Känsla för bråk. Laborativ matematik innanför murarna

Illustration: Erik Hult

Känsla för bråk

Laborativ matematik innanför murarna

Förord

Jag vill tacka alla dem med vilkas värdefulla hjälp detta projekt blivit möjligt

Framför allt elever med vilka jag fått experimentera och pröva mina idéer, jag är tacksam för tålamod, ifrågasättande och öppenhet att utforska och reflektera.
Alla som under mina studiebesök delat med sig av sina erfarenheter och kunskaper,

Päivi Simonsuuri Högsboanstalten, Lena Trygg Matematikverkstaden, Per Berggren högstadielärare, Jessica Qvick, förskolelärare, Karin Bengtsson och Lena Westergren, specialpedagoger och lågstadielärare.

Min handledare Eva Riesbeck för engagemang, tydlighet och struktur.
Erik Hult för konstnärligheten och viljan att illustrera.

Mina chefer, Ulf Albihn och Hojat Miri- Khabri som gav mig möjlighet att deltaga i SMALs sommarkurs.

Arrangörer och deltagare vid SMALs sommarkurs i Mullsjö för inspiration och utvecklande samtal.

Gudrun Malmer och hennes stiftelse för ekonomiska möjligheter. Ett stort tack till er alla

Inledning ...2

Skola på anstalt ...2

Syfte ...3

Problemformulering ...4

Metod ...4

Litteraturgenomgång ...5

Resultat ...7

Studiebesök ...7

Elevers arbete- utdrag ur dagboken...9

Diskussion ...13

Kommentarer om och av elever ...14

Inledning

Sedan två år tillbaka undervisar jag i matematik i fängelseskola, under det här projektet på både Skänninge- och Roxtunaanstalterna på grund av ombyggnation. När jag började undervisa räknade eleverna enskilt i sina böcker på olika nivåer. Många körde fast på avsnittet om bråk, de försökte minnas tekniker för att lösa problemen enligt olika regler utan någon verklig förståelse. ”Är det här verkligen användbart?” undrade eleverna och jag hade inget tillfredsställande svar. Det var svårt att motivera dem och få dem att verkligen förstå, trots att vi delade många ”tårtor”. Jag funderade mycket på vad en vuxen människa

egentligen behöver kunna i matematik och hur bråk skulle kunna kännas meningsfullt. Jag ser kommunikativt arbetssätt som en tillgång när det gäller matematisk förståelse och letade efter problem som skulle kunna användas i kunskapsheterogena grupper. Under en SMALkurs (Sveriges matematiklärarförening) i Mullsjö kom jag i kontakt med laborativt arbetssätt, såg nya möjligheter och sökte Gudrun Malmers stipendium för att kunna forska vidare på det.

Skola på anstalt

”Kriminalvårdens klienter har de senaste tio åren blivit en mer marginaliserad grupp som i större utsträckning lever utanför samhällsgemenskapen” läser jag i ”Runt i Krim”

Kriminalvårdens tidning. De refererar till Kriminalvårdsstryrelsens nypublicerade rapport ”Fångarna, fängelser och samhället” som innehåller statistik om hur situationen har förändrats för dem som lämnar fängelse efter avtjänat straff jämfört med 1992 .

24 % har stadigvarande arbete jämfört med 39 % år 1992
62 % har stadigvarande bostad jämfört med 74 % år 1992
nästan hälften har missbruk jämfört med ca en tredjedel
mer än hälften har socialhjälp eller pension/sjukbidrag
en fjärdedel har inkomst från arbete eller A-kassa

fler än tidigare har redan suttit i fängelse och fler döms till längre straff
fler är i behov av psykisk vård

Däremot har varken den rapporterade misskötsamheten eller hot och våld i anstalt ökat jämfört med 1992. För 75 % av de intagna finns ingen rapporterad misskötsamhet alls.

