Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö och samhälleExamensarbete
10 poäng
2 pi’er
– om matematisk relations- och
instrumentalförståelse inom det lekfulla
[informella] klassrummet
2 girls
– about mathematics relations- and instrumental u
nderstanding within the playful [informal] classroom
Miroslav Markovic
Lärarexamen 180 p Examinator: Tina Wedege Matematik och lärande
Förord
Denna studie tillägnas min lilla älskade Tanya som sorgligt och hastigt lämnade mig mitt under examensarbetet.
Sammanfattning
Genom att dela in matematiken i begrepp viktiga för inlärningen och förståelsen visar forskningen på skillnader i det övergripande begreppet förståelse. Att det är viktigt för lärare att de har insikt i vad som är syftet didaktiskt sett med undervisningen inom matematiken. Undersökningen visar att det går att omvandla informell kunskap till formell kunskap. För min undersökning innebär det att informell lekfullhet som didaktiskt grepp kan bidra gynnsamt för inlärningen som en väg till elevers minne och språk. Med förståelse menas enligt den definition som innefattar den instrumentella och den relationsrelaterade förståelsen. Undersökningen tar upp forskning som belyser det viktiga i att läraren förhåller sig enligt en didaktik som sätter eleven i centrum, genom synsätt som inte utgår endast ifrån det av tradition länge empiriskt rådande förhållningssättet för kunskap inom skolan. Uppsatsen är ett arbete som sammantaget vill visa hur goda grunder kan skapas i det pedagogiska mötet mellan lärare och elev och mellan elev till elev inom ämnet matematik.
Sökord: lekfullhet, informell kunskap, instrumentell förståelse och
relationsförståelse
Abstract
This paper shows that playful education within mathematics is positive for a better understanding of mathematics in general, as it’s often is concerned as serious and difficult subject. Mathematics is a subject that demands both understanding and educational methods that responds to the purpose of the teacher’s education in mathematics. It’s because of this matter important that students and teachers share the same meaning of the word
understanding. Therefore this paper is a work about instrumental understanding and a
relational understanding, as well of what playful mathematics means for both.
Keywords: playful mathematics, informal knowledge, relational
understanding and instrumental understanding
Innehållsförteckning
1. Inledning 6
1.1 Disposition 7
1.2 Syfte 8
1.3 Material och avgränsning 9
1.4 Metodologi 9 2. Tidigare forskning 12 2.1 Instrumentell förståelse och relationsförståelse 12 2.3 Didaktik – och personliga relationer till matematik 14 2.4 Matematik som roligt ämne 16 2.5 Matematik för vuxenlivet 18 2.6 Informell och formell kunskap 19
3. Vad säger skolverket? 20
4. Urval och genomförandet 22 5. Slutsatsen 25 6. Sammanfattande slutdiskussion 26 Käll- och litteraturförteckning 29
1. Inledning
Det är rimligt att anta att allt inom matematik inte kan vara vackert eller spännande. Samtidigt finns det mycket som just är så inom matematikens värld. Den tyske filosofen Franz Brentano karaktäriserade i en föreställning på 1870- talet människan som en intentionell varelse, som en varelse där vårt medvetande är riktat mot något. Den engelske romanförfattaren och filosofen Colin Wilson utvecklade det ytterliggare och menade att människans fria vilja, hennes förmåga att göra en ansträngning eller att låta bli – att detta är en viktig essens för vad som utmärker en människa. A H Maslow menade i sin tur att upplevelsers intensiva s.k. ”maxiupplevelser” är det bästa försvaret mot att människan inte ska bli en vanerobot. 1 Det är om detta som mitt arbete ska handla om. Om mötet som ska innebära positiva upplevelser för elever att uppleva och förhålla sig till inom matematikens värld. Något jag önskar ska leda till att elever ska tycka om att arbeta med matematiken och därigenom skapa sig god kunskap och förståelse om.
Mitt examensarbete ska handla om en klass som jag har haft tillfälle att möta under min praktik. Denna klass fick i uppgift att lösa cirkelns omkrets respektive dess area, vilket behövdes för att lösa en större uppgift som jag hade en konkret bakgrund till.2 Det intressanta som kom fram i och med uppgiften som klassen skulle arbeta med, var hur klassen nästan genomgående blandade ihop de två matematiska begreppen, för att beräkna cirkelns area respektive omkrets. Det framstod som rimligt att anta, att anledningen till detta var att begreppen liknade varandra och därför lätt blandades ihop. Med följd att eleverna inte kunde lösa den större uppgiften som var meningen.
Att begreppen blandades ihop bekräftades genom den aktiva samverkan jag hade med eleverna. Det fick mig att fundera på hur jag skulle kunna bidra till en inlärningssituation som skulle kunna hjälpa eleverna att kunna skilja på olika begrepp inom matematiken som låg nära varandra, men som stod för olika begrepp. Det är dessa erfarenheter som ligger som grund för mitt examensarbete och som jag även skall knyta till källor där tidigare forskning inom området är viktigt stöd för min hypotes om hur positiva inlärningssituationer skapas.
1 Bengt Ulin, Engagerad matematik genom spänning, fantasi och skönhet, Bengt Ulin och Ekelunds Förlag AB:
Solna 1996, s. 124 f.
2 G
1.1 Disposition
Kapitel ett inleds med en kort Inledning, följt av Disposition samt Syfte där uppsatsens syfte och frågeställningar förs fram. Vidare följer Material och avgränsning som formulerar var uppsatsen hämtat sitt källmaterial ifrån, samt uppsatsens avgränsningar genom urval viktiga för undersökningen. Under Metodologi beskrivs i huvudsak observationsmetoden som legat till grund för undersökningen, den didaktiska konstruktivismen för synen på förståelse, inlärning och vad kunskap står för inom uppsatsen, samt hur den kritiska forskningen är uppbyggd metodiskt.
Kapitel två tar under rubriken Tidigare forskning upp den forskning som varit viktig för uppsatsen. Denna forskning inleds med Instrumentell- och Relationsförståelse under vilket begreppet förståelse förklaras närmare. Didaktik – och personliga relationer till matematik belyser olika sätt att förhålla sig till matematik didaktiskt sett. Matematik som roligt ämne fokuserar på forskning som påvisar bl.a. det viktiga i didaktik som innehåller det lekfulla inslaget. Matematik för vuxenlivet visar på matematik som ett vardagsnära ämne viktigt för den vuxne på flera sätt. Informell och formell kunskap behandlar begreppet kunskap och synen på vad formell och informell kunskap är enligt forskningen.
Kapitel tre innehåller Vad säger skolverket? Avsnittet granskar och utvärderar matematik
som skolämne inom Sverige samt gör jämförelser med Japan.
Kapitel fyra innehåller Urval och genomförandet, där den praktiska undersökningen beskrivs inom den klass som studerats.
Kapitel fem redovisar Slutsatsen för undersökningen på basis av den studerade klassens resultat och mot bakgrund av forskningen.
Kapitel sex innehåller den Sammanfattande slutdiskussion där även den övergripande slutsatsen inom frågeställningen presenteras. Uppsatsen avslutas med en Käll- och
1.2 Syfte
Syftet med detta arbete är att jag vill visa det viktiga i att hitta vägar till kunskap och intresse och visa hur jag genom att införa det lekfullt roliga, lyckades medverka till en gynnsam undervisningssituation som var lättsam för mig som lärare, för eleverna som deltog i undervisningen och samtidigt främjade en positiv inlärningssituation.
Mitt övergripande syfte är att medverka för ett ökat intresse och förtrogenhet för matematik, samt att finna sätt att bättre förstå och kunna tillämpa matematikens olika begrepp. Enligt min tes är det viktigt att finna vägen till intresse och inlärning genom det lekfulla inom matematiken. Det är viktigt att betona att det var viktigt för mig att inte byta ut etablerade begrepp inom matematiken. Utan tvärtom förstärka dessa formella begrepp, genom att förse dem med informella attribut som medförde att eleverna lättare kunde känna igen dem på.3 För att på detta vis och genom detta arbete visa hur det på ett relativt enkelt sätt går att hjälpa elever till en bättre förståelse mellan begrepp som ligger varandra nära till innehåll, men som står för vitt skilda matematiska begrepp var och för sig.
