Linköpings)universitet)|)Institutionen)för)ekonomisk)och)industriell)utveckling) Examensarbete,)30)hp)|)Nationalekonomi) Vårterminen)2016)|)LIUFIEIFFILFAFF16/02366FFSE) ) ) ) ) ) ) )
BlackFLittermans)allokeringsmodell)
–)En)empirisk)studie)av)prognosvariansen)och)dess)betydelse)för)
portföljprestationen)
)The$Black*Litterman$Allocation$Model$
–
An$empirical$study$of$the$views$variance$and$its$importance$to$
portfolio$performance$
$
$
Victor'Andregård'') Christopher'Pezoa') ) ) ) Handledare:)Bo)Sjö)) Examinator:)Göran)Hägg) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Linköpings)universitet) SEF581)83)Linköping,)Sweden) 013F28)10)00,)www.liu.se) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Titel& BlackFLittermans)allokeringsmodell) ) Engelsk&titel& BlackFLitterman)allocation)model) ) Författare& Victor)Andregård)(vican338@student.liu.se)) Christopher)Pezoa)(chrpe158@student.liu.se)) ) Handledare& Bo)Sjö) ) Examinator& Göran)Hägg) ) Publikationstyp& Masteruppsats)och)examensarbete)i)Nationalekonomi)) One)Year)Master)–)Finansiell)ekonomi)&) )Civilekonomprogrammet) Avancerad)nivå,)30)hp) Vårterminen)2016) ISRNFnummer:))LIUFIEIFFILFAFF16/02366FFSE) ) Linköpings)universitet) Institutionen)för)ekonomisk)och)industriell)utveckling)(IEI)) www.liu.se)
SAMMANFATTNING
Black-Litterman är en allokeringsmodell som gör det möjligt att förena historiska avkastningar med personliga övertygelser om framtida avkastningar från en enskild
investerare. Denna studie jämför två kvantitativa metoder i framtagande av felskattningen för framtida prognoser i syfte att kunna minska Black-Littermans subjektivitet. Tidigare litteratur har testat dessa metoder enskilt men aldrig ställt dem mot varandra. De metoder som
undersöks använder varianser proportionella mot varianser i marknadsjämvikten, samt varianser från residualer i en faktormodel. Resultatet visar att tillämpandet av varianser
framtagna av en GARCH (1,1)-modell är den metod som genererar högst avkastning, samt ger upphov till en fördelning av tillgångar som bidrar till lägst marknadskänslighet. Utifrån denna studie rekommenderas därmed tillämpningen av varianser från residualer i en faktormodel som tillägg för att minska modellens godtycklighet.
ABSTRACT
The Black-Litterman allocation model unifies historical returns with investor personal views of future returns. The study compares two quantitative methods for the estimation of
uncertainty in future views with the goal to mitigate the subjectivity of the Black-Litterman model. Previous literature have investigated and tested these methods independently but a comparison has never been made between them. The two methods consist of using variances in proportion to the variances of market equilibrium and operating the residual variance of a factor model. Results show that the usage of variances estimated by a GARCH (1,1) will generate the highest average returns with an allocation distribution that contributes to least market sensitivity. Furthermore, the study recommends the implementation of variances from residuals with the addition of a factor model to diminish the subjectivity of the
FÖRORD
Vi vill först och främst rikta ett stort tack till vår handledare Bo Sjö som under vår process väglett oss och givit oss goda råd. Vi vill även tacka alla som opponerat på vår uppsats under arbetets gång och bidragit till att förbättra vårt arbete.
Linköping den 1 juni 2016
Victor Andregård Christopher Pezoa
! !
Innehållsförteckning
1! INLEDNING(...(7! 1.1! BAKGRUND!...!7! 1.2! PROBLEMFORMULERING!...!8! 1.3! SYFTE!...!9! 1.4! FRÅGESTÄLLNING!...!9! 1.5! METOD!...!9! 1.6! AVGRÄNSNINGAR!...!9! 1.7! ETIK!...!10! 1.8! DISPOSITION!...!10! 2! TEORI(...(11! 2.1! TIDIGARE!FORSKNING!...!11! 2.2! BAYESIANSK!DISTRIBUTION!...!12! 2.3! BLACKALITTERMAN!...!13! A Priori-Distributionen8...814! 2.3.1! A8PosterioriADistributionen8...816! 2.3.2! τ8Aparametern8...817!2.4! PROGNOSTISERING!ELLER!HISTORIK!A!EN!PROXY!FÖR!FRAMTIDEN!...!18!
3! METOD(...(19! 3.1! PROGNOSTISERING!...!19! 3.1.1! GARCH8(1,1)8...819! 3.2! SPECIFICERING!AV!VARIANSMATRISEN!FÖR!PROGNOS!...!20! 3.2.1! Varians8proportionellt8mot8variansen8i8marknadsjämvikten8...820! 3.2.2! Residualvariansen8från8en8faktormodell8...821! 3.3! UTFÖRANDE!...!21! 3.4! METODKRITIK!...!22! 4! DATA(...(23! 5! ANALYS(...(25!
5.1! MARKOWITZ!MEAN!VARIANCEAOPTIMERING!...!25!
5.2! JÄMFÖRELSE!BLACKALITTERMAN!OCH!MARKOWITZ!...!26!
5.2.1! Allokering8...828! 5.2.2! Portföljprestation8...830! 5.3! JÄMFÖRELSE!VID!FÖRÄNDRING!AV!Τ!...!32! 5.3.1! Jämförelse8BALBO8...833! 5.3.2! Jämförelse8BALM8...834! 5.3.3! Känslighetsanalys8...835! 6! SLUTSATS(...(37! 7! FÖRSLAG(TILL(VIDARE(FORSKNING(...(38! REFERENSER(...(39! APPENDIX(1(–(FÖRKLARING(AV(VARIABLER(...(42! APPENDIX(2(–(HÄRLEDNING(BLACKELITTERMAN(...(43! APPENDIX(3(–(KOMPLETTERANDE(DIAGRAM(...(46! APPENDIX(4(–(KOMPLETTERANDE(TABELLER(...(47! APPENDIX(5(–(REDOVISNING(AV(TESTER(...(49!
1 INLEDNING'
1.1 Bakgrund''Markowitz formulerade grunden i modern portföljvalsteori genom att kombinera två grundläggande mål, maximera avkastningen och minimera risken. Optimeringen kombinerar tillgångar i syfte att maximera kvoten mellan avkastning och risk (Markowitz, 1952). Den moderna portföljvalsteorin har ett starkt grepp om den akademiska världen och i flera generationer har Mean Variance använts som ett centralt begrepp inom modern investeringsteori, dock har dess inverkan på den finansiella sektorn varit relativt liten (Drobetz, 2001).
I början på 90-talet presenterades en ny allokeringsmodell av Fischer Black och Robert Litterman. Modellen har sedan dess vunnit bred användning inom den finansiella världen då den minimerar en del av den problematik som förekommer i den traditionella optimeringsmodellen från Markowitz (He & Litterman, 1999; Black & Litterman, 1992).
Svårigheterna med Markowitz optimeringsmodell är skattningen av parametrar relaterat till förväntad avkastning och individuella tillgångars varianser och kovarianser. Optimering av portföljen förutsätter att variablerna är de sanna värdena av avkastningen, men framtida avkastning är en stokastisk variabel och den verkliga avkastningen kommer därför skilja sig från de historiska. Markowitz-optimeringar kan ofta leda till extrema portföljvikter som leder till att få tillgångar får oproportionerligt stora positioner i portföljen (Chopra & Ziemba, 1993). Om syftet med optimeringen var att diversifiera blir åtgärden kontraproduktiv. Allokering av denna karaktär har sin grund i de hörnlösningar som kan uppstå när en tillgång antingen har en hög förväntad avkastning eller låg standardavvikelse.
Förvaltare i den finansiella världen har för vana att tänka i termer av portföljvikter. Ser en förvaltare att optimering ger extrema vikter som kommer i konflikt med deras omdöme, vill de undvika att implementera optimeringen. På grund av osäkerhet och utan något erkänt tillvägagångssätt har förvaltare dragit sig från att tillämpa förväntad avkastning från den egna framtidstron och istället använda historiska avkastningar. Orsaken beror på att osäkerheten i bedömningen av framtida avkastningar inte kan estimeras i beräkningarna. (Drobetz 2001)
För att minska dessa problem utvecklade Black-Litterman (1992) en metod som gör det möjligt att förena historisk jämviktsavkastning med personliga övertygelser från investeraren. Implementation av den nya modellen resulterade i att tillgångarnas vikter balanserades i högre grad än tidigare. På grund av den intuitiva portföljsammansättningen har modellen blivit allmänt accepterad och fortsatt utveckling och specifikationer har efterfrågats i litteraturen. (Black & Litterman, 1992)
1.2 Problemformulering00
Till skillnad från Markowitz portföljvalsmodell erbjuder Black-Litterman en möjlighet att kombinera historiska avkastningar med tron om hur framtida avkastningar kommer prestera. Likväl är den största kritiken mot Black-Littermans modell, att modellen är uppbyggd kring osäkra framtida skattningar. (Walters, 2013a). Prognoser eller åsikter om framtida
avkastningar är en subjektiv bedömning och det är därmed svårt att skatta säkerheten i en sådan beräkning. Prognoser kommer i sin tur ha stor betydelse för hur modellen viktar tillgångarna och även hur den presterar.
