Kommutativitet i en Ore-utvidgning över en polynomring

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik

KANDIDATUPPSATS I MATEMATIK / TILLÄMPAD MATEMATIK

Kommutativitet i en Ore-utvidgning över en polynomring

av

Viktor Klinga

Kandidatuppsats i matematik / tillämpad matematik

AVDELNINGEN FÖR TILLÄMPAD MATEMATIK, UKK

MÄLARDALENS HÖGSKOLA SE-721 23 VÄSTERÅS, SVERIGE

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik

Kandidatuppsats i matematik / tillämpad matematik

Datum för presentationen:

3 juni 2019

Projektnamn:

Kommutativitet i en Ore-utvidgning över en polynomring

Författare: Viktor Klinga Aktuell version: 3 juni 2019 Handledare: Johan Richter Granskare: Thomas Westerbäck Examinator: Sergei Silvestrov Omfattning: 15 högskolepoäng

Abstract

In this thesis, we study commutativity in polynomial rings in one variable with noncommut-ative multiplication over a domain, which is called Ore extensions. We look at the Ore ex-tension of a polynomial ring in one variable with coefficients belonging to a field. We study centralizers in this Ore extension. The centralizer of a nonconstant element turns out to be commutative and a free module. We also investigate when the centralizers as an algebra are generated by one element. Some new examples of such centralizers are presented. We also look into a new method to determine if the centralizers as an algebra are generated by one element.

Sammanfattning

I denna uppsats studerar vi kommutativitet i polynomringar i en variabel med icke-kommutativ multiplikation över en domän, så kallade Ore-utvidgningar. Vi Ore-utvidgar en polynomring i en variabel med koefficienter tillhörande en kropp. Vi studerar centralisatorer i denna Ore-utvidgning. Centralisatorn av ett icke-konstant element visar sig vara kommutativa och fria moduler. Vi undersöker även när centralisatorerna som en algebra är genererade av ett element. Några nya exempel av sådana centralisatorer presenteras. Vi undersöker också en ny metod för att bestämma om centralisatorn som en algebra är genererad av ett element.

Innehåll

1 Introduktion 3

1.1 Bakgrund . . . 3

1.2 Litteraturgenomgång . . . 6

1.3 Uppsatsens struktur . . . 6

2 Centralisatorer i en Ore-utvidgning över en polynomring 7 2.1 Allmänna egenskaper hos centralisatorer . . . 9

2.2 Centralisatorer genererade av ett element . . . 12

2.2.1 Nya resultat . . . 18

2.3 Ny metod . . . 21

3 Slutsats 26 A Sammanfattande reflektion 28 A.1 Kunskap och förståelse . . . 28

A.2 Färdighet och förmåga . . . 28

Kapitel 1

Introduktion

Definitioner av ring, kropp, grupp, polynomring, homomorfi, linjärt rum, med mera, kan stu-deras i t.ex. [7].

En ring kommer alltid vara associativ och unitär.

Vi kommer alltid låta R vara en ring, K en kropp, K[x] polynomringen i en variabel med koefficienter i K.

1.1

Bakgrund

Ore studerade icke-kommutativa polynom i artikeln [8] och var den första som definierade vad vi kallar en Ore-utvidgning av en ring.

Allmänt så gäller det att produkten som erhålls då två polynom p(x) och q(x) multipliceras uppfyller

deg(p(x) · q(x)) ≤ deg(p(x)) + deg(q(x)),

där polynomen har koefficienter i någon ring R. Om R saknar nolldelare, det vill säga R är en domän, så fås att

deg(p(x) · q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)). (1.1) I de fallen vi studerar, precis som Ore gjorde, kommer R vara en domän. Om likheten 1.1 gäller så har vi regeln

xr= σ (r)x + δ (r), (1.2) för alla r ∈ R och för några funktioner σ och δ på R. Multiplikationen som definieras av regeln 1.2 är således inte kommutativ, om inte σ = id och δ = 0. I detta arbete kommer vi studera polynomringar med denna icke-kommutativa multiplikation.

Den additiva abelska gruppen R[x] tillsammans med den nya multiplikationen kallas en Ore-utvidgning av ringen R. Vi låter S = R[x; σ , δ ] beteckna Ore-utvidgningen av R.

Exempel 1.1.1. Weylalgebran är en Ore-utvidgning, där den utvidgade ringen är någon poly-nomring R[y], σ = id och δ = d/dy är vanliga derivatan på R[y]. [4]

I [3] studerar de tillämpningar av Weylalgebran inom teorin för partiella differentialekva-tioner. Det finns även tillämpningar av Weylalgebran i teoretisk fysik [5].

Eftersom vi vill att Ore-utvidgningen ska vara en ring, så ska multiplikationen vara asso-ciativ och distributiv. Assoasso-ciativitet ger för r, s ∈ R att

x(rs) = σ (rs)x + δ (rs) och

(xr)s =(σ (r)x + δ (r))s

=σ (r)(σ (s)x + δ (s)) + δ (r)s =σ (r)σ (s)x + σ (r)δ (s) + δ (r)s. Tillsammans ger dessa ekvationer att

σ (rs) = σ (r)σ (s) (1.3) och

δ (rs) = σ (r)δ (s) + δ (r)s. (1.4) Distributivitet ger oss att

x(r + s) = σ (r + s)x + δ (r + s) och xr+ xs =σ (r)x + δ (r) + σ (s)x + δ (s) =(σ (r) + σ (s))x + δ (r) + δ (s). Från detta fås att σ (r + s) =σ (r) + σ (s), (1.5) δ (r + s) =δ (r) + δ (s). (1.6) Ekvationerna 1.3 och 1.5 ger att σ är en endomorfi. Ty δ uppfyller ekvationerna 1.4 och 1.6 definieras δ som en σ -derivering. [4]

Vidare kommer vi låta R = K[y], det vill säga polynomringen med koefficienter i någon kropp K.

Både σ och δ kommer antas vara K-linjära, det vill säga σ (kr) = kσ (r) och δ (kr) = kδ (r) för k ∈ K, r ∈ R. Vi kommer även låta σ vara injektiv och deg_y(σ (y)) > 1, alltså på formen σ (p(y)) = p(q(y)), där deg_y(q(y)) > 1.

Element r ∈ R sådana att σ (r) = r och δ (r) = 0 kallar vi konstanterna av Ore-utvidgningen. På grund av egenskapen deg_y(σ (y)) > 1, så kan inget element tillhörande K[y] \ K vara kon-stant. Vi har även att

σ (1) = σ (1 · 1) = σ (1)σ (1),

det vill säga σ (1) = 1. Eftersom vi antog att σ var K-linjär, så fås att σ (k) = kσ (1) = k, för alla k ∈ K. Vidare är

δ (1) = δ (1 · 1) = σ (1)δ (1) + δ (1)1 = 2δ (1),

vilket ger att δ (1) = 0 och med det är även δ (k) = kδ (1) = 0, för alla k ∈ K. Så konstanterna kommer vara exakt elementen tillhörande K.

Definition 1.1.1. Låt S vara en ring och A vara en delmängd av S. Då är centralisatorn CS(A)

lika med mängden av alla element i S som kommuterar med alla element i A. Om A = {P} skriver vi CS(P) istället för CS({P}).

Definition 1.1.2. Låt K vara en kropp. Då är A en K-algebra om A är en ring som även har struktur som ett linjärt rum över K, sådan att skalärmultiplikationen · : K × A → A tillsammans med multiplikationen i ringen uppfyller

k· (ab) = (k · a)b = a(k · b), för alla k ∈ K och a, b ∈ A.

Vissa författare kan kalla detta en associativ K-algebra, men t.ex. Hungerford [6] gör ej det.

Definition 1.1.3. Låt R vara en ring. En vänstermodul över R är en additiv abelsk grupp S tillsammans med en funktion · : R × S → S sådan att

1. r · (a + b) = r · a + r · b, 2. (r + s) · a = r · a + s · a, 3. r · (s · a) = (rs) · a, för alla r, s ∈ R och a, b ∈ S.

