Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng
Elevers uppfattningar kring bråk
Students´ perception of fractions
Ulrika Holgersson
Lärarexamen och fritidspedagog 210hp Matematik och lärande
2010-06-04
Examinator: Eva Riesbeck
3
Sammanfattning
Detta arbete ger en uppfattning om vad elever i skolår 6 har för attityder kring området bråk och sin bråkinlärning. Insamling av material skedde med undersökningsmetoden enkäter. Med metoden ”Grounded Theory” har jag sammanställt och kategoriserat mina resultat. Det
innebär att man låter elevernas svar på enkäterna ”tala” till sig. Bland de slutsatser som dras i studien är att många elever finner bråk vara ett tråkigt och svårt område. En mer
vardagsanknuten undervisning bör vidare tillämpas då vissa elever är inte medvetna om varför de lär sig bråk i skolan. Många kan inte praktisera sina bråkkunskaper i sin vardag och ser ingen mening med att lära sig det.
Nyckelord
Attityder Bråk Bråkuppfattning Matematik Rationellt tal Vardagsmatematik5
Förord
Ett stort och varmt tack till min farmor Berit Holgersson som har stöttat mig, bidragit med konstruktiv kritik och gett mig vägledning till att åstadkomma mitt bästa. Jag vill även ge min tacksamhet till Per- Eskil Persson som hjälpt mig och gett mig värdefull handledning under skapandet av mitt examensarbete.
Tack till alla de pedagoger på skolorna som hjälpte till och samtliga elever som ställde upp och deltog i min undersökning.
7
Innehållsförteckning
1. Inledning... 9 2. Syfte ... 10 2.1 Frågeställningar ... 10 3. Litteraturgenomgång ... 11 3.1 Begreppsdefinitioner ... 11 3.1.1 Bråk – ”brutet tal”... 113.1.2 Division – ett av de fyra räknesätten ... 11
3.1.3 Grounded Theory ... 12
3.1.4 Rationellt tal... 12
3.1.5 Vardagsmatematik... 12
3.2 Lpo 94 och kursplanen i matematik ... 13
3.3 Bråk i matematikundervisningen... 13
3.3.1 Räkning med tal i decimalform eller bråkform ... 15
3.3.2 Koppling mellan skolmatematik och vardagsmatematik... 15
3.3.3 Elevers eventuella svårigheter med bråk ... 17
3.3.4 Elevers prestationer i matematik och bråk... 20
4. Metod ... 21
4.1 Datainsamlingsmetod ... 21
4.2 Urval ... 22
4.3 Genomförande ... 23
4.4 Databearbetning och tillförlitlighet ... 24
4.5 Analysmetod... 24
5. Resultat... 25
5.1 Hur kontrolleras elevernas bråkkunskaper i det nationella provet? ... 25
5.1.1 Delen självbedömning: Du och matematiken... 25
5.1.2 Uppgift innehållande division på den del eleverna fick använda miniräknare ... 25 5.1.3 Uppgift innehållande division på den del eleverna inte fick använda miniräknare 26
8
5.2 Sammanställning enkäter... 27
5.2.1 Vilka uppfattningar utrycker elever att de har om bråk? ... 27
5.2.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna? ... 29
5.2.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan? ... 30
5.2.4 Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna? ... 31
5.3 Sammanfattning... 32
6. Diskussion ... 33
6.1 Reflektion över undersökningen... 33
6.2 Reflektion över de Nationella proven... 34
6.3 Reflektion över enkäterna... 36
6.3.1 Vilka uppfattningar uttrycker elever att de har om bråk?... 36
6.3.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna? ... 38
6.3.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan? ... 38
6.3.4 Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna? ... 39
6.4 Mina egna slutsatser ... 40
6.5 Förslag till fortsatt forskning ... 42
7. Referenser... 43
8. Bilagor ... 45
Bilaga 1 (Brev till föräldrar) ... 45
Bilaga 2 (Enkät)... 47
Bilaga 3 (Remsor)... 53
9
1. Inledning
Det område inom matematiken som behandlar bråk tyckte jag själv alltid var både svårt och tråkigt i skolan. Bråk ansåg jag var ett komplicerat område som innehöll svårigheter med att tillämpa de olika räknesätten, framförallt division. Detta bidrog till minskat intresse och engagemang. Under kursen Tvärmatematiskt projekt (alfa 5) fick vi lärarstudenter i uppgift att ta oss ut på gymnasieskolor i Malmö eller på annan ort. Där skulle vi ta kontakt med
gymnasielärare i matematik och fråga vad de ansåg att eleverna saknade mest grundkunskaper i och hade svårast för i matematik när de kom från grundskolan. Majoriteten av
gymnasielärarna gav förslag på bråkuppgifter.
Min första vecka i termin sju under den verksamhetsförlagda tiden, funderade jag över en elev som jag uppfattade som duktig i matematik. I en dialog med eleven frågade jag om hon tyckte matematik var roligt. Svaret blev: ”Ja! Men inte bråk”. Under ytterligare diskussion på en lektion där jag frågade om syftet med bråk, berättade eleven att det kan vara bra att kunna när man lagar mat och bakar. Ibland är recepten inte gjorda för rätt antal personer och då tyckte eleven att det var bra att kunna bråk. Ett annat förslag var att när man får något godis eller en kaka och ska dela den med sina syskon eller kompisar, då var man tvungen att veta hur stor del varje person skulle få. Eleven har förstått hur bråk används i sin vardag, men jag tror inte alla elever är medvetna om detta i samband med sin bråkinlärning.
Om läraren kan få eleverna till att se en koppling mellan matematiken och vardagen, då tror jag att det kan resultera i att man bygger upp positiva uppfattningar och attityder till
matematik hos eleverna. Ett mål för eleverna att uppnå i grundskolan är att de ska behärska grundläggande matematiskt tänkande men även att de ska kunna tillämpa det i vardagslivet (Skolverket, 1994, s. 10). Enligt Emanuelsson, Johansson & Ryding (1991a) råder idag enighet om att matematikundervisningen bör ta sin utgångspunkt i elevernas
vardagserfarenheter. Pedagoger ska försöka att knyta matematiken till sådant som eleverna redan kan och vet, och till situationer som känns välbekanta för dem.
10
2. Syfte
Syftet med mitt examensarbete är att få fram resultat som jag hoppas ska bidra till att hjälpa andra matematiklärare i både grundskolan och gymnasiet till att få en bättre inblick i varför många elever kanske har en bestämd uppfattning om bråk. Genom att se på de nationella proven som genomfördes vårterminen 2009, vill jag belysa hur elevernas bråkkunskaper kontrolleras. Arbetet ska undersöka och försöka få svar på om negativa attityder till bråk kan ha sin utgångspunkt i att elever tycker det är svårt och inte känner att de förstår detta område. Studien ska även ge en bättre inblick i om eleverna är medvetna om vad bråkundervisning i skolan har för syfte för dem att lära sig och om eleverna vet när de tillämpar bråk i vardagen.
2.1 Frågeställningar
1. Hur kontrolleras elevernas bråkkunskaper i det nationella provet? 2. Vilka uppfattningar uttrycker elever att de har om bråk?
3. Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna? 4. Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan?
11
3. Litteraturgenomgång
I min litteraturgenomgång tar jag upp definitioner på olika begrepp som till exempel bråk, rationellt tal och vardagsmatematik som är centrala begrepp i mitt arbete. Jag ger även för mitt arbete relevanta förslag på vad som står i läroplanen och kursplanen i matematik. Eftersom jag har genomfört min undersökning bland elever i skolår 6, så ska de ha uppnått målen för femte skolåret. Deras nya mål att uppnå blir de som gäller för skolår 9, vilka jag har gett förslag på. Jag behandlar sedan fyra områden som är om eleverna borde tillämpa räkning med tal i decimalform eller bråkform, vilken koppling görs mellan skolmatematik och
vardagsmatematik, vilka svårigheter med bråk kan elever eventuellt förfoga över och elevers prestationer i bråk och matematik.
3.1 Begreppsdefinitioner
Nedan följer definitioner på ord som är viktiga att ha förståelse för då något av orden följer med hela arbetet.
3.1.1 Bråk – ”brutet tal”
Nationalencyklopedin (2009) förklarar det som ett matematiskt uttryck av formen
b a
, där a kallas täljaren, b nämnaren och strecket bråkstreck. Nämnaren får aldrig vara noll för då blir det ett naturligt tal. En division med de naturliga talen kan utföras i den mån täljaren är jämnt delbar med nämnaren. Genom att man inför bråk utvidgas räkneområdet till de rationella talen, där de fyra enkla räknesätten alltid kan utföras (utom division med noll).