Enligt min tes kan matematiken som undervisningsämne göras bättre, sett utifrån inlärnings- och didaktiska perspektiv. Min frågeställning utgår därmed ifrån den normativa, dvs. den bekräftande, om vad som bör finnas med som en viktig del inom undervisningen. För att denna ska bli så nära den idealiska undervisningssituationen som möjligt. Jag menar att det lekfulla inom matematiken är viktigt för att stimulera elevers intresse och därmed motivation. Att det lekfulla också kan vara ett viktigt stöd för minnet och inlärningen och viktigt för hela inlärningsprocessen. Med mitt arbete ska jag integrera det lekfulla inom begreppet förståelse, som i sin tur är indelat i två delar: relationsförståelse och instrumentell förståelse. Det sammantagna syftet med mitt arbete är att jag vill visa på positiva inlärningsmöten mellan lärare och elev inom det gemensamma och övergripande begreppet matematik. Men genom att åskådliggöra en liten del inom matematiken som är viktig för mitt resonemang, mina teser och mot bakgrund av forskningen jag tagit del av.
Min frågeställning som jag vill besvara genom detta arbete är:
1. Vad betyder det lekfulla [informella] för inlärningssituationen då elever ska göra skillnad
på en cirkels omkrets och en cirkels area och mot bakgrund av elevers relationsförståelse respektive instrumentala förståelse inom begreppet matematik?
3 Med informella och formella kunskaper avses det rådande av allmänt vedertagna i enlighet med Stendrups
diskussioner inom detta arbete för det konstruktivistiska och det empiriska förhållningssättet till begreppen och som beskrivs under Metod samt även under Tidigare Forskning.
1.3 Material och avgränsning
Min undersökning har tagit stöd av den forskning som finns på området och som varit viktig för min studie. Jag har avgränsat mitt arbete genom att utgå ifrån frågeställningen som ligger till grund för min undersökning. De begrepp som jag kommer att arbeta och förhålla mig till är cirkelns area och cirkelns omkrets, eftersom det var här eleverna visade på svårigheter. De elever som ingår i min studie är 16 till antalet, 9 flickor och 7 pojkar i årskurs 7.
1.4 Metodologi
Min undersökning är genomförd genom aktionsforskning med mig som den deltagande pedagogen i en specifik klass, där jag undersöker elevernas inlärningsprocess.4 Metoden passar väl för s.k. ostrukturerade observationer som ska leda till analyser av elevernas begreppsförståelse inom det område som undersökts. Inom denna observationsmodell kan alla elever observeras, även de som annars skulle kunna vara motvilliga till att vara med om observationen.5 Inom metoden har jag studerat och gjort observationer av elevernas muntliga såväl som deras skriftliga förtrogenhet och färdighet. Jag har fört dagboksanteckningar efter varje lektion. Sammantaget har denna undersökning givit mig en god bild om hur eleverna utvecklats kunskapsmässigt. Observationer som metod är lämpligt i sammanhang där forskaren vill utföra studier i ett naturligt sammanhang. Men där ändå elever går att utvärdera vetenskapligt med hjälp av analyser av vad observationerna innehåller. 6 Detta låter sig
utvärderas vetenskapligt eftersom jag byggt mina analyser på dels mina observationer av elevernas arbete och dels på det skriftliga prov som eleverna genomförde som en sista övning på mina lektioner. Det slutgiltiga provet bekräftade också vad som framkommit genom observationerna.7
Min forskningsmetod, utöver det ovan beskrivna, hör till den kritiska forskningen som vill belysa att något kan förändras till det bättre. Men, som inom det kritiska går ett steg längre
4
Föreläsning av Tine Wedege 2006-01-24.
5 Runa Patel och Bo Davidson, Forskningsmetodikens grunder. Att planera, genomföra och rapportera en
undersökning, Studentlitteratur: Lund 2003, s. 89.
6 Patel och Davidson, s. 95 f. 7 Patel och Davidson, s. 88.
Ole Skovsmose och Marcelo Borba, Research Methodology and Critical Mathematics Education, Centre for Research in Learning Mathematics: Denmark, Roskilde 2000, s. 3.
och dessutom förklarar vad som saknas för att något ska kunna utvecklas till det bättre. 8 Inom denna kritiska forskning har jag utgått ifrån en modell som vilar på tre viktiga delar som forskningsprocessen är indelad i: 9
1. Den Rådande Situationen (RS) 2. Den Arrangerade Situationen (AS) 3. Den Imaginära Situationen (IS)
1. Den första (RS) beskriver situationen inom gruppen innan undersökningen börjar, alltså i praktiken som det ser ut av t.ex. förkunskaper vid undersökningens start.
2. Den andra (AS) beskriver hur undersökningen praktiskt låter sig genomföras med bakgrund av olika förutsättningar inom undersökningen och som bestäms med de aktiva av elever och lärare. Men kan också innebära förutsättningar genom föräldrar och andra faktorer som inte är direkt synliga inom undersökningen, men ändå kan påverka denna.
3. Den tredje (IS) och sista delen är den uppfattning som forskaren har av ideal och idéer med sin forskning och som han försöker leda sin forskning i riktning för.
Den teorimodell som jag utgått ifrån kallas abduktion. 10 Abduktion kännetecknas att
forskaren utifrån ett enskilt fall formulerar ett hypotetiskt mönster, dvs. uttalar en teori. I nästa steg prövar forskaren sin hypotes och teorin bakom denna, vilket kan leda till att både tes och teori kan utvecklas och utvidgas från det ursprungliga till mer generella termer. Fördelarna med det abduktiva forskningssättet är att forskaren inte låser sig på förhand inom teorin. Utan kan gå ifrån och utvidga denna. Nackdelen är att ingen forskning sker förutsättningslöst. Att all forskning mer eller mindre utgår ifrån forskarens egna erfarenheter, osv. Något som kan innebära att han/hon utesluter andra möjligheter och tolkningar än de som han/hon har som sina inom sin forskning och som är färgade av forskaren som person. 11
Det didaktiska konstruktivistiska är intressant för mig eftersom jag studerar begreppen förståelse, inlärning och kunnande enligt ett didaktiskt konstruktivt förhållningssätt. Detta främst för att det finns en skillnad i att betrakta kunskap och inlärning enligt en empirisk tradition som Stendrup menar att skolan länge förhållit sig till. 12 Stendrup menar vidare att när man går ifrån det empiriska perspektivet inom undervisningen till ett konstruktivistiskt
8 Skovsmose och Borba, s. 8 och 16. 9 Skovsmose och Borba, s. 9 f. 10 Patel och Davidson, s. 24. 11 Patel och Davidson, s. 24.