En högermodul definieras på liknande sätt, men vi har istället en funktion S × R → S. Om R är kommutativ så har vi en modul genom att låta rs = sr. En bas för en modul är en delmängd av linjärt oberoende element, sådana att varje element i modulen kan skrivas som en linjärkombination av element tillhörande delmängden. En fri modul är en modul som har en bas. En modul över R kan även komma att kallas en R-modul.

Vi kan även definiera vad vi menar med en delmodul [6].

Definition 1.1.4. Låt R vara en ring och S en vänstermodul över R. Då är B 6= /0 en delmodul till S om

1. B är en additiv delgrupp till S, 2. r · b ∈ B för alla r ∈ R och b ∈ B.

Definition 1.1.5. Låt R vara en ring. Om det finns ett minsta positivt heltal n sådan att nr = 0 för alla r ∈ R, då sägs R ha karakteristik n. Om inget sådant n existerar, då har R karakteristik noll.

1.2

Litteraturgenomgång

Grundläggande egenskaper och definition av en Ore-utvidgning kan studeras i [4]. Specialfall av Ore-utvidgningar presenteras och studeras också, till exempel Weylalgebran. Amistur stu-derade centralisatorer för Ore-utvidgningar i [1]. Han lät σ vara identitetsfunktionen och δ vara någon godtycklig derivering. Han visade följande sats.

Sats 1.2.1. Låt K vara en kropp av karakteristik noll med en derivering δ och låt F vara delkroppen av konstanter till K. Låt P∈ S = K[x; id, δ ], där deg(P) = n > 0. Sätt F[P] = {∑mi=0ciPi: ci∈ F}. Då är CS(P) en kommutativ delring till S och en fri F[P]-modul av rang

mindre än eller lika med n.

Tang undersökte i [11] fallet då σ var en automorfi, vilket han visar är då σ (y) = ay + b. Han visade motsvarande till Sats 1.2.1 för sitt fall av σ . Richter undersökte de kommuterande elementens algebraiska beroende i en Ore-utvidgning i artikeln [10] och han följer metoder från Amistur. Resultat kända från Weylalgebran generaliserades av Richter. Detta genom att Ore-utvidga en polynomring med koefficienter i en kropp och låta σ vara icke-inverterbar.

Amisturs artikel utvidgades vidare av Richter och Silvestrov i [9], där de även studera-de centralisatorer. I artikeln så betraktar studera-de Ore-utvidgningen av en polynomring över en kropp med σ icke-inverterbar, som Richter tidigare studerat i [10]. De presenterar ett bevis för att centralisatorn av varje icke-konstant element är kommutativ, där bevisidén kommer från Amisturs artikel [1]. Detta återges med bevis i detta arbete som Sats 2.1.2. De studerar även när centralisatorn genereras av enbart ett element som en K-algebra. Speciellt undersöker de när centralisatorn av ett element P av grad större än 0 (med avseende på x) genereras precis av P som en K-algebra och delar av resultaten presenteras i detta arbete som Proposition 2.2.1 och Proposition 2.2.2.

Centralisatorer i algebror med Gelfand-Kirillov dimension 2 studerades av Bell och Small i deras artikel [2]. Delar av resultaten ur artikeln liknar resultaten från [9], dock är algebrorna där och i detta arbete av oändlig Gelfand-Kirillov dimension.

1.3

Uppsatsens struktur

I del 2 studerar vi egenskaper av centralisatorerna. I del 2.1 så studerar vi centralisatorer genom att titta på koefficienterna för högstagradstermerna. Vi studerar centralisatorer genererade av ett element som en K-algebra i del 2.2. Några nya exempel utifrån detta presenteras i del 2.2.1. Vi undersöker en annan metod än att bara titta på koefficienten för högstagradstermen i del 2.3 för att bestämma centralisatorn för något element. Detta gör vi genom att presentera ett exempel på en centralisator av ett element som vi tidigare ej kan säga huruvida den är genererad av ett element som en K-algebra.

Kapitel 2

Centralisatorer i en Ore-utvidgning över

en polynomring

I denna del ska vi undersöka centralisatorer av en Ore-utvidgning över en polynomring. Vi ska studera egenskaper av dessa centralisatorer och när de genereras av endast ett element som en K-algebra.

Vi börjar med några välkända lemman.

Lemma 2.0.1. Om S är en ring och P ∈ S, då är C_S(P) en delring till S. Bevis. Från definitionen av centralisatorer så är CS(P) ⊆ S.

Vi måste visa att CS(P) är sluten under subtraktion och multiplikation.

Tag q, z ∈ CS(P). Då gäller qP = Pq och zP = Pz. Vilket ger

qP− zP = Pq − Pz, där vi kan faktorisera P för att få

(q − z)P = P(q − z).

Det vill säga, q − z ∈ CS(P). Alltså är CS(P) sluten under subtraktion.

Tag

q(zP) = q(Pz) och

(Pq)z = (qP)z. Detta ger då att

qzP= qPz = Pqz,

så qz ∈ CS(P) och därmed är CS(P) är sluten under multiplikation.

Eftersom CS(P) ⊆ S är sluten under multiplikation och subtraktion så följer det att CS(P)

är en delring till S.

Att ett element P ∈ S kommuterar med sig själv är tämligen uppenbart, men i nästföljande lemma visar vi att alla element på formen cmPm+ · · · + c1P+ c0, ci ∈ K, för i = 0, 1, . . . m,

Lemma 2.0.2. Låt P ∈ S. Då är K[P] = {∑mi=0ciPi: ci∈ K} ⊆ CS(P).

Bevis. Vi måste visa att alla element i K[P] kommuterar med P.

Eftersom P kommuterar med sig själv och alla element tillhörande K, så följer det från distributivitet och associativitet att P kommuterar med Piför alla ickenegativa heltal i.

Alltså kommuterar P med alla element i K[P], och därför måste K[P] ⊆ CS(P).

Lemma 2.0.3. Låt P ∈ S. Då är K[P] en delring till CS(P).

Bevis. Vi vet att K[P] ⊆ CS(P), så vi måste visa att K[P] är sluten under subtraktion och

multiplikation.

Varje element i K[P] är på formen

n

∑

i=0

ciPi, ci∈ K.

Tar vi två godtyckliga element, där vi kan anta att n > m, ki∈ K och km+1, . . . , knär lika

med noll, så är n

∑

i=0 ciPi− m

∑

i=0 kiPi= n

∑

i=0 (ci− ki)Pi∈ K[P].

Även fås att K[P] är sluten under multiplikation ty

n

∑

i=0 ciPi m

∑

i=0 kiPi= c0k0+ (c1k0+ k1c0)P + · · · + cnkmPm+n∈ K[P].

Eftersom P kommuterar med sig själv och alla koefficienter, så kan vi skriva produkten som ett nytt element i K[P].

Därmed följer det att K[P] är en delring till CS(P).

Lemma 2.0.4. Låt P ∈ S. Då är C_S(P) en K-algebra.

Bevis. Vi vet att CS(P) är en ring och kroppen K är en delring till CS(P). Så CS(P) är ett

linjärt rum över K och eftersom K kommuterar med alla element ur CS(P), så följer det att

multiplikation med skalärer uppfyller att

k· (ab) = (k · a)b = a(k · b), för alla k ∈ K och a, b ∈ CS(P).

Lemma 2.0.5. Låt P ∈ S. Då är K[P] en K-algebra.

2.1

Allmänna egenskaper hos centralisatorer

I denna del följer vi främst resultaten presenterade i [9]. Vi kommer att visa att centralisatorn av ett icke-konstant element P tillhörande S är kommutativ och en fri K[P]-modul av rang mindre än eller lika med graden av P. Vi visar även att centralisatorn av ett element tillhörande Sav grad n > 0 genereras av n element som en K-algebra.

Följande lemma säger att om vi har två element Q1 och Q2tillhörande CS(P), där de har

lika grad m, så kan vi finna α ∈ K sådan att deg(Q1− αQ2) < m.