Kilborn (1999) ger en förklaring på vilka former bråk kan visa sig i och utanför skolan. Dessa kallar han ”bråkets olika ansikten” och formerna är som tal, del av en hel, del av ett antal, proportion eller andel och som förhållande.
3.1.2 Division – ett av de fyra räknesätten
Division är det räknesätt där man dividerar ett tal som kallas täljare med ett tal som kallas nämnare och får en kvot som resultat. I en division
3 15
är talet 15 täljare, talet 3 nämnare och kvoten blir 5. Uttrycket
3 15
12
3.1.3 Grounded Theory
På svenska är översättningen grundad teori. Nationalencyklopedin (2010) beskriver grundad teori som en vetenskaplig metod för att framställa nya teorier inom samhälls-, beteende- och hälsovetenskaperna. De ger även följande klargörande att en undersökning gjord med denna metod skiljer sig från traditionella induktiva och hypotesprövande undersökningar genom att datainsamling och dataanalys sker samtidigt och påverkar varandra. Inledningsvis är
datainsamlandet öppet och inte påverkat av förutfattade föreställningar och teorier, men efter hand som materialet analyseras växer teoretiska idéer fram och påverkar fortsatt urval och insamlande av data. Urval och datainsamlande blir på detta sätt styrt av idéer som skapats ur och är grundade i datamaterialet. Genom att datamaterial hela tiden jämförs kommer de teoretiska idéerna att bli klarare samtidigt som forskaren kommer att utveckla en teoretisk känslighet för materialet. Efter hand blir kärnproblemet mer synligt, dvs. det centrala problem individerna man undersöker står inför. Den teori undersökningen resulterar i är främst en beskrivning av den utveckling individerna går igenom när kärnproblemet hanteras.
3.1.4 Rationellt tal
Rationellt tal är tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal,
q p
, där q inte får vara lika med noll. (Nationalencyklopedin, 2009)
3.1.5 Vardagsmatematik
I ordet ”vardagsmatematik” så känner man igen båda orden som sammansättningen består av. Det första ordet ”vardag” beskrivs enligt Nationalencyklopedin (2010) som alla dagar i veckan förutom söndag eller helgdag, alltså arbetsdagar där det som sker eller förekommer inte förefaller vara särskilt anmärkningsvärt högtidligt eller dylikt. Då kan man tänka sig att den matematik som elever använder sig av under en sådan vardag, enligt ovanstående definition, även kan benämnas som vardagsmatematik. De situationer som framkommer i vardagen skiljer sig dock för olika personer.
Med vardagsmatematik i min undersökning syftar jag till den matematik eleverna möter utanför undervisningen. Det kan vara på rasterna eller i deras vardagliga liv utan för skoltid som till exempel om de ska baka hemma och receptet ska ändras om för att passa rätt antal personer. Alla elever relaterar till och uppfattar vardagsmatematik på olika sätt då livet och
13
omvärldens inryck ser olika ut för alla människor. Den vardagsmatematik jag känner till är inte den samma för eleverna i skolan, eftersom jag har en annan erfarenhet.
3.2 Lpo 94 och kursplanen i matematik
Skolan skall sträva efter att varje elev utvecklar ”nyfikenhet och lust att lära”, samt att eleverna ”tillägnar sig goda kunskaper inom skolans ämnen och ämnesområden, för att bilda sig och få beredskap för livet” (Skolverket, 1994, s. 9).
Mål för eleverna att uppnå i grundskolan är att de ”behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Skolverket, 1994, s 10).
”Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer,” (Skolverket, 2000, s. 26).
Efter femte skolåret ska ”eleven ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö”. Eleven ska även ha en ”grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform” (Skolverket, 2000, s. 29). Efter nionde skolåret ska eleven ”ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle,” (Skolverket, 2000, s. 30).
Bedömningen gällande elevens förmåga att reflektera över matematikens betydelse för kultur- och samhällsliv, avser elevens ”insikter i och känsla för matematikens värde och
begränsningar som verktyg och hjälpmedel i andra skolämnen, i vardagsliv och samhällsliv” (Skolverket, 2000, s. 31).
3.3 Bråk i matematikundervisningen
I det följande refereras bl.a. Arne Engströms avhandling, ”Reflektivt tänkande i matematik – Om elevers konstruktioner av bråk” (1997). Engström ger exemplifieringar ur Behr (1992); Bryant (1974); Hasemann (1987a); Padberg (1989); Piaget (1924); Rouche (1994); Sandel
14
(1956); Spinillo & Bryant (1991). Engström har behandlat ett antal områden som har visat sig vara problematiska vid räkning med bråk.
I matematikundervisningen i skolan är mycket av den matematik eleverna lär sig väldigt konkret och bråk är enligt Engström (1997) den första mer abstrakta matematik som eleverna möter. Han anser att eleverna ska vara förtrogna med de naturliga talen innan de börjar arbetet med de rationella. Det är först under det fjärde skolåret i grundskolan som eleverna
presenteras för tal i bråkform och decimalform. För att kunna räkna med bråk på det sätt eleverna ska lära sig under grundskolans senare år måste man enligt Engström behärska framförallt division. Division är det räknesätt som blivit föremål för flest diskussioner och kanske därför också bedömts som det svåraste (Emanuelsson m.fl., 1991b). Ljung (1990) har gjort en undersökning som visar på att en femtedel av eleverna uppfattar matematik som ett svårt och tråkigt ämne. Enligt Ljung är det viktigt för eleverna att de lyckas i matematik och gör de inte det kan det ge tendenser till aggressivitet och ångest hos eleverna som kan utvecklas till en motvilja för ämnet.
Behr (1992) konstaterar att hur man ska arbeta med bråk i skolan är omdebatterat inte bara i Sverige utan även utomlands, eftersom det är ett område eleverna stöter på problem i. Den internationella forskningen är inte enig kring hur bråk bör arbetas med i skolan, men
överenskommelse ligger i att det finns ett problem med elevers prestationer i bråk. Med denna förutsättning har Engström (1997) i sin forskning strävat efter att undersöka hur elever lär sig bråk. Han ville ta reda på vilka problem eleverna stöter på i arbete med bråk. Hans avhandling behandlar frågor som berör elevers föreställningar om och operationer med bråk. Engström behandlar även dessas relevans för undervisningen det vill säga hur eleverna försöker skapa sig en mening i sitt matematiska tänkande. Det som skiljer mitt och Engströms arbete är att jag inriktat mig mer på elevernas attityder till hela området bråk. Jag sträva efter att låta eleverna få förklara var deras uppfattningar kommer ifrån. Den största skillnaden mellan mitt och Engströms arbete är att jag undersöker hur medvetna eleverna är om hur de använder sig av räkning med bråk utanför skolans undervisning.
15
3.3.1 Räkning med tal i decimalform eller bråkform
Räkning med tal i decimalform istället för bråkform har börjat tillämpas mer. Motiveringen till detta har legat i att det anses att eleverna möter tal i decimalform mer ofta i sin vardag som till exempel priser och vikter än tal i bråkform. Det sägs även att det är lättare för eleverna att räkna med tal i decimalform (Engström, 1997). Det sistnämnda argumentet ifrågasätter Engström då han refererar till Padbergs (1989) tyska undersökning med 900 elever från 34 klasser. Undersökningen gjordes med elever i skolår 7, där det visade sig att eleverna inte uppvisade några generellt bättre prestationer med räkning av bråk i decimalform än med allmänna bråk. Prestationerna låg något högre vid räkning med bråk i decimalform gällande addition och subtraktion, men med multiplikation och division låg prestationerna mycket högre i räkning med bråkform. Padberg (1989) påpekar fördelarna med att tillämpa båda formerna, då han anser att man bör hitta ett samspel i undervisningen, som ger eleverna möjlighet att uppfatta det som olika sätt att beskriva samma matematiska objekt.
En del lärare försöker undvika problemen med bråkräkning genom att övergå till decimalform och ser detta som ett exempel på kortsiktig metodik. De är uppenbarligen inte medvetna om att decimaltalet endast är ett speciellt sätt att skriva bråk på och att reglerna för
decimaltalsräkning enklast bevisas med hjälp av bråk (Löwing & Kilborn, 2002). Man
använde bråkform i Mesopotamien och Egypten redan ett par årtusenden före vår tideräkning. Inte förrän 1585 utkom en bok med den första systematiska genomgången av räkning med decimalbråk. Enligt Engström (1997) tillämpades de allmänna bråken som till exempel
2 1 betydligt tidigare än decimalbråken som till exempel 0,5. Logiskt är det lättare att föreställa sig ett äpple i två delar och du tar en bit, än ett äpple i tio delar och du ska ta fem bitar. Thompson (1991) hävdar att bråkbegreppet är mer fantasiväckande än decimalbegreppet. En didaktisk följd av att bråktalen presenterades långt före decimaltalen, är att bråk bör användas flitigt i grundläggande matematikundervisning enligt Thompson.