När man läser siffror och statistik är det lätt att glömma att det är individer man arbetar med och långt ifrån någon homogen grupp som går i skolan. Spridningen är stor när det gäller utbildningsnivå, koncentrationsförmåga, ålder, lust att lära och hålla tider, närvaro, ämnesval och studietid i skolan, det enda som inte varierar är könet, det är enbart män i grupperna. De söker till skolan, det är ett positivt val och vi har rätt att avstänga elever som inte sköter sig. Vi tar in folk till skolan efter frigivningsdatum så att så många som möjligt ska hinna studera. Det betyder att vi får nya elever mer eller mindre varje vecka. Vi är en lärare på 6-8 elever. De väljer vilket eller vilka ämnen de ska läsa, ibland är det flera matematikelever ibland bara en. Ingenting är förutsägbart, det gäller att fånga stunden, man vet aldrig när den uppenbarar sig, eller ens när de förväntade eleverna uppenbarar sig. Några intagna satt och pratade om hur det är på fängelse jämfört med vad de tänkt sig. Det som upprepades var: ”Jag kunde inte föreställa mig att känslan av maktlöshet skulle vara så stark. Man kan inte göra någonting, ingenting som sker på utsidan kan man påverka”. Till den maktlösheten kommer för många även känslan av att ha misslyckats i skolan, varje misslyckande förstärker känslan av maktlöshet.

Syfte

Syftet med projektet är att lära mig mer om laborativt arbetssätt som verktyg när det gäller bråkräkning. Jag vill pröva och utvärdera arbetet med eleverna i fängelseskolan. Genom litteraturstudier och studiebesök hos lärare på olika stadier inom och utanför Kriminalvården och på Matematikverkstaden hoppas jag fördjupa mina egna kunskaper. Min förhoppning är att elever med dålig grund och negativ inställning till ämnet kan se nya möjligheter och lära sig på ett sätt som inte påminner om den skola de misslyckts i. Jag vill utveckla ett arbetssätt som kan ses som en viktig del i rehabiliteringen. Med hjälp av laborativt material vill jag visa att eleverna kan

samarbeta trots stora skillnader i kunskapsnivå.

se att det finns flera sätt att betrakta, angripa och lösa ett problem.
utveckla förmågan att växla mellan det konkreta och det abstrakta.
utveckla sitt matematiska språk och förmågan att göra sig förstådd.

Problemformulering

Hur uppfattar elever som befinner sig i fängelse att under matematiklektioner arbeta med laborativt material kring begreppet bråk?

Metod

På SMALs matematikkurs i Mullsjö deltog jag i Per Bergrens och Maria Lindroths workshop om laborativ matematik, den var inspirerande och jag valde att göra ett studiebesök på deras högstadieskola. Eftersom brister i taluppfattning skapas tidigt ville jag göra studiebesök hos specialpedagoger och lågstadielärare Karin Bengtsson (tidigare stipendiat) och Lena

Westergren, båda liksom jag deltagare vid Mullsjökursen. För att ytterligare studera laborativt material och själv pröva valde jag att göra ett studiebesök på Matematikverkstaden vid

Göteborgs Universitet. Jag var också nyfiken på att se hur skolan ser ut på en annan anstalt och kontaktade matematiklärare Päivi Simonsuuri på Högsboanstalten för att göra ett besök hos dem.

I det här projektet har jag huvudsakligen forskat på möjligheterna med Multilink (plastkuber i 10 olika färger som kan sammanfogas åt alla håll) och 10-sidiga tärningar som är det material jag köpt in. Jag har använt materialet förutsättningslöst och utgått från eleverna när jag har skapat uppgifter. I dialog med dem har jag prövat och utvärderat material och arbetssätt. Dialogen har varit viktig, både mellan elever och i förhållande till mig. Jag har lagt fokus på att låta eleverna utveckla sin förmågan att beskriva och förklara sina tankar och funderingar, köra fast och komma vidare.