När Black och Litterman utvecklade modellen gavs dock ingen tydlig förklaring till hur dessa subjektiva bedömningar skulle tas fram, utan det lämnades för varje investerare att bedöma (Walters, 2014). Flera studier har gjorts som ämnat undersöka nya tillägg i modellen för att kunna förklara samt öka precisionen i de subjektiva parametrarna av modellen. Meucci (2010) samt Beach och Orlov (2007) är två forskare som undersökt två olika metoder att estimera osäkerheten i en framtida prognos genom att skatta kovariansmatrisen (!). Metoderna är två möjliga tillvägagångssätt att kunna kvantifiera Black-Littermans modell och på så vis minska dess godtycklighet och öka dess akademiska acceptans. Meuccis lösning är att återanvända historiska felskattningar hos framtida åsikter medan Beach och Orlov väljer att försöka prognostisera sina felskattningar.
Dessa två metoder har vad författarna erfar endast testats enskilt och aldrig ställts mot varandra. Studiens bidrag blir därmed att jämföra dessa två varianter att skapa en osäkerhetsmatris för prognosers felskattningar (!) och se hur ena metoden presterar i förhållande till den andra. Detta för att analysera vilken metod som förefaller vara det bästa tillägget för modellen i strävan att kvantifiera Black-Littermans allokeringsmodell.
1.3 Syfte00
Studien har som syfte att undersöka vilken av två möjliga metoder som bäst bidrar till kvantifiering av Black-Littermans subjektiva komponent, genom att analysera hur valet av metod för prognosvariansen (!) påverkar tillgångsfördelning samt prestation.
1.4 Frågeställning0''
Hur påverkas portföljens tillgångsfördelning av de två olika tekniker att ta fram prognosvariansen (!)!?
Hur presterar dessa två varianter av Black-Litterman mot varandra samt mot Markowitz traditionella Mean Variance-optimering?
Hur presterar dessa metoder i Black-Litterman vid minskad betydelse av historisk jämviktsavkastning?
1.5 Metod00
Detta är en empirisk studie för att undersöka skillnader i Black-Littermans optimeringsmodell med hjälp av portföljsimuleringar vid olika framtagningar av prognosvarianser. Studien kommer att studera perioden januari 2014 till december 2015, där vi med hjälp av 10 års historisk data (120 månader) skall optimera en portföljsammansättning med Black-Littermans modell. Vid optimering kommer två olika varianter av variansmatriser (!) att tillämpas, den ena ges genom en GARCH (1,1) estimering och den andra erhålls genom att använda historiska värden som proxy för framtiden. All ekonometrisk data kommer att behandlas i E-Views och MATLAB kommer nyttjas för portföljsimuleringar.
1.6 Avgränsningar''
Studien avgränsas till en portfölj innehavande tillgångar tagna från MSCI Europe Index innehållande 15 landspecifika index och kommer undersökas ur ett svenskt perspektiv under antagandet att investerare har sitt säte i Sverige. Datamaterialets utgångspunkt är från december 2003 till december 2015. Vidare kommer modellen undersökas kvantitativt och kommer ej ta hänsyn till eventuella transaktionskostnader eller skatter.
1.7 'Etik''
Det är viktigt att följa de regler som finns inom forskningsetik för att skapa trovärdighet för det presenterade arbetet. Om resultatet bygger på vetenskaplig oredlighet kan resultatet av studien komma människor till skada, i vårt fall skulle detta kunna innebära att människor förlorar pengar genom felaktiga investeringar. Vetenskaplig oredlighet innebär exempelvis stöld av andras idéer och data, plagiat av andras texter samt förfalskning eller manipulering av data. Likaså skall all data som används redovisas, så att studien kan replikeras samt för att kunna kontrollera ingående data. Vad gäller plagiering är det viktigt att källhänvisa korrekt för att på så vis kunna redovisa för vad som är författarens egen åsikt, samt göra det tydligt när det är andras idéer och resultat. (Gustavsson et al., 2011)
1.8 'Disposition''
I avsnitt 2 kommer den teoretiska ramen som ligger till grund för vår analys att presenteras. Vidare kommer val av metod och genomgång av data redovisas i de efterföljande avsnitten 3 och 4. Avsnitt 5 redovisar och analyserar resultatet som senare sammanfattas i en slutsats i avsnitt 6. Avslutningsvis presenterar avsnitt 7 förslag till vidare forskning.
2 TEORI''
2.1 Tidigare'forskning''
Fischer Black och Robert Litterman utvecklade till en början Mean Variance-modellen med utgångspunkt att kombinera traditionell Markowitz-optimering med CAPM. Målet var att ingående data skulle vara lätt att förstå samt att optimeringen skulle stämma överens med investerarens egna framtida prognos. Den första modellen presenterades 1990 och utvecklingen fortsatte de efterföljande åren. Författarna påvisar att deras modell bygger på antagandet om att förväntad avkastning på lång sikt inte alltid rör sig mot sitt medelvärde, vilket är ett antagande som CAPM gör. När den förväntade avkastningen avviker från sitt medelvärde kommer marknadens rådande obalans att justera trenden till det långsiktiga medelvärdet. Författarna föreslår därför att man sannolikt kommer kunna dra fördel av att kombinera framtida prognos för enskilda tillgångar tillsammans med information om marknadensjämvikt (Black & Litterman, 1991).
Sedan Black och Litterman lanserade sin modell har många studier gjorts i syfte att försöka förenkla och kvantifiera den. Målet har varit att göra modellen mer lättförståelig. En viktig del i Black-Littermans ramverk är att investerare bör ta risker där de har positiva framtidsutsikter. Mest risk bör tas där de säkraste framtidsutsikterna existerar (Bevan & Winkelmann, 1998). Litteraturen diskuterar svårigheterna att uppskatta säkerheten av en investerares framtidsprognos. Becker och Gürtler (2009) undersökte två olika metoder i framtagandet av säkerheten hos en framtidsutsikt. Den ena var att använda en analytikers prognoser tillsammans med en DDM-modell (dividend discount model), den andra metoden var genom Monte-Carlo simulering. Becker och Gürtler kommer i sin artikel fram till att nyttjandet av Black-Litterman baserat på analytikers prognoser överträffar alla andra strategier med grund i Sharpekvot, oavsett om det förekom restriktioner eller inte.
Idzorek (2004) förenklade den subjektiva delen som en investerares framtidstro består av genom att låta investeraren ge en procentsats av säkerheten i dennes framtidstro (0-100%). En framtidstro utan någon säkerhet (0%) innebär att modellen fullt ut litar på marknadsjämviktsavkastningen, medan en helt säker framtidstro (100%) innebär att modellen litar på investerarens framtidstro om avkastning till fullo.
Beach och Orlov (2007) använde sig av EGARCH-M modell för att prognostisera den framtida överavkastningen. Genom EGARCH-M kunde även den framtida variansen skattas
och agerar som en kvantitativ osäkerhet, vilket bidrar till en mer objektiv Black-Litterman modell. I deras studie av prognosers påverkan upptäckte de att värdet på ! bidrog till modellens generella känslighet, då parametern är en subjektiv variabel i modellen och därför svår att undersöka.
Fusai och Meucci (2003) introducerade en variant av en icke-bayesiansk modell där de exkluderade ! helt från variansskattningen av prognoser. Meucci (2005) valde sedan att gå vidare med detta i en ny studie där han valde att revidera Black-Litterman modellen så att prognosvariansen ! ensamt gav tillräckligt mycket frihetsgrader, vilket gjorde ! överflödigt och förvirrande. I denna modell togs ! fram genom att utnyttja historiska varianser, vilket kommer förklaras senare i studien.
2.2 Bayesiansk'Distribution'
En möjlig förbättring till Markowitz-modellen är implementationen av Bayesiansk distribution, vilket innebär att ett känt utfall existerar men efter en viss tid revideras utfallet med ny data (Bayes, 1763).