3.3.2 Koppling mellan skolmatematik och vardagsmatematik
Att eleverna uppfattar att bråk är något de har lärt sig men glömt har noterats av Engström (1997) som en faktor som påverkar lärandet. Detta kanske speglar en uppfattning hos elever om bråk, som någonting de inte behöver komma ihåg.
16
Idag råder en enighet om att matematikundervisningen bör ta sin utgångspunkt i elevernas vardagserfarenheter. Lärare försöker att knyta matematiken till sådant som eleverna redan kan, vet och till situationer som är välbekanta för dem. Mycket talar för en sådan nära
koppling mellan elevers vardagserfarenheter och skolmatematik (Emanuelsson m. fl. 1991a). Kilborn (1999) menar att när eleverna stöter på bråk i sitt vardagliga liv, gör de sig oftast inte till synes som när de lär sig räkna med det i skolan. Han syftar till att det kan bland annat innefatta storheter. Ett exempel är: ”Jag kommer om en kvart.” Kilborn menar att man inte behöver ha uppfattning om vad bråk är för att förstå denna typ av uppgifter.
Wedege (2002a) behandlar i sin rapport “Mathematics – that’s what I can’t do” –
Peoples affective and social relationship with mathematics, vuxna individers förmåga att
uppfatta matematiken i sin vardag. Deras förmåga att upptäcka sambanden mellan den
formella och den informella matematiken, mellan skolmatematiken och vardagsmatematiken. I rapporten konstaterar Wedege ett tydligt behov av en varierad undervisning och en
vardagsförankrad matematik. Vidare pekar hon på de stora skillnaderna när det gäller
uppfattningar och syn på matematiken hos vuxna beroende på vilken typ av matematik de har mött det vill säga formell eller informell matematik. Wedege skriver om skillnader mellan skolmatematik och vardagsmatematik, vilka konsekvenser dessa skillnader kan få för
människors föreställningar om matematik. Hennes forskning visar att en vanlig föreställning bland vuxna är att vardagsmatematik har lite eller inget gemensamt med skolmatematik. Vardagsmatematik uppfattas inte till skillnad från skolmatematik som matematik, utan snarare som sunt förnuft. Enligt Wedege kan vuxnas motvilja eller bristande förmåga att betrakta vardagsmatematik som matematik, bero på att det finns stora systematiska skillnader mellan skolmatematik och den matematik som vuxna möter i sina arbeten. Det är rimligt att även den matematik som elever möter utanför skolan skiljer sig från skolmatematiken och att den skillnaden påverkar deras föreställningar om sambandet mellan skolmatematik och
vardagsmatematik. Många elever är inte medvetna om att de använder matematik i vardagen. Elever måste få se sambandet mellan matematiken och vardagen för att förstå hur den
matematik de lärt sig i skolan kan tillämpas i vardagen. Matematik är mer än nyttig kunskap och behöver göras relevant för eleverna till att passa deras liv så de kan dela denna mening (Ernest, 2006). Får elever förståelse för sambanden mellan matematik och vardag blir attityderna till matematik mer positiva enligt Wedege.
17
Enligt Boaler (1993) finnes en komplex relation för varje individ mellan den värld var matematik är utvecklad och i den värld matematik tillämpas. Som lärare måste
undervisningen utformas på ett sätt så att eleverna finner sambandet mellan dessa två världar och inte uppfattar dem som skilda fenomen. Enligt Boaler (1993) är användandet av
vardagsmatematikens sammanhang som eleverna ska identifiera sig med, ofta hämtad från den värld vuxna lever i. Att arbeta fram en kunskap utifrån hushållsräkningar är en bra verklighetsanknytning med det är inte elevernas verklighet. Wedege (2002b) presenterar i en av delarna av hennes undersökning där hon har observerat en busschaufför och en kvinna som arbetar på golvet i en affär med att bland annat fylla på mjölk. Båda fallen illustrerar arbete med siffror när det gäller till exempel tid och datum. Detta är exempel som passar elevers vardag. Hur mycket kostar min bussbiljett, hur länge gäller den, vilken tid går den ut, hur gammal är mjölken?
Freudenthalinstitutets forskare kallar sin syn på hur undervisningen i matematik ska bedrivas för ”Realistic Mathematics Education”, RME (2010). De teorier som förespråkas av RME har haft stor betydelse långt utanför Europas gränser. RME framhåller vikten av att matematik ska vara en meningsfull mänsklig verksamhet och utgå ifrån elevernas individuella matematik. Elevernas matematikutveckling ska ges genom kontinuerlig matematisering av problem från verkligheten och fantasin som eleverna kan identifiera sig med (Neuman, 1997).
3.3.3 Elevers eventuella svårigheter med bråk
Freudenthal (1983) anser att räkning med rationella tal är komplicerat och att det kan vara en möjlig orsak till varför elever stöter på svårigheter när de ska genomföra uppgifter med bråk i
skolmatematiken. På det viset eleverna mött tal förut skiljer sig markant från de rationella
talen och eleverna kan ha svårigheter med att uppfattar de rationella talens mäktighet eller ser dem helt enkelt inte som tal enligt Engström (1997). Nu representeras olika begreppsliga tolkningar i en och samma symbol. Bråk sett som en del av en helhet, till exempel
2 1
, kan nu även skrivas som
4 2
, 8 4
, 0,5 eller 0,50. När det kommer till bråktal så finns det inget minsta tal som det gör bland de naturliga talen. De kan inte heller på ett enkelt sätt storleksordnas.
18
Enligt Engström kan antas att alla lärare inte är medvetna om och/eller underskattar de svårigheter eleverna känner när de kommer till att arbeta med de rationella talen.
Skott, Hansen, Jess, & Schou (2010) anser att de rationella talen är ett väldigt starkt redskap för att beräkna saker och ting både inom och utanför matematiken. De menar på att de rationella talen ska behandlas med stor omtanke i skolan för det är många saker inom
förståelsen för bråk som ska uppfattas och falla på plats. De ger exempel från Lampert (2001) där han gav ett matematiskt problem som skulle lösas av elever som är elva år. De anser att elever får problem i senare åldrar då de endast tar en formel och använder denna utan att förstå vad uppgiften innebär eller klarar sätta den i ett vardagssammanhang.
Freudenthal (1983) ger oss en liten antydan om de rationella talens komplexitet och
kontextuella sammansatthet. Detta kan vara en grundtanke på de svårigheter eleverna får när de ska börja sin inlärning av bråk. När eleverna möter tal som till exempel 5 som även kan skrivas som förslagsvis 2+3 eller 7-2, menar Freudenthal att det man först oftast möter är uttrycket 5 och befäster detta. När det kommer till de rationella talen anser han till exempel att det lättaste sättet är att skriva
3 2
, men att det finns så oändligt många rationella tal som har samma innebörd att han inte kan tala om vilket han mötte först. Freudenthal har även gjort en grundlig genomgång av hur bråk kommer till synes i vardagsspråket. Hans syfte var att visa på de många olika sätt som vi möter bråk i vardagen. Rouche (1994) har pekat på en del brister som han anser Freudenthal (1983) gör i samband med vardagsmatematik. Exempel på vardagsmatematik som man ofta stöter på är att arbeta med rationella tal följt av storheter som meter, kilo och liter. Rouche (1994) lägger sin kritik i klarheten mellan additiva och
multiplikativa strukturer hos bråk. Han syftar på att i vardagen kan man förstå additiva strukturer när det handlar om till exempel längd. När det kommer till att multiplicera två längder menar Rouche att man då inte får längd som resultat. För att då förstå multiplikation av bråk måste man bortse från det verkliga sammanhanget som i detta fall handlar om längd och bara utföra räkneoperationen. Även Skott m.fl. (2010) har kommenterat skillnaderna och svårigheterna med att addera och multiplicera bråktal. De menar att så länge man tänker på konkreta representationer av bråk som att lägga ihop
2 1
pizza med 2 1
pizza framstår det naturligt för eleverna. Men att multiplicera
2 1 pizza med 2 1 pizza känns meningslöst. De
19
syftar till att många förmodligen lärde sig operationerna för användandet av bråk som regel utan en meningsstiftande kontext och detta är en följd av att vi inte har tillräckligt med
vardagliga erfarenheter att bygga på. Kilborn (1999) menar att det inte är själva bråket som är svårt att förstå, utan det är vissa räkneoperationer som är svåra att åskådliggöra för eleverna. Piaget (1924) anser att elevers föreställningar om bråk är beroende av två grundläggande förhållanden vilka är del - helhet och del - del. Progressionen av sambandet mellan del och helhet kan beskrivas som en samordning av olika delfunktioner hos eleverna enligt Engström (1997). Att få erfarenhet av delning borde därför vara grundläggande att ge eleverna inför förståelsen för de rationella talen. Yngre barn fokuserar på delarna eller helheten och har svårt att integrera delarna i helheten enligt Piaget (1924) och detta kan gälla barn ända upp till 9-10 års ålder. Att bevara helheten av till exempel en tårta samtidigt som du ska behandla de olika delarna är en utmaning för barn. I Sandels (1956) undersökning resulterade det i att små barn som får en tårta väljer att antingen ge bort hela tårtan eller behålla den själv. Sandel påpekar att begreppen helhet och del utvecklas genom ett samspel, då barnen slutligen ser delen som något som ingår i helheten och att helheten består av delar.