Lemma 2.1.1 ([9]). Antag att P ∈ S har grad n och Q ∈ CS(P) har grad m. Låt pnoch qmvara

de ledande koefficienterna för P respektive Q. Då är

p_nσn(qm) = qmσm(pn). (2.1)

Lösningsrummet för qm i ekvation 2.1 är ett K-linjärt underrum av K[y] med dimension som

mest 1.

Bevis. Ekvation 2.1 följer direkt när likhet sätts mellan högstagradstermernas koefficienter i PQoch QP. Låt deg_y(pn) = ρ, degy(σ (y)) = s och degy(qm) = k. Då fås att

ρ + snk= k + smρ ,

dvs. k bestäms entydigt. Antag nu att a, b är två lösningar till ekvation 2.1. Då kan vi finna α ∈ K sådan att deg_y(a − αb) < k. Men a − αb är en ny lösning av ekvation 2.1, eftersom om vi tar p_nσn(a) = aσm(pn) och subtraherar p_nσn(αb) = αbσm(pn), fås p_nσn(a − αb) = (a − αb)σm(pn).

Så det följer att a = αb, ty om graden ej är k så måste qm= 0. Därför är lösningsrummet

som mest endimensionellt.

Nästa lemma säger att inget element P tillhörande S av grad större än noll, kan kommutera med ett element Q av grad noll som ett element i S, såvida inte Q tillhör konstanterna. Det vill säga, Q får ej tillhöra K[y] \ K.

Lemma 2.1.2 ([9]). För alla P ∈ S med grad större än 0 så gäller det att C_S(P) ∩ R = K.

Bevis. Detta följer från beviset av Lemma 2.1.1.

Antag motsatsen, då vi har deg(P) > 0 och CS(P) ∩ R 6= K. Uppenbarligen så har vi att

CS(P) ∩ R ⊇ K. Så kan vi visa att inget element i R \ K tillhör CS(P) är vi klara. Antag Q ∈ R \ K

och även att Q ∈ CS(P). Då får vi, om pnär den ledande koefficienten för P, att

Qp_n= pnσn(Q),

det vill säga σn(Q) = Q. Således måste Q ∈ K, så vi får en motsägelse. Notera att i följande sats har vi en modul, ty K[P] är kommutativ.

Sats 2.1.1 ([9]). Låt P ∈ S \ K. Då är CS(P) en fri K[P]-modul av rang mindre än eller lika

med n= deg(P).

Bevis. Eftersom K[P] är en kommutativ delring till CS(P), så följer det att CS(P) är en

K[P]-modul.

Det som är kvar att visa är att CS(P) har en bas B, där |B| ≤ deg(P) = n.

Låt M ⊆ {0, 1, . . . , n−1}, där i ∈ M om och endast om pi∈ CS(P) och deg(pi) ≡ i (mod n).

Låt piha minsta möjliga grad för denna egenskap och låt p0= 1. Vi visar att B = {pi: i ∈ M}.

Antag ∑i∈M fipi= 0, för några fi∈ K[P]. Om fi6= 0 för något i, då följer det att deg( fi) är

delbart med n, ty fi∈ K[P], dvs. fihar grad på formen l · n, där l är något ickenegativt heltal.

Det vill säga

deg( fipi) = deg( fi) + deg(pi) ≡ deg(pi) ≡ i (mod n).

Om ∑i∈M fipi= 0, men ej alla fi= 0, så måste det existera fipioch fjpjsådana att deg( fipi) =

deg( fjpj). Men detta går ej ty i 6≡ j (mod n).

Vi har kvar att visa att B spänner upp CS(P). Låt W vara delmodulen som B spänner upp.

Alla element av grad 0 tillhörande CS(P) ligger även i W , eftersom de elementen som har

grad 0 tillhörande CS(P) är de elementen i K, vilket också finns i W ty p0= 1. Antag att alla

element tillhörande CS(P) av grad mindre än j ligger i W . Låt Q ∈ CS(P) ha grad j. Vi visar

att Q också tillhör W . Det finns ett i ∈ M sådan att j ≡ i (mod n). Låt pi ha grad m, dvs.

m≡ i (mod n) och m ≤ j (pga. egenskapen av pi). Alltså är j = m + qn för något ickenegativt

heltal q. Elementet Pqp_i ligger i W och har grad m + qn = j. Från Lemma 2.1.1 så vet vi att den ledande koefficienten av Q är lika med den ledande koefficienten av Pqpi multiplicerat

med någon konstant α ∈ K. Dvs. Q − αPqp_i∈ CS(P) och har grad mindre än j och enligt

induktionsantagandet så Q − αPqp_i∈ W . Därför gäller även att Q ∈ W och därför spänner B upp CS(P).

Följande sats visar att antalet element som behövs för att generera en centralisator som en K-algebra kan begränsas uppåt.

Följdsats 2.1.1 ([9]). Låt P ∈ S och deg(P) = n > 0. Då kan vi finna n stycken element som genererar K-algebran C_S(P).

Bevis. Från Sats 2.1.1 och dess bevis finner vi en bas B = {pi: i ∈ M} för CS(P) som en

K[P]-modul. Det vill säga varje element i CS(P) kan skrivas på formen ∑i∈M fipi. Basen B har som

Varje element t

∑

i=0 c_iPli,0_pli,1 1 . . . p li,n−1 n−1 ,

tillhör CS(P) på grund av slutenhet. Eftersom varje element som har denna form kan skrivas

som ∑i∈M fipi, så det följer att {P, p1, . . . , pn−1} genererar CS(P) som en K-algebra.

Följande sats visar att i vårat fall är centralisatorn av ett icke-konstant element kommutativ. Att det ej gäller för ett konstant element är uppenbart, eftersom konstanterna kommuterar med alla element i S. Det vill säga om k ∈ K, då är CS(k) = S, som uppenbarligen ej är kommutativ.

Sats 2.1.2 ([9]). Låt P ∈ S \ K. Då är CS(P) kommutativ.

Vi använder följande lemman i beviset. Se t.ex. Hungerford [7] för bevisen av dessa. Lemma 2.1.3. Om G0är en ändlig delmängd av någon grupp G och G0är sluten under samma operator som G, då är G0en delgrupp till G.

Lemma 2.1.4. Varje delgrupp till en cyklisk grupp är själv cyklisk.

Lemma 2.1.5. Gruppen Zn= {0, 1, 2, . . . , n − 1} tillsammans med operatorn addition modulo

n är en cyklisk grupp.

Bevis av Sats 2.1.2. Om P ∈ R \ K, så följer det att CS(P) = R. Så i detta fall är centralisatorn

kommutativ. Antag nu att deg(P) > 0. Låt D vara mängden av grader större än noll i CS(P).

Ty CS(P) är en ring och deg(ab) = deg(a) + deg(b) för alla a och b skiljda från noll, så följer

det att D är sluten under addition. Avbilda D på Zn= {0, 1, . . . n − 1} och låt Dnvara bilden.

Då är Dnen delgrupp till Zn, ty Dnär ändlig och sluten under addition. Det följer att Dnär en

cyklisk grupp, eftersom Znär det.

Låt Q ∈ CS(P) vara ett element sådan att deg(Q) mod n genererar Dn. Låt

J= {H(P, Q) = φ0+ φ1Q+ · · · + φlQl: φi∈ K[P], i = 0, . . . , l}

och låt

E= {deg(H(P, Q)) : H(P, Q) ∈ J}.

Antag att t ∈ N är sådan att om m ≥ t och m ∈ D, då är m ∈ E. Ett sådant t existerar, ty deg(Q) mod n genererar Dn. Tag nu något element U ∈ CS(P). Om deg(U ) ≥ t så kan vi

finna H1(P, Q) ∈ J sådant att deg(U − H1) < deg(U ). Om deg(U − H1) ≥ t, så kan vi fortsätta

och ta H2(P, Q) ∈ J så att deg((U − H1) − H2) < deg(U − H1). Tillslut kommer vi kunna skriva

U= H(P, Q) +U0,

där deg(U0) < t och H(P, Q) är summan av alla Hi. Mängden element av grad mindre än t i

C_S(P) bildar ett ändligtdimensionellt linjärt rum över K med dimension som mest t. Om V är ett element tillhörande CS(P) så kan vi skriva

där deg(Vi) < t för i = 0, 1, . . . ,t. Då är {Vi} linjärt beroende, så vi kan finna ci∈ K, där ej alla c_i= 0, sådana att t

∑

i=0 ciVi= 0.

