Subtraktion av tvåsiffriga tal: strategier ochuttrycksformer hos elever i åk 2 och 3

Examensarbete för Grundlärarexamen

Inriktning F-3

Avancerad nivå

Subtraktion av tvåsiffriga tal: strategier och

uttrycksformer hos elever i åk 2 och 3

Författare: Anneli Laak Handledare: Helén Sterner Examinator: Jan Olsson

Ämne/huvudområde: Pedagogiskt arbete/Matematik Kurskod: PG3037

Poäng: 15hp

Examinationsdatum: 2018-01-10

Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA. Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet.

Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet.

Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access.

Jag/vi medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):

Ja Nej

Abstrakt:

Syftet med studien var att skapa kunskap om elevers subtraktionsstrategier vid tvåsiffriga tal. Studien bestod av elevers lösning av skriftliga subtraktionsuppgifter, skriftlig redovisning av sina subtraktionsstrategier samt elevintervjuerna, Studien genomfördes i åk 2 och åk 3 på två olika skolor. Studien visade att de flesta av deltagare inte hade utvecklat sin taluppfattning så långt för att de skulle behärska mera avancerade subtraktionsstrategier samt att växla mellan olika subtraktionsstrategier. I de fall flexibel användning av subtraktionsstrategier förekom visade det sig inte ha koppling till egenskaper hos talen. Skillnader mellan skolor och individuella skillnader mellan eleverna gällande val av subtraktionsstrategier och på vilket sätt de uttrycktes var stora. Den skriftliga uttrycksformen passade inte för många elever i årskurs 2. För att kunna använda avancerade subtraktionsstrategier krävs en utvecklad taluppfattning samt att eleverna undervisats om de mest effektiva subtraktionsstrategier. Förmågan att uttrycka sina matematiska tankar med hjälp av olika uttrycksformer är individuell och den behöver tränas.

Nyckelord: subtraktionsstrategier, uttrycksformer, F-3, matematiskt tänkande

Innehåll

1. Inledning ... 5

2. Syfte och frågeställningar ... 6

3. Bakgrund ... 6

3.1 Begrepp ... 6

3.2 Taluppfattning ... 7

3.3 Subtraktion... 8

3.4 Effektiva strategier ... 8

3.4.1 De tidiga subtraktionsstrategierna: att räkna antal och att räkna baklänges ... 9

3.4.2 Den mentala algoritmen ... 9

3.4.3 Den skriftliga vertikala algoritmen ... 9

3.4.4 Talsortvis beräkning och stegvis beräkning ... 9

3.4.5 Kompensationsberäkningar och additionsstrategi ... 10

3.5 Möjliga anledningar till elevers val av subtraktionsstrategier ... 11

3.6 Elevers flexibilitet vid användning av subtraktionsstrategier ... 11

3.7 Olika uttrycksformer ... 12

4. Metod... 13

4.1 Validitet och reliabilitet ... 13

4.2 Experiment med subtraktionsuppgifter... 14

4.3 Barnintervjuer ... 15 4.4 Urval av deltagare ... 16 4.5 De etiska aspekterna... 16 4.6 Genomförande ... 17 4.6.1 Pilotstudie ... 17 4.6.2 Studien i åk 3... 17 4.6.3 Studien i åk 2... 18 5.Teoriska utgångspunkter ... 19

5.1 Subtraktionsstrategier för tvåsiffriga tal ... 19

5.1.1 Första subtraktionsstrategi: att räkna baklänges i en- eller i tiotal ... 21

5.1.2 Andra strategin: algorimstrategin: alla siffror ses som ental ... 21

5.1.3 Strategier tre till fem: talsortvis beräkning, blandad metod och stegvisberäkning ... 21

5.1.4 Additionsstrategi ... 22

5.2 Effektiva subtraktionsstrategier för de utvalda uppgifterna ... 22

5.3 Analysmetod ... 22

6 Analys och resultat ... 24

6.1 Elevers val av subtraktionsstrategier och subtraktionsstrategiernas effektivitet ... 24

6.2 Olikheter gällande användning av subtraktionsstrategier mellan klasser och skolor ... 27

6.3 Elevers flexibilitet vid användning av olika subtraktionsstrategier ... 27

6.3.1 Jana ... 28

6.3.2 Pia ... 29

6.4 Svårt att uttrycka sina subtraktionsstrategier matematiskt ... 30

7.1 Metoddiskussion ... 31

7.2 Resultatdiskussion ... 32

8 Slutsatser ... 34

9 Förslag för vidare forskning ... 34

Referenser ... 35

5

1. Inledning

I kursplanen för matematik (Skolverket 2016a, s. 60) står det att i slutet av årskurs 3 behöver eleverna kunna genomföra beräkningar i huvudet inom talområdet 0–20 och skriftliga beräkningar inom talområdet 0–200. Dessutom förväntas de ha kunskaper för att kunna välja beräkningsmetoder (i detta arbete används begreppet beräkningsstrategier istället för beräkningsmetoder) som passar i en viss situation. I kommentarmaterialet till aritmetik (Skolverket u.å, s. 2) står det att det är viktigt att elever redan i en tidig skolålder får förståelse för olika räknelagar och att de får möjlighet att lära sig kopplingen mellan de olika matematiska begreppen. På det sättet byggs en bra grund till den fortsätta matematikinlärningen.

Det finns flera anledningar till att jag har valt att fokusera på subtraktion i denna studie. Löwing (2016, s.197) påpekar att subtraktion är svårare för elever än addition. Löwing (2016) anser att kunskap om de grundläggande räknesätten är nödvändig och att den som har brister i detta område får problem i mera avancerade uppgifter. Resultatet i de olika delproven på nationella ämnesprovet i matematik år 2015/2016 (Skolverket 2016b, s. 9) visade att eleverna som deltog i provet hade problem med skriftliga räknemetoder (beräkningsstrategier för skriftlig subtraktion). Andelen elever som inte klarade kraven för skriftliga räknemetoder för subtraktion var större än andelen som inte uppfyllde kraven inom de andra matematiska områdena. Aldenius och Sandström (2016, s. 2) påpekar att elever i årskurs 3 får årligen lösa subtraktionsuppgifter med tiotalövergångar med hjälp av skriftliga metoder på sina nationella prov men de klarar subtraktion mindre bra än andra uppgifter. Frågan är om problemet beror på att subtraktion med tiotalsövergångar är svårt för unga elever eller att undervisningen inte stödjer elevers utveckling eller att de har svårt att förstå vad som efterfrågas när de får en instruktion om skriftliga räknemetoder. Nygren och Persson (2006, s. 38) påpekar att det finns en risk att skriftliga beräkningsstrategier kan ses som ett specifikt sätt att lösa uppgiften – en egen algoritm – vilket de anser kan leda till att elever inte utvecklar förståelse för det de gör. På detta sätt kan de inte heller skapa egna beräkningsstrategier.

Matematikundervisningen har kritiserats för överanvändning av läroböcker och enskilt självständigt arbete (Skolinspektionen 2009). Ensidig undervisning via läroböcker kan leda till att eleverna inte får möjlighet att utveckla andra aspekter av matematiska förmågor än dem som förekommer i läroböcker som läraren valt att använda (Johansson 2006, s. 28). Anledningen till kritiken är att genom att ensidigt använda läromedel får eleverna inte möjlighet att träna på andra förmågor än procedurförmågan (förmågan att följa fasta algoritmer). En tolkning är att eleverna ofta inte ges möjlighet att använda olika uttrycksformer för att kommunicera matematiskt. Genom att följa läroboksexempel får eleverna öva på de procedurer som krävs för att lösa en viss uppgift (Skolinspektionen 2009, s. 17). Under min VFU (verksamhetsförlagda utbildning) har jag också lagt märke till att eleverna i de yngre årskurserna inte alltid förstår det de gör när de löser sina uppgifter. Jag har sett att elever som följer en viss algoritm ofta saknar förståelse för hur stora tal de arbetar med. De har också svårt att överföra sina kunskaper till en annan kontext än den som de är vana vid i sina läroböcker. Av denna anledning kan eleverna bli förvirrade när en liten detalj i utformningen av uppgiften förändras. I Skolverkets rapport om svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS

6

2007 (Skolverket 2008, s. 38) framkommer det också att läroböckerna i matematik inte bidrar till elevernas förståelse för i vilka situationer olika beräkningsstrategier används. Threlfall (2000, s. 81) menar att lärarens undervisning om hur en uppgift exakt ska lösas kan leda till att eleverna förlorar chansen att lära sig bli flexibla i sina val av beräkningsstrategier. De följer algoritmerna som de undervisats om utan att utveckla förmågan att anpassa sina beräkningsstrategier efter omständigheterna. Under min VFU har jag inte lagt märke till om eleverna undervisats om att subtraktion kan ses på olika sätt. Många elever verkar sakna förståelsen för att uppgifterna med ett subtraktionstecken även kan lösas genom att lägga till istället för att ta bort. Det är intressant att veta om eleverna kan använda sambanden mellan olika räknesätt i de fall det är mest lämpligt.

