Automatisk trimning av externa axlar

Automatisk trimning av externa axlar

vid Tekniska H¨ogskolan i Link¨oping av

Per-Emil Eliasson Reg nr: LiTH-ISY-EX-3499-2004

Automatisk trimning av externa axlar

vid Tekniska H¨ogskolan i Link¨oping av

Per-Emil Eliasson Reg nr: LiTH-ISY-EX-3499-2004

Handledare: Erik Wernholt Ivan Lundberg Examinator: Mikael Norrl¨of Link¨oping 2 februari 2004.

Avdelning, Institution Division, Department

Institutionen för systemteknik

581 83 LINKÖPING

Language Rapporttyp Report category ISBN X Svenska/Swedish

Engelska/English Licentiatavhandling X Examensarbete ISRN LITH-ISY-EX-3499-2004

C-uppsats

D-uppsats Serietitel och serienummer _{Title of series, numbering} ISSN Övrig rapport

____

URL för elektronisk version

http://www.ep.liu.se/exjobb/isy/2004/3499/

Titel

Title Automatisk trimning av externa axlar Automatic tuning of external axis

Författare

Author Per-Emil Eliasson

Sammanfattning

Abstract

This master theses deals with different methods for automatic tuning of the existing controller for external axis.

Three methods for automatic tuning have been investigated. Two of these are based on the manuell method used today. The third method is based on optimal placement of the dominant poles. Different sensitivity functions are important for this method.

At the end of the thesis, a proposal of a complete tool for automatic tuning is given.

Nyckelord

Keyword

Sammanfattning

Denna rapport behandlar metoder f¨or automatisk trimning av den befintliga regu-lator som anv¨ands vid reglering av en industrirobots externa axlar.

Tre metoder f¨or automatisk trimning har tagits fram och utv¨arderats. Tv˚a av dessa bygger p˚a dagens manuella metod f¨or trimning. Den tredje metoden bygger p˚a optimerad placering av de dominanta polerna. Olika k¨anslighetsfunktioner har en betydande roll i denna metod.

I slutet av rapporten ges f¨orslag p˚a ett komplett verktyg f¨or automatisk trimn-ing.

Nyckelord: Automatisk trimning, PID, dominanta poler, designparameter

F¨

orord

Stort tack till min handledare p˚a ABB, Ivan Lundberg, f¨or v¨agledning samt m˚anga bra id´eer under hela arbetets g˚ang. Jag vill ocks˚a tacka min examinator vid LiTH, Mikael Norrl¨of, och min handledare Erik Wernholt f¨or v¨agledning och givande samtal. Givande samtal har jag ¨aven haft med Stig Moberg och Alf Isaksson, b˚ada ABB. Tack!

Notation

Vanligt f¨orekommande beteckningar i rapporten har i tabellen sammanst¨allts med en kort beskrivning.

Symboler

Gp Processens ¨overf¨oringsfunktion. Gc Regulatorns ¨overf¨oringsfunktion. Gl Oppna loopens ¨overf¨oringsfunktion.¨ G Slutna systemets ¨overf¨oringsfunktion. ϕm Motorvinkel.

˙

ϕm Motorvinkelhastighet.

k Standard PID-regulators proportionella del, se avsnitt 4.1. ki Standard PID-regulators integrerande del.

kd Standard PID-regulators deriverande del. Kp Parameter i aktuell regulator, se avsnitt 4.1. Kv Parameter i aktuell regulator.

Ti Parameter i aktuell regulator. S K¨anslighetsfunktion. Ms Maximum av S. T Komplement¨ar k¨anslighetsfunktion. Mp Maximum av T . Am Amplitudmarginal. ϕm Fasmarginal. ω0 Naturliga frekvensen. ζ Relativ d¨ampning. v

Inneh˚

all

1 Inledning 1

1.1 Bakgrund . . . 1

1.2 Syfte och m˚als¨attning . . . 1

1.3 Avgr¨ansningar . . . 2

2 Systembeskrivning 3 2.1 Industrirobotar och externa axlar . . . 3

2.2 Reglersystemet . . . 3

2.3 Aktuella externa axlar . . . 4

3 Modellering - Grundl¨aggande teori 7 3.1 Varf¨or beh¨ovs en modell? . . . 7

3.2 Modellens betydelse vid automatisk trimning . . . 7

3.3 Statiska och dynamiska modeller . . . 8

3.4 Fysikaliskt modellbygge . . . 8

3.5 Parameterskattning . . . 8

3.6 Utformning av identifieringsexperiment . . . 11

4 Reglering - Grundl¨aggande teori 13 4.1 PID-regulatorer . . . 13

4.2 Specifikationer . . . 15

4.3 Val av designparameter . . . 19

5 Reglering - Designmetoder 23 5.1 Haalman . . . 23

5.2 Intern modellreglering - IMC . . . 24

5.3 BO/SO - En optimeringsmetod . . . 24

5.4 Polplacering . . . 25

5.5 Dominant polplacering . . . 28

6 Identifiering av externa axlar 33 6.1 Modellstruktur . . . 33

6.2 Insignal och utsignal vid identifiering . . . 35

6.3 Automatisk modellanpassning . . . 36 vii

viii Inneh˚all

6.4 Resultat . . . 38

6.5 Problem och brister . . . 38

7 Am-metoder 43 7.1 Manuell trimning . . . 43

7.2 Simulerande Am-metoden . . . 44

7.3 Analytiska Am-metoden . . . 47

8 Ms-metoden 51 8.1 Kontinuerlig modell f¨or analytiska ber¨akningar . . . 51

8.2 Trimning av hastighetsloopen . . . 51

8.3 Trimning av positionsloopen . . . 55

8.4 Resultat . . . 55

8.5 Problem och brister . . . 59

9 Resultat 61 9.1 Slutsatser . . . 61

9.2 Komplett trimmverktyg . . . 62

Kapitel 1

Inledning

ABB ¨ar ett globalt f¨oretag med huvudkontor i Schweiz. Till st¨orsta del ¨ar verk-samheten fokuserad p˚a kraftgenerering och automation. Detta examensarbete ¨ar utf¨ort p˚a ABB Corporate Research i V¨aster˚as d¨ar det bedrivs forskning fr¨amst inom dessa b˚ada omr˚aden.

1.1

Bakgrund

Teknikutvecklingen g¨or det m¨ojligt att hela tiden f¨orb¨attra industrirobotars pre-standa. Konkurrensen och effektiviseringen inom tillverkningsindustrin skapar ocks˚a behovet av att tillverkningsprocessen ska vara tillf¨orlitlig och flexibel. Man vill kunna g¨ora f¨or¨andringar i tillverkningslinan utan att ha on¨odigt l˚anga produk-tionsstopp. Detta f¨oruts¨atter att installation och underh˚all av industrirobotar kan utf¨oras smidigt.

”Easy to integrate” ¨ar ett projekt vid ABB Corporate Research, vars m˚al ¨ar att g¨ora det enklare att installera och f˚a ig˚ang en industrirobot med tillh¨orande utrustning s˚asom externa axlar. En del i detta arbete ¨ar att f¨orenkla trimningen av regulatorer.

1.2

Syfte och m˚

als¨

attning

Syftet med examensarbetet ¨ar att automatisera trimningen av regulatorn f¨or ex-terna axlar. Med trimning avses inst¨allning av regulatorns parametrar. Idag utf¨ors trimningen manuellt vilket ¨ar tidskr¨avande och samtidigt f¨oruts¨atter stor erfaren-het hos personen som trimmar. En ytterligare nackdel med dagens trimning ¨ar att signalplottarna kan tolkas olika av olika personer. Detta leder till en inkonsekvens vid inst¨allningen av regulatorerna.

2 Inledning

M˚als¨attningen ¨ar att ta fram en algoritm f¨or automatisk trimning av den befintliga regulatorn f¨or externa axlar. Algoritmen ska i f¨orsta hand implementeras i Matlab. Trimningen ska bli tillr¨ackligt enkel f¨or att en person, utan erfarenhet av trimning, p˚a egen hand ska kunna trimma regulatorn om s˚a ¨onskas.

1.3

Avgr¨

ansningar

• Modellen som den automatiska trimningen baseras p˚a ¨ar en tv˚amassemodell. Detta resulterar i att processen som ska identifieras m˚aste ha tv˚ amassekarak-t¨aristik f¨or att modellen ska bli tillfredsst¨allande. Tester har dock visat att s˚a ofta ¨ar fallet. Begreppet process betecknar i denna rapport den externa axeln, dvs elmotor, v¨axel och arm. Sj¨alva trimningsalgoritmen ¨ar i sig inte beroende av att modellen ¨ar en tv˚amassemodell. Modellen kan f¨or denna skull vara av godtycklig ordning.

• Implementeringen av algoritmen sker i f¨orsta hand i Matlab. F¨or att skapa en ”stand alone”-applikation kr¨avs implementering i n˚agot annat program-spr˚ak.

Kapitel 2

Systembeskrivning

2.1

Industrirobotar och externa axlar

Den vanligaste typen av industrirobot som ABB tillverkar har sex axlar. Var-je axel har sin egen motor och v¨axell˚ada. F¨or att roboten ska kunna f¨olja en best¨amd bana, kr¨avs det att motorerna samverkar p˚a ett bra s¨att. Axlarna styrs genom att en str¨om till respektive motor genererar ett moment. Detta kr¨aver ett avancerat styrsystem, en kontrollenhet. Kontrollenhetens uppgift ¨ar att omvandla anv¨andarens ¨onskade r¨orelser av TCP (Tool Center Point) till erforderligt moment p˚a respektive motor. Momentet som kontrollenheten ger ¨ar en momentreferens som ett drivdon sedan omvandlar till en str¨om.

De externa axlarna har ofta till uppgift att f¨orb¨attra robotens r¨ackvidd, eller f¨orenkla ˚atkomsten till arbetsstycket. De fungerar och styrs p˚a i princip samma s¨att som en utav robotens egna axlar. Exempel p˚a externa axlar ˚aterfinns i avsnitt 2.3.