Eftersom jag anpassar undervisningen efter situation och vilka elever som närvarar har jag valt att redovisa mina resultat i dagboksform, det är processen jag vill tydliggöra. De elever som beskrivs i dagboksdelen är många och de flesta har jag inte träffat under särskilt lång tid. Oftast beskriver jag 1-2 elever och jag har valt att här använda arbetsnamnen Adam, som betyder människa och Tryggve, som betyder trygghet. Både mänsklighet och trygghet är förutsättningar för god inlärning.

Litteraturgenomgång

Många vuxna har starka blockeringar som påverkar förhållandet till matematik. Bristande baskunskaper och negativa attityder till ämnet leder ofta till en livslång hämmande matematikångest, med stora förluster för individ och samhälle. Lärande i matematik är en process och blockeringar och motstånd måste bearbetas innan något matematiklärande överhuvudtaget kan blir möjligt. Vuxna vill, inte minst för sig själva visa att de klarar vad de misslyckats med i ungdomsåren. Ett utmärkande drag för vuxenundervisning är deltagarnas heterogenitetavseende t ex studienivå, mål, syfte med studier, ålder, bakgrund och

studievana.1

Fängelseklienter med dåliga erfarenheter av tidigare skolgång, pga. oro eller

koncentrationssvårigheter har t ex bekymmer med att hjälpa sina barn i skolan, läsa brev från flickvänner mm.2 Elevers känslomässiga inställning har betydelse för hur de lär sig och använder kunskap. En kreativ och trygg miljö är en förutsättning för inlärning.3

Matematikkunskap är en demokratifråga framhåller flera författare. ”För att inte bli lurad i vardagsliv och samhälle, för att kunna förstå och påverka som fullvärdig medlem i

demokratiska processer behöver man kunna kontrollera den ökande användningen av matematik” 1. Genom att lösa problem kan man utveckla tankar, idéer, självförtroende,

analysförmåga, kreativitet och tålamod. Man lär sig att planera, upptäcka samband, förfina det logiska tänkandet och skaffar sig beredskap att klara situationer i livet 3. I ett demokratiskt samhälle har alla medborgare rättigheter men också skyldigheter, t ex att informera sig, att inte okritiskt ta till sig propaganda etc. För matematikens del betonas här ofta förmågan att kunna tyda diagram, förstå procenträkning och statistik och olika representationer som grafer i ett koordinatsystem.” 3

En utbildning för målgruppen lågutbildade män med negativa skolerfarenheter skulle kunna se ut på följande sätt:.

Låta dem vara med i planeringen av själva utbildningen Utveckla nya metoder och arbetsformer

1

Vuxna och matematik – ett livsviktigt ämne 2002

2

Rapport 6, Att studera i fängelse 2002

3

Välja en annan miljö än en traditionell skolmiljö Uppmärksamma det sociala samspelets betydelse Möjligheter till personlig utveckling 1

Det är nödvändigt att tala matematik, anknyta till verkligheten, arbeta

laborativt, börja med det konkreta och lära sig tänka. För att göra innehållet meningsfullt är det viktigt att ta hjälp av konkreta modeller, elevernas vardagsspråk och deras egna

beteckningar som mellanled till formellt och vedertaget matematikspråk. Ett lämpligt arbetssätt är:

Fri undersökning när nya material och representationsformer introduceras Praktiska aktiviteter före formalisering och räknande

Förståelse viktigare än procedurer och regler Språklig utveckling

Undersökningar och laborationer utvecklar begreppsbildning

I den heterogena gruppen är det möjligt att på elevernas villkor ta vara på olikheter och utveckla kunskaper och färdigheter. Eleverna kan möta innehållet på olika sätt. Andra sätt att tänka hos kamraterna gör att en elev kan utveckla och förfina sitt eget tänkande3.

Matematikinlärning är en aktiv process som utvecklas i samspel med andra människor4.

Matematiken inom Kriminalvården ska inriktas på det väsentliga inom de fyra räknesätten Kriminalvården saknar i nuvarande organisation policydokument för utbildning. Diskussion förs om vilken kompetens lärare som undervisar i fängelse ska ha. Man pekar på intresse för uppgiften, tålamod, vänlighet, socialt engagemang, fasthet, smidighet, självförtroende, tuffhet, förmåga att verkligen individualisera, styrka i trängda situationer och diplomati2.