Med tanke på allt detta kan det vara meningsfullt att undersöka om eleverna i årskurs 2 och 3 väljer att använda subtraktionsstrategier som är effektiva och lämpliga och på vilket sätt de uttrycker sina matematiska tankar.

2. Syfte och frågeställningar

Syftet är att skapa kunskap om vilka subtraktionsstrategier elever använder vid subtraktion av olika tvåsiffriga tal.

Frågeställningarna är följande:

• Vilka subtraktionsstrategier använder eleverna i åk 2 och 3?

• På vilket sätt med vilka uttrycksformer beskriver de sina subtraktionsstrategier?

• Är eleverna flexibla vid användning av olika subtraktionsstrategier och på vilket sätt är de i så fall flexibla?

3. Bakgrund

Här förklaras begreppet subtraktion samt beskrivs hur subtraktionsstrategier utvecklas och vilka subtraktionsstrategier som är effektiva och när är de lämpliga att användas. Vidare beskrivs vad forskare har skrivit om vad elevers val av subtraktionsstrategier kan bero på och vad som ligger bakom att vissa elever är flexibla vid användning av subtraktionsstrategier, medan andra inte är det.

3.1 Begrepp

I detta avsnitt förklaras ett antal begrepp som förekommer i arbetet: term och olika subtraktionsstrategier. Termer är två tal som subtraheras (Kiselman, Mouwitz 2008, s.26). Begreppet subtraktionsstrategier används för att beskriva olika sätt att lösa subtraktionsuppgifter, vilket i vissa fall kan omfatta användning av praktiskt material. Begreppet används istället för ordet ”räknemetoder” som förekommer i kursplanen för matematik (Skolverket 2016a, s. 60) med utgångspunkt från att det handlar om något bredare än bara inlärda metoder eller procedurer (Threlfall 2002). Begreppet ”strategi” används trots att det finns olika uppfattningar om huruvida elevernas lösningar är strategiska eller inlärda eller om de är lösningsstrategier eller analysstrategier (Threlfall 2002, s. 42). Följande subtraktionsstrategier förekommer i texten: räkna baklänges, den skriftliga vertikala algoritmen, den mentala algoritmen, talsortvis beräkning, stegvis beräkning och additionsstrategi.

7

Att räkna baklänges kan innebära att börja från den första termen och ”förflytta sig” så många steg tillbaka som den andra termen är (Thompson och Smith 1999, s. 3). Exempelvis: 5–2=5,4,3. Svaret blir 3. Det kan också innebära att ”röra sig baklänges” tiotalsvis, till exempel 42–20=42, 32, 22. Svaret blir 22.

Den vertikala skriftliga algoritmen är känd som ”uppställning” där talen ses som entalen (Larsson 2012, s. 22). Strategin innebär att talen skrivs under varandra och ett streck mellan dem och beräkningen börjar från höger. Först beräknas entalen uppifrån och neråt. Därefter genomförs samma process med tiotalen. Vid beräkningar med tiotalsövergångar, när entalen inte räcker till (entalssiffran i den första termen är mindre än entalssiffran i den andra termen), exempelvis vid 31–19 växlas ett tiotal av tre till tio ental därefter genomförs beräkningen 11–9=2. Till sist finns det kvar 2 tiotal och 2–1=1. Svaret blir 12.

Den mentala algoritmen innebär att varje tal i ett två- eller flersiffrigt tal behandlas som ental och eleven försöker genomföra en beräkning i huvudet som liknar den skriftliga vertikala algoritmen där talen skrivs under varandra (Thompson och Smith 1999, s. 3–4, Heirdsfield , Cooper 2004, s. 446) ). Exempelvis kan uppgiften 34–12 löses genom att räkna 4–2=2 och 3–1=2. Därefter skrivs svaret: 21.

Talsortvis beräkning innebär att varje talsort beräknas för sig (Larsson 2012, s.22). Ett exempel på det är 42–12: 40–10 och 2–2. Skillnaden jämfört med strategin där den mentala algoritmen används är att eleverna får ökad förståelse för siffrornas värde (att de subtraherar tiotalen).

Stegvis beräkning betyder att den första termen blir kvar som helhet och den andra termen delas upp i en- och tiotal (Larsson 2012, s- 24) Ett exempel på det kan vara 34–15= 34–10–5.

En undergrupp av stegvisa beräkningar är kompensationsberäkningar, vilket betyder att innan beräkningen genomförs avrundas den första eller den andra termen till närmaste tiotalet. Talet som lagts till eller tagits bort för att få ett jämnt tiotal subtraheras eller adderas i efterhand, vilket kallas kompensation (Larsson 2012, s. 23–24). Ett exempel på det kan vara 51–19=51– (19+1) – 1.

Begreppet additionsstrategi liknar strategin att räkna baklänges fastän beräkningen sker uppåt. Det är en strategi där addition (inverse) används för att lösa subtraktionsuppgifter (Torbeyns, Smedt, Ghesquière och Verschaffel 2009). Beroende på förkunskaper kan processen innebära att ”förflytta sig” ett steg i taget från det minsta talet, till exempel 31–29 kan beräknas med hjälp av fingrarna eller tallinjen: 30, 31. Det kan också betyda att uppgiften löses genom att tänka ”uppåt” och basera sin beräkning på fakta – beräkningar som eleven kan utantill: till exempel i lösningar av den föregående uppgiften kan eleven dra nytta av att 9+2=11 eller att 29+ något tal=31.

3.2 Taluppfattning

För att lära sig matematik behöver eleverna utveckla sin taluppfattning. Reys, Reys, Emanuelsson, Johansson, McIntosh och Yang (1999, s. 61) skriver att taluppfattning betyder att ha förståelse för tal och dess operationer och att kunna

8

använda dem på ett flexibelt sätt i de situationer där det är lämpligt. En aspekt som Reys et al (1999, s. 61) nämner är att kunna utveckla egna beräkningsstrategier och vara flexibel vid användningen av dem.

3.3 Subtraktion

I denna studie undersöks ett av de fyra räknesätten, subtraktion. Seiter, Prediger, Nührenbörger och Hußmann, (2012, s. 389) skriver att subtraktion kan ses på två olika sätt. Den vanliga uppfattningen är att subtrahera betyder att ta bort. Det finns dock ett ytterligare sätt att förstå subtraktion: som differens mellan talen, vilket bidrar till elevernas förståelse för sambandet mellan de två räknesätten subtraktion och addition (Seiter et al 2012). Seiter et al. (2012, s. 404–405) skriver vidare att även om det finns många fördelar med att se subtraktion som differens mellan talen är det något som sällan används i undervisningen. Några fördelar som nämns är att genom att undervisa om subtraktion som differens lägger läraren en bra grund till elevernas fortsatta matematikutveckling. Denna förståelse underlättar nämligen när eleverna blir äldre och kommer att undervisas om negativa tal och ekvationer i algebra. För att eleverna skulle kunna genomföra subtraktionsuppgifter krävs det mer än att kunna lära sig utantill hur de olika uppgifterna ska genomföras. Canobi (2004, s. 91) påpekar dock att i skolåldern utvecklas elevernas förmåga att genomföra matematiska procedurer men inte taluppfattning. Med andra ord kan elever som förvärvat en bra taluppfattning i förskoleåldern dra nytta av det senare i skolan när de lär sig olika algoritmer för hur uppgifter kan lösas.

En del aspekter gäller vid all subtraktion medan andra aspekter gäller mest när talen blir större. Forskning (Olteanu & Olteanu 2012;2011, s. 815–816) har visat att för att lösa subtraktionsuppgifter med flersiffriga tal behöver eleverna ha en del förkunskaper. De behöver lära sig att välja mellan olika subtraktionsstrategier. Dessutom behöver de förstå sambandet mellan addition och subtraktion och hur de flersiffriga talen är uppbyggda. Utöver detta krävs det förståelse för vad siffrorna har för värde. Till sist behöver eleverna förstå att till skillnad mot addition gäller inte den kommutativa lagen vid subtraktion: det går inte att vända ordningen på talen om ändå få samma resultat. Några andra aspekter är att eleverna behöver skapa sig en uppfattning om hur talen kan delas upp och att genomförandet av en delräkning leder det till att alla tal ändras (Olteanu & Olteanu 2012;2011, s. 815– 816). För att ge ett exempel på hur delräkningen kan ändra på alla termer: 25–17: 25–10=15 (den första termen är inte längre samma: 15 istället för 25). 15–5=10 (den första termen har ändrats) och till sist beräknas 10–2=8 (entalet i den andra termen är inte längre 7 eftersom 5 har redan tagits bort). Eleverna behöver också förstå sambandet mellan delar och helheten: vilka delar en helhet är lika med (Olteanu & Olteanu 2012;2011, s. 815–816). Ett exempel på detta kan vara att 7=5+2.