2.2

Reglersystemet

Anv¨andaren beskriver i ett h¨ogniv˚aspr˚ak den ¨onskade robotr¨orelsen. I kontrol-lenheten, figur 2.1, finns en bangenerator som omvandlar den inmatade ¨onskade r¨orelsen till en referenssignal i form av motorvinklar. Referenssignalen ¨ar f¨oljbar d˚a bangeneratorn tar h¨ansyn till maximalt till˚atet moment, acceleration och decel-eration. Referenssignalen skickas till ett f¨orfilter som genererar referenser f¨or mo-torvinklar, vinkelhastigheter samt framkopplade moment. Dessa signaler skickas till regulatorerna som st¨aller ut momentreferensen. Varje motor har allts˚a sin egen reg-ulator. Det framkopplade momentet ber¨aknas i f¨orfiltret med hj¨alp av en dynamik-modell av roboten. Detta medf¨or en betydande f¨orb¨attring av robotens prestanda. Vid reglering av externa axlar ¨ar det dock vanligt att inget f¨orfilter anv¨ands. Man har d˚a inget framkopplat moment, utan reglerar bara p˚a det ˚aterkopplade regler-felet. Regulatorn som anv¨ands ¨ar en form av kaskadkopplad PID-regulator med en

4 Systembeskrivning

Figur 2.1.Schematisk bild av kontrollenheten.

Tabell 2.1.Beteckningarnas betydelse.

Intch Inter change

Stn1 Axel1 Station 1 Axel 1 Stn1 Axel2 Station 1 Axel 2

MTC 250 L¨agesst¨allare med maximal hanteringsvikt 250kg. MTC 2000 L¨agesst¨allare med maximal hanteringsvikt 2000kg.

inre hastighetsloop och en yttre positionsloop. Regulatorn beskrivs mer ing˚aende i avsnitt 4.1.

2.3

Aktuella externa axlar

I arbetet har fem olika externa axlar anv¨ants f¨or att testk¨ora och validera trimn-ingsmetoderna. Alla processerna ¨ar enaxliga och med relativt stor inb¨ordes skillnad i dynamik. Detta g¨or att dessa fem t¨acker upp ett stort antal externa axlar.

Tre av de aktuella axlarna sitter p˚a en och samma enhet som totalt har fem axlar, se figur 2.2. Enheten best˚ar av tv˚a arbetsstationer med vardera tv˚a axlar. Med hj¨alp av en femte axel, ”inter change”, kan stationerna roteras kring en centru-maxel. Denna typ av enhet kan t ex anv¨andas d˚a en robot ska utf¨ora svetsningsar-bete p˚a ett arbetsstycke. Roboten svetsar p˚a ena stationen medan en operat¨or monterar fast ett nytt arbetsstycke p˚a den andra stationen.

Figur 2.3 och 2.4 visar bilder p˚a MTC 250 respektive MTC 2000, vilka ¨ar de tv˚a resterande axlarna som metoderna har testats p˚a. I rapporten kommer f¨oljande beteckningar anv¨andas f¨or de olika axlarna: Intch, Stn1 Axel1, Stn1 Axel2, MTC 250 och MTC 2000. I figurerna 2.2-2.4 ¨ar dessa beteckningar inf¨orda. Beteckningar-nas betydelse redovisas i tabell 2.1.

2.3 Aktuella externa axlar 5

Figur 2.2.Tre av de aktuella externa axlarna tillh¨or samma enhet. Bilden visar beteck-ningar f¨or dessa samt aktuell last.

6 Systembeskrivning

Kapitel 3

Modellering

-Grundl¨

aggande teori

Detta kapitel inleds med en beskrivning av matematiska modellers generella uppgift och vidare dess betydelse vid automatisk trimning. Olika typer av modeller tas upp samt olika metoder f¨or modellering. Kapitlet baseras p˚a [5].

3.1

Varf¨

or beh¨

ovs en modell?

Matematiska modeller f¨or system har till uppgift att beskriva systemets egenskaper p˚a ett s˚a l¨ampligt s¨att som m¨ojligt. Med l¨ampligt s¨att menas att modellen ej n¨odv¨andigtvis beh¨over beskriva mer av systemet ¨an vad som beh¨ovs f¨or det ak-tuella ¨andam˚alet. Till exempel kan det vara s˚a att man bara ¨ar intresserad av hur systemet uppf¨or sig f¨or ett specifikt frekvensband. D˚a en tillr¨ackligt bra modell finns tillhanda kan man, i st¨allet f¨or att utf¨ora experiment p˚a verkliga systemet, anv¨anda sig av modellen f¨or att ta reda p˚a hur systemet skulle ha uppf¨ort sig med givna f¨oruts¨attningar. Detta kan ske analytiskt genom ekvationsl¨osning och studier av l¨osningens egenskaper. Ett annat tillv¨agag˚angss¨att ¨ar att utf¨ora numeriska ex-periment p˚a modellen genom simuleringar. F¨ordelarna med att ha en modell som beskriver systemet ¨ar m˚anga. Den ekonomiska f¨ordelen att slippa utf¨ora verkli-ga experiment ¨ar av stor vikt. I m˚anga fall skulle det inte heller vara praktiskt genomf¨orbart med experiment, inte bara av ekonomiska sk¨al, utan ¨aven f¨or att det skulle inneb¨ara att m¨anniskor utsattes f¨or fara.

3.2

Modellens betydelse vid automatisk trimning

En helautomatisk trimning inneb¨ar att en operat¨or ska kunna trimma en regula-tor med en knapptryckning. Den automatiska trimningen kan ofta delas upp i tv˚a huvuddelar. F¨orst m˚aste information om processen inh¨amtas, identifiering.

8 Modellering - Grundl¨aggande teori

mans med k¨annedom om ¨ovriga reglerloopens utseende och regulatorstruktur, kan sedan en trimningsalgoritm generera l¨ampliga regulatorparametrar. Det ¨ar allts˚a bara f¨orsta steget, identifieringen, som sker ”on-line”. Det finns ¨aven metoder f¨or automatisk trimning som inte anv¨ander sig av n˚agon modell. D˚a m˚aste ist¨allet it-erativa tester utf¨oras p˚a den verkliga processen. Detta g¨ors tills ¨onskad prestanda uppn˚as. I denna rapport behandlas enbart modellbaserade metoder.

3.3

Statiska och dynamiska modeller

Den statiska modellen inneh˚aller enbart informationen om hur insignalen f¨orh˚aller sig till utsignalen i station¨art tillst˚and. Det finns m˚anga s¨att att erh˚alla den statiska modellen. Ett s¨att ¨ar att mata det ¨oppna systemet med en konstant insignal och d¨arefter m¨ata utsignalen d˚a denna n˚att station¨art tillst˚and. Den dynamiska mod-ellen beskriver systemets dynamik mellan insignal och utsignal. Modmod-ellen tar allts˚a h¨ansyn till eventuella tidsf¨ordr¨ojningar och oscillationer. Vanligtvis beskriver mod-ellerna systemen som linj¨ara och tidsinvarianta. Detta ¨ar i m˚anga falla en approx-imation som ej p˚averkar det slutgiltiga resultatet mer ¨an acceptabelt.

3.4

Fysikaliskt modellbygge

Modellering av ett system kan ske p˚a flera olika s¨att. Ett av dessa, fysikaliskt modellbygge, tar hj¨alp av k¨anda fysikaliska samband. Det fysikaliska modellbygget kan delas upp i tre faser [5].

• Fas 1: H¨ar delas systemet upp i olika delsystem som ¨ar l¨attare att hantera. Man g¨or klart f¨or sig vilka variabler som ¨ar viktiga och hur de p˚averkar varandra.

• Fas 2: I denna fas st¨aller man upp sambanden mellan variabler och konstanter i delsystemen. H¨ar anv¨ands naturlagar och k¨anda fysikaliska samband. F¨or att inte f˚a allt f¨or komplicerade modeller g¨ors l¨ampliga approximationer i denna fas.

• Fas 3: Slutligen organiseras ekvationerna fr˚an andra fasen till en slutgiltig modell med ¨onskad form, t ex en tillst˚andsbeskrivning.

3.5

Parameterskattning

Parameterskattning inneb¨ar att man med en given modellstruktur skattar ok¨anda modellparametrar med hj¨alp av statistiska metoder [5]. Vid parameterskattning b¨or man skilja p˚a f¨oljande typer av modeller:

• Skr¨addarsydda modeller Modellstrukturen byggs upp med hj¨alp av fysika-liska samband vilket medf¨or att de ok¨anda parametrarna har en fysikalisk tolkning.

3.5 Parameterskattning 9

Figur 3.1.Tv˚amassesystem f¨or beskrivning av dynamisk process.

• Konfektionsmodeller Modellstrukturerna som anv¨ands tillh¨or olika generel-la modelltyper som har visat sig fungera bra i olika typer av system. De skat-tade parametrarna har ingen fysikalisk tolkning. Dessa modeller kallas ofta f¨or black-box-modeller.

3.5.1

Skr¨

addarsydda linj¨

ara modeller

Antag att modellstrukturen f¨or processen som vi vill identifiera ¨ar k¨and. Vi kan t ex ha en ¨overf¨oringsfunktion med ett antal modellparametrar. Om inte alla mod-ellparametrar ¨ar k¨anda f¨or oss m˚aste vi skatta dessa. Ett s¨att att g¨ora detta p˚a ¨ar att mata det verkliga systemet med en k¨and signal som exciterar de intressan-ta moderna. Med hj¨alp av den k¨anda insignalen och den uppm¨atintressan-ta utsignalen kan processens amplitudkurva skattas. Problemet som kvarst˚ar ¨ar att justera modellens ok¨anda parametrar tills dess amplitudkurva har en tillfredsst¨allande likhet med den skattade amplitudkurvan. Detta g¨ors f¨orslagsvis med en optimeringsalgoritm. Om de ok¨anda parametrarna ¨ar f˚a till antalet kan man ocks˚a i vissa fall prova sig fram till en bra l¨osning. Det b¨or ocks˚a n¨amnas att anpassningen av modellen i m˚anga fall ¨aven sker i tidsplanet.

En k¨and modellstruktur kan t ex ges av ett tv˚amassesystem enligt figur 3.1. Tv˚amassesystemet ger oss differentialekvationer som i sin tur kan omvandlas till intressanta ¨overf¨oringsfunktioner f¨or systemet.

Med ett tv˚amassesystem enligt figur 3.1 kan vi beskriva en extern axel d¨ar parametrarna i figuren representerar f¨oljande fysikaliska storheter

Jm Motorns tr¨oghetsmoment

Ja Armens (axel, v¨axel och last) tr¨oghetsmoment k Fj¨aderkonstant f¨or vekheten mellan motor och arm d D¨ampningen i vekheten mellan motor och arm fm Motorfriktion

fa Armfriktion

u Insignal till systemet, moment till motorn w St¨orning p˚a motorsidan

10 Modellering - Grundl¨aggande teori Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) −60 −40 −20 0 20 40 60 10−1 100 101 102 103 −180 −135 −90 −45 0

Figur 3.2.Bodediagram f¨or ¨overf¨oring fr˚an u till ϕmi typiskt tv˚amassesystem.