I en laborativ uppgift finns alltid mycket dold matematik, lösningen av uppgiften är bara början. Så gott som alla elever klarar av att lösa problemet på något sätt. Elever som gett upp matematiken eller har läs- och/eller språksvårigheter får en nytändning då de erbjuds konkret material. Det är lättillgängligt och eleverna är villiga att börja arbeta. Matematiksvaga elever kan prestera väldigt bra på grund av praktiskt läggning, logik, kreativitet mm. Vissa stannar vid en rent konkret lösning medan andra generaliserar eller till och med formaliserar

4

lösningen. Laborativa uppgifter tränar många olika färdigheter som samarbete, problemlösning, dvs. planera, välja strategi, kontrollera och dra slutsatser. Eleverna medvetandegörs om att det finns olika vägar att nå målet. I par och grupparbete ligger tyngdpunkten på kommunikation5.

Det laborativa materialet Multilink hjälper eleverna till en mångsidig begreppsförståelse. De tränar tankeförmåga, logiskt resonemang, utvecklar språklig förståelse,

problemlösningsförmåga, taluppfattning, formuppfattning och rumsuppfattning. Det tränar elevernas kreativitet. Matematiken blir ett lustfyllt ämne med nära samarbete mellan konkreta handlingar och språkliga resonemang4. Upptäckarglädje och lusten att möta och utforska utmaningar är viktiga drivkrafter för lärande1.

Resultat

Studiebesök

Den 3 mars gjorde jag studiebesök på Högsboanstalten i Göteborg och träffade

matematiklärare Päivi Simonsuuri. Alla intagna på anstalten har missbruksproblematik. De har trädgård och växthus som används i undervisningen, t ex för att räkna ut areor, omkrets, frömängd mm. De har tillgång till kök där de också kan använda matematiken praktiskt när de t ex bakar. Kronofogden lägger ut uppgifter om personlig ekonomi på Krimnet

(Kriminalvårdens intranät) och Päivi använder dem ofta i sin undervisning.

Matematikverkstaden Göteborgs Universitet

Det var mycket intressant och givande på matematikverkstaden där jag togs emot av Lena Trygg. Jag köpte böckerna:

Familjematematik

Läs och skrivsvårigheter och lärande i matematik
Vuxna och matematik – ett livsviktigt ämne.

Särskilt boken ”Familjematematik” svarar på många av mina frågor. Jag har sökt efter uppgifter som man kan använda för människor som befinner sig på alla stadier rent

matematiskt och som kan väcka den matematiska fascinationen och upptäckarlustan. Lena var

5

bra på att plocka fram just det jag sökte, enkelt material som kan användas till mycket. Jag beställde på hennes inrådan Multilink.

Kul matematik, Tullinge

Jag besökte Per Berggren på Trädgårdsskolan i Tullinge och fick vara med på två lektioner, den första med en åttondeklass som konstruerade spel. Jag gick runt bland de olika grupperna och lyssnade till deras diskussioner. Först kom jag till en grupp med elever som tyckte att matematik är jättetråkigt. De gjorde ett lätt spel och ägnade mycket tid åt färgläggning och design, så de var engagerade på sitt sätt. En grupps spel utgick från ett fängelse, man var tvungen att slå en sexa för att komma ut. Per visade mig olika material de använder i sin undervisning och berättade hur de arbetar och tänker. Jag beställde hans och Maria Lindroths bok ”På G i matematik” Efter besöket i Tullinge har det blivit ännu tydligare vilken speciell arbetssituation jag har, det är svårt att överföra någonting direkt från den vanliga skolan. jag kan inte låta bli att tänka på normalfördelningskurvan. En vanlig skola kan kanske tillgodose 95 % av eleverna. En del av dem som befinner sig långt ut i marginalerna kommer till oss.