3.4 Effektiva strategier

När begreppet effektiv strategi definieras är det möjligt att beskriva två olika slags effektivitet: en strategi kan antingen vara allmänt effektiv (är den bästa strategin för att lösa en uppgift med vissa tal för en människa som kommit längre i sin matematiska utveckling) eller den är effektiv för elever i en viss årskurs. Forskning (Thompson och Smith 1999, Beishuizen 1993 och Torbeyns et al. 2009) har visat att olika subtraktionsstrategier är effektiva för olika tal men vissa av de mest

9

effektiva strategierna används inte lika mycket av unga elever. Lucangeli, Tressoldi, Bendotti, Bonanomi, Siegel (2003, s.512) som genomförde sina studier i Italien definierar en effektiv strategi som en strategi som leder till adekvata svar i 75% av fallen i en viss årskurs. I detta arbete används dock deras material för att jämföra olika strategier med varandra för att kunna se vilka strategier som oftare leder till adekvata svar i en viss ålder, utan att ställa krav på minst 75% adekvata lösningar. I de nästföljande avsnitten beskrivs olika strategiers effektivitet, dels generellt, dels i en viss ålder.

3.4.1 De tidiga subtraktionsstrategierna: att räkna antal och att räkna baklänges

En del subtraktionsstrategier kommer utvecklingsmässigt tidigare än andra (Thompson och Smith 1999). Lucangeli et al (2003) skriver att räkna antal och att räkna baklänges i exempelvis ental är vanligt förekommande subtraktionsstrategier bland unga elever och elever i matematiksvårigheter som ännu inte kommit längre i sin utveckling av beräkningsstrategier. Lucangeli et al (2003, s. 517) skriver vidare att räkna baklänges med hjälp av fingrarna är en mindre avancerad strategi som ofta leder till adekvata svar i de tidigare årskurserna vilket enligt deras definition betyder att denna strategi är en effektiv strategi i just för de yngre årskurserna. Däremot kan strategin vara mera tidkrävande vilket gör att den inte uppfyller kraven för generell effektivitet.

3.4.2 Den mentala algoritmen

Den mentala algoritmen innebär att “uppställningen” genomförs i huvudet. Detta kan ske antingen från höger till vänster eller från vänster till höger (Heirdsfield 2004). Enligt Lucangeli et al. (2003, s. 517) uppfyller strategin inte kriterierna för att kunna anses vara en effektiv strategi. Detta gäller även när eleverna blir äldre.

3.4.3 Den skriftliga vertikala algoritmen

Denna strategi liknar den föregående strategin fastän talen skrivs ner som uppställning och beräknas genom att börja med entalen och därefter beräknas tiotalen. Till skillnad mot den mentala algoritmen visade studien (Lucangeli et al. 2003, s. 517) att den skriftliga vertikala algoritmen blir mera effektiv för eleverna från åk 4 jämfört med åk 3.Den mentala algoritmen blir dock aldrig tillräckligt effektiv.

3.4.4 Talsortvis beräkning och stegvis beräkning

Forskning (Beishuizen 1993) har visat att talsortvis beräkning inte är lika effektiv för alla subtraktionsuppgifter. Det har visat sig att talsortvis beräkning fungerar så länge entalssiffran i den första termen är större än entalssiffran i den andra termen. Beishuizen (1993, s. 305) jämförde holländska elevers subtraktionsstrategier för tvåsiffriga tal där lösningen krävde växling (tiotalsövergång) och där den inte krävde det. Uppgifterna som användes var exempelvis 26–12, 58–34 och 42–15. Beishuizen (1993, s. 296) skriver att i de tidigare stadierna när holländska elever i åk. 2 ännu inte lärt sig subtraktion med tiotalsövergångar föredrog de att använda talsortvis beräkning. När det kommer sig till subtraktionsberäkningar med tiotalsövergångar visade det sig dock att talsortvis beräkning inte var lika effektiv: eleverna fick vid 80% av fallen adekvata svar när de använde stegvis beräkning jämfört med 40–60% korrekta svar vid talsortvis beräkning (Beishuizen 1993, s. 306). När det gäller effektiviteten på den talsortvisa och stegvisa beräkningar har

10

inte alla forskare fått samma resultat i sina studier. Lucangeli et al (2003) kom fram till att avancerade strategier som är effektiva i de tidigare åren var stegvis beräkning och beräkning till närmaste tiotal. Talsortvis beräkning däremot ansågs bli effektiv först i åk 5. En tolkning kan vara att det beror på att vissa forskare skriver om generell effektivitet medan andra, som Lucangeli et al (2003) skriver om vad som anses vara effektivt i viss ålder.

3.4.5 Kompensationsberäkningar och additionsstrategi

Kompensationsberäkningar och additionsstrategi är både lika och olika. Enligt Larsson (2012, s. 23–24) innebär kompensationsberäkningar att entalet i den ena termen är nära 10 och att beräkningen genomförs stegvis genom att börja med att avrunda den ena termen till ett jämt tiotal. Därefter genomförs beräkningen och till sist adderas eller subtraheras det som tagits bort eller lagts till extra. De lämpar sig för uppgifter där entalen på den ena termen är nära 10 och entalet i den första termen är mindre än entalet i den andra termen, exempelvis 51–29.

Enligt Torbeyns et al (2009) beskrivning liknar additionsstrategi kompensationsberäkningen när det gäller vilka tal strategin lämpar sig för: strategin passar när entalet i den andra termen är nära 10. Det andra villkoret är, till skillnad mot uppgifterna där kompensationsberäkningar är passande, att differensen mellan talen är liten, exempelvis vid följande uppgift 31–29. Med andra ord passar kompensationsstrategin bättre vid uppgifter där entalssiffran i den första termen är mindre och differensen mellan talen är större: 51–29. Additionsstrategin däremot passar när differensen är liten (exempelvis mindre än 5) men entalssiffran i den första termen ska fortfarande vara mindre än entalssiffran i den andra termen.

Som tidigare skrivits är det mest lämpligt att använda kompensationsberäkningar för vissa tal. Torbeyns et al. (2009) skriver att kompensationsberäkningar är mest lämpliga när entalet på det andra talet är 8 eller 9. Torbeyns, De Smedt, Thompson och Smith (1999, s. 5) ger ett exempel på uppgiften 86–39 där eleven använder kompensationsberäkningar och avrundar talet 39 till 40. Därefter beräknar eleven 86–40 och till sist lägger hon till 1 för att kompensera för det som hon tagit bort extra. Thompson och Smith (1999, s. 5) skriver att detta lösningssätt leder till mera korrekta lösningar men det är mera vanlig bland vuxna. Torbeyns et al. (2009) har undersökt användning av additionsstrategi och kompensationsstrategi bland belgiska elever i åk. 2–4. De undersökte om eleverna som hade fått en traditionell undervisning kunde använda dessa strategier när det var lämpligt. Några uppgifter som testades var 61–59 och 81–79 (Torbeyns et al. 2009, s.15) där eleverna förväntades att använda additionsstrategi. Ett annat tal var 56–19 där kompensationsberäkning var det lämpligaste. Torbeyns et al. (2009, s.10) studie visade att eleverna sällan använde dessa subtraktionsstrategier spontant. Det finns forskare som skrivit om additionsstrategi inte är svår att lära sig. Fuson och Fuson (1992, s. 77) påpekar att för elever som inte kommit långt i sin utveckling av subtraktionsstrategier eller som utvecklas i en annan takt kan det vara lämpligt att använda strategin att räkna uppåt från den minsta termen oavsett vilka tal det gäller, även om strategin är mera effektiv när differensen mellan talen är mindre.