Med ovanst˚aende parametrar kan figur 3.1 beskrivas matematiskt enligt: Jmϕ¨m+ d( ˙ϕm− ˙ϕa) + k(ϕm− ϕa) + fmϕ˙m = u + w (3.1)

Jaϕ¨a− d( ˙ϕm− ˙ϕa) − k(ϕm− ϕa) + faϕ˙a = v (3.2) P˚a de aktuella externa axlarna ¨ar det bara m¨ojligt att m¨ata positionen p˚a motorsidan. Detta skulle inte medf¨ora n˚agra st¨orre bekymmer om armstrukturen skulle vara helt styv och om det inte fanns n˚agot glapp i v¨axeln. Hur stor inverkan detta har p˚a regleringen ¨ar naturligtvis olika fr˚an fall till fall. Mer om detta finns att l¨asa i [8]. Figur 3.2 visar ett typiskt utseende f¨or hur ett bodediagram f¨or ett tv˚amassesystem ser ut f¨or ¨overf¨oringen fr˚an moment u till motorvinkel ϕm.

Bodediagrammet visar tydligt de mekaniska resonanserna i strukturen. En mer komplicerad process med fler resonanser kan beskrivas med hj¨alp av en modell d˚a flera massor kopplas samman med fj¨adrar och d¨ampare. En mer detaljerad beskrivning av identifiering av skr¨addarsydda linj¨ara modeller ˚aterfinns i avsnitt 6.

3.5.2

Linj¨

ara konfektionsmodeller - grundprinciper

Om man inte har n˚agon k¨annedom om systemet man ska modellera eller om det ¨ar f¨or komplicerat kan man anv¨anda sig av en standardstruktur f¨or modellen, t ex ARX eller OE. Se figur 3.3. Man b¨orjar med att ange ordningstalen na, nb, nk osv beroende av vilken modell man valt. T ex kan ARX-modellen beskrivas med

3.6 Utformning av identifieringsexperiment 11

Figur 3.3.Standardstrukturer f¨or modeller, ARX och OE.

d¨ar e(t) ¨ar brus och q ¨ar f¨orskjutningsoperatorn. Ett s¨att f¨or att anpassa ARX-modellen ¨ar att g¨ora detta i tidsplanet. H¨ar beskrivs kort en metod som ¨aven fungerar f¨or anpassning av skr¨addarsydda modeller i tidsplanet. Vi inf¨or f¨oljande vektorer:

θ =

a1 a2 . . . ana b1 . . . bna  T

ϕ(t) =

−y(t − 1) . . . −y(t − na) u(t − nk) . . . u(t − nk − nb + 1) T D˚a kan prediktionen av utsignalen beskrivas som en funktion av de skattade parametrarna enligt

ˆ

y(t|θ) = θT_{ϕ(t) (3.4)}

Principen f¨or anpassningen av de parametriserade modellerna till data bygger p˚a att man minimerar prediktionsfelet ε(t, θ) = y(t) − ˆy(t|θ) [5]. Anpassningen sker allts˚a i tidsplanet.

3.6

Utformning av identifieringsexperiment

F¨ore insamlingen av m¨atdata sker m˚aste man t¨anka igenom en rad olika saker f¨or att identifieringen ska bli till bel˚atenhet [5]. N˚agra punkter man m˚aste fundera ¨over ¨ar f¨oljande:

• Val av insignal.

• M¨angd data som ska samlas in. • L¨ampligt samplingsintervall.

12 Modellering - Grundl¨aggande teori

• Intressant frekvensomr˚ade. • ¨Ar all m¨atdata anv¨andbar?

Val av insignal

F¨or att identifieringen ska bli bra kr¨avs det att insignalen ¨ar anpassad f¨or det aktuella problemet. Insignalens uppgift ¨ar att excitera processens alla intressanta moder. Det ¨ar d¨arf¨or viktigt att insignalen ¨ar tillr¨ackligt rik p˚a frekvensinneh˚all, speciellt d¨ar processen har sina brytpunkter i bodediagrammet.

Val av samplingsintervall

N¨ar data ska samlas in fr˚an identifieringsexperimentet ¨ar det viktigt att sam-plingsintervallet varken ¨ar f¨or kort eller f¨or l˚angt [5]. Valet av samplingsintervall beror av systemets dynamik och av de frekvensegenskaperna som ska identifieras. En process med snabb dynamik kr¨aver ett kort samplingsintervall, medan process-er med l˚angsam dynamik till˚ater lite l¨agre samplingsfrekvens. Om samplingen ¨ar l˚angsam relativt systemets dynamik, blir det sv˚art eller till och med om¨ojligt att identifiera systemet p˚a ett bra s¨att. Sampling som ¨ar betydligt snabbare ¨an system-dynamiken leder till dataredundans och l˚agt informationsv¨arde i nya datapunkter. En tumregel ¨ar att v¨alja samplingsfrekvensen till ca 10 g˚anger systemets band-bredd. Det b¨or dock po¨angteras att det ¨ar betydligt v¨arre att sampla f¨or l˚angsamt ¨an f¨or snabbt. Om man efter datainsamlingen kom fram till att samplingsfrekvensen var f¨or h¨og, kan man smidigt decimera data f¨ore modellskattningen g¨ors.

Ett annat fenomen som dyker upp vid samplingen ¨ar den sk aliaseffekten [12]. De frekvenser i m¨atsignalen med h¨ogre frekvens ¨an nyquistfrekvensen kommer att uppfattas som l¨agre frekvenser i den samplade signalens skattade spektrum. Det ¨ar d¨arf¨or l¨ampligt att l˚agpassfiltrera m¨atsignalen f¨ore samplingen med en gr¨ansfrekvens n˚agot under nyquistfrekvensen.

Kapitel 4

Reglering - Grundl¨

aggande

teori

Detta kapitel inleds med en kort beskrivning av en PID-regulator. Vidare tas olika specifikationer upp som ¨ar viktiga att ha f¨orst˚aelse f¨or innan man kan utv¨ardera en viss regulator. Ett antal olika metoder f¨or att trimma en PID-regulator beskrivs.

4.1

PID-regulatorer

Grundid´en f¨or en PID-regulator ¨ar att man ˚aterkopplar den uppm¨atta utsignalen fr˚an systemet, se figur 4.1. Regulatorn ger en insignal u(t) till systemet som baseras p˚a avvikelsen mellan ¨onskad utsignal r(t) och uppm¨att verklig utsignal y(t). Detta ger avvikelsen e(t) = r(t) − y(t). PID-regulatorn kan d˚a beskrivas som

u(t) = ke(t) + ki Z t 0 e(s) ds + kd d dte(t) (4.1)

Utsignalen fr˚an regulatorn baseras allts˚a p˚a f¨oljande delar:

• Proportionell del: Stor proportionell f¨orst¨arkning ger snabb respons med risk f¨or instabilitet.

• Integrerande del: Den integrerande delen tar bort station¨ara fel i utsig-nalen fr˚an systemet. F¨or stor integrerande del leder till ¨okad sv¨angighet och instabilitet.

• Deriverande del: Den deriverande delen f¨orb¨attrar stabiliteten f¨or det slut-na systemet. F¨or stor deriverande del leder dock till ¨okad sv¨angighet. Det ¨ar vanligt att man plockar bort n˚agon av de tv˚a sista delarna i beskrivningen (4.1). Vanligast ¨ar det med PI-regulatorer d˚a man allts˚a tagit bort den deriverande delen. Det f¨orekommer ¨aven PD- och P-regulatorer d¨ar man i det sistn¨amnda fallet

14 Reglering - Grundl¨aggande teori

Figur 4.1. ˚Aterkoppling av uppm¨att utsignal, y.

enbart har proportionell ˚aterkoppling.

Det finns v¨aldigt m˚anga olika varianter av PID-regulatorer. Regulatorer med en struktur beskriven av (4.1) kallas ofta f¨or ”Skolboks-PID” d˚a den ¨ar s¨allsynt i industrin.

Aktuell PID-regulator

Som det tidigare n¨amnts finns det ett stort antal varianter p˚a PID-regulatorer. Speciella regulatorstrukturer utvecklas f¨or att passa bra f¨or dess speciella till¨amp-ning. Den aktuella regulatorn som anv¨ands i ABB:s styrsystem f¨or att reglera externa axlar liknar den som illustreras i figur 4.2. Regulatorn har en kaskad-koppling med en inre hastighetsloop och en yttre positionsloop. Hastighetsloopen ˚aterkopplar hastigheten och tar hand om f¨or¨andringar i hastighetsreferenssignalen

˙

ϕref medan positionsloopen ˚aterkopplar positionen och tar h¨ansyn till ¨andringar i positionsreferenssignalen ϕref. Som det n¨amnts tidigare anv¨ands i vissa fall ett f¨orfilter som givet en viss r¨orelse ber¨aknar l¨ampliga referenssignaler ϕref, ˙ϕref och τf f w. F¨or externa axlar anv¨ands normalt inte f¨orfilter, och vi tar d¨arf¨or inte h¨ansyn till dessa i denna rapport.

Den inre hastighetsloopen regleras av en PI-regulator med parametrarna Kv och Ti. I positionsloopen ˚aterfinns en P-regulator som definieras av parametern Kp. H¨ogfrekvent brus som uppst˚ar efter derivationen i hastighetsloopen, filtreras bort med ett l˚agpassfilter med gr¨ansfrekvensen 250Hz. F¨ore PI-regulatorn sitter ett lag-filter. Filtret g¨or det m¨ojligt att ha ett h¨ogre Kvutan att systemet blir instabilt, vilket ¨ar ¨onskv¨art f¨or att erh˚alla ett snabbt system. Optimal reglering kr¨aver ¨aven trimning av lag-filtret. I denna rapport anv¨ands dock ett lag-filter med konstanta

4.2 Specifikationer 15

Figur 4.2.Struktur f¨or PID-regulator.

brytfrekvenser.

4.2

Specifikationer

N¨ar man ska designa en regulator f¨or ett system ¨ar det viktigt att man har klart f¨or sig vad som ¨ar det prim¨ara m˚alet med regleringen. Typiska specifikationer ber¨or ofta en eller flera av f¨oljande punkter.