12 Conny Stendrup, Undervisning och tanke. En ämnesdidaktisk bok om språk och begreppskunskap. Exemplet
lärande, är det som att gå ifrån att tala till, till att tala med sina elever. Min undersökning utgår ifrån hypotesen att elevers förståelse i en nära samklang med lekfullheten inom inlärningsprocessen är till stor nytta för eleven för förståelsen och förtrogenheten inom matematiken. Men att det samtidigt inom matematiken, som ett större begrepp, finns betydelseskillnader i själva begreppet förståelse. Att det finns skillnader mellan en
relationsförståelse och den instrumentala förståelsen. För att jag ska kunna förankra detta
inom min undersökning måste jag gå ifrån ett empiriskt perspektiv till det lämpligare för min undersökning, det didaktiskt konstruktivistiska. 13
Enligt Stendrup är det ett problem att skolan i betydande omfattning är empiriskt inriktad och illustrerar skillnaden mellan de båda förhållningssätten genom att visa på exempel. Med dessa menar Stendrup att det inom empirismen för ordet inlärningen avses kunskaper som något som kommer in från en utsida och ett resultat av att det finns någon som förmedlar kunskap och inte som en intellektuell mer komplicerad process skapad inom eleven som konstruktivismen vill ha det till. Inom konstruktivismen betonas istället lärande – som något där individen konstruerar sitt eget kunnande. 14 Inom ett empiriskt förhållningssätt blir ordet
kunskap, vilket kan jämföras med konstruktivismens kunnande. I det första fallet ett
opersonligt objekt svårt att relatera närmare till, medan < kunnande > svarar för en levande och pågående process, enligt Stendrup. I detta sätt att betrakta kunskap och inlärning på ligger den stora skillnaden mellan det empiriska förhållningssättet och den konstruktivistiska.
Enligt Stendrup kan det didaktiska momentet, intressant för lärare, delas upp i två viktiga moment: 15
• Metodisk konstruktivism och
• en grundläggande syn, en ständigt närvarande kunskap och attityd till lärandet oavsett ämne. Att faktakunskaper inte konstrueras av eleven; begreppslig förståelse konstrueras däremot som en kognitiv process.
Enligt min tolkning är därför faktakunskaper en process som utgår ifrån att det finns en förståelse bakom. En förståelse som grundar sig på att intellektuellt kunna bilda sig en uppfattning om kunskapen och vad som avses med denna. Det finns därmed en relation med
13 Patel och Davidson, s. 31. 14 Stendrup, s. 164.
det inlärda, en förståelse i det avseendet att eleven vet hur och varför kunskapen kan användas.16
Enligt Stendrup är det även utmärkande inom det konstruktivistiska synsättet på inlärning och kunnande att informell kunskap kan omvandlas och bli formell. 17 Något som är intressant för mig och min undersökning, eftersom jag inom undersökningen förmedlar informella [lekfulla] minneskrokar. I syfte att detta ska leda till formell kunskap inom matematikens olika begrepp. Således finns vissa idéer för min undersökning och i övervägande enlighet med den konstruktivistiska synen på vad kunskap och inlärning är för något och hur detta skapas didaktiskt.
2. Tidigare forskning
2.1 Instrumentell förståelse och relationsförståelse
“Faus amix” är en term som används i franska och som förklarar ord som är lika (eller nästan lika) i två språk men vars betydelsemening är olika. Exempel på ord som kan ge vissa meningsskiljaktigheter i matematikundervisningen är, enligt författaren, begreppet förståelse eller som man uttrycker det inom texten, den instrumentala förståelsen och
relationsförståelsen. Att förstå innebörden och variera undervisningen med vad som avses för
själva syftet med undervisningen är därför viktigt. 18
Författarens uppfattning är att det är två effektfullt skilda ämnen som lärs ut under deras gemensamma namn vilket övergripande är matematik. Den instrumentala matematiken är vanligtvis lättare att förstå medan den relationella matematiken är lättare att komma ihåg. Det Skemp visar på är att det är viktigt att läraren förstår att använda sig av komplexiteten inom det större område som matematiken är. Att således avgränsa sin undervisning på så sätt att rätt term/område kopplas till rätt metod och syftet med undervisning. Något som dessutom måste kopplas ihop med vem läraren vänder sig till. Alltså det som passar bäst inom den målgrupp läraren vänder sig till. Men där en variation är mest lämplig, eftersom instrumental förståelse
16 Richard R. Skemp, (1976), Relation and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching, Bulletin of the
Association of Teachers of Mathematics, Malmö Högskola Lärarutbildningen NMS Kompendium till kursen
Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005, s. 20.
17 Stendrup, s. 167. 18 Skemp, s. 20.
och relationsförståelse oftast kompletterar varandra för en djupare förståelse. Enligt Skemp avses förståelse i den betydelse att eleven ska känna förtrogenhet med olika begrepp, samt hur begreppen ska omsättas till matematisk tillämpning och varför. 19 Att således som elev ha med sig både den instrumentella och den relationella förståelsen inom matematiken.
Hur ska man bäst då bäst förklara skillnaden mellan instrumentell matematik och relationsmatematiken? Enligt Skemp beskriver de två begreppen samma sak men utifrån olika sätt att tänka för elevens del. Skemp visar genom exemplet, att det är som att tala engelska inom olika delar av världen med betydelseskillnad på de ord som använts och som därför kan missuppfattas om de brukas utanför dess naturliga språkgränser. Skemp förtydligar och tar upp fransmännens användning av engelska ord och där chef i Frankrike betyder den högst bestämmande inom en organisation och i England står en beteckning för chefskock. 20 Skemp
menar vidare att instrumental matematik är i regel lättare att förstå kortsiktligt än relationsmatematiken som ofta kräver längre inlärningstid. 21
Skemp visar på fler exempel på vad relationsförståelse respektive instrumentell förståelse kan översättas till och vad dessa innebär konkret för eleven inom undervisningen. Ett sådant exempel är hur i det ena fallet finns en elev som lär sig spela efter bestämda noter där noterna betyder olika ljud. Den andra eleven lär sig att känna igen ljuden för noterna. Båda sätten kompletterar varandra visserligen, men Skemp menar, att i det första fallet lär sig eleverna till en början enklare melodier utifrån metoden att först lära sig noterna och sedan hur de förhåller sig av ljud tillsammans. När melodierna blir mer komplicerat sammansatta finns risken, enligt Skemps resonemang, att eleven inte vet vilka noter som ska skrivas ned och användas och därför tröttnar för att det blir för svårt. I det andra fallet, där eleven lär sig känna igen ljuden först och sedan sätta dit noterna menar Skemp att den senare metoden i längden vinner. Eftersom ljuden är samma oavsett om dessa finns inom en helt ny eller till och med svår melodi. 22 Denna senare metod för inlärning är den relationella, där eleven har en relation med noterna och kan sätta in dem i deras kontext utifrån att han/hon vet deras betydelse för det musikaliska sammanhanget. I det första fallet utgör exemplet eleven som lär sig en instrumentell tillämpning, ungefär som när eleven lär sig multiplikationstabellen som per automatik. Men ändå inte förmår att lösa svårare matematiska problem där multiplikation ingår trots att eleven kan sina tabeller.
19 Skemp, s, 20. 20 Skemp, s. 26. 21 Skemp, s. 23. 22 Skemp, s. 22.
Skemp belyser med sina exempel just det viktiga för relationsförståelse och instrumentell förståelse med att ”veta vad man ska göra och varför” med matematiken. 23 Skemp visar därmed det viktiga i att matematik kan förstås på olika sätt och något som läraren måste vara medveten om inom sin undervisning.
2.3 Didaktik – och personliga relationer till matematik
Ole Björkqvist är en annan forskare som menar att matematiken inte alltid kan förklaras och ses som ren matematisk problemformulering utan att det ligger på pedagogens ansvar att våga gå utanför och prova andra vägar för att med rätt didaktik för tillfället fånga elevens intresse. Björkqvist ser det viktiga i att pedagogen finner en bakgrund för elevens lärande som för eleven känns igenkännande, således något bekant och därför naturligt. Utöver detta menar Björkqvist är det viktigt att översätta formler, begrepp och relationer på så sätt att dessa enklare kan förstås av eleven. Allt för att bidra till en gynnsam inlärningssituation hos eleven som bottnar i att denne ska kunna lösa sitt matematiska problem och där matematiken fråntas sin stämpel av att vara svår. 24
”I allt mänskligt samspel spelar det personliga meningssammanhanget en avgörande roll. Vad ska vi göra? Varför gör vi det här? Vad är meningen med den här uppgiften?” Så inleder Inger Wistedt sin artikel som handlar om mötet mellan lärare och elev i undervisningssituationen även inom ämnet matematik.25 Wistedt ställer sig frågande om vilken roll som läraren har genom sitt pedagogiska arbete. Något som hon menar även medför en viss styrning av eleven. Med pedagogisk styrning avser Wistedt det begränsade handlingsrum för eleven från pedagogens sida, som ska ge mening för som Wistedt uttrycker det, ”ett visst undervisningstema och att samtal i klassrummet styrs i en riktning som leder till att eleverna lär sig sådant som läroplan och kursplan föreskriver”. 26 Wistedt ställer sig därpå
frågan om hur detta påverkar barnet. Om man kan sätta upp gränser och om man inte därmed begränsar barnet och även styr barnets egen rätt mot dess inlärning. En viktig fråga som inte
23 Skemp, s. 20.
24 Ole Björkqvist, Matematisk problemlösning, ur Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, Grevholm Barbro
(red), Studentlitteratur: Lund 2001, s. 118.