Black-Litterman utgår från en Bayesiansk ansats där antagandet om förväntade jämviktsavkastningar är stokastiska variabler som har en sannolikhetsdistribution. Distributionen benämns ofta som en a priori distribution. Till dessa avkastningar adderas informationen som täcker framtida prognoser och ger ett resultat som går under beteckningen
a posteriori distribution. I Black-Litterman innebär det att jämviktsavkastningen grundas på
kvantitativ data, som sedan justeras enligt en investerares framtida tro på förväntad avkastning.
Den bayesianska infallsvinkeln grundar sig på skattning av betingade sannolikheter, hur stor sannolikheten är för ett utfall givet ett annat utfall. Nedan ses ekvationen för Bayes teorem,
! ! !kännetecknar den ingående data och dess sannolikhet, denna sannolikhet betingas sedan av B. Det vänstra ledet i ekvationen karakteriserar den sannolika distributionen efter att all känd information har tagits i beaktande (Papoulis, 1984a; Papoulis 1984b)
2.3 'BlackOLitterman'
Fischer Black och Robert Litterman har tillsammans utvecklat modellen som denna studie tar avstamp ifrån. Modellen togs fram 1990 och är en vidareutveckling av The Mixed Estimation
Model, framtagen av Henri Theil under 60-talet (Walters, 2013b). Black och Litterman
anpassade senare denna modell för implementation på finansiella marknader (Black & Litterman 1992). Modellen har undersökts och testats genom åren, där bland annat He och Litterman (2002) bidragit och vidare undersökt modellens är uppbyggnad. Studien kommer hädanefter benämna Black-Litterman modellen som B-L modellen och all information om Black-Litterman hämtas från He och Litterman (2002) om inget annat anges.
Styrkan i B-L är dess möjlighet att kombinera en avkastningsvektor som förenar den empiriska datan med den subjektiva prognosen och ge en förväntad avkastning som speglar de ingående komponenternas information (He & Litterman, 2002). Den Bayesianska ansatsen innebär en inferens på den sannolika distributionen av avkastningar där CAPM ligger i grunden för beräkningarna med prognoser som tillägg. Dynamiken i modellen medför att den subjektiva prognosen för en given tillgång ges en större vikt i portföljen, om prognosen väntas ge en högre avkastning än marknadsjämvikten. Allokeringen blir densamma om prognoser tillhörande andra tillgångar är lägre. Vidare kommer en hög säkerhet i prognosen bidra till ytterligare en ökad viktfördelning i portföljen.
Första steget till B-L är att ta fram vektor för jämviktsavkastningar. Denna vektor ligger till grund för modellens resultat och det är viktigt att den är tillförlitlig för varje tillgång då modellens slutgiltiga resultat är starkt beroende av trovärdig ingående data. Efterföljande steg är att estimera en investerares prognoser kring finansiella marknaders beteende. Jämviktsavkastningarna och prognoserna ger upphov till den så kallade a priori distributionen och är Black-Litterman modellens ingående komponenter.
Tabell 1: Förklaring av ingående variabler i Black-Litterman ekvationen. För en mer detaljerad förklaring, se appendix 1 tabell 9. Parameter Förklaring ! Koefficient för riskaversion ! Historisk Jämviktsavkastning ! Kovarians/varians-matris från historisk avkastning !! Vikter från marknadsportföljen ! Identifikation av prognoser
! Prognoser i absoluta tal för varje tillgång ! Varians för prognoser
! Skalär med värde mellan 0-1 som förklarar säkerheten i jämviktsavkastningen
A Priori-Distributionen
En portfölj som avkastar enligt antagandet om normaldistribution och har n-tillgångar
kommer erhålla en förväntad avkastning som är ! samt en kovariansmatris som representeras av !. Den förväntade avkastningen ! kommer ha sin grund i CAPM och bidrar som en av två komponenter till Black-Litterman som en a priori- distribution. Det verkliga utfallet för avkastningarna blir avkastningsvektorn ! som förklaras enligt,
! ∼ !!(!, ! ) (2)
Under marknadsjämvikt kommer efterfrågan på tillgångar och deras utbud vara identisk. Alla investerare på denna marknad kommer då hålla marknadsportföljen !! vilket kommer ge en jämviktsavkastningen ! givet att investerares prognoser eller vyer om framtiden är lika (Black,1989). Om investerare dessutom har en bestämd riskaversion kommer jämviktsavkastningen ges av,
! = !!!! (3)
Vidare kommer ! som är den förväntade avkastningen från CAPM antas värden centrerade kring jämviktsavkastningar och därmed vara normalfördelade kring avkastningen ! enligt,
där ϵ(!) är en normalfördelad slumpvektor och ! är en skalär som anger kovariansmatrisens
osäkerhet från jämviktsavkastningen enligt,
!(!)~(!, !!) (5)
2.3.1.1'Prognoser'
Black-Littermans styrka är att investerare även kan implementera ett antal prognoser över hur tillgångar i en portfölj förväntas avkasta. Antalet prognoser anges av matrisen P som är en KxN-matris, där K är en tillgång och N motsvarar huruvida det existerar en prognos för den givna tillgången. Fördelen med P-matrisen är att värden kan uttryckas i relativ eller absolut form. Om en rad summeras och resultatet motsvarar ett, innebär det att en prognos är absolut medan en summa som är noll betyder att åsikten är relativ, det vill säga att tillgång A förväntas avkasta mer eller mindre jämfört med tillgång B och detta skrivs som avkastningsskillnader mellan tillgångarna. Vektorn Q är en avkastningsvektor som anger investerares förväntningar på avkastning för en specifik tillgång. En generell regel är om P-matrisen är skriven i absolut form innebär det att Q-vektorn också måste skrivas i absoluta termer. En investerares prognoser kan då uttryckas som,
P!! = ! + !(!) (6)
P-matrisen i absolut eller relativ form och !(!) är normalfördelad och har en variansmatris
(!) . Matrisen bestämmer den osäkerhet som råder i den specifika prognosen och representerar de förväntade varianser som uppstår ur Q–vektorns avkastningar (He & Litterman, 1999). I metodavsnittet kommer en djupare beskrivning av två tillvägagångssätt för att beräkna variansmatrisen !.
Prognoserna kombineras med CAPM från den första distributionen i enlighet med den Bayesianska ansatsen och ger upphov till en genomsnittlig förväntad avkastning ! som tar hänsyn till de kombinerade beståndsdelarna. Den förväntade avkastningen antas vara normalfördelad enligt ,
Där ! motsvarar den genomsnittliga förväntade avkastningen i Black-Littermans primära ekvation som hittas i nästa avsnitt och ! är den förväntade avkastningens kovariansmatris som anges av,
! = (!"!)!!+ !′!!!! !! (8)
Modellens antagande att avkastningar är normalfördelade är en del av kritiken som riktats mot modellen och empiriska undersökningar har visat att avkastningar inte är normalfördelade (Giacometti et al., 2007).
2.3.1 A'PosterioriODistributionen'
Black-Littermans huvudekvation täcker den genomsnittliga förväntade avkastningsvektorn och sammanfogar jämviktsavkastningar ! med en vektor innehållande en investerares prognoser över olika tillgångars avkastningar Q. För att systematisk identifiera vilka tillgångar som har en prognos används den så kallade P-matrisen.
! = (!!)!!+ !´!!!! !! (!!)!!! + !´!!!! (9)!
!-matrisen innehåller jämviktsavkastningarnas kovarianser och !!innefattar en investerares osäkerhet inför framtida prognoser. ! -matrisen för prognoser mäts även den i form av varianser, där en hög varians innebär en större osäkerhet hos en bestämd prognos. Dynamiken i modellen medför att prognoser som innefattar en hög varians kommer påverka det slutgiltiga resultatet!! i lägre grad och portföljens förväntade avkastning kommer vara närmare jämviktsavkastningen !. Skalära parametern ! anger osäkerheten hos kovariansmatrisen ! från jämviktsavkastningarna och kommer behandlas närmare i avsnitt 2.3.4 samt vara föremål för en känslighetsanalys. Den slutgiltiga distributionen över avkastningar blir normalfördelad enligt,
! ∼ !!(!, ! ) (10)
Där ! = !! + !!! och innebär att en omvänd optimering är möjlig. Genom att maximera
utan restriktioner enligt
fås en optimal portfölj vars optimering ger en avkastningsvektor !!"# som beror på
investerares riskaversion !, kovariansen ! men även den optimala tillgångsvikten !∗ i
portföljen enligt,
!!!"# = !!!!∗ (12)
Tillgångsvikten !∗ kan beräknas fram genom omformulering av ekvation 12 där resultatet
kan ses i ekvation 13.
!∗ = !