Karin Bengtsson, specialpedagog

Mitt sista studiebesök var hos Karin Bengtsson i Moheda. Min tanke var att jag ville se hur en lågstadielärare och specialpedagog arbetar med talbegrepp. Jag fick möjlighet att tillsammans med Karin och Lena Westerlund som är specialpedagog i Oskarshamn besöka en förskola som arbetar medvetet med skrift och matematik. Det var intressant att höra Jessica Qvick berätta om hur de arbetar med barnen. ”Det som började som ett skrivprojekt har utvecklats till ett förhållningssätt.” Hon såg sin roll som lyssnare, att ta tillvara barnens berättelser, att gå bredvid barnet eller kanske hellre ett steg efter”.

Eftermiddagen tillbringade jag tillsammans med Lena och Karin. Genom att lyssna till deras tankar och arbetssätt fördjupas min förståelse för mina elevers brister från tidiga år. Att introducera ett nytt begrepp för ett barn är helt annorlunda än att arbeta med vuxnas brister, alla vuxna är mer eller mindre bekanta med begrepp som storleksordning, plus och minus, enkla bråk och procent t ex. Jag känner stor respekt för den kunskap och kompetens pedagoger i tidiga år har. Jag har mycket att lära tack vare att vi arbetar under olika

förutsättningar, men som Karin sa när vi skiljdes: ”Det är inte så stor skillnad på människor i olika ålder och situationer, förhållningssättet är det samma.”

Elevers arbete- utdrag ur dagboken

Nu har jag prövat Multilink med diverse människor, tyvärr har jag i flesta fall bara haft en elev. Som väntat blir det mycket mer intressant när det är flera stycken som diskuterar. Första gången jag använde det var på Adam som har fobi för matematik, den gången var det större manfall än vanligt och han var vår ende elev, vilket gjorde honom nervös. Två lärare och en elev, jag bad min kollega vara med och bygga med honom, de fick till att börja med illustrera en halv. De byggde till att börja med på höjden och sedan olika former som cylinder mm.

Nästa gång hade jag också bara en matteelev, som tänkte helt annorlunda när han skulle bygga halvor på olika sätt. Då hade jag redan lyckats få en idé om att ”alla” skulle bygga på höjden. För Tryggve var det självklart att man inte ser den andra halvan, han byggde en halv cirkel t ex. Han hade svårt att tänka sig att göra båda halvorna synliga, t ex med olika färger. Han hade behövt någon att resonera med förutom mig. Byggandet ledde till hans funderingar på hur stor del han hade kvar av sitt straff. Han tyckte att det lät mer med 12,5 % än

8 1

. Sedan fortsatte vi med hur stor del av hans förväntade 80 åriga liv han suttit inne. Jag föreslog att vi skulle titta på hans 27- åriga liv också och dessutom bara hans straffmyndiga tid. Han fick fundera på i vilka sammanhang och för vilka argument de olika siffrorna kunde användas. Den lägsta siffran ville han använda om han skulle söka jobb och den högsta om han skulle söka förtidspension. Han tycker att det är enklare med siffror än att bygga.

19 april

Adam använde tärningar för att jämföra storleken på olika bråktal. Vi började med 6-sidig tärning och avancerade till 0-9 tärning. Han fick välja den ena siffran till täljare och den andra till nämnare. Det gav mer än förväntat, förenklingar och heltal och noll i täljaren t ex. Han trodde att 0/5 skulle bli ett. Särskilt när vi bytte tärningar blev det spännande. Han såg tydligt att tal med samma nämnare var lättare att jämföra. När vi bara använde den sexsidiga

tärningen lönade det sig alltid för honom att förenkla, 4 2

till 2 1

t ex. Med den 10-sidiga fick tre tal av fem nämnaren 8. Den ena förenklade han till fjärdedelar. Insikten att det inte alltid lönar sig att förenkla/förkorta blev tydlig vid jämförelsen och meningen med en gemensam nämnare fick en tydligare innebörd, utan att ens nämna begreppet gemensam nämnare. Med

de låga siffrorna på den sexsidiga tärningen omvandlade han bråken till procent för att kunna jämföra. Den modellen visade sig ha sina begränsningar när nämnaren blev 7 eller 9. Jag bad honom betrakta talen som förvirrade honom och bestämma om de var större eller mindre än en halv och sedan använda den kunskapen i sina jämförelser. Han ville också plocka in enkla decimaltal som 0,25 , 0,5 och 0,75 bland sina bråktal. Han trodde det skulle vara omöjligt men klarade det galant till sin förvåning. Vi avslutade med addition av bråk med olika nämnare. Det var nu väldigt lätt för honom att förstå meningen med gemensam nämnare.

23 april

Adam fastnade på uppgiften

Uppgift: En flaska innehåller 4 3

l. Om

3 2

av den innehåller saft, hur mycket saft finns det i

flaskan?

Jag plockade fram Multilink för att bygga upp det relativa. 12 kubers stapel för en hel liter, 9 kuber för 1 flaska och 6 kuber för 2/3 av flaskan. Så kunde man se vad som förhöll sig till vad. Det blev tydligt.

1 maj

Jag försökte göra bråkspelet ur ”På G i matematik” när både Adam och Tryggve var där samtidigt.

Slå två tärningar. Bilda ett bråk av de två talen. En 3: a och en 2: a kan bilda bråken

3 2 2

3

eller . När det är din tur nästa gång bildar du ett nytt bråk med de två tärningarna. Detta

lägger du till eller drar ifrån från ditt första. På detta sätt ska du göra 5 gånger och målet är att komma så nära 2 som möjligt.

Jag hade då lyckats glömma bort att jag tidigare tänkt att jag skulle använda sexsidiga tärningar och plockade fram de tiosidiga. Adam ville helst sova, han såg helt borta ut och lyckades inte uppbåda någon energi ens när jag tog fram en räknare. Det blev för mycket för honom. Tryggve var snabb i huvudet och fick en bra känsla för gemensam nämnare. Båda har

dock nu efter mycket övning en perfekt uppfattning om storleksordningen på bråktal, decimaltal och procent.

14 maj

Adam och Tryggve läser A-kursen, de fastnade på bråk. De har relativt lätt för siffror, för att konkretisera plockade jag fram Multilink och bad dem lägga ihop bråk. Att förlänga och förkorta de olika staplarna blir väldigt konkret. Men det var inte lätt.

2 1

kan beskrivas med en

kub i varje färg, två, tre osv. 3 1

på motsvarande sätt med en av tre, två av sex och så vidare. Båda behöver förlängas till 6 kuber för att de ska vara möjliga att summera. När vi jobbade med fjärdedelar och tredjedelar körde de fast. Jag bad dem bygga flera varianter tills de själva såg att först vid 12 kuber blev de lika långa.

22 maj

Adam fortsätter med bråk och fastnar på uppgiften.

En varas värde minskar till

5 4

varje år, hur stort är värdet efter 3 år och hur stort är det tre

år tidigare?

När han ska räkna bakåt i tiden räknar han som vore det framåt. Återigen plockar jag fram Multilink, staplar i olika längder och frågan: ”Hur stor del är den gula av den gröna, den gröna är referens?” Så småningom grupperade jag olika par ”Den gula av den gröna, den gröna av den gula” och skrev upp resultatet på tavlan t ex

5 4

och 4 5

. Han såg mönstret och jag såg mönstret på ett annat sätt än tidigare.

Tryggve, som är egenföretagare diskuterade ”omvända momsen” med Adam, de var överens om att den också är 25 %. Jag har sett det inverterade värdet som

25 , 1 1

, men det blir mycket

tydligare i bråkform 4 5 och 5 4

. Det är intressant att mönstret inte går att se i decimalform, medan det blir tydligt i bråkform.