25 Inger Wistedt, Rum för samtal – om dialogen som en möjlighet att demokratisera undervisningen, ur
Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, Barbro Grevholm (red), Studentlitteratur: Lund 2001, s. 219.
har ett enkelt svar enligt hennes sätt att se det på. Något jag ska återkomma till under
Informell och formell kunskap och Sammanfattande slutdiskussion.
Enligt Errki Pehkonen i ”Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i matematikundervisningen” fungerar en individs uppfattningar som ”osynliga linser genom vilka han eller hon uppfattar omvärlden”.27 Pehkonen menar att elevernas syn på matematik bör breddas genom att läraren använder sig av olika inlärningsmetoder och inte minst genom en strävan att göra undervisningen intressant för eleven. Som blivande matematiklärare ska man därför inte vara rädd för att vara öppen för förändringar och nya föreställningar som läraryrket kräver. Pehkonen uttrycker det enligt följande: ”Det räcker inte med att prata om en förändringsteori, vi måste också reflektera över den och använda den som förebild!” 28 Samtidigt pekar han också på det viktiga i att olika elever har sin speciella lins ur vilken de betraktar matematiken. Att olika elever har olika bakgrunder ur vilka de sedan bygger vidare på. Något som också Wistedt poängterar genom att tala om kulturella bakgrunder där det finns ett samspel med koder och innebörder som ibland inte nödvändigtvis delas av pedagogen men dock ofta mellan elev till elev. 29
Enligt Mogens Niss så utgör matematikdidaktik ”det vetenskapliga arbetsfältet där man försöker identifiera, beskriva och förstå företeelser som är eller skulle kunna vara en del av (faktisk eller potentiell) undervisning och lärande när det gäller matematik på alla nivåer i utbildningssystemet”. Det viktiga är att närma sig matematiken med den avsikten att man verkligen vill få fram dess ändamålsaktigt goda grund för eleverna att stå på inför kommande framtida studier och vardagslivet i sig. Att på bästa möjliga sätt nå sina elever och möta dem på ett sätt som bidrar positivt för deras utveckling. 30
Även Christer Bergsten i Exploiting the gap between intuitive and formal knowledge in
mathematics tar upp intuitiv och formell kunskap i matematiken genom exempel som
illustrerar hur en intuitiv värld och en formell värld går in i matematiskt arbete med deras olika inverkan på förståelsen och matematisk framställning. Med formell kunskap avses den begreppssfär som termer, symbolik och begrepp inom matematiken givits vetenskapligt.31 En
27 Errki Pehkonen i Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i matematikundervisningen, ur
Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, Barbro Grevholm (red), Lund 2001, s. 248.
28 Pehkonen s. 248. 29 Wistedt, s. 222 ff.
30 Mogens Niss, Den matematikdidaktiska forskningens karaktär och status, ur Matematikdidaktik – ett nordiskt
perspektiv, Grevholm Barbro (red), Studentlitteratur: Lund 2001, s. 25.
Från föreläsning av Tine Wedege 2006-01-24.
31 Bergsten Christer, (2004), Exploiting the gap between intuitive and formal knowledge in mathematics. To be
published in Niss, M. (ed.) Proceedings of the 10th International Congress on Mathematics Eucation (ICME-10).
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Malmö Högskola Lärarutbildningen NMS Kompendium till kursen Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005, s. 3.
syn som utökar den traditionella synen som länge varit rådande inom matematiken och inte utesluter inlärning som bygger på att våga pröva nya vägar för att nå fram mot målet. Bergsten hänvisar till Byers & Herscovics (1977) då han förklarar matematiskförståelse som något som tar sin grund ur dels den intuitiva och den formella förståelsen. Något som enligt honom kan innebära ”förmågan att förena matematisk symbolik och beteckningar med relevanta matematiska idéer och kombinerar dessa båda begrepp till en kedja av logiskt resonemang”. Alltså att förstå och nästintill ”se” matematik på ett intuitivt sätt som inte endast betyder att förstå siffror eller ens nödvändigtvis endast betyder matematiska symboler för sammantagna förståelsen. Men Bergsten visar också att det finns delad forskningssyn i uppfattningen av det intuitivas roll för elevers förmåga att lösa matematiska uppgifter. 32 Sammantaget visar forskningen enligt ovanstående det viktiga i att ta hänsyn till elevers eget språk och dess symboler inom undervisningsämnet matematik.
2.4 Matematik som roligt ämne
Ingvill M. Holden sammanfaller väl med min hypotes om det viktiga för elevers inlärning, förståelse och motivation för inlärningen genom att göra matematiken, som det uttrycks i texten, roligare. Något som delas även av andra forskare jag studerat.33 Men som
sammanfattas väl genom Holdens observationer av fröken Flinks lektioner. Holden refererar således till Fröken Flinks lektioner som han följt genom observationer inom en specifik klass i årskurs sex. Inom denna klass utmärktes undervisningen av att denna måste vara rolig för att maximal motivation hos eleverna skulle infinna sig och som var viktigt för inlärningen, enligt fröken Flinks tes om god inlärningssituation. Rolighetsfaktorn genomsyrade därmed hennes matematikdidaktiska pedagogiska grundsyn inom undervisningen. Dessutom skapade hon en speciell inlärningsmiljö kring matematiken genom vissa grundelement hon ansåg viktiga. Dessa utgjordes av: 34
• eleverna får stöd och uppmuntran genom att arbeta tillsammans och dela med sig av idéer • eleverna hjälper varandra
32 Bergsten, s. 2 f.
33 Olof Magne, Att lyckas med matematik i grundskolan, Studentlitteratur: Lund 1998, s. 7 f.
34 Ingvill M. Holden, Matematiken blir rolig, ur Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, Grevholm Barbro
• eleverna arbetar i par och grupper värdesätts, samtidigt som enskilt arbete också värderas och uppmuntras
• stor vikt läggs vid att skapa kreativt medskapande situationer i matematiska frågor och dess lösningar genom diskussioner
Holden menar att fröken Flink hade långsiktliga mål med att ”[…] å ena sidan experimenterande och utforskande arbetssätt och å andra sidan träning av nödvändiga färdigheter.” 35 Enligt Holden är fröken Flink av den uppfattningen att mycket hos eleverna inom matematiken måste automatiseras men först efter att de förstått hur och varför de gör på ett visst sätt för att uppnå rätt svar. Med detta sätt att arbeta på menar Holden att fröken Flink kombinerar den traditionellt empiriska matematikundervisning som syftar till att elever ska komma fram till rätta svar. Men att hon gör det på sitt eget sätt genom att införa som mål att eleverna ska finna motivation och förståelse inom matematiken som inte endast ger tillfredställelse i rätta svar. Snarare en helhetssyn på matematiken som ett stimulerande ämne i sig, enligt Holden. 36
Holden för fram att vissa forskare sätter likhetstecken mellan inre motivation och att ha roligt. Han menar att om inre motivation finns hos eleverna försvinner det viktiga av yttre motivation, såsom olika belöningar osv. Det positiva för undervisningens del är att eleverna istället kan som Holden uttrycker det: lära för livet.37 Holden fortsätter med att ta upp, att under fröken Flinks lektioner var det roligt för eleverna, vilket därmed gjorde att dessa tyckte om ämnet överlag. Efter hand blev de också medvetna om det viktiga med att behärska och förstå sitt ämne, något de gav uttryck för på fröken Flinks lektioner, enligt Holden. 38
Holden ställer detta mot en annan sorts förhållning för inlärningen. Han skiljer mellan den instrumentala inlärningen och den sociala inlärningen. I det första fallet, vid den instrumentala inlärning, utmärks detta av en personlig logik hos eleven att demonstrera sina kunskaper. I syfte för att därmed lyckas få bra betyg för att framför allt kunna skapa sig en bra framtid som goda betyg kan innebära. Med en sådan instrumentell inlärning är det en inlärning utan inriktning på det ämnesmässiga innehållet för matematik som begrepp, annat än som ett medel att uppnå personliga fördelar genom. Den sociala inlärningen utmärks enligt Holden istället av att eleven har insikt och formas till att se på kunskaper inom matematiken som bra och nyttiga inför framtiden. Något som Holden menar måste följas av en social