Detta leder till att

V t

∑

i=0 ciPi= t

∑

i=0 ciHi.

Så det existerar 0 6= f ∈ K[P] och H(P, Q) ∈ J sådana att V f (P) = H(P, Q), för alla V ∈ CS(P).

Sedan tidigare vet vi att alla element i K[P] kommuterar med alla element i CS(P). Eftersom

Q∈ CS(P) så betyder det att Q kommuterar med alla element i K[P], varför även alla element

i J = {H(P, Q)} kommer kommutera med varandra. Så tag elementen V1 och V2 tillhörande

CS(P) och låt Vifi(P) = Hi(P, Q). Då fås att V1V2f1(P) f2(P) = V1f1(P)V2f2(P) = H1(P, Q)H2(P, Q) = H₂(P, Q)H₁(P, Q) = V₂f₂(P)V₁f₁(P) = V₂V₁f₁(P) f₂(P). Då fås att V1V2= V2V1, eftersom S är en domän.

Det vill säga CS(P) är kommutativ, ty V1och V2var godtyckliga element tillhörande CS(P).

På grund av kommutativiteten i centralisatorerna, så kan vi säga följande.

Proposition 2.1.1 ([9]). Låt A vara en delmängd till S. Då är CS(A) lika med S, K eller CS(P),

där P är något element i S\ K.

Bevis. Antag att A = {P, Q}, där P, Q ej är konstanta och de kommuterar ej med varandra. Antag att ett element U ∈ C_S(A) som ej är konstant. Då ska U kommuterar både med P och Q, dvs P ∈ CS(U ) och Q ∈ CS(U ). Från Sats 2.1.2 så ska P och Q kommutera med varandra,

vilket vi antog att de ej gör. Alltså kan ej ett sådant U existera, vilket ger att CS(A) = K.

Antag att ett icke-konstant element P finns i A och att alla element i A kommuterar med P. Då måste CS(A) ⊆ CS(P). Eftersom CS(P) är kommutativ och A ⊆ CS(P), så följer det att varje

element i CS(P) kommuterar med varje element i A, det vill säga CS(P) ⊆ CS(A). Således är

C_S(A) = C_S(P).

Om A endast består av konstanter, så kommuterar A med alla element i S och då fås att C_S(A) = S.

2.2

Centralisatorer genererade av ett element

Vi vill undersöka, för något element P ∈ S, när CS(P) = K[Q], för något element i Q ∈ S.

Det vill säga då centralisatorn av P genereras som en K-algebra av ett element. De viktigaste resultaten som presenteras här återfinns i [9].

Exempel 2.2.1. Låt deg(P) = 1. Enligt Följdsats 2.1.1 så ska vi kunna finna ett element Q ∈ C_S(P) sådan C_S(P) = K[Q]. Vi måste ha att deg(Q) = 1 och ty K[P] ⊆ C_S(P), så fås att K[P] ⊆ K[Q]. Med Q = q1x+ q0fås

P= p1x+ p0=

∑

ciQi=

∑

ci(q1x+ q0)i= c0+ c1(q1x+ q0),

vilket ger c1q1= p1och c0+ c1q0= p0. Dessa kan vi skriva som

q₁=1 c₁p1, q₀=1

c1

(p0− c0).

Således är Q = c1· P −c0_c1. Det vill säga CS(P) = K[_c1₁· P −c0_c1] = K[P]. Alltså är CS(P) = K[P].

Just fallet då vi har ett element av grad 1 i S, som i Exempel 2.2.1, kommer användas i flera bevis framöver.

Även följande lemma är viktig, ty det ger ett villkor då vi kan säga direkt när en centrali-sator är genererad av endast ett element.

Lemma 2.2.1 ([9]). Låt P ∈ S som ej är konstant och deg(P) = n. Antag att alla element i C_S(P) har grad delbart med n. Då är

C_S(P) = K[P] = {

_∑

c_iPi: ci∈ K}.

Bevis. Från tidigare vet vi att K[P] ⊆ CS(P) och att alla konstanta element tillhör både CS(P)

och K[P].

Antag att alla element av grad lägre än k i CS(P) även existerar i K[P]. Låt ett element

Q∈ C_S(P) ha grad k. Vi vill visa att Q ∈ K[P]. Om k ej är delbart med n, så är Q 6∈ C_S(P), från antagandet att alla element i CS(P) har grad delbart med n. Så låt k = pn för något heltal p.

Elementet Pp∈ CS(P) och

deg(Pp) = np = k.

Då existerar α ∈ K enligt Lemma 2.1.1, sådan att den ledande koefficienten för Q och αPpär lika med varandra. Det vill säga deg(Q − αPp) < k. Induktionsantagandet ger att Q − αPp∈ K[P], eftersom detta element har grad lägre än k. Detta leder till att Q ∈ K[P].

Följande lemma kommer användas i en del bevis framöver.

Lemma 2.2.2 ([9]). Låt s, m och n vara positiva heltal och antag att gcd(m, n) = 1. Då är gcd n−1

∑

i=0 si, m−1

∑

j=0 sj ! = 1.

Även detta lemma kommer att utnyttjas till några bevis, först och främst i beviset för Lem-ma 2.2.2.

Bevis av Lemma 2.2.2. Detta kan bevisas genom induktion på n. Då n = 1 är det sant, ty gcd 0

∑

i=0 si, m−1

∑

j=0 sj ! = gcd 1, m−1

∑

j=0 sj ! = 1. När n = 2 har vi, med m > n, att

gcd 1

∑

i=0 si, m−1

∑

j=0 sj ! = gcd 1 + s, m−1

∑

j=0 sj ! = gcd 1 + s, 1 + s + m−1

∑

j=2 sj ! . Från Lemma 2.2.3 fås gcd 1 + s, 1 + s + m−1

∑

j=2 sj ! = gcd 1 + s, m−1

∑

j=2 sj ! . Vi kan skriva att

m−1

∑

j=2 sj= s2 m−3

∑

j=0 sj och eftersom gcd(s + 1, s2) = 1, leder det till

gcd 1 + s, s2 m−3

∑

j=0 sj ! = gcd 1 + s, m−3

∑

j=0 sj ! .

Genom att upprepa denna procedur och med det faktum att m är udda, så hamnar vi i situatio-nen att gcd(s + 1, 1) = 1.

Antag att det stämmer för alla n < k, för något heltal k > 2, och vi visar att det stämmer för n = k. Låt m > k sådan att gcd(m, k) = 1. Detta ger att

gcd k−1

∑

i=0 si, m−1

∑

j=0 sj ! = gcd k−1

∑

i=0 si, k−1

∑

i=0 si+ m−1

∑

j=k sj ! = gcd k−1

∑

i=0 si, m−1

∑

j=k sj ! = gcd k−1

∑

i=0 si, m−1

∑

j=k sj ! = gcd k−1

∑

i=0 si, sk m−1−k

∑

j=0 sj ! = gcd k−1

∑

i=0 si, m−1−k

∑

j=0 sj ! . Sista likheten gäller ty sk= 1 + ∑k−1_i=0 sioch därmed

gcd k−1

∑

i=0 si, sk ! = gcd k−1

∑

i=0 si, 1 + k−1

∑

i=0 si ! = gcd k−1

∑

i=0 si, 1 ! = 1,

från Lemma 2.2.3. Vi vet även att gcd(k, m − k) = 1 från Lemma 2.2.3. Om m − k < k så använder vi induktionsantagandet, ty det stämmer för alla n < k. Annars om m − k > k, låt m₁= m − k och börja om. Vi får mt = m − tk om vi upprepar räkningen t gånger och hamnar

I följande proposition visar vi när centralisatorn av ett element av grad som är ett primtal är genererat av ett element.