Padberg (1989) hänvisar bland annat till förklaringen som uppstår när elever uppfattar 3 1
som ett större tal än
2 1
för att 3 är ett större tal än 2, på en bristande förståelse där eleven antingen riktar uppmärksamheten mot antalet delar eller mot delens storlek.
Hunting och Davis (1991) säger att bråket 2 1
har visat sig vara en grundläggande byggsten. Det är oftast det bråktal eleverna först stöter på och en del använder en
2 1
som referenstal när de ska jämföra olika bråk med varandra. Betydelse av en
2 1
diskuterandes redan av Bryant (1974), då han menar att innan eleverna uppfattar sambandet mellan del och helhet kan de göra jämförelser i relationerna del - del. Eleverna använder sig då av relationer som mindre/större än och lika med, där en
2 1
kan vara deras referenstal. Detta har följts upp av Spinillo och Bryant (1991) i senare forskning. Även Hasemann (1987a) diskuterar att bråk
20
genom upprepad halvering är en av de bråkföreställningar som kan finnas bland elever. Som exempel att en fjärdedel uppfattas inte som en hel delad i fyra delar utan som hälften av en halv. Hasemann gjorde en intervju med elever i fjärde klass, där de skulle markera en halv, en fjärdedel och en tredjedel på en angiven sträcka. Eleverna klarade av att ange en halv och en fjärdedel men när de skulle visa var en tredjedel var resulterade det i att de antingen visade först ”en halv och en fjärdedel” eller ”tre fjärdedelar”.
3.3.4 Elevers prestationer i matematik och bråk
Nuvarande utbildningsminister Jan Björklund anser att elever blir allt sämre på matematik. Enligt Björklund ligger en av förklaringarna i att det brister i lärarutbildningen för låg- och mellanstadielärarna. En av de största satsningarna som kommer i förslaget till en ny
lärarutbildning kommer enligt Björklund vara med matematikundervisning. Ett halvårs heltidsstudier kommer att vara lägsta kravet. (Svt, 2009a)
När TIMSS-rapporten (Trends in International Mathematics and Science Study) 2003 presenterades, visade det sig att svenska åttondeklassares kunskaper i matematik sjunkit mer än i något annat land som deltog i undersökningen. Tidigare har de svenska eleverna klarat sig ganska bra i jämförelse med de andra länderna men år 2003 låg de under genomsnittet. I rapporten skriver man fram att matematikundervisningen ofta är för lite konkret och har för lite anknytning till det praktiska livet. Man anför även att många elevers lust och förståelse för matematik som eleverna haft i de tidigare skolåren försvinner från och med femte klass. Det skrivs även i rapporten att när man inte förstår eller ser nytta med att lära något försvinner också lusten att lära. (Svt, 2009b)
På slutet av 1980-talet gjordes en finländsk undersökning med 3000 elever i skolår 3-6 (Engström, 1997). Där kom man fram till att de svåraste uppgifterna för eleverna var att representera bråk på en tallinje och framförallt om bråktalet var större än ett. Eleverna hade även svårt att uppfatta storlek på bråk och att konstruera ett annat namn på ett fastställt bråk. Magne (1990) menar att undersökningar gjorda för att undersöka elevernas prestationer i bråk har en väldigt låg lösningsfrekvens. För att man ska kunna dra slutsatsen att eleven behärskar det aktuella anser Magne att eleven ska befinna sig på en lösningsfrekvens runt 90 %. För tal i bråkform och rationella tal som helhet ligger lösningsfrekvensen lägre. PRIM-gruppen utförde
21
vårterminen 1989 en nationell utvärdering gällande elevers kunskaper och färdigheter i matematik i skolår två och fem (Figur 1).
Figur 1. Ett exempel på de bråktal som fanns för skolår fem och resultatet av lösningsfrekvenserna som till synes är låga (Engström, 1997).
Efter att läst och sett lösningsfrekvenserna i figur 1, arbetar jag vidare med att bland annat försöka ta reda på elevernas uppfattningar om bråk och var de uppfattar att dessa svårigheter innefattar.
4. Metod
I denna del redovisas och motiveras mitt val av metod. Angivelser för tid och plats för undersökningen. Beskrivning av mitt urval av elever enligt vissa kriterier och hur enkäterna genomfördes.
4.1 Datainsamlingsmetod
Jag valde att genomföra en enkätundersökning (bilaga 2) med elever som går skolår 6 i grundskolan. Syftet med enkäten är att ta reda på elevernas attityder till bråk och om de kan ge exempel som visar att de har kunskap om området. Johansson & Svedner (2006) beskriver intervjuer som att de ger en mer grundlig men smal information och enkäter bidrar till en bredare men mer ytlig information i en undersökning. Jag har med undersökningsmetoden enkäter delvis gjort en kvantitativ studie. Genom min analys och kategorisering gör jag däremot en kvalitativ resultatredovisning. Något som ofta används i sammanhang då man vill jämföra och generalisera är hög standardisering vilket innebär att jag ställer alla frågor i samma ordning till alla elever. Detta kännetecknas väl i undersökningar som har enkäter som metod (Patel & Davidson, 2003). Forskningsresultat ska gärna vara så generella som möjligt, då man ska kunna generalisera resultaten till de övriga individer som kan betraktas som jämförbara med individerna som deltagit i undersökningen (Patel & Davidson, 2003). Min
22
undersökning är endast gjord med 62 elever så underlaget är för litet för att kunna dra
generella slutsatser. Jag kan enbart jämföra och generalisera inom ramen av min undersökning och min studie av elever.
Jag har även studerat de nationella proven i matematik som genomfördes för eleverna på den första skolan när de gick i skolår 5, vårterminen 2009. Där valde jag ut och koncentrerade mig på de uppgifter som berörde bråk, rationella tal och division.
4.2 Urval
Anledningen till att jag gjorde enkätundersökningen i skolår 6 var på grund av vad som står skrivet i läroplanen och kursplanen för matematik. Detta val gjordes utifrån att eleverna då enligt kursplanen i matematik ska ha uppnått målen för skolår 5. Målen innefattar att eleverna ska ha grundläggande taluppfattning som omfattar enkla tal i bråkform (Skolverket, 2000). Dessa mål borde ha gett dem tillräckligt med grundkunskaper för att kunna bilda sig en uppfattning och inställning till bråk. Skolan jag bestämde mig för att genomföra enkäten i valdes på så sätt att jag har personlig kontakt med personal på skolan. Den anställda tog kontakt med den lärare som är ansvarig för matematikundervisningen för samtliga skolår 6 elever så jag fick mailadressen och kunde kontakta läraren själv.
Undersökningen på den första skolan ska genomföras med samtliga frivilliga skolår 6-elever, som är 52 till antalet. Skolan är belägen i utkanten av en storstad i Skåne. Majoriteten av skolans elever har invandrarbakgrund. Då jag inte visste hur stort antal elever som skulle välja att delta i undersökningen tog jag även kontakt med en matematiklärare på en annan skola. Dit var jag välkommen om det skulle bli ett stort bortfall av elever på första skolan så jag ansåg att antalet besvarade enkäter blev för få för att ge ett intressant och diskutabelt resultat. Denna skola ligger lite utanför en storstad i Skåne och har väldigt få elever med
invandrarbakgrund. Antalet elever i denna klass är 28 stycken.
