Institutionen för naturvetenskap och teknik
Samband
mellan länkade partitioner och
permutationsstatistik
Örebro universitet
Institutionen för naturvetenskap och teknik
Självständigt arbete för kandidatexamen i matematik, 15 hp
Samband
mellan länkade partitioner och
permutationsstatistik
Seyit Kilic 2018/2019
Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Holger Schellwat
Sammanfattning
Vi visar att permutationsstatistikerna antal fall och antal inversioner har identisk fördelning med antal vänsterpunkter och total båglängd för länkade partitioner. Även fördelningen för antal cykler och xpunkter bevisas vara identiska. Vidare tittar vi närmare på Mahonska tal, speciellt Mahonska tal med mönsternotation.
Abstract
We show that the permutationstatistics descents and inversions have iden-tical distribution with the statistics leftpoints and arclength for linked par-titions. We also show that the number of cycles and xed points have an identical distribution. Furthermore we take a closer look at Mahonian num-bers, speci cally Mahonian numbers with pattern notation.
Innehåll
1 Inledning 3 2 Teori 4 2.1 De nitioner . . . 4 2.1.1 Permutation . . . 4 2.1.2 Länkad partition . . . 7 2.1.3 Statistiker . . . 8 2.2 Funktioner . . . 10 3 Resultat 11 3.1 Bevis . . . 11 3.1.1 Permutationer . . . 11 3.1.2 Länkade partitioner . . . 12 3.2 Rekursionsbevis . . . 133.2.1 Fall och antal vänsterpunkter(Eulertal) . . . 13
3.2.2 Antal inversioner och total båglängd(Mahonska tal) . . 14
3.2.3 Cykler och antal bågar(Stirlingcykler) . . . 14
Kapitel 1
Inledning
Denna uppsats behandlar två områden i matematiken som kallas permutatio-ner och länkade partitiopermutatio-ner. Dessa områden utforskas och syftet är att visa att dem har samma rekursiva uppbyggnad och således kan vara identiska.
Permutationer är då en mängd S med n element avbildas på sig själv. Exempelvis på hur många sätt det går att sortera en grupp av n objekt, vilket är n!. Detta används inom de esta områden i matematiken, bland annat statistik och sannolikhetsberäkning.
Länkade partitioner är en mängd element uppdelade i mindre delmängder med villkoret att om ett element ingår i två delmängder måste det elementet vara minst i exakt en av dessa delmängder.
Länkade partitioner används inte lika utbrett som permutationer men går det att visa samband mellan länkade partitioner och permutationer kan länkade partitioner användas i några av fallen då permutationer används. Detta kanske innebär förenklingar i räknandet med permutationer eller för-bättringar genom att visualisera processen.
Vi kommer även dyka djupare i Eulertal och Mahonska tal. Eulertal är tal som har identisk fördelning med statistiken antal fall, vilket vi de nie-rar i kapitel 2. Mahonska tal har identisk fördelning med statistiken antal inversioner, även denna statistik de nieras i kapitel 2.
Kapitel 2
Teori
2.1 De nitioner
Jag inleder arbetet med att gå igenom grundläggande de nitioner som vi tar användning av sen. Detta kapitel kommer behandla de nitioner för permuta-tioner, länkade partipermuta-tioner, olika statistiker och funktioner. Mer information om permutationer nns i Harris et. al. [4]
2.1.1 Permutation
Permutationer kan sägas vara ett antal tal uppradade efter varandra, där vi yttar runt talen och undersöker på hur många olika sätt vi kan rada upp dem.
De nition 2.1.1. En permutation är en bijektion π : [n] → [n] där ett antal element omordnats. En permutation skrivs som π1π2...πn. Vi skriver
πk= π(k) vilket innebär att för π(a) = b har a avbildats på b.
När vi sedan ökar antalet tal med ett nytt tal, lägger vi in det nya talet antingen först, mellan två tal eller sist. För att visa vart det nya talet ligger används funktionen f(π, k). Denna funktion underlättar för oss när vi sedan ska undersöka rekursionsformler för permutationer.