Proposition 2.2.1 ([9]). Låt P = pnxn+ · · · + p1x+ p0∈ S där n är ett primtal och pn6= 0. Låt

deg_y(pn) = ρ och degy(σ (y)) = s. Om ∑n−1i=0 siinte delar ρ, då är CS(P) = K[P].

Bevis. Låt Q vara ett element i S av grad m som kommuterar med P. Antag att gcd(m, n) = 1 och låt qm vara den ledande koefficienten för Q. Från PQ = QP och koefficienterna från

högstagradstermen fås

p_nσn(qm) = qmσm(pn).

Låt deg_y(σ (y)) = s, deg_y(pn) = ρ och degy(qm) = k, vilket ger att

ρ + snk= k + smρ ⇔ k(sn− 1) = ρ(sm− 1) ⇔ k = ρs m_{− 1} sn_{− 1}. Ty s_s−1m−1 = ∑m−1_i=0 siså fås att sm− 1 sn_{− 1} = sm−1 s−1 sn₋₁ s−1 = ∑ m−1 i=0 si ∑n−1_i=0 si , vilket ger att

k= ρs m_{− 1} sn_{− 1} ⇔ k = ρ ∑m−1_i=0 si ∑n−1_i=0 si .

Från Lemma 2.2.2 är gcd(∑n−1i=0 si, ∑m−1i=0 si) = 1 och vi vet att ∑n−1i=0 si ej delar ρ. Då kan ej k

vara ett heltal, vilket ger en motsägelse. Ty n är ett primtal följer det att gcd(m, n) = n. Från Lemma 2.2.1 fås då att CS(P) = K[P].

Lemma 2.2.2 kan utvecklas till flera fall än bara då största gemensamma delaren är 1. Detta faktum kommer behövas antas i bevis framöver.

Lemma 2.2.4 ([9]). Låt m, n och s > 1 vara positiva heltal. Om gcd(m, n) = r då är gcd n−1

∑

i=0 si, m−1

∑

j=0 sj ! = r−1

∑

i=0 si. Bevis. Vi kan skriva att

n−1

∑

i=0 si=s n_{− 1} s− 1 = snrr− 1 s− 1 · sr− 1 sr− 1 =(s r₎n_{r − 1} sr_{− 1} · sr− 1 s− 1 = n r−1

∑

i=0 sri ! _r−1

∑

k=0 sk ! . På samma sätt fås att m−1

∑

i=0 si= m r−1

∑

i=0 sri ! _r−1

∑

k=0 sk ! . Eftersom gcd n_r,m_r
= 1, så följer det att gcd∑

m r−1 i=0 sri, ∑ n r−1 i=0 sri  = 1 från Lemma 2.2.2.

Vi visar att centralisatorn av ett element är genererad av ett element om graden av den ledande koefficienten uppfyller vissa villkor.

Proposition 2.2.2 ([9]). Låt P ∈ S och deg(P) = n > 0. Om 0 < deg_y(p_n) ≤ n, där p_n6= 0 är den ledande koefficienten för P, då är C_S(P) = K[P].

Bevis. Följdsats 2.1.1 ger att det är sant då n = 1. Då n = 2 stämmer det enligt Proposi-tion 2.2.1, ty

1

∑

i=0

si= 1 + s ≥ 1 + 2 = 3 och med ρ ≤ 2 fås att

1

∑

i=0

si> ρ,

det vill säga ∑1i=0sidelar ej ρ. På likadant sätt fås att det är sant för n = 3.

Låt Q ∈ CS(P) ha grad m, med ledande koefficient qm. Låt degy(σ (y)) = s, degy(pn) = ρ

och deg_y(qm) = k. Sätt PQ = QP så fås en ekvation för graden av de ledande koefficienterna

k= ρs m_{− 1} sn− 1 = ρ ∑m−1_i=0 si ∑n−1_i=0 si .

Antag nu att r = gcd(m, n) och att r < n. Om detta ej stämmer så måste r = n och då stämmer det enligt Lemma 2.2.1. Då fås att

n−1

∑

i=0 si= n r−1

∑

i=0 sri ! _r−1

∑

i=0 si ! . Vidare är n r−1

∑

i=0 sri> sr(nr−1)= sn−r≥ 2n−r, _(2.2) där 2n 2r ≥ 2 n 2_,

ty r ≤ n₂. För att k ska vara ett heltal så måste ∑

n r−1

i=0 sri dela ρ, enligt Lemma 2.2.4. Dock är

ρ ≤ n och 2

n

2 ≥ n för alla n ≥ 4. Detta leder till att n

r−1

∑

i=0

sri> 2n2 ≥ n ≥ ρ. _(2.3)

Således fås en motsägelse. Det vill säga r = n, vilket ger att gcd(n, m) = n. Alltså är graden av varje element i CS(P) delbart med n = deg(P) och beviset är klart enligt Lemma 2.2.1.

Exempel 2.2.2 ([9]). Om n är något positivt heltal, då är CS(ynxn) = K[ynxn], vilket följer

Vi kan även visa att det följer i vissa fall då den ledande koefficienten har större grad än elementet att centralisatorn är genererad av ett element.

Proposition 2.2.3 ([9]). Om n är något positivt heltal, då är CS(xnyn) = K[xnyn].

Bevis. Då n = 1 är det sant enligt Följdsats 2.1.1. Elementet xnyn har grad n och skriver vi elementet på vanlig form så är dess ledande koefficient är σn(yn). Vi har att deg_y(σn(yn)) = nsn.

Då n = 2 är det sant enligt Proposition 2.2.1, ty

1

∑

i=0

si= 1 + s delar ej 2s2. Detta kan vi se genom att

gcd(1 + s, s2) = gcd(1 + s, 1 + s + s2) = 1

enligt Lemma 2.2.2. Ty 1 + s > 2 så kan ej 1 + s dela 2. Det vill säga 1 + s delar ej 2s2. Då n = 3 följer det också från Proposition 2.2.1. I detta fall så ska 1 + s + s2≥ 7 ej dela 3s3. Ty

gcd(1 + s + s2, s3) = 1 och 1 + s + s2> 3 så måste det gälla.

Låt nu n ≥ 4 och Q ∈ CS(xnyn) ha grad m som ett element i S. Om gcd(m, n) = n så är

vi klara enligt Lemma 2.2.1. Antag att detta ej gäller, säg att gcd(m, n) = r där r < n. Sätt likhet mellan de ledande koefficienterna från PQ = QP, där k är graden i y av den ledande koefficienten för Q, så fås att k= nsn∑ m−1 i=0 si ∑n−1_i=0 si . Ty gcd(m, n) = r så fås från Lemma 2.2.4 att k= nsn∑ m r−1 i=0 sri ∑ n r−1 i=0 sri , där gcd( m r−1

∑

i=0 sri, n r−1

∑

i=0 sri) = 1. (2.4) Vi har även att

gcd(sn, n r−1

∑

i=0 sri) = 1, (2.5) ty om p är ett primtal som delar sn, så medför det att p delar s. Alltså kommer också p dela sr+ s2r+ . . . sn−r. Då delar p inte 1 + sr+ . . . sn−r= ∑

n r−1 i=0 sri.

Ekvation 2.4 och 2.5 ger då tillsammans att gcd(sn m r−1

∑

i=0 sri, n r−1

∑

i=0 sri) = 1, så ∑ n r−1

i=0 srimåste dela n för att k ska vara ett heltal. Dock, som i beviset för Proposition 2.2.2,

så är n r−1

∑

i=0 sri> 2n(nr−1)≥ 2 n 2r ≥ 2 n 2 ≥ n.

Vilket ger en motsägelse, det vill säga gcd(m, n) = n.