För att det skulle bli en tyst och lugn miljö i klassrummet valde jag att genomföra
enkätundersökningen med hälften av eleverna åt gången. Under det första besöket kom 19 elever. Det blev ett bortfall på 7 elever som berodde på både giltig och ogiltig frånvaro. Vid mitt andra besök kom 15 elever. Det blev ett bortfall på 11 elever som även det berodde på både giltig och ogiltig frånvaro. Totalt blev det ett bortfall på 18 elever vilket jag anser är för
23
mycket för att kunna få ett acceptabelt resultat i mitt arbete. Jag ringde då den andra skolan och genomförde enkäten med 28 elever i skolår 6.
4.3 Genomförande
Jag inledde med att skicka ut ett brev (bilaga 1) till elevernas föräldrar där jag berättade lite om vem jag är, anledning till det aktuella brevet, hur jag kommer att hantera deras barns anonymitet och att deras barn fick lov att avstå och dra sig ur undersökningen när som helst. Föräldrarna fick ge skriftligt godkännande till att deras barn fick delta i undersökningen. När brevet som skulle följa med hem till föräldrarna lämnades, gavs samtidigt samma grundliga information till eleverna. Detta gav eleverna lite tid till att tänka över och besluta sig för om de ville delta i min enkätundersökning. När eleverna genomförde enkäten var jag närvarande under hela processen för att de skulle få möjlighet att ställa eventuella frågor. Alla elever fick en timme på sig att besvara enkäten. Eleverna var placerade så att de inte kunde titta på eller se någon av sina klasskamraters svar. Alla elever blev klara olika fort, så för de som lämnat in innan timmen var slut, förklara jag att de fick gärna tillbaka sina enkäter igen om det var något de skulle vilja förändra eller lägga till i efterhand.
Missivet som brukar följa med enkäterna valde jag att inte ha skriftligt utan genomföra muntligt för att minska eventuella missförstånd. Några viktiga områden som fokuserades på när jag skulle formulerar mitt muntliga missiv var att förklara för eleverna vad mitt syfte med undersökningen är (Patel & Davidson, 2003). På så sätt ville jag försäkra mig om att motivera eleverna till att genomföra undersökningen. Jag klargjorde varför deras insats är viktig och att detta är deras chans att få påverka bråkundervisning.
När jag ville se resultaten från de nationella proven, fick jag komma till skolan och gå igenom dem i ett avskilt rum. Jag har studerat resultaten för 33 elever som gick skolår 5 i våras, vilka jag även genomfört enkäten med. Jag tittade på de angivna målen som var relevanta för mitt arbete och där stod följande.
Eleven skall:
”ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och taluppfattning för enkla tal i bråk- och decimalform” (Prövas ej).
24
När jag fann att elevernas kunskaper inom området bråk egentligen inte prövades i det
nationella provet, valde jag att läsa igenom de uppgifter som har med division och delning att göra. För att eleverna måste enligt Engström (1997) behärska division för att kunna räkna med bråk på det sätt de ska lära sig under grundskolans senare år. Piaget (1924) anser att elevers föreställningar om bråk är beroende av förståelsen för delning. Erfarenhet av delning borde därför vara grundläggande att ge eleverna.
4.4 Databearbetning och tillförlitlighet
Kvantitativa undersökningar kan vara mer bristfällande och osäkra (Johansson & Svedner, 2006). Genom att jag använder enkäter som undersökningsmetod kanske jag inte får det djup på svaren som en intervju hade kunnat bidra till. Enligt Johansson & Svedner (2006) kan oklara frågor eller slarv vid ifyllandet av enkäten vara en orsak till låg reliabilitet. Det som kan ge en feltolkad bild i resultatet kan vara att eleverna har en inställning till ämnet matematik. Vid ifyllandet av enkäten fokuserar eleverna kanske på sin inställning till matematik och inte området bråk.
4.5 Analysmetod
Efter genomförd enkätundersökning började jag med att läsa igenom vad alla eleverna svarat. Sedan sammanställde jag svaren i datorn uppdelade efter varje enkätfråga. När samtliga svar var inskrivna sökte jag efter gemensamma faktorer med mina frågeställningar i åtanke, till att fortsätta skapa lämpliga kategorier. Utifrån de enkätfrågor jag utformade till att besvara mina frågeställningar delade jag in elevernas resultat till aktuell frågeställning. Efter dessa moment sökte jag samband mellan samtliga svar till att bilda mina kategorier. Kärnan genom varje kategori har genom en utsaga fått bilda rubrik. Jag har använt mig av metoden ”Grounded Theory”, vilket innebär att jag låter elevernas svar ”tala” till mig. Avsikten är att den
framställda teorin ska grundas i det insamlade resultatet och inte i någon på förhand bestämd teori.
25
5. Resultat
I följande avsnitt redogörs för resultaten från de utvalda frågorna på de nationella proven. Det presenteras även en sammanfattning av de enkätfrågor eleverna fick möjlighet till att besvara.
5.1 Hur kontrolleras elevernas bråkkunskaper i det nationella provet?
Jag har tittat på resultaten för 33 elever i skolår 6, genomförda när de gick skolår 5 vårterminen 2009. Det första jag möter i samtliga nationella prov är uppnåendemålen för skolår 5. Jag har valt ut det stycke som är väsentligt för mitt arbete.
5.1.1 Delen självbedömning: Du och matematiken
Inte svarat: 6 elever Säker: 9 elever
Ganska säker: 10 elever Osäker: 6 elever
Mycket osäker: 1 elev
Det var en elev som satte sitt kryss på gränsen mellan säker och ganska säker.
5.1.2 Uppgift innehållande division på den del eleverna fick använda miniräknare
Klarade uppgiften: 32 elever Svarade fel: 1 elev
Sara ger bort de 459 stenkulorna till sina tre syskon så att de får lika många var. Hur många får de var?
Du ska räkna ut 3 96
utan miniräknare. Eleven skall:
”ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och taluppfattning för enkla tal i bråk- och decimalform” (Prövas ej).
26
5.1.3 Uppgift innehållande division på den del eleverna inte fick använda miniräknare
Klarade uppgiften: 27 elever Svarade fel: 6 elever
Inte svarat: 3 elever Emma: 10 elever Tim: 22 elever Emil: 12 elever
Inte svarat: 6 elever Rätt: 14 elever Fel: 13 elever
Räkna ut följande uppgift på det sätt som du tycker är bäst. 8 816 Här ser du några exempel på hur några elever löser uppgiften
4 64
: Emma: Jag delar i divisioner som jag redan kan.
4 64 = 4 40 + 4 24 =10+6=16
Tim: Jag tänker först hälften av 64 och sedan hälften igen. 4 64 = 2 32 =16
Emil: Jag använder kort division. 4 64 = 4 4 62 =16
Vilken av elevernas lösningar förstår du? Ringa in dessa.
Femmorna i Petros skola ska ha påskfest. De ska vara 4 i varje lag för att kunna göra en lek. Hur många lag blir det om de är 52 elever?
27
5.2 Sammanställning enkäter
I följande avsnitt görs en sammanställning av de svar som angetts på enkäterna av samtliga elever. De fyra huvudrubrikerna är från mina frågeställningar i examensarbetet.
5.2.1 Vilka uppfattningar utrycker elever att de har om bråk?
Detta är en sammanställning av de resultat som angetts på frågorna 1-4. Vad eleverna tänker på när de hör ordet bråk samt deras konkreta exempel. Sammanställningen innefattar
elevernas attityder till bråk med deras egna formuleringar och beskrivningar.
Utsagor som kopplas till matematik generellt; ”När jag hör ordet bråk så tänker jag på matte”.
Detta svar gavs med olika meningsformuleringar av 29 elever. Eleverna relatera bråk till något som ingår i ämnet matematik.
Hur elever kan relatera bråk till något som har med delning att göra; ”Jag tänker på en kaka som man delar i olika delar…”
För att få en djupare förståelse för vad delning innebär finnes fortsättningen på föregående citat, ”… t.ex.
3 1
så tänker jag att det är 3 personer och allihopa ska få kaka och sen ska man skriva hur många bitar personerna ska få”. Bråk kan för dessa elever handla om att till exempel dela in cirklar, tårtor och pizzor. Det var 20 elever som gjorde anknytningar till någon form av delning.
Bråk har blivit relaterat till elevernas känslor och attityder; ”Att det är svårt…”
Det kan innebära att det kan vara komplicerat fast det är roligt men även att det är jobbigt. Anknytningarna gjordes av 9 elever och där finnes både positiva och negativa svar.
Elevernas exempel på vad bråk är; ”Exempel på bråk är
4 2 eller 8 3 ”.