!!!!! (13)
Vidare kan de proportionerliga vikterna i portföljen beräknas enligt
!
!=
!!∗ !!∗ !!!! (14)
2.3.2 !'Oparametern'
Parametern ! förklarar hur stor vikt som skall läggas på historiken (Beach & Orlov, 2007). Den talar om hur stor säkerhet som antas till jämviktsavkastningen !, vilket är den historiska avkastningen i modellen. Ett lågt värde på ! innebär att tyngden läggs vid jämviktsavkastningen under en optimering, medan ett högt värde innebär en större osäkerhet i ! och den får därmed en minskad relevans (Idzorek, 2004; He & Litterman, 1999; Drobetz, 2001)
Skalären !, är en av de svåraste variablerna att kvantifiera i B-L. Det är en skalär som behövs för att kunna simulera portföljer med hjälp av B-L men informationen kring hur värdet på ! bestäms är begränsad (Salomon, 2007).
Black och Litterman (1992) beskrev att på grund av osäkerheten i jämviktsavkastningen är mycket mindre än osäkerheten i den faktiska avkastningen, bör ! sättas nära noll och använder i sina papper ! = 0,05. I motsatts till Black och Litterman (1992) finns Satchell och Scowcroft (2000) vilket i deras papper rekommenderar att sätta värdet på ! nära ett.!!!
2.4 Prognostisering'eller'Historik'O'En'proxy'för'framtiden'
Att skatta förväntad marknadsavkastning genom teori och undersökning är inte en självklar process. Historiska avkastningar från en marknadsportfölj eller en samling tillgångar kan vara den mest lämpliga metoden för att ta fram förväntade avkastningar. Modellerna förutsätter ofta antagandet om att historiska svängningar i marknadsbeteende kommer upprepas i framtiden, vilket är ett starkt antagande. Långa tidsperioder av historisk data kan dock uppvisa beteenden som bidrar till säkrare finansiella estimeringar. (Roll, 1977)
Volatilitet är ett viktigt instrument för investerare på finansiella marknader. Allokering av tillgångar och riskhantering är några av de områden som aktivt använder volatilitetsmått för att förutsäga marknadsrörelser, men också för att kvantifiera portföljpåverkan över tiden. I tidiga finansiella modeller antogs måttet vara konstant över tiden (Merton, 1969). Idag är det dock allmänt känt att finansiella tillgångars volatilitet är tidsberoende men även förutsägbar (Andersen & Bollerslev,1997). Engle och Patton (2001) demonstrerade att volatilitet även har andra egenskaper, såsom klusterbildningar, tendens att röra sig kring sitt medelvärde samt att ny information har asymmetrisk effekt på volatilitet.
Empiriska studier har visat att volatilitetens kluster-egenskaper innebär att en godtycklig tidsperiod kan uppvisa marknadsrörelser med hög volatilitet för att sedan avta. Stora svängningar uppstår ofta under turbulenta ekonomiska tider och brukar minska när de ekonomiska utsikterna i samhället förbättrats. Negativa utsikter i en ekonomi tenderar att bidra till större svängningar på finansiella marknader än vad positiva utsikter gör. Denna rörelseassymetri har fått namnet Leverage Effect .(Black, 1976)
3 METOD''
3.1 Prognostisering'
Black-Litterman innehåller subjektiva åsikter om den framtida avkastningen vilket är svårt att ha teoretisk grund för. Studien använder sig därför av en GARCH-modell för att prognostisera dessa åsikter för att få en mer objektiv, teoretisk förankrad förklaring till framtida avkastning.
3.1.1 GARCH'(1,1)'
En GARCH-modell består av två ekvationer, en för den villkorliga avkastningen och en för den villkorliga variansen:
!! = !!!+!!! (15) !!!= !! + !!! !!! ! + !! !!! ! (16)
Överavkastning är den beroendevariabeln som betecknas y och x är en vektor för exogena variabler där !~! 0, !! !är feltermen. !, !och ! är de koefficienter som estimeras. Den
prognostiserade volatiliteten en period fram beror på den genomsnittlig volatilitet (!), vetskap om volatiliteten i föregående period (!!!!! ) och föregående periods prognostiserade värde av
variansen(!!!!! ). Garch (1,1) innebär att man använder sig av första ordningens ARCH (! !!!! )
och GARCH (!!!!! ) term.
Det är allmänt känt att aktieavkastningar har en volatilitet som beror av tiden, heteroskedasticitet, volatilitet beror också på hur volatiliteten var i föregående period (Beach & Orlov, 2007). Föregående egenskaper hos aktieavkastningar motiverar tillämpningen av en GARCH-modell då dessa egenskaper tas hänsyn till vid prognostisering av framtida avkastning (se ekvation 15 och 16). Andra anledningar till att nyttja en GARCH är att modellen tar hänsyn till den distribution som finansiella marknader uppvisar leptokurtosis, det vill säga hög kurtosis, samt volatilitets kluster som också är framträdande egenskaper hos finansiell data (Bollerslev, Chou and Kroner, 1992). Att använda sig av en GARCH-modell har ytterligare en fördel, då den inte bara predicerar framtida aktieavkastningen, utan även den framtida volatiliteten (Beach & Orlov 2007). Dock bör vissa begränsningar med tillämpningen av en GARCH-modell lyftas fram. Begränsningarna består i att modellen inte
tar hänsyn till alla de effekter som observerats hos finansiell data och förklaras mer ingående i kapitel 3.4 Metodkritik och Alternativa metoder.
3.2 Specificering'av'variansmatrisen'för'prognos'
Prognosens varians används för att kunna utrycka säkerheten i investerarens tro om framtiden och fås genom att använda det inverterade värdet av variansen. Den ursprungliga B-L angav dock inte ett specifikt sätt att kvantifiera variansmatrisen, utan det är upp till investeraren själv att avgöra felskattningen av sin egen prognos. Vidareutveckling av Black-Litterman med avseende att finna ett sätt att kvantifiera felskattningen av variansen har gjorts med syfte att öka förståelsen för modellens komponenter. Två exempel på metoder för att beräkna prognosvarians-matrisen (! ) är att skatta variansen proportionellt mot variansen i marknadsjämvikten, alternativt använda variansen av residualen från en faktormodel (Walters, 2014). Vidare förklaring kommer i kommande stycken. I avsnitt 2.1 Tidigare
forskning nämns även en tredje metod att ta fram prognosvarians (!) framtaget av Idzorek (2004). Detta har dock valts bort för fortsatt analys då författarna i denna studien anser den vara för godtycklig och bidrar därmed ej till att göra B-L mer kvantitativ.
3.2.1 Varians'proportionellt'mot'variansen'i'marknadsjämvikten'
Både Meucci (2005, 2006a, 2006b) och He & Litterman (1999) använder sig av en variansmatris för prognoser som tas fram proportionellt mot variansen i marknadsjämvikten. De antog att variansen av prognoserna bör vara proportionell mot variansen i den historiska avkastningen. Dock tillämpas två olika sett att göra detta. He & Litterman (1999) använde sig av följande formel:
! = !"#$(! !! !′) (17)
Meucci (2005) formel ser liknande ut:
! = !!− ! !"!′ (18)
Till skillnad från He & Littermans (1999) formel har Meucci valt att bortse från diagonalisering, samt exkluderat !!ur formeln. Modellen motsvarar en empirisk Bayesiansk
ansats, vilket innebär att investerarens omdöme på framtida avkastning ges relativt större utrymme för de tillgångar som utifrån marknadsmodellen är mer volatila (Meucci, 2005). Meucci lägger dessutom till ett c i sin modell. Den positiva skalären c bestämmer det absoluta förtroendet för en investerares kompetens. Om c går mot noll, innebär det ett svagt förtroende för investerarens kompetens. Går den positiva skalären mot ett innebär detta istället att prognosen ges ett högre förtroende och ger därmed större betydelse i Black-Litterman. Studien kommer vidare använda sig av Meuccis sätt att skatta variansen av prognoser i proportion till jämviktsvariansen då den exkluderar den svårbestämda parametern !! ur formeln. Den positiva skalären sätts c=0,5 likt Meucci gör i sina exempel (Meucci, 2005). Vidare kommer Meuccis metod att ta fram prognosvarians-matrisen benämnas !!.
3.2.2 Residualvariansen'från'en'faktormodell''
Ett alternativt sätt att ta fram varians för prognoser, är att använda en faktormodell för att skatta den framtida avkastningen och sedan nyttja feltermen i en sådan skattning (Walters, 2014). Den faktormodell som kommer tillämpas i studien är samma som beskrivs under avsnitt 3.1, vilket är den metod som Beach och Orlov (2007) använt sig av. Vidare kommer Beach och Orlov metod att ta fram prognosvarians-matrisen benämnas !!".