35 Holden, s. 162. 36 Holden, s. 162. 37 Holden, s. 165. 38 Holden, s. 166.
situation där eleven har roligt och fascineras av matematikens spännande värld. Holden ger med sitt bidrag till forskningen en syn på matematiken som den idealiska för inlärning och förståelse när instrumental och social inlärning inom matematikundervisningen sammanstrålar.39
Fröken Flinks lektioner, är i min mening, ett gott exempel på vad Skemp skulle kalla en relationell matematik som också förankras i den instrumentella genom det roliga momentet inom fröken Flinks undervisning.
2.5 Matematik för vuxenlivet
Tine Wedege i ”Mathematics- that’s what I can’t do” - Peoples affective and social
relationship with mathematics, tar upp viktiga skillnader mellan informell matematik i folkets
vardagliga liv och skolmatematik i formell akademisk utbildning. Wedege menar att skillnaderna mellan dessa båda begrepp är en av anledningar till varför vuxna kan ha problem med i vardagslivet när de medvetet ska använda sig av matematiken inom t.ex. sitt yrkesliv.40
Ämnet är relevant även inom detta arbete eftersom vårt vardagliga liv är omgiven av matematik också utanför skolvärlden. Vår sociala och yrkesmässiga relation med matematiken är därför en betydande del av vårt liv och våra liv genomsyras dagligen av matematik i stort och i smått. Wedeges forskning belyser det viktiga att ge alla den rättvisa chansen att få lära känna matematiken som det naturliga inslag det är.
Enligt Wedege är vuxna i hög grad av den uppfattningen att de har dåliga kunskaper i matematik, trots att de ofta har mer kontakt med matematik än vad de själva är medvetna om inom sitt yrkesliv och sociala liv. Wedege tar exemplet med hantverkare, de informellt skolade, som istället använder sig av en närmast praktiskt inriktad matematik, till skillnad från ingenjörers teorietiska matematik och formella skolning.41 En skillnad i synsättet på matematik, mer än till slutresultatet när det gäller vad matematiken skall användas till och hur detta ter sig i realiteten av kunnande. Wedege formulerar anledningen till att informellt skolade vuxna tycks närmast vara omedvetna om sin matematiska kontakt inom t.ex.
39 Holden, s. 166 f.
40 Wedege Tine, (2002), ”Mathematics – that’s what I can’t do” – Peoples affective and social relationship with
mathematics. Literacy and Numeracy Studies: An International Journal of Education and Training of Adults. Malmö Högskola Lärarutbildningen NMS Kompendium till kursen Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005, s. 63 f.
yrkeslivet. En anledning till detta är enligt Wedege att matematik som inte är skriven i begrepp som ser ut som formell matematik inte igenkänns som matematik.42 Att vuxna har svårt för att se matematik som annat än i siffror eller geometriska figurer. En bättre insikt för vuxna människor i deras vardag med matematiken är istället att välkomna, enligt Wedege, i deras vardagshantering av matematiska siffror.
Wedege visar med sin uppsats att människor skulle tjäna personligen på att bli medvetna om sina många gånger större möjligheter i det dagliga livet och inse att de oftare rör sig inom matematikens sfärer på olika sätt än vad de har den egna föreställningen om. Enligt Wedege kan en insikt om den egna matematiska färdigheten möjligen också betyda personliga fördelar av bättre självkänsla. Eftersom matematiken är ämne som för status med sig av att vara svårt och att vara de intelligentas ämnesområde. En allmänt rotad föreställning om matematik som något svårt och som bekräftas av flertalet forskare inom undersökningen. 43
2.6 Informell och formell kunskap
Wistedt ger med sitt forskningsinlägg ytterliggare intressanta perspektiv för det som i hennes forskningssammanhang beskrivs som ”[…] det bristande sambandet mellan en informell kompetens och den som efterfrågas och används i formella utbildningssammanhang”. 44
Något som tidigare Wedeges forskning har varit inne på under föregående rubrik med fokus på vuxna och synen på matematik inom vardagen.
Wistedt menar att begrepp som bildats spontant inte har stöd av forskningen om att det skulle ske en förändring eller förädling i utbildningen som skulle gynna förståelsen för matematik. 45 Därför menar Wistedt att elever heller inte överger sina vardagsbegrepp när de möter något nytt inom en helt ny begreppsvärld. Istället försöker eleven överbrygga och kompensera utifrån ett personligt förhållningssätt som bygger på vad de har med sig av personliga och kognitiva förutsättningar. 46 Wistedt ger också uttryck för att det t.o.m. kan vara på det sättet att elever kan missa matematiska poäng om de anknyter till metoder och
42 Wedege, s. 67. 43 Wedege, s. 72. f.
Jan Unenge, Anita Sandahl och Jan Wyndhamn, Lära matematik. Studentlitteratur: Lund 1994, s. 22 f.
44Inger Wistedt, (1993), Elevers svårigheter att formulera matematiska problem. Nordisk Matematikdidaktik, 1
(1), ur Lärarutbildningen NMS Malmö Högskola, Kompendium till kursen Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005, s. 40.
45 Wistedt, s. 41. 46 Wistedt, s. 43
tolkningar som mer är inriktad på vardagssituationer, som Wistedt kallar det, än på ett matematiskt fokus. Eftersom det inte är säkert att eleverna förstår att skilja mellan de olika perspektiv som konkret och abstrakt matematik kan vara delar av inom undervisningen.47 Wistedt avslutar sitt inlägg i forskningsdebatten med att peka på forskning som menar att det finns belägg för att det är viktigt att eleven har sina egna symboler och uttryck när de försöker förstå kontexten för matematiken. 48
Wistedt forskning kring informell och formell kunskap är till vissa delar motstridig, eftersom hon för fram att forskningen visar att spontana begrepp och tankemodeller som med framgång använts i ett tillämpningssammanhang inte kan genereraliseras och föras över till nya kontexter. Vanligt förekommande, enligt Wistedts resonemang, stannar kunskaperna inom den ursprungliga undervisningssituationen, samtidigt visar hon att det finns forskning som visar det motsatta. Wistedt uttrycker sina tvivel i att informell kunskap, det som hon benämner som inom den spontana vardagssituationen, att detta skulle kunna leda till en formell kunskap inom matematiken. Hon visar därmed att informell och formell kunskap kan diskuteras utifrån det empiriska synsättet på kunskap och inlärning. 49 Men visar ändå att
området är komplext och att det råder delade meningar bland forskare om vad som är bäst för eleven.