Det är 32 elever som angett förslag på bråk i form av exempel på rationella uttryck. 5 elever beskriver bråk som ett rationellt uttryck men även att det kan innefatta räkneoperationer med olika bråktal. 7 elever skriver ett rationellt uttryck och gör kopplingar till räknesättet division. Det är 6 elever som antecknat att bråk är matte men inte förklarat eller angivet något konkret exempel.
28
Vad eleverna tycker om bråk; ”Jag tycker bråk är kul”. ”Jag tycker att bråk är ganska tråkigt.”
De har alla svarat inom områdena att de tycker det är kul eller tråkigt. Här följer även elevernas beskrivningar på varför de har följande inställning till bråk.
21 av eleverna förklarade bråk som något de tycker är kul. En del av dem anser det vara svårt och några betraktar det vara lätt. Trots olika inställning till om området bråk är svårt eller lätt ansåg alla att det är roligt. 17 elever relaterar bråk till någonting som är tråkigt. Svaren har ingen samhörighet med om de anser det vara ett svårt eller lätt ämne. 18 elever kan inte ge ett exempel på vad de tycker om bråk då de syftar till att det var så länge sen de hade bråk att de har glömt bort det. Många av dem anser att bråk är nu svårt och att det resulterar i att det blir tråkigt. Men om de skulle lära sig att förstå det igen, kommer det nog att bli lätt och roligt. En del kom ihåg att de tyckte bråk var antingen roligt eller tråkigt då, men nu har de ingen uppfattning längre.
25 av eleverna gör beskrivningen att de anser bråk vara ett lätt område att arbeta med och för en del resulterar det i att det blir roligt, medan en del finner alltid att bråk är kul. Några få elever fler (27stycken) relaterar bråk till någonting tråkigt. Många av dem har den
uppfattningen på grund av att de inte har arbetat med det på ett tag och känner att de har glömt det och tycker det är svårt.
Resultaten där eleverna inte har angett något korrekt svar eller inte visste vad de skulle svara på aktuell enkätfråga; ”Vet inte”.
På första fråga där eleverna skulle få skriva vad de tänker på när de hör ordet bråk, var det 4 elever som gav intrycket att de inte vet vad bråk är. Förutom de som angav att de inte vet vad bråk är gavs det förslag på geometriska figurer eller att det handlar om människor som bråkar. När de skulle få ge exempel på bråk var det 12 elever som inte kunde ange korrekt exempel utan skrev att de inte vet eller minns på grund av att det var längesedan de arbetade med det. När eleverna fick möjligheten att skriva vad de tycker om bråk var det 6 elever som inte hade någon åsikt och många av dem skrev att de inte visste. Eleverna skulle även ge en redogörelse på varför de tycker som de gör om bråk men där var det 10 elever som inte beskrev sin
29 0 5 10 15 20 25 30 35 Jätte tråki gt Lite tråk igt Lite rolig t Jätte rolig t Elevernas definition på bråk A n ta l e le v e r 0 5 10 15 20 25 Jätte svår t Lite svå rt Lite lätt Jätte lätt Elevernas definition på bråk A n ta l e le v e r
5.2.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna?
I följande avsnitt finnes resultaten på frågorna 5-8. Resultaten här visar hur eleverna har fått välja bland redan angivna svarsalternativ. De skulle ringa in det förslag som passade bäst in på deras inställning till bråk. Nedan följer tabeller på hur många elever som ringade in varje svar.
Figur 2. Resultat på enkätfråga 5 Figur 3. Resultat på enkätfråga 7
De elever som ringat in svårt; ”Det är lite svårt för att jag har glömt bråk lite”.
De som angivet att de tycker bråk är jättesvårt har gett anledning att de inte känner att de kan det och tycker det är svårt. ”Jag tycker det är svårt med bråk och det är därför jag hatar bråk men när vi jobbar med bråk så va det lätt och jag tyckte om det men nu tycker jag inte om det.” Detta är ett exempel på svar som har svarats av en elev som ringa in alternativet lite svårt. Många av dessa elever är osäkra på bråk i nuläget men tror att de kan finna bråk lättare om de hade arbetat med det mer.
Elever som relaterar bråk till något som är lätt; ”Jag tycker det är lätt att förstå”.
De känner att de behärskar området bråk, vilket resulterar i att de känner att det är lite lätt. ”För det är enkelt att räkna ut talen. Det är lätt när man kan det, när man lär sig det är det svårt.” Denna elevs svar är ett exempel på hur många elever har svarat. De elever som anser att bråk är jättelätt känner sig säkra på detta område. Många skriver att de tycker bråk är roligt och på så sätt bygger de upp ett intresse som enligt dem resulterar i att det blir lättare att lära sig. 1 elev som ringade in svarsalternativet lite lätt och 8 av eleverna som ringade in
30
En elev har ringat in både lite svårt och lite lätt. Med beskrivningen att det är mittemellan och olika från dag till dag.
Elever som finner bråk vara ett tråkigt ämne; ”Jag tycker det är tråkigt för att jag inte kan det”.
De elever som tycker bråk är jättetråkigt, känner så för att de inte kan det. Det var en elev som hade denna inställning till matematik generellt. ”För att det är inte roligt att göra det om man inte kan det, det är roligare om man kan och förstår.” Många av eleverna anser att bråk är tråkigt eftersom de känner sig osäkra och inte kan det så bra. 2 elever hade följande förklaring då de anser att det var kul till en början men när de kan det och inte får någon utmaning, utan räknar med samma typ av uppgifter hela tiden blir det tråkigt. 5 av eleverna gav förklaringen att eftersom det är matematik så är det tråkigt.
Elever som anser bråk vara roligt; ”Det är kul när man förstår hur man ska göra”.
De eleverna som tycker att bråk är lite roligt har angett motiveringen för att det är lätt. När eleverna i undersökningen känner att de förstår bråk tycker de att det blir roligare. Någon elev hade även skrivet att bråk är ett av de områden som kan vara lite utmanande vilket bidrar till ökad lust och intresse. De som finner bråk jätteroligt gav samma motivering som ovan. När eleverna känner att de skapat sig en förståelse och byggt upp en kunskap i det de arbetar med blir det lättare, vilket medverkar till att det blir roligare.
En elev har ringat in lite tråkigt och lite roligt med beskrivningen för det är mycket delar.
5.2.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan?
Här har en sammanställning gjorts på fråga 9, där eleverna skulle beskriva varför de tror man lär sig bråk i skola.
Anknytningar till att bråk behöver man lära sig för framtiden; ”Man behöver det i framtiden…”
Att bråk är någonting man lär sig för att det finns i matematik eller för att man behöver det i framtiden, när man blir vuxen eller om man ska arbeta med något speciellt yrke är 40 elevers uppfattning. De finns även de elever som har skrivet att det behövs i framtiden, men
skillnaden är att de även gett konkreta exempel på vad de använder bråk till i nuläget. Detta är 14 elever och ett exempel är: ”För att man ska kunna använda det i framtiden. T.ex. om jag ska ha kalas och dela en tårta. Då kan jag använda mig av bråk.”
31
Elever som inte har något svar men även de som enligt min tolkning inte vet; ”Vet ej”
2 elever har gett de olika svaren att när man ska förstå diagram och en tredje tror att det kan vara bra att kunna för att man använder det i division. Det var 6 elever som skrev att de inte vet varför man lär sig bråk.
5.2.4 Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna?
Här finnes resultaten på frågorna 10-12. Elevernas exempel på hur de använder bråk i sin vardag sammanfattas. Deras redogörelse för hur pedagogen startade upp bråkundervisningen i skolan och vilka andra sätt eleverna vill arbeta på.
Svar från elever när de tror sig använda bråk och från dem som inte använder det; ”Jag använder inte bråk i min vardag”.
Det är 28 elever som angett med lite olika meningsformuleringar att de inte brukar bråk i sin vardag. 5 elever ger exempel som att de tror att de använder det hemma eller om någon frågar dem något bråktal utanför skolan och 4 elever har ingen aning om när de använder bråk i sin vardag.
Elevsvar med uppfattning om vad bråk är; ”När man handlar…”
Här finns två konkreta exempel från 2 av 25 elever som uppvisar trovärdighet i att det vet vad området bråk innebär och hur de kan använda det utanför lektionstid. ”…då är det kanske ett kanonpris på köttbullar. Det kanske är halva priset eller en fjärdedel. Då behöver man kunna räkna ut vad det kostar.”
”Om jag ska handla godis för 20 kr och vi ska dela det på fyra personer, då tänker jag 5
4 20
= .”