3.3 Utförande'
Studien använder sig av 12 års månadsdata, med utgångspunkt december 2003 till december 2015 för 15 länder. Följande steg skall sedan genomföras i denna studie för att kunna göra portföljsimulering för åren 2014-2015 .
Första steget är att ta fram marknadsjämvikterna genom Markowitz Mean-Variance optimering, dessa användes sedan för att få fram jämviktsavkastningen (!) för varje månad 2014-2015. Ett rullande fönster på tio års historisk data (120 månader) tillämpas för att skatta dessa vikter. Även de 24 stycken kovariansmatriser (!) som behövs vid simulering av Black-Litterman kommer utifrån detta steg. I nästa steg skattar vi våra prognoser (Q) för varje tillgång och tidpunkt genom att använda oss av en GARCH (1,1), även här med ett tio års rullande fönster av historisk data.
Tredje steget innebär att nyttja de två variansmatriserna som erhållits av gjorda prognoser. Meuccis prognosvarians (!!) fås genom att tillgodogöra de kovariansmatriser som skapats i tidigare steg (Meucci, 2005; Meucci, 2006a; Meucci, 2006b). Beach och Orlovs (2007) metod för prognosvarians !!" !fås genom att använda de varianser som prognostiseras genom GARCH (1,1). Slutliga steget blir att simulera Black-Litterman modellen för varje period 2014-2015 genom den data som framtagits i beskrivning ovan.
3.4 Metodkritik''
Problemet med Meuccis metod för estimering av prognosvariansen (!!) till en specifik matris, är att formeln innehåller en subjektiv variabel som omöjligt kan fastställas med säkerhet. Problemet har kringgåtts genom att nyttja ett värde där c = 0,5 vilket i sin tur leder till att !! blir en direkt avspegling av den historiska volatiliteten. I en situation där c är ett värde över eller under 0,5 måste en samlad bedömning av investerarens kunskap och kompetens göras, något som vill undvikas i studien. Det uppenbara problemet med ett antagande som detta är givetvis om c hade antagit ett värde annat än 0,5 efter en samlad bedömning, hade slutgiltiga resultatet högst sannolikt skiljt sig från nuvarande resultat.
Hos aktier har man observerat att en negativ chock på marknaden bidrar till en högre grad av volatilitet än vad en chock i motsatt riktning orsakar (Beach & Orlov 2007). Detta går att ta hänsyn till genom att använda en Exponentiell GARCH funktion som tillåter asymmetriska chocker på volatilitet (Nelson, 1991). Modellen kan sedan förbättras ytterligare genom att nyttja en ARCH-in-Mean modell. Tillägget tar hänsyn till att aktieavkastningen även beror av den förväntade risken (Engle et al., 1987). Med tanke på att denna modell tillgodoser dessa egenskaper bör den vara bättre än den enklare modellen GARCH (1,1). Försök till att använda denna modell har utförts, men har ej givit signifikanta resultat. Studien har därför valt att gå vidare med den enklare GARCH (1,1) då den visat signifikanta resultat.
Även försök att lägga till makroekonomiska variabler har testats tillsammans med GARCH-verktyget för att kunna förklara framtida aktierörelser med högre precision. Dock har vi inte fått några tillförlitliga resultat och därmed inte funnit ett tydligt mönster för att skapa en generell prognosmodell. Signifikanta värden har endast påträffats i spridda tillgångar och tidpunkter.
4 DATA'
För studien har 12 landspecifika index från MSCI (Morgan Stanley Capital International) använts för att tillhandahålla en diversifierad portfölj. De 12 länderna som valts är de som ingår i MSCI Europe Index, vilket inkluderar Österrike, Belgien, Finland, Frankrike, Tyskland, Irland, Nederländerna, Norge, Spanien, Sverige, Schweiz och Storbritannien. Även Danmark, Italien och Portugal ingår i MSCI Europe Index men har valts bort då serierna till stor del innehöll autokorrelation, alternativt ej gav en signifikant GARCH-parameter. Indexen består av återinvesterade utdelningar (MSCI, 2015) och data är hämtad från Datastream samt är formaterad för att täcka månatliga aktiekurser.
Alla aktiekurser är justerade för riskfria räntan och generera där med en riskjusterad överavkastningen. Den riskfria räntan som valts är 1 månads svensk statsskuldsväxel, då ombalansering av portfölj görs varje månad och studien görs ur ett svenskt perspektiv. Med andra ord utgår studien från antagandet att investerare har sitt säte i Sverige. Data för 1 månads svensk statsskuldsväxel hämtas från Sveriges Riksbank.
! !
Tabell 2: Överavkastning jan 2004 - dec 2015 (144 observationer). 1 månads svensk statsskuldväxel som riskfri ränta. Data presenteras på
månadsbasis i decimalform.
Land Medel Median Max Min SD Skewness Kurtosis
Jarque-Bera P-värde Österrike 0,0002 0,0116 0,2539 -0,3682 0,0805 -1,0436 7,1873 131,3416 0,0000 Belgien 0,0055 0,0180 0,1100 -0,4657 0,0645 -3,1523 22,0996 2427,2563 0,0000 Finland 0,0033 0,0089 0,1537 -0,1578 0,0672 -0,4542 2,8192 5,1469 0,0763 Frankrike 0,0041 0,0159 0,1243 -0,1583 0,0515 -0,8111 3,6915 18,6563 0,0001 Tyskland 0,0057 0,0167 0,1185 -0,1825 0,0551 -0,7082 3,6849 14,8535 0,0006 Irland -0,0006 0,0097 0,1493 -0,3903 0,0697 -1,5475 8,9262 268,1966 0,0000 Nederländerna 0,0055 0,0102 0,1085 -0,2570 0,0535 -1,1261 6,2281 92,9581 0,0000 Norge 0,0057 0,0182 0,1569 -0,3286 0,0755 -1,0331 5,6045 66,3163 0,0000 Spanien 0,0041 0,0127 0,1779 -0,2114 0,0615 -0,4993 4,0962 13,1942 0,0014 Sverige 0,0074 0,0161 0,1397 -0,2238 0,0558 -0,8876 4,9251 41,1417 0,0000 Schweiz 0,0068 0,0122 0,0808 -0,1161 0,0395 -0,6250 3,2536 9,7593 0,0076 Storbritannien 0,0037 0,0079 0,1261 -0,1641 0,0455 -0,6708 3,9626 16,3575 0,0003
Tabellen ovan är en sammanfattning av avkastningen för varje enskilt land under den dataperiod som studien använt sig av. Alla genomsnittliga avkastningar ligger mellan –0,0006 och 0,0074 på månatlig basis. Högst avkastning på en enskild observation har Österrike haft (0,2539) samtidigt som Belgien noterat lägsta avkastningen (-0,4657). All serier kan förkasta normalfördelning på 10 % signifikans, de visar upp en negativ skewness och de flesta serier visar på hög kurtosis. Som tidigare diskuterats är en GARCH-modell väl användbar när data uppvisar dessa egenskaper.
Alla serier har testats för autokorrelation genom Q-test av de kvadrerade residualerna, samt Arch-LM test har utförts för att undersöka om prognosmodellen uppvisar tecken på heteroskedasticitet. Testen visar på bra värden i de flesta fall (dåliga värden vid enstaka tidpunkter på olika serier ses ej som ett problem). Även Jarque-Bera test för normalfördelning har utförts. Dataserierna är ej normalfördelade samt har inslag av kurtosis, därför tillämpas en
Generalized Error-fördelning (GED) för att hantera problematiken kring icke normalfördelad
data1.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
5 ANALYS'
!Syftet med studien är att analysera variansmatrisens påverkan av fördelningen hos tillgångarna i B-L. Detta sker genom att sammanställa två olika varianter av prognosvarians-skattningar mot den klassiska optimeringsmodellen framtagen av Markowitz. Vidare kommer en B-L optimering med !! benämnas B-LM och B-LBO kommer innebära en B-L optimering med !!".
I studien ses resultaten från en Markowitz-optimering som en B-L neutral portfölj. Innebörden blir att en estimering av B-L utan att sätta in några prognoser för framtiden2 blir resultatet identiskt med resultaten från Markowitz. Detta beror på att studien använder Markowitz som marknadsportfölj i framtagandet av !!. ! ! 5.1 Markowitz'Mean'VarianceOoptimering' ! ! ! Figur&1:&Genomsnittlig8fördelning8av8tillgångar8hos8MarkowitzAmodellen8över8perioden8jan820148A8dec82015. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2!Neutral!portfölj,!innebär!en!BAL!optimering!där!PEmatrisen!består!av!enbart!nollor!