2.2.1

Nya resultat

Här presenteras några nya resultat, där vissa resultat följer direkt från [9]. Speciellt kommer vi undersöka vad vi kan säga då den ledande koefficienten har större grad än elementet själv. Exempel 2.2.3. Från Proposition 2.2.2 fås att om n är något positivt heltal och deg_y(p(y)) = n, då är CS(p(y)xn) = K[p(y)xn].

Exempel 2.2.4. Om n är något positivt heltal så är CS((yn+ y)xn) = K[(yn+ y)xn].

Följdsats 2.2.1. Om n är något positivt heltal och deg_y(p(y)) = n, då är CS(xnp(y)) = K[xnp(y)].

Bevis. Följer från beviset för Proposition 2.2.3, eftersom endast den ledande koefficienten används.

Notera att i Följdsats 2.2.1 så gäller det för alla element av grad n med ledande koefficient av grad nsn, om deg_y(σ (y)) = s.

Exempel 2.2.5. Om n är något positivt heltal så är

C_S((yn+ y)xn+ ytx) = K[(yn+ y)xn+ ytx],

där t är något icke-negativt heltal. Notera att vi ej sätter några restriktioner på t, utom att det ska vara icke-negativt. Alltså kan vi ha att

C_S(y3x3+ yx3+ y10000x) = K[y3x3+ yx3+ y10000x].

Det vi har studerat hittills är fallet då deg(pn) ≤ deg(P) , deg(P) > 0, för något element P

med ledande koefficient pn, precis som de görs i [9]. Låt oss nu undersöka vad som händer om

vi låter graden av den ledande koefficienten av elementet vara större än graden av elementet själv.

Följdsats 2.2.2. Låt P ∈ S, deg(P) = n > 0 och l ≥ 0 vara ett heltal. Om 0 < deg_y(pn) ≤ n + l

Bevis. Detta följer från beviset av Proposition 2.2.2 och speciellt ekvation 2.3. I detta fall är ρ = deg_y(pn) ≤ n + l, vilket ger

n r−1

∑

i=0

sri> 2n2 ≥ n + l ≥ ρ,

eftersom en av förutsättningarna var att 2n2 ≥ n + l. Alltså är ρ inte delbart med ∑ n r−1

i=0 sri och

det följer att gcd(m, n) = n.

Notera att i Följdsats 2.2.2 så säger vi ingenting om då 2n2 < n + k. Låt oss visa med ett

exempel att centralisatorn kan vara genererad av ett element, trots att 2n2 < n + k.

Exempel 2.2.6. Vi har för n ≥ 1 att CS(yn+1xn) = K[yn+1xn] då n 6= 2 och n 6= 4.

När n = 1 gäller det från Följdsats 2.1.1. Då n = 3 gäller det från Proposition 2.2.1, ty 1 + s + s2≥ 1 + 2 + 22= 7 > n + 1 = 3.

För n = 5 gäller det från Proposition 2.2.1, ty

1 + s + s2+ s3+ s4≥ 31 > n + 1 = 6. Då n ≥ 6 så är 2n2 ≥ n + 1, och det håller enligt Följdsats 2.2.2.

Låt nu σ (y) = y2och δ (y) = 0. När n = 2 fås att y3x2= yxyx = (yx)2. För n = 4 har vi

y5x4= y(y2)2x4= yx2yx2= (yx2)2.

Det vill säga, då n = 2 och n = 4 kan vi finna σ , δ sådana att centralisatorn av elementen genereras av ett element av lägre grad.

Alltså ser vi från Exempel 2.2.6 att detta kan gälla för n som inte uppfyller 2n2 ≥ n + k.

Från Propositions 2.2.3 tillsammans med Följdsats 2.2.2 kan vi studera element av grad n med ledande koefficient av grad (n + l)sn.

Följdsats 2.2.3. Låt P ∈ S, deg(P) = n > 0 och l ≥ 0 vara ett heltal. Om 0 < deg_y(pn) ≤ n + l

och2n2 ≥ n + l, där P = xnp_n+ · · · + xp₁+ p₀, då är C_S(P) = K[P].

Bevis. I beviset för Proposition 2.2.3 används enbart graden av den ledande koefficienten, i detta fall har vi (n + l)sn. Så i detta fall fås att ∑

n r−1

i=0 srimåste dela n + l. Vilket det ej gör enligt

beviset av Följdsats 2.2.2, ty 2n2 ≥ n + l.

Begränsar vi graden av σ så kan vi säga ännu mer.

Följdsats 2.2.4. Låt P ∈ S, deg(P) = n > 0 och k ≥ 0 vara heltal. Om 0 < deg_y(pn) ≤ n + k

Vi använder följande lemma i beviset.

Lemma 2.2.5. Låt k och n vara heltal, där k ≥ 0 och n ≥ 4. Då är (2 + k)n2 ≥ n + k.

Bevis av Lemma 2.2.5. Då n = 4 är

(2 + k)2= 4 + 4k + k2≥ 4 + k,

med likhet endast då k = 0. Antag att det stämmer för alla n ≤ m. Vi visar att det stämmer för m+ 1. Det ger (2 + k)m+12 = (2 + k) m 2(2 + k) 1 2 ≥ (m + k)(2 + k) 1 2 ≥ (m + k)2 1 2. Vidare är (m + k)212 ≥ m · 2 1 2 _{+ k}

och det kan enkelt visas att för m ≥ 4 så är

m· 212 > m + 1.

Alltså fås att

(2 + k)m+12 ≥ m + 1 + k

och enligt induktionsprincipen så gäller det för alla n.

Bevis av Följdsats 2.2.4. Detta följer från beviset av Proposition 2.2.2.

Låt ρ = deg_y(pn). Då n = 1 gäller det från Följdsats 2.1.1. Då n = 2 gäller det från

Propo-sition 2.2.1, ty

1 + s ≥ 1 + (k + 2) > n + k = 2 + k ≥ ρ. Då n = 3 gäller det också från Proposition 2.2.1, eftersom

1 + s + s2= 1 + (k + 2) + (k + 2)2> n + k = 3 + k ≥ ρ.

Låt Q ∈ CS(P) ha grad m. Antag gcd(m, n) = r där r < n. Ekvation 2.2 ger i detta fall med

deg_y(σ (y)) ≥ k + 2 att

n r−1

∑

i=0

sri> sr(nr−1) _{= s}n−r≥ (2 + k)n−r_.

Ty r ≤ n₂ så följer det att

(2 + k)n−r≥ (2 + k)n2

Det följer från Lemma 2.2.5 att ∑

n r−1

i=0 sri> (2 + k) n

2 ≥ n + k ≥ ρ för n ≥ 4. Alltså kan inte

∑

n r−1

i=0 sridela ρ, vilket ger en motsägelse. Det vill säga gcd(m, n) = n och beviset är klart enligt

Lemma 2.2.1.

Exempel 2.2.7. Om deg_y(σ (y)) ≥ 3, då är CS(yn+1xn) = K[yn+1xn] för alla positiva heltal n.

2.3

Ny metod

I denna del ska vi undersöka om vi kan bestämma centralisatorn av ett element i S på något annat sätt än metoden i del 2.2. Ta till exempel elementet P = y3x2+ y2x. Med de tidigare metoderna kan vi ej säga huruvida centralisatorn av detta element är genererat av ett element eller ej. Kan vi bestämma att P ej kommuterar med något element av udda grad, då måste C_S(P) = K[P] enligt Lemma 2.2.1. Vi kommer låta δ = 0, för att förenkla beräkningarna.

Vi noterar om Q = qmxm+ · · · + q0och P kommuterar med Q så följer det att q0∈ K, ty

koefficienterna i termen med lägst grad i PQ = QP att q₀y2= y2σ (q0).

Därför kommer vi låta q0= 0.

Vi börjar med ett exempel för att se vilken ekvationer vi får, då δ = 0, om vi har ett element av grad två som kommuterar med ett godtyckligt element.