11

3.5 Möjliga anledningar till elevers val av subtraktionsstrategier

Forskare har analyserat vad som ligger bakom elevernas val av olika strategier, om deras val beror på undervisning, några kognitiva faktorer eller annat. Blöte et al. (2000) har genomfört en studie med holländska elever i åk 2 under 4 månader. Deras undersökning (Blöte 2000, s. 242) visade att det finns tre olika anledningar till elevernas val av beräkningsstrategier. En möjlig faktor som (Blöte 2000, s.242) påpekade var att eleverna har tränat på vissa strategier i klassrummet vilket gör att de känner till dem vilket Blöte et al. (2000) kunde se genom att följa samma elever under en lång tid för att ta reda på hur deras användning av strategier förändrades. Forskarna (Blöte et al. 2000) försökte se samband mellan elevernas användning av subtraktionsstrategier samt undervisningen de hade fått. En annan möjlig förklaring som forskarna (Blöte et al. 2000) har kommit fram till är att eleverna har upptäckt att en viss subtraktionsstrategi, exempelvis stegvis beräkning fungerar oavsett talen (benämns också som default procedure) vilket Blöte et al. (2000) förklarade som en negativ effekt av undervisning – genom lösning av många likartade uppgifter skapas rutiner, vilket kan hindra eleverna från att vara flexibla vid användning av olika subtraktionsstrategier beroende på uppgifter. Den tredje förklaringen benämner Blöte (2000, s. 242) som ”kognitiv ekonomi” vilket innebär att eleven väljer den procedur som är lättast att genomföra och som inte kräver lika mycket kognitiv ansträngning. Att subtraktionsstrategin kräver för mycket kognitiv ansträngning betyder att det kan vara svårt för eleverna att använda strategin, även om den är generellt effektiv för att lösa en viss uppgift om denna subtraktionsstrategi kräver att eleverna genomför beräkningen i många olika steg som ska minnas. Blöte (2000) skriver att eleverna väljer att använda strategin som generellt är effektiv för specifika tal om denna strategi är lättare än de andra strategierna som de känner till. Det är lättare att addera uppåt från talet 79 i uppgiften 81–79 än exempelvis räkna baklänges men inte lika lätt beräkna 84–29 genom avrundning av det ena talet till närmaste tiotal. Det kan vara kognitivt krävande att addera 29+1=30 och subtrahera 84–30=54 och därefter komma ihåg att ta bort 1 som subtraherades extra (54–1=53). En tolkning när det gäller det sista exemplet är att eleverna kan välja att använda en annan mindre krävande strategi istället som att 84-20-9. Entalet i termen 29 kan antingen beräknas genom att räkna baklänges från talet 64 eller delas talet 9 i två delar: 4 och 5 och subtraheras i flera steg. Att behöva kombinera olika räknesätt kan vara krävande.

3.6 Elevers flexibilitet vid användning av subtraktionsstrategier

I detta avsnitt beskrivs vad det kan bero på att vissa elever växlar mellan olika subtraktionsstrategier medan andra använder samma subtraktionsstrategi för alla uppgifter. Forskning (Threlfall 2002 och Heirdsfield och Cooper 2004) har visat att det finns skillnader mellan eleverna gällande vilka subtraktionsstrategier de väljer att använda eller om använder flera olika subtraktionsstrategier. Det finns en del som är gemensamt för eleverna som växlar mellan olika subtraktionsstrategier jämfört med dem eleverna som är icke flexibla vid användning av

12

subtraktionsstrategier. Heirdsfield och Cooper (2004, s. 454–456) som gjort sin studie i Australien har undersökt skillnaderna mellan eleverna i åk 3 som var flexibla vid användning av subtraktionsstrategier och dem som inte var flexibla. Heirdsfield och Cooper (2004) påpekar att eleverna som växlar mellan olika subtraktionsstrategier väljer andra subtraktionsstrategier än de eleverna som inte är flexibla vid användning av subtraktionsstrategier. Det har visat sig att eleverna som är flexibla i sin användning av beräkningsstrategier använder mer holistiska strategier som generellt är mera effektiva: subtraktionsstrategier som kan tolkas som talsortvis beräkning, stegvis beräkning och kompensationsberäkningar. De elever som är icke flexibla i sina val av subtraktionsstrategier däremot använder den mentala algoritmen. De föreställer den skriftliga vertikala algoritmen i huvudet och försöker räkna på samma sätt i huvudet som om de skulle ha gjort det skriftligt genom att börja från höger till vänster med entalen fastän utan papper och penna. De tidigare nämnda skillnaderna mellan de elever som är flexibla vid val av subtraktionsstrategier jämfört med de icke flexibla eleverna kan förklaras genom att undersöka några aspekter som förenar eleverna som var flexibla vid sina val av subtraktionsstrategier i olika uppgifter. Något som förenar eleverna som växlar mellan olika strategier är en god taluppfattning (förmågan att både se talet som helhet och dess olika delar). En annan aspekt är förmågan av använda sina tidigare faktakunskaper om talen (kunskaper som eleverna kan utantill utan att behöva räkna) (Heirdsfield och Cooper 2004, Threlfall 2002, s. 42). Ett exempel på användning av talfakta kan vara olika sätt att kombinera två tal vid addition för att summan ska bli 10. Om en elev vet att 9+1=10 kan eleven möjligtvis använda denna kunskap för att lösa uppgiften 42–19 genom att börja lösningen med att subtrahera 20 (kompensationslösning). Den eleven som kan alla talpar som blir 10 när de adderas kan dela upp talet 9 på olika sätt. Denna elev vet utantill att när den ena delen av talet 9 är 2 måste den andra delen vara 7. Det gör att eleven kan genomföra beräkningen 42–2=40 och därmed vet att det är 7 kvar att subtrahera. Eleven kan också använda kunskap att 7+3=10 i den fortsatta räkningen och därmed komma fram till att 40–7=33.

Taluppfattning betyder också att kunna förstå hur stort talet är och talens relationer med andra tal. Threlfall (2002, s. 42) påpekar att genom att analysera talens olika delar får personen en uppfattning om talet är nära något annat tal. Heirdsfield och Cooper (2004, s. 454–456) ger ett exempel på att de elever som inte var flexibla vid sina val noterade exempelvis inte att talet 99 var nära 100 vilket gjorde att de s därmed saknade möjligheten att välja en mera lämplig subtraktionsstrategi. Vidare skriver Heirdsfield och Cooper (2004, s. 456) att jämfört med sina kamrater som väljer subtraktionsstrategier flexibelt har eleverna som ansågs vara icke flexibla vid användning av subtraktionsstrategier svårare att bedöma om deras svar är rimligt eller inte. Som tidigare nämnts finns det en uppfattning om att för att kunna lösa en subtraktionsuppgift behöver eleven kunna analysera talen som ingår i uppgiften och talens olika delar. Threlfall (2002, s. 42) hävdar att beräkningsstrategier snarare är analysstrategier än lösningsstrategier.

3.7 Olika uttrycksformer

I detta avsnitt används ordet uttrycksformer för att utrycka tanken att människan använder flera ”språk” än det muntliga språket och skriftspråket. Några exempel på det kan vara bildspråket och att uttrycka sig med hjälp av matematiska

13

symboler. Kress (1997, s.29) skriver att olika uttrycksformer har sina möjligheter och begränsningar. Vidare skriver Kress (1997, s.97) att de möjligheter som olika uttrycksformer har skiljer sig både emotionellt, kognitivt och begreppsmässigt. Han ger exempel på vad som kan ses som uttrycksformer eller till och med olika språk: de kan vara visuella, olika medier, kulturella representationer, matematiska, emotionella eller digitala. Enligt Kress (1997) kan det vara svårt att genomföra transformation mellan olika uttrycksformer. Meningen som kommuniceras blir inte exakt samma. Det är också viktigt att betona att människan använder bara uttrycksformer som är tillgängliga. En tolkning av det är att hur ett barn uttrycker sig eller visar sina kunskaper kan bero på vilka hjälpmedel, verktyg eller leksaker som är tillgängliga och i vissa fall om vilka sätt att uttrycka eleven har fått undervisning om. Daniellsson (2013, 125) skriver att olika slags uttrycksformer passar olika bra för att uttrycka olika slags processer, till exempel materiella eller relationella. För att uttrycka vissa processer räcker till exempel statistiska bilder inte till. Det det är mera lämpligt att uttrycka dem med tredimensionella bilder, på ett verbalt sätt eller med hjälp av symbolspråk.

4. Metod

Forskningsmetoder kan delas i två stora grupper: kvalitativa och kvantitativa. Kvalitativ metod innebär att söka anledningar till olika företeelser och samband mellan dem (Watt Boolsen 2007, s. 18). Historiskt har kvalitativa undersökningar inte varit lika värderade som att arbeta med mera exakta – kvantitativa (mätbara) data (Watt Boolsen 2007, s. 18). Edling och Hedström (2003, s. 16–17) skriver att inom kvantitativ forskning används olika slags variabler varav vissa är mätbara, andra inte (som kön eller vilken åsikt ett visst antal människor har). Enligt Watt Boolsen (2007, s. 26) finns det olika sätt att arbeta med sitt material: antingen har forskaren en färdig teori redan från början eller så skapas teorin medan forskaren arbetar med sitt material. Cohen, Manion och Morrison (2011, s.25) skriver att genom att blanda kvantitativa och kvalitativa metoder är det möjligt att få svar på olika slags frågor. Det förstnämnda svarar exempelvis på frågan vad? Med hjälp av kvalitativa metoder besvaras frågorna hur? och varför?

För att kunna skapa kunskap om studiens frågeställningar blandades både kvantitativa och kvalitativa inslag i detta arbete. Studien bestod av två delar: dels lösning av skriftliga subtraktionsuppgifter som genomfördes med två klasser av eleverna i åk 2 och 3 på två olika skolor, dels elevintervjuerna. När det gäller lösning av de skriftliga subtraktionsuppgifterna genomfördes inget urval i de utvalda klasserna. Alla elever som ville delta och vars föräldrar hade godkänt deras medverkan deltog. Den kvantitativa delen av studien innebär att antalet olika subtraktionsstrategier som förekom vid varje subtraktionsuppgift räknades. Den kvalitativa delen av studien innebär att elevers skriftliga lösningar analyserades, både gällande innehåll och uttrycksform (exempelvis skriftlig text eller matematiska symboler). Den andra delen av studien var elevintervjuerna som genomfördes med sammanlagt 7 elever. Urvalet av elever på intervjuerna

genomfördes i samråd med klasslärarna.

4.1 Validitet och reliabilitet

Reliabilitet innebär att metoden eller sättet undersökningen genomförs på leder till samma resultat om undersökningen upprepas ifall villkoren vid genomförandet är

14

jämförbara. Validitet betyder att användning av ett visst tillvägagångssätt (till exempel genom att ställa en viss fråga) leder till att det är det möjligt att få svar på en viss/specifik frågeställning (Bell 2016, s. 133–134). Cohen, Manion och Morrison (2011, 195–196) skriver att när olika metoder blandas kan det öka tillförlitligheten av studiens resultat.

För att säkerställa validitet i denna studie genomfördes en pilotstudie som visade att subtraktionsuppgifterna och en del av de planerade intervjufrågorna fungerade. Ett annat sätt att öka validitet av studien var att subtraktionsuppgifterna som eleverna fick lösa valdes ut från tidigare forskning. Eleverna fick möjlighet att visa sina subtraktionsstrategier på flera olika sätt i skrift och även muntligt. Detta ökade möjligheten att få reda på vilka subtraktionsstrategier de hade använt. Det faktum att studien hade både kvantitativa och kvalitativa inslag ökade resultatets tillförlitlighet. Genom att räkna adekvata svar blev det exempelvis möjligt att skapa kunskap om möjliga orsaker till att eleverna inte redovisat sina subtraktionsstrategier. Detta kunde antingen bero på att de inte kunde lösa sina uppgifter eller att de inte kunde uttrycka sig i skrift. För att öka reliabilitet ges en tydlig beskrivning av omständigheterna kring genomförandet i de båda klasserna samt information om att eleverna inte undervisats om tvåsiffriga tal med tiotalsövergångar i dessa klasser vilket är viktigt för att tolka resultatet. Subtraktionsuppgifterna som användes redovisas samt intervjuguiden. Allt detta gör att undersökningen kan upprepas.

4.2 Experiment med subtraktionsuppgifter

Cohen, Manion och Morrison (2011, s. 315) skriver att en möjlighet att genomföra experiment är genomföra det i så naturlig situation som möjligt. I denna studie genomfördes ett experiment med 8 olika subtraktionsuppgifter (se dessa uppgifter i bilaga 2) på två olika skolor. Eleverna på båda skolorna fick lösa subtraktionsuppgifterna på samma sätt som de annars brukar lösa sina matematikuppgifter i klassrummet. Detta betydde att det var tillåtet att använda alla hjälpmedel som de annars brukar använda i klassen. På en av skolorna fanns det många olika hjälpmedel och på den andra inga förutom fingrarna eftersom klassen inte var van att använda praktiskt material. Subtraktionsuppgifterna valdes ut ur litteraturen (Torbeyns et al. 2009 och Beishuizen 1993). Vid urvalet av subtraktionsuppgifter används Torbeyns et al. (2009, s. 7) beskrivning av kriterier som de använt i sin forskning. De utvalda uppgifterna kan delas upp i följande grupper: 1) har antingen 8 eller 9 som ental i den andra termen, 2) en liten differens mellan talen eller 3) varken 8–9 eller liten differens mellan talen men entalet i det andra termen är större än entalet i den första termen (uppgifter med tiotalsövergångar som inte uppfyller kraven 1 och 2). Förutom talen som Torbeyns et al. (2009) har forskat om användes ytterligare en kategori uppgifter med tvåsiffriga tal i denna studie: tvåsiffriga tal utan tiotalsövergångar. Eleverna fick lösa sammanlagt 8 subtraktionsuppgifter. Uppgifterna som kan lösas med hjälp av olika strategier ges i en blandad ordning så att uppgifterna som kräver samma strategi inte följer efter varandra. Subtraktionsuppgiftsgrupperna presenteras i tabell 1. I tabellens första kolumn står det de egenskaper som förenar ett uppgiftspar. I den andra kolumnen finns det uppgifterna som användes i denna studie. Närmare information om förväntade strategier tillkommer i kapitel 5.3.

15

Tabell 1.

Uppgiftgrupp Uppgifter

1: entalet i den andra termen 8 eller 9 56–19 65–39 2: liten differens mellan talen 72–69 61–59 3: varken 8 eller 9 i den andra termen,

entalet större i den andra termen än i den första termen

53–14 42–15 4: entalet i den andra termen mindre

än entalet i den första termen (subtraktionsberäkning utan tiotalövergång

26–12 58–34

Tanken bakom urvalet av subtraktionsuppgifterna var att ta reda på om elever som använder flera olika subtraktionsstrategier använder samma subtraktionsstrategi för uppgifterna som är snarlika och olika subtraktionsstrategier för olikartade uppgifter. I så fall var det intressant att veta om det fanns skillnader mellan användning av subtraktionsstrategier i de 4 grupperna av uppgifter eller om eleverna växlade mellan subtraktionsstrategier beroende på om talen omfattade tiotalsövergångar eller inte. Om det sistnämnda stämde skulle uppgifter utan tiotalsövergångar lösas med hjälp av en helt annan strategi än uppgifterna som hör till grupperna 1–3. Eleverna fick lösa sammanlagt 8 subtraktionsuppgifter. Uppgifterna som på bästa sättet kan lösas med hjälp av olika strategier gavs i en blandad ordning så att uppgifterna som kräver samma strategi inte följer efter varandra.

4.3 Barnintervjuer

Ett sätt att genomföra kvalitativa studier är genom att intervjua. Dahlgren och Johansson (2015, s. 166) skriver att en halvstrukturerad intervju innebär att forskare ställer endast några få frågor och förtydligar informantens svar med hjälp av följdfrågor. Intervjuer som genomfördes i denna studie kan också ses som halvstrukturerade: frågorna som ställdes var inte många och det var inte möjligt att bestämma alla frågor i förväg eftersom de berodde också på elevers svar. Doverborg Pramling Samuelsson (2000, s. 29–30) skriver att fördelen med den enskilda barnintervjun är an den ger möjlighet att få kunskap om hur det enskilda barnet tänker utan att de andra barn har något inflytande på det enskilda barnets tankar eller hur barnet uttrycker sig. Av denna anledning genomfördes barnintervjuerna enskilt i den här studien. Doverborg Pramling Samuelsson (2000, s.32) skriver också om att barn kan behöva tid för att svara. Ett sätt är att börja frågor med ordet ”berätta” och ställa ”hur”-frågor (Doverborg Pramling Samuelsson 2000, s.34). En annan aspekt är att barn behöver möjlighet att berätta närmare om sina tankar, vilket kan göras genom följdfrågor, till exempel att fråga ”varför” (Doverborg Pramling Samuelsson 2000, s. 42). Intervjuerna genomfördes med sammanlagt 7 elever (se intervjuguiden i bilaga 3).

16

4.4 Urval av deltagare

Deltagare valdes ut från två olika skolor: i den ena skolan från en klass i åk 2 och från den andra skolan en klass i åk 3. Skolorna valdes ut genom att kontakta några personligen kända lärare. Båda skolorna är mångkulturella och ligger i olika kommuner. Genom kontakt med lärarna samlades bakgrundsinformation om vad klasserna hade arbetat med tidigare. Det visade sig att ingen av de klasserna hade fått undervisning om subtraktion av tvåsiffriga tal med tiotalsövergångar. Skriftliga lösningar samlades från alla elever som ville delta och vars vårdnadshavare hade gett sitt medgivande. Deltagare i intervjuerna valdes ut i samråd med lärarna. I åk 3 där det var ett färre antal vårdnadshavare som hade lämnat tillbaka informationsbrevet intervjuades 3 elever, de som först var klara med sina uppgifter. Anledningen till detta var tidsbrist på denna skola. Både uppgifterna och intervjuerna behövde genomföras under en timme.