3. Vad säger Skolverket?
Det som ska ligga till grund för lusten att lära, enligt Skolverket och som utgår från läroplaner och kursplaner, som i sin tur stödjer sig på modern forskning på området, ska utgå från tre plan och samspela för ett gott slutresultat sett från elevernas synvinkel. Dessa är:50
1) Socialkonstruktivistisk teori (engagemang, aktivt deltagande, intensitet) 2) Metakognitiv teori (tankefunktioner med vars hjälp vi hanterar informationen) 3) Symbolisk interaktionism (de lärandes samspel med hjälp av symbolspråk)
47 Wistedt, s. 42. 48 Wistedt, s. 51 f. 49 Wistedt, s. 52.
50 Skolverkets rapport, Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002. Lusten att lära - med fokus på matematik,
Av skolverkets sammanställning kan man utläsa att skolan har långt kvar innan de förmår att verkligen höja matematikens status bland flertalet elever. Undersökningen varierar till viss del, eftersom det alltid kommer att finnas elever som är mer intresserad och har lättare för att lära – inte endast matematik utan överhuvudtaget, men det är inte dessa som egentligen är problemet, även om man måste stimulera dessa för att i slutändan inte tappa det intresse som finns. 51Problemet inför framtiden, mot bakgrund av rapporten, är istället att fånga upp och intressera de elever som inte tycker att matematik är deras intresseområde. Hur gör man det? Det finns inget enkelt svar på den frågan. Vad Skolverket istället gör med sin rapport är att bekräfta bilden av det finns uppenbarligen ett behov att snarast utreda på vilket sätt man kan gå vidare och förbättra matematikundervisningen. Det är varje blivande lärares ansvar att försöka ge sitt lilla men viktiga bidrag till att matematiken blir så bra som möjligt för alla elever, genom att försöka hitta de vägar som når fram till eleven. 52 Rapporten visar att det
fram till årskurs fem finns en större glädje och lust att räkna än vad som senare är fallet med äldre elever. För elever i högstadiet har matematik blivit svårt och ofta ett abstrakt ämne som inte uppmuntrar till mer än att just klara kraven att producera godkända resultat hos läraren.53
Intressant i sammanhanget är att Skolverket pekar på att de tidiga skolbarnens matematikundervisning, som upp till årskurs fem är ”[…] en medveten strategi hos lärarna i de tidiga skolåren att stödja ett lustfullt lärande”. 54 Rapporten beskriver eleverna inom
årskurs fem som positiva till matematik och som de själva uttrycker det på: ”[…] nästan allt är kul”!
Vad Skolverket sätter fokus på är det viktiga i att finna vägar till elevers förståelse, eftersom detta är det centrala för en motivation inför lärandet. 55 Skolverket menar att det är viktigt att inte låta elevers lust gå förlorad genom att hitta strategier som uppmuntrar till meningsfullhet och därmed stimulerar eleven. Skolverket belyser att matematiken behöver ha något med livet utanför skolan att göra och anknyter därmed till Wedeges forskningsinlägg enligt tidigare, i att matematik är viktigt ämne också senare inom vuxenlivet då eleven lämnat skolan.56 Rapporten ger sin syn på att matematiken inom den mer informella kunskapsförmedlingen behöver växla mellan det abstrakta och det konkreta inom utbildningen.57 Skolverket belyser även det viktiga i att beakta att språk och matematik hör
51
Skolverkets rapport, s. 9.
52 Skolverkets rapport, s. 17.
53 Skolverkets rapport, s. 12, 14 och 21. 54 Skolverkets rapport, s. 12.
55 Skolverkets rapport, s. 21. 56 Skolverkets rapport, s. 21. 57 Skolverkets rapport, s. 22.
nära samman. Att därför uppmuntra elever till gemensamma diskussioner där de kan lära av varandras resonemang.58Avslutningsvis tar rapporten upp andra länders didaktik för matematikundervisningen där särskilt Japan uppmärksammas. Skillnaden i matematik som undervisningsämne och hur det didaktiskt utformas är stora i förhållande till hur ämnet och dess bakomliggande didaktik behandlas i Sverige i en jämförelse av de båda. I Sverige visar rapporten att elever ofta arbetar individuellt och att läraren går runt och hjälper eleverna. I snitt har varje svensk elev ca två minuter av sin lärares individuella hjälp under lektionstid och att eleven kan vara utelämnad upp till 95 procent av lektionstiden.59 I Japan får eleverna tilldelat sig matematiska problem som dessa i grupper försöker lösa. Lektionerna baseras på lösningen av de tilldelade problemen och inte på läromedlen. Eleverna arbetar tillsammans i grupper och hjälps åt. Vid redovisningen diskuterar klassen gemensamt hur och på vilket sätt man kommit fram till sina svar.60 I Japan sitter lärarna tillsammans och studerar hur nya
matematiklektioner ska se ut och hur didaktiken ska läggas upp för att den ultimata lektionen ska erbjudas eleverna. Något som kan ta åratal innan den slutliga utformningen presenteras också för andra lärare. En modell som är långt ifrån den svenska – ännu. Enligt rapporten utgår den svenska modellen istället ifrån läromedlet och lärarens förmåga att förklara, förmedla matematikkunskaper och dess förståelse till sina elever. 61
4. Urval och Genomförandet
De elever som ingår i mina observationer är 16 till antalet, 9 flickor och 7 pojkar i årskurs 7. Jag ska nedan redogöra för min undersökning och hur urvalet och genomförandet gick till praktiskt genom att även förankra detta i min modell som utgår ifrån de tre led som jag redogjort för under Metod (Rådande situationen RS, Arrangerad situation AS och Imaginär situation IS).
Innan jag påbörjade min undersökning och mina observationer inom den klass jag ville studera hade jag två möten med min handledare, där jag förhörde mig om den klass som jag skulle ha hand om. Handledaren var klassföreståndare för klassen och kände därför bäst till vilka förkunskaper som kunde tänkas finnas inom klassen som grupp såväl som på individuell
58 Skolverkets rapport, s. 32. 59 Skolverkets rapport, s. 14. 60 Skolverkets rapport, s. 38. 61 Skolverkets rapport, s. 14
basis. Mötena var viktiga för mig eftersom jag ville försäkra mig om tidigare förkunskaper (RS). Enligt min handledare hade klassen arbetat inom det område som också jag skulle undervisa i. Handledaren var av den åsikten att de hade vissa kunskaper, men i vilken grad var han osäker.
Den första lektionen hade jag genomgång framme på tavlan där jag förklarade hur man räknar ut trianglars, kvadraters, rektanglars och cirklars area respektive omkrets. I dessa inledande moment tänkte jag mig att eleverna skulle få förklarat för sig de olika sätt att beräkna olika geometriska figurer på, innan jag delade ut uppgiften som skulle lösas i par och som handlade om geometrisk uträkning. Jag ville också att lektionerna skulle leda till givande gemensamma diskussioner inom den geometriska uppgiften. En uppgift som jag valt för att jag ville att den skulle vara konkret matematik, i förhoppning att eleverna skulle finna intresse i denna. 62 Min förhoppning visade sig ha en god verklighetsförankring eftersom eleverna
ställde många frågor, men kom också med intressanta inlägg som allmänt medverkade till en god stämning inom klassen.
Uppgiften gick ut på att på en villatomt med given totalarea, skulle elevparen rita med givna mått ett rektangulärt hus, ett rektangulärt garage, en rund pool, en triangulär lekstuga och en kvadratisk uteplats. Inom denna tomt skulle paren först rita de geometriska figurerna i skala 1:100 och sedan räkna ut desamma. Till sist skulle elever beräkna storleken av kvarvarande gräsmatta, dvs. de skulle minska den givna totalarea med sammanlagda arean av de geometriska figurerna.