Utsagor som kopplar bråk till arbete i matteboken; ”Jag har bara arbetat i matteboken”.
24 elever berättar att de endast har arbetat i matteboken och inte använt några andra läromedel. 14 av dessa elever fick en genomgång av pedagogen om vad bråk är innan de började arbeta i boken.
Svar från elever som inte kommer ihåg eller var nöjda med bråkundervisningen; ”Jag tycker det är bra som det är.”
Att de har glömt eller inte vet hur de arbetade med bråk har 21 elever angivet i sina enkäter. 12 elever var väldigt nöjda med hur arbetet har gått till än så länge och vill inte ändra på
32
något. Det var även 21 elever som inte kunde komma på några förslag på hur de skulle vilja arbeta med bråk i skolan
Andra arbetssätt än mattebok; ”Man kan göra en lek eller något annat”.
Här finns exempel från elever som under sitt arbete med bråk haft lite andra arbetssätt än i matteboken. Det redovisas även elevernas förslag på material och metoder hur de skulle vilja att inlärningen kring bråk praktiseras. 17 eleverna hade arbetat med övrigt material som till exempel med en tårta att dela i olika delar, dela på en bråkbricka, remsor (bilaga 3), spel och bråklekar. 29 elever gav förslag på att de vill arbeta med följande material eller metoder. Som att till exempel tydliggöra och förenkla inlärningen av bråk genom att spela spel, rita, göra med klossar, leka någon lek, jobba med stenciler, bönor, gå ut, ha tävlingar och många påpekar att de vill använda annat material än matteboken.
5.3 Sammanfattning
Det som genomsyrar resultaten är att vissa elever har glömt området bråk. Detta har följderna för eleverna att de tappat lusten att arbeta med bråk. Skulle de få tillämpa sitt lärande kring bråk igen anser eleverna att det genererar till att intresset för bråk blir mer positivt. Många elever vet inte varför de behöver lära sig bråk i skolan och anser inte att de tillämpar det i sin vardag.
33
6. Diskussion
I följande avsnitt görs reflektioner över min egen undersökning och tillförlitligheten av mina resultats diskuteras. Var min metod hållbar eller skulle jag ha gjort någonting annorlunda? Jag jämför och diskuterar det jag fann i litteraturen i förhållande till mina resultat. Detta
sammanfattas under mina frågeställningar som rubriker för att underlätta för läsaren. Vidare ges en presentation av mina egna slutsatser och som avslutning introduceras de nya områden jag funnit som skulle kunna vara intressanta att gå vidare med.
6.1 Reflektion över undersökningen
Med datainsamlingsmetoden enkäter känner jag i efterhand att jag inte riktigt fick det djup på svaren som jag hade väntat mig. Då jag valde att låta eleverna få svara med egna ord och förklaringar på nästan alla frågor och inte med så många på förhand valda svarsalternativ, hade jag hoppats på att det skulle bidra till mer omfattande och beskrivande svar av eleverna. Många av eleverna gav intrycket att vid det ifyllandet av enkäten fanns en viss problematik hur de skulle uttrycka sina tankar kring frågorna. Mitt val av skolår anser jag var bra anpassat då yngre elever nog hade haft ytterligare problem att formulera och uttrycka sina attityder. Valet av skolår gjordes även utifrån kursplanen i matematik, vilket jag i många fall hos
eleverna inte kände fanns tillräckliga kunskaper. Mål för skolår fem innefattar att eleverna ska ha grundläggande taluppfattning som omfattar enkla tal i bråkform (Skolverket, 2000), vilket en del inte förfogade över och då fick problem vid ifyllandet av enkäten.
Den omgång enkäter som genomfördes på första skolan ansåg jag blev för få för att ge ett intressant och användbart resultat. Totalt blev det ett bortfall på 18 elever. Detta berodde på giltig frånvaro som sjukdom etc. men även ogiltig som till exempel skolk eller väldigt sen ankomst. Vid introduktionen av mitt examensarbete förklarade jag för eleverna mitt syfte med undersökningen, motiverade eleverna till att genomföra undersökningen, klargjorde varför deras insats är viktig och att detta är deras chans att få påverka bråkundervisning, verkade intresset till att delta stort.
Min undersöknings tillförlitlighet eller reliabilitet anser jag kanske vara något svag. Obesvarade frågor och frågor där eleverna angivet fler svarsalternativ än det var tänkt utgjorde dock endast ett fåtal, vilka jag inte anser vara många nog föra att påverka resultatet. Tiden för genomförandet av enkäten och möjligheten till att fråga vid eventuella funderingar anser jag var tillräcklig. Det som jag nämnt tidigare som kan ge en felaktig bild i resultatet
34
kan vara att eleverna har en inställning till ämnet matematik, så vid ifyllandet av enkäten fokuserar eleverna kanske på denna och inte på området bråk. Detta har blivit bekräftat och kategoriserat i mina resultat. En elev som ringade in svarsalternativet ”lite lätt” och åtta av eleverna som ringade in alternativet ”jättelätt” angav att de inte visste vad bråk är och kunde inte ge något exempel, men som ändå ansåg att bråk är ett lätt område. Detta anser jag ger en tveksam bild av vad dessa elever har för bråkkunskaper.
I val av enkätfrågor har jag nu efter att ha sett resultaten upptäckt en del brister. Enkätfrågorna 3 och 4 fick väldigt lika svar som enkätfrågorna 5-8. Samtliga frågor har eleverna relaterat till huruvida de anser bråk vara lätt, svårt, roligt och tråkigt. Jag hade förväntat mig mer ingående och beskrivande svar inom området bråk. Jag tror att en intervju hade gett mig mer möjlighet till att gräva djupare i vad eleverna grundar sina svar på. Vad det är eleverna anser vara lätt, svårt, roligt respektive tråkigt. Enkätfråga 11 gav inte det utbud av svar som jag hade föreställt mig. Denna fråga hade varit lämpligare att ställa till ansvarig pedagog, då många elever hade glömt. En omformulering på enkätfråga 12, då det hade varit bättre och mer väsentligt att eleverna istället fått ange förslag på hur de skulle vilja arbeta med bråk.
6.2 Reflektion över de Nationella proven
När jag tittade på resultaten från de nationella proven, inledde jag med de angivna målen som var relevanta för mitt arbete där jag fann följande.
Eleven skall:
”ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och taluppfattning för enkla tal i bråk- och decimalform” (Prövas ej).
När jag fann att elevernas kunskaper inom området bråk inte prövas, valde jag de uppgifter som har med division och delning att göra. Detta val gjordes eftersom Engström (1997) anser att eleverna ska behärska framförallt division för att kunna räkna med bråk. Några av dessa uppgifter anser jag vara utformade på ett sätt så att om eleverna har bråkkunskaper är dessa till deras fördel.
Delen 5.1.1 handlar om hur säkra eleverna är på att räkna 3 96
utan miniräknare. Det var endast 9 av 33 elever som anger sig säkra på denna uträkning. Uppgiften i avsnittet 5.1.2 är en likartad uträkning men då eleverna fick använda miniräknare när de skulle räkna ut
3 459
35
var det endast en elev som inte klarade uppgiften och eftersom det är en benämnd uppgift finns möjligheten att eleven kanske inte förstod uppgiften. Första uppgiften i 5.1.3 är väldigt lik den ovannämnda uppgiften. Eleverna ska här lösa ett liknande problem men fick inte använda miniräknare. Det var nu 6 elever som hade angivet fel svar. Eleverna visar att även om det finns en viss osäkerhet på denna typ av uträkningar behärskar de flesta eleverna uppgifterna både med och utan miniräknare.
Uppgiften där eleverna ska ringa in vilka lösningar de förstår anser jag vara bristfälliga när det kommer till att kontrollera elevernas kunskaper. Det finns inga garantier eller undersökningar där det visar om eleverna verkligen svarat sannenligt. Kan eleverna verkligen tillämpa de metoder de ringat in? Denna uppgift anser jag ger mer svar på vilken metod är den mest attraktiva bland eleverna att välja och i eventuella fall vilja komma att lära sig. Den metod som är mest populär är Tims, som tillämpar upprepad halvering. Hunting och Davis (1991) anser att bråket
2 1
har visat sig vara en grundläggande byggsten och somliga använder det som referenstal. Betydelse av detta tal har även diskuterats av fler och att bråk genom upprepad halvering är en av de bråkföreställningar som kan finnas bland elever.
