Begreppsförståelse - Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter

Lärarutbildningen

Skolutveckling och ledarskap

Examensarbete

Begreppsförståelse

Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter

Understanding

of concepts

.

Prerequisites of pupils with difficulties in mathematics

Agneta Lindqvist

Ann-Charlotte Pettersson

Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, 60 p Handledare: Börje Lindblom Höstterminen 2006 Examinator: Ann-Elise Persson

Malmö högskola Lärarutbildningen

Skolutveckling och ledarskap

Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning Höstterminen 2006

Lindqvist, Agneta & Pettersson, Ann-Charlotte. (2006). Begreppsförståel-se. Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter. (Understanding of Concepts. Prerequisites of pupils with difficulties in mathematics).

Skolutveckling och ledarskap, Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, Lärarutbildningen, Malmö högskola.

Syftet med arbetet är att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad be-greppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska problem.

Arbetet ger en översikt över tidigare forskning om begreppsförståelse. Med hjälp av enkätundersökning och intervjuer ville vi se vilka grundläggande förutsättningar och arbetssätt/strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter. Vi ville också se vilka hinder som peda-goger möter i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i ma-tematiksvårigheter.

Sammanfattningsvis pekar resultaten av våra undersökningar på att om re-surser prioriteras så att en elev i matematiksvårigheter får arbeta språkligt aktivt med varierat arbetssätt i en liten grupp under ledning av en kompe-tent pedagog/specialpedagog, har han/hon goda förutsättningar att nå en ökad begreppsförståelse.

Nyckelord: begreppsförståelse, gruppstorlek, kompetens, matematiksvårig-heter, specialpedagogik, språket

Agneta Lindqvist Ann-Charlotte Pettersson Handledare:

Tjugby Brunnsgård Danskvägen 21 Börje Lindblom

FÖRORD

Vi vill tacka alla pedagoger som på ett så engagerat och positivt sätt ställt upp på våra intervjuer för att dela med sig av sin kunskap om vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse.

Vi vill tacka vår handledare Börje Lindblom för sakkunnig hjälp med vårt examensarbete.

Vi vill tacka våra familjer som tålmodigt stått vid vår sida under arbetets gång.

INNEHÅLL

3.1.1 Definition av ordet begrepp... 13

3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå ... 14

3.2 Aktuell forskning ... 16

3.3 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter... 19

3.3.1 Organisationsnivå ... 19

3.3.2 Gruppnivå ... 20

3.3.3 Individnivå ... 21

3.3.4 Pedagogens roll ... 24

3.4 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter ... 25

3.4.1 Organisationsnivå ... 25

3.4.2 Gruppnivå ... 26

3.4.3 Individnivå ... 27

3.4.4 Pedagogens roll ... 28

3.5 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter ... 31 3.5.1 Organisationsnivå ... 31 3.5.2 Gruppnivå ... 32 3.5.3 Individnivå ... 32 4 TEORI ... 35 4.1 Teorier om lärande ... 35

4.1.1 Metakognitiv teori med kognitiv teori ... 35

4.1.2 Symbolisk interaktionism... 36 4.1.3 Socialkonstruktivistisk teori... 36 4.1.4 Vygotskij ... 36 5 METOD ... 39 5.1 Allmänt om metod ... 39 5.2 Metodval ... 40

5.4 Undersökningsgrupp ... 42

5.5 Genomförande... 42

5.6 Databearbetning ... 43

5.7 Reliabilitet och validitet ... 43

5.8 Etik ... 44

6 RESULTAT... 47

6.1 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter... 48

6.2 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter ... 51

6.3 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelse hos elever i matematiksvårigheter ... 55

7 ANALYS AV RESULTATET... 59

7.1 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter... 59

7.2 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter ... 60

7.3 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter ... 61

8 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION... 63

8.1 Sammanfattning ... 63 8.2 Diskussion ... 64 8.2.1 Specialpedagogens roll... 71 8.2.2 Våra teorier ... 71 8.2.3 Reflektioner på vår datainsamling ... 72 9 FORTSATT FORSKNING ... 73 REFERENSER ... 75 BILAGOR

1 INLEDNING

Matematik har en mer än femtusenårig historia och dess verksamhet är i ständig utveckling. Matematiska begrepp, metoder och modeller används i såväl vardags- och yrkesliv som i samhälleliga och vetenskapliga samman-hang. Alla elever ska ha möjlighet att erövra matematikkunskaper som bi-drar till självförtroende, kompetens och reella möjligheter att påverka och delta i vårt samhälle (Skolverket, 2003).

Lpo 94 föreskriver att skolan skall sträva efter att varje elev ska lära sig att använda sina kunskaper i matematik som redskap för att formulera, prö-va antaganden och lösa problem, reflektera över erfarenheter och kritiskt granska, värdera påståenden och förhållanden. Lpo 94 föreskriver även att skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet.

Matematik har nära samband med andra skolämnen. Eleven hämtar er-farenheter från omvärlden och omsätter sina matematiska kunskaper i ett meningsfullt sammanhang. I matematikämnet har problemlösning en cen-tral plats. För att utöva matematik med gott resultat krävs att eleverna får kunskaper om matematiska begrepp, uttrycksformer och metoder (Skolver-ket, 2000).

Språket har stor betydelse för utvecklandet av det matematiska tänkan-det. Har eleven ett väl fungerande språk har han/hon goda förutsättningar för en effektiv inlärning, medan eleven med ett bristfälligt ordförråd ofta får svårigheter att tillägna sig den grundläggande begreppsbildningen. (Malmer, 2002).

Forskning under senare år uppmärksammar betydelsen av en god be-greppsförståelse som en viktig förutsättning för att lösa matematiska pro-blem (Johnsen HØines, 2002; Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004).

I det här arbetet ska vi belysa erfarenheter och kunskaper från aktiva pedagoger i deras arbete med begreppsförståelse för elever i matematiksvå-righeter. Vi kommer även att relatera pedagogernas erfarenhet och kunskap till teori, litteratur och aktuell forskning.

1.1 Bakgrund

I vårt arbete som pedagoger kommer vi dagligen i kontakt med elever i be-hov av särskilt stöd i svenska och matematik. I Lusten att lära - med fokus

på matematik (Skolverket, 2003) poängteras att sambandet mellan god

språkbehärskning och matematisk förståelse är väl belagt såväl i pedago-giskt arbete som i forskning.

I vår teoridel redovisar vi olika inlärningsteorier och fokuserar på Vygots-kij som har hävdat språkets stora betydelse för allt lärande.

Med hjälp av språket utvecklas matematiska begrepp. Vår undersök-ning kommer att behandla kunskapsområdet begreppsförståelse. Genom litteraturstudier kommer vi att ta reda på och definiera vad begreppsförstå-else innebär. Vi vill i vår undersökning fördjupa oss i pedagogers uppfatt-ning och erfarenhet av vilka grundläggande förutsättuppfatt-ningar i skolans värld som inverkar på/gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårig-heter.

Det är viktigt att fånga upp och observera elevernas egna erfarenheter och föreställningar så att mötet med matematikaktiviteter, språk och be-grepp blir meningsfullt och lustfyllt för eleverna. Genom val av arbetssätt och arbetsformer i relation till matematikinnehåll kan pedagogen gynna utveckling av begrepp (NCM, 2006). Vi vill i vår undersökning ta reda på pedagogers uppfattning och erfarenhet av vilka inlärningsstrategier och ar-betssätt som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter. Att eleven känner att han/hon kan, förstår, lyckas och lär sig är det för-sta som påverkar lusten att lära. Lusten och glädjen uppstår i känslan av att lyckas med någonting vilket även skapar motivation. Elever som möter ständiga misslyckanden förlorar istället raskt motivationen och lusten att lära (Skolverket, 2003). Vi vill i vår undersökning belysa pedagogers upp-fattning och erfarenhet av vilka hinder som finns för ett utvecklande arbete som främjar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.