• F¨oljbarhet av referenssignal

• K¨anslighet/Robusthet mot modellfel • K¨anslighet/Robusthet f¨or m¨atbrus • K¨anslighet/Robusthet f¨or lastst¨orning

Vanligen ¨ar det sv˚art eller i de flesta fall om¨ojligt att hitta en regulator som uppfyller h¨ogt st¨allda krav p˚a samtliga dessa punkter. Det handlar ist¨allet om en avv¨agning som baseras p˚a den aktuella processens uppgift och f¨orv¨antade resultat. T ex om utformningen av regulatorn g¨ors s˚a att f¨oljbarheten av en referenssignal ska vara b¨asta m¨ojliga medf¨or detta ¨okad k¨anslighet mot lastst¨orningar och modellfel. I den motsatta situationen kan man ha ett f¨or st¨orningar ok¨ansligt system men s¨amre prestanda vad g¨aller referensf¨oljning.

F¨

oljbarhet av referenssignal

Specifikationer p˚a f¨oljbarhet av referenssignal inneb¨ar ofta krav p˚a stigtid, ¨oversl¨ang och insv¨angningstid [1].

16 Reglering - Grundl¨aggande teori

• Stigtid tr ¨ar tiden det tar f¨or stegsvaret att g˚a fr˚an 10% till 90% av niv˚an i station¨art tillst˚and.

• ¨Oversl¨ang o ¨ar f¨orh˚allandet mellan niv˚an p˚a f¨orsta toppen i stegsvaret och niv˚an i station¨art tillst˚and f¨or det samma.

• Insv¨angningstid ts ¨ar tiden det tar innan stegsvaret h˚aller sig inom p % av niv˚an i station¨art tillst˚and. p = 2 ¨ar vanligt f¨orekommande.

• Felet i station¨art tillst˚and ess ¨ar v¨ardet av reglerfelet e i station¨art tillst˚and.

Lastst¨

orningar

Det ¨ar av stor vikt att ta h¨ansyn till lastst¨orningar vid processreglering d˚a dessa annars medf¨or att processens tillst˚and inte f˚ar ¨onskade v¨arden. Lastst¨orningar ¨ar typiskt l˚agfrekventa och kan ofta simuleras bra med l˚agpassfiltrerade stegsignaler. Var lastst¨orningen kommer in i systemet kan variera. Vi antar h¨ar att st¨orningen kommer in p˚a processing˚angen. St¨orningen adderas allts˚a till utsignalen fr˚an reg-ulatorn. L˚at e vara reglerfelet orsakat av en st¨orning i form av ett enhetssteg p˚a processing˚angen. Det finns flera s¨att att m¨ata storleken av reglerfelet [1]. Ett av dessa ¨ar integrerande absoluta felet som definieras av

IAE = Z ∞

0 |e(t)|dt

(4.2) IAE ¨ar ett bra m˚att p˚a reglerfelet. Den stora nackdelen ¨ar dock att den ¨ar v¨aldigt ber¨akningskr¨avande och i princip f¨oruts¨atter simulering av processen. F¨or processer som inte ¨ar oscilativa ¨ar IAE samma som det integrerande felet

IE = Z ∞

0

e(t)dt (4.3)

F¨or system som ¨ar oscilativa men n˚agorlunda d¨ampade ¨ar IE en bra approximation av IAE. Orsaken till att det ¨ar tilltalande att anv¨anda IE, ¨ar att man enligt [1] kan visa f¨oljande samband:

IE = 1 ki

(4.4) d˚a st¨orningen kommer in p˚a processing˚angen. Det integrerande felet IE ¨ar allts˚a omv¨ant proportionellt mot integrerande f¨orst¨arkningen ki.

K¨

anslighet f¨

or modellfel och st¨

orningar

Det ¨ar viktigt att v¨alja regulatorparametrarna s˚a att det slutna systemet inte blir f¨or k¨ansligt mot f¨or¨andringar i processdynamiken. F¨or¨andring av dynamiken kan

4.2 Specifikationer 17

Figur 4.3.Blockschema ¨over slutna loopen med processbrus w och m¨atbrus n.

till exempel bero av modellfel. Det finns flera s¨att att specificera k¨ansligheten p˚a. Ett m˚att p˚a k¨ansligheten ¨ar Ms som i [1] definieras av

Ms= max |S(iω)| (4.5)

H¨ar ¨ar S k¨anslighetsfunktionen f¨or den slutna loopen och definieras i [1] av

S(s) = 1

1 + Gp(s)Gc(s)

(4.6) d¨ar Gcbetecknar regulatorns ¨overf¨oringsfunktion och Gp den reglerade processens ¨overf¨oringsfunktion. S beskriver hur processbrus, w, som kommer in p˚a processens utg˚ang fortplantas till tillst˚andsvariablerna, z, som vi ¨onskar reglera. Figur 4.3 ˚ask˚adligg¨or var processbruset kommer in i det slutna systemet.

S ¨ar ocks˚a ett bra m˚att p˚a hur k¨ansligt systemet ¨ar mot felaktigheter i modellen. I [3] beskrivs modellfelets inverkan enligt f¨oljande princip. Antag att det sanna systemet ges av Gp0 och att det skiljer sig fr˚an modellen Gp enligt

Gp0= (I + ∆Gp)Gp (4.7)

Om vi bortser fr˚an st¨orningar kommer den verkliga utsignalen bli z0= (I + Gp0Gc)

−1_G

p0Gcr (4.8)

Modellen Gp skulle i st¨allet ha gett

z = (I + GpGc) −1_G

18 Reglering - Grundl¨aggande teori

F¨oljande relation mellan z0 och z g¨aller d˚a:

z0 = (I + ∆z)z (4.10)

∆z = S0∆Gp (4.11)

S0 = (I + Gp0Gc)−1 (4.12)

K¨anslighetsfunktionen f¨or det sanna systemet, S0, beskriver allts˚a hur ett modellfel genererar ett relativt utsignalfel enligt (4.11). Problemet ¨ar att inte S0 ¨ar k¨and eftersom den ju baseras p˚a det sanna systemet Gp0. Om felet ∆Gp ¨ar litet g¨aller

dock med god approximation

S0(s) ≈ S(s) (4.13)

d¨ar S(s) ¨ar modellens k¨anslighetsfunktion. Typiska v¨arden f¨or Ms ¨ar enligt [10] mellan 1.2 och 2.

Amplitudmarginal, Am, och fasmarginal, ϕm, ¨ar tv˚a andra m˚att p˚a k¨ansligheten. Om vi l˚ater Gl vara den ¨oppna loopens ¨overf¨oringsfunktion enligt

Gl= GpGc (4.14)

definieras amplitudmarginalen och fasmarginalen i t ex [1] som Am =

1 |Gl(iωp)|

(4.15)

ϕm = π + arg Gl(iωc) (4.16)

H¨ar betecknar ωcsk¨arfrekvensen och definieras av |Gl(iωc)| = 1. Fassk¨arfrekvensen ωp definieras av arg Gl(iωp) = −π. Figur 4.4 tydligg¨or inneb¨orden av Ms, am-plitudmarginalen och fasmarginalen i ett nyquistdiagram. Figuren tydligg¨or exis-tensen av samband mellan dessa olika m˚att p˚a k¨ansligheten. F¨oljande g¨aller enligt [1]: Am ≥ Ms Ms− 1 (4.17) ϕm ≥ 2 arcsin 1 2Ms (4.18) Typiska v¨arden p˚a Am ¨ar enligt [1] mellan 2 och 5. Fasmarginalen ϕm varierar typiskt fr˚an 30o _{till 60}o_.

Den komplement¨ara k¨anslighetsfunktionen, T , definieras i [3] av T (s) = Gp(s)Gc(s)

1 + Gp(s)Gc(s)

(4.19) T beskriver hur m¨atbrus, n, inverkar p˚a tillst˚andsvariablerna, z, och hur mod-ellfel p˚averkar systemstabiliteten. Figur 4.3 visar var m¨atbruset kommer in i slutna loopen. Maximum f¨or den komplement¨ara k¨anslighetsfunktionen definieras av

4.3 Val av designparameter 19

Figur 4.4. Nyquistkurva f¨or ¨oppna loopens ¨overf¨oringsfunktion, Gl. Samband mellan

Am, ϕmoch Msoch kurvans utseende.

P˚a samma vis som Ms, s¨atter Mp krav p˚a b˚ade amplitudmarginal Am och fas-marginal ϕm, [11] Am ≥ 1 + 1 Mp (4.21) ϕm ≥ 2 arcsin 1 2Mp (4.22) Typiska v¨arden p˚a Mp ¨ar enligt [10] mellan 1.0 och 1.5.

4.3

Val av designparameter

En algoritm f¨or automatisk trimning av regulatorparametrar m˚aste ha en eller flera designparametrar. Med hj¨alp av designparametrarna kan anv¨andaren styra designen s˚a att n¨odv¨andiga krav p˚a prestanda och k¨anslighet uppn˚as om m¨ojligt. Man vill av naturliga sk¨al ha s˚a f˚a designparametrar som m¨ojligt. F¨or att en metod ska vara enkel att anv¨anda, b¨or den inte ha mer ¨an en variabel parameter. Vi kommer i avsnitt 5.5 st¨ota p˚a ytterligare n˚agra m¨ojliga designparametrar ut¨over de nedan presenterade.

20 Reglering - Grundl¨aggande teori

Amplitudmarginal som designparameter

Amplitudmarginalen Am ¨ar ett m˚att som beskriver den slutna reglerloopens sta-bilitet och robusthet. Ett s¨att f¨or att v¨alja regulatorparametrar kan vara att inf¨ora krav p˚a att den resulterande loopen ska ha en viss amplitudmarginal Am. Tester har dock visat att design med specifikation p˚a Am kan ge v¨aldigt olika resultat f¨or olika processer [11]. En l¨osning p˚a detta kan t ex vara att man har ytterligare en designparameter att ta h¨ansyn till. Vi kommer senare se att dagens manuella trimning av hastighetsloopen anv¨ander sig av denna l¨osning.

Fasmarginal som designparameter

Fasmarginalen ϕm¨ar ocks˚a ett standardm˚att f¨or stabilitet hos en reglerad process. Att utf¨ora en regulatordesign utifr˚an specifikation p˚a ϕm, medf¨or p˚a samma s¨att som f¨or Am, att metoden ger v¨aldigt olika resultat f¨or olika processer. I detta fall beror det p˚a att endast en punkt p˚a Nyquist-kurvan anv¨ands f¨or att specificera kraven.