Under den undersökta tidsperioden på två år har Markowitz optimeringsmetod uppvisat några av de förväntade svagheter som modellen kritiserats för. Att modellen koncentrerar innehav i tillgångar som har höga avkastningar är tydligt. Exempelvis har Schweiz och Tyskland i genomsnitt de högsta månatliga avkastningarna och optimeringen har därför valt att koncentrera en stor del av kapitalet i dessa tillgångar. Resultatet från en optimering utan allokeringsvillkor kommer fördela 125 % av kapitalet i Tyskland och 132 % i Schweiz (se figur 1). Väsentliga negativa vikter har koncentrerats i Frankrike, Österrike och Irland, vilket medför att portföljen blankar dessa tillgångar. Den genomsnittliga avkastningen för perioden är 0,0035 per månad och volatiliteten i portföljen är 0.0707 och kommer jämföras mer ingående i följande avsnitt.
5.2 Jämförelse'BlackOLitterman'och'Markowitz'
Figur&2:&Genomsnittlig fördelning av tillgångar över perioden jan 2014 - dec 2015. ! = !, !"
Figur 2 visar den genomsnittliga tillgångsfördelningen för de tre olika optimeringarna av de tillgångar som ingår i studien åren 2014-2015. Resultatet visar att !!" bidrar till mindre
på 0,4445. !!!ger en portföljfördelning mer lik Markowitz och tenderar även att ha en
liknande viktvolatilitet, 0,8494 respektive 0, 8602.
Resultatet i tabell 3 och tabell 10 (appendix 4) belyser att även om Markowitz och B-LM tenderar att ha lika genomsnittsvikter, så har B-LM en något högre variation i de enskilda vikterna över tiden. Det förklarar varför B-LM ger högre avkastning än vad en Markowitz-optimering gör, den troliga orsaken är att B-LM är mer anpassningsbar för varje tidpunkt vilket medför större justeringar av portföljsammansättningen mellan omviktningstillfällena.
Tabell 3: Fördelning av vikter över tillgångar för olika modeller, samt hur de presterat. ! = 0,005. Data presenteras på
månadsbasis i decimalform.
LAND
B-LBO B-LM Markowitz
Medel Min Max Medel Min Max Medel Min Max Österrike -0,3670 -0,6493 0,0128 -0,7534 -0,9748 -0,4194 -0,7461 -0,9310 -0,5831 Belgien 0,1177 0,0047 0,1923 0,3781 0,0398 1,1082 0,0883 -0,0542 0,2160 Finland -0,0740 -0,1569 0,0198 -0,2485 -0,6059 -0,0102 -0,1729 -0,3722 -0,0350 Frankrike -0,8284 -1,5218 0,0303 -1,4250 -1,8249 -0,9904 -1,7572 -1,9154 -1,4923 Tyskland 0,6728 0,1505 0,9949 1,4119 0,7896 2,4527 1,2472 1,0362 1,3447 Irland -0,2952 -0,5286 0,0090 -0,5984 -0,7195 -0,4746 -0,6354 -0,7475 -0,4875 Nederländerna 0,1353 -0,0143 0,3035 -0,3433 -1,8881 0,2305 0,1809 -0,0830 0,3904 Norge 0,1963 0,0924 0,3452 0,2836 0,1196 0,4376 0,3492 0,1827 0,5010 Spanien 0,2606 0,0487 0,4421 0,4451 0,3280 0,6899 0,4803 0,3720 0,5608 Sverige 0,4032 0,2583 0,6046 0,6968 0,5481 0,9577 0,6095 0,5319 0,7700 Schweiz 0,7357 0,1553 1,1448 1,2346 1,0771 1,4725 1,3163 1,2336 1,3657 Storbritannien 0,0430 -0,0930 0,1183 -0,0814 -0,3657 0,1410 0,0401 -0,1220 0,2046 Portföljavkastning Medel 0,0075 0,0064 0,0035 SD 0,0547 0,0724 0,0707 Min -0,0955 -0,1350 -0,1211 Max 0,0974 0,1524 0,1488 Viktvolatilitet 0,4445 0,8494 0,8602
Beach och Orlovs skattning av !!"! bidrar som beskrivits ovan till en portfölj som har minst extremvärden och jämnast fördelning. Dessutom är det den metod som ger högst avkastning och lägst standardavvikelse. Intervallet i viktningen mellan maximal och minimal vikt för enskild tillgång är något lägre än B-LM och kan förklaras med att B-LBO inte har de
extremvärden som B-LM besitter. Spridningen av vikterna är dock större än hos Markowitz vilket tillsammans med bättre avkastning och lägre standardavvikelse visar att även denna metod är mer anpassningsbar vid varje tidsperiod än Markovitz optimering.
5.2.1 Allokering'
Utifrån resultaten kan vi utläsa att B-LBO ger en jämnare fördelning i portföljviktningen över alla länder och fördelningen kan ses oavsett marknadstrend från januari 2014 till december 2015. Detta beror sannolikt på en kombination av Black-Littermans dynamiska allokering och GARCH-prognosernas tillförlitlighet. Prognoserna från GARCH-estimeringarna har till störst del varit signifikanta på 10 % nivå och bidragit till prognoser som är objektiva och kvantifierbara. Prognoserna har även haft låga felskattningar vilket bidragit till att Black-Litterman får en förskjutning mot de säkrare GARCH-avkastningarna. Fenomenet kan ses i den stora skillnaden som förekommer i allokeringen mellan B-LBO och Markowitz, vilket är detsamma som en B-L med neutrala prognoser.
Allokeringsdynamiken i Black-Litterman är allmänt känd och ger upphov till att skattningar från ! tenderar att ges mindre relevans om avkastningarna från prognoserna är höga (!). Detsamma kan sägas om prognosvariansen (!), ifall prognosens osäkerhet är låg kommer Black-Litterman att väga om relevansen i jämviktsavkastningen samt minska dess betydelse för det slutgiltiga resultatet.
Att Black-Litterman undviker så kallade hörnlösningar gör modellen trovärdig hos investerare och kan bidra till en mer diversifierad portfölj som följer tiden. Hörnlösningar är ett av de problem som annars kan uppstå med Markowitz och innebär ofta orimlig viktning i ett scenario med inga eller få restriktioner och resultatet belyser därmed att Markowitz-portföljen synnerligen motverkar syftet med investeringsfilosofin om en diversifierad portfölj. Allokering är en viktig del i framtagandet av finansiella portföljer och att extremvikter inte kommer i konflikt med en investerarens omdöme är väsentligt. Dessutom har allokeringen inverkan genom att olika viktning kan ge stora förändringar på den slutgiltiga avkastningen. Fördelningen har även implikationer på portföljens standardavvikelse och volatilitet. Ur portföljförvaltningssynpunkt är volatilitet synonymt med risk och osäkerhet, vilket ofta leder till åtgärder som diversifiering.
Resultatet visar att Black-Litterman tillsammans med !!"! ger en betydlig skillnad vid jämförelse av vikter med B-LM och Markowitz. Orsakerna beror, allt annat lika, på hur framtagandet av prognosvariansen (!) sker. Anledningen till att Beach-Orlovs metod ger ett mer sanningsenligt värde på ! och kan ha sin grund i att prognostisering ger möjlighet att använda sig av modeller som fångar upp fler marknadsrörelser än att enbart ta och återvinna ett historiskt medelvärde. Tillämpningen av historiska medelvärden bidrar sannolikt till att enbart en långsiktig trend fångas. GARCH-verktygets egenskaper har däremot möjlighet att simulera förhållandevis trovärdiga marknadsrörelser med hänsyn till de marknadsegenskaper som finansiella marknader uppvisar, såsom volatilitetsskluster.
I denna studie har transaktionskostnader uteslutits från simuleringarna men det är en väsentlig aspekt i en verklighetsförankrad jämförelse. Hos portföljförvaltare är detta särskilt relevant då kostnader förknippade med transaktioner påverkar verksamheten i högsta grad. En hög standardavvikelse i fördelningen hos enskilda tillgångar över tiden innebär att en modell gör stora förändringar i sin allokering varje månad vilket medför transaktionskostnader som i sin tur påverkar portföljens övergripande resultat. De månatliga justeringar som görs i varje tillgång bidrar till högre volatilitet i modellerna med Black-Litterman som utgångspunkt och i dessa portföljer observeras en genomsnittlig volatilitet i fördelning per tillgång över tiden på 14 % för B-LBO och 19 % för B-LM (se tabell 10, appendix 4). Intressant nog har Markowitz en volatilitet i fördelning per tillgång över tiden på endast 9 %, vilket medför att eventuella transaktionskostnader bör vara lägst i en Markowitz-portfölj. Sannolikt beror denna skillnad på hur B-L-portföljerna är konstruerade i denna studie. För varje ny månad finns en specifik prognos i given tillgång och medför att en justering i tillgångsvikten då blir möjlig. Prognosen (Q) tillsammans med prognosvariansen (!) säkerställer att det finns en prognos för varje tillgång och därmed grund för modellen att vikta om fördelningen vid varje viktningstillfälle. Både Markowitz och Black-Litterman utgår från samma historiska data och den enda skillnaden mellan dem är Black-Littermans tillägg om framtida prognoser. Möjligheten att lägga till prognoser bidrar till en högre anpassningsförmåga till framtiden men kommer på bekostnad av högre transaktionskostnader. Studien kan dock inte uttala sig om specifika kostnadssummor men det är en tanke att reflektera över vid granskning av portföljprestation.