Exempel 2.3.1. Tag P = p2x2+ p1xoch Q = qmxm+ . . . q1x. Låt p2 och qmvara skilda från

noll. Sätt δ = 0. Då fås från PQ = QP att p2σ2(qm) = qmσm(p2), p2σ2(qm−1) + p1σ (qm) = qm−1σm−1(p2) + qmσm(p1), p₂σ2(qm−2) + p1σ (qm−1) = qm−2σm−2(p2) + qm−1σm−1(p1), .. . p2σ2(q1) + p1σ (q2) = q1σ (p2) + q2σ2(p1), p1σ (q1) = q1σ (p1).

Alltså får vi m stycken ekvationer.

Målet är att visa att inget element av udda grad kommuterar med P, så vi börjar med att undersöka om P kan kommutera med ett element av grad ett.

Exempel 2.3.2. Låt P = y3x2+ y2xoch Q = q1x. Sätt δ = 0 och antag q16= 0. Om P och Q

kommuterar så ska

y3σ2(q1) =q1σ (y3), (2.6) y2σ (q1) =q1σ (y2). (2.7)

Låt deg_y(q1) = k och degy(σ (y)) = s.

Från ekvation 2.7 fås att

2 + sk = k + s · 2 ⇔ k = 2s− 1 s− 1, det vill säga deg_y(q₁) = 2.

Ekvation 2.6 ger

3 + s2k= k + s · 3 ⇔ k = 3 s− 1 s2_{− 1},

det vill säga k =_s+13 . Med k = 2 fås att s =1₂, vilket ger en motsägelse. Alltså är q1= 0, vilket

ger att P ej kan kommutera med något element av grad 1.

Exempel 2.3.3. Låt P = y3x2+ y2xoch Q = q3x3+ q2x2+ q1x. Antag att q36= 0. Sätt δ = 0.

Om P och Q kommuterar, då får vi systemet

y3σ2(q3) = q3σ3(y3), (2.8)

y3σ2(q2) + y2σ (q3) = q2σ2(y3) + q3σ3(y2), (2.9)

y3σ2(q1) + y2σ (q2) = q1σ (y3) + q2σ2(y2), (2.10)

y2σ (q1) = q1σ (y2). (2.11)

Ekvation 2.8 med deg_y(qi) = kiger

3 + s2k3= k3+ s33 ⇔ k3=

s3− 1 s2_{− 1}3.

Så s2− 1 ska dela 3 ty gcd(2, 3) = 1, alltså är s = 2 och k3= 23− 1 = 7. Ekvation 2.11 ger att

q₁= cy2för något c ∈ K. Ekvation 2.9 ger graderna deg_y(y3σ2(q2)) = 3 + 22k2,

deg_y(y2σ (q3)) = 2 + 2 · 7 = 16,

deg_y(q₂σ2(y3)) = k2+ 22· 3,

deg_y(q3σ3(y2)) = 7 + 23· 2 = 23.

Om de två termerna i högerled är lika, så fås att k2= 11. Då är graden i vänsterled 45, medan

graden i högerled är 23. Alltså måste

3 + 22k₂= 23, det vill säga, k2= 5.

Detta ger en motsägelse i ekvation 2.10, ty vänsterled får grad 12 och högerled får grad 13. Alltså måste q3= 0.

I nästkommande exempel visar vi att inget element av udda grad kan kommutera med P. Exempel 2.3.4. Tag P = y3x2+ y2xoch Q = qmxm+ . . . q1x, där vi antar att qm6= 0. Låt m > 1

vara ett udda heltal och δ = 0. Då fås från PQ = QP att

y3σ2(qm) = qmσm(y3, ) (2.12) y3σ2(qm−1) + y2σ (qm) = qm−1σm−1(y3) + qmσm(y2), (2.13) y3σ2(qm−2) + y2σ (qm−1) = qm−2σm−2(y3) + qm−1σm−1(y2), (2.14) .. . y2σ (q1) = q1σ (y2), (2.15)

om vi sätter likhet mellan koefficienterna för termerna. Från ekvation 2.15 har vi, med deg_y(q1) =

k₁, att

2 + 2k1= k1+ 2 · 2,

det vill säga k1= 2.

Låt deg_y(qi) = kioch degy(σ ) = s. Vi får från 2.12 att

k_m= 3s

m_{− 1}

s2_{− 1}.

Eftersom m är udda så är gcd(2, m) = 1 och vi måste därför ha att s2− 1 delar 3. Detta leder till att s = 2 och

k_m= 2m− 1, det vill säga kmär ett udda heltal.

Studerar vi graderna på termerna i 2.13 fås att deg_y(y3σ2(qm−1)) = 3 + 22km−1,

deg_y(y2σ (qm)) = 2 + 2km= 2m+1,

deg_y(qm−1σm−1(y3)) = km−1+ 2m−1· 3,

deg_y(q_mσm(y2)) = km+ 2m· 2 = 2m− 1 + 2m+1.

Graden av högerled måste vara lika med graden i vänsterled. Eftersom ena termen i vänsterled är udda och den andra jämn kan de ej ha lika grad. I högerled kan de ha lika grad och då kan graden av högerled vara mindre än graden av termerna var för sig. Vi börjar med att visa att det ej kan vara så i detta fall. Notera att 2m+1är ett jämnt heltal och mindre än 2m− 1 + 2m+1_,

så vi kan bortse från den jämna graden. Sedan behöver vi bara undersöka vilken grad på km−1

som är giltig för att graderna ska stämma överens.

Antag att båda termerna i högerled har lika grad i ekvation 2.13, då är 2m− 1 + 2m+1= km−1+ 2m−1· 3,

då måste

k_m−1= −1 + 2m+1− 2m−1= 2m+ 2m−1− 1. Dock fås då i vänsterled att

3 + 22km−1= 3 + 4(2m+ 2m−1− 1) = 2m+2+ 2m+1− 1,

vilket är större än graden i högerled. Alltså kan ej termerna i högerled ha samma grad. Då måste

3 + 22km−1= km−1+ 2m−1· 3

eller

3 + 22km−1= 2m− 1 + 2m+1.

Detta ger då att

eller

k_m−1= 2m−2− 1 + 2m−1. (2.16) Ekvation 2.16 måste gälla, ty i vänsterled fås annars att

3 + 22(2m−1) = 2m+1− 1 < 2m− 1 + 2m+1. Studerar vi ekvation 2.14 och gör samma analys av graderna fås att

3 + 22km−2= km−1+ 2m,

det vill säga

k_m−2= 2m−2+ 2m−3+ 2m−4− 1. Fortsätter vi med mönstret fås att alla grader kan skrivas som

k_m−l= −1 + l

∑

i=0 2m−i−l, alternativt k_r= −1 + m−r

∑

i=0 2r−i.

Vi gör ett induktionsbevis för att visa att alla grader komma följa detta mönster. Tag 1 < d ≤ m. Låt deg_y(q_d) = k_d vara udda och deg_y(q_d−1) = k_d−1. Antag även att k_d= −1 + ∑m−d_i=0 2d−i. Från tidigare vet vi att km, km−1, km−2kan skrivas på den formen. Vi har ekvationen

y3σ2(qd−1) + y2σ (qd) = qd−1σd−1(y3) + qdσd(y2).

Vi börjar med att visa att

deg_y(q_dσd(y2)) > deg_y(y2σ (qd)).

Sätter vi in uttrycket för kd fås att

−1 + m−d

∑

i=0 2d−i+ 2d· 2 > 2 + 2(−1 + m−d

∑

i=0 2d−i), vilket ger att

2d+1> 1 +

m−d

∑

i=0

2d−i. Eftersom 2d+1= 1 + ∑di=02ifås att

d

∑

i=0 2i> m−d

∑

i=0 2d−i, det vill säga

Vänsterled är alltid ett heltal, men om d − (m − d) = 2d − m < 0 så är ej högerledet ett heltal. Därför måste 2d − m ≥ 0, dock är m ett udda heltal, så vi kan aldrig ha 2d − m = 0. Därför kommer också vänsterled alltid vara större än högerled. Så denna olikhet måste alltid gälla.