Ms som designparameter

Ms ¨ar enligt (4.5) maximum av k¨anslighetsfunktionen S. Vi ser av (4.17) och (4.18) att Ms s¨atter gr¨anser f¨or b˚ade amplitudmarginalen Am och fasmarginalen ϕm. Detta g¨or Ms till en l¨amplig designparameter. Det har visat sig att design med specifikation p˚a Ms, ger relativt lika resultat f¨or olika processer [11]. Mer om regulatordesign med specifikation p˚a Msi avsnitt 5.5 och kapitel 8.

Mp som designparameter

Vi ser av (4.21) och (4.22), att Mp p˚a samma s¨att som Ms, s¨atter krav p˚a b˚ade amplitudmarginal och fasmarginal. Trots detta ¨ar Mp inte l¨amplig som ensam de-signparameter [10]. Orsaken ¨ar att Mp-cirklar i Nyquist-diagrammet ligger f¨or n¨ara varandra i regionen runt −180o_{. Ekvationen f¨or M}

s-cirkeln i xy-planet ges av (x + 1)2+ y2= ( 1

Ms

)2 (4.23)

Motsvarande ekvation f¨or Mp-cirkeln ges enligt [11] av (x + M 2 p M2 p − 1 )2+ y2= M 2 p (M2 p − 1)2 (4.24) Figur 4.5 och 4.6 tydligg¨or ovanst˚aende resonemang. Figur 4.5 visar att Msfungerar bra som designparameter. Variation av Msmellan 1,2 och 2 ger en tydlig f¨or¨andring i systemets Nyquistkurva. Av figur 4.6 ser vi att lika stor variation av Mpinte alls ger lika stor inverkan p˚a Nyquistkurvan. Mp-cirkeln har inte fixt centrum, vilket Ms-cirkeln har. Detta resulterar i att stora variationer av Mp kr¨avs f¨or att synbara skillnader i stegsvar ska kunna observeras.

4.3 Val av designparameter 21

Figur 4.5. Illustrerar effekten av att ha Ms som designparameter. Nyquistkurva med

tillh¨orande Ms-cirkel f¨or Ms=1.2, 1.4 och 2.0.

Figur 4.6. Illustrerar effekten av att ha Mp som designparameter. Nyquistkurva med

Kapitel 5

Reglering - Designmetoder

Det finns m˚anga olika s¨att att automatiskt generera en regulators olika parametrar. Vilken metod som v¨aljs beror av m˚anga faktorer, bl a vilken typ av regulator som ska trimmas, processens dynamiska egenskaper och vilket krav man har p˚a prestandan. I det h¨ar avsnittet beskrivs mycket kortfattat ett antal olika metoder f¨or trimning.

5.1

Haalman

Haalmans metod [1] bygger p˚a att man f¨orst best¨ammer den ideala ¨overf¨orings-funktionen f¨or den ¨oppna loopen Gl utifr˚an ¨onskade egenskaper. Metoden kr¨aver s˚aledes att en modell f¨or processen, Gp, finns tillg¨anglig. Sedan ber¨aknas regulatorn enligt

Gc= Gl Gp

(5.1) F¨or att den erh˚allna regulatorn ska kunna beskrivas med en PI- eller en PID-regulator kr¨avs det att Gloch Gp ¨ar av tillr¨ackligt l˚ag ordning. F¨or mer komplexa processer kr¨avs det d¨arf¨or att man f¨orst approximerar beskrivningen till l¨amplig ordning.

Huvudprincipen f¨or Haalman ¨ar att poler och nollst¨allen i processen kancelleras mot poler och nollst¨allen i regulatorn. Detta leder dock till okontrollerade poler och nollst¨allen i den slutna loopen [1]. Resultatet av detta kan leda till att responsen p˚a en ¨andring i referenssignalen blir bra medan k¨ansligheten f¨or lastst¨orningar blir h¨og. Detta blir f¨oljden om de kancellerade polerna ¨ar l˚angsamma i j¨amf¨orelse med det slutna systemets dominerande poler. Haalmans metod fungerar huvudsakligen b¨ast p˚a processer som har en betydande d¨odtid.

24 Reglering - Designmetoder

5.2

Intern modellreglering - IMC

IMC st˚ar f¨or Internal Model Control och ¨ar en modellbaserad reglermetod som bygger p˚a att man endast ˚aterkopplar signalen som ges av eventuella modellfel och st¨orningar [3]. IMC ger likt Haalman regulatorer av h¨og ordning om inte approxi-mationer g¨ors. Dessa ¨ar n¨odv¨andiga f¨or att kunna beskriva den erh˚allna regulatorn med en PI- eller PID-regulator. IMC medf¨or p˚a samma vis som Haalman att pol-er och nollst¨allen i processen kancellpol-eras mot polpol-er och nollst¨allen i regulatorn. P˚a samma s¨att kan d¨arf¨or en IMC-regulator ge bra respons p˚a ¨andringar i refer-enssignalen medan omh¨andertagandet av lastst¨orningar ej ¨ar till bel˚atenhet. Detta g¨aller speciellt d˚a de kancellerade polerna ¨ar l˚angsamma i j¨amf¨orelse med det slutna systemets dominerande poler [1].

5.3

BO/SO - En optimeringsmetod

F¨orkortningarna BO och SO kommer av tyskans Betrags Optimum och Symmetrische Optimum [1]. Metoden kan s¨agas vara en utvidgning av Haalman med skillnaden att denna metod ger v¨agledning f¨or hur ¨oppna loopen Glska v¨aljas. Metoden byg-ger p˚a id´en att hitta en regulator som f¨or l˚aga frekvenser ger f¨orst¨arkning n¨ara ett f¨or det slutna systemet. Det g˚ar helt enkelt till p˚a s˚a s¨att att man f¨or det slutna systemet G v¨aljer Gls˚a att

G(0) = 1 dn_|G(iω)|

dωn = 0 f ¨or ω = 0

f¨or s˚a m˚anga n som m¨ojligt. F¨or BO-metoden anv¨ands nedanst˚aende ¨overf¨orings-funktion av andra ordningen f¨or den ¨oppna loopen.

GBO(s) =

ω2 0 s(s +√2ω0)

(5.2) F¨or SO-metoden anv¨ands i st¨allet f¨oljande tredje ordningens uttryck f¨or ¨oppna loopen. GSO(s) = ω2 0(2s + ω0) s2_{(s + 2ω} 0) (5.3) Arbetsg˚angen ¨ar den att man f¨orst anpassar sin ¨overf¨oringsfunktion f¨or det ¨oppna systemet Gl, till en form som kan beskrivas av antingen GBO eller GSO. Detta g¨ors genom att f¨orenkla processbeskrivningen med l¨ampliga approximation-er. Valet mellan GBOoch GSOavg¨ors av vilken av dessa som kr¨aver minst justering av Gl. F¨or att f¨ortydliga metoden ges nedan ett enkelt exempel.

5.4 Polplacering 25

Exempel 1 BO-metoden

Antag att processen ges av ¨overf¨oringsfunktionen Gp(s) =

Kp

s(1 + sT ) (5.4)

Processen regleras med en proportionell regulator K vilket ger Gl(s) =

KKp

s(1 + sT ) (5.5)

f¨or den ¨oppna loopen. Eftersom Gl ¨ar av andra ordningen ligger BO-metoden n¨armast till hands. Kravet att Glska vara ekvivalent med GBO enligt (5.2) ger

ω0= √

2

2T (5.6)

vilket i sin tur ger oss v¨ardet p˚a K enligt K = ω0 √ 2 2Kp = 1 2KpT (5.7)

Haalmans metod fungerar, som tidigare n¨amnts, b¨ast p˚a processer med d¨odtid. BO/SO-metoden ger d¨aremot b¨ast resultat p˚a processer utan d¨odtid. Likt de tidi-gare metoderna bygger ¨aven denna p˚a att poler och nollst¨allen i processen tas ut av regulatorn. Detta kan som sagt medf¨ora att undertryckningen av lastst¨orningar blir d˚alig om de kancellerade polerna ¨ar l˚angsamma j¨amf¨ort med slutna systemets dominerande poler.

5.4

Polplacering

Polplacering bygger p˚a att man har en k¨and modell f¨or processen. Id´en med den-na metod ¨ar att man konstruerar en regulator som placerar det slutden-na systemets alla poler i f¨orutbest¨amda positioner [1]. Den valda polplaceringen avg¨or det slut-na systemets dyslut-namiska egenskaper. Figur 5.1 visar p˚a en typisk konfiguration av poler och nollst¨allen f¨or ett enkelt ˚aterkopplat system. De komplexa polerna och nollst¨allena karakt¨ariseras ofta i termer av ω0 och ζ, d¨ar ω0 ¨ar polens frekvens (avst˚and fr˚an origo i Laplacetransformens s-plan) och ζ polens relativa d¨ampning. Det g¨aller att ζ = cos(γ) d¨ar γ ¨ar vinkeln mellan polens placering och negativa reella axeln. Komplexa poler och nollst¨allen medf¨or att vi f˚ar resonanser vid dess frekvenser. Hur stor p˚averkan resonansen har p˚a systemets dynamik beror p˚a hur d¨ampad polen respektive nollst¨allet ¨ar. En anledning till att man i vissa fall vill

26 Reglering - Designmetoder

Figur 5.1.Typisk konfiguration av poler och nollst¨allen f¨or ett enkelt ˚aterkopplat system.

ha od¨ampade poler kan t ex vara att man prioriterar snabb respons till priset av ¨oversl¨angar vid ¨andring i referenssignalen.

Metoden exemplifieras i nedanst˚aende exempel d¨ar en modell av andra ordnin-gen anv¨ants. Anledninordnin-gen till detta val av modell ¨ar att m˚anga olika processer, t ex oscillerande och icke-minfas, kan beskrivas av just denna modell [1]. Processen regleras med en PID-regulator.

Exempel 2 Polplacering

Antag att processen karakt¨ariseras av f¨oljande andra ordningens modell. Gp=

b1s + b2 s2_{+ a}

1s + a2

(5.8) Processen regleras av en PID-regulator

Gc= k + ki

5.4 Polplacering 27

Det slutna systemets ¨overf¨oringsfunktion erh˚alls d˚a av G = GpGc

1 + GpGc

(5.10) Det slutna systemet ¨ar av tredje ordningen med f¨oljande karakt¨aristiska ekvation. s(s2+ a1s + a2) + (b1s + b2)(kds2+ ks + ki) = 0 (5.11) Ekvation (5.11) kan skrivas om till f¨oljande form d¨ar ζ ¨ar d¨ampningen f¨or det komplexa polparet och ω0 ¨ar den naturliga frekvensen. α definierar tillsammans med ω0 den reella polens placering.

(s + αω0)(s2+ 2ζω0s + ω20) (5.12) Genom att s¨atta koefficienterna f¨or samma grad av s lika i (5.11) och (5.12) erh˚alls f¨oljande ekvationer.

a1+ b2kd+ b1k = (αω0+ 2ζω0)(1 + b1kd) (5.13) a2+ b2k + b1ki = (1 + 2αζ)ω20(1 + b1kd) (5.14) b2ki = αω03(1 + b1kd) (5.15) Ekvationerna (5.13)-(5.15) utg¨or ett linj¨art ekvationssystem i regulatorparame-trarna k, ki och kd. Att l¨osa ekvationssystemet f¨or hand skulle naturligtvis vara tids¨odande. En l¨osning ¨ar enligt [1].

k = a2b 2 2− a2b1b2(α + 2ζ)ω0− (b2− a1b1)(b2(1 + 2αζ)ω20+ αb1ω03) b3 2− b1b22(α + 2ζ)ω0+ b21b2(1 + 2αζ)ω02− αb31ω30 ki = (−a1 b1b2+ a2b21+ b22)αω30 b3 2− b1b22(α + 2ζ)ω0+ b21b2(1 + 2αζ)ω02− αb31ω30 kd = −a1 b2 2+ a2b1b2+ b22(α + 2ζ)ω0− b1b2ω02(1 + 2αζ) + b21αω30 b3 2− b1b22(α + 2ζ)ω0+ b21b2(1 + 2αζ)ω02− αb31ω30

En standard PID-regulator har som bekant tre parametrar. Detta medf¨or att man kan best¨amma positionen f¨or lika m˚anga poler. F¨or att man med metoden ska erh˚alla en PID-regulator kr¨avs det att processen beskrivs som ett f¨orsta eller andra ordningens system. F¨or h¨ogre ordningens system f˚ar man d¨arf¨or vidta l¨ampliga approximationer.

28 Reglering - Designmetoder

5.5

Dominant polplacering

Om man anv¨ander den ovan beskrivna metoden f¨or polplacering f˚ar detta till f¨oljd att en mer avancerad process f˚ar en avancerad regulator. En regulator med ord-ningstal h¨ogre ¨an tv˚a kan inte realiseras med en PID-regulator. I [11] presenteras en metod f¨or att kunna designa enkla regulatorer f¨or avancerade processer. L¨osningen f¨or att slippa g¨ora grova approximationer av processen ¨ar att endast placera ett antal av det slutna systemets poler.

Dynamiken f¨or ett system kan ofta beskrivas av ett f˚atal poler, de dominanta polerna. I det kontinuerliga fallet ¨ar det ofta poler som ligger n¨ara origo (i Laplace-transformens s-plan) som har stor inverkan p˚a systemets dynamik. Figur 5.1 visar ett typiskt fall av konfiguration av poler och nollst¨allen. De komplexa polerna med st¨orst realdel brukar ibland ben¨amnas som de dominanta polerna. I m˚anga fall ¨ar det inte s˚a enkelt att direkt avg¨ora vilka de dominanta polerna ¨ar. Ett nollst¨alle med placering i n¨arheten av en pol, minskar polens inverkan p˚a dynamiken. Om man vill vara s¨aker p˚a vilket polpar som ¨ar dominerande, m˚aste d¨arf¨or h¨ansyn tas ¨aven till nollst¨allen.

PI-regulator

En PI-regulator har som bekant tv˚a parametrar. Det ¨ar d¨armed m¨ojligt att definiera positionerna f¨or tv˚a poler. Avsnittet som f¨oljer baseras p˚a [11]. Antag att vi vill reglera processen Gp med regulatorn

Gc= k + ki

s (5.16)

Det slutna systemets ¨overf¨oringsfunktion ges d˚a av G = GpGc

1 + GpGc

(5.17) vilket medf¨or att slutna systemets karakt¨aristiska ekvation ¨ar

1 + (k +ki

s)Gp(s) = 0 (5.18)

De ¨onskade polerna ¨ar komplexkonjugerade och kan beskrivas som

p1,2= ω0ei(π±γ)= ω0(− cos γ ± i sin γ) (5.19) D˚a vi kr¨aver att p1 och p2 ¨ar r¨otter till (5.18) f˚ar vi f¨or t ex p1

1 + (k +ki p1

)Gp(p1) = 0 (5.20)

Vi introducerar a(ω0) och φ(ω0) som definieras av

5.5 Dominant polplacering 29

V¨art att notera ¨ar att Gp(ω0ei(π−γ)) representerar v¨ardena f¨or Gp(s) d˚a s l¨oper i riktningen ei(π−γ)_{. D˚a γ = π/2 g¨aller G}

p(ω0ei(π−γ)) = Gp(iω0) vilket ¨ar den vanliga frekvensfunktionen som vid en direkt plot ger Nyquistkurvan. Ekvation (5.20) kan nu skrivas om enligt

1 + (k + ki ω0ei(π−γ)

)a(ω0)eiφ(ω0)= 0 (5.22) Ekvationen ovan ¨ar linj¨ar i k och ki och har l¨osningen

k = −sin(φ(ω_a(ω 0) + γ) 0) sin γ (5.23) ki = − ω0sin φ(ω0) a(ω0) sin γ (5.24) Kravet att b˚ade k och ki ska vara positiva ger oss villkoret

γ < −φ(ω0) < π (5.25)

P˚a liknande s¨att kan man ¨aven f˚a fram uttryck f¨or hur k, ki och kd ska v¨aljas d˚a en PID-regulator anv¨ands [11].

Figur 5.2 och 5.3 illustrerar de dominanta polernas p˚averkan p˚a systemdy-namiken. Tv˚a olika regulatorinst¨allningar har gjorts f¨or en PI-regulator mha dom-inant polplacering. Figur 5.3 visar polernas och nollst¨allenas placering i den slutna loopen f¨or de olika regulatorinst¨allningarna. I detta fall ligger det ocks˚a fler poler och nollst¨allen utanf¨or figurens t¨ackning. I b˚ada fallen har frekvensen ω0 satts till 40 rad/s. I fall a ¨ar γ = 0.3 och i fall b g¨aller γ = 1.2. Detta motsvarar ungef¨ar d¨ampningarna 0.96 respektive 0.36.

Designmetoder f¨

or dominant polplacering

D˚a man anv¨ander dominant polplacering som metod f¨or trimning av en PI- eller PID-regulator omvandlar man i sj¨alva verket det ursprungliga problemet till ett nytt. Om man t ex ska trimma en PI-regulator har man normalt tv˚a parametrar att justera, den proportionella respektive den integrerande delen. Vid till¨ampning av dominant polplacering f¨or en PI-regulator kan man som sagt best¨amma l¨aget f¨or tv˚a poler, ofta ett komplexkonjugerat polpar. Placeringen av detta polpar beskrivs med tv˚a nya designparametrar, relativa d¨ampningen ζ och frekvensen ω0. F¨ordelen med de senare designparametrarna ¨ar att det g˚ar att formulera om vanliga speci-fikationer till krav p˚a dessa.

Metod 1 - Designparameter: Relativa d¨ampningen, ζ

Denna metod utg˚ar fr˚an att man v¨aljer den ¨onskade d¨ampningen f¨or det slutna systemet utifr˚an krav p˚a t ex snabbhet och acceptabel ¨oversl¨ang. Frekvensen ω0 v¨aljs till den maximala m¨ojliga frekvensen d˚a de ¨onskade polerna fortfarande ¨ar dominanta [11], [7]. Det som h¨ander d˚a ω0 ¨okar ¨ar att vissa poler r¨or sig ˚at h¨oger

30 Reglering - Designmetoder Step Response Time (sec) Amplitude 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 b a

Figur 5.2.Stegsvar f¨or tv˚a olika regulatorinst¨allningar gjorda med dominant polplacer-ing. a: ω0= 40, γ = 0.3, b: ω0= 40, γ = 1.2

i s-planet medan andra g˚ar ˚at v¨anster. Att v¨alja ω0 p˚a detta s¨att kan beskrivas enligt

max ω0, <[Dominanta poler] ≥ a<[Resterande poler], ∀ ω0≥ 0 (5.26) d¨ar a s¨atts till 1 om de ¨onskade polerna till˚ats ligga i vertikal linje med andra poler. Om man ska trimma en PID-regulator kan ett s¨att vara att man b¨orjar med att placera det komplexkonjugerade polparet enligt (5.26). D¨arefter placeras den reella polen s˚a att dess frekvens ¨ar den samma som f¨or det komplexkonjugerade polparet, dvs de tre polerna kommer ha samma avst˚and fr˚an origo i s-planet. Resultatet blir att det slutna systemets dynamik beskrivs av enbart det komplexa polparet. Detta eftersom den reella polen har samma frekvens men samtidigt ocks˚a ¨ar mer d¨ampad. Denna metod kommer inte att utv¨arderas i rapporten.

Metod 2 - Designparameter: Maximal k¨anslighet, Ms

Lastst¨orningar medf¨or att tillst˚andsvariablerna driver iv¨ag fr˚an dess ¨onskade v¨arden. Ett s¨att att minska inverkan av lastst¨orningar ¨ar att minimera det integrerande felet IE, som introducerades i avsnitt 4.2. F¨oljande samband ¨ar d˚a av intresse.

IE = Z ∞ 0 e(t) dt = 1 ki (5.27) Vi ser av (5.27) att IE minimeras d˚a ki maximeras. Om vi vet vilken ¨onskad d¨ampning ζ det slutna systemet ska ha ˚aterst˚ar det att ta reda p˚a var polen ska

5.5 Dominant polplacering 31 Pole−Zero Map Real Axis Imag Axis −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 a a a a b b b b

Figur 5.3.Placering av poler och nollst¨allen i slutna loopen. Figur 5.2 visar de resul-terande stegsvaren.

placeras i denna riktning, dvs vilken frekvens ω0polen ska ha f¨or att maximera ki. Om vi inte har ett exakt krav p˚a d¨ampningen ζ kan vi l˚ata de dominanta polerna svepa ¨over ett begr¨ansat omr˚ade. F¨or varje ny position ber¨aknas regulatorparame-trarna. D¨ampningen ζ och frekvensen ω0 v¨aljs sedan s˚a att ki maximeras. Detta kr¨aver naturligtvis en del ber¨akningar eftersom regulatorparametrarna ber¨aknas f¨or varje testad polposition. Med dagens datorprestanda ¨ar detta inget problem.

En nackdel med denna metod ¨ar att ingen riktig h¨ansyn tas till k¨ansligheten f¨or det resulterande systemet. Visserligen ¨ar d¨ampningen kopplad till hur k¨ansligt systemet blir, dock ¨ar det sv˚art att direkt f˚a en k¨ansla f¨or dess inverkan. Ett s¨att att f˚a b¨attre kontroll p˚a det slutna systemets k¨anslighet ¨ar att unders¨oka dess k¨anslighetsfunktionen S. F¨or att vara s¨akra p˚a att v˚art slutna system uppfyller krav p˚a maximal k¨anslighet kan vi l˚ata maximum av k¨anslighetsfunktionen Ms, vara v˚ar designparameter. Designmetodiken f¨or att placera de dominanta polerna blir d˚a enligt f¨oljande:

S¨ok den polplacering (inom ett avgr¨ansat omr˚ade) som maximerar ki med bivil-lkoret att Ms inte ¨overskrider ett visst v¨arde.

Kapitel 6

Identifiering av externa axlar

Kapitlet beskriver hur identifieringen av de aktuella axlarna g˚ar till. F¨orst beskrivs vilken typ av modell som anv¨ands f¨or att beskriva processen. Egenskaper f¨or mod-ellen och hur den automatiskt ska anpassas till verkliga processen beskrivs sedan. I slutet av kapitlet redovisas resultatet av identifieringarna.

6.1

Modellstruktur

Modellen som ska anpassas till processen ¨ar en tv˚amassemodell enligt figur 3.1. Identifieringen bygger allts˚a p˚a en skr¨addarsydd modell d¨ar parametrarna skat-tas med hj¨alp av anpassning av modellens amplitudkurva till verkliga processens skattade amplitudkurva. Amplitudkurvan som skattas beskriver ¨overf¨oringen fr˚an moment, τ , till motoracceleration ¨ϕm. Genom att teoretiskt studera extrempunk-terna f¨or en tv˚amassemodell, kan man av den skattade amplitudkurvan erh˚alla approximativa v¨arden f¨or masstr¨oghetsmoment, Jm, armens masstr¨oghetsmoment, Jaoch styvheten, k. Med Laplacetransformering av (3.1) och (3.2) kan man erh˚alla ¨overf¨oringsfunktionen fr˚an moment τ till motoracceleration ¨ϕm f¨or en tv˚ amasse-modell: Gτ, ¨ϕm= Jas 4 + (d + fa)s 3 + ks2 JmJas4+ (Ja(d + fm) + Jm(d + fa))s3+ (k(Jm+ Ja) + d(fm+ fa) + fmfa)s2+ k(fa+ fm)s (6.1)

Om vi f¨orenklar genom att anta att ingen friktion finns i systemet, dvs s¨atter fmoch fa lika med noll i (6.1) f˚as

˜ Gτ,ϕ¨m=

Jas4+ ds3+ ks2

JmJas4+ (Jm+ Ja)ds3+ (Jm+ Ja)ks2

(6.2) Uttrycket (6.2) kan vidare f¨orenklas till

˜ Gτ,ϕ¨m =

Jas2+ ds + k

JmJas2+ (Jm+ Ja)ds + (Jm+ Ja)k

(6.3) Typiska bodediagram f¨or Gτ,ϕ¨m och ˜Gτ,¨ϕm visas i figur 6.1.

34 Identifiering av externa axlar Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) 10 20 30 40 50 60 70 10−1 100 101 102 103 0 45 90 135 180

Figur 6.1.Typiskt bodediagram f¨or ¨overf¨oringen fr˚an τ till ¨ϕm f¨or en tv˚amassemodell.

Heldragen: med friktion. Streckad: utan friktion.

Ber¨akning av gr¨ansv¨arden f¨or ˜Gτ,¨ϕm ger

lim s→0 ˜ Gτ,ϕ¨m = 1 Jm+ Ja (6.4) lim s→∞ ˜ Gτ,ϕ¨m = 1 Jm (6.5) I avsnitt 5.4 beskrevs hur komplexa poler och nollst¨allen p˚averkar processens resonanser. Resonanstoppens position best¨ams av ¨overf¨oringsfunktionens komplexa poler medan resonansdippens position best¨ams av dess komplexa nollst¨allen. N¨ar t¨aljar- respektive n¨amnarpolynomets r¨otter s¨oks, kan polynomen med f¨ordel skrivas om till standardfunktionen

s2+ 2ζω0s + ω02= 0 (6.6)

d¨ar ζ ¨ar den relativa d¨ampningen och ω0 den naturliga frekvensen vid vilken resonansen hamnar. F¨or t¨aljaren erh˚alls

s2+ 2 d 2√kJa r k Ja s +r k Ja 2 = 0 (6.7)

Vi ser f¨oljaktligen av 6.7 att frekvensen vid resonansdippen ges av ωdipp≈

r k Ja

6.2 Insignal och utsignal vid identifiering 35 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Magnitude(dB) Amplitudkurva Frequency(rad/s) J_a + J_m 1 J_m 1 k(J a + Jm) w = J a Jm w = k J_a

Figur 6.2.Bodediagram f¨or ¨overf¨oringen fr˚an τ till ¨ϕmf¨or en tv˚amassemodell.

Extrem-punkternas approximativa teoretiska v¨arden ¨ar givna i figuren.

P˚a motsvarande s¨att f¨or n¨amnaren erh˚alls ekvationen s2_{+ 2}d √ Jm+ Ja 2√JmJak s (Jm+ Ja)k JmJa s + s (Jm+ Ja)k JmJa 2 = 0 (6.9)

Frekvensen vid resonanstoppen ges allts˚a av ωtop≈

s

(Jm+ Ja)k JmJa

(6.10) Extrempunkternas approximativa teoretiska v¨arden sammanfattas i figur 6.2, som visar en amplitudkurva med det typiska frekvenssamband som r˚ader mellan τ och ¨ϕm.

6.2

Insignal och utsignal vid identifiering

En signal som ¨ar anv¨andbar vid excitering av system ¨ar den sk chirp-signalen [9]. Chirp-signalen kan beskrivas enligt

36 Identifiering av externa axlar

Vi ser av (6.11) att chirp ¨ar en sinus d¨ar frekvensen ¨okar med tiden. Den chirp som vi anv¨ander oss av vid identifieringen g˚ar fr˚an 0Hz till 120Hz med amplituden 3 rad/s. F¨or att vi ska f˚a en begr¨ansad inverkan av friktionen vid identifieringen, ¨overlagrar vi chirp-signalen med en fyrkantv˚ag med amplitud 6 rad/s och frekvens 0.2Hz. Insignalen skickas in som en hastighetsreferens. Positionsloopen ¨ar bortkop-plad genom att Kp satts till noll. Utsignalerna som m¨ats ¨ar τ och ˙ϕm. Dessa b˚ada signaler ¨ar tillg¨angliga fr˚an den aktuella kontrollenheten. ¨ϕm f˚ar vi sj¨alva derivera fram.

I avsnitt 3.6 n¨amndes att m¨atsignalen b¨or l˚agpassfiltreras med ett sk alias-filter f¨ore samplingen. Den aktuella samplingsfrekvensen, fs, ¨ar 2000Hz. Enligt [12] kommer frekvenskomponenter med frekvenser h¨ogre ¨an 0.5fs, uppfattas som l¨agre frekvenser i den uppm¨atta signalens skattade spektrum. F¨or de aktuella m¨atsignalerna kan vi anta att energin f¨or frekvenskomponenterna ¨over 0.5fs ¨ar relativt liten. Av detta drar vi slutsatsen att det i v˚art fall inte ¨ar n¨odv¨andigt med ett alias-filter.

Anm¨arkning: I detta sammanhang skulle τref vara en b¨attre ben¨amning p˚a τ eftersom den uppm¨atta signalen ¨ar en referenssignal som ett drivdon sedan om-vandlar till en verklig str¨om som genererar ¨onskat moment. F¨or identifieringens skull g¨or det inget om vi tolkar den uppm¨atta referenssignalen som verkliga τ , varf¨or vi f¨or enkelhetens skull g¨or detta. Orsaken ¨ar att det mellan τref och τ f¨orenklat finns ett linj¨art samband med en proportionalitetskonstant n¨ara 1.

6.3

Automatisk modellanpassning

Anpassningen av tv˚amassemodellens parametrar g¨ors genom att j¨amf¨ora modellens amplitudkurva f¨or ¨overf¨oringen mellan τ och ¨ϕmmed verkliga processens skattade amplitudkurva mellan dessa b˚ada signaler. Den skattade amplitudkurvan tas fram genom att ber¨akna kvoten f¨or frekvensinneh˚allet i τ respektive ¨ϕm. Frekvensin-neh˚allet ber¨aknas med hj¨alp av Fast Fourier Transform (FFT). F¨or att erh˚alla en finare och mindre brusk¨anslig amplitudkurva, f¨oresl˚ar [9] f¨onstring av kvoten med ett triangul¨art f¨onster av l¨angd 20. F¨or att snabba upp optimeringen tas 100 punkter, med logaritmiskt ¨okad stegl¨angd, ut fr˚an den skattade amplitudkur-van. Modellanpassningen sker sedan mha Newton Rapson f¨or ¨overbest¨amda system [2], som minimerar det kvadratiska felet mellan de b˚ada kurvorna. Amplitudkur-van f¨or ett tv˚amassesystem har, som n¨amnts tidigare, en avtagande f¨orst¨arkning d˚a frekvensen n¨armar sig noll. Optimeringen tar inte h¨ansyn till detta fenomen, d˚a tester har visat att ett b¨attre resultat erh˚alls d˚a fokuseringen l¨aggs vid h¨ogre frekvenser. I den automatiska modellanpassningen tas den f¨orsta punkten ut fr˚an amplitudkurvan d¨ar lutningen f¨or f¨orsta g˚angen blir negativ.

Optimeringen tar bara h¨ansyn till amplitudkurvan, inte faskurvan, d˚a denna anses vara av st¨orsta vikt f¨or att erh˚alla bra v¨arden p˚a modellparametrarna. F¨ors¨ok

6.3 Automatisk modellanpassning 37 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Magnitude(dB) Amplitudkurva Frequency(rad/s)

Figur 6.3. Linje mellan f¨orsta och sista punkten som ing˚ar i optimeringen. St¨orsta avst˚and s¨oks f¨or att lokalisera resonanser.

har visat att faskurvorna trots detta f˚ar tillfredsst¨allande ¨overensst¨ammelse. F¨or att optimeringen inte ska hamna i lokala extrempunkter m˚aste bra start-gissningar anges f¨or Jmoch Ja. Startgissningarna f¨or k, d, fmoch fal˚ater vi alltid vara de samma. Dessa ¨ar k = 30, d = 0.07, fm = 0.02 och fa = 0.01. I det-ta examensarbete g¨or vi f¨orenklingen att inte identifiera friktionerna fm och fa. Dessa kommer f¨or alla processer ha v¨ardena 0.02 respektive 0.01. Tester visar dock att f¨orenklingen att l˚ata fm och fa vara of¨or¨andrade, har liten relativ inverkan p˚a slutresultatet. Om ¨aven friktionen skulle ing˚a i optimeringen, skulle troligtvis ett b¨attre resultat erh˚allas om h¨ansyn togs till hela amplitudkurvan. Bra start-gissningar p˚a Jm och Ja erh˚alls med hj¨alp av den skattade amplitudkurvan f¨or uppm¨att data. Vi s¨oker reda p˚a resonansdippen och resonanstoppen i figur 6.2, och kan sedan ber¨akna startgissningar utifr˚an deras placering p˚a frekvensaxeln. F¨or att hitta dessa resonanser dras en linje fr˚an f¨orsta punkten som ing˚ar i opti-meringen till den sista punkten enligt figur 6.3. Resonanstoppens l¨age s¨atts till den punkt d¨ar avst˚andet mellan linjen och kurvan p˚a ovansidan linjen ¨ar maximalt. P˚a motsvarande s¨att, fast p˚a undersidan linjen, best¨ams positionen av resonansdippen. Det b¨or po¨angteras att det masstr¨oghetsmoment Jasom identifieras hos armen, ¨ar det masstr¨oghetsmoment som motorn k¨anner av. F¨or att f˚a fram det verkliga v¨ardet m˚aste h¨ansyn tas till utv¨axlingen.

38 Identifiering av externa axlar

6.4

Resultat

I detta avsnitt redovisas resultatet av den automatiska modellanpassningen f¨or de aktuella axlarna. F¨or varje axel visas modellens bodediagram f¨or ¨overf¨oringen fr˚an τ till ¨ϕm, samt den verkliga processens skattade bodediagram, se figurerna 6.4-6.8. De resulterande modellparametrarna redovisas i tabell 6.1.

6.5

Problem och brister

Det har tidigare diskuterats att det inf¨or varje identifieringsproblem ¨ar viktigt att utforma identifieringen utifr˚an den aktuella processen. Vid den aktuella identi-fieringen har en skr¨addarsydd modellstruktur f¨or tv˚amassesystem anv¨ants. Prob-lem uppst˚ar i de fall den externa axeln inte skulle uppvisa f¨orv¨antad karakt¨aristik. Modellanpassningen skulle inte lyckas och de genererade regulatorparametrarna skulle vara v¨ardel¨osa. Det ¨ar av denna anledning viktigt att kontrollera att model-lanpassningen blir tillfredsst¨allande. De externa axlar som identifierats, visar alla mycket tydlig karakt¨aristik av tv˚amassesystem. F¨or den automatiska anpassnin-gens skull ¨ar det av stor vikt att det p˚a armsidan finns en last d˚a insamlingen av data g¨ors. Orsaken ¨ar att niv˚aerna (markerade med raka linjer i figur 6.2) som anv¨ands f¨or skattning av masstr¨oghetsmomenten b¨or hamna p˚a olika h¨ojd. Detta underl¨attar f¨or optimeringsalgoritmen att hitta en bra l¨osning p˚a modellanpassnin-gen. En svaghet i modellanpassningen ¨ar att h¨ansyn endast tas till amplitudkurvan. F¨or att identifieringen ska bli b¨attre, kr¨avs det att ¨aven faskurvornas avvikelse ing˚ar i optimeringen.

Ett annat problem ¨ar att identifieringen sker i sluten loop. Idealt vore om τ :s alla frekvenskomponenter mellan 0Hz och 120Hz inneh¨oll lika mycket energi. D˚a skulle varje mod i processen exciteras p˚a samma villkor. Resultatet av den slut-na loopen ¨ar att processens och PI-regulatorns dyslut-namik g¨or att vissa frekvenser kommer att vara mer dominanta ¨an andra. Det verkar dock som att detta inte har orsakat n˚agra problem vid identifieringen.

Ett tredje problem, egentligen bara en begr¨ansning, ¨ar att det aktuella kon-trollsystemet har en begr¨ansning p˚a frekvensen f¨or genererad chirp-signal. Maximal frekvens som kan anv¨andas f¨or identifiering ¨ar 120Hz. Detta resulterar i att pro-cesserna som ska identifieras m˚aste ha resonanserna vid l¨agre frekvens ¨an 120Hz. Till dessa processer tillh¨or dock de flesta externa axlar d˚a armen b¨ar en last.

6.5 Problem och brister 39 101 102 10 20 30 40 50 60 70 Frequency [Hz] Magnitude [dB] 101 102 0 50 100 150 Frequency [Hz] Phase [deg] Intch

Figur 6.4.Modellanpassning f¨or Intch. Bodediagram f¨or ¨overf¨oring fr˚an τ till ¨ϕm.

Tabell 6.1.Skattade modellparametrar f¨or de aktuella axlarna.

Process Jm Ja k d Intch 0.0013 0.0245 74.0885 0.1512 Stn1 Axel1 0.0014 0.0008 27.4344 0.0321 Stn1 Axel2 0.0003 0.0016 50.2241 0.0271 MTC 250 0.0003 0.0026 37.1376 0.0418 MTC 2000 0.0018 0.0130 34.5372 0.1073

40 Identifiering av externa axlar 101 102 40 45 50 55 60 65 Frequency [Hz] Magnitude [dB] 101 102 −20 0 20 40 60 80 Frequency [Hz] Phase [deg] Stn 1 Axel 1

Figur 6.5.Modellanpassning f¨or Stn1 Axel1. Bodediagram f¨or ¨overf¨oring fr˚an τ till ¨ϕm.

101 102 30 40 50 60 70 80 90 Frequency [Hz] Magnitude [dB] 101 102 0 50 100 150 Frequency [Hz] Phase [deg] Stn 1 Axel 2

6.5 Problem och brister 41 101 102 30 40 50 60 70 80 90 Frequency [Hz] Magnitude [dB] 101 ₁₀2 −50 0 50 100 150 Frequency [Hz] Phase [deg] MTC 250

Figur 6.7.Modellanpassning f¨or MTC 250. Bodediagram f¨or ¨overf¨oring fr˚an τ till ¨ϕm.

101 102 10 20 30 40 50 60 70 Frequency [Hz] Magnitude [dB] 101 ₁₀2 −50 0 50 100 150 Frequency [Hz] Phase [deg] MTC 2000

Kapitel 7

Am-metoder

Detta avsnitt inleds med en beskrivning av hur den manuella trimningen g˚ar till idag. Sedan beskrivs tv˚a automatiska metoder f¨or trimning vars syften ¨ar att just automatisera dagens manuella trimningsalgoritm. Den f¨orsta av dessa anv¨ander sig av simuleringar, medan den andra bygger p˚a analytiska ber¨akningar. Ett pas-sande samlingsnamn f¨or dessa metoder ¨ar Am-metoder, d˚a de fokuserar p˚a ampli-tudmarginalen vid trimningen av hastighetsloopen.

7.1

Manuell trimning

N¨ar man idag trimmar regulatorer f¨or externa axlar g¨or man det manuellt genom att justera parametrarna tills den externa axeln visar ¨onskat uppf¨orande. F¨or att f˚a en n˚agorlunda uppfattning av hur trimningen g˚ar till sammanfattas de olika stegen i korthet nedan.

• S¨att Kp = 0 och Ti = ∞. Kopplar bort positionsloopen och tar bort inte-grerande verkan.

• L˚at hastighetsreferensen vara en fyrkantv˚ag.

• ¨Oka Kv tills dess att hastighetsloopen blir instabil. Dela detta Kv med 2.5. Bivillkor: Sv¨angningen i momentet, τ , m˚aste d¨ampas ut p˚a maximalt tre perioder.

• Minska Ti tills ˙ϕmeller τ f˚ar ¨okad ¨oversl¨ang.

• Vid normal k¨orning av axeln, v¨alj st¨orsta m¨ojliga Kp utan att ¨oversl¨ang uppkommer i m¨atsignalen, ϕm.

Man trimmar allts˚a f¨orst hastighetsloopens PI-regulator. I detta l¨age ¨ar po-sitionsloopen helt bortkopplad eftersom Kp = 0. D˚a man delar det Kv som ger sj¨alvsv¨angning med 2.5, f˚ar hastighetsloopen amplitudmarginalen Am≈ 2.5. Det-ta kan ses som en s¨akerhetsmarginal man vill ha mot insDet-tabilitet. Prioriterar man

44 Am-metoder

Figur 7.1. Simulink-modell som anv¨ands av den simulerande Am-metoden.

snabbhet h¨ogt kan man t ex v¨alja Am = 2. Ytterligare ett villkor ¨ar allts˚a att τ ska d¨ampas ut p˚a maximalt tre perioder. Att beh¨ova s¨anka Kvf¨or att uppn˚a detta inneb¨ar ocks˚a en ¨okad amplitudmarginal. N¨ar hastighetsloopen ¨ar trimmad som den ska, ¨overg˚ar man till att trimma positionsloopen.

Med denna metod f˚ar man en n˚agot od¨ampad hastighetsloop. Detta ¨ar dock ¨onskv¨art d˚a man prioriterar snabbhet i hastighetsloopen. Positionsloopen ¨ar b¨attre d¨ampad d˚a man inte accepterar n˚agon ¨oversl¨ang vid en positionsf¨or¨andring.

7.2

Simulerande Am-metoden

Med hj¨alp av Simulink har en modellbaserad och automatisk variant av dagens trimningsalgoritm testats. I st¨allet f¨or verkliga k¨orningar g¨ors nya simuleringar tills ¨onskat resultat erh˚alls.

Modellbeskrivning

Figur 7.1 visar Simulink-modellen som anv¨ands f¨or simuleringarna. Modellen f¨or processen ¨ar ett kontinuerligt tv˚amassesystem. I ¨ovrigt ¨ar alla filter tidsdiskreta med samplingsperioden 0.5ms.