Huvudräkningsstrategier inom addition : En kvalitativ studie av elevers val av huvudräkningsstrategier i årskurs sex

Huvudräkningsstrategier

inom addition

En kvalitativ studie av elevers val av huvudräkningsstrategier

i årskurs sex

KURS:Examensarbete för grundlärare 4–6, 15hp

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6 FÖRFATTARE: Linda Axelsson

EXAMINATOR: Robert Gunnarsson TERMIN:VT21

JÖNKÖPING UNIVERSITY Kurs Examensarbete, 15 hp

School of Education and Communication Program Grundlärarprogrammet 4– 6

Termin VT2021

SAMMANFATTNING

___________________________________________________________________________ Linda Axelsson

Huvudräkningsstrategier inom addition

En kvalitativ studie av elevers val av huvudräkningsstrategier i årskurs sex Antal sidor: 30

___________________________________________________________________________ Under mina verksamhetsförlagda utbildningar har jag uppmärksammat att flera elever endast tillämpar och behärskar en huvudräkningsstrategi. Således är syftet med denna studie att skapa en djupare förståelse av hur elever använder sig av huvudräkningsstrategier. Syftet kommer att besvaras med hjälp av två forskningsfrågor: vilka skilda strategier använder eleverna samt hur beskriver eleverna sina strategier. Enligt styrdokumenten (Skolverket, 2019) ska matematikundervisningen utveckla elevers förmåga att välja och använda lämpliga matematiska metoder samt att elever ska kunna föra och följa matematiska resonemang. Studien har inspirerats från delar av hermeneutiken och är en kvalitativ studie där datainsamlingen genomfördes genom semistrukturerade intervjuer. Urvalet består av åtta elever i årskurs sex som har intervjuats. Tidigare forskning beskriver att elever gärna tillämpar strategierna “algoritmräkning” och “talsorter var för sig”. I denna studie föredrog eleverna att använda sig av talsorter var för sig och den associativa lagen. Det framkom även att eleverna inte är vana vid att behöva lösa uppgifter på olika sätt och att vissa elever tillämpar den strategi eleven behärskar medan några elever kunde tillämpa olika strategier. Det ledde till att de här eleverna kunde tillämpa den strategi som var lämplig för uppgiftens utformning. Samtliga elever beskriver att de har fått undervisning i flera strategier.

______________________________________________________________________________ Sökord: associativa lagen, hermeneutik, huvudräkning, huvudräkningsstrategier, tolkning

Abstract

___________________________________________________________________________ Linda Axelsson

Mental arithmetic strategies in addition

A qualitative study of students' choice of mental arithmetic strategies in year six

Pages: 30

___________________________________________________________________________

During my work-based training, I have noticed that several students only apply and master one mental arithmetic strategy. Thus, the aim of this study is to gain an deeper understanding of how students use mental arithmetic strategies. The aim will be met by answering two research questions: which different strategies does the students use and how do the students describe their strategies. According to the schools´steering, mathematics teaching must develop the students' ability to choose and use appropriate mathematical methods and that the students should be able to conduct and follow mathematical reasoning. The study has been inspired by parts of hermeneutics and is a qualitative study where data collection was conducted through semi-structured interviews. Eight students in year six in Sweden have been interviewed. Previous research describes that students like to apply the strategies algorithm counting and decomposition strategy separately. In this study, students preferred to use decomposition strategy and the associative law. It also emerged that students are not used to having to solve tasks in different ways and that some students apply a strategy that the student masters while some students could apply different strategies, which led to these students being able to apply the strategy that was suitable for the design of the task. All students describe that they have been taught several strategies.

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 1

2. Syfte och frågeställningar ... 2

3. Bakgrund ... 3

3.1 Tidigare forskning om huvudräkningsstrategier ... 3

3.2 Huvudräkning ... 4

3.3 Förkunskaper vid användandet av huvudräkning ... 5

3.4 Huvudräkningsstrategier vid addition ... 6

3.5 Vetenskaplig teori... 7

4. Metod... 9

4.1 Metodval och datainsamling ... 9

4.2 Urval ... 10

4.3 Etiska överväganden ... 11

4.4 Intervju ... 11

4.5 Analysering av datainsamling ... 12

4.6 Tillförlitlighet och relevans ... 14

4.7 Val av huvudräkningsuppgifter inom addition ... 14

5. Resultat ... 16

5.1 Vilka skilda strategier eleverna använder ... 16

Beskrivning av strategival vid beräkning av 198+74 ... 17

Beskrivning av strategival vid beräkning av 19+58 ... 17

Beskrivning av strategival vid beräkning av 47+396 ... 17

Beskrivning av strategival vid beräkning av 9+76 ... 18

5.2 Hur eleverna beskriver att de använder sina strategier ... 18

Elevernas beskrivningar av deras strategier på beräkningen 198+74 ... 18

Elevernas beskrivningar av deras strategier på uppgift 19+58 ... 20

Elevernas beskrivningar av deras strategier på beräkningen 47+396 ... 22

Elevernas beskrivningar av deras strategier på beräkningen 9+76 ... 22

Visar elevernas olika beskrivningar och motiveringar av deras strategival ... 23

Sammanfattning av resultatet ... 23

6. Diskussion ... 25

6.1 Metoddiskussion ... 25

6.2 Resultatdiskussion. ... 26

Vilka skilda strategier eleverna använder ... 26

Elevers beskrivningar av hur de använder sina strategier ... 28

Referenser ... 31

Bilaga 1 ... 34

Bilaga 2 ... 35

Bilaga 3 ... 37

1. Inledning

I matematikämnet undervisas elever i både huvudräkning och standardalgoritmer. I en tidigare litteraturstudie (Axelsson & Mattsson, 2020) framkom det att elever mestadels använde sig av algoritmer i sin beräkning och mindre av huvudräkningsstrategier. Det här har jag också uppmärksammat under mina verksamhetsförlagda utbildningar då elevers matematikundervisning i huvudsak bestått av algoritmräkning. Jag upplever att vissa elever inte vet varför de använder sig av en viss strategi och att vissa elever inte vet vad huvudräkningsstrategier är.

Tidigare forskning visar att huvudräkning leder till att elever får en ökad förståelse av tal och siffrornas platsvärde (Barrera-Mora & Reyes-Rodriguez, 2019; Schultz, 2018). Det finns forskning som hävdar att det endast är elever som behärskar huvudräkningsstrategier som har förmågan att använda sig av den lämpligaste strategin (Hickendorff et al., 2010). Läroplanen (Skolverket, 2019) beskriver att eleverna ska kunna tillämpa och värdera olika strategier och att det är en förmåga som eleverna ska utveckla i matematikundervisningen. Således är det här ämnet viktigt för alla verksamma lärare att studera vidare, därför vill jag undersöka det här närmare för att kunna bidra med insikt om vilka huvudräkningsstrategier eleverna behärskar och tillämpar. Därför ska jag i min studie intervjua elever för att få syn på vilka huvudräkningsstrategier de använder vid beräkning av tal med addition, utan att använda sig av algoritmräkning. Studien kan även visa om elever har förmågan att tillämpa den strategi som är lämpligast för enskild uppgift. Genom att elever ska använda sig av skriftlig huvudräkning synliggörs elevers tillvägagångsätt vilket gör det enklare för mig att följa deras tankesätt (Rockström, 2002). Min förhoppning är att den här studien ska hjälpa mig som blivande lärare genom att få en inblick i vilka strategier elever behärskar och tillämpar vid beräkning av addition samt uppmärksamma vilka strategier elever kan behöva träna mer på.

I studien kommer jag att intervjua elever i årskurs sex på en skola där två klasslärare ska välja ut fyra elever var som inte har några problem med att muntligt förklara sina tankesätt oavsett kunskapsnivå. Undersökningen kommer att utgå från en kvalitativ metod genom att intervjua elever för att få syn på elevers tankar kring huvudräkningsstrategier samt användandet av huvudräkningsstrategier.

2. Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att skapa en djupare förståelse av hur elever i årskurs sex använder sig av huvudräkningsstrategier vid addition.

• Vilka skilda huvudräkningsstrategier använder eleverna?

3. Bakgrund

3.1 Tidigare forskning om huvudräkningsstrategier

Forskning visar att elever använder primära strategier som att räkna på fingrarna och att räkna vidare och att elever också föredrar en lite lämpligare metod, nämligen talsorter var för sig. I studien framkommer det att talsorter var för sig var den effektivaste strategin som eleverna använde sig av. Det här resultatet framkom genom att en studie på 200 elever utfördes i Italien där de undersökte vilka strategier elever i årskurs 3–5 använder vid beräkningar av additionsuppgifter (Bendotti et al, 2010). En annan studie som också undersökte vilka huvudräkningsstrategier som elever väljer vid huvudräkning inom addition fick ett liknande resultat (Carpenter et al., 1997). Här visade resultatet att eleverna tillämpade strategierna talsorter var för sig, tiotalsövergång och algoritmer. De här strategierna användes mest frekvent av eleverna under studien. Det synliggjordes att elever som använde sig av huvudräkningsstrategier som inte innefattar algoritmer visade kunskap om tiotalsbegreppet före de elever som använde sig av algoritmer. I studien påvisas också att elever som använder sig av olika strategier, som inte innefattar algoritmer har en större förståelse av att beräkna tal i uppgifter än de som endast använder sig av algoritmer.

I en studie där syftet var att fokusera på elevernas prestationer i huvudräkning och deras användning av huvudräkningsstrategier visade resultatet att eleverna tillämpade kända strategier såsom talsorter var för sig (Csikos, 2015). Dock uppmärksammades en annan strategi, vilket innebar beräkningar på följande sätt: 123+456= 123+ 400+50+6. Csíkos (2015) beskriver att studiens resultat visar att de elever som endast tillämpade en strategi på samtliga additionsuppgifter var mindre framgångsrika. Studiens slutsats är att benämna att lärarens roll bör vara att undervisa eleverna i flera olika huvudräkningsstrategier för att de ska ha en bred strategirepertoar och att sedan låta eleverna själva välja när de ska tillämpa en viss strategi. I en annan studie har forskaren också dragit slutsatsen att elever som behärskar fler huvudräkningsstrategier har förmågan att tillämpa den strategi som anses lämpligast för uppgiftens utformning och att det leder till framgång (Erdem, 2017). Skillnaden med Erdems (2017) studie och de tidigare nämnda (Bendotti et al., 2010; Carpenter et al., 1997 och Csikos, 2015) är att majoriteten av eleverna visade att de behärskar huvudräkningsstrategier på ett bra sätt och att de inom additionsuppgifter kunde tillämpa flera olika strategier. En annan aspekt som endast Erdem (2017) påpekade är att elevernas resultat minskade när antalet siffror i talen ökade.

I en studie där syftet var att undersöka elevers utveckling av huvudräkningsstrategier visar resultatet att algoritmräkning inte främjar utvecklingen av huvudräkningsstrategier (Yang & Huang, 2014). I studien delades eleverna in i två grupper, en kontrollgrupp och en experimentgrupp, där experimentgruppen inte undervisades i algoritmer utan endast i olika huvudräkningsstrategier. Däremot undervisades kontrollgruppen i både algoritmer och huvudräkningsstrategier. Resultatet visade att algoritmräkning inte främjar utvecklingen av huvudräkningsstrategier. Dock visar resultatet att elevernas huvudräkningsstrategier ökade när eleverna tillsammans fick diskutera olika situationer och strategier som hade varit lämpliga att använda.

3.2 Huvudräkning

Det finns olika definitioner på vad huvudräkning är. I Skolverkets (2017) kommentarmaterial skiljer Skolverket på huvudräkning och skriftlig beräkning då de beskriver att huvudräkning endast sker utan stöd av papper och penna. När elever har stöd av papper och penna vid beräkning med huvudräkning definierar vissa forskare detta som skriftig huvudräkning (Ruiz & Balbi, 2019). I den här studien definieras huvudräkning som en beräkning som görs i huvudet med hjälp av papper och penna för att tydliggöra både beräkningens alla steg samt vilken huvudräkningsstrategi elever använder sig av.

Forskning visar på att huvudräkning är en viktig förmåga att kunna tillämpa i vardagliga situationer eftersom det hjälper elever att kontrollera tal och siffror på ett effektivt sätt (Imbo och Vandierendonck, 2008). Dock visar forskning (Carpenter et al., 1997; Csíkos, 2015; Ulu & Ozdemirs, 2018) att många elever tillämpar algoritmräkning istället för huvudräkningsstrategier. Vid algoritmräkning lär sig elever en viss metod för en sorts operation. Däremot kan huvudräkningsstrategier tillämpas på olika operationer och bygger på en grundförståelse (McIntosh, 2005). Erdem, (2017) poängterar också att huvudräkning är en viktig byggsten i elevernas matematiska kunskapsbank som de sedan ska implementera i vardagliga situationer såsom när de till exempel ska handla i en mataffär. Forskaren hävdar att elever bör kunna tillämpa flera huvudräkningsstrategier då det underlättar elevernas beräknande. Forskning betonar vikten av att samtliga elever erbjuds och tränas på att tillämpa flera olika strategier för att skapa de möjligheter som eleverna behöver för att matematiken ska ses som en tillgång i vardagen samt att huvudräkningsstrategier ska underlätta och vidga deras matematiska kunnande (Threlfall, 2008). Annan forskning delar uppfattning om att huvudräkning underlättar elevers

matematiska kunnande då forskarna beskriver att huvudräkning främjar tänkande och förståelse om siffror och operationer och är en slags tankeprocess samt att huvudräkning utvecklar förståelsen av taluppfattning (Yang och Huang, 2014). För att elever ska kunna välja och tillämpa rätt strategi som leder till ett rimligt resultat kräver det att elever vet avsikten med uppgiften och hur de på ett effektivt sätt kan strukturera uppgiften (Vallée-Tourangeau, 2013). Forskare har kommit fram till slutsatsen att elever som behärskar huvudräkningsstrategier är de elever som har förmågan att välja den lämpligaste strategin för respektive uppgifter (Erdem, 2017). Schultz (2018) hävdar att en god huvudräkningsförmåga är grundläggande för att elever ska kunna utveckla en förståelse av standardalgoritmers uppbyggnad och struktur.

3.3 Förkunskaper vid användandet av huvudräkning

För att elever ska kunna tillämpa huvudräkningsstrategier på ett effektivt sätt krävs det att de har en god taluppfattning, vilket innebär att elever förstår hur tal är uppbyggda. Elever behöver ha god kunskap kring de tio bastal, talen 1–10 som är grunden för vårt decimalsystem och som inkluderar de 25 olika sätt som det är möjligt att dela talen två till tio i olika delar (Neuman, 2013). Nedan visas en förklaring på hur Neuman (2013) beskriver de tio bastalens 25 kombinationer. Neuman (2013) beskriver den här kunskapen som aritmetikens byggstenar.

Figur 1

Dagmar Neumans beskrivning av de tio bastalens 25 kombinationer (Neuman, 2013, s. 16).

Att ha insikt om basbegreppen innebär att elever har utvecklat sådana föreställningar om de tio bastalen att de direkt ser kombinationen 6|2|8 som 6 + 2 = 8, 2 + 6 = 8. Det innebär

att elever visar kunskap och förståelse av additionens kommutativa egenskap. När elever har utvecklat kunskaper om basbegreppen, besitter de redskap som gör det möjligt för dem att lära sig att utföra upprepad addition och därmed lära sig att multiplicera (Neuman, 2013). När elever ska använda huvudräkning som beräkningsmetod är det viktigt att eleven har kunskap om likhetstecknets innebörd. När elever har förstått likhetstecknets fulla betydelse innebär det att de har nått upp till den relationella förståelsen. Det här betyder att eleverna har förståelse för att det ska vara lika mycket på både sidor om likhetstecknet samt att de kan relatera det till uppgifter av olika slag (Pettersson, 2010). Att behärska positionssystemet är en annan viktig förkunskap för att kunna tillämpa huvudräkning. Att behärska positionssystemet innebär att elever måste förstå siffrornas värde i ett tal. Rockström (2002) betonar att elever måste förstå skillnaden mellan hela tal och decimaltal för att kunna behärska huvudräkning med eller utan skrivstöd. Att elever besitter goda tabellkunskaper är en förutsättning för att kunna använda sig av huvudräkning på ett effektivt sätt. Om eleven har automatiserat tabellkombinationerna inom de fyra räknesätten möjliggör det för eleven att istället lägga energi åt andra matematiska moment (Rockström, 2002).

3.4 Huvudräkningsstrategier vid addition

Det finns flera olika huvudräkningsstrategier inom addition. Löwing (2017) definierar en strategi som ett tillvägagångssätt för att lösa ett problem och att det finns olika strategier som är lämpliga till olika problem. I det här avsnittet presenteras olika strategier inom addition.

Runda tal och överslagsräkning innebär att antingen ett eller båda talen byts ut mot ett

närliggande tal som är enklare att räkna med. Det är runda tal som ersätter andra tal och kan vara till exempel talen 5, 10, 15, 20, 25, 30, 100. Vid beräkning av 15+27 är det lämpligt att byta ut talet 27 mot det runda talet 30 för att göra beräkningen enklare. Nästa steg är att ta bort 3 från svaret för att få ett korrekt svar (Löwing, 2017). Räkning från

största termen utgår från samma princip som vid överslagsräkning, att det är enklare att

addera ett mindre tal till ett större tal. Vid beräkning av 15+27 kan därför den kommutativa lagen vid addition användas vilket ger 27+15. Den associativa lagen kan tillämpas genom att dela upp talet 15 i 3+12. Det leder till additionen 27+3+12. Nästa steg är att addera 27+3, vilket resulterar i additionen 30+12=42. Talsortsräkning är en additionsstrategi som går ut på att de två talen delas in i tiotal och ental och adderas var för sig. Det resulterar i

delsummor som sedan summeras: 10+20=30, 5+2=7, 30+7=37. Tomma tallinjen är en strategi som används genom att börja med det ena talet och sedan stegvis lägga till från det andra talet med hjälp av en tallinje (Beishuizen & Anghileri, 1998).

3.5 Vetenskaplig teori

Studien inspireras av delar från den hermeneutiska forskningsansatsen. Hermeutiken kommer från grekiskan och innefattar begreppen förklara, rensa, tolka samt översätta och beskrivs som en tolkningslära (Frydrychova Klimova & Semradova, 2011). Den utgår från ytterligare en viktig kunskapskälla förutom empiri och logik, nämligen inkännandet. Denna ansats handlar om att förstå andra personer och deras handlingar. Förförståelsen, egna minnen, upplevelser och värderingar påverkar hur en person tolkar en handling och betonar vikten av att sätta in det som ska tolkas i rätt kontext (Westlund, 2015). Ansatsen bygger på en reflekterad förståelse (Frydrychova Klimova & Semradova, 2011).

Förståelse och tolkning är två grundläggande begrepp som alltid är sammankopplade med varandra och som behandlas i den hermeneutiska spiralen. Hermeneutiken handlar om att förstå människor, deras handlingar och resultatet av människors handlingar genom tolkning. Om något är oklart används tolkning för att skapa en förståelse av det oklara. Det handlar om ett pendlande mellan förförståelse och förståelse samt del och helhet. Helheten ger mening åt delarna och delarna ger förståelse av helheten. Hermeneutiken kan därför likna ett pussel. Förståelsen för helheten kan skapas genom att se delarna och vice versa. På det sättet blir tolkningen en process som leder till en ny förståelse. Den hermeneutiska spiralen är inte statisk utan människors förståelse och helhetsbild är i ständig förnyelse (Ödman, 2017).

Studien utgår från en ytlig tolkning av hermeneutiken och har vissa likheter med studier som utgår från hermeneutiken. Första likheten är att studien bygger på en kvalitativ metod i form av intervjuer (Larsson, 1986). Andra likheten är att analyseringsarbetet liknar den hermeneutiska spiralen på så sätt att analyseringsarbetet har liknat ett pussel. Elevernas beskrivningar har färgkodats och sedan har tolkning av de olika färgkodningarna börjat för att försöka finna en förståelse över helheten. I denna studie har helheten varit att försöka få en förståelse av vilka huvudräkningsstrategier elever tillämpar (Ödman, 2017). Hermeneutiken har varit passande att använda som teori då Westlund (2015) beskriver att hermeneutiken passar studier som söker efter personers utsagor av ett fenomen och det passar bra mot studiens syfte. I den här studien kommer elevernas beskrivningar och

tillvägagångsätt under intervjuerna tolkas och av dessa tolkningar sammanställs ett resultat.

4. Metod

4.1 Metodval och datainsamling

Studien baseras på en kvalitativ metod genom semistrukturerade intervjuer. En kvalitativ metod innebär en systematiserad kunskap om vilket tillvägagångsättet som ska användas vid gestaltning av något (Larsson, 2011) Semistrukturerad intervju innebär att det är respondentens tankar och uppfattningar som är i fokus. Fördelen med semistrukturerade intervjuer är att frågorna inte behöver ställas i en fastställd ordning samt att det ges utrymme till följdfrågor. Det är fördelaktigt att kunna ändra ordningen på frågeställningarna då respondenternas svar kan skiljas åt och att denna anpassning hjälper forskaren att få fram värdefull information (Bryman, 2018, kap. 9).

Varje intervju spelades in och samtliga elever blev erbjudna hjälpmedel i form av penna och papper för att tydliggöra varje steg i beräkningarna. Samtliga elever fick lösa fyra uppgifter totalt (se bilaga 1), där eleverna löste en uppgift i taget. Därefter fick samtliga respondenter beskriva hur de löste uppgiften och slutligen fick de besvara olika följdfrågor. Följdfrågorna varierade beroende på elevernas beskrivning av sina tillvägagångsätt och på hur tydligt elevens svar var. Syftet med intervjuerna var att få en mer detaljerad inblick i elevers tankesätt vid användning av olika strategier, då studien går ut på att beskriva vilka huvudräkningsstrategier elever i årskurs sex använder sig av. Första steget i studien var att kontakta en skola för att kunna utföra intervjuerna. Vid detta tillfälle delades informationsbladet (se bilaga 2) ut till båda lärarna som sedan gav det vidare till elevernas vårdnadshavare. Genom att vårdnadshavarna skrev under intyget godkände de deras barns deltagande i studien. När jag fått en lista på vilka elever som skulle delta i studien besökte jag de utvalda eleverna. Besöket innebar att tydliggöra samtliga steg för att säkerställa att eleverna gavs den informationen som de var berättigade till. Under denna träff tilldelades eleverna en samtyckesblankett (se bilaga 3) som de sedan skrev på för att säkerställa att de fortfarande ville delta i studien. Efter samtliga intervjuer analyserades och bearbetades datainsamlingsmaterialet.

Figur 2

Flödesdiagram av genomförandeprocess

4.2 Urval

Ett bekvämlighetsurval genomfördes i kombination med ett målinriktat urval. Elever från två specifika klasser på en skola valdes ur ett bekvämlighetsurval för att jag mött eleverna innan under (VFU) och att det kunde bidra till att de skulle våga beskriva sitt tillvägagångsätt ytterligare. samt att det lämpade sig geografiskt sett. Bryman (2018, kap 8) beskriver ett bekvämlighetsurval genom att elever blir valda till studien för att de är villiga att delta samt att de är tillgängliga. Ett målinriktat urval gjordes genom att personer som var relevanta till studiens frågeställningar valdes till intervjuerna (Bryman, 2018, kap. 8). I kontakt med de två klasslärarna önskades fyra elever från varje klass där kunskapsnivån hos eleverna gärna fick vara olik, dock var det inget kriterium. Lärarna tilldelades de kriterier som eleverna behövde uppfylla för att få delta i studien. Kriterierna för att eleverna skulle få delta i studien var att de skulle gå i årskurs sex samt att de skulle vara villiga att delta i studien. De elever som uppfyllde dessa kriterier valdes ut efter att lärarna hade värderat elevernas tillgänglighet. Det här resulterade i ett kombinerat bekvämlighets- samt målinriktat urval. Studiens urval består av åtta elever, varav fyra flickor och fyra pojkar i årskurs sex på en skola i Sverige.

1. Konstruktion av samtyckesblanketter, intervjuguide och utskick av samtyckesblanketter till vald skola. 2. Besök av vald skola

för att samla in elevunderskrifter och vårdnadshavares underskrifter av samtyckesblanketter. 3. Genomförande av åtta elevintervjuer. 4. Transkribering av all data. 5. Djupläsning av data och kodning av material

utifrån fem kategorier. 6. Tolka och granska

samtliga transkriberingar. 7. Konstruktion av tabell för att sammanställa elevernas olika strategier. 8. Granskning av data. 9. Konstruktion av resultat utifrån frågeställningarna.

4.3 Etiska överväganden

Innan datainsamlingen i form av intervjuer kunde genomföras behövdes vissa etiska principer beaktas. Vetenskapsrådet (2017) beskriver olika forskningsetiska överväganden för att säkerställa att samhällets krav på hur forskning ska bedrivas och dessa överväganden har genomsyrat studien. De fyra forskningsetiska övervägandena är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Informationskravet innebär att skribenten till studien är skyldig att informera eleverna om studien och vad syftet med studien är. Anledningen är att eleverna ska få insyn i vilken sorts studie de ska medverka i. Sedan är det viktigt att upprätta samtyckeskravet, vilket innebär att skribenten måste informera eleverna om att deras deltagande är frivilligt och att de när som helst kan välja att vägra medverka i studien och det behöver inte finnas något skäl (Bryman, 2018, kap. 6). I den här studien tilldelades vårdnadshavarna ett informationsblad där den här informationen fanns och eleverna fick skriva under en samtyckesblankett och därigenom tilldelats den informationen både skriftligt och muntligt. Konfidentialitetskravet uppfylldes genom att samtliga personer i studien inte går att identifiera då alla elever har fått ett kodnamn, exempelvis A1. Då inspelat ljud också utgör en del av personuppgifter var det viktigt att det skulle behandlas på liknande sätt (Vetenskapsrådet, 2017). Genom slumpmässig namnkodning kunde det säkerställas att deltagarnas uppgifter behölls konfidentiella då det inte går att koppla någon elev till information som har framkommit under intervjuerna. Nyttjandekravet uppfylldes då samtliga uppgifter och forskningsdata som samlades in i studien användes endast till den här studien (Bryman, 2018, kap. 6). Den här informationen fanns i informationsbladet som samtliga vårdnadshavare tilldelades och undertecknade.

4.4 Intervju

En intervjuguide (se bilaga 4) skapades och innehöll en huvudfråga som följdes upp av kompletterande frågor som kunde variera beroende på elevers svar. Eftersom hermeneutikens fokus är att få tillgång till individers egna utsagor av ett fenomen, har enskilda intervjuer genomförts för att synliggöra elevers beskrivningar av vilka huvudräkningsstrategier som elever i årskurs sex tillämpar och föredrar inom addition. Under samtliga intervjuer försökte jag att vara objektiv och undvika att påverka eleverna men det går inte att utesluta att jag påverkat resultatet då jag är inte har några tidigare erfarenheter av att genomföra kvalitativa intervjuer. Under intervjuerna ställdes

följdfrågor, det kan nämligen vara så att eleverna ger otillräckliga svar. Följdfrågor höjer validiteten i studien på så sätt att risken för missförstånd minskar (Depoy och Gitlin, 1999). Intervjuaren hade tillgång till papper och penna för att möjliggöra dokumentation av viktiga företeelser.

Miljön där intervjuerna skulle genomföras valdes i samråd med de berörda lärarna och resulterade i att de genomfördes i ett grupprum. Intervjuerna ägde rum på skolan för att dels skapa en trygghet för eleverna, dels att det underlättade för elevernas skoldag och var ett tidseffektivt val då jag enkelt kunde starta upp nästa intervju. Varje elev intervjuades enskilt och efter att eleverna beräknat en uppgift fick de besvara olika följdfrågor (se bilaga 3). Anledningen till det här tillvägagångsättet var för att kunna ställa frågor till eleverna medan de fortfarande kom ihåg hur de löste uppgiften. Varje intervju tog mellan 10–20 minuter att genomföra. Med inspiration från delar av hermeneutiken kunde jag använda teorin när jag tolkade elevernas svar som sedan ledde till att vissa följdfrågor ställdes beroende på mina tolkningar av elevernas beskrivningar. Mina förkunskaper och tolkningar speglade vilka följdfrågor som ställdes. Eleverna har fått fylla i en samtyckesblankett (se bilaga 2) för att godkänna sitt deltagande i studien. Med elevernas samtycke spelades intervjuerna in med hjälp av min mobiltelefon, för att kunna lyssna på intervjuerna och bearbeta dem flera gånger. Samtliga intervjuinspelningar sparades sedan ner på min dator för att samla alla intervjuer på samma ställe och en transkribering av varje samtal påbörjades. Alla deltagares namn byttes slumpmässigt ut till andra namn utan inbördes ordning mot A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 och A8. Uttryck som exempelvis “ehh”, “mm”, “asså” och upprepningar uteslöts då de inte har någon betydelse för studiens utfall och för att det förenklar och tydliggör de svar eleverna lämnat.

4.5 Analysering av datainsamling

Det material som samlades in vid transkriberingen låg till grund för den materialanalys som inleddes. Först lästes alla transskript en gång för att få en överblick över dess innehåll för att sedan bearbetas mer detaljerat genom att varje intervju lästes ingående och analyserades ett flertal gånger. I analyseringsarbetet har elevernas beskrivningar eftersökts för att få en förståelse av elevernas tillvägagångsätt. Mitt sätt att intervjua och analysera materialet liknar den hermeneutiska spiralen på så vis att förståelsen har varit en central del i arbetet och att det har skett en pendling mellan analysen av det inspelade materialet och det transkriberade materialet för att försöka hålla tolkningen så objektiv som möjligt.

Det har också inneburit att det transkriberade materialet lästs med utgångspunkt i min förförståelse och mina erfarenheter. Under intervjuerna och analyseringsarbetet har frågan “hur” varit central. Syftet med analyseringsarbetet är att förstå hur eleverna tänker när de löser de olika uppgifterna. Genom att ha ställt frågan varför de byter strategi eller varför de använder samma strategi tydliggörs förståelsen för elevernas tankar. Då eleverna tillfrågades hur de har gjort synliggörs elevernas beskrivningar och de är en viktig del i studien. Genom det här tillvägagångsättet möjliggjordes att varje del kunde analyseras ifall innehållet hade relevans med studien och på vilket sätt materialet besvarade någon av forskningsfrågorna.

Denscombe (2009) beskriver att granskning av materialet leder till att skribenten kan identifiera de koder som är lämpliga att använda. I samband med analys av data användes färgkodning för att kunna tolka och sortera in relevant information i olika koder. Eftersom varje del i materialet färgkodades förenklade det möjligheten att se likheter och skillnader. Färgkodningen resulterade i fem olika koder och representerar de fem strategierna som uppmärksammades och användes under intervjuerna. Bryman (2011) beskriver att materialet som har kodats tolkas för att binda ihop det material som framkommer ur studien med studiens syfte och frågeställningar. Det tillvägagångsättet har använts i denna studie och syftet med dataanalysen var att reducera materialet för att synliggöra det väsentliga och meningsfulla. Därefter började arbetet med att samla in allt material från eleverna som berörde studiens syfte och frågeställningar.

Analysarbetet har inspirerats av den hermeneutiska spiralen, vilket innebär att tolkningen växer fram i en cirkulär rörelse mellan skribentens förförståelse och möten med nya erfarenheter och idéer. Det leder i sin tur till en ny förståelse som bildar en förförståelse i kommande tolkningsansatser. Förståelsen som skapades från det transkriberade materialet i början finns med under hela tolknings- och förståelseprocessen. Det är mina förkunskaper om huvudräkning som har format mina intervjufrågor. Intervjufrågorna bygger på att synliggöra elevernas olika förkunskaper, argument och resonemang till deras val av huvudräkningsstrategier. För att kunna tolka elevernas beskrivningar av olika strategier krävs det förkunskaper om de olika strategierna. Genom intervjuerna skapades en förståelse av att några elever använder strategin talsorter var för sig på ett annat sätt genom att endast dela upp ett av talen i olika talsorter. Den här kunskapen formades om och blev min förförståelse sedan vid analyseringsarbetet. Sedan har mina tolkningar av elevernas beskrivningar implementerats i analyseringen av materialet.

4.6 Tillförlitlighet och relevans

Under studiens gång har två kvalitetskriterier, tillförlitlighet och relevans, värderats. Genom att ha skapat en intervjuguide med färdiga frågor som användes under samtliga intervjuer ökas möjligheten till ett så tillförlitligt resultat som möjligt. Genom att de berörda lärarna fick direktiv att välja ut elever med olika kunskapsnivåer leder det till en ökad tillförlitlighet då det visar den variation på kunskapsnivå som finns i svenska skolan. Ytterligare en del som höjde tillförlitligheten var att samtliga intervjuer spelades in och transkriberades på samma sätt, vilket resulterade i att ingen information försvann. Enligt Bryman (2011) är det viktigt att tillvägagångsättet vid insamling av data beskrivs detaljerat för att samma resultat ska ges om någon annan använder sig av samma tillvägagångsätt då det ökar studiens tillförlitlighet. Olsson och Sörensen (2011) beskriver validitet som ett mått på i vilken utsträckning studien har lyckats mäta det som var avsatt från början. Ordet validitet brukar vanligtvis förekomma i kvantitativa studier och i kvalitativa studier ersätts validitet oftast med ordet relevans. Genom att studien endast mätt det innehåll som var avsett att mäta har det ökat studiens relevans och att studiens syfte och frågeställningar hade en central roll genom hela studien, vilket också medför en högre relevans. Samtliga processer inom studien, såsom insamling av data, analys av data, formulering av frågeställningarna och syfte inspirerades av delar av hermeneutiken då studien ska skapa en djupare förståelse av hur elever använder sig av huvudräkningsstrategier vid addition genom tolkningar av elevernas beskrivningar. Det medför att studiens relevans höjs.

4.7 Val av huvudräkningsuppgifter inom addition

Uppgift 1: 198+ 74 Den här uppgiften är vald för att se ifall eleverna tillämpar

strategierna talsorter var för sig, runda tal och överslagsräkning, associativa lagen eller någon annan strategi när de löser uppgiften.

Uppgift 2: 19+58 Den här uppgiften är vald för att se om eleverna tillämpar strategierna

talsorter var för sig, kommutativa lagen, associativa lagen, runda tal och överslagsräkning eller någon annan lämplig strategi när de löser uppgiften.

Uppgift 3: 47+396 Den här uppgiften är vald för att se om eleverna använder sig av

strategierna talsorter var för sig, associativa lagen, kommutativa lagen, runda tal eller överslagsräkning eller någon annan strategi när de löser uppgiften.

Uppgift 4: 9+76 Den här uppgiften är vald för att se om eleverna tillämpar strategierna

tomma tallinjen, kommutativa lagen, talsorter var för sig eller annan lämplig strategi när de löser uppgiften.

5. Resultat

5.1 Vilka skilda strategier eleverna använder

De elever som medverkade i studien valde i första hand att applicera strategierna talsorter var för sig och den associativa lagen på första uppgiften (se tabell 1). De elever som kunde tillämpa en annan strategi varierade mellan att använda sig av den associativa lagen, talsorter var för sig och algoritmräkning fast i huvudet. På andra uppgiften använde majoriteten av eleverna sig i första hand av talsorter var för sig och några elever tillämpade den kommutativa lagen vid tillämpning av fler strategier. Tre elever använde sig av strategin runda tal och överslagsräkning när de skulle tillämpa fler strategier. Den associativa lagen och talsorter var för sig var de strategier som majoriteten av eleverna föredrog som första strategi på tredje uppgiften och ytterligare strategier som eleverna tillämpade var algoritmräkning fast i huvudet, kommutativa lagen och runda tal och överslagsräkning. På fjärde uppgiften tillämpade hälften av eleverna talsorter var för sig som första strategi, medan de andra eleverna använde sig av den associativa lagen samt runda tal och överslagsräkning. Nedan visas en tabell (tabell 1) som beskriver vilka strategier som eleverna tillämpade på samtliga uppgifter.

Tabell 1

Visar vilka strategier eleverna använde när de skulle försöka finna fler strategier som går att tillämpa på varje uppgift. Strategin som är i fetstil är den strategin som eleven tillämpade först

Uppgift 1 Uppgift 2 Uppgift 3 Uppgift 4

A1 Associativa Algoritmer i huvudet Associativa Kommutativa Runda tal Associativa Kommutativa Runda tal Algoritmer i huvudet Runda tal Associativa A2 Algoritmer i huvudetAssociativa Runda tal Algoritmer i huvudet Associativa Algoritmer i huvudet Associativa kommutativa A3 “Talsorter” “Talsorter” Algoritmer i

huvudet “Talsorter” A4 Associativa “Talsorter” Algoritmer i huvudet Associativa Associativa “Talsorter” “Talsorter” Associativa

A5 “Talsorter” “Talsorter” “Talsorter” Runda tal

“Talsorter”

KommutativaRunda tal

A6 Associativa “Talsorter” “Talsorter” Kommutativa Runda tal “Talsorter” Runda tal Runda tal Associativa “Talsorter" A7 “Talsorter” “Talsorter” Kommutativa “Talsorter” Kommutativa Associativa “talsorter” A8 Associativa “Talsorter” Associativa Associativa “Talsorter” Kommutativa “Talsorter” Associativa Kommutativa

Beskrivning av strategival vid beräkning av 198+74

Vid första uppgiften använde majoriteten av eleverna antingen den associativa lagen eller talsorter var för sig. Fyra elever tillämpade den associativa lagen när de skulle räkna ut 198+74 med hjälp av huvudräkningsstrategier. Det var en elev som löste uppgiften genom att räkna 198+2=200 och sedan beräkna 200+72=272. De andra tre eleverna valde att istället tänka 198+4=202 för att sedan ta 202+70=272. Två av eleverna som tillämpade strategin talsorter var för sig för att lösa uppgiften valde att beräkna hundratalen först (100+0) sedan tiotalen (90+70) och slutligen entalen (8+4). En av eleverna som använde sig av talsorter var för sig valde att först ta 190+70=260 och sedan addera 8 med 4 som blir 12 och slutligen beräkna 260+12=272. En elev valde att lösa uppgiften genom att tänka som en algoritm fast i huvudet.

Beskrivning av strategival vid beräkning av 19+58

Vid denna beräkning föredrog eleverna att tillämpa strategin talsorter var för sig. Majoriteten av de elever som använde sig av den strategin beräknade först tiotal och sedan ental. Det var endast en elev som beräknade entalen först. En elev använde sig av den associativa lagen genom att låna 2 från talet 19 till talet 58 för att kunna beräkna 60+17=77. Eleven tillämpade också den kommutativa lagen genom att beräkna det största talet först. En annan elev tillämpade också den associativa lagen men tänkte istället att hen skulle låna 1 från åttan i 58 för att beräkna 20+57=77. En elev ställde upp det som en algoritm fast i huvudet utan papper och penna.

Beskrivning av strategival vid beräkning av 47+396

På den här uppgiften föredrog eleverna strategierna den associativa lagen och talsorter var för sig. Här valde också en elev som tillämpade talsorter var för sig att endast dela upp ett tal i olika talsorter och då beräkna 390+40+6+7. Det var fyra elever som använde sig av den associativa lagen och två av de här eleverna tillämpade också den kommutativa lagen

genom att först byta plats på talen så att det största talet beräknas först och sedan låna 4 av 47 för att beräkna 400+43.

Beskrivning av strategival vid beräkning av 9+76

När eleverna skulle lösa uppgiften tillämpade fyra elever strategin talsorter var för sig genom att först addera entalen (9+6) för att sedan addera summan av entalen med tiotalen (15+70). Två elever tillämpade runda tal och överslagsräkning genom att byta ut talet 9 mot det runda talet 10 för att beräkna 10+76–1. Två elever tillämpade den associativa lagen där en elev också använde sig av den kommutativa lagen genom att beräkna det störta talet först (75+10=85). Under samtliga uppgifter uppmärksammades att de elever som valde runda tal och överslagsräkning eller den associativa lagen beräknade snabbare än de som tillämpade talsorter var för sig eller algoritm i huvudet. Här nedan presenteras resultatet av elevernas val av strategier i form av en tabell (tabell 1).

5.2 Hur eleverna beskriver att de använder sina strategier

Elevernas beskrivningar av deras strategier på beräkningen 198+74

Första uppgiften innebar att eleverna skulle beräkna 198+74. Nedan visar figur 3 hur A2 löste uppgiften:

Figur 3

Visar hur elev A2 löste beräkningen 198+74

A2 beskriver sin lösning som vanligt förekommande vid den här typen av uppgift. Så här förklarar A2 sitt tillvägagångssätt: “Jag börjar med 8+4=12 och då vet jag att det ska vara

en tvåa på entalets plats. Sen tar jag 9+7 +1=17 och sen ettan i 17 plus ett från 100 som blir två, vilket blir 272”. Här har eleven använt sig av algoritmräkning fast i huvudet. Eleven beskriver tiotalen som ental och sedan beräknar det som en algoritm”. A2 beskriver att vid användning av algoritmräkning går det per automatik och att hen inte funderar på hur uppgiften beräknas. Eleven visar att hen kan tillämpa en annan strategi genom att förenkla talen för att få ett tal som slutar med en nolla. “198 är närma 200 så då hade man kunnat ta två från 74 till 198 så det blir 200+72 och det är ju jätteenkelt”. Lösningen visar att eleven använde sig av den associativa lagen genom att ta två från talet 74 till 198 för att istället få beräkna 200+72. A2 beskriver att den här strategin är jätteenkel, däremot tillämpar eleven ändå algoritmräkning i huvudet som första metod. Eleven visade en svårighet i att på ett tydligt sätt förklara metodens olika steg samt att finna en annan lämplig strategi att tillämpa. Däremot visade A2 på de andra uppgifterna att eleven kunde finna och använda andra strategier.

A8 beskrev sitt tillvägagångsätt på följande vis: ” Jag tänkte 4 +198, det blir ju 202 sen tog jag bara 70+202 så blir det 272”. Dock beskriver A8 att hen istället hade tänkt 198+2+72 om hen skulle beskriva sitt tillvägagångsätt för en kamrat, med motiveringen att det skulle vara enklare att räkna från talet 200. Eleven beskriver att algoritmräkning i huvudet hade kunnat tillämpas på denna uppgift men poängterar att det inte är det enklaste tillvägagångsättet. Eleven synliggör också att talsorter var för sig är en strategi som kan användas på den här uppgiften men beskriver att den strategin hade innehållit fler beräkningssteg än den associativa lagen. A8 visar att hen kan tillämpa både den associativa lagen, algoritmräkning i huvudet och talsorter var för sig men att eleven poängterar att den associativa lagen är det lämpligaste tillvägagångsättet på den här uppgiften. Elev A5 valde att använda ett annat tillvägagångsätt som visas nedan (figur 4):

Figur 4

Lösningen visar att A5 använde strategin talsorter var för sig och beräknar först hundratalen för att sedan beräkna tiotalen och slutligen adderar entalen. A3 löste uppgiften på ett liknande sätt genom att beskriva: ”först tar jag 190+70 =260 och sedan tog jag 8+4=12 och då blir det 172”. A3 använder sig också av talsorter var för sig men väljer att direkt tänka 190+70 istället för att tänka 100+90+70. A3 var en av de elever som valde att ändra strategi när eleverna skulle förklara för en kamrat som inte förstår och tillämpade istället den associativa lagen genom att tänka 198+2+72.

Elevernas beskrivningar av deras strategier på uppgift 19+58

A5, A6, A7 och A8 beskriver att de först tar 10+50=60 och sen 8+9=17 och sedan lägger de ihop 60+17=77. Här använder eleverna sig av strategin talsorter var för sig. A6 beskriver att” jag använde talsorter var för sig om jag ska visa för att innan räknade jag mest i huvudet men den här gör att jag är säker på att jag har räknat rätt”. A6 poängterar att talsorter var för sig tillämpas när eleven inte har tillgång till hjälpmedel för att den är lättförstådd och enkel att kontrollräkna. A7 beskriver att hen hade vänt på talen och beräknat det största talet först om hen skulle beskrivit sitt tillvägagångsätt för en kamrat, vilket visar kunskap om den kommutativa lagen.

Här nedan visas en dialog mellan intervjuaren och A4 för att synliggöra elevens olika tillvägagångsätt för att beräkna andra uppgiften (19+58).

Intervjuare: Berätta för mig hur du har löst uppgiften.

Elev A4: Jag tog 9+8 och så ser jag att det blir 17 och sen tar jag 1+5 som blir 6 och bara för att det är mer än 10 på 27 så tar jag den tian och räknar

1+6 sen adderar jag 7+70=77.

I: Hade du kunnat lösa den här uppgiften på ett annat sätt? A4: 19+8 och sen det +50.

I: Om du skulle förklara hur du hade gjort för din kamrat som inte alls förstår, hur hade du förklarat då?

A4: Att man tar en från åttan så att man istället har 20+ 57=77.

I: Du använder dig av associativa lagen när du ska förklara för en kamrat men du tänker om en algoritm i huvudet när du räknar själv. Varför ändrar du sätt

A4 Jag vet inte men jag tycker att det här sättet är enklare att förklara för en som inte förstår.

I: Tänker du att associativa lagen är enklare att förstå? A4: Det var så jag lärde mig det tror jag.

I: Men varför använde du inte den strategin (den associativa lagen) först? A4: Jag vet inte.

I: Det bara...

A4: Det bara ploppade upp i huvudet att jag skulle göra så. I: Att du skulle göra som en algoritm fast i huvudet? A4: Ja.

I: Men sen tycker du att om du ska förklara så är associativa lagen bättre? A4: Ja.

I: Hur har du lärt dig att använda dig av den strategin? A4: Jag tror det var genom skolan, jag vet inte.

I: Tycker du den associativa lagen är lättare att förstå än en algoritm? A4: Ja ibland är det lättare med den ena än den andra.

I: Om du hade varit i affären och behövt räkna ut den här uppgiften utan miniräknare, vilken strategi hade du tyckt varit enklast att använda?

A4: Jag vet inte.

I: Vilken metod tror du hade varit snabbaste sättet? A4: Den metoden som jag visade kamraten.

Dialogen visar att A4 först använder algoritmräkning i huvudet. A4 beskriver att hen hade valt att använda sig av den associativa lagen när hen ska beskriva sitt tillvägagångsätt för en kamrat. Eleven beskriver att hen inte vet varför hen tillämpade algoritmräkning i huvudet först utan att det var den första metoden som hen kom att tänka på. Eleven förklarar att hen anser att den associativa lagen är enklare att förstå än algoritmräkning i huvudet och att hen tror att den associativa lagen är ett snabbare sätt. A4 visar en osäkerhet kring vilken strategi hen hade applicerat i mataffären och när eleven inte haft tillgång till miniräknare.

Elevernas beskrivningar av deras strategier på beräkningen 47+396

A7 applicerar först den kommutativa lagen genom att beräkna det största talet först. Sedan beräknade A7 390+40=430. A7 beräknade sedan entalen för att sedan addera 430 med entalen. Eleven beskriver att uppgiften kan beräknas utan att använda den kommutativa lagen men att eleven inte vet hur en sådan beräkning skulle genomföras då eleven alltid lärt sig att beräkna det största talet först. A1 visar att hen har lärt sig att börja med det största talet först men visar inte någon insikt i varför. A3 visar att eleven också kan lösa uppgiften genom att tänka 400+47=447. Elevens nästa steg var att ta bort 4 från 47 för att eleven rundat upp första talet med 4. A3 tillämpar runda tal och överslagsräkning som en ytterligare strategi på den tredje uppgiften. A2 använder sig av den kommutativa och den associativa lagen när hen skulle förklara för en kamrat som inte förstod uppgiften med motiveringen att det inte behövs någon tankeprocess när ett tresiffrigt tal slutar på två nollor. Eleven beskrev att det är lättare att beräkna ett två- och tresiffrigt tal om det tresiffriga talet slutar på två nollor med motiveringen att talen sätts ihop och beräkningen istället är 400+43.

På sista uppgiften skulle eleverna beräkna 9+76. A3 löste uppgiften genom att först beräkna 9+6=15 för att sedan beräkna 15+70=85. Lösningen visar att A3 tillämpade strategin talsorter var för sig. A3 hade svårt att finna något annat tillvägagångsätt då eleven beskriver att hen inte är van att behöva variera sitt tillvägagångsätt, men genom att eleven fick ledtråden att räkna nian som en tia kunde eleven se att nästa steg var att ta bort ett från det andra talet. Med viss hjälp använde A3 sig av runda tal och överslagsräkning. Eleven beskriver att strategin talsorter var för sig är den strategin eleven tillämpar vid olika uppgifter.

Elevernas beskrivningar av deras strategier på beräkningen 9+76

A4 valde att byta sitt strategival på den här uppgiften genom att använda sig av talsorter var för sig med motiveringen att den strategin lämpar sig bättre på lägre tal. Eleven valde att istället tillämpa den associativa lagen när hen skulle beskriva sitt tillvägagångsätt för en kompis. Runda tal tillämpades endast på den här uppgiften av eleverna A1 och A6.

Visar elevernas olika beskrivningar och motiveringar av deras strategival

Flera av eleverna beskrev att de vanligtvis ställer upp som en algoritm i huvudet men att de anser att det blir knepigare när de inte finns tillgång till papper och penna eller om tillvägagångsättet ska beskrivas. Resultatet visar att tre elever mestadels använde sig av en och samma strategi. En elev använde sig av strategin talsorter var för sig på samtliga uppgifter, en elev använde den strategin alla gånger förutom en gång då eleven använde sig av algoritmräkning i huvudet och den tredje eleven använde sig av talsorter var för sig på alla uppgifter förutom på sista uppgiften (9+76). Där tillämpade eleven den associativa lagen genom att ta fyra från talet nio och lägga till på talet 76. Då beräknar eleven istället 80+5=85 där eleven också tillämpade den kommutativa lagen.

Under samtliga intervjuer och under varje uppgift fick eleverna frågan om de kunde tillämpa fler strategier än den de har använt sig av. De tre elever (A3, A5 och A7) som mestadels alltid tillämpade samma strategi på samtliga uppgifter var de elever som inte kunde ge fler exempel på lösningar med undantag att A5 och A7 behärskade den kommutativa lagen och att A5 kunde lösa uppgift 3 och 4 genom att använda sig av runda tal och överslagsräkning. Flera elever hävdar att strategin talsorter var för sig är den första strategin de fick lära sig i skolan och enligt dem den enklaste strategin som är lätt att kontrollräkna. Samtliga elever i studien säger att deras lärare har undervisat dem i olika strategier men att det var ett tag sedan och att A3, A5, och A7 beskriver att de alltid har använt sig av talsorter var för sig och att de inte är vana vid att behöva tänka ut ett annat sätt. Efter flera följdfrågor visade A4 också att hen kunde förklara strategin talsorter var för sig på ett tydligt sätt. Flera av eleverna visade förmågan att kunna tillämpa flera olika strategier och några av de här eleverna uttryckte att de valde strategi beroende på uppgiftens utformning.

Sammanfattning av resultatet

Sammanfattningsvis visar resultatet att eleverna som deltog i studien valde att använda sig av strategierna den associativa lagen och talsorter var för sig mest. De elever som använde sig av den associativa lagen hävdade att det var det enklaste sättet att tillämpa om de inte hade några hjälpmedel och att det var lätt att följa beräkningens alla steg då de ansåg att denna strategi förenklade beräkningen. Det framkom att hälften av eleverna tillämpade den kommutativa lagen med motiveringen att deras lärare har lärt dem det. Resultatet visar att eleverna besitter flera olika huvudräkningsstrategier och att några elever också behärskar

att välja strategi beroende på uppgifternas utformning. Studien visar också att eleverna har en god förmåga att beskriva sitt tillvägagångsätt och att de är väldigt måna om att välja den strategi som är enklast att förstå om de ska beskriva sitt tillvägagångsätt för en kamrat. Det framkom också i resultatet att de elever som mestadels behärskar en strategi använder sig av talsorter var för sig och beskriver det som ett enkelt sätt för att vara säker på att uträkningen blir korrekt. Resultatet visar att samtliga elever har undervisats i olika huvudräkningsstrategier, däremot har det inte skett kontinuerligt, vilket eleverna beskriver leder till att de använder sig av de strategier de behärskar.

6. Diskussion

6.1 Metoddiskussion

Studien har inspirerats från delar av hermeneutiken, vilket innebär att analyseringsarbetet har inneburit en pendling mellan mina tolkningar av inspelningsmaterialet och transkriberingarna för att få fram ett objektivt resultat. Då hermeneutiken handlar om mina tolkningar av materialet går det därför inte att påstå att resultatet visar på en absolut sanning utan resultatet utgår från min förståelse och tolkning.

Genom att välja deltagare som jag har en relation till var ett medvetet val för att möjliggöra att få syn på elevernas tankar och tillvägagångsätt. Valet av semistrukturerade studier bidrog till att synliggöra elevernas djupa och utförliga svar vilket var en hjälp i mitt analyseringsarbete för att skapa en förståelse av elevernas val av huvudräkningsstrategier. Då intervjuerna genomfördes på plats kan det ökat chansen till detaljerade beskrivningar då jag på ett enkelt sätt kunde läsa av elevernas kroppsspråk och ställa följdfrågor om jag ansåg att kroppsspråket signalerade en osäkerhet som behövdes förtydligas eller klargöras.

Önskan om att elevernas kunskapsnivå skulle variera baserades på att jag försökte återspegla verkligheten då alla klasser har elever i olika kunskapsnivåer och att det kunde öka tillförlitligheten i studien. På grund av tidsbrist valdes deltagare endast från en skola vilket inte visar på geografisk spridning. Om studiens deltagare kommit från fler skolor kunde det ha bidragit till att höja reliabiliteten på studien och bidragit till att resultatet hade kunnat mätas ytterligare vilket kunde skapat ett bredare utfall. Om mer tid fanns tillgänglig hade ett annat alternativ varit att kombinera enkäter och slumpmässiga intervjuer för att öka tillförlitligheten i studien. Mina förkunskaper om huvudräkning kan ha påverkat studien positivt, då det kan ha lett till att passande följdfrågor ställs. Förkunskaperna kan ha möjliggjort att elevernas uppfattningar kan ha tolkats på ett bättre sätt.

Under samtliga intervjuer fick eleverna försöka beskriva den strategi de valt och sedan försöka finna fler lämpliga strategier. Eleverna fick dock inte besvara varför de använde sig av en specifik strategi efter varje uppgift. De fick besvara varför de använde en annan strategi på liknande uppgifter eller de elever som endast använde en strategi fick också frågan varför de endast använde en strategi. I efterhand anser jag att det hade kunnat bidra till att elevernas tankar kring varför de tillämpar en viss metod hade tydliggjorts och synliggjorts om det är några didaktiska val hos deras matematiklärare som speglar

elevernas argument och val av strategi. Frågan om varför eleverna väljer en viss strategi anser jag är användbar vid vidare forskning om elevers huvudräkningsstrategier. Jag kan dock under ett fåtal tillfällen ha påverkat eleverna genom att ha besvarat deras beskrivningar av strategier genom att ha benämnt strategiernas korrekta beskrivning. Eleverna visade dock inte på att de påverkats av mina beskrivningar på så sätt att de under intervjuerna inte valde att använda sig av strategiernas korrekta benämningar även fast jag under fåtal tillfällen uppmärksammade den korrekta benämningen. Detta kan bero på att jag är oerfaren kring att genomföra kvalitativa intervjuer.

Beräkningsuppgifterna till intervjuerna skapades med syftet att vara relativt enkla för att samtliga elever skulle känna att uppgifterna var hanterbara. Uppgifternas utformning valdes för att synliggöra om eleverna hade förmågan att tillämpa de strategier som är lämpligast för en viss uppgift. Följden av att inte ha kompletterat med en uppgift som adderar hundratal med hundratal kan vara att det inte blir lika tydligt om eleverna anpassar strategi efter uppgiftens utformning och om eleverna hade kunnat tillämpa en strategi som resulterar i ett korrekt svar. Det går inte att utesluta att de uppgifter som valts kan ha styrt vilka strategier som varit möjliga att se i studien.

6.2 Resultatdiskussion.

Vilka skilda strategier eleverna använder

Jag anser att studiens syfte “att beskriva hur elever i årskurs sex använder sig av huvudräkningsstrategier vid addition” har uppnåtts och att samtliga frågeställningar har besvarats. Eleverna i studien tillämpade den associativa lagen, talsorter var för sig, kommutativa lagen, runda tal och överslagsräkning och algoritmräkning i huvudet när de löste de olika matematikuppgifterna. Vilken strategi som valdes berodde på de ingående talens storlek. När det var 2-siffriga tal löste majoriteten av eleverna det genom att tillämpa talsorter var för sig medan 3-siffriga tal löstes enklare med den associativa lagen. Överslagsräkning förekom när ett tal var nära ett helt tiotal såsom i uppgift fyra. Enligt Carpenter et al. (1997) skulle elever föredra att tillämpa talsorter var för sig. I den här studien visar det i stället att elever tillämpar främst den associativa lagen. Det kan bero på att vid den tiden som Carpenter et al. (1997) gjorde sin studie kanske inte lärare undervisade om den associativa lagen lika frekvent som det görs idag. Läroplanen var dessutom en annan än den som används av dagens lärare samt att studierna är gjorda i olika sammanhang då en studie är genomförd i USA medan denna studie är genomförd i Sverige

I Carpenter et al, (1997) framgick den kommutativa lagen inte som en strategi som eleverna främst använder medan hälften av eleverna som deltog i den här studien tillämpade strategin. I en studie utförd av Benedotti et al. (2010) visar resultatet att elever föredrog att använda strategier som att räkna på fingrarna och att räkna vidare. Ingen av de här strategierna tillämpades i den här studien. Möjligtvis kan det bero på att eleverna i den här studien går i årskurs sex och att eleverna i studien av Bendotti et al. (2010) gick i årskurs 3–5. En annan möjlig anledning kan vara att Bendotti et al. (2010) studie är utförd för 21 år sedan vilket kan innebära att undervisningen av huvudräkningsstrategier inte hade lika stor plats i matematikundervisningen som nu. Studien är utförd i Italien vilket innebär att elevernas matematikundervisning inte baseras på samma läroplan och det kan vara en anledning till att eleverna från de olika studierna inte använde samma strategier.

Algoritmräkning är en strategi som eleverna i den här studien använder sig av som en huvudräkningsstrategi. Andra studier som har uppmärksammat elevers användning av algoritmräkning är Carpenter et al. (1997) och Csíkos (2015). I studien av Carpenter et al., (1997) uppmärksammas det att de elever som använde sig av huvudräkningsstrategier som inte innefattade algoritmräkning visade kunskap om tiotalsbegreppet före de elever som använde sig av algoritmräkning. Tyder det på att algoritmräkning är en automatisk kunskap som gör att eleverna inte funderar över svarets relevans? I den här studien var det en elev (A2) som beskrev att hen inte kontrollräknade vid användning av algoritmräkning samt att eleven beskrev strategin som automatisk. Studien Carpenter et al. (1997) visar också att de elever som tillämpar andra strategier som inte inkluderar algoritmräkning visar en större förståelse i att beräkna tal i uppgifter än de elever som endast tillämpar algoritmräkning. Mycket av matematikundervisningen utgår från läroböcker. Kan det möjligtvis vara så att läroböcker prioriterar algoritmräkning och att det då leder till att algoritmräkning är en stor del av elevers matematikundervisning? Det finns forskning som lyfter fram att läromedel har en styrande roll över elevers matematikundervisning och att läromedlet i stor utsträckning styr vilka uppgifter elever möter samt vilka exempel som tas upp i undervisningen (Johansson, 2006). Under (VFU) uppmärksammade jag att elevernas undervisning till stor del innefattade algoritmräkning då det var det som läroböckerna prioriterade. Det var endast under en VFU där matematikläraren valde att tillägna en lektion i veckan till att arbeta med huvudräkningsstrategier.

Csíkos (2015) uppmärksammade att elever i sin studie tillämpade en strategi som liknade talsorter var för sig men att eleverna endast delade upp ett tal i olika talsorter. Samma

strategi använde elever sig av i den här studien och det kanske kan vara så att eleverna känner att de kan hantera en beräkning där bara ett tal delas upp i talsorter och att eleverna känner att de sparar tid och energi på att endast dela upp ett av talen i talsorter.

Genom att välja relativt enkla uppgifter möjliggjordes det att samtliga elever skulle känna att uppgifterna var hanterbara. Det synliggör dock inte om eleverna byter strategi vid beräkning av större tal eller om elevernas svårigheter ökar genom att talen ökar. En studie där resultatet pekar på att elevernas resultat försämrades vid beräkning av högre tal är Erdem (2017).

Elevers beskrivningar av hur de använder sina strategier

Under studien har det framkommit att eleverna använde sig främst av den associativa lagen och strategin talsorter var för sig. Flera av eleverna beskriver att talsorter var för sig var den strategin de lärde sig först och de tre elever som tillämpade den strategin på samtliga uppgifter beskriver att de alltid har använt sig av den och att det är den strategin de behärskar bäst.

Det som tidigare forskning (Carpenter et al., 1997 och Csíkos , 2015) uppmärksammat som också synliggjorts i den här studien är att elever gärna vill tillämpa algoritmräkning och under intervjuerna frågade flera elever om de inte fick lösa uppgiften med en algoritm och några visade en frustration med att inte bara få ställa upp det då eleverna beskrev algoritmräkning som en strategi som innebär att det inte behövs någon tankeverksamhet utan att det sker per automatik. Skillnaden med den här studien är att elevernas beskrivningar av deras strategier har varit i fokus, vilket inte har framkommit i resterande studier. De elever som föredrog talsorter var för sig argumenterade för att den strategin är enklast att kontrollräkna. Skillnaden i den här studien jämfört med (Carpenter et al., 2010; Csíkos, 2015) är att eleverna inte tilläts att skriva ner en algoritm. Resultatet av det var att någon enstaka löste uppgiften genom att beräkna en algoritm fast i huvudet, medan majoriteten tillämpade en huvudräkningsstrategi i huvudet. Det var en svårighet att förstå elevernas beskrivningar när de hade tillämpat algoritmräkning jämfört med andra huvudräkningsstrategier. Någon elev blev förvirrad själv och var tvungen att pausa och göra om algoritmen i huvudet. Några av eleverna anpassade och ändrade sin strategi när de skulle förklara för en kamrat som inte förstod uppgiften. Då tillämpade eleverna istället den associativa lagen med motiveringen att den strategin är enklare att förstå och går snabbare att räkna med. Dock är det viktigt att poängtera att även om eleverna tyckte att

den associativa lagen är enkel att använda och förstå var det inte den metod som de alltid tillämpade först.

Det framkom även att flera elever uttryckte att de inte brukar behöva finna flera olika lösningsmetoder och att det var en faktor till att de inte kunde komma på särskilt många olika huvudräkningsstrategier. Samtliga elever uttryckte att de har undervisats i flera strategier men att det var väldigt längesen, vilket resulterar i att de inte kommer ihåg alla strategier. Utifrån det här påståendet kan man tänka att elevernas tillämpning av huvudräkningsstrategier hade kunnat öka om undervisningen av huvudräkningsstrategier var kontinuerlig En forskare som dragit liknande slutsats är Csíkos (2015) som betonar lärarens viktiga roll i att undervisa elever i fler huvudräkningsstrategier så att elever besitter en bred strategireportoar för att kunna välja vilken strategi de anser är lämpligast att tillämpa. Däremot visade resultatet att om elever behövde finna flera olika lösningar på en uppgift så var det flera elever som behärskade det. Det visar på att de här eleverna besitter olika strategier och att de har möjlighet att anpassa strategi beroende på uppgiftens utformning, vilket Skolverket (2019) beskriver är en förmåga som skolan vill att samtliga elever besitter. Hälften av eleverna tillämpade och behärskade den kommutativa lagen och motiverade det genom att berätta att deras lärare sagt att det är ett bra steg som underlättar beräkningen. Det var elever från båda klasserna som tillämpade den kommutativa lagen, vilket gör att jag drar slutsatsen att båda klasserna blivit undervisade i den. Är en kontinuerlig undervisning av olika huvudräkningsstrategier nyckeln till att öka elevernas användning av olika strategier som sedan kan resultera i att fler elever kan välja strategi beroende på uppgiftens utformning?

I resultatet framgår det att en elev upplevde det problematiskt och svårt att tydligt beskriva strategins olika steg vid tillämpning av algoritmräkning i huvudet och behövde kontrollräkna sin beräkning. Den här problematiken uppstod inte vid tillämpning av andra strategier. En elev visade en osäkerhet kring vilken strategi hen hade applicerat i mataffären om hen inte haft tillgång till miniräknare. Även om eleven uttryckt att den associativa lagen är enklare att förstå än algoritmräkning i huvudet samt att eleven beskrev att eleven hade använt den associativa lagen om hen skulle beskrivit sitt tillvägagångsätt för en kamrat så var algoritmräkning elevens första val.