11 juni

Jag hade genomgång för Adam och Tryggve med diskussion om vad orden absolut och relativ betyder. Det första förslaget för ”absolut” var ”exakt” och för ”relativ” ”ungefär”. Jag skrev upp alla deras förslag på tavlan, sedan suddade jag dem som inte hade med matematik att göra och kvar stod bland annat när det gällde det relativa ”Av vaddå?”. Det uttrycket hade vi mycket nytta av när de fick arbeta med att bygga i Multilink. De här grabbarna njöt av att bygga tillsammans och fick träna mycket på att uttrycka sig, inte minst utifrån: ”Vaddå av vadå?”. Det räcker inte att säga: ”Det är en tredjedel.” De illustrerade bråk som två figurer, en för det hela och en för delen. För den ene ingick delen i det hela men inte för den andre. Det blev bra diskussioner på temat ”Vaddå av vaddå?”. De fick i uppgift att bygga:

3 1 2 1

+

Tryggve bestämde direkt att det skulle bli 5 2

. Jag skrev upp det på tavlan med ett frågetecken

efter. Utan att ha kommit fram till hur de skulle bygga 3 1

koncentrerade de sig på svaret. De var helt låsta där De fick illustrera på tavlan hur en halv tårta ser ut och hur en tredjedels tårta ser ut. Först när de insåg det orimliga i sitt svar kunde de koncentrera sig på uppgiften istället för svaret. De byggde halvan som 2 staplar med sex i varje och kom fram till att tredjedelen skulle innehålla fyra kuber, men de var inte klara över hur de skulle illustrera sin tanke, att det var 4 av 12. Jag bad dem bygga om sina två staplar till en så att de kunde se att höjden var den samma och även skulle vara det på resultatet. När man har gjort dem lika långa har de en gemensam referens och man kan behandla dem som vore de absoluta. 6 kuber på den halva plus 4 kuber på tredjedelen av det hela som är 12”. De var entusiastiska och ville fortsätta nästa gång.

18 juni

Vi avslutade dagen med bråkräkningsrepetition med Multilink.

Illustrera 4 1 2 1 +

Tryggve byggde staplar som var 12 höga och fick det till 12

9

. Adam som kan räkna med

siffror hade stora problem och undrade varför det inte blev 8 6

. Det blev bra diskussioner om förlängning, förkortning och relationer.

Diskussion

Tack vare det här projektet har jag skaffat mig bättre redskap och ett mer medvetet förhållningssätt när det gäller bråk. I mitt arbete med vuxna, både innanför och utanför murarna upptäcker jag ständigt hur den grundläggande förståelsen saknas, många har lärt sig metoder och lyckats komma till en relativt hög nivå, klarade A-kurser och ännu längre. En hel del vet inte hur det går till att omvandla bråk till decimalform, att det har med division att göra är främmande. Det är lätt att känna sig frustrerad över bristerna i taluppfattning som gör att en elev ligger på många nivåer samtidigt. Möjligheten i det är att man med den utgångspunkten kan låta människor på väldigt olika kunskapsnivåer samarbeta. Förmågan att räkna skiljer sig, men arbeta med känslan för talen kan man göra gemensamt, alla kan tänka.

Inte förrän med det laborativa materialet har jag kunnat tydliggöra relationen mellan talen. Jag har lärt mig mycket av mina elever och av Multilink och tärningar. Både jag och eleverna har kört fast, känt oss vilsna och kommit vidare. En lärdom att ta med i livet utanför murarna kan vara att problem är möjliga att formulera och lösa och att frustration och förvirring både är nödvändiga och uthärdliga i processen.

Jag har fått en djupare förståelse för elevers svårigheter. Relationen hos bråk blir tydlig med konkret material, man tvingas fundera på vad som är en del av vad. Samband syns. Det inverterade värdet kan illustreras, t ex ”omvända” momsen. Eleverna lär sig att kritiskt fråga varandra och sig själva: ”vad då av vad då?” De får en känsla för att bråk och procent är annorlunda och svårt för att det är relativt och att svårigheten ligger i relationen och inte i siffrorna.

