚anga H2O 18,015 461,5 1,4108 1,8723 1,327 647,1 22,06 V¨ate H2 2,016 4124 10,183 14,307 1,405 33,3 1,3

Table 1: Egenskaper f¨or utvalda gaser (C¸ engel, 2008), Tk = kritiska

tempera-turen, pk = kritiska trycket

¨

Amne Formel M Tf ℓf Tv ℓv cp λ αL el. αv

g/mol K kJ/kg K kJ/kg kJ kg·K m·KW 10−5K−1 Aluminium Al 26,98 933 395 2740 0,9035 237 2,4 L Betong 0,92 0,4-1,7 1,2 L Bly Pb 207,19 601 24,7 2024 932 0,13 35 2,89 L Etanol C2H5OH 46,4 159,0 109 351,4 838,3 2,46 0,182 110 v J¨arn Fe 55,85 1808 276 3160 6800 0,45 80 1,2 L Koppar Cu 63,546 1356 205 2855 4750 0,385 400 1,68 L R134a C2F4H2 173,5 147,0 247,0 1,43 St˚al 1350 0,46 45 1,15 L Tr¨a(furu) 0,4 0,14 0,5-3 L Vatten H2O 18,02 273,15 334 373,15 2260 4,19 0,60 18 v Is (-4◦_{C) H} 2O 18,02 273,15 334 373,15 2260 2,2 2,1 5,0 L

Table 2: Egenskaper f¨or utvalda v¨atskor och fasta ¨amnen. Om inget an-nat anges avses egenskaperna vid 20◦_{C och 1 atm. T}

f =sm¨altpunkt,

ℓf = sm¨altentalpi, Tv =kokpunkt, ℓv = ˚angbildningsentalpi L=αL anges,

v=αv anges; v¨armeledningsf¨orm˚agan och v¨armekapaciteten avser fast fas eller

v¨atskefas. (efter ¨Olme (2003), C¸ engel (2008), NIST samt Nordling och ¨