I åk 2 där de flesta vårdnadshavare hade gett sitt medgivande för både den skriftliga delen och intervjun valdes eleverna ut i samråd med klassläraren. Eleverna som valdes ut ansågs ha bättre förmåga att förklara sina matematiska tankar muntligt.

4.5 De etiska aspekterna

Vid varje forskning bör de fyra forskningsetiska kraven följas: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet 2002, s. 6).

Informationskravet innebär att deltagarna får information om studiens syfte, genomförande och hur arbetet ska presenteras (Vetenskapsrådet 2002, s. 7). Informationskravet i denna studie uppfylldes genom att skicka ett informationsbrev (se bilaga 1) till barnens vårdnadshavare där studiens syfte, genomförande, arbetets publicering och andra forskningsetiska principer framgick. Barn informerades muntligt och lärare och rektorn informerades skriftligt. Med tanke på att uppgifterna var på högre nivå än vad eleverna arbetat med tidigare informerades eleverna om att de ännu inte undervisats om hur vissa av dessa uppgifterna skulle lösas. Tanken bakom detta var att undvika upplevelsen att ha misslyckats i fall de inte kunnat lösa uppgifterna.

Samtyckeskravet innebär (Vetenskapsrådet 2002, s. 9) att forskaren har frågat deltagarna och deras vårdnadshavare om de vill delta och de har godkänt sitt deltagande. Det innebär också att deltagarna har möjlighet att avbryta sitt deltagande när de inte längre vill medverka och de får inte påverkas eller tvingas att delta (Vetenskapsrådet 2002, s. 10). För att uppfylla samtyckeskravet frågades efter samtycke att delta både från läraren vars elever deltog, elevers vårdnadshavare och rektorn. Elever som på något sätt uttryckte ovilja att delta valdes inte ut som deltagare eller om de ångrade senare fick de möjlighet att avbryta sitt påbörjade deltagande och material som samlats från dem togs bort från studien.

Konfidentialitetskravet innebär att skydda individen genom att låta personen vara anonym och lämna inte ut någon personlig information till obehöriga. Uppgifterna ska antecknas på ett sådant sätt som gjorde att deltagarna blir anonyma (Vetenskapsrådet 2002, s.12). Konfidentialitetskravet uppfylldes genom att inte

17

använda några namn, ortnamn eller namn på elevernas skola vid presentation av arbetet. Yttranden som kunde möjliggöra identifiering av eleverna citerades inte i studien. Inspelningarna hanterades på ett sådant sätt att ingen obehörig kunde komma åt dem med tanke på att de skulle raderas när arbetet är klart.

Nyttjandekravet innebär att uppgifter som samlats för forskning bara används för forskning (Vetenskaprådet 2002, s. 14). Nyttjandekravet uppfylls genom att använda de samlade uppgifterna bara för denna uppsats.

4.6 Genomförande

Studien består av elevers skriftliga lösningar av subtraktionsuppgifter och individuella elevintervjuer som ljudinspelats.

4.6.1 Pilotstudie

Först genomfördes en pilotstudie med en elev i åk 1. Barnet i ungefärligt lämplig ålder valdes ut genom att söka i bekantskapskretsen för att komma i kontakt med något barn åk 1–3 som ville delta. Syftet var att testa om uppgifterna var på rätt nivå och om de kunde lösas av en elev som inte fått undervisning av avancerade subtraktionsstrategier eller i beräkningar med tvåsiffriga tal. Tanken var också att få en uppfattning om intervjufrågorna fungerade för barnen i denna ålder eller om de behövde förtydligas på något sätt. Föräldrarna informerade om studiens syfte och de etiska principerna. Studien genomfördes i barnets hem vid ett tillfälle där barnet fick lösa 4 uppgifter och svara på intervjufrågorna. Pilotstudien inkluderas inte i resultatet. Pilotstudien visade att intervjufrågorna fungerade utom en fråga som handlade om att skapa en egen räknesaga (en egen textuppgift som kunde lösas genom att använda ett räknesätt). Denna fråga togs bort eftersom barnet inte förstod ordet ”räknesaga”. Det visade också att frågorna som skulle ställas behövde justeras beroende på om eleverna använde en eller flera subtraktionsstrategier. Eleverna som inte växlade mellan subtraktionsstrategier ansågs endast kunna svara på frågan om hur de hade löst sina uppgifter och om de kunde byta till additionsstrategi ifall strategin förklaras för dem med hjälp av ett exempel.

4.6.2 Studien i åk 3

Studien genomfördes i en åk 3 med hel klass. Eleverna i klassen hade ännu inte fått undervisning om tiotalsövergångar enligt klassläraren. Tanken var att eleverna skulle få använda alla hjälpmedel som de brukade använda i ordinarie undervisning. Diskussion med den undervisande läraren visade dock att klassen vanligtvis inte använde några hjälpmedel eller praktiskt material förutom att vissa elever räknade på fingrarna. Eleverna instruerades om att de fick visa hur de hade tänkt genom att antingen rita, skriva eller uttrycka sig med matematiska symboler. Eleverna löste sina uppgifter under tystnad. Ett mindre antal elever hade ett medgivande för att delta i intervjun. En del elever som var mest intressanta att intervjua med tanke på de subtraktionsstrategier de använde i sina skriftliga lösningar. Tyvärr saknades medgivande att delta i intervjun. I samråd med klassläraren bestämdes vilka elever som skulle delta i intervjuerna. På denna skola pågick undersökningen endast en timme. På grund av tidsbrist bestämdes att de som blev klara med lösningen av uppgifterna snabbast deltog. Uppgifterna från 6

18

elever samlades in. Tre intervjuer genomfördes enskilt. På grund av brist på lediga lokaler genomfördes intervjuerna i skolans korridor och i vissa fall blev informanterna störda av ljud som skapades av andra klasser som passerade korridoren.

4.6.3 Studien i åk 2

Uppgifterna i åk 2 genomfördes i två halvgrupper. Enligt läraren hade eleverna inte undervisats om subtraktion med tvåsiffriga tal med tiotalsövergångar. Eleverna fick använda allt material som de annars brukar använda under lektionerna. De instruerades att visa hur de tänkt genom att rita, skriva med ord eller siffror. Tanken var att eleverna skulle lösa uppgifterna under tystnad men ändå förekom det att eleverna pratade med varandra eller att många behövde förklaringar för att kunna visa i skrift hur de tänkte eller att hålla sig sysselsätta medan de andra arbetade. Papperna samlades in från 12 elever. Eleverna som inte ville medverka vid lösningen av uppgifterna fick avstå. Fyra elever intervjuades. Intervjuerna genomfördes enskilt i ett litet rum. Under intervjuerna fick eleverna visa hur de hade räknat ut svaret, ifall de hade använt några hjälpmedel.

19

5.Teoriska utgångspunkter

I detta kapitel beskrivs den modell som används för att analysera empiriskt material samt analysmetoden.

5.1 Subtraktionsstrategier för tvåsiffriga tal

Forskning (Thompson och Smith 1999) har visat att utveckling av subtraktionsstrategier sker stegvis. Subtraktionsstrategier som är mera effektiva kommer utvecklingsmässigt senare. De subtraktionsstrategier som används vid flersiffriga tal förklaras i tabell 2. Subtraktionsstrategier 1–5 baserar dels på Thompson och Smith (1999, s. 3): Subtraktionsstrategin 2 har dock kompletterats med en skriftlig beräkningsstrategi: den vertikala skriftliga algoritmen. Thompson och Smith (1999) har presenterat strategier för tvåsiffriga tal. Subtraktionsstrategi 0 har lagts till eftersom det kan förekomma att eleverna fortfarande är i detta stadie trots att klassen redan arbetar med större tal. Subtraktionsstrategierna 1–5 är också utvecklingsstadier. Tanken är att elever börjar med subtraktionsstrategi 1 och genomgår dessa subtraktionsstrategier (1–5) i samma ordning. Subtraktionsstrategierna 4–5 är mera avancerade än exempelvis subtraktionsstrategier 1–2. Thomsons och Smiths (1999) lista på subtraktionsstrategier som lämpar sig för tvåsiffriga tal har också kompletterats med en utvecklingsmässigt ännu tidigare subtraktionsstrategi: subtraktionsstrategi 0 som handlar om att räkna allt och som är mera vanligt vid beräkningar av mindre tal. Den skriftliga vertikala, som har tillagts kan egentligen inte heller ses som ett utvecklingsstadium. Subtraktionsstrategi 6 i tabellen är inget utvecklingsstadium men den är viktig för att lösa vissa specifika tal. Additionsstrategin beskrevs bland annat av Torbeyns, De Smidt, Ghesquière och Verschaffel (2009), Bryant, Christie och Rendu (1999) och Peltenburg, van den Heuvel-Panhuizen, och Robitzsch (2012).