På sista uppgiften i 5.1.3 har en del elever skrivit av uppgiften men inte angivet något svar. Detta är en av de sista frågorna, så möjligheten finns att någon elev kanske hade klarat uppgiften men inte hann på grund av tidsbrist. Denna uppgift kan vara svår när det kommer till att tillämpa Tims metod. Eleverna måste då förfoga över att kunna halvera stora tal i huvudet. Även Emmas metod kan vara en utmaning när eleverna ska räkna ut tal som sträcker sig till hundratal. Den metod jag anser vara den lättaste att tillämpa i detta fall är Emils metod med kort division, då du inte behöver räkna med så stora tal i huvudet. Det som är bra med denna uppgift är att den uppmanar eleverna till att välja den metod som passar dem bäst. Den skapar möjligheten till en mer individanpassad lösningsmetod. Uppgiften ger verkligen eleverna möjlighet att visa om de kan tillämpa någon av de metoder de ringat in tidigare. Möjligheten finns att eleverna förstår någon av Emmas, Tims och Emils lösningar men klarar inte av att sätta dem i praktiken. Där syftar jag till det Kilborn (1999) menar med att vissa räkneoperationer kan vara svåra att åskådliggöra för eleverna så att de klarar av att använda dem själv.
36
6.3 Reflektion över enkäterna
I detta avsnitt knyter jag samman mina resultat med den litteratur jag läst. För att lätt kunna återblicka till resultaten använder jag samma struktur som jag gjorde i avsnitt 5.2.
6.3.1 Vilka uppfattningar uttrycker elever att de har om bråk?
Nästan hälften av eleverna tänker endast på matematik när de hör ordet bråk. Bråk är något som ingår i matematik och matematik måste man lära sig i skolan. Det fanns även tankar kring ämnet matematik bland de anknytningar som gjordes av ytterligare 9 elever. Skillnaden var att de även både positivt och negativt relaterade till sina känslor och attityder kring bråk. Detta var en av de faktorer som jag misstänkte kunde skapa problem vid ifyllandet av
enkäten. Eleverna har inte funderat kring bråk utan drar slutsatsen om vad deras inställning till matematik är. Ljungs (1990) undersökning visa att det är viktigt för eleverna att lyckas i matematik och gör de inte det kan de börja utveckla en motvilja för ämnet. Har eleverna innan min undersökning stött på problem vid tidigare inlärning av matematik, finns möjligheten att de redan har bildat sig en uppfattning och då leds deras tankar till matematik och inte på vad de anser om bråk.
Enligt Piaget (1924) är inlärningen av de två grundläggande förhållanden del – helhet och del – del viktiga vid bildandet av elevers bråkföreställningar. Han menar att barn ända upp till 9-10 års ålder kan ha svårt att integrera delarna i helheten. De 20 elever som relaterade bråk till delning av exempelvis pizza och tårtor visar att de har kunskapen och behärskar begreppet bråk. Detta anser jag visa hur viktigt det är ha grundläggande inlärning av delning för att eleverna ska kunna bygga upp och utveckla en förståelse för de rationella talen och området bråk.
Bråk är ett mäktigt område som skiljer sig markant från de naturliga talen. Jag har tidigare nämnt en av Freudenthals (1983) grundtankar på de svårigheter elever kan få när de ska börja sitt lärande av bråk. Hans funderingar visar även den finländska undersökningen gjord med 3000 elever, att nu kan olika tal som har samma resultat uttryckas på olika sätt och elever kan ha svårt att konstruera ett annat namn på ett fastställt bråk. Det kan vara fler som förfogar över denna kunskap men av 62 elever var det endast en som visade att två olika bråkuttryck betyder samma sak. Mer än hälften av eleverna gav exempel på bråk som
4 2 eller 8 3 , vilket
37
visar att de har bråkuppfattning, eftersom det kan förklaras som ett matematiskt uttryck av formen
b a
(Nationalencyklopedin, 2009).
På enkätfråga 3 skulle eleverna ange vad de tycker om bråk och på fråga 4 skulle de ge en beskrivning varför de tycker som de gör. Samtliga elever gjorde här anknytningar till om de ansåg bråk vara ett roligt eller tråkigt ämne, antalet elever var ungefär lika många vid varje kategori. Svaren på dessa två frågor hade jag hoppats på skulle skilja sig mer från frågorna 5-8. Jag förväntade mig bredare svar, som inte enbart handlade om ifall de har en positiv eller negativ inställning till bråk, utan till exempel vad inom bråkområdet finner de svårt att förstå, anser de att det är ett viktigt ämne inom matematiken osv.
18 elever kunde inte ge ett exempel på vad de tycker om bråk. De syftar till att det var så länge sen de hade bråk att de har glömt bort det. Många av dem anser att bråk nu är svårt och att det resulterar i att det blir tråkigt. Av dem som relaterar bråk till någonting tråkigt har många den uppfattningen för att de inte har arbetat med det på ett tag och känner att de har glömt det och tycker det är svårt. I TIMSS-rapporten (2003) skrevs att många elevers lust och förståelse för matematik försvinner från och med femte klass. Möjligheten finns bland dessa elever att en positiv inställning till matematik försvunnit så allt som innefattar ämnet anses numera vara tråkigt. Det skrevs även att när man inte förstår eller ser nyttan med att lära något försvinner också lusten att lära. En del av eleverna i min undersökning har glömt bort området bråk, kanske även vad det fyller för funktion till att lära sig och hur de använder det i sitt vardagliga liv. Mina funderingar är om det kan vara så att dessa faktorer genererar till att eleverna anser bråk vara tråkigt
När de skulle få ge exempel på bråk var det 12 elever som inte kunde ange korrekt exempel utan skrev att de inte vet eller minns på grund av att det var längesedan de arbetade med det. När eleverna fick möjligheten att skriva vad de tycker om bråk var det 6 elever som inte hade någon åsikt och många av dem skrev att de inte visste. Eleverna skulle även ge en redogörelse på varför de tycker som de gör om bråk men där var det 10 elever som inte gav uttryck för sin inställning till bråk. Även Engström (1997) har uppfattat bråk som något eleverna lärt sig men glömt som en faktor som påverkar lärandet. Detta kanske speglar en uppfattning hos elever om bråk, som någonting de inte behöver komma ihåg.
38
6.3.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna?
Många av de elever som ringat in några av alternativen svårt, anser sig osäkra på bråk i nuläget men tror att de kan finna bråk lättare om de hade arbetat med det mer. Skillnaden som gör att de elever som relaterar bråk till någonting som är lätt, är att de eleverna känner att de förfogar över detta område. En del mindes inlärningen som någonting svårt men nu behärskar de bråk och besitter fortfarande kunskaper om det.
Eleverna som tycker bråk är tråkigt känner så för att de inte kan det. De som tycker att bråk är roligt har angett motiveringen för att det är lätt. När eleverna i undersökningen känner att de förstår bråk tycker de att det blir roligare och lättare. Jag finner att känslan som uppstår när man upptäcker att man har skapat sig en kunskap om och förståelse för någonting är
inspirerande. Elevernas kunskaper i bråk har minskat då många av dem inte arbetet med det på ett längre tag. Jag anser det är viktigt att inte bara lära eleverna något utan när tillfälle ges, återblicka och repetera tidigare kunskaper så de inte glöms. Om man tittar på hur många elever i min undersökning som uppfattar bråk som ett svårt och tråkigt ämne är det mer än hälften som anser det vara ett tråkigt ämne. Bortser man från de 9 elever som anser bråk vara ett lätt ämne men som inte kan ge ett exempel på vad det är, har även här mer än hälften angett bråk som ett svårt ämne. Detta är betydligt mer än Ljungs (1990) undersökning där en femtedel av eleverna uppfatta matematik som ett svårt och tråkigt ämne.
6.3.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan?
Enligt Boaler (1993) är världen där matematik utvecklas och världen där matematik tillämpas en komplex relation. Boaler anser att undervisningen måste utformas på ett sätt så att eleverna inte uppfattar dessa världar som skilda utan istället finner ett samband. Många elever ansåg att bråk lär man sig för att det finns i matematik eller för att man behöver det i framtiden. Några elever satte in det i ett vardagsförankrat sammanhang som visar på att de ser ett samband mellan vardagsmatematik och skolmatematik. Att utforma undervisningen så att samtliga elever finner ett syfte med sin inlärning är en utmaning som pedagog. Många elever förstår att bråk är någonting man måste lära sig i skolan och att det säkert kan vara nyttigt att kunna. Alla besitter inte kunskapen om varför vi lär bråk eller allt som ingår i ämnet matematik. Ett av de mål vi pedagoger strävar efter är att eleverna uppnår att behärska grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i sin vardag. Efter femte skolåret ska eleven ha grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera
