Det laborativa materialets och arbetssättens
plats i läromedel och undervisning
En kvalitativ studie som undersöker hur laborativt material och arbetssätt framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel, samt hur lärare beskriver att de
undervisar utifrån detta
The place of the laboratory material and working methods in
teaching materials and teaching
A qualitative study that examines how laboratory material and working methods are highlighted and treated in the field of fraction in different teaching materials, and how
teachers describe that they teach based on this
Elin Tarakkamäki och Sanna Jaska
Akademin för utbildning, kultur Handledare: Pernilla Sundqvist och kommunikation
Examinator: Jan Olsson Examensarbete i lärarutbildningen
Avancerad nivå Termin: VT20 År: 2020 15 hp
Akademin för utbildning EXAMENSARBETE kultur och kommunikation Kurskod: MAA017 15 hp
Termin: VT20 År: 2020 SAMMANDRAG
___________________________________________________________________________ Elin Tarakkamäki och Sanna Jaska
Det laborativa materialets och arbetssättens plats i läromedel och undervisning En kvalitativ studie som undersöker hur laborativt material och arbetssätt framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel, samt hur lärare beskriver att de undervisar utifrån detta.
Årtal: 2020 Antal sidor: 27 ___________________________________________________________________________ Studien syftar till att få kunskap om hur laborativt material och arbetssätt framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel. Vidare undersöker vi även hur lärare undervisar laborativt utifrån dessa läromedel. För att samla in data har vi använt oss av metodtriangulering i form av granskning av läromedel och intervjuer. De läromedel som har granskats är Favorit matematik, Eldorado och Prima matematik. För att bredda kunskapen inom området intervjuades lärare som var aktiva användare av dessa läromedlen i sin undervisning. Med hjälp av variationsteorin har vi även analyserat de laborativa inslagen i läromedlen för att se på dess relevans i relation till variationsmönstrena kontrastering och generalisering och därmed hur elevers lärande främjas genom läromedlens föreslagna arbetssätt. Resultatet visar att de tre granskade läromedlen skiljer sig åt samtidigt som de har många likheter. Samtliga läromedel har tagit i beaktning att det laborativa materialet behöver ta plats i undervisningen på ett eller annat sätt. Dessa läromedel ger eleverna möjlighet att utforska med något slags laborativt material. Studiens slutsats blir således att vi kan se att läromedlen, på ett eller annat sätt, bidrar med laborativt material och arbetssätt. Utifrån variationsteorins sätt att se på lärande passar Eldorados laborativa arbetssätt bäst in på de variationsmönster vi granskat.
___________________________________________________________________________ Nyckelord: Laborativt material, laborativt arbetssätt, variationsteorin, generalisering,
School of Education, Culture Course code: MAA017 15 hp and Communication Semester: VT20 Year: 2020
ABSTRACT
___________________________________________________________________________ Elin Tarakkamäki and Sanna Jaska
The place of the laboratory material and working methods in teaching materials and teaching
A qualitative study that examines how laboratory material and working methods are highlighted and treated in the field of fraction in different teaching materials, and how teachers describe that they teach based on this.
Year: 2020 Number of pages: 27 ___________________________________________________________________________ The study aims to gain knowledge about how laboratory material and working methods are highlighted and treated in the field of fraction in different teaching materials, and how teachers describe that they teach based on this. In order to collect data, we have used method triangulation in the form of examination of teaching material and interviews. The teaching materials that have been examined are Favorite Mathematics, Eldorado and Prima Mathematics. To broaden the knowledge in the field, teacher 's who were active users of these teaching materials were interviewed in their teaching. Using the theory of variation, we have also analyzed the laboratory elements in the teaching materials to look at its relevance in relation to the variation patterns of contrast and generalization and thus how pupils' learning is promoted through the proposed teaching methods. The result shows that the three study materials examined differ at the same time as they have many similarities. All teaching materials have taken into account that the laboratory material needs to take place in the teaching in one way or another. These teaching materials allow students to explore with some kind of laboratory material. The study's conclusion thus becomes that we can see that the teaching aids, in one way or another, contribute with laboratory material and working methods. Based on variation theory's approach to learning, Eldorado's laboratory approach fits best with the variation patterns we examined.
___________________________________________________________________________ Keywords: Laboratory material, laboratory method, theory of variation, generalization, categorization, mathematics, fractions, study material review
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 1 1.1 Syfte och frågeställningar ... 2 2. Litteraturgenomgång ... 2 2.1 Styrdokument ... 2 2.2 Laborativt material i undervisningen ... 3 2.3 Läromedel i undervisningen ... 4 2.4 Området bråk ... 5 3. Teori ... 5 3.1 Variationsteorin ... 6 3.1.1 Lärandeobjekt ... 6 3.1.2 Variationsmönster ... 7 4. Metod ... 7 4.1 Urval ... 8 4.2 Metodval ... 8 4.2.1 Granskning av läromedel ... 9 4.2.2 Intervju ... 9 4.2.3 Analysmetod ... 10 4.3 Validitet och reliabilitet ... 11 4.4 Etiska överväganden ... 11 5. Resultat och analys ... 11 5.1 Favorit matematik ... 12 5.1.1 Det laborativa materialets plats i läromedlet ... 12 5.1.2 Hur lärarna anser att de nyttjar läromedlets koppling till det laborativa materialet i bråk 14 5.1.3 Hur lärarna anser att det laborativa materialet bidrar till ett laborativt arbetssätt i bråk .. 14 5.1.4 Det teoretiska ramverkets koppling till läromedlets laborativa material ... 15 5.2 Eldorado ... 16 5.2.1 Det laborativa materialets plats i läromedlet ... 16 5.2.2 Hur lärarna anser att de nyttjar läromedlets koppling till det laborativa materialet ... 17 5.2.3 Hur lärarna anser att det laborativa materialet bidrar till ett laborativt arbetssätt i bråk .. 17 5.2.4 Det teoretiska ramverkets koppling till läromedlets laborativa material ... 18 5.3 Prima matematik ... 18 5.3.1 Det laborativa materialets plats i läromedlet ... 18 5.3.2 Hur lärarna anser att de nyttjar läromedlets koppling till det laborativa materialet ... 20 5.3.3 Hur lärarna anser att det laborativa materialet bidrar till ett laborativt arbetssätt i bråk .. 21 5.3.4 Det teoretiska ramverkets koppling till läromedlets laborativa material ... 21 5.4 Resultatsammanfattning ... 22 5.4.1 Favorit matematik ... 22 5.4.2 Eldorado ... 22 5.4.3 Prima matematik ... 23 6. Diskussion ... 23 6.1 Resultatdiskussion ... 23 6.2 Metoddiskussion ... 26 7. Avslutning ... 27 7.1 Slutsats ... 277.2 Fortsatt forskning ... 27
Referenslista ... 28
Bilaga 1 ... 30
Bilaga 2 ... 31
1. Inledning
Ett av matematikens innehåll enligt det centrala innehållet, i kursplanen för årskurs 1–3, är att eleverna ska få utforska området bråk för att i senare stadie besitta
grundläggande kunskaper om del av helhet och antal och kunna namnge dessa som enkla bråk (Skolverket, 2019). Styrdokumenten lägger även en viss tyngd i att matematikkunskaperna ska kunna förankras och beskrivas utifrån vardagliga
situationer, där eleven ska kunna dra kopplingar mellan matematiken och vardagen. Ett tillvägagångssätt att tillämpa för att konkretisera sin bråkundervisning är att lärare samt elever använder sig av laborativa material. Rystedt och Trygg (2010) definierar laborativt material som något fysiskt och konkret som gör det möjligt för eleverna att ta på, undersöka och hantera. Det är möjligt att dela in laborativa
material i tre kategorier. Den första kategorin är vardagliga föremål som kan kopplas till föremål som används i vardagen, naturen och i arbetslivet. Den andra kategorin representerar pedagogiska material som är specifikt tillverkade och anpassade för just matematikundervisningen. Den tredje och sista kategorin är spel, vilket på senare dagar har blivit en vanligare metod att använda i dagens
matematikundervisning.
D’Angelo och Iliev (2012) beskriver laborativt material som hjälpmedel till
matematikundervisningen och det kan exempelvis vara tiobasmaterial, geobrädor, färgade brickor och unifixkuber. Dessa hjälpmedel är till för att eleverna ska få arbeta konkret med matematiken och få en bättre förståelse för kopplingen mellan det konkreta och abstrakta. D’Angelo och Iliev skriver även om betydelsen av att lärare för yngre åldrar använder sig av laborativt material i matematikundervisningen för att skapa en god matematisk grund hos eleverna. Författarna menar att eleverna ges bättre möjligheter till att förstå matematiken och lösa problem om de får använda sig av laborativt material. Samtidigt menar Malmer (2002) att lärarna lägger sitt största fokus på att eleverna ska hinna med arbetet i läroboken, vilket resulterar i att
matematiken ses som ett kvantitetsarbete där arbetsprocessen med olika medel får mindre fokus.
Skolverkets (2011) utvärdering om tillämpandet av laborativt material i
matematikundervisningen bland lärare visar att det finns svårigheter och okunskap i användandet av materialet. Det laborativa arbetet som gjordes bidrog inte till att lyfta det väsentliga matematiska innehållet utan användes på ett sätt som inte gynnade elevernas tankeprocess och var inte relevant för syftet. Anledningen till detta var att lärare inte hade kunskap om hur det laborativa materialet och arbetssätten skulle användas på rätt sätt. Med fokus på läromedlets betydelse i
matematikundervisningen och tillämpandet av laborativt material är det av intresse för oss att få kunskap om läromedlen bidrar till ett arbete med en så viktig faktor som laborativt material. Det är även av intresse att ta reda på om läromedlen bidrar och stöttar lärare till att använda laborativt material i undervisningen. Vi väljer i detta sammanhang att definiera laborativt material på de tre sätt som Rystedt och Trygg (2010) skriver om, det vill säga vardagliga föremål, pedagogiska föremål och spel. Utifrån erfarenheter från vår respektive verksamhetsförlagda utbildning har vi uppmärksammat betydelsen av användandet av laborativt material i
matematikundervisningen för eleverna. Vi anser att det laborativa materialet är en viktig faktor för att eleverna ska befästa sina kunskaper på ett djupare plan och
kunna förankra skolmatematiken med den vardagliga matematiken, vilket D’Angelo och Iliev (2012) även upplyser oss om. Vi vill därför ta reda på vad tre lärare anser om det laborativa materialet i sin undervisning med koppling till det läromedel
respektive lärare arbetar med.
1.1 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att få kunskap om hur laborativt material och arbetssätt framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel. Vidare undersöker vi även hur lärare undervisar laborativt utifrån dessa läromedel.
Syftet uppnås genom att nedanstående frågeställningar besvaras:
- Vilken plats ges det laborativa materialet och arbetssätten i bråk i läromedlen?
- Hur anser lärarna att de nyttjar läromedlens koppling till det laborativa materialet i bråk?
- Hur anser lärarna att läromedlet bidrar till ett laborativt arbetssätt i bråk?
2. Litteraturgenomgång
I detta kapitel kommer laborativt material, läromedel och området bråk beskrivas utifrån vad forskning, litteratur och styrdokument skriver om detta. Eftersom vårt syfte med studien är att få kunskap om hur laborativt material och arbetssätt
framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel, är det av intresse att se hur dessa områden behandlas. Kapitlet inleds med en presentation av hur
styrdokument framhåller laborativt material, för att senare redogöra för hur forskning och annan litteratur påvisar betydelsen av användning av laborativt
material. Därefter följer en beskrivning över läromedlens roll i undervisningen för att förstå läromedlets betydelse i lärarens undervisning. Med hänsyn till att det är det laborativa materialet inom området bråk vi granskar, utifrån valda läromedel, presenteras även olika aspekter om bråk för att skapa större förståelse för studien.
2.1 Styrdokument
Skolverkets (2019) kapitel om matematik i kursplanen lägger ingen större vikt i att skriva om användandet av laborativt material i undervisningen. I kunskapskraven, som står beskrivna i läroplanen för matematik i årskurs 3, finns begreppet konkret med i två sammanhang som kan kopplas till området bråk och framförs på följande sätt:
Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på̊ ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. (s.61)
Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på̊ ett i huvudsak
fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. (s.62) Detta kan tydas med att eleven likväl kan använda sig av en bild istället för konkret (laborativt) material vid beskrivandet av ett matematiskt begrepp. Däremot agerar
inte kursplanen med syfte till att beskriva för läraren hur hen ska undervisa och lära ut, utan bara vilka krav läraren ska förhålla sig till. Skolverket definierar inte heller vad som menas med konkret material. Laborativt material nämns inte i kursplanen.
2.2 Laborativt material i undervisningen
Till skillnad från Skolverket framhåller D’Angelo och Iliev (2012) laborativt material och menar att det har stor påverkan på elevernas förståelse för det matematiska innehållet. Författarna skriver att lärare använder laborativt material i stor grad med elever i de yngre åldrarna. Effekten av detta blir att eleverna skapar sig en god
matematisk grundförståelse och att lärarna skapar en rik undervisningsmiljö där eleverna uppmanas till att kritiskt granska och lösa problem. Studier menar att om eleverna själva får utforska materialen och komma fram till en lösning på det matematiska problemet är det större sannolikhet att de kommer använda det vid senare problemlösning (Boggan et al, 2010). D’Angelo och Iliev (2012) skriver att matematiken i grunden är abstrakt i form av tal, symboler och ord vilket kan skapa en osäkerhet hos eleverna. Av den anledningen är det viktigt att skapa ett samband mellan ett laborativt material och den abstrakta matematiken för att eleverna ska möta ytterligare en dimension av ämnet. Malmer (2002) och Skolverket (2011) samstämmer med det som D’Angelo och Iliev (2012) skriver om att det laborativa materialet bör sättas in i rätt sammanhang. Malmer uttrycker sig som sådant “ett planlöst plockande med material ger ingen garanti för att eleverna tillägnar sig matematiska begrepp” (s. 33). Vidare menar hon att många lärare ser det som en anledning till att inte använda det laborativa materialet i undervisningen eftersom det bidrar till lek istället för en matematisk förståelse. Det Malmer hävdar är att laborativt material bör sättas in i rätt kontext och fungera som en naturlig process för eleverna.
Boggan et al (2010) menar att det laborativa materialet inom matematik bör användas i alla årskurser för att fortsätta bygga på förståelsen av att matematiken även bygger på en konkret grund. D’ Angelo och Iliev (2012) skriver att laborativt material bör användas i dess rätta sammanhang och bidra till att lösa det
matematiska problemet. Lärarens roll i arbetet med det laborativa materialet är av stor relevans för att det ska hanteras på ett korrekt sätt. En organiserad och god struktur i arbetet med laborativt material krävs för att eleverna ska ta in kunskapen på rätt sätt. Läraren behöver leda arbetet framåt och alltid säkerställa att eleverna förstår syftet med arbetet och ställa utvecklande frågor (Nilsson, 2005). Engvall (2013) skriver däremot i sin studie att elever har olika möjligheter till lärande med hjälp av laborativt material beroende på vilken lärare som undervisar. Sveider (2016) har gjort en studie om hur lärare använder laborativt material i bråkundervisningen. Studien visar på att lärare oftare använder vardagliga föremål som laborativa
material istället för pedagogiska material. Det finns olika tolkningar till den
anledningen, exempelvis för att de vardagliga föremålen är mer lättillgängliga samt att skolan inte köpt in några specialtillverkade laborativa material för just
matematikens olika områden.
Inledningsvis i studien presenterade vi Rystedt och Tryggs (2010) definition av olika kategorier av laborativt material. Den första kategorin stod för vardagliga föremål som går att koppla till det vardagliga livet. Dessa föremål anses ge relevant koppling till omvärlden och är lätt för eleverna att förstå på ett korrekt sätt. Föremålen är konstruerade av människan, vilket gör att det inte krävs lika grundligt arbete för
förståelse för eleverna. Vardagliga föremål kan även kopplas till material som går att finna i naturen, exempelvis ekollon och kastanjer som går att använda som
plockmaterial inom matematiken. Det är dessutom lättare för vårdnadshavare att känna igen detta material och se samband mellan dessa och matematiken, till skillnad från den andra kategorin som är pedagogiska föremål. De pedagogiska föremålen är till större grad anpassade för pedagoger och deras arbete i
matematikundervisningen. De pedagogiska materialen kan riskera att användas på fel sätt om vårdnadshavare ska använda dessa med sina barn. Däremot ska det pedagogiska materialet fungera som ett tydligt och konkret anpassat material för att förklara specificerade matematiska principer, till skillnad från det vardagliga.