Som blivande specialpedagoger kommer vi att möta elever i matema-tiksvårigheter. När vi tidigare i vår utbildning läste litteratur om matematik, blev vi intresserade av hur vi i mötet med elever i matematisksvårigheter på bästa sätt kan utveckla deras begreppsförståelse och därmed ge dem bättre förutsättningar att lösa matematiska problem. I vår nya yrkesroll ska vi kunna genomföra pedagogiska utredningar och analysera individers svårig-heter på individ-, grupp- och organisationsnivå. I vår undersökning kom-mer vi därför att utgå ifrån dessa tre perspektiv. Detta gör det också möjligt för oss att se eleven i ett helhetsperspektiv.

Vi arbetar i en liten kommun och har erfarenhet från förskola, försko-leklass, grundskola och grundsärskola. Eftersom vi i undervisningen träffar elever i olika åldrar och på olika utvecklingsnivå har vi blandade förkun-skaper, vilket vi ser som en tillgång som vi kan ta tillvara i vår undersök-ning. Åldersgruppen för vår undersökning koncentreras till elever från för-skoleklass till år sex. Vi vill utforska och kartlägga pedagogers erfarenhet och kunskap när det gäller vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matema-tiska problem.

Vi väljer att göra undersökningen i vår kommun för att på så sätt ta till-vara den kompetens som finns inom vårt kunskapsområde i kommunen. Den vill vi att pedagogerna får del av för att på så sätt ge dem en fördjupad kunskap och därmed bättre förutsättningar att ge elever i matematiksvårig-heter en ökad begreppsförståelse. Eftersom vår undersökning även behand-lar organisationens betydelse vill vi att ledningen tar del av vår kunskap, för att på så sätt få en bättre förståelse för vilka förutsättningar som krävs för att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse.

Vi har skrivit det här examensarbetet tillsammans och har båda varit delaktiga i arbetets alla delar. Som kritiska vänner har vi diskuterat innehål-let under arbetets gång. Vårt goda samarbete har möjliggjorts genom täta möten, telefon- och mailkontakter.

2 SYFTE

Syftet med arbetet är att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad be-greppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska problem.

Vi utgår från följande frågeställningar i vårt arbete:

Vilka grundläggande förutsättningar i skolans värld inverkar på/gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter?

Vilka arbetssätt och strategier inom matematikundervisningen gyn-nar/stärker begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter?

Vilka hinder möter pedagoger i arbetet med att utveckla begreppsförstå-elsen hos elever i matematiksvårigheter?

3 LITTERATURGENOMGÅNG

I följande kapitel redogör vi för den litteratur som vi valt att utgå från när vi beskriver det kunskapsområde som vår uppsats behandlar. Litteratur-genomgången innehåller aktuell forskningslitteratur, matematikdidaktisk litteratur, styrdokument, rapporter och litteratur om elever i behov av sär-skilt stöd. Inledningsvis redovisar vi en beskrivning av hur vi enligt littera-turen valt att definiera ordet begrepp samt förtydligar hur vi enligt litteratu-ren valt att definiera organisations-, grupp- och individnivå. Därefter följer aktuell forskning i ämnet. Vidare utgår vi i vårt arbete från de tre fråge-ställningarna: grundläggande förutsättningar, arbetssätt och strategier samt hinder. Utifrån dessa frågeställningar redogör vi för litteraturens uppfatt-ning om förutsättuppfatt-ningar som påverkar möjligheten att ge elever i matema-tiksvårigheter en ökad begreppsförståelse. Vi tar upp perspektiven organi-sations-, grupp- och individnivå samt pedagogens roll inom de olika fråge-ställningarna.

3.1 Definitioner

I vårt arbete använder vi orden begrepp, organisations-, grupp- och indi-vidnivå. Innebörden av dessa ord kan ibland variera hos olika författare. För att läsaren ska bli säker på vad vi menar följer här vår definition enligt vald litteratur. Dessa definitioner kommer vi fortsättningsvis att använda i vårt arbete.

3.1.1 Definition av ordet begrepp

I boken Matematikverkstad beskriver Rystedt och Trygg (2005) ordet be-grepp enligt följande:

Ordet begrepp kommer ursprungligen från det fornsvenska begripa som i sin tur kan härledas från det lågtyska begripen med betydelsen gripa (med tanken). Med begrepp menas ofta en sammanfattning av utmärkande egenskaper hos exempelvis en grupp objekt, en grupp hän-delser eller en grupp beteenden. Förståelse för begreppet area innefattar t.ex. insikter i:

att det är ett mått på storleken av en begränsad yta att områden med olika form kan ha samma area

att även om två områden har samma omkrets kan arean variera vad som skiljer area från andra egenskaper hos ett geometriskt objekt hur area kan bestämmas och vilka enheter som kan användas

(a.a., s. 55)

I boken Bra matematik för alla delger Malmer (2002) en matematikordlista med viktiga begrepp när det gäller benämningar för t.ex.:

jämförelseord som svarar på frågan hur, t.ex. storlek, t.ex. liten - mindre - minst

antal, t.ex. färre, flest

kvantitet (volym), t.ex. litet - mindre - minst massa (vikt), t.ex. lättare, tyngre

längd, t.ex. lång- längre - längst höjd, t.ex. låg - lägre - lägst

bredd, t.ex. bred - bredare - bredast tjocklek, t.ex. tunn - tunnare - tunnast

ålder, t.ex. gammal - äldre - äldst, ung - yngre - yngst pris, t.ex. dyr - dyrare - dyrast, billig - billigare - billigast och

ord som ofta används i kombination med jämförelseorden, t.ex. hälften, halv, udda, ringa, drygt, knappt

lägesord som svarar på frågan var, t.ex.

i, på, över, först, sist, före, efter, överst, i början, i slutet, framför, bakom, bredvid, mellan, närmast, utanför, ovanför

tidsord som svarar på frågan när, t.ex.

varannan, i förrgår, i fjol, i övermorgon, ständigt, sällan, ibland, emellanåt .

3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå

I boken Att möta barns olikheter beskriver Ljungblad (2003) orden organi-sations-, grupp- och individnivå enligt följande.

Organisationsnivå

Organisationsnivå är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningar-na för skolans arbete och den nivå där pedagogen inte själv kan bestämma över eller förändra på egen hand. Det kan vara svårt att avgöra vad som hör till organisationsnivå och vad som hör till gruppnivå då det inte finns några tydliga gränser utan kan variera från skola till skola. Förutsättningar som påverkar elevens situation på organisationsnivå är:

styrdokumenten timplanen

skolans värdegrund

skolans syn på elever i svårigheter skolans starka och svaga sidor skolans resurser

pedagogernas kompetens arbetslaget

specialpedagogisk kompetens elevhälsoteam

tillgång till annan yrkeskompetens ex. psykolog pedagogisk handledning

flexibla gruppstorlekar lokalernas utformning. Gruppnivå

På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och för-ändrar. Den pedagogiska och didaktiska verksamheten i arbetslaget ligger på gruppnivå, där pedagogerna har inflytande över relationerna människor emellan. Det kan vara mellan pedagog och elev och mellan olika elever. Eleven påverkas på gruppnivån av:

relationerna mellan eleverna arbetet i arbetslaget

arbetet mellan arbetslaget

relationerna mellan eleverna och läraren

att ta tillvara på den specialpedagogiska kompetensen i gruppen reflektion i arbetslaget

läromedlets roll i gruppen arbetsformer och arbetssätt

möjlighet till ämnesöverskridande temaarbete pedagogisk differentiering, nivågruppering elevernas delaktighet

gruppens struktur gruppens planering

kontinuerlig dokumentation

provtillfällenas utformning och variation inköp av material och läromedel

läxhjälp

tillgången av vikarier. Individnivå

På individnivå är det pedagogens ansvar att se varje enskild elevs behov och förutsättningar.

Eleven påverkas på individnivå av: hela sin situation

sina individuella förutsättningar gällande; syn, hörsel, motorik, social förmåga, kognitiv förmåga, koncentrationsförmåga och förmåga till uppmärksamhet

sina starka sidor

sin delaktighet i matematikarbetet provsituationernas utformning hur arbetet är organiserat

vilka arbetssätt och metoder som används

tillgången till hjälpmedel, ex. miniräknare, bilder tillgången till konkret, laborativt material

att kunna se sin egen utveckling matematiksvårigheter

kommunikationssvårigheter läs- och skrivsvårigheter

sina upplevelser av matematikarbetet.

3.2 Aktuell forskning

I så gott som all didaktisk litteratur framhålls språkets betydelse för be-greppsbildning i matematik. Både skriftspråket och matematiken bygger på språk i form av text, instruktioner och symboler (Sterner & Lundberg, 2004). Johnsen HØines (2002) talar i boken Matematik som språk om

be-greppsinnehåll och begreppsuttryck. Bebe-greppsinnehåll är t.ex. tankar och uppfattningar som vi har av omvärlden och begreppsuttryck är det språk med vilket vi kan uttrycka dessa tankar och idéer.

En viktig del av begreppsutvecklingen blir att uttrycka sig språkligt. Sådant samspel och kommunikation mellan elever och mellan elever och pedagog sker t.ex. när eleverna löser problem i par eller i grupp av elever där de diskuterar olika förslag på lösningar och val av strategier. Därmed kan elevernas förståelse utvecklas och fördjupas när de möter andras sätt att tänka (Gran, 1998; Sterner & Lundberg, 2004). I det flerstämmiga, dialo-giska klassrummet har språket en central betydelse för inlärningsprocessen. Det finns en nära koppling mellan språk och tanke och språket är en ska-pande kraft i relationer till andra människor (Dysthe, 1996).

Motivation är grundläggande för lärandet, kanske minst lika viktig som inlärningskapacitet eller begåvning. Kreativitet och variation är andra nyckelord i arbetet med att öka intresset för och att lära sig matematik (Magne, 1998).

Det finns ett viktigt samband mellan de två kärnämnena svenska och matematik, där språket har stor betydelse för utvecklande av det logiska tänkandet och därmed för hela personligheten (Malmer, 2002). Förmågan att förstå matematik hänger nära samman med språklig förståelse. Särskilt ordförståelse har ett tydligt samband med elevernas matematikförståelse (Skolutvecklingsenheten, 2003).

För att kunna bilda begrepp är det nödvändigt att kunna benämna ting och företeelser i omvärlden. Det sker genom språket. Begrepp kan vara öppna, dvs. självklarheter anses inte behöva utsägas, eller de kan vara stängda. Matematiska begrepp är i regel stängda (NCM, 2005). Många av begreppen lär sig barnen omedvetet under vardagliga situationer före skol-starten. I förskolan tas matematiska begrepp upp genom att man i den dag-liga verksamheten räknar, klassificerar, benämner och mäter tillsammans med barnen (Skolverket, 2003). Det tar tid att bygga upp förståelse i mate-matik. Därför är det bra att eleverna på detta sätt får möta matematikbe-grepp tidigt utan att det är kopplat till krav. När barnen börjar skolan har de med sig sina egna uppfattningar om vad begreppen betyder, baserade på sina egna erfarenheter. Att förstå ett begrepp eller en symbol genom att ha en föreställning om vad de refererar till och att genom förförståelse kunna knyta an till och jämföra med tidigare erfarenheter är oerhört viktigt. Ele-verna bör i undervisningen erbjudas en bred referensram, som kan hjälpa dem att förstå matematiska begrepp (Skolutvecklingsenheten, 2003). Ab-strakta begrepp hos barn bygger på tidigare inlärda eller på annat sätt för-värvade begrepp. Det är viktigt att barnet har begreppen i form av ord kopplade till erfarenhet innan det kan översätta dem till det kortfattade ma-tematiska symbolspråket. Det handlar i hög grad om att utveckla ett mate-matiskt talspråk. Talspråket bildar en nödvändig grund för den matematiska begreppsbildningen och för det matematiska symbolspråket på samma sätt som det bildar en nödvändig grund för läsinlärning (Malmer, 2000). Un-dervisning genom verbal beskrivning tycks i klassrummet vara det vanli-gaste sättet för begreppsinlärning, därnäst bilder, skisser och diagram (NCM, 2005).

Att utveckla förståelse innebär inte bara att knyta ny kunskap till tidiga-re kunskap utan också att skapa rika integtidiga-rerade kunskapsstruktutidiga-rer. Struk-tureringen av kunskap gör den möjlig att använda i olika sammanhang. Elever har större möjlighet att upptäcka hur deras befintliga kunskaper kan relateras till nya situationer när de förstår samband mellan en mängd olika begrepp. Att lära med förståelse innebär att eleverna parallellt med att de utvecklar begreppslig förståelse också lär sig hur de kan använda sina kun-skaper. Genom att sätta ord på tankar och idéer lyfts de upp och blir synliga för reflektion och eftertanke och på så sätt kan en djupare förståelse nås (Sterner & Lundberg, 2004).

Det inre talet är betydelsefullt för att vi ska kunna skapa inre represen-tationer av ett innehåll, men även för att kunna hålla aktuell information i minnet (a.a.). Johnsen HØines (2002) belyser Vygotskijs tankar om

tyst, inre tal och därefter i tänkandet. Talet försvinner inte, men tänkandet utvecklar sig utifrån det och tar på så sätt över talet.

Elevernas begreppsutveckling är ett av de viktigaste målen för matema-tikundervisning och just inom detta område har laborativt arbete visat sig värdefullt. Att kunna uttrycka sig med hjälp av flera representationsformer och att uppfatta sambanden mellan dem är ett tecken på god förståelse i matematik (Rystedt & Trygg, 2005). Hos såväl utvecklings- som inlär-ningspsykologer finns tanken att hanterandet av konkret material främjar begreppsbildning. De har bidragit med synpunkter om hur barn kan bilda begrepp, vilket är nödvändigt för barns intellektuella utveckling. I

matema-tik - ett kommunikationsämne (NCM, 2005) understryker Dewey sin tes

learning by doing och Kilpatrick sin metod som innebär en syntes mellan praktik och teori. Även Piaget betonar växelverkan mellan praktik och teori och Bruner framhåller sin teori om de tre representationsformerna, dvs. först ett manipulerande och undersökande av verkliga föremål, senare en mental bild av föremålen och därefter benämningar av tingen i den omgi-vande verkligheten.

I undervisningen betonas numera vikten av att utgå från elevernas var-dagliga erfarenheter och att söka åstadkomma växling mellan teori och praktik. Eleven ska få känna på, handskas med och pröva konkret material för att därigenom iaktta skillnader och likheter, dvs. generalisera och dis-kriminera. En upplevelse av ett tredimensionellt föremål genom manipula-tion ökar begreppsuppfattningen påtagligt (NCM, 2005).

I Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik (Sterner & Lund-berg, 2004) presenteras forskning gällande begreppsbildning. Enligt förfat-tarna påpekar Miles att en elev skulle kunna lära sig förstå många begrepp om man i undervisningen koncentrerade sig på att eleven ska förstå det un-derliggande begreppet och inte bara komma ihåg ordet. Författarna relate-rar till van Oers som menar att symboler inte kan referera till situationer, handlingar eller andra symboler om inte innebörden i dessa referenter är kända. Enligt författarna betonar Kibel att språk och handling integrerar och stöttar varandra och att det är viktigt att elever får den tid som krävs för att språket ska kunna utvecklas. Avslutningsvis refererar författarna till Anghileri som poängterar att på samma sätt som det tar lång tid att utveckla skriftspråklig kompetens, tar det lång tid för elever att överföra konkreta erfarenheter till mentala representationer och motsvarande matematiska symboler.

Malmer (2002) menar att vid upptäckten av att elever har matematik-svårigheter, hänför sig dessa i de flesta fall till de mest elementära och grundläggande begreppen. Det mest effektiva sättet att försöka förebygga att elever får matematiksvårigheter är att se till att de får tillräckligt med tid

att bygga upp och befästa de grundläggande begreppen. Språklig träning och utveckling av matematiska begrepp ska följas åt. Att ge eleven lust att lära är betydelsefullt, eftersom lusten kommer med den djupa förståelsen. Begreppen måste gå före symbolerna. Det gäller att utveckla ett matema-tiskt talspråk, eftersom det utgör grunden för den matematiska begrepps-bildningen och det matematiska symbolspråket. Många pedagoger är med-vetna om detta, men har ändå svårigheter att frigöra sig från beroendet av en lärobok, tillägger hon.

Språket utgör grunden för tänkande och lärande, eftersom språket är det viktigaste kommunikationsmedlet. Läsfärdighet och ordförråd har samband med problemlösning men främst med den matematiska språkförmågan. Alltså påverkas språklig förståelse och språkligt resonerande vid problem-lösning. Språket vid matematikinlärning verkar således inte genom osorte-rad kommunikation utan genom relationer av tre slag: ordförrådets logik dvs. lexikon, regelsystemet dvs. syntax och begriplighetens struktur dvs. semantik (Magne, 1998).

3.3 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar be-greppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter

3.3.1 Organisationsnivå

Förvaltningstjänstemän och politiker har ett övergripande ansvar för att ge personella och ekonomiska resurser, möjligheter till kommunövergripande samarbete och satsningar på kompetensutveckling i olika former, vilket ska leda till att väcka och stödja elevernas lust att lära. Politikerna kan även ge resurser så att det ges möjlighet för en dialog och kommunikation mellan lärare i förskolan och skolan, samt mellan olika skolor i kommunen (Skol-verket, 2003). Kommunen är också skyldig att se till elevernas behov och bygga upp en fungerande verksamhet med specialister, som rektor, peda-gog och föräldrar kan vända sig till då svårigheter uppkommer (Ljungblad, 2003).

Skolledningens ansvarsområde sammanfaller delvis med förvaltnings-tjänstemännens och politikernas ansvar. Dessutom ska skolledningen sti-mulera pedagogerna till erfarenhetsutbyte i vardagen, följa debatt och kun-skapsutveckling, stödja kompetensutveckling i olika former och organisera arbetssätt och innehåll i samarbete med pedagoger och elever (Skolverket, 2003). I Matematikdelegationens betänkande påpekas också skolledningens viktiga ansvar att som pedagogiska ledare stimulera verksamheten så att den utvecklas i enlighet med kursplanernas riktlinjer (Skolverket, 2004).

Ljungblad (2003) understryker att helhetssynen är viktig. Skolan måste se alla delar av elevens liv för att förstå hans/hennes matematiksvårigheter.

känslor, upplevelser och behov. Elever i matematiksvårigheter måste få ar-beta tillsammans med utbildade lärare och specialpedagoger. Ibland kan alla olika kompetenser som finns på skolan behövas för att på olika sätt ge elever i svårigheter god undervisning både i praktiskt arbete och i dialog för att stödja eleven, tillägger hon.

I Att lyfta matematiken - intresse, lärande, kompetens (Skolverket, 2004) poängteras att en satsning i förskola och de tidiga skolåren ger posi-tiva effekter i hela utbildningssystemet från förskola till högskola och vux-enutbildning. Det unga barnets möte med matematik är ofta avgörande för attityder, föreställningar och studieframgångar senare i livet. Att tidigt upp-täcka och aktivt förhålla sig till starka och svaga sidor i barns och ungdo-mars kunskapsutveckling i matematik är mycket värdefullt både för indivi-den och för samhället.

Malmer (2002) betonar språket som ett instrument för att nå kunskap. Hon anser att tidig språkutveckling genom träning av språklig medvetenhet redan i förskolan är en god investering inför framtiden.

3.3.2 Gruppnivå

På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och för-ändrar. Den pedagogiska och metodiska verksamheten i arbetslaget ligger på gruppnivå, där pedagogerna har inflytande över relationerna människor emellan (Ljungblad, 2003).

Lusten att lära matematik och tilliten till den egna förmågan är ett sam-band som är mycket stort. Då eleverna inte förstår eller ser nyttan med kun-skapen har de heller ingen lust att lära. I undervisning som utmanar, där det finns en glädje i att upptäcka och där det finns utrymme för känslor och tankar stimuleras lusten att lära (Skolverket, 2004).

Då dialogen, flerstämmigheten dominerar i klassrummet, får eleverna själva möjlighet att vara meningsskapande individer i samspel med var-andra och pedagogen (Dysthe, 1996). Eleverna bör också få återkoppling på sitt arbete och göras medvetna om sin viktiga roll. Samspelet mellan pe-dagogen och eleverna startar i bådas förutsättningar och undervisningen bör byggas vidare utifrån elevernas tankesätt. Med hänsyn till elevernas olika behov anpassas strategier och metoder. Viktiga inslag i undervisningen är också gemensamma reflektioner och matematiska samtal (Skolverket, 2003).

För att eleverna ska våga ta risken att göra fel är det mycket viktigt att det är ett öppet och tillitsfullt klimat i matematikundervisningen (Sterner & Lundberg, 2004). Samtal och diskussioner i matematik som för elever är svåra att förstå kräver öppenhet och trygghet (Ljungblad, 2003). Pedagogen ska inte se det som att eleven svarar rätt eller fel, utan som att han/hon inte

förstått frågan. Därigenom kan pedagogen förhindra att eleven upplever sitt bidrag som värdelöst och sig själv som dum. Eleverna måste få känna att de kan och att de blir bejakade och accepterade. Undervisningen måste vara individanpassad och möta eleverna på den nivå där de befinner sig (Malmer 2002). I föreläsningen Med lust och lek i tal och språk påvisar Juhlin (2006-11-14) vikten av att eleven har rätt att göra fel och fadäser när han eller hon använder ord för olika begrepp. Det är när eleven prövar och ut-manas att använda nya ord som begreppen utvecklas.

Relationerna mellan eleverna är också viktigt att bevaka. Pedagogen utvärderar kontinuerligt den grupprocess som pågår mellan eleverna och känner in stämningen i gruppen. Eleverna bör få träning i att samarbeta med olika kamrater och inte bara sin bästa kompis (Ljungblad, 2003).

Dialogen med pedagogerna och kamraterna är en resurs för utveckling-en av matematiska begrepp, problemlösning och annan matematisk förstå-else. Genom samspel och kommunikation med kamraterna och pedagogen, då eleverna diskuterar olika förslag på lösningar och val av strategier, kan deras förståelse utvecklas när de möter andras sätt att tänka. Därigenom kan de utveckla sitt eget tänkande, sin egen förståelse (Gran, 1998; Sterner & Lundberg, 2004).

När eleven får kommunicera med sitt eget talade språk, använda sina egna uttrycksformer, rita bilder eller arbeta laborativt, kan han/hon nå erfa-renheter som sedan kan utvecklas till formella kunskaper och förståelse. För elever i läs- och skrivsvårigheter kan symbolhanteringen vara särskilt problematisk. Därför är åskådlighet och reflekterande samtal nödvändiga på alla nivåer i undervisningen. (Sterner & Lundberg, 2004). Forskaren Ahlberg fann i en studie att elever som fick angripa ett problem genom både samtal, bilder och skrivande förbättrade sin problemlösningsförmåga (Skolutvecklingsenheten, 2003).

3.3.3 Individnivå

Alla elever ska ha en individuell utvecklingsplan, IUP. I den kan pedagog, elev och föräldrar följa elevens sociala utveckling och kunskapsutveckling i relation till mål att sträva mot i läroplanen. Elevens IUP ska innehålla en kartläggning av de kunskaper eleven har inom matematikämnet, elevens starka och svaga sidor, mål för elevens lärande samt skolsituationen med fokus på elevens sociala och emotionella utveckling (Utbildningsdeparte-mentet, 2001). På individnivå är det pedagogens ansvar att se till varje en-skild elevs behov och förutsättningar (Ljungblad, 2003). Pedagogen bör utgå från elevens starka sidor och ge det stöd och hjälp som behövs för att utveckla elevens svaga områden (Ljungblad, 1999).

Om det framkommer att en elev är i behov av särskilda stödåtgärder skall åtgärdsprogram utarbetas. Åtgärdsprogrammet ska vara en särskild planering för elever i behov av särskilt stöd. Det ska ta utgångspunkt i ele-vens hela skolsituation och det ska framgå vad man vill försöka åstadkom-ma samt med vilka medel och metoder åstadkom-man vill arbeta och hur det ska ut-värderas (Utbildningsdepartementet, 2004). Åtgärdsprogrammet är ett skri-vet dokument där det står hur personalen kring eleven samarbetar för att utveckla eleven i svårigheter (Ljungblad, 2003).

I skriften Alla föräldrar kan! Hemmets läroplan vad föräldrar kan göra för att barnen skall klara sig bra i skolan delger Grosin (2001) sin

uppfattning om vad föräldrar kan göra för att stötta sina barn. Han menar bl.a. att föräldrar ska prata med sina barn om skolan, berätta om sina egna kunskaper och erfarenheter samt hjälpa till med läxor och förbereda inför prov.

Den största utvecklingspotentialen i svensk matematikutbildning finns hos våra barn och ungdomar. Deras nyfikenhet, arbetsvilja och framtids-drömmar är de viktigaste drivkrafterna i allt utvecklingsarbete (Skolverket, 2004). Ändå är det många elever som uppfattar matematiken som ett främmande språk, som de inte känner någon gemenskap med. Därför är det viktigt att pedagogen tar vara på elevens spontana berättande, då det ger kunskap om hans/hennes språkliga uttrycksförmåga och egen verklighet. Då eleven får syssla med och bearbeta ett matematiskt innehåll får pedago-gen värdefull information om elevens språkliga utgångsläge. De uttrycks-former eleven använder visar ofta på fantasi och kreativitet och är i själva verket ett betydelsefullt steg i den matematiska utvecklingen. I ett under-sökande arbete skapas inlärning då ord behövs och blir efterfrågade när eleven berättar och beskriver sina upptäckter och iakttagelser (Malmer, 2002).

Många elever har inte förmågan att i ord beskriva eller motivera vad och hur de gjort. Det blir uppenbart vilken stor klyfta som råder mellan tanke och språk, mellan det konkreta hanterandet och den abstrakta formu-leringen. Elever som upplever svårigheter med matematiken har i allmän-het svag abstraktionsförmåga och oklara föreställningar, då deras ordförråd ofta är begränsat. Förutsättningarna för deras begreppsbildning kan bli vä-sentligt större om de får arbeta med hand och öga i kombination med att de berättar vad de gör och ser (a.a.).

Johnsen HØines (2002) beskriver hur Vygotskij inte ser språk som

re-sultat av begreppsutvecklingen, utan som en del av själva begreppet. Språk och tanke utvecklas dialektiskt. Begreppsuttryck är språk. Språk är allt ut-tryck för tanken såsom talat språk, tecken och kroppsspråk. Att utut-trycka sig genom språket är en viktig del av begreppsutvecklingen. När eleven

der språket utvidgar han/hon förståelsen av olika begrepp och utvecklar sitt sätt att språkligt uttrycka det. Det är svårt eller omöjligt att utveckla ett be-greppsinnehåll utan att utveckla ett språk som täcker det. Genom olika erfa-renheter och genom att använda begreppet i språket utvecklar eleven be-greppet, både den innehållsmässiga och den språkliga sidan. När eleven har förståelse för ett begrepp tolkar han/hon orden spontant och behöver inte översätta det till andra ord han/hon har förståelse för. Enligt Johnsen HØ

i-nes (2002) kallar Vygotskij detta språk av första ordningen. Om eleven kommer i kontakt med begrepp som han/hon inte har förståelse för fungerar det som ett främmande språk för honom/henne. Vygotskij (Johnsen HØines,

2002) benämner det som språk av andra ordningen. Detta begrepp måste då översättas genom att använda elevens språk av första ordningen. Språket av första ordningen blir då översättningsledet mellan det nya språket och bar-nets begreppsvärld. Johnsen HØines (2002) poängterar vidare att det är

ele-ven själv som utvecklar sina begrepp och som bygger upp sin begrepps-värld. Pedagogen fungerar som ledare och inspiratör. Nya begrepp bör all-tid ha anknytning och ge associationer till det redan kända. Därför är det betydelsefullt att pedagogen i sitt arbete ständigt är medveten om att det är eleven som är utgångspunkten. När pedagogen talar till eleverna med ord som de är välbekanta med kan de koncentrera sig på innehållet och därmed orsakar språket ringa svårigheter. Målet är att eleven genom sitt eget språk ska finna matematik nyttig och att de får uppleva att de tänker och löser problem genom den, poängterar hon.

Hur eleven tolkar en text kommer att bestämma vilka strategier han/hon väljer för att komma fram till en lösning och hur han/hon värderar uppgifternas lösningar. Enligt NCM (2001) betonar Mayer två delar som är viktiga för läsförståelsen. Den ena är den semantiska förståelsen, dvs. för-ståelsen av innerbörder. Dessutom krävs speciell kunskap om betydelsen av vissa begrepp som t.ex. mer än, likformig m.fl. Den andra delen är repre-sentation av textens innehåll, dvs. att läsaren gör sig en inre föreställning och skapar en mental modell av innehållet.

När eleven sätter ord på tankar och idéer, lyfts de upp och blir synliga för reflektion och eftertanke. På så sätt kan en djupare förståelse nås. Ge-nom att kommunicera med sitt eget talade språk, använda sina egna ut-trycksformer, rita bilder eller arbeta laborativt, kan eleven nå erfarenheter som sedan kan utvecklas till formella kunskaper och förståelse. För elever i läs- och skrivsvårigheter kan symbolhanteringen vara särskilt problematisk. Därför är åskådlighet och reflekterande samtal nödvändiga på alla nivåer i undervisningen (Sterner & Lundberg, 2004).

3.3.4 Pedagogens roll

Pedagoger som anknyter sin undervisning till verkligheten och visar hur kunskaperna kan användas i vardagslivet har ofta en förmåga att förmedla en lust att lära till eleverna. De talar med eleverna istället för till eleverna och utgår från både sina egna och elevernas erfarenheter (Skolverket, 2004).

Pedagogens uppgift är att ge alla barn det stöd och den stimulans som de behöver i mötet med skriftspråket och matematiken. Det förutsätter att pedagoger som undervisar i matematik är väl bekanta med läroplaners och kursplaners mål för matematik, men också att de har goda ämnesteoretiska, pedagogiska och didaktiska kunskaper i och om matematik. De måste även vara förtrogna med vad som kan bidra till läs- och skrivsvårigheter och samband mellan sådana svårigheter och lärande i matematik (Sterner & Lundberg, 2004).

Vid kartläggning av en elevs kunskap i matematik är det viktigt att pe-dagogen ser eleven i ett helhetsperspektiv. Det är betydelsefullt att ta reda på vilka begrepp och metoder eleven är förtrogen med och kan använda, hur eleven tänker, handlar och kan uttrycka sig med hjälp av olika material såväl som språket, men också vilken inställning eleven har till matematik och hur han/hon uppfattar sin egen roll. Då pedagogen får kännedom om undervisningssätt och strategier som eleven mött tidigare och kommer att möta i framtiden kan pedagogen följa upp tidigare kunskaper samt förbere-da för grundläggande begrepp innan de tas upp i undervisningen. (Malmer, 2002). Det är viktigt att pedagogen har en genomtänkt plan för sin under-visning (Sterner & Lundberg, 2004).

Inlärningen sker på vägen från en tankestruktur till en annan. Denna förändring av tankestrukturer blir matematiklärandets kärna. Då eleven lär sig hantera ett problem eller försöker formulera sina tankar, sin verklig-hetsbeskrivning, sker inlärning. En av pedagogens viktigaste uppgifter är därför att försätta eleven i problemsituationer som väcker reflektion och eftertanke och som ger anledning till att eleven formulerar nya begrepp och upptäcker nya sammanhang (Gran, 1998).

I Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik (Sterner & Lund-berg, 2004) betonas pedagogens betydelsefulla roll för elevers lärande där, enligt våra läroplaner, kommunikation och reflekterande samspel är viktiga delar. Betydelsefullt är att pedagogen utvecklar en undervisning som bidrar till att eleverna lär sig skapa inre bilder, inre representationer av tal och händelser med anknytning till matematik, så att de även utvecklar ett for-mellt tänkande.

När man behöver använda speciella termer och symboler, gäller det att konkretisera deras innerbörd och att genom diskussion med eleverna få

dem att förstå hur man använder de olika begreppen som ett komplement till vardagsspråket (Löwing & Kilborn, 2002).

I Hög tid för matematik (NCM, 2001) betonas att eleverna behöver en tydlig och väl strukturerad undervisning i läsförståelse i samband med ma-tematik. Det fordrar att läraren har goda kunskaper om läsning och läsför-ståelse så att undervisningen kan anpassas till enskilda elevers behov.

Specialpedagogens uppgift är att förebygga svårigheter så långt det är möjligt och undanröja svårigheter som uppstår så fort som möjligt. På or-ganisationsnivå är de specialpedagogiska uppgifterna att ansvara för kom-petensutveckling av lärare, arbetslag och skolpersonal. Dit hör också att handleda pedagoger, assistenter och övrig personal (Liljegren, 2000). En annan viktig uppgift som specialpedagogen har är att arbeta för kontinuitet och samarbete mellan förskola och skola samt mellan olika skolformer (Sterner & Lundberg, 2004).

Specialpedagogen ska tillsammans med pedagogen utarbeta åtgärds-program för de elever som behöver särskilda stödåtgärder. Åtgärdspro-grammet ska bygga på en omfattande kartläggning av elevens undervis-ningssituation. Åtgärderna bör omfatta det som berör det enskilda barnet men även förändringsarbete på grupp- och organisationsnivå. I kursplanen för grundskolan nämns att undervisningen i matematik ska främja elevernas allsidiga utveckling och ge stöd åt de elever som behöver längre tid att lära. (NCM, 2000).

Undervisningssituationen bör helt naturligt utformas så, att elevernas möjligheter - utifrån individuella förutsättningar - tas tillvara. Detta innebär också att uppläggningen i sig måste inrymma rika tillfällen till nya upptäckter och vidgade erfarenheter. En noggrann och sys-tematisk planering är speciellt viktig för de svagare eleverna. Här behöver läraren mera målmedvetet leda barnet fram till uppgifter, som det har förutsättningar att klara av. I annat fall kan ett redan dåligt självförtroende ytterligare urholkas med kanske svårbotade skador som följd (Malmer, 2002, s. 16).

3.4 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos ele-ver i matematiksvårigheter

3.4.1 Organisationsnivå

Rektorn har som pedagogisk ledare och chef för pedagogerna i skolan det övergripande ansvaret för att verksamheten som helhet inriktas på att nå de nationella målen. Det är också rektorns ansvar att pedagogerna får den kompetensutveckling som krävs för att de professionellt ska kunna utföra sina uppgifter (Lpo 94).

Fler utvecklingsprojekt inom skolans värld har visat att framför allt barn i de lägre åldrarna behöver konfrontationer med verkligheten som un-derlag för att bilda begrepp och begreppsrelationer (NCM, 2005).

Det är betydelsefullt att utgå från elevens verklighetsbild, bygga på hans/hennes nyfikenhet och arbeta med problem som eleven själv ställer. Problembaserad inlärning, PBI, har numera blivit ett lösenord för detta, där varvning mellan egna iakttagelser och teori och tillämpning i vardagslivet rekommenderas (a.a.).

En matematikverkstad är en rymlig lokal som är välfylld med matema-tikmaterial. Den ska vara till hjälp för att locka fram nyfikenhet, fantasi och kreativitet samt bidra till positiva upplevelser och erfarenheter av matema-tik. Den ska vara till för alla, både elever som behöver extra utmaningar och elever i matematiksvårigheter. För att matematikverkstaden ska vara en gynnsam lärandemiljö krävs att både lärare och elever är medvetna om syf-tet med arbesyf-tet i verkstaden och att matematikinnehållet är i fokus (Rystedt & Trygg, 2005).

3.4.2 Gruppnivå

Skolan ska enligt Lpo 94 sträva efter att varje elev lär sig utforska, lära och arbeta tillsammans med andra.

Enligt Skolutvecklingsenheten (2003) visar forskning att när man sam-talar kring matematiska begrepp i klassrummet ökar elevernas förståelse. När eleverna får arbeta med problemlösning i grupp konfronteras de även med klasskamraternas sätt att tänka och diskutera vilket kan ge dem kun-skap om nya strategier. Vygotskij menar att allt vårt tänkande har sitt ur-sprung i och utvecklas i relation till andra människor.

Språket behöver uppmärksammas i matematikundervisningen, vilket gynnar elevernas lärande i matematik. I arbete med laborativ matematik kan diskussioner kring ord och begrepp uppkomma spontant i en grupp med elever, då de själva kan upptäcka att de behöver ha tillgång till ett stör-re ordförråd. Vid aktivt arbete med språkutveckling kan lärastör-re och elever inför en aktivitet samla och lista ord och begrepp som är nödvändiga för att de ska kunna diskutera matematiken i laborationen (Rystedt & Trygg, 2005).

Brügge, Glantz och Sandell (2001) menar att det finns många anled-ningar till att använda utomhuspedagogik som komplement till inomhus-miljön. Några viktiga anledningar är positiva effekter för barns hälsa, toriska utveckling, lekbeteende och koncentrationsförmåga. Ytterligare mo-tiv är att det ställs krav på samarbete, vilket utvecklar den sociala kompe-tensen. Utomhuspedagogiken ger också möjligheter att nå förståelse genom olika sinnen. Intressanta frågeställningar av didaktisk betydelse när det

gäller utomhuspedagogik är; Vad kan vi göra ute för att öka motivationen och förstahandserfarenheten? Vilka effekter kan det få för förståelsen av olika begrepp? Utomhuspedagogiken ger möjlighet att ämnesövergripande levandegöra olika abstrakta begrepp. Eleverna får möjlighet till en direkt-upplevd undervisnings- och inlärningssituation där känsla, handling och tanke förenas. Utgångspunkten för själva lärandet blir i utomhuspedagogi-ken den direkta upplevelsen där man förstår med hela kroppen och där det är viktigt att reflektera över vad man lärt och känt. Det ökar motivationen och förståelsen av vår omvärld.

Lärarkompetensen, såväl den pedagogiska som ämneskompetensen är den enskilda resurs som har störst betydelse för elevens resultat. Ett frukt-bart samspel mellan engagerade och kunniga pedagoger och deras elever leder till att eleverna upplever innehållet relevant och begripligt. Det med-för att de känner att de lyckas, vilket leder till ett personligt växande och ökad självtillit för var och en (Skolverket, 2003).

Nivågrupperingen ses främst som ett resultat av problemet att hantera elever som har svårigheter och som behöver längre tid för inlärning. Skill-naden mellan grupperna handlar oftast om hur avancerade uppgifter eller hur många moment eleverna i de olika grupperna ska hinna med (a.a.).

3.4.3 Individnivå

För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problem-lösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av sär-skilda utmaningar (Skolverket, 2000, s. 28).

Eleven måste ha en aktiv, medveten vilja att lära sig. Viljan infinner sig lättare om pedagogen kan skapa en atmosfär där eleven känner att man räknar med honom/henne och också tar hänsyn till de omständigheter ele-ven lever under. Pedagogen bör ta vara på eleele-vens specifika intressen och utgå från elevens starka sidor (Malmer, 2002). Matematiska begrepp ut-vecklas med hjälp av språket, eleven blir medveten om sitt kunnande och om hur man lär. Eleverna behöver därför arbeta med att förklara hur de har tänkt, hur de löst uppgifter och delta i samtal kring matematik som ett led i att utveckla sitt matematiska språk, sitt matematiska tänkande och sin för-ståelse (Skolverket, 2003).

Vid begreppsbildning kan man i undervisningen använda en deduktiv, dvs. förklarande, eller induktiv, dvs. upptäckande metod. Vilken metod som passar bäst vid begreppsbildning hos barn beror på vilket stoff man arbetar med och svårighetsgraden hos detta. Tillgång till laborativt material som tillåter en upptäckande undervisningsmetod anses dock ge mera

fram det matematiska tänkandet och att stödja språkliga förklaringar (Ster-ner & Lundberg, 2004). De didaktiska frågorna måste ständigt uppmärk-sammas för att ge önskvärda effekter på elevens lärande. Vad eleven ska lära dvs. innehållet, varför det ska läras dvs. målet och hur det ska läras dvs. metoden. Vid laborativt arbete är det avgörande för elevens lärande att det sker en förskjutning från enbart hur-frågan till att även behandla vad- och varför-frågorna (Rystedt & Trygg, 2005).

Det krävs för de allra flesta elever att de får vara aktiva och kreativa i konkreta sammanhang för att kunna nå fram till förståelse av abstrakta be-grepp. De måste få möjlighet och tillfälle att upptäcka matematiska sam-band och processer som sedan omkodas till det matematiska symbolspråket (Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004).

Kan eleven använda flera olika sätt att beskriva samma begrepp har eleven en rikare begreppsbild och därmed en mer funktionell begreppskun-skap (Rystedt & Trygg, 2005). Eleverna känner i många fall till och upp-täcker mer än de har förmåga att verbalt formulera. Det visar på vikten av att det är nödvändigt att mycket medvetet arbeta för att utöka elevernas ordförråd. Det kan handla om att göra jämförelser av t.ex. antal, storlek, längd, ålder, tid etc. (Malmer, 2002).

Har eleven någon form av inlärningshinder har han/hon ofta ett större behov av att möta nya moment fler-perceptuellt. För en elev kan en form av varseblivning vara starkare än en annan. Ökad lyhördhet och flexibilitet för elevernas reaktioner kan emellertid bidra till att fler elever får stöd och sti-mulans i lärandeprocessen (Malmer, 2002). Talet och aktiviteten med hän-derna är lika viktiga och utgör delar av samma komplexa funktion. Båda behövs när eleven ställs inför problem som ska lösas (Skolverket, 2000). Elever som har svårt med hur symboler hanteras bör alltid arbeta muntligt i samband med att nya matematiska begrepp introduceras och att de får an-vända konkreta representationsformer innan de gör överföringar till de ma-tematiska symbolerna (Sterner & Lundberg, 2004).

3.4.4 Pedagogens roll

Rystedt och Trygg (2005) refererar till flera rapporter, där det betonas att pedagogen har stor betydelse för elevernas lärande och att pedagogens kompetens är den enskilt viktigaste resursen för hur väl elever lyckas i sitt lärande. Skolverket (2004) menar att eleverna vill ha ämneskunniga peda-goger som kan förklara på olika sätt, ge gensvar på deras sätt att tänka och resonera samt ha en bred repertoar av undervisningsmetoder.

Lusten att lära är en viktig förutsättning för att utveckla goda matema-tikkunskaper. För att det ska bli lustfyllt för eleverna måste matematiklek-tionerna organiseras med; variation i innehåll och arbetsformer, utrymme

för både känsla och tanke, upptäckarglädje, engagemang och aktivitet hos både elever och lärare, möjlighet att jobba både individuellt och i grupp, prat och reflekterande kring olika sätt att lösa uppgifter, inslag av labora-tivt, undersökande arbetssätt, att eleverna får återkoppling på vad de gör samt att läraren är lyhörd för elevernas egna, ibland okonventionella lös-ningar (Skolutvecklingsenheten, 2003).

Pedagogens uppgift är att skapa en positiv miljö, att hitta lämpliga akti-viteter som leder mot de uppsatta målen samt att hjälpa eleverna att utveck-la sitt tänkande och kunnande (NCM, 2005). För att ett arbetsklimat ska vara kreativt och utvecklande krävs enligt Rystedt & Trygg (2005) utma-ning, frihet, idéstöd, tillit, livfullhet, lekfullhet - humor, debatt, konflikt, risktagande och idétid. Dysthe (1996) menar, att om pedagogen har höga förväntningar på vad eleverna säger och skriver i klassrummet, uppmuntras eleverna att tänka själva och kontinuerligt integrera ny information med tidigare kunskaper och erfarenheter. Detta kräver att pedagogen ger stöd till eleverna utifrån individuella förutsättningar, för att därigenom säkerställa att eleverna har möjlighet att nå förväntningarna.

Undervisningens innehåll måste anpassas efter vilka förutsättningar ele-verna har. Viktigt är att ta hänsyn till både psykiska och sociala samband. Eftersom alla elever är olika betyder detta att pedagogen måste vara flexi-bel och ha beredskap att variera svårighetsgrad och representationssätt. Detta kräver omfattande kunskaper (Malmer, 2002).

1. Det är lärarens ansvar att planlägga arbetet så att det skapas bästa möjliga miljö för

lärande. Detta innebär bl. a att det ges utrymme för reflekterande samtal, där det sker

utbyte av erfarenheter, tankar och idéer.

2. Arbetsklimatet skapas i samverkan mellan lärare och elever. Det bör präglas av hänsyn

och respekt. Elever ska våga fråga. Felaktiga svar skall bemötas på ett sätt som inte gör den som svarar generad. Det är viktigt att elever får lära sig att planera sitt arbete, vänta på sin tur och inte i onödan störa andra. Det är också värdefullt att de lär sig

lyss-na.

3. Elevens ansvarstagande för den egna inlärningen måste successivt utökas, men läraren

fungerar som en erfaren och kunnig studievägledare. Endast genom elevens egen aktiva medverkan kan en inlärning komma till stånd.

4. Genom återkommande utvärdering och diskussioner fördjupas lärarens och elevernas gemensamma ansvar för undervisningen (a.a., s.25).

Det centrala är att alla elever känner att de har möjligheter och att de blir accepterade och bejakade. Om de får arbeta med lämpligt stoff på den nivå och i den takt de har förutsättningar för kan de känna motivation, uppleva lust och glädje och tro att det är meningsfullt att lära matematik för framti-den. Sker en anpassning till individuella förutsättningar och ett laborativt och undersökande arbetssätt kan övning av språket och utveckling av de matematiska begreppen följas åt. Språket har stor betydelse för elevernas

möjligheter att förstå begrepp och förmåga att utveckla tankeprocesser. Det är därför viktigt att pedagogen tar vara på elevens spontana berättande, då det ger kunskap om elevens egen verklighet och språkliga uttrycksförmåga (Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004). För att ge eleven ett gott ord-förråd måste pedagogen skapa inlärningssituationer där ord behövs och blir efterfrågade, vilket kan ske i ett undersökande och laborativt arbete där eleven berättar och beskriver sina upptäckter och upplevelser (Malmer, 2002). Där kan pedagogen stödja elevens begreppsutveckling genom att visa på likheter och skillnader i de olika begreppen. Viktigt är att eleverna får snabb återkoppling när de arbetar med begreppsbildning, eftersom det annars är stor risk för missuppfattning. För att få en positiv effekt i arbetet är det betydelsefullt att pedagogen har ett syfte med arbetet och att det ut-förs på ett genomtänkt sätt (Rystedt & Trygg, 2005). Diskussioner och samtal i och om matematik bör vara en naturlig del i matematikundervis-ningen (Skolverket, 2004).

Instruktioner och förklaringar i matematikböcker innehåller ofta ett språk och uttryckssätt som eleverna behöver tydlig och strukturerad under-visning i för att lära sig. Detta verkar vara en god pedagogik för de flesta elever, men för elever i läs- och skrivsvårigheter är det en nödvändighet (Sterner & Lundberg, 2004).

Språk och konkretisering hör nära samman. Med hjälp av språket till-ägnar sig eleven matematisk information som han/hon sedan bearbetar, kommunicerar med och konstruerar som ny matematisk kunskap. Hur ele-ven tolkar den nya informationen beror på tidigare erfarenheter och förkun-skaper. Därför är det viktigt att pedagogen konkretiserar undervisningen genom ett laborativt arbetssätt där det nya kunskapsfältet kan belysas. Det kan även ske genom att pedagogen anknyter till gemensamma erfarenheter som belyser det som ska läras. Syftet är att underlätta en språklig tolkning och en språklig förståelse av undervisningens innehåll, där språket kan översättas från en konkret och informell nivå till en formell nivå. Språket får inte användas för att lotsa eleven förbi de problem som ska behandlas, då det förhindrar en meningsfull inlärning (Löwing & Kilborn, 2002).

Muntligt och skriftligt språk har stor betydelse för bildandet av nya tankestrukturer. Elevens matematiska förmåga och färdigheter är påverkba-ra. Där spelar undervisningen, vilken bör bidra till att utveckla elevens ma-tematiska tänkande, en avgörande roll. Betydelsefullt är att möta eleven där han/hon befinner sig i utvecklingen. Undervisningen måste utformas utifrån pedagogens kartläggning av elevens totala situation, både vad gäller presta-tion dvs. färdighet och förutsättningar dvs. förmåga. Att få eleverna att själva bli mer aktiva och ansvarstagande påverkar också inlärningsproces-sen (Malmer, 2000).

Barn utvecklas och lär genom lek. Därför är det viktigt att sätta in ma-tematikundervisningen i lekens sammanhang, där barnen använder sina naturliga tänkesätt när de utforskar, konstruerar och fabulerar med tal, for-mer och mönster (Johnsen, HØines, 2002).

Det är oerhört viktigt att pedagogen litar på sin kompetens och ger ele-verna den tid de behöver för att i den takt de har förutsättningar för lära och förstå de grundläggande begreppen. Det är också viktigt att ge de elever som behöver specialpedagogiska insatser adekvat stöd (Malmer, 2002).

3.5 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter

3.5.1 Organisationsnivå

När en elev i skolan inte når de enligt styrdokumenten uppställda målen anses han/hon ha inlärningssvårigheter. Elevernas svårigheter varierar och insatta åtgärder måste anpassas efter de enskilda eleverna (Skolverket, 2003).

Orsaken till svårigheterna kan vara många. Malmer (2002) framhåller att man kan säga att en del elever har matematiksvårigheter, men att det tyvärr är alltför många som i samband med undervisningen får svårigheter, om inte undervisning och resurser är organiserade utifrån elevens förutsätt-ningar och möjligheter.

Organisatoriska åtgärder för att förbättra matematikundervisningen kan vara mindre grupper, mer tid och nivågrupperingar. Skolan behöver upp-märksamma det hinder som nivågruppering kan medföra då en elev kan hamna i fel grupp och få för låga eller höga krav (Skolverket, 2003).

Lärarutbildningen handlar idag till stor del om vilka metoder som kan användas för att utveckla elevernas förmåga. Den tillmötesgår inte pedago-gens behov av undervisningskunskap i matematik. Lärarutbildningen måste ge pedagogen större kunskap om hur eleven bygger upp sitt matematiska vetande (Löwing & Kilborn, 2002).

Pedagoger som vill förändra undervisningen kan ha flera hinder på vä-gen; lättare att förlita sig på en lärobok än på sin egen planering, kravet på individuell anpassning är tidskrävande, en viss konservatism kan finnas hos föräldrar vilket gör dem osäkra vid förändringar, svårigheter att få medel för att skaffa de hjälpmedel och den utrustning som behövs samt att varda-gen är tyngd av andra uppgifter, vilket gör att en förändring kan upplevas som alltför krävande (Malmer, 2002).

3.5.2 Gruppnivå

Det sociala samspelet mellan eleverna är inte alltid så lätthanterligt. Några elever vill dominera, andra håller sig villigt i bakgrunden. Om processen i gruppen ska fungera på ett tillfredställande sätt beror på hur arbetsklimatet är. De språksvaga eleverna måste få komma till tals annars kan deras situa-tion ytterligare försämras. Det är viktigt att de vågar och får formulera sina tankar och att deras inlägg bemöts positivt. De matematiksvaga eleverna måste också accepteras och känna att pedagogen och kamraterna räknar med dem, annars kan konsekvensen bli att de ger upp och dumförklarar sig själva (Malmer, 2002).

Stress, osäkerhet och ångest kan visa sig hos elever i en grupp med ne-gativa värderingar. Extra utsatta är ofta elever i svårigheter. Det kan också hända mycket eleverna emellan på rasterna som kan påverka en del elevers möjlighet att fokusera tankarna på lektionen (Ljungblad, 2003). Det är vik-tigt att pedagogen visar att det eleverna säger är intressant och värt att kommentera, annars minskar elevernas självrespekt (Dysthe, 1996).

Samtal gruppvis är mycket utvecklande, men bygger på att pedagogen inte ska styra utan vägleda elevernas diskussioner. Om pedagogen är alltför aktiv kan eleverna passiviseras (Malmer, 2002).

Ett hinder kan vara att undervisningen bedrivs med mycket enskilt ar-bete och utan möjlighet till samtal. Vid detta samtalsfattiga arbetssätt tar man inte i tillräckligt hög grad hänsyn till elevernas mycket olika behov, pedagogiskt, kunskapsmässigt och socialt (Skolverket, 2003). Ett hinder med det monologiska klassrummet är att undervisningen genom att utgå från given kunskap, ofta i form av en lärobok, inte knyter an till elevernas erfarenheter (Dysthe, 1996).

Pedagogerna anser att stora grupper omöjliggör ett varierat arbetssätt med alternativa metoder såsom laborativt arbetssätt och problemlösning i grupp, då det anses alltför betungande och svårt att hantera (Skolverket, 2003).

Det kan finnas olika anledningar till att elever får svårigheter och där-för behöver stöd i skolan. Det kan vara pedagogiska där-förklaringar som där-för stora klasser, outbildade pedagoger eller för få specialpedagoger (Ahlberg, 2001).

3.5.3 Individnivå

Det finns många olika förhållanden som kan orsaka att eleven får svårighe-ter med att utveckla förståelse av begrepp. Har eleven en svag kognitiv ut-veckling får han/hon ofta stora svårigheter i matematik, då det är ett ämne som både kräver omfattande abstraktionsförmåga och koncentrationsför-måga. Neuropsykiatriska problem är ett annat hinder som ger eleven

righeter med koncentration, uppmärksamhet och/eller hyperaktivitet. Ytter-ligare ett hinder för möjligheten att utveckla en god begreppsförståelse är dyskalkyli, specifika matematiksvårigheter (Malmer, 2002). Andra indivi-duella förutsättningar som kan försvåra inlärningen av matematik är brister i perceptionen, hur individen tolkar det han hör och ser liksom den språkli-ga förmåspråkli-gan (Skolutvecklingsenheten, 2003).

Psykologiska orsaker såsom kognitiva funktionsnedsättningar eller koncentrationssvårigheter är exempel på förklaringar till att elever behöver extra stöd i skolan. En annan förklaring kan vara av sociologisk karaktär som t.ex. brister i elevens hemmiljö. Det kan också finnas en medicinsk förklaring såsom hjärnskada eller psykisk funktionsnedsättning (Ahlberg, 2001). För eleven som växer upp under sociala svårigheter kan vardagstill-varon vara oberäknelig, vilket innebär att eleven inte vet hur tillvardagstill-varon ge-staltar sig från en dag till en annan (Rosenberg & Werngren, 2004).

Att språket har en oerhört stor betydelse för begreppsbildning påvisar all aktuell forskning. Språklig kompetens utgör en god grund för all inlär-ning. En elev med ett bristfälligt ordförråd eller en svag språklig med-vetenhet får ofta stora svårigheter med den grundläggande begreppsbild-ningen. Det är i många fall brister i språket som gör att eleven inte kan upp-fatta innehållet i textuppgifterna, även om han/hon behärskar de matema-tiska operationerna (Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004; Rystedt & Trygg, 2005).

De flesta elever tycker att det är roligt att få en lärobok. Det är dock inte självklart att den har en positiv inverkan på elevens lärande och för-hållningssätt till matematik. Läroböckerna kan distansera en elev från den praktiska användningen av matematik och underbygger inte alltid elevens förståelse av matematiska begrepp (NCM, 2000). Det är vanligt att eleven i matematiksvårigheter närmar sig läroboksuppgifter på ett mekaniskt sätt där han/hon bortser från innehållet i texten och inte kopplar det till egna erfarenheter och kunskaper. Det leder till att eleven får svårt att välja lämp-ligt räknesätt (Sterner & Lundberg, 2004). I Lusten att lära - med fokus på

matematik (Skolverket, 2003) påvisas att såväl innehåll, uppläggning som

hur undervisningen organiseras, i påfallande hög grad styrs av läroboken. Elever med svag matematisk förmåga har svårt att hantera information. Många saknar vanliga ord för att uttrycka jämförelser (Malmer, 2002). Det kan också vara så att en elev har förståelsen för ord i sitt passiva ordförråd men inte i det aktiva ordförrådet. Då förstår eleven ord som används men använder dem inte spontant själv (Malmer, 2000). Matematiska muntliga förklaringar och instruktioner, samt kontrasten mellan de precisa matema-tiska orden och deras innebörd och allmänna vardagliga ord kan då bli ett