Subtraktionsstrategierna presenteras i tabell 2. I den första kolumnen namnges subtraktionsstrategi. I den andra kolumnen finns det en förklaring till hur subtraktionsstrategin fungerar. För att tydliggöra de olika strategierna används ett och samma tal (37–18) som exempel för alla subtraktionsstrategierna 0–5. Subtraktionsstrategi 6 däremot är mest lämplig vid talen där differensen är liten. Därför användes där ett annat exempel. Denna tabell användes för att analysera elevers val av olika subtraktionsstrategier vid olika uppgifter.

Tabell 2.

Subtraktionsstrategi Exempel/förklaring

0) Räkna alla Eleven tar 37 klossar. Därefter tar eleven bort 18 klossar. Till sist räknar eleven de som finns kvar.

20

1) Räkna baklänges, framåt eller i tiotal. 37-18 räknas

genom att räkna 37, 36, 35, 34,…. 18

2) Den mentala algoritmen

Den vertikala skriftliga algoritmen

37–18 räknas genom att subtrahera 3–1 och sedan borde man räkna 7–8 vilket är för svårt för de flesta lågstadiebarn. Därför tror eleverna felaktigt att det går att räkna 8–7 istället – att vid subtraktion gäller samma regler som vid addition

3) Talsortvis beräkning Termer delas upp i en- och tiotalen och varje talsort beräknas för sig:

37–18 30–10=20 8–7=1 20–1=19 4) Blandad strategi 37–18= 30–10+7–8. 5)Stegvis beräkning

b) kan kräva undervisning)

a) Utan kompensation 37–18=37-10-8

b) Med kompensation (ett av talen eller båda avrundas till närmaste tiotal genom att lägga till eller ta bort ett tal. Till sist tas samma tal bort eller läggas till igen.37-18= 37- (18+2)- 2

6)En ytterligare strategi:

additionsstrategi. 31–29. 29+…. (något tal)=31.

I de kommande avsnitten ges en närmare beskrivning av subtraktionsstrategier 1-6 som kan vara mest relevante vid beräkning av tvåsiffriga tal.

21

5.1.1 Första subtraktionsstrategi: att räkna baklänges i en- eller i tiotal

Elever som har kommit i sin utveckling till denna strategi räknar antingen uppåt. Forskare (Thompson och Smith 1999, s. 3) ger ett exempel på det: för att räkna talen 31–21 börjar eleven räkna baklänges från 31. Ett viktigt kännetecken för detta stadie är att talfakta ännu inte används. Till skillnad från Thompson och Smith (1999) benämns att räkna uppåt som en egen strategi i denna studie – en strategi som anses ingå i additionsstrategin eftersom det var meningsfullt att skilja den från subtraktionsstrategi ”räkna baklänges”.

5.1.2 Andra strategin: algorimstrategin: alla siffror ses som ental

Elever som kommit i sin utveckling till att använda algoritmstrategi hanterar siffrorna som entalen och när entalet i den andra termen är mindre än entalet i det första talet växlas ett tiotal – något som i äldre litteratur (Thompson och Smith 1999, s.3) nämns som att ”låna” . Detta sättet att genomföra beräkningar påminner om att använda det skriftliga räknesättet med ”uppställningar” fastän i huvudet. Den kallas också denna mentala algoritmen. Forskare (Thompson och Smith 1999, s.4) ger ett exempel 37–18 som beräknas genom att ta bort 1 från 3 men sedan felaktigt tas bort talet 7 från 8. Enligt (Heirdsfield 2004) kan den mentala algoritmen kan genomföras antingen från vänster till höger eller från höger till vänster genom att börja med entalen precis som vid skriftliga beräkningar.

5.1.3 Strategier tre till fem: talsortvis beräkning, blandad metod och stegvisberäkning

Subtraktionsstrategi 3 är talsortvis beräkning där elever delar upp talen i tiotal och ental. För göra beräkningen 68–32 tar de först bort 30 från 68 och därefter 2 från 8 (Thompson och Smith 1999, s.4). Precis som vid subtraktionsstrategi två där siffrorna betraktas som entalen får de problem även i subtraktionsstrategi tre när entalet (talet 9) som tas bort är större än entalet i det första talet (exempelvis talet 6) (86–39) (Thompson och Smith 1999, s.4).

Subtraktionsstrategin 4 kallar Thompson och Smith (1999, s.4) blandad metod vilket innebär att tiotalen beräknas för sig och därefter läggs till entalen som tagits bort tidigare. Till sist tas entalen bort från det hela talet (som består av både tio- och entalen): 68–32=60–30+8–2.

Den femte subtraktionsstrategin är stegvis beräkning – både med och utan kompensation. Strategin innebär den första termen används som helhet. Först tas tiotalen bort från ett tal som består av både tio- och ental. Därefter tas entalen bort eller läggas till. För att genomföra en subtraktionsberäkning utan kompensation ger forskare (Thompson och Smith 1999, s.5) ett exempel på tal 86–39 som löses på ett följande sätt: 86–39=86-30-9. Ett annat exempel som ges handlar om en kompensationsberäkning: 86–39=86- (39+1) -1. När talet som ska tas bort är 39 är det närmaste tiotalet 40. För att få 40 av 39 läggs talet 1 till för att underlätta beräkningen. När detta tiotal (40) är borttaget tas talet 1 återigen bort som kompensation.

22

5.1.4 Additionsstrategi

Som tidigare skrevs valdes att beskriva additionsstrategi som en egen subtraktionsstrategi i denna studie. Anledningen till detta var den kan vara lämplig att användas vid vissa tal även när eleverna har passerat de subtraktionsstrategier som kommer tidigt i utvecklingen. Enligt Bryant, Christie och Rendu (1999, s. 211) har forskning visat att det inte finns koppling mellan att förstå sambandet mellan addition och subtraktion och att kunna lösa subtraktion med hjälp av olika beräkningsstrategier som omfattar någon slags uppdelningar av talen. Däremot är det viktigt att förstå detta samband för att kunna välja denna subtraktionsstrategi trots att eleven har fått en uppgift som handlar om subtraktion, inte addition.

5.2 Effektiva subtraktionsstrategier för de utvalda uppgifterna

Uppgifterna till studien valdes med tanke på att forskning (Beishuizen 1993, Torbeyns et al. 2009) har visat att vissa subtraktionsstrategier är mera effektiva vid lösning av dem. I den första kolumnen av tabell 3 presenteras de 8 uppgifterna samt i vilken litteratur de har hittats. I den andra kolumnen presenteras de subtraktionsstrategierna som anses vara generellt mest effektiva vid lösning av respektive uppgift utan hänsyn till informanternas ålder. Vissa uppgifter (uppgift 1 och 8) går dock att lösas med hjälp av olika subtraktionsstrategier (uppgifter utan växling) eftersom det är mest betydelsefullt om uppgifter innebär växling vilket inte är fallet vid uppgifter 26–12 och 58–34.

Tabell 3

Uppgift Effektiva subtraktionsstrategier

generellt

1) 26–12 (Beishuizen 1993) Olika subtraktionsstrategier fungerar 2) 56–19 (Torbeyns et al. 2009) Stegvis beräkning med kompensation

(avrundning till närmaste tiotal) 3) 72–69 (Torbeyns et al. 2009) Additionsstrategi

4) 42–15 (Beishuizen 1993) Stegvis beräkning med eller utan kompensation

5) 53–14 (Torbeyns et al. 2009) Stegvis beräkning 6) 61–59 (Torbeyns et al. 2009) Additionsstrategi

7) 65–39 (Torbeyns et al. 2009) Stegvis beräkning med kompensation 8) 58–34 (Beishuizen 1993) Olika subtraktionsstrategier fungerar

5.3 Analysmetod

Svaren till undersökningsfrågorna söktes både i de skriftliga uppgifterna och i materialet som samlats genom elevintervjuerna. De analyserades var för sig. Som underlag till analysarbete användes tabeller 1–3 som presenterats tidigare.

23

Analysmodeller som används var en tabell med sju olika subtraktionsstrategier som illustrerades med elevexempel. För att skapa kunskap om eleverna använde subtraktionsstrategier som generellt anses som effektiva jämfördes elevers subtraktionsstrategier med de subtraktionsstrategierna som anses effektiva för varje uppgift (se tabell 3) De åtta uppgifterna i studien var uppdelade i fyra grupper beroende på talen (storleken på entalssiffran i de båda termerna).