Efter de inledande lektionerna började klassen att ta sig an uppgiften två och två. Till sin hjälp hade eleverna ritpapper i A3-format, linjal, passare och miniräknare. Uppgiften skulle lämnas in till mig för rättning då denna var genomförd, vilket också skedde. Denna del i undersökningen kan sättas i relation med den andra delen som undersökningen metodiskt vilar på (AS). Eftersom jag lägger upp förutsättningar för inlärning och förståelse tillsammans med medaktiva elever inom undersökningen. I denna fas av undervisningen är det även möjligt att ta med den tredje delen (IS) då jag har vissa intentioner med min undervisning, som jag vill att den ska leda till av resultat för klassen i form av bättre kunskaper inom begreppsförståelse inom det geometriska område vi behandlade. Efter rättningen fann jag att alla grupper utom
62 Med konkret bakgrund menas att det skulle produceras en ritning där klassen skulle, bl.a. räkna ut en bassängs
area utifrån en cirkels form för denna bassäng. Därmed var uppgiften inte i detta avseende abstract utan hade en realistiskt/konkret grund för det som skulle räknas ut.
en hade fel. Jag fann också att felen berodde på att eleverna blandade ihop cirkelns area med cirkelns omkrets. En av grupperna hade dessutom andra fel i uträkningen som inte hade med cirkeln att göra. Sammantaget betydde det att 6 grupper hade fel som berodde på sammanblandning av cirkelns area och dess omkrets. En grupp hade fel vid uträkning av kvadrater och endast en grupp hade allt rätt. Det framstod tydligt för mig att jag måste försöka hitta något som skulle hjälpa eleverna att inte blanda ihop begreppen.
Vid en ny genomgång förklarade jag på nytt cirkelns area respektive omkrets som hade varit det svåraste för hela klassen, men denna gång med ett tillägg genom att särskilt ”öronmärka” hur man räknar cirkelns omkrets genom att ta hjälp av grannlandet Danmark på ett för undervisningen lättsamt men konstruktivt sätt, till nytta för elev och inlärning som jag förväntade mig. Först skrev jag skrev upp formeln för cirkelns omkrets så som denna traditionellt skrivs ut: (2πr). Därefter skrev jag samma formel, men på ett annat sätt och genom att skriva den så som man läser formeln i bokstäver, vilket ger associationen av två flickor läst på danska som blir: 2 piger [eller 2 pi’er på danska]. Eleverna blev påtagligt roade av detta nya sett att betrakta matematikens begrepp på och flertalet uttalade spontant att de nu kunde skilja de båda begreppen åt lättare. Något som jag ämnade testa dem enskilt på inför kommande lektion och där eleverna skulle beräkna area och omkrets av fem olika cirklar (AS + IS). Även inom denna fas utmärktes lektionerna av att vi gemensamt diskuterade vad de hade gjort för fel och varför det nu framstod som lättare för dem när de fick ett stöd för minnet att kunna skilja på begrepp som låg varandra nära till det yttre.
Eleverna fick således ett test till, eftersom jag med detta ville undersöka om och i vilken grad som klassen tillägnat sig en bättre förtrogenhet med att skilja på hur man räknar ut cirkelns omkrets respektive area. Detta test skulle utföras individuellt för att jag skulle se var och ens enskilda prestationer. Det visades sig att vad som skett efter den lekfulla information var att alla utom en elev hade rätt på hur man räknar ut cirkelns area respektive omkrets. Detta betydde att siffrorna i stort sett var det omvända mot tidigare och att 13 elever hade klarat uppgiften och endast en misslyckats denna gång. En jämförelse med tidigare då endast en grupp hade klarat uppgiften innan momentet med de ”2 piger” hade lagts till och sex grupper med två elever i varje grupp inte klarat uppgiften.
Min undersökning avslutades med att jag hade en muntlig utvärdering av vad klassen tyckte om mina lektioner. Eleverna uttryckte att de tyckt om dem på så vis att de lärt sig på ett sätt som gjorde att de bättre förstod de olika begrepp för cirkelns area respektive omkrets. Att det med det lekfulla hade blivit lättare att kunna skilja det nära av likhet men olika i betydelse
mellan dessa båda matematiska begreppen som behövs för att räkna ut cirkelns area respektive cirkelns omkrets. Något som tidigare hade visat sig vara svårt för dem.
5. Slutsatsen
Det intressanta att ta med vid en slutsats är för det första att jag gjorde klart för mig hur jag praktiskt skulle gå tillväga inför min undervisning. Jag förankrade undervisningen enligt en metod som jag delat in i olika delar enligt ett visst syfte.
Först tog jag reda på var klassen stod kunskapsmässigt och därefter inledde jag min undervisning. Klassen gemensamt var med och diskuterade och hade synpunkter under den inledande delen. Nästa moment var att eleverna parvis skulle lösa uppgiften. Uppgiften lämnades in till mig för rättning och utvärdering. Det nedslående resultatet resulterade i ny gemensam diskussion med mig framme vid tavlan. I det läget introducerade jag begreppet: 2 piger.
Vid nästa test som eleverna utförde individuellt hade situationen klart förbättrats.
Vad som nu blir intressant är huruvida < 2 piger > som ett informellt begrepp, medverkade
positivt för inlärningen och hur begreppet förhöll sig till det lekfullt, informella som en hjälp till bättre instrumentell- och relationell förståelse?
Enligt min analys innebar det lekfulla i undervisningssituationen inom de begrepp som eleverna skulle lösa, att eleverna kunde uppvisa högre grad av rätt svar. Detta pekar på att klassen fått en viss instrumentell förståelse för hur man räknar ut area respektive omkrets för cirkeln. Forskningen visar också att instrumentell förståelse är lättare att förstå.
Däremot ställer jag mig tveksam till att jag i någon högre grad medverkat till en relationell förståelse, annat än i just detta specifika fall. Det är mer troligt att eleverna skulle behöva mer tid och fler övningar också genom att anta andra perspektiv kring sina uträkningar. Ett resonemang som stöds av forskningen. Relationell förståelse är att se sambanden i matematiken, att förstå inte endast hur man utför uträkningen utan även varför. Vad jag gjorde med 2 piger i sammanhanget var att hjälpa dem att skilja begreppen åt, så att eleverna kunde räkna ut svaren rätt inom respektive. Vad jag inte gjorde genom det informella begreppet var att ge eleverna ett meningssammanhang utöver just den specifika situationen. Jag menar att för att kunna medverka för en djupare och bredare relationell förståelse måste
lektionerna planeras väl och mer långsiktligt än vad som var möjligt för mig under denna korta praktik. Eftersom forskning visar att det visserligen är lättare att komma ihåg den relationella matematiken men kräver längre tid än vad det gör inom den instrumentella matematiken.
Därför är jag av den slutsatsen att jag medverkat positivt för inlärningen, genom att ta med det lekfullt informella. Men att förståelsen måste stanna till endast den instrumentella inom undersökningen.
6. Sammanfattande Slutdiskussion
Forskningen visar att det finns en mängd faktorer att beakta och ta hänsyn till didaktiskt sett inom matematikundervisningen. Det gemensamma för den forskning som jag har tagit del av har varit att den i samtliga fall talat om det viktiga att nå elevernas eget sätt att förstå matematik på. De forskare som belyst detta är bl.a. Björkqvist, som talar om att våga gå utanför den formella matematiken och söka de ”rätta” didaktiska vägarna fram till eleverna och menar därmed i enlighet med också Niss, att läraren måste finna den ändamålsaktiga grunden fram till eleven inom undervisningen. Pehkonen menar också att matematiken som ämne måste breddas eftersom eleverna har osynliga linser i sitt möte med matematiken, något som också Bergsten sätter fokus på. Wistedt är den forskare som delvis har varit av en annan mening och uttalat en viss skepticism i det att hon inte självklart ansluter sig till denna forskning. Problemet med Wistedt resonemang kring informell och formell kunskap, är att hon resonerar enligt ett empiriskt förhållningssätt på kunskap. Något som enligt Stendrup är något annat om man istället vänder sig i riktning för den konstruktivistiska didaktiken inom skolan och matematikundervisningen. Det sistnämna som syn på vad inlärning, förståelse och kunskaper är för något också inom min studie.