Jag tror att det är värdefullt att kunna växla mellan det konkreta och det abstrakta, att bredda sina kunskaper och betrakta företeelser ur olika perspektiv. När man kan konkretisera sina

abstrakta kunskaper fördjupar man sin förståelse. Kan man göra sina konkreta erfarenheter abstrakta kan man ta med sig den kunskapen till en annan konkret situation. Om man t ex ser principen hos en betongblandare kan man se att den går igen i en matberedare och vice versa. Trots att mat och betong inte alls är samma sak.

Det blir tydligt med Multilink hur viktigt det är med språket för att beskriva relationen. ”Den är 4/5” som elever ofta säger räcker inte. Den gula är 4/5 av den gröna. Den rosa är 8/4 av den bruna, den rosa är 2 ggr större än den bruna, den rosa är 200 % av den bruna. Den rosa är 100 % större än den bruna. Språket blir lättare att motivera med konkret material. Genom att tala matematik generaliserar man sitt matematiska tänkande och ser lättare mönster. Förmågan att både förklara sina egna tankar och lyssna till andras utvecklas. Eftersom matematik är ett exakt språk är det utmärkt att träna sin kommunikativa förmåga i. När man känner sig förstådd, när man lär sig hur man ska göra sig förstådd minskar mängden missförstånd och frustration, en frustration som i vissa fall kan bli handgriplig och skadlig.

I min ansökan ställde jag frågan vad en vuxen människa behöver kunna i matematik. Det jag vill är att varje människa ska ha med sig känslan av att matematik är ett spännande och användbart redskap. Genom att lära sig manipulera tal, som att förlänga och förkorta utan att förändra deras värde läggs grunden till en stor del av den fortsatta matematiken. Den som förstår förlängning och förkortning i grunden minimerar sina problem när det gäller fortsatta studier i matematik. Adam som läser D-kursen uttryckte sig med orden: ”Jag gillar

matematiken för jag kan manipulera den som jag vill ha den” Att kunna manipulera tal ger en känsla av att ha makten över talen istället för den maktlöshet som många känner i kontakt med matematik och siffror.

Kommentarer om och av elever

Om jag ska dela in eleverna i två grupper utifrån hur positiva de är till att arbeta laborativt så blir det inte efter kunskapsnivå som jag hade förväntat. Det handlar mer om förhållningssättet till det som är obekant och intresset för problemlösning. Ju mer bundna till boken och att hitta ”rätt svar” desto mer negativ inställning och större startmotstånd.

Exempel på kommentarer från elever positiva till laborativt arbetssätt.

Det blir tydligare, det är viktigt att kunna se vad man gör, ser man bara siffrorna förstår man inte vad man håller på med.

Det var länge sedan jag lärde mig så mycket.
Nu förstår jag vad jag vad jag håller på med.

Det är konstigt att han tänker helt annorlunda, jag trodde alla tänkte som jag.
Det är roligt.

Att det kan vara så svårt att förklara så de andra förstår.

Matematik är som musik, inte förrän man spelar med andra förstår man vad man håller på med.

Exempel på kommentar från elever med fokusering på det enda rätta svaret
Det är förvirrade och svårt.

Det tar tid från väsentligheterna.
Det blir så jobbigt.

Kan du inte bara säga rätt svar!

Jag vill inte ägna mitt liv åt meningslösheter. Det är för bokens skull jag är här!
Jag kunde förut.

Referenser

NCM (2002) Vuxna och matematik – ett livsviktigt ämne, Göteborg

Kriminalvårdens forskningskommitté (2002) Rapport 6, Att studera i fängelse – Utvärdering

av klientutbildning inom Kriminalvården, Norrköping

Nämnaren Tema (2000)Matematik – ett kommunikationsämne, Göteborg

http://www.lut.mah.se/nms/matematik/biennal-04/pdf/222.pdf Matematikinlärning med

Multilink

Per Berggren, Maria Lindroth (1999) På G i matematik Ekelunds förlag, Värnamo

Kriminalvårdsstyrelsen Tidskriften ”Runt i Krim” nr 2 år 2004-10-07(utdrag ur ”Fångarna,