De nition 2.1.2. Mängden av alla permutationer med n element skrivs som Sn. En permutation med storlek n + 1 där element [n + 1] placerats
mellan πk−1 och πk betecknas f(π, k), där f : Sn× [n + 1] → Sn+1. Det vill
säga f(π, k) = π1...πk−1(n + 1)πk...πn.
För att beskriva olika Mahonska statistiker använder sig Babson och Steim-grisson [1] av mönster inom permutationer. Varje permutation π består av ett eller era mönster M med notationen (1 − 2 − 3). Vi kommer gå igenom några Mahonska statistiker med hjälp av mönster senare i detta kapitel.
De nition 2.1.3. Ett mönster M utgörs av en permutation τ ∈ Sk där det
får förekomma ett − mellan τj och τj+1 för alla 1 ≤ j < k, och som omsluts
av en inåtriktad parentes eller hakparentes på båda sidor. En förekomst av ett mönster M baserat på τ ∈ Sk i en permutation π ∈ Sn är en delmängd
{n1, n2, . . . , nk} där 1 ≤ n1 < n2 < · · · < nk ≤ n sådan att τi < τj omm
πni < πnj för 1 ≤ i, j ≤ k sådan att ni+1 = ni + 1 om det saknas ett −
mellan τi och τi+1, samt att n1 = 1 och nk = n om M inleds respektive
avslutas med hakparenteser. [1]
Exempel 2.1.1. Mönstret (21) innebär att ett element är större än det närmaste elementet till höger. [1 − 2] betyder att det första elementet i per-mutationen är mindre än det sista elementet. Mönstret [3 − 2 − 1] beräknar fallande delsekvenser av längd 3 som innehåller det första och sista elementet. Det nns många mönster att uttnyttja i permutationer men vi kommer oftast använda (2 − 1) och (21).
Exempel 2.1.2. Vi tar en permutation av längd n = 5, exempelvis π = 14325. Mönstret (2 − 1) innebär att ett element i en permutation följs av ett mindre element någonstans i permutationen. I vår permutation har vi 3 förekomster av detta mönster, nämligen 14325, 14325 och 14325. Mönst-ret (21) har en liknande de nition som (2 − 1) men då detta mönster sak-nar bindesstreck mellan elementen måste elementen vara bredvid varandra i permutationen. Vilket ger 2 sådana förekomster i den tidigare angivna per-mutationen, nämligen 14325 och 14325.
För att använda och beräkna förekomsten av olika mönster i en permu-tation använder vi funktioner som beräknar antalet av ett visst mönster i en permutation.
De nition 2.1.4. M(π) betecknar antalet gånger ett mönster M förekom-mer i en permutation π.
De nition 2.1.5. Den delen av permutationen π där π(i) > π(i + 1) skrivs med beteckningen (21) och de nieras senare som fall. Vi kan beräkna antalet fall med mönsternotation genom funktionen (21)(π).
De nition 2.1.6. I en permutation π där något π(i) < π(i+(k −i+1)) där k ∈ {i, i + 1, ..., n}skrivs mönstret med beteckningen (2 − 1). Denna beteck-ning betyder att det nns ett mindre element till höger om det ursprungliga elementet och de nieras senare som inversion. Antalet inversioner kan med mönsternotation beräknas med hjälp av funktionen (2 − 1)(π).
Exempel 2.1.3. För att beräkna antalet fall i π = 4132 kan vi använda funktionen (21)(4132) vilket ger (21)(4132) = 2 då permutationen π = 4132 har 2 fall, 4132 och 4132.
Vill vi beräkna antalet inversioner för π = 15342 kan vi använda funktio-nen (2−1)(14253) som ger (2−1)(14253) = 3 eftersom π = 14253 innehåller 3inversioner, 14253, 14253 och 14253.
Följer vi tidigare regler förekommer mönstret M = (2 − 13 − 4) exakt en gång i permutationen 2314, (2−13−4)(2134) = 1 eller (2−13−4)(3124657) = 3, 3124657, 3124657, 3124657.