Enligt Wedege finns ofta betydande skillnader mellan vuxnas syn på matematiken utifall om de är formellt skolade eller om det saknas en akademisk förankring inom matematiken. Föreställningar som Wedege visar bland vuxna och som jag inom detta arbete tolkar som rimligt kan ha rotats långt tidigare, då den vuxne var barn och gick i skola och där blev fast i den empiriska syn på vad matematik är för något. Wedeges perspektiv är intressant att ta med, eftersom det visar att vi är omgivna av matematik även som vuxna och då kanske mer än någonsin. Men att flertalet går miste om den egna matematiska färdigheten och möjligen
också vad detta skulle kunna ha inneburit av personliga vinster som t.ex. bättre självkänsla. Wedege påpekar inom sin artikel, att det finns en status och en stämpel på matematik som ett svårt ämne. Mitt svar på detta är att jag försökt föra in det lekfulla inom undervisningen. Det lekfulla är dessutom enligt min tes viktigt för att skapa en trivsam miljö och som tonar ner det svåra kring ämnet matematik. Således försökte jag med min undervisning skapa associationer som eleverna lätt kunde relatera till och som fick dem att koppla ihop matematiska begrepp utanför dess mer konventionella matematiska sfär.
Skemp visar att det tar längre tid för att uppnå en relationell förståelse än vad som är fallet med den instrumentella. Eftersom jag inte hade lång tid på mig, är det rimligt att anta att jag inte fullt ut kunnat etablera en relationell förståelse. För att jag skulle kunna vara säker att jag medverkat för en relationell förståelse hade jag behövt förankra min undervisning i fler perspektiv som både hade tagit sin utgångspunkt i det abstrakta som i det konkreta och helst också utanför den vanliga klassrumsundervisningen. För att därmed visa eleverna att matematik finns i hus, skyltar osv. Att matematik inte endast är siffror på ett papper som kräver sitt rätta svar. Utan att matematik också är ett sätt att förstå olika sammanhang och kan ses utifrån flera, för att inte säga många perspektiv. För en sådan relationell förståelse hos mina elever hade jag inte tid till inom denna undersökning och måste därför anta att det fanns mer att försöka medverka till någon annan gång, än vad som nu troligen blev resultatet. Detta är min slutsats för det lekfulla inslaget mot bakgrund av den instrumentella och relationella förståelsen.
Min forskningsmetod hör till den kritiska forskningen, som vill belysa att något kan förändras till det bättre, men som även förklarar vad som saknas för att något ska kunna utvecklas till det bättre. Vad jag därmed vill försöka klargöra är att jag själv inte tror att matematik förmedlas på ett sätt inom den svenska skolan av idag, som inte kan bli bättre. Min uppfattning är istället att svensk matematikundervisning hade tjänat i fördelar genom att pröva den ”japanska modellen”. Med detta menar jag att det finns klara fördelar att våga gå utanför läromedlens individinriktade didaktik och istället rikta in sig på en mer grupprelaterad matematikundervisning som bygger sin matematiska utveckling i avseende av förståelse genom elevers samverkan. Elever vilka alla ingår i en större process tillsammans med lärare inom denna kreativt upptäckande undervisning som Skolverkets rapport speglar, enligt min mening. En undervisning som bör syfta till att väcka upp matematikundervisningen ur det abstrakta och ur det tråkiga. Att elever inte ska behöva gå igenom en utveckling från att ha tyckt att matematik är spännande och roligt, till att känna olust och att matematik blivit svårt efter femte klass inom den svenska skolan av idag.
Min egen undervisning, inom undersökning, har tydliga drag av både fröken Flinks lektioner och hur Skolverket presenterar japanska matematiklektioner på. Jag är av den meningen att det är viktigt, precis som forskningen visar på, att det ska vara en variation i undervisningen. Att elever ska arbeta i grupp, men också kunna räkna på egen hand, att matematiken måste blir roligare så som sker inom fröken Flinks lektioner. Både fröken Flink och den japanska modellen har sin viktiga grund i att elever ska få tillfälle att diskutera och därmed hjälpa varandra. Något som också jag ser som viktigt och har haft med inom mina lektioner. Det intressanta skulle kunna vara inför en framtida studie, att just pröva på vilket
sätt matematiken skulle gynnas i riktning för en relationell förståelse, om undervisningen
skulle gå ifrån den nuvarande svenska modellen med en läromedelsbaserad individinriktad undervisning, till förmån för den, som jag genomgående har kallat den – den japanska modellen – med sin problem- och gruppbaserade matematikundervisning. Fast med frökens Flinks förmåga att kunna stimulera, motivera och medverka positivt för inlärningen genom
Käll- och litteraturförteckning
Källor:
Föreläsning av Tine Wedege 2006-01-24.
Skolverkets rapport, Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002. Lusten att lära - med fokus
på matematik, Skolverket: Stockholm 2003.
Litteratur:
Bergsten Christer, (2004), Exploiting the Gap between Intuitive and Formal Knowledge in
Mathematics. To be published in Niss, M (ed). Proceedings of the 10th International congress on Mathematics Education (ICME-10). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ur
Lärarubildningen NMS Kompendium till kursen Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005.
Björkqvist Ole, Matematisk problemlösning, ur Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, Grevholm Barbro (red), Studentlitteratur: Lund 2001.
Emanuelsson G, B Johansson och R Ryding, Geometri och statistik, Studentlitteratur: Lund 1992.
Holden Ingvill, Matematiken blir rolig, ur Matematikdidaktik – Ett nordiskt perspektiv, Grevholm, Barbro (red), Studentlitteratur: Lund 2001
Johansson Bo, Per Olof Svedner, Examensarbetet i lärarutbildningen, X-O Graf Tryckeri AB: Uppsala 2004.
Patel Runa och Bo Davidsson, Forskningsmetodikens grunder, Studentlitteratur: Lund 2003. Magne Olof, Att lyckas med matematik i grundskolan, Studentlitteratur: Lund 1998.
Niss Mogens, Den matematikdidaktiska forskningens karaktär och status, ur
Matematikdidaktik – Ett nordiskt perspektiv, Grevholm, Barbro (red), Studentlitteratur: Lund
2001
Pehkonen Erkki, Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i
matematikundervisningen, ur Matematikdidaktik – Ett nordiskt perspektiv, Grevholm, Barbro (red), Studentlitteratur: Lund 2001.
Stendrup Conny, Undervisningen och tanke. En ämnesdidaktisk bok om språk och
Skemp Richard R., (1976), Relation and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching,
Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics, Malmö Högskola Lärarutbildningen
NMS Kompendium till kursen Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005. Skovsmose Ole och Marcelo Borba, Research Methodology and Critical Mathematics
Education, Centre for Research in Learning Mathematics: Denmark, Roskilde 2000.
Ulin Bengt, Engagerande matematik genom spänning, fantasi och skönhet, Bengt Ulin och Ekelunds Förlag: Solna 1996.
Unenge Jan , Anita Sandahl och Jan Wyndhamn, Lära matematik. Studentlitteratur: Lund 1994.
Wedege Tine, (2002),”Mathematics – that´s what I can´t do” – Peoples affective and social
relationship with mathematics. Literacy and Numeracy Studies: An International Journal of Education and Training of Adults, ur Lärarubildningen NMS Malmö Högsskola,
Kompendium till kursen Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005. Wistedt Inger, (1993), Elevers svårigheter att formulera matematiska problem. Nordisk
Matematikkdidaktikk, 1(1), ur ur Lärarubildningen NMS Malmö Högsskola, Kompendium till
kursen Matematikdidaktik, Tine Wedege (red), Höstterminen 2005.
Wistedt Inger, Rum för samtal – om dialogen som en möjlighet att demokratisera undervisningen, ur Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, Barbro Grevholm (red), Studentlitteratur: Lund 2001.