De vardagliga föremålen kan innehålla ett visst “störande brus” som författarna uttrycker det, som kan få eleverna att tappa koncentrationen till det matematiska innehållet. Emellertid finns det risk att tillverkarens och elevernas uppfattning av materialet skiljer sig åt och den matematiska grundtanken med materialet kanske inte når fram till eleven. Den tredje kategorin av laborativt material klassas som en modernare metod att använda i nuvarande matematikundervisning. Rystedt och Trygg menar att didaktiker inom matematiken har skilda åsikter om huruvida spel är ett relevant hjälpmedel att tillämpa i undervisningen då vissa anser att spel ger en felaktig och i viss mån negativ bild av matematikämnet. Istället menar andra
didaktiker att spel kan tillföra många positiva faktorer såsom att spelen kan bidra till att eleverna anser att matematikens färdighetsträning är en underhållande och stimulerande process. Kravet för att spelen ska leda till en matematisk inlärning av ett specifikt område är emellertid att spelen används på ett genomtänkt och regelrätt sätt.
2.3 Läromedel i undervisningen
Skolverket (2003) har genomfört en kvalitetsgranskning angående elevers lust att lära och diskuterar i denna rapport bland annat läromedlens roll i skolans
matematikundervisning. Rapporten påvisar att det både finns positiva och negativa förutsättningar med att använda sig av ett läromedel. De lärare som varit aktiva och medvetna i sitt val av läromedel anser att de har fått större kunskap om
tillämpningen av olika arbetssätt inom matematikämnet som bland annat främjar elevernas tänkande och bidrar till kreativa lösningsstrategier. Däremot visar även rapporten att en allt för styrd undervisning utifrån läromedlet kan bidra till att matematiken anses enformig och för abstrakt med begränsad koppling till
verkligheten. Engström, Engvall och Samuelsson (2007) skriver att elever i 10–12 års ålder ofta förlorar sitt intresse för matematik av den anledningen att matematiken blir för abstrakt. Eleverna förlorar kopplingen till att förena matematiken med verkligheten. Malmer (2002) förespråkar att alla elever behöver kombinera det laborativa materialet med arbete i läroboken genom hela sin skolgång men belyser även att materialet skapar en möjlighet till att individanpassa undervisningen till dagens heterogena grupper, där alla elever utvecklas i olika takt. Därför anser författaren att läraren inte bör förutsätta att varje elev ska följa en lärobok i samma takt. Många lärare känner en trygghet till att förlita sig på sitt läromedel av vana och för att läroboksförfattarna anses vara kunniga.
Skolverket (2003) skriver att läromedlen ofta är utformade och grundade efter kursplanens kunskapsmål, vilket känns betryggande för läraren att använda i det sammanhanget. Däremot kan skolans verksamhetsmål stå på bekostnad av detta,
såsom demokrati- och bildningsmål där bland annat en individanpassad
undervisning är ett krav samt elevernas delaktighet i sin egen undervisning. Många lärare diskuterar emellertid olika sätt att komplettera sitt läromedel med andra arbetssätt som kan gynna elevernas kunskapsutveckling. Det skulle bland annat kunna vara att använda sig av laborativa material. Det finns enligt rapporten
tvetydiga åsikter om läromedlen egentligen bidrar till ett för enformigt lärande eller om läromedlen faktiskt bidrar till nytänkande och experimenterande med olika arbetssätt och material.
2.4 Området bråk
Matematik är ett brett ämne uppbyggt med många olika beståndsdelar. En central del i kursplanen för årskurs 1–3 att arbeta med är området bråk där eleverna ska få möjlighet att utforska del av helhet och del av antal och kunna benämna delar som enklare bråk samt kopplingen till naturliga tal. Eleverna ska även ha kunskap om tal i bråkform och kunna se kopplingen till vardagliga situationer (Skolverket, 2019). Elevernas kunskaper inom bråk utgör en god grund för att kunna lösa mer
avancerade matematiska problem i framtiden (Sveider, 2016). Bergius (2011) menar att ämnet bråk förekommer tidigt i ett barns liv i vardagliga situationer, exempelvis om en frukt eller smörgås ska delas på hälften eller i flera delar. I förskolan får barnen fortsätta utforska del av helhet och del av antal i vardagliga situationer. I grundskolan krävs det att eleverna skapar en förståelse för tal i bråkform och Bergius (2011) menar att matematikens kunskapsområden bör fortsätta stimuleras genom laborativa aktiviteter även upp i åldrarna. Genom att arbeta konkret med bråk, såsom laborativa material samt tallinjen, ges eleven möjlighet att diskutera matematik. När eleverna kommer upp till grundskolan har säkerligen flertalet av dem mött ord som tillhör bråk och kan känna igen uttryck som en fjärdedel. Däremot är det vanligt att eleverna inte har förståelse för vad delarna har för innebörd och skillnaden mellan dessa, därav bör läraren betrakta hur eleverna använder bråkuttrycken i olika
sammanhang (Bergius, 2011). Holmberg och Kilhamn (2016) menar att många elever har svårigheter med att uppfatta bråkens storlekar, exempelvis att en fjärdedel är större än en tiondel. Det finns risker med att ha en för abstrakt undervisning i bråk då eleverna lär sig hur beräkningarna går till vid exempelvis addition med bråk, men har egentligen ingen grundläggande förståelse för vad uträkningen står för. Sveider (2016) menar att slutsatsen av olika missuppfattningar som sker inom bråkområdet är att eleverna lär sig memorera procedurerna för att få ett korrekt svar men inte har någon begreppslig förståelse för uträkningar. Det laborativa arbetet är av den
anledningen till stor betydelse för att eleverna ska kunna sätta området bråk i ett vidare och konkret perspektiv.
3. Teori
I följande avsnitt presenteras studiens teoretiska ramverk; variationsteorin.
Variationsteorin är en vetenskaplig teori som har sin grund i den fenomenografiska forskningsansatsen som handlar om lärande. Teorin har sitt fokus på det som eleverna behöver lära, hur lärandet går till och på vilka skilda sätt ett innehåll kan undervisas för att inlärning ska möjliggöras. I beaktning av att syftet med studien är att få kunskap om och hur det laborativa materialet från läromedlen framhålls och behandlas inom området bråk, samt hur lärare beskriver att de undervisar utifrån detta, är det också av intresse att se hur de laborativa inslagen stämmer överens med variationsteorins sätt att se på undervisning och elevernas sätt att lära.
Vi kommer använda variationsteorin till viss del i vår granskning till resultatkapitlet samt diskutera resultatet utifrån teorin i resultatdiskussionen. Vi vill se hur
läromedlets laborativa material och arbetssätt bidrar till att stärka lärandeobjektet, i detta fall området bråk. Vi vill även se hur lärarna ställer sig till hur det laborativa materialet stärker arbetet med lärandeobjektet. Finns det någon koppling mellan det laborativa materialet och lärarens nyttjande av det till elevernas verklighet och förförståelse? Med den frågan granskar vi lärandeobjektets koppling till verkligheten samt elevernas förkunskaper, vilket är en grund inom variationsteorin.
Variationsteorin bygger även på fyra variationsmönster. Vi har valt att ta två av dessa i beaktning för att få en bättre förståelse för vårt syfte. Kontrasteringen är det första mönstret och i de laborativa inslagen. Vi väljer även att titta på generalisering och ser om det laborativa materialet visar på olika tillvägagångssätt och representationer av bråk.
3.1 Variationsteorin
Grunden för variationsteorin ligger i fenomenografin som bygger på hur eleven i detta fall uppfattar ett visst fenomen genom en viss aktivitet. För att dra koppling till vår studie menas det alltså hur en elev i sitt lärande kan uppfatta ett matematiskt innehåll som bråk med hjälp av ett laborativt material och en aktivitet (Marton, 1981). Lo (2014) menar att synen på lärande inom variationsteorin klargör att variation är en nödvändig förutsättning för att eleverna ska kunna urskilja nya aspekter av ett område och för att de ska bli medvetna om att de lär sig något nytt. Genom att variera inlärningssätt skapas även förutsättningar för att samtliga elever ska lära och ta till sig kunskap, med hänsyn till att elever uppfattar, förstår och lär på olika sätt. Cheng och Ho (2008) instämmer i detta och menar att det handlar om att eleverna behöver se en flerdelad syn på ett fenomen för att uppnå en grundförståelse och ett sammanhang för objektet i fråga.
Variationsteorin talar för att lärandet alltid är ett lärande av något, med andra ord har lärandet ett objekt. Ett lärandeobjekt kan enkelt förklaras som en förmåga, en insikt eller ett lärande av ett specifikt ämnesinnehåll som eleven förväntas utveckla genom en lärares undervisning. Vid en lärandesituation formas ett lärandeobjekt, det uppkomna objektet kan göra det möjligt för eleven att uppfatta, förstå och erfara ett begrepp på ett nytt sätt. Lärandeobjektet, som har en central roll för lärandet, lyfts fram och ligger som utgångspunkt i variationsteorin. Ett lärandeobjekt fokuserar på ett objekt som ska läras i början av en lärandeprocess, ett lärandeobjekt är alltså vad som ska läras. När en lärare ska undervisa måste hen skapa sig en klar bild över vad eleverna ska lära och vad hen ska undervisa om. Utgångspunkten för läraren inom variationsteorin är att skaffa sig kunskap om hur eleverna ifråga erfar det
matematiska innehållet (Lo, 2014).
3.1.1 Lärandeobjekt
Vid en undervisningsplanering måste läraren ta hänsyn till förhållandet mellan eleverna och lärandeobjektet och se till de båda aspekterna. Läraren måste skapa sin planering utifrån vad det är eleverna ska lära sig under varje lektion, likväl som hen måste se till vad eleverna ska utveckla för kunskaper i det långa loppet. Inom
får de bland annat lära sig hälften. En fråga man som lärare då kan ställa sig är hur kunskapen om hälften kan hjälpa eleverna att bättre förstå det liv de lever. Hälften kan i ett enkelt exempel kopplas till elevernas vardagliga liv och ett scenario där eleverna själva befinner sig i en affär och behöver räkna ut vad priset blir när det står ”halva priset!” på en produkt. För att möjliggöra kunskapsinlärning hos eleverna måste läraren först ta reda på vilka förkunskaper eleverna redan besitter och vad de behöver lära mer av gällande nya begrepp, samt vad det är för kunskaper eleverna eventuellt kommer lära sig av det nya begreppet.
För att se om lektionsinnehållet är relevant för elevernas lärande måste hänsyn tas till det lärandeobjekt som valts ut. Som lärare måste man låta elevernas tidigare erfarenheter och kunskapsnivåer påverka valet av ett lärandeobjekt, för att
lärandeobjektet ska skapa möjlighet för eleverna att faktiskt lära. Dock är det först när lektionen äger rum som elevernas faktiska lärande kommer yttra sig och vilken uppfattning de har om lärandeobjekt (Lo, 2014).
3.1.2 Variationsmönster
Variationsteorin innefattar olika variationsmönster vilka är; kontrastering, separation, generalisering och fusion. Vi väljer dock att koncentrera oss på två av dessa variationsmönster som vi anser är relevanta för vår studie; kontrastering och generalisering. Dessa två olika mönster ger eleverna möjligheter att urskilja vilka aspekter som är viktiga för inlärning av en särskild kunskap, exempelvis bråk.
Kontrastering innebär att eleven måste se kontraster till det som ska läras, hen måste se en skillnad för att kunna urskilja vilka likheter som finns. Kontrasterna i
lärandeobjektet måste framhävas och för att eleven ska förstå vad en bråkdel är behöver hen se vad en bråkdel inte är. Ett exempel kan då vara att läraren pratar om att dela en cirkel i bråkdelar. Om lärandeobjektet är att eleven ska få möta och utforska hur bråkdelar i en cirkel utformas, behöver eleven också se exempel på vad som inte representerar bråkdelar, det vill säga att läraren demonstrerar att om
delarna är av olika storlek representerar de inte korrekta bråkdelar. Ett annat sätt att visa skillnader är genom laborativt material. För att eleven ska förstå och lära sig vad något är, är det också nödvändigt att hen vet vad det inte är (Lo, 2014).
Generalisering är ett annat begrepp inom variationsteorins mönster. Wernberg (2009) menar att generalisering handlar om att eleven måste få en variation genom att se olika varianter av bråk. Vi återgår till exemplet om cirkeln. För att förstå vad bråkdelarna i en cirkel representerar behöver eleven se andra former att dela upp i samma antal bråkdelar och förklara att bråkdelar i en cirkel och i en rektangel kan se olika ut men de skrivs ut som ett och samma bråktal. De olika bråkdelarna skiljer sig alltså från varandra men trots dess skillnader är de ändå samma bråktal. När eleven förstått detta har hen behärskat förståelseprocessen generalisering (Lo, 2014).
4. Metod
Detta kapitel redovisar tillvägagångssätten vi använt oss av vid insamlingen av data som möjliggjort skapandet av det slutgiltiga resultatet. Kapitlet inleds med en presentation av det urval som vi gjort. Vidare redogör vi för studiens metoder för datainsamling och analys. I avsnittet om metodval väljer vi att presentera de olika datainsamlingsmetoderna vi använt oss av för att senare i kapitlet beskriva
resultatet, de etiska principerna vi haft i åtanke samt studiens validitet och reliabilitet.
4.1 Urval
Vid urvalet av läromedel utgick vi från urvalsprincipen subjektivt urval. Denscombe (2018) talar om subjektivt urval och beskriver principen som att det är när något är medvetet utvalt. I vårt fall gjorde vi medvetna urval av läromedelsböcker med förhoppningar om att de skulle komma att ge oss en rik data att grunda vår studie i. När vi stod inför valet av vilka läromedel vi skulle granska var det av stor vikt att vi valde böcker som var avsedda för årskurs 1–3 samt var aktuella och används ute i verksamheten. Ännu en viktig faktor vi tog hänsyn till var att de läromedel vi skulle granska behandlar området bråk i så stor utsträckning som möjligt för att det skulle vara möjligt för oss att granska böckerna med hänsyn till studiens syfte och
frågeställningar. Tre läromedelsböcker riktade till årskurs 1–3 valdes ut som samtliga behandlar området bråk tillräckligt. För att få tillgång till det material vi behövde, läromedelsböcker samt lärarhandledningar, kontaktade vi de tre förlagen och presenterade vår studie och dess syfte varpå de skickade oss delar av det material vi behövde för att kunna utföra läromedelsgranskningarna. Utöver materialet vi fick från förlagen bidrog de tillfrågade informanterna med det material vi saknade, så som lärarhandledningarna i två av läromedlen samt bilder på olika laborativa material de använder sig av.
Ett bekvämlighetsurval har gjorts när det gäller vilka informanter vi skulle intervjua till studien. Denscombe (2018) beskriver att ett bekvämlighetsurval syftar till vad som är bekvämt eller lätt för forskaren att få tag på eller använda sig av. Efter att vi hade gjort ett urval av läromedel hörde vi oss för vilka vi har i vår omgivning som arbetar med de utvalda läromedelsböckerna och fick då omgående tag i tre
informanter.
4.2 Metodval
För att få ett större djup i studien har vi i enlighet med Patel och Davidsons (2011) framställning valt att grunda studien i två olika metoder, granskning av läromedel och intervjuer. Med hänsyn till studiens frågeställningar; ”vilken plats ges det laborativa materialet i bråk i läromedlen?”, ”hur anser lärarna att de nyttjar läromedlens koppling till det laborativa materialet i bråk?”, ”hur anser lärarna att läromedlet bidrar till ett laborativt arbetssätt i bråk?” och studiens syfte som är att få kunskap om hur laborativt material framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel, samt att vi undersöker hur lärare undervisar utifrån dessa
läromedel, anser vi att metodvalen är relevanta för vår studie. Genom att granska läromedelsböckerna och intervjua lärare med frågor rörande området bråk belyser vi frågeställningarna ur två skilda perspektiv. Granskningarna lägger en grund för intervjuerna, således menar vi att metodvalen kompletterar varandra.
Valet av metoder föll på kvalitativa eftersom frågeställningarna har fokus på att vi ska få kunskap om ett begränsat fenomen (Denscombe, 2018). Det vi granskat är hur laborativt material framhålls och behandlas inom området bråk i läromedlen, vilket i koppling till hur lärare beskriver att de undervisar utifrån detta är studiens syfte. Patel och Davidson (2011) vidhåller att kvalitativa studier kan genomföras och användas på olika sätt, men det som binder dem samman är ambitionen att försöka granska och förstå helheter. Vi har valt att granska läromedel för att skapa oss en
förståelse för och kunskap om hur laborativt material framhålls och behandlas inom området bråk. Frågorna (se under nästa avsnitt, 4.2.1 Granskning av läromedel) vi valt att ställa vid granskningen av våra valda läromedel har skapat underlag och samlat in väsentlig kunskap för att vi ska kunna svara på våra frågeställningar. Patel och Davidson betonar att en kvalitativ studie som baseras på intervjuer kännetecknas av att de frågor som ställs undersöker människors syn på verkligheten.
Intervjufrågorna (se Bilaga 2) som ställs i studien består av öppna frågor som lämnar plats för informanterna att ge svar utifrån sina egna erfarenheter och tankar, vilket vi vill hävda gör intervjuerna kvalitativa.
4.2.1 Granskning av läromedel
Vi ansåg att granskning av läromedel var lämpligt som kvalitativ metod för att vi skulle kunna besvara studiens första frågeställning. Vi valde att ställa frågor till våra läromedel utifrån en förutbestämd struktur som vi ansåg vara lämplig med hänsyn till studiens syfte och första frågeställning; ”vilken plats ges det laborativa materialet i bråk i läromedlen?”. Här tittade vi alltså på hur det laborativa materialet framhålls och behandlas inom området bråk i respektive läromedel. Granskningen utgick från följande frågor:
• Hur presenteras det laborativa materialet och arbetssätten i de olika årskurserna?
• Presenteras det laborativa materialet i elevboken?
• Presenteras det laborativa materialet i lärarhandledningen? • Hur presenteras det laborativa materialet i lärarhandledningen?
• Ger lärarhandledningen några förslag på hur ett laborativt arbete kan utföras? Hur kan detta laborativa arbete i sådana fall kopplas till variationsteorin? Dessa frågor låg således som grund när vi granskade hur böckerna framhåller och behandlar laborativt material i området bråk. Frågorna gav oss kunskap och besvarade studiens första frågeställning.
4.2.2 Intervju
För att göra studien så informationsrik som möjligt valde vi även, utöver
granskningen av läromedel, att följa upp undersökningen med att intervjua lärare som använder sig av de aktuella läromedelsböckerna som vi hade valt ut. Likt vad som nämnts tidigare i studien menar Bryman (2018) i överensstämmelse med Patel och Davidson (2011) att kvalitativ forskning lägger fokus i att undersöka hur
människor uppfattar verkligheten. Genom intervjuerna hade vi som mål att få fram genuina personliga svar från informanterna då vi ville att undersökningen skulle avspegla hur det arbetas med och ses på laborativt material ute i den verkliga
praktiken i verksamheterna. Med det i åtanke valde vi att skapa ett intervjuunderlag grundat på kvalitativa semistrukturerade intervjuer. Det innebär att informanterna skulle besvara öppna frågor som var bestämda av oss redan före intervjuerna skulle äga rum. Tanken var även att det därmed skulle lämnas öppet för vidare diskussion med informanterna med plats för följdfrågor som baserats på det informanterna svarat. Men med rådande omständigheter rörande Covid-19 och pågående pandemi var vi tvungna att tänka om och fick istället utföra intervjuerna via mail- och
Inledningsvis skickade vi ut ett kort och formellt missivbrev (se Bilaga 1) till våra informanter där vi berättade vilka vi är samt delgav information om studien och dess syfte. I missivbrevet presenterades även de etiska principer som vi förhållit oss till i studien. När informanterna gett sitt godkännande att medverka i studien skickade vi ut intervjufrågorna (se Bilaga 2) till dem via mail istället. När vi sedan hade fått in svaren ringde vi upp respektive informant för att samtala om frågorna och höra om de hade några vidare tankar, vi fick då utrymme att ställa följdfrågor till
informanterna vilket gav oss ett mer rikt underlag. Intervjuerna skapade således liknande underlag från samtliga intervjuer, då informanterna besvarade samma frågor samt att samtalen utfördes på samma sätt. Vi valde att kombinera mail- och telefonkontakt av den anledningen att informanterna skulle kunna besvara de
grundläggande intervjufrågorna vid den tidpunkt som det passade deras individuella arbetstider. Detta med hänsyn till att deras scheman var än mer pressade på grund av omständigheter som rör Covid-19. Det var en stor fördel för oss att informanterna därefter godkände att vi kontaktade dem via telefon för ett kortare samtal som gav oss ett vidare perspektiv på intervjuunderlaget samt möjliggjorde att vi kunde ställa anpassade följdfrågor till respektive informant.
4.2.3 Analysmetod
Efter granskningen av de tre valda läromedlen, samt transkriberingen av
intervjuunderlagen, har vi valt att ta ut de delar som känns relevanta för studiens syfte och frågeställningar. Vi valde att koncentrera oss på hur läromedlen framställer det laborativa materialet samt det laborativa arbetet i årskurserna 1–3, vilket även är det vi koncentrerat oss på i resultat- och analyskapitlet. Vi har valt att presentera varje läromedel för sig och kategorisera dessa utifrån våra frågeställningar, detta för att skapa struktur i resultatet. När vi strukturerat upp vår läromedelsgranskning har vi koncentrerat oss på vår första frågeställning “vilken plats ges det laborativa
materialet i bråk i läromedlen?” och därefter skapat underrubriker som koncentrerar sig på läromedlets olika delar; såsom elevboken och lärarhandledningen. I vår
läromedelsgranskning har vi börjat med att granska hur det laborativa materialet tar plats i elevboken i årskurs 1–3 och därefter granskat lärarhandledningen i varje årskurs och sett till vilka laborativa material och laborativa arbetssätt läraren
uppmanas och inspireras till att använda. Detta representerar den första kategorin i vår analysdel.
Fortsättningsvis har vi sammanställt informanternas svar på intervjuerna och kategoriserat dessa utifrån våra två andra frågeställningar; “hur anser lärarna att de nyttjar läromedlens koppling till det laborativa materialet i bråk?” och “hur anser lärarna att läromedlet bidrar till ett laborativt arbetssätt i bråk?”. Utöver vår läromedelsgranskning och intervjuunderlaget har vi även använt oss av variationsteorins lärandeobjekt och olika variationsmönster för att kunna få ytterligare fördjupning till studiens syfte och frågeställningar. Vi har granskat alla laborativa inslag som läromedlet uppmanar lärare och elev att tillämpa och satt dessa i relation till de två variationsmönstren vi valt att koncentrera oss på. Exempelvis har vi granskat en laborativ uppgift i en av lärarhandledningarna och undersökt om den har någon koppling till kontrastering och generalisering. På så vis har vi använt oss av variationsteorin som ett medel till att få djupare kunskap om hur de laborativa materialen och arbetssätten har en relevans och hur de var utformade i förhållande till teorins sätt att se på lärande.
4.3 Validitet och reliabilitet
För att upprätthålla ett precist resultat och trovärdighet i studien har vi tagit hänsyn till att låta validitet och reliabilitet genomsyra hela studien. Tivenius (2015)
framskriver att validitet står för att man tillämpar en eller flera
datainsamlingsmetoder som passar för att mäta det som faktiskt ska mätas. Validitet handlar alltså om att man mäter det som är relevant för studien. Vi har grundat studien i en metodtriangulering i form av två datainsamlingsmetoder, granskning av läromedel och intervjuer. Under framskrivningen av studien har vi genomgående återkopplat till dess syfte och frågeställningar vilket har lett till att vi har varit
konsekventa med att undersöka det som är aktuellt och relevant för studien och inget därutöver.
Bryman (2018) menar att reliabiliteten i en kvalitativ studie handlar om hur data samlats in samt hur man gått tillväga när man bearbetat den, reliabilitet mäter alltså studiens tillförlitlighet. Vi är medvetna om att läromedlen bidrar med en digital plattform, vilket är något vi inte granskat i vår studie och har på så vis ingen kunskap om det laborativa tar någon plats där. Vi ansåg det mest relevant att granska
elevboken och lärarhandledningarna eftersom vi, grundat på våra egna erfarenheter, sett att det är materialet som används mest i skolorna. Studiens reliabilitet ökade då vi bearbetade insamlad data från intervjuunderlagen samma dag som vi fick dem skickade till oss. Baserat på den analys vi gjorde på dessa intervjusvar skapade vi vidare följdfrågor till respektive informant. Samtalen för vidare följdfrågor skedde dagen efter vi fick in de besvarade intervjufrågorna och denna data bearbetades och transkriberades då direkt. Metodtrianguleringen bidrog till ett mer träffsäkert resultat vilket i sin tur ledde till en högre reliabilitet för studien. Till följd av att studien inkluderade ett litet antal informanter kan man ifrågasätta dess
generaliserbarhet. Forskningsbakgrunden har använts för att bekräfta de områden som identifierats som kritiska och har därmed vägt upp studiens generaliserbarhet.
4.4 Etiska överväganden
Bryman (2018) omnämner vikten av att man tar hänsyn till de fyra forskningsetiska principerna: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet, vilket även går att utläsa i det Vetenskapsrådet (2017) framskriver. Genom det missivbrev (se Bilaga 1) som gick ut till informanterna blev de
informerade om och fick ta del av de etiska förhållanden vi förhållit oss till i studien. I missivbrevet framgick det även en presentation av studiens syfte och mål. Vid bearbetningen av vår studie har vi tagit vårt ansvar och sett till dessa principer och låtit dem genomsyra studien och arbetet som ligger bakom den. Med varsamhet har vi behandlat den information som redovisas och skyddat informanterna genom fingerade namn för att det inte ska vara möjligt för någon utomstående att identifiera dem. Inga krav har ställts på informanterna rörande att de varit tvungna att delta vid intervjuerna eller svara på frågorna, informanterna har således alltså deltagit frivilligt och själva valt vad de ska svara på frågorna. Informanterna har fått kännedom om att de, när de vill, kan avbryta sin medverkan i studien utan några negativa konsekvenser som påföljd. Slutligen kommer informanterna även delges studiens färdiga resultat.
5. Resultat och analys
I detta kapitel presenterar vi det resultat vi fått fram från granskning av läromedel samt informanternas svar på intervjufrågorna. Vårt syfte med denna studie är att få
kunskap om hur laborativt material och arbetssätt framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel. Vidare undersöker vi även hur lärare undervisar laborativt utifrån dessa läromedel. Vi har valt att fokusera på tre kategorier som även kan kopplas till vårt syfte och våra frågeställningar; hur lärarna anser att de nyttjar läromedlets koppling till det laborativa materialet i bråk, hur lärarna anser att det laborativa materialet bidrar till ett laborativt arbetssätt i bråk samt det teoretiska ramverkets koppling till läromedlets laborativa material.
Vi kommer först och främst börja vårt resultat- och analyskapitel med att presentera varje läromedel för sig, utifrån studiens frågeställningar. Vi har granskat Favorit matematik, Eldorado och Prima och i denna ordning kommer presentationen ske. Respektive läromedels upplägg beskrivs kortfattat under rubriken till varje
läromedel. Efter vår granskning av läromedlen samt informanternas svar på våra intervjufrågor angående respektive läromedel, ansåg vi att de tidigare nämnda kategorierna var relevanta att granska för att nå vårt syfte med studien. För att strukturera upp den första kategorin har vi valt att presentera hur det laborativa materialet framställs i Elevboken och Lärarhandledningen med hjälp av vår egen granskning av läromedlen. Elevboken och Lärarhandledningen kommer skrivas ut som underkategorier till den första kategorin. Därefter syftar våra intervjuer, med respektive informant, att ligga till grund för de två resterande kategorierna.
Resultatet gör det även möjligt för oss att koppla det till vårt teoretiska ramverk och vi kommer presentera vårt resultat med koppling till variationsteorin senare i studien. Alla rubriker för kategorier och avsnitt kommer upprepas tre gånger då vi granskar tre olika läromedel.
5.1 Favorit matematik
Elevernas läroböcker i Favorit matematik är konstruerade med fem kapitel, där de i varje kapitel fokuserar på fyra områden inom matematiken. För varje årskurs finns två läroböcker som eleverna kan arbeta i, varav en innehåller området bråk. I varje kapitel finns även favoritsidor som lärarhandledningens introduktion presenterar som laborativa sidor. Favoritsidorna är till för att eleverna ska lära sig matematik med hjälp av lekar, spel och laborativt material. Vi har valt att granska elevböckerna och lärarhandledningen, samt det laborativa material och inslag som tillkommer. Läromedlet i Favorit matematik skickar med laborativt material i form av bland annat tallinje, bråkcirklar, trianglar och talkort. Om läraren väljer att använda Favorit matematik som läromedel i sin undervisning får de i sådana fall ta del av ämnesanpassade laborativa material.
5.1.1 Det laborativa materialets plats i läromedlet
I elevboken för årskurs 1 fokuserar läromedlet på de matematiska begreppen dubbelt och hälften inom området bråk. Favoritsidorna, som enligt
lärarhandledningen anses vara de laborativa sidorna, tar inte upp området alls. I elevboken för årskurs 2 tar läromedlet upp tal i bråkform och arbetar med del av helhet och del av antal. Det tillkommer även sidor av repetition från kapitlet om bråk i form av Öva-sidor, Sallys hinderbana och Vad har jag lärt mig där området bråk tar stor plats. Elevboken i årskurs 3 har ett helt kapitel kopplat till bråk som
innefattar mer fördjupade kunskaper för del av helhet, del av antal samt addition och subtraktion med bråktal.
Vi kan se ungefär samma omfattning laborativa inslag i alla årskurser men med olika mängd beroende på hur stort området bråk är. I årskurs 1 uppmanas inte eleverna, med hjälp av deras elevbok, att använda något laborativt material i bråk. Ingen räkneuppgift är kopplad till något laborativt material. I elevboken i årskurs 2 uppmanas eleverna, efter lektionen om bråk, att arbeta med Favoritsidor. Där presenteras en laborativ aktivitet med hjälp av det laborativa materialet. Eleverna inspireras att använda sig av och utforska bråkcirklarna för att utföra aktiviteten, som handlar om att dela upp abstrakta versioner av tårtor. I elevboken i årskurs 3 läggs som tidigare nämnt störst vikt vid området bråk. Det finns ett högt antal sidor som är kopplade till området som eleverna kan arbeta med. Två av dessa sidor uppmanar eleverna till att använda det laborativa materialet, vilket är på de två favoritsidorna som finns i slutet av kapitlet. Favoritsidorna består i detta fall av två spel där det ena spelet kräver en tärning där varje elev ska flytta en pjäs på en spelplan medan det andra spelet kräver bråkcirklarna från det laborativa materialet där eleverna ska lyckas hitta rätt bråkdel till sin cirkel.
I lärarhandledningarna för Favorit matematik i årskurs 1–3 uppmanas lärarna i varje kapitel att använda något slags laborativt material. Eleverna i årskurs 1 kan möta det laborativa materialet som tillkommer med läromedlet om läraren väljer att involvera det i undervisningen. I lärarhandledningen uppmanas läraren att använda det laborativa materialet i undervisningen i form av att arbeta med bråkcirklarna på tavlan. Det laborativa materialet presenteras i form av laborativa aktiviteter att tillämpa i klassrummet. Lärarhandledningen ger tips om att skapa lärofyllda aktiviteter med hjälp av talkort, pengar och tärningar som ges som förslag. Den laborativa aktiviteten med talkort syftar däremot inte till något inom området bråk, utan snarare addition. I aktiviteten med pengar som laborativt material uppmanas läraren fråga hur mycket dubbelt blir av den summa pengar eleven har. Tärningar som laborativt material är inget som tillkommer med läromedlet, utan det är något skolan måste införskaffa på annat vis om den laborativa aktiviteten ska gå att
tillämpa. Det medföljer även en tallinje från 1–20 i det laborativa materialet men det är ingenting som läromedlet ger tips på att använda i området bråk i någon av
årskurserna.
Lärarhandledningen för årskurs 2 förespråkar likt tidigare årskurs att läraren använder sig av det laborativa materialet i undervisningen. Av det medföljande laborativa materialet som läromedlet bidrar med förespråkar de endast att i området bråk använda sig av bråkcirklarna som finns i form av halvor, tredjedelar, fjärdedelar och sjättedelar. Däremot ger lärarhandledningen många konkreta tips på laborativa aktiviteter med hjälp av annat material som inte medföljer läromedlet, så som idrottsaktiviteter med ärtpåsar och spel där de kan använda sig av klossar, papper och tärningar. Lärarhandledningen presenterar, vid varje lektion, förslag på en möjlig arbetsgång. Där väljer läromedlet i årskurs 2 att uppmana läraren att använda ett kvadratformat pappersark som eleverna ska vika, för att undersöka hur många delar pappret går att vika och på så sätt introducera begrepp som halv och fjärdedel. Det finns även extra kopieringsunderlag att tillgå som går att tolka som laborativa
material, exempelvis memory och “tårtor”. Lärarhandledningen för årskurs 2 ger i det stora hela många konkreta tips på laborativa aktiviteter att tillämpa i sin
undervisning i bråk med hjälp av de medföljande bråkcirklarna samt andra laborativa material som däremot inte tillkommer med läromedlet. Lärarhandledningen är som sagt organiserad utifrån varje lektion med tips på arbetsgång och olika metoder att använda utifrån varje lektion.
På den första lektionen kopplad till området bråk informerar läromedlet i årskurs 3 om att många elever skapar en snabb förståelse för bråktal medan andra kommer behöva arbeta med konkreta övningar för att förstå begreppen. På så sätt informerar läromedlet att konkret undervisning är av betydelse, men det går även att tolka av den texten att det endast är nödvändigt att laborativt material bör användas för de “svaga” eleverna. De skriver däremot även i senare kapitel att alla elever behöver många synintryck av området bråk och att läraren kan ta hjälp av cirklar, rektanglar och tallinjer att arbeta med för att förbättra förståelsen för bråk hos eleverna.
Lärarhandledningen uppmanar läraren att använda sig av det laborativa materialet i form av bråkcirklar på sju av tio lektioner. Utöver de laborativa aktiviteterna med bråkcirklarna som tillkommer läromedlet ges många förslag på aktiviteter med hjälp av annat material eller kopieringsunderlag. Det ges exempel på aktiviteter där läraren kan förklara bråk genom att eleverna själva ska delas i antal. Dessutom finns det tips på exempelvis domino, bingo, lekar, spel och aktiviteter med talkort, papper och pengar att tillämpa.
5.1.2 Hur lärarna anser att de nyttjar läromedlets koppling till det laborativa
materialet i bråk
Vi har intervjuat en lärare som arbetat med Favorit matematik i samtliga årskurser 1–3. Vi kommer kalla informanten för Lärare 1 senare i resultatdiskussionen. Läraren startar med att berätta att alla elever tillges ett kuvert innehållande laborativt
material som går att koppla till matematiken. De material hen anser är kopplade till området bråk är bråkcirklarna som är uppdelade i halvor, tredjedelar, fjärdedelar, femtedelar, sjättedelar och åttondelar. Läraren ser positivt på hur bråkcirklarna är uppbyggda med olika färger för att tydliggöra och skapa skillnader mellan dem. Materialet är relevant och användbart men det är ändå inget som läraren använt i just bråkundervisningen. Läraren menar att det inte är något som prioriterats i undervisningen. Hen har inte prioriterat det laborativa materialet i bråk på grund av att genomgångar och elevboken med räkneuppgifter som är kopplade till
genomgången legat i framkant. Lärarens prioritering handlar inte om att hen anser att materialet är av dålig kvalité eller är oanvändbart, utan läraren påpekar att hen anser att det inte hinns med i den tidsplan de har för matematikundervisningen. Läraren är dock öppen och erkänner att det handlar om hur hen själv prioriterar innehållet och har av den anledningen åsidosatt det laborativa materialet. Vidare berättar läraren att hen önskar att läromedlet hade bidragit med bråkcirklar med magneter att fästa på tavlan för att använda vid genomgångar.
5.1.3 Hur lärarna anser att det laborativa materialet bidrar till ett laborativt
arbetssätt i bråk
Läraren berättar att det till varje lektion finns en tänkt arbetsgång som
lärarhandledningen uppmanar läraren att följa. I den föreslagna arbetsgången medföljer det en aktivitet som eleverna kan utöva och då använda sig av det
laborativa materialet. Det gör det enkelt för hen som lärare att genomföra en aktivitet om hen anser att det är nödvändigt. Läraren anser att den lätta tillgången till tips gör att hen blir inspirerad till att använda sig av laborativt material. Emellertid är det något som ofta blir åsidosatt som vi tidigare nämnde. Läraren anser att det beror på att det enskilda arbetet i elevboken bidrar till ett lugnt klimat i klassrummet där hen har tid att gå runt och hjälpa eleverna. Arbetet med det laborativa materialet kan i många fall upplevas ”stökigt” menar läraren. En del elever har svårt att släppas friare
med att exempelvis spela spel eller genomföra en aktivitet med det laborativa
materialet. Däremot berättar läraren att hen använt det andra medföljande laborativa materialet i större grad i andra områden i matematiken. Hen har utnyttjat klockan, tallinjen, pengar och hundrarutan i andra områden. Läraren berättar att hen använde det laborativa materialet i bråk i större utsträckning i årskurs 1 mot vad hen i nuläget gör i årskurs 3. Läraren menar att eleverna fått matematiken mer automatiserad desto högre upp i åldern eleverna kommer och har inte samma behov av det laborativa. Läraren anser att det ges många relevanta förslag på aktiviteter att
genomföra, vissa svårare än andra att utföra, exempelvis gympapass som är kopplade till området. Aktiviteterna uppskattas av eleverna när de väl tillämpas och läraren berättar att hen har som mål att försöka involvera det laborativa materialet i större utsträckning än vad hen gör idag.
5.1.4 Det teoretiska ramverkets koppling till läromedlets laborativa material
Trots att läraren inte använt sig av det laborativa materialet i så stor utsträckning inom området bråk anser hen att användandet av laborativt material bidrar till
djupare förståelse hos eleverna, vilket i sin tur stärker lärandeobjektet. Det laborativa materialet som tillkommer Favorit matematik är som tidigare nämnts bråkcirklar i olika färger. Många av de laborativa aktiviteterna och spelen kopplade till
bråkcirklarna benämner delarna som tårtbitar och försöker på så sätt skapa ett sammanhang till verkligheten och en möjlighet att se på ett fenomen ur den synvinkeln. Kopieringsunderlaget bidrar även med ett spel där alla bråkcirklar är ritade som konkreta tårtor. Eleven kan på så vis dra paralleller till verkligheten, sina förkunskaper och lärandeobjektet. Eleven ges möjlighet att se bråk, som är
fenomenet, på en rad olika sätt och representationer i form av pengar, talkort, bråkcirklar, domino, memory, vikta papper, ärtpåsar, klossar, tärningar och aktiviteter där eleverna delas upp i antal.
Med vår granskning ansåg vi det svårt att se hur det laborativa materialet och
aktiviteterna i sig påvisade någon form av kontrastering. Det skulle i sådana fall vara om läraren på egen hand bygger vidare på de olika laborativa aktiviteter och material som läromedlet bidrar med, exempelvis utformar bråkcirklar som inte är korrekt delade eller jämföra en halv cirkel med en tredjedel för att visa en kontrast. Det är däremot inget laborativt arbetssätt som konkret föreslås i lärarhandledningen. Det laborativa inslag i läromedlet som vi till viss del kunde koppla till kontrastering var memoryspelet, som medföljer i kopieringsunderlaget. Genom memory får eleverna uppleva och utforska olika bråkdelar och se samband och skillnader. Eleverna behöver kunna se vad skillnaden är mellan en fjärdedel och en tredjedel för att para ihop rätt memorykort.
I detta fall handlar generalisering om att visa olika representationer av ett och samma bråktal. Exempelvis att en fjärdedel ser olika ut om man delar det i cirklar eller kvadrater. Det medföljande laborativa materialet är endast cirklar och visar på ett enformigt sätt att använda sig av bråktal, även om cirklarna finns i bland annat halvor, fjärdedelar och sjättedelar. Majoriteten av laborativa övningar kopplat till det medföljande materialet i Favorit matematik handlar om bråkcirklarna. Däremot finns det kopieringsunderlag med tiondelar och hundradelar som inte är formade som cirklar och även förslag på lekar där eleverna själva får agera bråkdel.
5.2 Eldorado
I läromedlet Eldorado finns det i huvudsak två grundböcker till varje årskurs som representerar elevboken. Varje elevbok består av sex kapitel och varje kapitel består av två-fyra områden. Inför varje nytt område finns det en uppgift i grundboken som kallas Undersök, som ger utrymme för laborativt arbete. Vi har valt att granska elevboken och lärarhandledningen med dess laborativa material och inslag.
Eldorados läromedel bidrar inte med något laborativt material, det vill säga att det inte ingår något material vid inköpet.
5.2.1 Det laborativa materialets plats i läromedlet
Elevboken, som i detta läromedel kallas för grundboken, tar upp dubbelt och hälften i årskurs 1. Den första sidan på kapitlet om dubbelt består utav Undersök-uppgifter, vilka uppmanar eleverna att konkret använda sig av loppor och att laborativt arbeta med dessa för att utforska dubbelt och hälften. Därefter ska de dokumentera i boken vad de kommit fram till. Det som framkommer av undersök-sidan om hälften i elevboken så ska eleverna däremot endast rita i boken. I årskurs 2 utvecklar eleverna sina kunskaper med att arbeta med del av helhet och del av antal och utforskar täljare och nämnare. Även i årskurs 2 startar varje kapitel med
Undersök-uppgifter. Dessa uppgifter kräver material från arbetsblad som tillkommer läromedlet. Vad som kan klassas som något visst laborativt material är då papper som de antingen ritar på eller klipper ut remsor ifrån som ska representera bråktal. Om eleverna bara hade haft elevboken och ingen lärare som var förberedd inför uppgiften så skulle större delen av uppgifterna inte gå att lösa. I årskurs 3 fortsätter Undersök-uppgifterna vid varje nytt kapitel likt tidigare årskurser. Eleven
uppmuntras att använda sig av plockmaterial i form av loppor när hen ska utforska del av antal. I den andra undersök-uppgiften rekommenderas eleven att använda en talkedja för att utforska bråk som del av helhet. Talkedjan finns att hämta som kopieringsunderlag för läraren och är inget som eleven själv kan ha tillgång till. För att sammanfatta elevböckerna för läromedlet Eldorado så uppmanas eleverna att arbeta undersökande i början av varje kapitel, med hjälp av antingen loppor eller kopieringsunderlag som läraren bör förbereda. I vissa av fallen krävs det endast att i bildform visa sina kunskaper i Undersök-uppgifterna.
Inför arbetet med bråk i samtliga årskurser framför läromedlet i
lärarhandledningen att bråk är ett område som kräver mycket konkret arbete. De skriver att elever i högre årskurser inte fått samma möjlighet att arbeta med konkret material och på så sätt inte skapat förståelse för begreppen i bråk. Av den
anledningen är det viktigt att läraren tillämpar laborativa arbetssätt i alla årskurser. Lärarhandledningen i årskurs 1 uppmanar läraren att alltid starta med en
introduktion före eleverna börjar arbeta med Undersök-uppgifterna i elevboken. I introduktionen till kapitlet om hälften uppmanas läraren att experimentera med eleverna och utforska hur de kan dela på hälften på olika sätt. Till hjälp behöver de olika former gjorda av papper, som går att hämta från kopieringsunderlaget. En aktivitet som föreslås är även att dela upp eleverna i två lag för att utforska om antalet elever går att dela på hälften. Det laborativa materialet som framskrivs i lärarhandledningen att använda i undervisningen är färgade papper och loppor, som kan räknas som ett plockmaterial. Lärarhandledningen nämns även ett spel som kallas för dubbelt och hälften som finns i läxboken, det ligger under rubriken för material att arbeta vidare med. Även i kapitlet om dubbelt uppmanas elever och lärare att använda sig av loppor i undervisningen.
Läraren för årskurs 2 uppmanas genom lärarhandledningen att arbeta med
Undersök-uppgifterna i elevboken där det krävs material från kopieringsunderlaget. Därefter ger lärarhandledning tips om att spela Bråkspelet där eleverna övar på förståelsen för bråktal. Spelet kräver en tärning och loppor i två olika färger. Vidare i lärarhandledningen ges ytterligare förslag om vissa laborativa och undersökande uppgifter som endast kräver papper och sax för att klippa eller vika bråkdelar. Vid ett tillfälle nämner lärarhandledningen att eleverna ska beskriva olika bråk utifrån tallinjen. Tallinjen är däremot inget som medföljer läromedlet i konkret form utan finns att se på den digitala plattformen som läraren har tillgång till. Fortsättningsvis finns det en ruta att läsa och ta stöd ifrån i lärarhandledningen, om det visar sig att eleverna inte förstår det matematiska området de arbetar med. Där står det att läraren ska låta eleverna arbeta konkret med material som cirkelsektorer. De skriver att cirkelsektorer är ett färdigt material som går att köpa extra och på så vis är det inte ett material som medföljer grundpaketet för läromedlet.
Lärarhandledningen för årskurs 3 skiljer sig inte något specifikt innehållsmässigt från årskurs 2. Läraren uppmanas att använda sig av loppor eller kopieringsunderlag i sin undervisning i samband med undersök-uppgifterna. I huvudsak beskriver lärarhandledningen att läraren ska visa på tavlan hur olika bråk kan se ut.
Exempelvis ska läraren “visa” med tiokronor hur de kan delas upp, men det finns inget laborativt material att tillgå i form av kronor, så då förutsätter vi att läraren ska rita upp detta på tavlan. I slutet av kapitlet tipsar de även om ett Bråkspel som de kan spela i skolan innan det skickas hem som läxa, till detta spel krävs gem. Vidare ges inga mer förslag på laborativa aktiviteter att tillämpa med hjälp av laborativt material.
5.2.2 Hur lärarna anser att de nyttjar läromedlets koppling till det laborativa
materialet
Vi har intervjuat en lärare som arbetat med Eldorado i samtliga årskurser 1–3. Vi kommer kalla informanten för Lärare 2 senare i resultatdiskussionen. Läraren berättar att hen arbetar mycket med laborativa material i undervisningen inom
området bråk. Hen beskriver det laborativa material som ges som förslag i läromedlet som simpelt och berättar att det kan bestå av att vika och dela på papper eller att dela upp plockisar (loppor som lärarhandledningen benämner det) i olika högar. Läraren anser att de fungerar bra och använder läromedlets koppling till de laborativa
arbetssätten i alla årskurser. Läraren använder det laborativa materialet främst vid genomgångar och i samband med Undersök-uppgifterna. Däremot anser läraren att fler tips skulle kunna ges för att variera undervisningssätten.
5.2.3 Hur lärarna anser att det laborativa materialet bidrar till ett laborativt
arbetssätt i bråk
Läraren beskriver att det ges förslag från lärarhandledningen om olika laborativa aktiviteter, även om hen skulle önskat mer varierande sådana. Hen anser dock att de förslag som ges är relevanta och enkla att utföra. Det finns tips om spel och övningar att tillämpa men det är inte något läraren lägger sin undervisningstid på eftersom det känns alldeles för tidskrävande. Förutom de förslag som ges skulle läraren önska fler enkla aktiviteter att utföra som är bättre kopplade till en verklighetsuppfattning. Läraren skulle vilja att lärarhandledningen kunde tipsa om att involvera bråk i
vardagen i skolan, exempelvis vid fruktstunder, vilket är ett tillfälle då hen själv använder sig av begreppen inom bråk.
5.2.4 Det teoretiska ramverkets koppling till läromedlets laborativa material
Av den granskning vi gjort medföljer inget utbud av laborativt material till Eldorados läromedel. Däremot ges det förslag på laborativa arbetssätt med hjälp av annat material, såsom loppor och papper. I huvudsak är alla laborativa material och aktiviteter i läromedlet uppbyggt av samma material. Variationsteorin handlar om hur en elev upplever ett visst fenomen i en lärandesituation. Det betyder att det finns olika sätt att tolka och förstå ett fenomen beroende på hur det presenteras.
Fenomenet bråk blir med hjälp av det laborativa materialet och arbetssätten i detta fall presenterat och öppet för tolkningsutrymme med olika former av papper, uppdelning av loppor samt en aktivitet där eleverna delas i antal.
I lärarhandledningen ges ett tips på en laborativ aktivitet med hjälp av vikta pappersformer eller annat material. Eleverna ska med hjälp av de olika delade formerna bestämma vad som är delat på hälften och vad som inte är det. Vissa av formerna är delade men inte på hälften, vilket ger eleverna en kontrast till det riktiga fenomenet, här kommer alltså kontrastering in.
I lärarhandledningen för kapitlet om hälften möter vi en viss generalisering i en av de laborativa uppgifterna. Uppgiften går ut på att eleverna får experimentera och utforska hälften genom att med olika former dela något på hälften. Läraren kan då låta eleverna dela rektanglar, cirklar och andra former som tillkommer med
kopieringsunderlaget. På detta vis blir lärandeobjektet utforskandet av hälften och eleverna får se olika representationer av fenomenet.
5.3 Prima matematik
Läromedlet Prima matematik består i huvudsak av två elevböcker i varje årskurs. En bok omfattar fem kapitel som berör fem områden inom matematiken. Varje kapitel i läromedlet inleds med Mattelabbet som består av laborativt arbete där eleverna får undersöka, prova, kommunicera och utveckla sina förmågor med hjälp av laborativt material. Vi har valt att granska de elevböcker och lärarhandledningar som ligger till grund för Prima matematik. Vid köp av läromedlet tillkommer det inget laborativt material, alltså är tanken att läraren ska tillgodose eleverna med detta utifrån de förslag som framkommer i böckerna.
5.3.1 Det laborativa materialets plats i läromedlet
I området bråk i årskurs 1 tar elevboken upp ett kapitel som behandlar begreppen hälften och dubbelt. Mattelabbet, som byggs av laborativt arbete, består här av att eleverna ska ta upp en liten näve pastaskruvar från en burk och lägga dessa i en hög på bordet, för att sedan ta upp lika många pastaskruvar till och lägga i en hög
bredvid. Det laborativa arbetet går alltså ut på att eleverna ska öva på begreppet dubbelt med hjälp av det laborativa materialet som här skrivs fram som ett exempel av en tecknad bild på pastaskruvar. När eleverna har lagt sina högar med
pastaskruvar på bordet ska de sedan rita av hur deras egna pastaskruvar ligger samt hur en kompis pastaskruvar ligger. Som avslutning ska eleverna i par diskutera hur de vet att det är dubbelt så många. Vidare i kapitlet följer sidor som behandlar området bråk där eleverna enbart ska besvara uppgifterna skriftligt.