De nition 2.1.7. S∞är en osammanhängande union av Snför n = 1, 2, 3, ....
De nition 2.1.8. Ett k-mönster är en funktion t : S∞→ N som beräknar
antalet gånger ett visst mönster med längd k förekommer i en permutation i S∞.
(k, i)-mönster är mönster med längd k och i antal streck. Mönster med längd 4 betecknas som en 4-funktion. Babson och Steingrimsson [1] visar med hjälp av detta att varje 4-funktion begränsat till Sn för n ≥ 4 kan skrivas
som en linjär kombination av 4-mönster.
Exempel 2.1.4. [21 − 3] = [21 − 43] + [21 − 34] + [31 − 24] + [32 − 14] + [213] Alla permutationer skrivs inte bara genom att rada upp tal. Det går även att skriva permutationer med cyklisk notation, vilket innebär att alla tal som avbildats på andra tal hamnar i en grupp med tal där varje enskilt tal i den gruppen avbildats på det nästkommande tal i gruppen. Dessa grupper är det som kallas cykler. Användning av cyklisk notation för permutationer förenklar undersökning av xpunkter och transpositioner av cykler.
De nition 2.1.9. En permutation med cyklisk notation fås genom att dela upp en permutation i cykler. Dessa cykler fås genom att hitta elementet som avbildats på det minsta elementet utan cykel, alltså π(a) = b. Sedan söks nästa element c som fås genom π(b) = c. Detta upprepas fram till ett element m avbildas på a, det vill säga π(m) = a. Om b = a fås en xpunkt och en cykel med ett element.
Exempel 2.1.5. Permutationen π = 463512 kan med cyklisk notation skri-vas som (145)(26)(3), där (145) är en cykel med 3 element. (26) är en cykel med 2 element och (3) är en cykel med 1 element och således en xpunkt. De nition 2.1.10. En xpunkt är då ett element i en permutation avbil-das på sig slälv, detta de nieras av π(k) = k. Vi låter Fix(π) vara antalet xpunkter för en permutation π och F (γ) antalet xpunkter för en länkad partition γ.
De nition 2.1.11. Funktionen Cyk(π) betecknar antalet cykler för en per-mutation π. Antalet transpositioner skrivs d(π) = n − Cyk(π). Varje permu-tation π kan skrivas som en produkt av d(π) transpositioner, men inte som en produkt av färre transpositioner.
De nition 2.1.12. Funktionen g(π, k) tar ett nytt element n+1 och lägger in det på plats k i en permutation med cyklisk notation.
Exempel 2.1.6. För enkelhetens skull använder vi notationen a, b, c, ... för att beteckna element 1, 2, 3, ... respektive. Platserna i en cyklisk notation är uppdelade enligt:
(1d2b3a)(4c5f )(6).
Så lägger vi ett element n + 1 på plats 1, g(π, 1) kommer första cykeln att vara (n + 1dba). Lägger vi istället elementet n + 1 på plats 6, alltså g(π, 6) fås permutationen
(dba)(cf )(n + 1).
2.1.2 Länkad partition
En länkad partition kan ses som n punkter på en rad där det dras linjer från en punkt till en annan, med villkoret att det får dras högst en linje till en punkt. Men man kan dra era linjer från en punkt. Med detta åtagande antas att linjerna dras från vänster till höger.
De nition 2.1.13. En länkad partition γ är en mängd γ = {B1, B2, ..., Bm}
där Bj ⊂ [n] för 1 ≤ j ≤ m och ∪Bj = [n], med villkoret att om något
element ligger i 2 eller er delmängder så måste det vara det minsta elementet i exakt en delmängd. En länkad partition kan avbildas genom att rita en båge från det minsta elementet i en delmängd Bk till alla andra element i
delmängden. Den länkade partitionen γ = {{1, 2, 3}, {4}, {2, 5}} kan avbildas som i gur 2.1
1 2 3 4 5
Figur 2.1: Länkad partition med delmängderna {1, 2, 3}, {4}, {2, 5}.
För att undersöka rekursionsformler för länkade partitioner används funk-tionen g(γ, k) som lägger till en punkt längst till höger och sedan antingen drar en linje till en av de övriga punkterna eller inte drar någon linje alls. De nition 2.1.14. Avbildningen g tar en länkad partition γ av längd n samt ett tal k ∈ [n + 1] och ger en länkad partition g(γ, k) av längd n + 1, genom att lägga in n + 1 i delmängden med k som minsta element, eller för k = n + 1skapa xpunkten n + 1.
Exempel 2.1.7. Om vi vill öka den länkade partitionen γ = {{1, 2, 3}, {4}, {2, 5}} med ett element kan man exempelvis använda g(γ, 1), då blir den nya mäng-den {{1, 2, 3, 6}, {4}, {2, 5}}. Man kan också använda g(γ, 3), som ges av mängden {{1, 2, 3}, {4}, {2, 5}{3, 6}}, där vi får en ny delmängd då 3 inte var det minsta elementet i en delmängd tidigare.
De nition 2.1.15. En vänsterpunkt V är det minsta elementet i en del-mängd Bj där 1 ≤ j ≤ m, med minst två element av en länkad partition.
För att beräkna totala antalet vänsterpunkter summeras alla delmängder innehållande minst två element.
De nition 2.1.16. Antal bågar betecknas AB(γ), vilket beräknar totala antalet bågar för en länkad partition γ och fås genom Pm
i=1(| Bi| −1).
De nition 2.1.17. Total båglängd skrivs som BL(γ). Total båglängd beräk-nas av att ta det minsta elementet i varje delmängd och subtrahera resten av element i delmängden med det. När alla dessa dierenser adderas fås total båglängd.
De nition 2.1.18. För att beräkna antal xpunkter används funktionen F (γ)som summerar alla delmängder med exakt ett element.
2.1.3 Statistiker
Eulertal
De nition 2.1.19. Eulertal betecknas n k
och ges av antalet permutationer π av heltalen 1, 2, ..., n som har π(i) < π(i + 1) för exakt k värden mellan 1 och n−1. Vid beräkning av antal fall för en permutation π används Fall(π) = (21)(π). [4]
Exempel 2.1.8. Anta att vi har n personer av olika längd som ställer sig på rad. Ifall en person är längre än personen som står till vänster säger vi att det skett en stigning. Ifall en person är kortare än personen bredvid till vänster så har det skett ett fall.
Ifall vi radar upp personerna från kortast till längst får vi n−1 stigningar och inga fall. Om vi radar upp personerna från längst till kortast fås inga stigningar och n − 1 fall.
Anta nu att vi vill ha exakt k stigningar på en rad med n personer, på hur många sätt kan man arrangera personerna? Svaret är Eulertalet n
k
. Vid beräkning av antalet vänsterpunkter och fall för en länkad partition och permutation respektive kan en explicit Euler användas. V (n, k) eller Fall(n, k) beräknas då enligt [4]
n k = k X j=0 (−1)jn + 1 j (k − j + 1)n.
Mahonska tal
Mahonska talet kommer från matematikern Alex Percy MacMahon som stu-derade permutationsstatistiker för ett sekel sedan. Men dess fördelning som de nierar mahonska tal gavs redan ut 1839 av Olinde Rodrigues. Den eklas-te statistiken av mahonska tal är antalet inversioner. Även statistiken major index de nierades av MacMahon vilket visades ha identisk fördelning med antalet inversioner. Mahonska tal nämns bland annat inom områden så som algebra, ortogonal polynomialer och Motzkin stigar, Mahonska tal har även ett starkt samband till rook teori.
Permutationsstatistiker som har identisk fördelning med statistiken antal inversioner är mahonska.
De nition 2.1.20. Statistiken antal inversioner för en permutation π skrivs som Inv(π). Total båglängd för en länkad partition γ skrivs som BL(γ) = (2 − 1)(π).
Sats 2.1.1. [1] Fördelning av Inv fås genom den genererande funktionen X
π∈Sn
qInv(π)= [n]! = [n][n − 1]...[1] där [k] = 1 + q + q2+ ... + qk−1.
Det nns ett antal statistiker som är Mahonska, vi kommer gå igenom tre av dem. Dessa är major index MAJ, MAK och MAD. Vi kommer använda mönsternotation (1 − 2 − 3) för att beskriva dessa.
De nition 2.1.21. Statistiken major index fås genom MAJ = (1 − 32) + (2 − 31) + (3 − 21) + (21)
eller genom att summera alla fallplatser i en permutation, vilket fås genom att summera de platserna alla fall startar. En annan Mahonsk statistik är MAK vilket summerar (2 − 31) med det minsta talet i alla fall, eller genom
MAK = (2 − 31) + (32 − 1) + (1 − 32) + (21).
Statistiken MAD fås genom att summera dierensen av talen i alla fall eller via
MAD = (2 − 31) + (2 − 31) + (31 − 2) + (21). [1]
Vi förkortar Eulerstatistiker till eul och Mahonska statistiker till mah, paret (eul, mah) vilket vi kallar för en Euler-Mahonsk statistik. Ett känt problem är, för en given Euler-Mahonsk statistik (eul1,mah1) hitta
mot-svarande eul2 och mah2 s.a. (eul1,mah1) ∼ (eul2,mah2) vilket innebär
att båda paren har samma fördelning för någon permutation π. Burstein [2] ger två bijektiva bevis för två sådana par.
Stirlingcykler
De nition 2.1.22. Stirlingcykler betecknas n k
, vilket är antalet permuta-tioner π ∈ Sn med exakt k cykler. [4]
Figur 2.2: Stirlingcykler,n k
.
2.2 Funktioner
De nition 2.2.1. Iversons konvention används när ett påstående visas på följande sätt: [påstående] har värdet 1 om påståendet är sant 0 om påståendet är falskt.
Exempel 2.2.1. Vi vill tilldela ett värde för påståendet πi < πj så att om
påståendet stämmer erhåller vi värdet 1, annars tilldelas värdet 0. Vi kan då skriva påståendet som [πi< πj]. Vilket kan tolkas som
[πi < πj] =
(
1, om πi < πj.
Kapitel 3
Resultat
Följande kapitel undersöker hur permutationer och länkade partitioner ökar rekursivt.
3.1 Bevis
3.1.1 Permutationer
Antal inversioner
Lemma 3.1.1. För π ∈ Sn och k ∈ [n + 1] gäller
Inv(f (π, k)) = Inv(π) + (n − k + 1).
Bevis. Vi vill räkna antalet i < j där πi > πj. Inversionerna från π bevaras.
Låt πi = n + 1. Eftersom πi > πj för alla övriga positioner får vi en inversion
om i < j, och antalet sådana är (n − k + 1).
Antal fall
Lemma 3.1.2. För π ∈ Sn och k ∈ [n + 1] gäller
Fall(f (π, k)) = Fall(π) + (1 − Fall(π, k)).
Bevis. Alla fall från π bevaras. Då n + 1 > πi för i ∈ [0, n] får vi alltid ett
fall när elementet n+1 placeras mellan 2 distinkta element. Denna placering innebär att vi kan få två olika resultat, då πk−1 > πk eller πk−1< πk.
Om πk−1 > πk ändras antalet fall inte, utan här har vi redan ett fall och när
vi placerar elementet n+1 mellan dessa element så har vi fortfarande ett fall. Då πk−1 < πk har vi endast en höjning och inget fall. Om elementet n + 1
Antal cykler
Lemma 3.1.3. För π ∈ Sn och k ∈ [n + 1] gäller
Cyk(g(π, k)) = Cyk(π) + [k = n + 1].
Bevis. Alla cykler från π bevaras. Beroende på placeringen av n + 1 får vi två fall. Antingen placeras det nya elementet i en cykel med ett eller er element, eller så placeras elementet i en egen cykel.
Om n + 1 placeras i en cykel med ett eller era element så ändras anta-let cykler inte. Ifall n + 1 placeras i en egen cykel så ökar antaanta-let cykler med 1.
Antal xpunkter
Lemma 3.1.4. För π ∈ Sn och m ∈ [n + 1] gäller
Fix(g(π, m)) = Fix(π) + [m = n + 1] − [m = πm].
Bevis. Det nns tre möjligheter beroende på placeringen av elementet n+1. Placeras n + 1 i en egen cykel ökar antalet xpunkter med 1. Om n + 1 placeras i en cykel med endast 1 element minskar antalet xpunkter med 1, i det resterande fallet sker ingen förändring.
3.1.2 Länkade partitioner
I detta avsnitt går vi igenom analytiska bevis för länkade partitioner. Länka-de partitioner och permutationer är iLänka-dentiska i sin uppbyggnad och rekursiva ökning, så bevisen för länkade partitioner kommer också vara identiska.
Vi vill med detta avsnitt beskriva hur egenskaperna total båglängd, antal vänsterpunker, antal bågar och antalet xpunkter förändras när man lägger in en punkt n+1 i γ och sedan drar en båge till någon av punkterna γ1, ..., γn.
Symbolen γ betecknar nuvarande länkad partition och γkbetecknar k:te
punkten i γ.
Total båglängd (antal inversioner)
Lemma 3.1.5. För γ ∈ Sn och k ∈ [n + 1] gäller
BL(g(γ, k)) = BL(γ) + (n − k + 1).
Bevis. Total båglängd från γ bevaras. Sedan dras en båge från γn+1 till k.
Total båglängd motsvaras då av båglängden från γ summerat med bågläng-den för bågen mellan γn+1 och k, vilket är (n − k + 1).
Antal vänsterpunkter (antal fall)
Lemma 3.1.6. För γ ∈ Sn och k ∈ [n + 1] gäller
V (g(γ, k)) = V (γ) + (1 − V (γ, k)).
Bevis. Man kan dra en båge från γn+1 till någon av de andra punkterna.
I detta scenario får vi 2 fall. Antingen drar vi bågen till en xpunkt eller en icke xpunkt. Drar vi bågen till en icke xpunkt sker ingen förändring gällande antal vänsterpunkter. Om vi däremot drar en båge från γn+1 till
en xpunkt där antalet bågar från punkten är noll, kb = 0, får vi då en till
vänsterpunkt.
Antal bågar (antal cykler)
Lemma 3.1.7. För γ ∈ Sn och k ∈ [n + 1] gäller
AB(g(γ, k)) = AB(γ) + [k + 1 6= 0].
Bevis. Om en båge dras frän γn+1till någon annan punkt ökar antalet bågar
med ett. Om ingen båge dras d.v.s. att punkten drar en båge till sig själv så sker ingen förändring.
Antal xpunkter
Lemma 3.1.8. För γ ∈ Sn och k ∈ [n + 1] gäller
FP(g(γ, k)) = g(γ) + [k = n + 1] − [k = γk].
Bevis. Vid beräkning av antal xpunkter får vi 3 fall. Om en båge dras till en icke xpunkt sker ingen förändring. Dras en båge till en xpunkt minskar antalet xpunkter med 1. Dras ingen båge så ökar antalet xpunkter med 1.
3.2 Rekursionsbevis
3.2.1 Fall och antal vänsterpunkter(Eulertal)
Sats 3.2.1. För 0 ≤ k ≤ n − 1 är antalet permutationer π ∈ Sn med k fall
lika med antalet länkade partitioner γ ∈ Sn med k vänsterpunkter, det vill
säga
Fall(n, k) = V (n, k). Bevis. Använd formel för explicit Euler:
Fall(n, k) = k X j=0 (−1)jn + 1 j (k − j + 1)n= V (n, k).
3.2.2 Antal inversioner och total båglängd(Mahonska tal)
Sats 3.2.2. För 0 ≤ k ≤ n 2
är antalet permutationer π ∈ Sn med k
inversioner lika med antalet länkade partitioner γ ∈ Sn med k båglängd, det
vill säga Inv(n, k) = BL(n, k). Bevis. Från lemma 3.1.1 fås Inv(n + 1, k) = k X j=max(0,k−n) Inv(n, k), och från lemma 3.1.5 fås BL(n + 1, k) = k X j=max(0,k−n) BL(n, k).
Då den rekursiva formeln för antal inversioner och total båglängd är identiska gäller Inv(n + 1, k) = k X j=max(0,k−n) Inv(n, k) = k X j=max(0,k−n) BL(n, k) = BL(n + 1, k), vilket innebär Inv(n, k) = BL(n, k).
3.2.3 Cykler och antal bågar(Stirlingcykler)
Sats 3.2.3. För 0 ≤ k ≤ n−1 är antalet permutationer π ∈ Sn med k cykler
lika med antalet länkade partitioner γ ∈ Sn med k bågar, det vill säga
d(n, k) = AB(n, k).
Bevis. Vi använder induktion för att bevisa denna sats. Från tabellen i gur 2.2får vi fram att följande rekursiva formel
d(n + 1, k) = d(n, k) + d(n, k − 1)n
kan beskriva antalet cykler k för en permutation π ∈ Sn+1 med hjälp av
information från en permutation π ∈ Sn.
Basfall: n = 1, k = 0,
Tittar vi på tabellen i gur 2.2 för stirlingscykler ser vi att d(1, 0) = 1 och d(1, −1) = 0samt d(2, 0) = 1, alltså stämmer basfallet.
Anta att följande stämmer,
d(Q + 1, k) = d(Q, k) + d(Q, k − 1)Q. Sätt Q = n + 1, då får vi
d(n + 2, k) = d(n + 1, k) + d(n + 1, k − 1)(n + 1).
Detta innebär att den rekursiva formeln även stämmer för permutationer π med n + 1. Vi får då
d(n+1, k) = d(n, k)+d(n, k−1)n = AB(n, k)+AB(n, k−1)n = AB(n+1, k). eftersom AB(n, k) har samma rekursiva formel som d(n, k), fås
d(n, k) = AB(n, k).
3.2.4 Fixpunkter
Sats 3.2.4. För 0 ≤ k ≤ n är antalet permutationer π ∈ Snmed k xpunkter
exakt lika många som länkade partitioner γ ∈ Sn med k xpunkter, det vill
säga
Fix(n, k) = F(n, k). Bevis. Vi får från lemma 3.1.4
Fix(n + 1, k) = Fix(n, k − 1) + (n − k)Fix(n, k) + kFix(n, k + 1), och från lemma 3.1.8
F(n + 1, k) = F (n, k − 1) + (n − k)F (n, k) + kF (n, k + 1).
Detta fås då antal xpunkter ökar med 1 i ett fall, har samma antal i n − k fall och minskar med 1 i k fall. Eftersom Fix(n, k) och F (n, k) har identiska rekursionsformler gäller även
Fix(n + 1, k) = Fix(n, k − 1) + (n − k)Fix(n, k) + kFix(n, k + 1) = F (n, k − 1) + (n − k)F (n, k) + kF (n, k + 1) = F (n + 1, k).
Detta innebär då att
Litteraturförteckning
[1] Eric Babson och Einar Steingrimsson, Generalized permutation pat-terns and a classi cation of the Mahonian statistics. Séminaire Lot-haringien de Combinatoire, Issue 44, B44b, 2000
[2] Alexander Burstein, On the distribution of some Euler-Mahonian sta-tistics. Journal of Combinatorics, Volume 6, Number 3, s. 273-284, 2015
[3] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth och Oren Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1984 [4] John M. Harris, Jery L. Hirst, och Michael J, Mossingho,
Combi-natorics and Graph Theory. Springer Science+Business Media, LLC, 2008