Analysen av det skriftliga materialet genomfördes i fem steg. Analysen påbörjade med att identifiera subtraktionsstrategier i för varje uppgift och sedan analyserades svaren avseende om de var adekvata och om subtraktionsstrategierna kunde identifieras. Identifierade strategier för varje uppgift samlades i tabellen som presenterades i början av kapitlet (se bilagor) och illustrerades med elevexempel uttryckt antingen genom skrivna ord eller siffror och matematiska symboler. Antalet av varje subtraktionsstrategi räknades, liksom antalet fall där eleverna inte hade redovisat sina subtraktionsstrategier.

Vid steg två jämfördes de mest använda subtraktionsstrategier för varje uppgift för att se om det fanns generella skillnader som berodde på uppgifter (storleken på entalssiffran i de båda termerna). Elevgruppernas valda subtraktionsstrategier jämfördes med de olika uppgiftsgrupperna som presenterades i avsnittet 4.1, samt med de mest effektiva subtraktionsstrategierna för varje uppgift som presenterades i tabell 3.

Steg tre var att analysera varje enskild elevs subtraktionsstrategier för sig för att sedan identifiera elever som var flexibla vid användning av subtraktionsstrategier vid olika uppgifter (använde fler än en subtraktionsstrategi). Syftet med detta var att skapa en uppfattning om elevers växling mellan olika subtraktionsstrategier berodde på uppgift (storleken på entalssiffran). Som underlag för detta användes tabell 1 som presenterades i avsnittet 4.1 Avsikten var att skapa kunskap om eleverna kan se talens egenskaper och gruppera dem i de fyra olika grupperna eller åtminstone växla mellan olika subtraktionsstrategier beroende på om beräkningen omfattade tiotals övergångar eller inte.

Steg fyra var att analysera elevernas uttrycksformer för skriftliga uppgifter när det gäller val av uttrycksformer. Elevers svar på uppgifter jämfördes med redovisning av subtraktionsstrategier för att skapa kunskap om möjliga samband mellan elevers uttrycksformer och hur de faktiskt har beräknat.

Steg fem var att analysera svaren på subtraktionsuppgifterna för elever i åk 2 jämfört med åk 3 för att skapa kunskap om antalet adekvata svar bland dem. Tanken var att ta reda på om det att eleverna inte hade redovisat sina subtraktionsstrategier berodde på att de inte kunde lösa dessa uppgifter. Vid felaktiga svar analyserades svaren med syftet att upptäcka subtraktionsstrategier som eleverna kan ha använt.

Vid nästa skede analyserades elevintervjuerna. Intervjuerna lyssnades igenom upprepade gånger och transkriberades delvis. Informantens förklaringar till val av subtraktionsstrategier samt intervjuarens kortare yttranden, exempelvis frågor som syftade till att förtydliga elevers tankar transkriberades medan intervjuerarens längre yttranden utelämnades. Det ljudinspelade och transkriberade materialet

24

undersöktes för att hitta meningsfulla yttranden, exempelvis elevers förklaringar till sina val av subtraktionsstrategier eller byten av subtraktionsstrategin som skedde mitt i intervjun.

Elevintervjuerna analyserades i två steg. Först identifierades de olika subtraktionsstrategierna som förekom vid intervjutillfället (se tabell i bilagan) och byte av subtraktionsstrategin under intervjun. Det andra steget var att analysera den muntliga uttrycksformen och dess möjlighet att ge information om elevers subtraktionsstrategier.

Slutligen analyserades både de transkriberade yttrandena och de skriftliga lösningarna för att skapa kunskap om elevers sätt att uttrycka sitt matematiska tänkande samt varje uttryckssättets möjligheter och begränsningar för dessa elevgrupper. De redovisade subtraktionsstrategierna till de likartade uppgifterna jämfördes med varandra och med subtraktionsstrategierna som eleverna använde för olikartade uppgifter. Tanken vara att kunna se möjliga samband mellan talen och de valda subtraktionsstrategierna. Några möjliga samband presenterades i tabell 1.

6 Analys och resultat

I detta kapitel analyseras elevers skriftliga lösningar och data som samlats genom elevintervjuerna gällande val av subtraktionsstrategier och deras effektivitet generellt och för elever i dessa två klasser. Därefter följer ett avsnitt med jämförelser mellan dessa två klasser. I avsnitt 6.3 genomförs det en analys om elevers eventuella flexibla användning av olika subtraktionsstrategier beroende på uppgift eller något annat. Detta avsnitt baserar framför allt på skriftligt material men omfattar även enstaka upptäckter där elever byter subtraktionsstrategi under intervjun. Vidare, beskrivs i avsnitt 6.4 uttrycksformer som eleverna använde för att uttrycka sina matematiska tankar och dessa uttrycksformers möjligheter och begränsningar. Detta avsnitt omfattar både analys av elevers skriftliga lösningar och några exempel på elevers försök att förklara sina subtraktionsstrategier muntligt. I avsnitten 6.1 till 6.3 ges del en generell beskrivning om varje tema och därefter följer ett antal exempel för att illustrera resultatet. Jämfört med de tidigare avsnitten (särskilt 6.1 och 6.3) som fokuserar på själva subtraktionsstrategier har avsnittet 6.4 ett annat fokus: uttrycksformer och elevers förmåga att uttrycka sig matematiskt.

6.1 Elevers val av subtraktionsstrategier och subtraktionsstrategiernas effektivitet

De vanligt förekommande subtraktionsstrategierna för alla uppgifter var talsortvis beräkning och algoritmstrategierna (se tabell 4). En närmare översikt på alla subtraktionsstrategier som förekom vid skriftliga lösningar finns i bilaga 4 de subtraktionsstrategierna som förekom under intervjuerna i bilaga 5.

Alla elever i åk 3 som deltog i intervjun hade använt algoritmstrategin. Deltagare i åk 2 som medverkade i intervjun använde alla olika subtraktionsstrategier och hälften hade svart att förklara hur de hade tänkt. Andra subtraktionsstrategier som förekom i studien bland enstaka elever var att räkna baklänges, att räkna alla eller stegvis beräkning. Det gäller både bland de som redovisat sina lösningar skriftligt och under intervjuerna. Vid några uppgifter använde eleven en ”kreativ”

25

algoritmstrategi: 61–59=10 ”6–5 la till 1 och 9”. Exemplet visar att eleven dels blandar ihop subtraktion och addition, del en- och tiotalen. I ett fall förekom det att eleven beskrev sin subtraktionsstrategi som att ”räkna uppåt”. I detta fall var additionsstrategi även den mest effektiva subtraktionsstrategin.

Tabell 4.

Uppgift Effektiva

subtraktionsstrategier generellt

Subtraktionsstrategin som användes mest

1) 26–12 Olika strategier fungerar (till ex. algoritmstrategi och talsortvis beräkning

Talsortvis beräkning (4)

2) 56–19 Stegvis beräkning med kompensation (avrundning till närmaste tiotal)

Algoritmstrategi (3) Talsortvis

beräkning (3)

3) 72–69 Additionsstrategi Talsortvis beräkning (4)

4) 4) 42–15 Stegvis beräkning med eller utan kompensation

Talsortvis beräkning (4)

5) 5) 53–14 Stegvis beräkning Algoritmstrategier (3) 6) 6) 61–59 Additionsstrategi Talsortvis beräkning

(4) 7) 7) 65–39 Stegvis beräkning med

kompensation

Talsortvis beräkning (3) 8) 8) 58–34 Olika subtraktionsstrategier

fungerar (till ex. algoritmstrategi och talsortvis beräkning

Räkna baklänges (3) Talsortvis beräkning (3)

Det fanns skillnader mellan subtraktionsstrategierna för de eleverna som valde att använda talsortvis beräkning. Två elever växlade mellan att börja beräkningen med en- eller tiotalen, samt en elev blandade ihop en- och tiotalen vid vissa uppgifter: 58–34=24, 5–4, 80–40=40. Samma elev bytte också platser på entalen vid redovisning av vissa uppgifter. Analys av skriftliga redovisningar för elever som använde talsortvis beräkning visade att ingen av dessa elever behärskade denna subtraktionsstrategi vid uppgifter med tiotalsövergångar. Steget där entalssiffran på den första termen togs bort från den andra termen hade varit relevant om eleverna skulle ha använt ett ytterligare steg och tagit bort även resten av entalet från det andra talet: 56–19, 50–10=40. 9–6=3 40-3=37. Ett stort antal elever i åk 2