5.2.2 Portföljprestation'
För att kunna jämföra modellerna rättvist har ! bestämts vara 0.05 vilket är det värde som Black & Litterman själva tillämpar i sina artiklar. Det har även inkluderats en Markowitz-portfölj samt ett MSCI-index för Europa som kommer agera benchmark. Portföljerna visar att B-LM mellan jan 2014 till maj 2015 (se figur 3) gav en högre avkastning än resterande portföljer, med Markowitz-portföljen på andra plats. Dock har dessa portföljer sämst prestation under den resterande perioden, maj 2015 till dec 2015.
Figur 3: Kumulativ&portföljutveckling under perioden jan 2014- dec 2015
Lägst medelavkastning över perioden 2014-2015 hade Markowitz följt av B-LM
och bäst medelavkastning hade indexportföljen MSCI Europe. Resultatet visar att Markowitz och B-LM har en starkt uppåtgående trend från januari 2014 till maj 2015 men presterar betydligt sämre i perioden efter och avkastar lägre än både MSCI Europe och B-LBO.
B-LBO har en högre medelavkastning än de övriga jämförelseportföljerna över tiden och visar sig även vara relativ resistent mot en marknad i nedåtgående trend. Med bakgrund i ovanstående kan slutsatsen dras att B-LBO avkastar sämre än övriga jämförelseportföljer i en marknad som är i uppåtgående men har en tendens att prestera bättre i en vikande marknad. Den troliga orsaken till resultatet har sin grund i viktfördelningen av tillgångarna. Den portfölj som påverkats minst av marknadsrörelsen är troligen den som har jämnast fördelning. Med andra ord, den portfölj som är minst belånad och därmed inte har alltför hög hävstång i sin portföljdiversifiering.
Tabell 4: Portföljprestation för de olika portföljerna, jan 2014 - dec 2015.!! = 0,05. Data presenteras på månadsbasis i
decimalform.
Portfölj avkastning B-LBO B-LM Markowitz MSCI Europe Index
Medel 0,0075 0,0064 0,0035 0,0083
SD 0,0547 0,0724 0,0707 0,0486
Min -0,0955 -0,1350 -0,1211 -0,1011
Max 0,0974 0,1524 0,1488 0,1138
Orsakerna till de positiva fördelar som B-LBO uppvisar beror på de inputprognoser och varianser från de ekonometriska skattningarna. Den ingående data som är framtagen genom GARCH-skattning och visar sig vara mer precis som en ingående komponent till B-L. Prognoserna skattas genom att nyttja marknadens volatila egenskaper som beskrivits i avsnitt 3. Markowitz-portföljen demonstrerar andra egenskaper, dels att modellen gärna lägger en större vikt i tillgångar som har hög relativ avkastning gentemot andra tillgångar.
B-LM uppvisar ett liknande beteende som Markowitz, även om den presterar bättre oavsett marknadstrend. Prognosvariansen (!)! för denna portfölj är framtagen med historiska varianser och investerares säkerhet kring sin egna kompetens (se ekvation 6). Studien har tidigare kommit fram till att just prognostiserade varianser ger en bättre modell än de historiskt återanvända varianser. Att förändra värdet på c skulle innebära att de återvunna varianserna skulle bli större eller mindre än de faktiska värdet på de historiska varianserna, och på så vis skulle prognoserna (Q) få större eller mindre vikt i modellen. Återigen skulle det kunna innebära en B-Lm som presterar bättre eller sämre. Dock är det inget som kan konstateras då detta ej testats , utan bara att det sannolikt har en påverkan. Orsaken till att detta ej testats i denna studie, är att förändring av c innebär en bedömning av investerarens kompetens. Detta blir återigen en subjektiv bedömning, vilket går mot studiens intention att kvantifiera B-L.
I absoluta tal presterade B-LBO bäst av modellerna med en medelavkastning på 0.75% per månad följt av B-LM som avkastade 0.64% per månad. Markowitz presterade sämst med en avkastning på 0.35%. Europeiska indexet MSCI Europe avkastade dock högre än modellerna under perioden 2014-2015 med en medelavkastning på 0.83% per månad. En möjlig förklaring till att medelavkastningen är högre för MSCI Europe Index kan vara att MSCI
Europe Index innehar 3 länder som inte klarade våra ekonometriska tester och där med plockades bort från vår portfölj. Det är möjligt att dessa hjälper MSCI Europe Index att öka dess medelavkastning. Dock är det inget som kan säkerställas då sammansättningen av ingående landspecifika index som ingår i MSCI Europe Index ej finns tillgängligt utan licens.
Tabell 5: Genomsnittlig risk i form av varians, jan 2014- dec 2015. Portföljrisken för varje period uträknad med formeln:
! = !!!". ! = 0,05. Data presenteras på månadsbasis i decimalform.
RISK Medel Min Max
B-LBO 0,1787% 0,1538% 0,2461%
B-LM 0,2883% 0,2394% 0,4676%
Markowitz 0,2740% 0,2427% 0,3534%
Tabell 6: Sharpekvot i form av medelavkastning i förhållande till medelrisken, jan 2014- dec 2015. ! = 0,05. Data
presenteras på månadsbasis i decimalform.
Sharpekvot Medel
B-LBO 0,1750
B-LM 0,1183
Markowitz 0,0653
För att kunna dra en slutsats om vilken av portföljerna som presterar bäst behövs det även tittas på risken samt risk i förhållande till avkastning. Resultatet visar tydligt att med avseende till absolut risk och även risk i förhållande till avkastning är B-LBO den klart bäst presterande portföljen. Anledningen till detta kan vara viktfördelningen som B-LBO ger upphov till. Den har en jämnare fördelning och har en mindre hävstång samt är inte lika känslig för marknadsrörelserna, vilket är orsaken till en lägre varians. B-LM har en högre absolut risk än Markowitz-portföljen, men då avkastningen är betydligt högre bidrar det till en nästan dubbel så hög Sharpekvot.
5.3 Jämförelse'vid'förändring'av'!'
Syftet med studien är att analysera hur viktfördelningen i en portfölj påverkas av förändring av prognosvariansen (!). Ytterligare en intressant aspekt att ta hänsyn till är hur de olika
variansmatriserna påverkas vid en förändring av den svårbestämda ! -parametern. Då litteraturen inte är entydig, en studie föreslår användandet av ! nära noll samtidigt som en annan antytt att det bör vara nära ett, är det intressant att testa båda dessa varianter. Därmed har studien valt att använda sig av värdena 0,05 och 0,95. Vidare har även medelvärdet , ! = 0,5 inkluderats i studien i syfte att få ett vidare perspektiv i analysen.
5.3.1 Jämförelse'BOLBO'
Tidigare avsnitt har visat att användandet av !!" vid !=0,05 har bidragit till en mindre extrem och mer jämn fördelning av tillgångarnas vikter. Resultatet vid skiftning av ! till värdena 0,5 respektive 0,95 (se figur 4) visar att portföljen får ytterligare jämnare och mer balanserad allokering. Det kan urskiljas att de två högre !-värdena skiljer sig från det lägre, men att mellan de två högre värdena 0,5 och 0,95 inte visar på någon märkbar skillnad.
&
Figur&4:&Jämförelse av genomsnittlig tillgångsfördelning vid användande av B-LBO vid olika !-värden. Värden på ! är 0,05;
0,5 & 0,95. Tidsperioden är jan 2014 – dec 2015.(
I tabell 7 visas hur de olika värdena på ! har påverkat prestationen av portföljen. Även här kan det urskiljas att det finns skillnad mellan de två högre värdena på ! jämfört med det lägre. De högre värdena har en avkastning som i genomsnitt är 0,17% respektive 0,19% högre än
vad det lägre !-värdet ger. Dessutom har de en lägre standardavvikelse, vilket också är att föredra. Inte heller här existerar det någon märkbar differens i värdena mellan !=0,5 och !=0,95. Några märkbara avvikelser mellan hur de avkastat vid enskilda tidsperioder går inte att urskilja (se figur 6, appendix 3)
Tabell 7: Portföljprestation för B-LBO vid förändring av ! –värdet. Data presenteras på månadsbasis i decimalform.
Portföljavkastning B-LBO !=0,05 B-LBO! !=0,5 B-LBO! !=0,95 Markowitz Medel 0,0075 0,0092 0,0094 0,0035 SD 0,0547 0,0489 0,0483 0,0707 Min -0,0955 -0,0909 -0,0889 -0,1211 Max 0,0974 0,0883 0,0879 0,1488 5.3.2 Jämförelse'BOLM'
I resultatet av viktfördelning vid tillämpningen av !! (se figur 5) kan samma tendenser påvisas som vid B-LBO, de två högre !-värderna tenderar att uppvisa liknande fördelning men att dessa två skiljer sig mot det lägre !-värdet. Skillnaden mellan de två högre värdena och det lägre är dock inte stora, förutom vid vikterna för Belgien, Frankrike, Nederländerna och Storbritannien där större skillnader existerar.
Figur&5:&Jämförelse av genomsnittlig tillgångsfördelning vid användandet av B-LM vid olika !-värden. Värden på ! är 0,05;
Vid granskning av hur respektive portfölj har presterat (tabell 8) kan samma mönster upptäckas som vid B-LBO. De två portföljer med högre ! har presterat bättre och givit en genomsnittlig avkastning på 0,11% respektive 0,07% mer per månad, dock är standardavvikelserna något högre och ökar vid en ökning av !. Vid närmare granskning av hur varje portfölj avkastar vid olika tidpunkter hittas inga märkbara skillnader när ! är 0,5 eller 0,95. Avkastningen följer samma trend och visar små skillnader över tiden (se figur 7, appendix).
Tabell 8: Portföljprestation för B-LM vid förändring av !-värdet. Data presenteras på månadsbasis i decimalform.
Portföljavkastning B-LM !=0,05 B-LM! !=0,5 B-LM! !=0,95 Markowitz Medel 0,0064 0,0075 0,0072 0,0035 SD 0,0724 0,0794 0,0813 0,0707 Min -0,1350 -0,1623 -0,1670 -0,1211 Max 0,1524 0,1604 0,1619 0,1488 5.3.3 Känslighetsanalys'
Det är allmänt känt att !-parametern är svår att kvantifiera (Salomon, 2007) och tidigare studier har givit motsatta förslag till hur man bör sätta värdet. Black och Litterman (1992) anser att värdet bör ligga nära noll medan Satchell och Scowcroft (2000) menar att värdet bör vara nära ett. I studiens resultat kan utläsas att !: ! påverkan beror på vilken metod som används i framtagandet av prognosvariansen (!). Tydligt är dock att högre !-värden (0,5 och 0,95) vid tillämpningen av B-LBO ger en bättre portföljoptimering med jämnare viktfördelning men också en högre avkastning utan en väsentlig riskökning.
Innebörden av skalären ! är hur stor vikt som skall läggas vid de framtagna historiska avkastningarna (Idzorek, 2004; He & Litterman, 1999; Drobetz, 2001; Beach & Orlov, 2007). Vid högre ! får de historiska avkastningarna en lägre vikt i modellen. Detta kan tänkas innebära att större möjlighet ges till att B-L som tar hänsyn till de prognoser som investeraren tagit fram och applicerat i modellen. Att prognoserna tar mer plats bygger på att de antas ge en större avkastning än historien samt att prognoserna i sig är optimalt skattade. Innebörden
av detta är att variansen hos prognoserna (!) bör vara låg (He & Litterman, 2002). Betydelsen av prognosvarians-matrisen bör med andra ord ha större betydelse vid högre !-värden.
Mindre vikt åt historien eller höga framtida prognosavkastningar med låga varianser innebär dock inte automatiskt att du får en bättre optimering. Att ge större vikt åt prognoserna förutsätter att de får rätt viktning i modellen och att variansen i prognoserna (!) är korrekta. Det finns annars risk att prognoserna får en alltför stor betydelse. Skulle de vara felskattade kan det innebära undermåliga optimeringar och därmed orsaka skeva resultat. I denna studie är dessutom prognosavkastningarna lika3 för metoderna, vilket innebär att det enda som varierar mellan de olika B-L optimeringarna är prognosvarians-matrisen.
I resultatet kan det observeras att en ökning av ! påverkar optimeringen med Meuccis prognosvarians (!!)!annorlunda än med Beach och Orlovs varians (!!"). Med högre ! i
B-LM ökar risken i portföljen samtidigt som B-LBO inte ger någon nämnvärd riskförändring (se tabell 11, appendix 4). Dock ökas B-LBO avkastning mer än B-LM. Det kan konstateras i tabell 12 (se Appendix 4) att Sharpekvoten för B-LBO stiger vid en ökning av ! medan Sharpekvoten för B-LM är så när som konstant. En minskad vikt av den historiska information ger prognoserna en möjlighet till större inverkan i viktningen, vilket ökar B-L modellens träffsäkerhet vid användandet av !!" men ger en högre osäkerhet vid tillämpningen av !!!. Observationen bekräftar det som tidigare framkommit, att ! :s
betydelse är viktig samt att prognostisera !-matrisen är ett bättre tillvägagångssätt än att återanvända historiska varianser för att beräkna osäkerhetsmatrisen (!).
En annan observation som kan iakttas är att skillnaderna mellan en ! som är 0,5 eller 0,95 är förhållandevis små jämfört med att använda det lägre värdet på 0,05. En möjlig orsak till detta kan vara den osäkerhet som finns kvar i prognoserna. Även om större möjligheter ges för modellen att vikta om fördelningen av tillgångarna utifrån de prognoser som tagits fram, är säkerheten inte tillräckligt stor för att ge förändringar i allokeringen vid ökat ! från 0,5 till 0,95. Om prognoserna däremot varit mer precisa, exempelvis om en mer avancerad prognosmodell används som fångar upp ännu fler effekter hos de historiska avkastningarna finns möjligheten att detta skulle bidragit till att ! på 0,95 givit en än mer specifik viktning. Detta är dock bara spekulationer då det ej testats i denna studie
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
6 SLUTSATS'
Tidigare studier inom detta ämne har fokuserat i att hitta ett tillägg som bidrar till att göra Black-Litterman mindre subjektiv. Vad författarna av denna studie erfar, har dessa tillägg inte testas mot varandra. På grund av detta har det tidigare inte visats vilket tillägg som bäst bidrar till en kvantifiering av modellens subjektiva del.
Resultatet av studien visar på att det finns en skillnad i tillgångsfördelning beroende i vilken av Meuccis och Beach och Orlovs metoder att skatta variansprognoser (!). Studien kan visa på att vid användandet av en prognostiserad variansprognos ger det en mer jämt fördelad portfölj med mindre hävstång än vad variansprognoser skapade genom återanvändande av historiska värden. Vidare kan studien visa på att prognostiserad variansprognos även bidrar till en portfölj med mer eftertraktade egenskaper i bättre avkastning, mindre marknadskänslig på grund av mindre hävstång samt därmed lägre risk.
Känslighetsanalysen i form av att förändra !, styrker även de resultat som nämnts ovan. Vid förändring av !, mindre vikt åt marknadsjämvikten och mer betydelse för prognoserna (Q) och prognosvarianserna (!), visar resultatet att prognostiserade variansprognoser (!!") bidrar till ytterligare bättre portföljprestation. Samtidigt indikerar det på att det finns en större osäkerhet i att nyttja historiska värden på variansprognoser (!!!).
Utifrån denna studies resultat rekommenderas Beach och Orlovs metod i att prognostisera variansprognoser, som det tillägg av de studerade som bäst bidrar till att kvantifiera Black-Litterman i syfte att minska dess subjektivitet. Dock bör det tas i beaktning att varken transaktionskostnader eller skatt är medräknat i detta resultat.
7
'
FÖRSLAG'TILL'VIDARE'FORSKNING'
Vidare forskning inom ämnet vore intressant genom att undersöka andra marknader geografiskt sett samt över andra tidsperioder. Det skulle ge större inblick i om slutsatsen från denna studie går att generalisera i ett bredare perspektiv eller om det är något unikt för just de tillgångar och den tidsperiod som blivit analyserad. Vidare vore det intressant att undersöka ifall en mer avancerad prognosmetod än GARCH (1,1), en modell som fångar upp fler karaktäristiska egenskaper som finansiella data besitter, eller om makroekonomiska variabler hade bidragit till att en högre !-parameter inneburit förbättrade B-LBO optimeringar.