Om graderna i högerled är lika med varandra fås att k_d−1+ 2d−1· 3 = kd+ 2d+1,

det vill säga

k_d−1= k_d+ 2d−1. Då fås i vänsterled att

3 + 22k_d−1= 3 + 4k_d+ 2d+1,

som ska vara mindre än eller lika med graden i högerled. Det vill säga 3 + 4kd+ 2d+1≤ kd+ 2d+1,

vilket ger att

k_d≤ −1. Alltså måste vi ha istället, som tidigare, att

3 + 22k_d−1= kd+ 2d+1.

Eftersom vi antog att kd= −1 + ∑m−di=0 2d−i, så fås att

k_d−1= −4 + 2 d+1_{+ ∑}m−d i=0 2d−i 4 = −1 + 2 d−1₊m−d

∑

i=0 2d−i−2, vilket kan skrivas om till

k_d−1= −1 +

m−(d−1)

∑

i=0

2(d−1)−i. Alltså kan kd−1 skrivas på samma form som kd.

Antag nu att qt= 0, där 0 < t < m. Då fås en ekvation på formen

y2σ (qt+1) = qt+1σt+1(y2),

vilket ger, med deg_y(qt+1) = kt+1, att

2 + 2kt+1= kt+1+ 2t+1· 2,

det vill säga

kt+1= 2t+1· 2 − 2.

Detta betyder att kt+1 ska ha jämn grad. Är qt+1= 0, så är kt+2 jämn, och så vidare. Det ger

en motsägelse.

Eftersom vi antog att qm6= 0 var ledande koefficient för ett element med udda grad, så

måste vi ha att qm= 0. Alltså kan inte P kommutera med något element med udda grad.

Exempel 2.3.5. Vi har att CS(y3x2+ y2x) = K[y3x2+ y2x], då δ = 0. Detta gäller eftersom

Ex-empel 2.3.4 säger att elementet ej kan kommutera med något element av udda grad. Eftersom graden av vårat element är 2, så är alla grader i centralisatorn delbara med 2 och Lemma 2.2.1 ger då att centralisatorn av elementet måste vara lika med K-algebran genererade av elementet.

Kapitel 3

Slutsats

De nya resultaten presenterade i del 2.2.1 baserades på metoden av att enbart studera de le-dande koefficienterna av kommuterande element. Speciellt så studerades det i vilka fall då centralisatorn av ett element där den ledande koefficienten hade högre grad i y än graden av elementet i x.

I del 2.3 så tittar vi på fler koefficienter än bara den ledande koefficienten. Vi kunde med denna metod visa att CS(y3x2+ y2x) var genererad av ett element som en K-algebra, då δ = 0.

Detta kunde vi inte säga med den tidigare metoden. Dock har det ej undersökts i detta arbete hur beräkningarna blir för ett element av grad större än 2.

Det är viktigt att notera att vi ej har funnit någon centralisator genererad av fler än ett element som en K-algebra. Vi har ej kunnat avgöra om någon sådan centralisator existerar.

Litteraturförteckning

[1] SA Amitsur. Commutative linear differential operators. Pacific Journal of Mathematics, 8(1):1–10, 1958.

[2] Jason P Bell and Lance W Small. Centralizers in domains of Gelfand–Kirillov dimension 2. Bulletin of the London Mathematical Society, 36(6):779–785, 2004.

[3] Markus Brodmann. Notes on Weyl Algebra and D-Modules, pages 1–117. Springer International Publishing, Cham, 2018.

[4] Kenneth R Goodearl and Robert Breckenridge Warfield Jr. An introduction to noncom-mutative Noetherian rings. Cambridge University Press, 2004.

[5] Takahiro Hayashi. Q-analogues of Clifford and Weyl Algebras-spinor and oscillator re-presentations of quantum enveloping algebras. Communications in Mathematical Phy-sics, 127(1):129–144, Jan 1990.

[6] Thomas W Hungerford. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2003.

[7] Thomas W Hungerford. Abstract algebra : an introduction. Brooks/Cole, Boston, MA, 3, international edition, 2014.

[8] Øystein Ore. Theory of non-commutative polynomials. Annals of Mathematics, 34(3):480–508, 1933.

[9] Johan Richer and Sergei Silvestrov. Centralizers in Ore extensions over polynomial rings. International Electronic Journal of Algebra (IEJA) [electronic only], 15, 2013. [10] Johan Richter. Burchnall-Chaundy theory for Ore extensions. In Algebra, Geometry and

Mathematical Physics, pages 61–70. Springer, 2014.

[11] Xin Tang. Maximal commutative subalgebras of certain skew polynomial rings. Till-gänglig: http://faculty.uncfsu.edu/xtang/maxsubalgebras.pdf, 2005. [2019-05-02].

Bilaga A

Sammanfattande reflektion

I denna bilaga finns en sammanfattning och motivering till varför denna uppsats uppfyller högskoleförordningens examensmål för kandidatexamen.

A.1

Kunskap och förståelse

Studenten skall visa kunskap och förståelse inom huvudområdet för utbildningen, in-begripet kunskap om områdets vetenskapliga grund, kunskap om tillämpliga metoder inom området, fördjupning inom någon del av området samt orientering om aktuella forskningsfrågor.

Teori om algebraiska strukturer används flitigt i denna uppsats, vilken är ett viktigt ämne inom matematiken. Jag fördjupar mig i ringteori och speciellt Ore-utvidgningar.

I arbetet används bevisföring som tillämplig metod inom matematiken.

Tidigare forskning om Ore-utvidgningar och centralisatorer beskrivs i litteraturgenom-gången.

A.2

Färdighet och förmåga

Studenten skall visa förmåga att söka, samla, värdera och kritiskt tolka relevant infor-mation i en problemställning samt att kritiskt diskutera företeelser, frågeställningar och situationer.

I del 2.1 och 2.2 presenterar jag de tidigare kända resultaten som är relevanta till min problemställning. Dessa resultat studerade inte mycket fallet då den ledande koefficienten, som ett element i K[y], har större grad än elementet själv i S. Därför uppstår frågeställningen naturligt hur centralisatorn är genererad för något element på denna form.

I [9] Lemma 5.5, presenterat här som Lemma 2.2.4, så var det fel i beviset i ursprungliga artikeln. Detta visar på att jag kritiskt tolkade informationen i artikeln.

Studenten skall visa förmåga att självständigt identifiera, formulera och lösa problem samt att genomföra uppgifter inom givna tidsramar.

I del 2.2.1 så presenterar jag några nya resultat av fall på element vars centralisator är genererad av ett element. I del 2.3 löste jag självständigt problemet att bestämma CS(y3x2+

y2x), med förenklingen att δ = 0. Bevisade självständigt de lemman i inledningen av del 2. De problem, uppgifter eller moment jag och handledare Johan Richter bestämde att jag skulle arbeta med tills nästa möte var klara tills dess.

Studenten skall visa förmåga att muntligt och skriftligt redogöra för och diskutera in-formation, problem och lösningar i dialog med olika grupper.

En skriftlig och muntlig dialog mellan mig och Johan upprätthölls under hela arbetets gång. Vi diskuterade främst matematisk teori under möten, så som definitioner och delar av bevis. Även problem jag stötte på i mina egna bevis, andras bevis eller arbetets struktur disku-terades och lösningar av dessa.

En skriftlig dialog med granskaren Thomas Westerbäck fördes under slutet av arbetets gång, där han gav värdefulla tips på hur arbetet kunde förbättras.

En dialog i form av muntlig presentation om arbetet inför examinator och övrigt intresse-rade personer.

A.3

Värderingsförmåga och förhållningssätt

Studenten skall visa förmåga att inom huvudområdet för utbildningen göra bedömning-ar med hänsyn till relevanta vetenskapliga, samhälleliga och etiska aspekter.

Bedömde vad som skulle studeras i detta arbete utifrån vad som tidigare gjorts inom om-rådet. Jag nämner Weylalgebran, som är en Ore-utvidgning med tillämpningar inom både matematiken och teoretisk fysik.