Examensarbete i matematik
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Sociomatematiska normer i Malmös gymnasiefriskolor
Sociomathamtical norms in Private Upper Secondary Schools
of Malmö
Joakim Zetterholm
Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Anna Wernberg Ämneslärarexamen med inriktning mot gymnasieskolan
300 högskolepoäng 2018-01-16
Innehållsförteckning
Förord ... 3
Abstract ... 4
1. Inledning ... 5
1.1 Mitt intresse och bakgrund ... 5
1.2 Resultaten i Matematik – katastrofala eller tecken på trendbrott? ... 6
1.3 Problemformulering ... 8
1.4 Syfte ... 10
1.5 Frågeställningar ... 11
2. Teori ... 12
2.1 Normer i matematikundervisningen ... 12
2.2 Vilka faktorer påverkar den sociomatematiska normen i gymnasiet? ... 15
2.3 Läraren och den sociomatematiska normen ... 18
2.4 Elevens del i den sociomatematiska normen ... 20
2.5 Matematikens del i den sociomatematiska normen ... 20
2.6 Skolan ... 21
2.7 Utbildningssystemet ... 22
2.8 Samhället ... 23
2.9 Vad har den sociomatematiska normen för betydelse för undervisningen? ... 24
2.10 Hur ser den sociomatematiska normen ut i dagsläget? ... 25
3. Mitt arbete ... 28
3.1 Metod ... 28
3.2 Urval ... 29
4. Resultat och analys ... 32
4.1 Synen på matematik och kunskap i ämnet ... 32
4.2 Matematikundervisningen ... 35
4.3 Lösningar på matematiska uppgifter ... 39
4.4 Matematiska förklaringar och resonemang ... 41
5. Slutsats och diskussion ... 43
3
Förord
Det har varit en lång studieresa för min del. Nu snart skall allt buntas ihop till en efterlängtad examen.
Jag måste erkänna att just examensarbetet har varit ett av de mest uppskattade arbetena för mig personligen. Troligtvis beror det på det fria valet av undersökningsområde och att jag har med mig en del erfarenhet av arbetslivet med mig i bagaget. Arbetet gav mig ett gyllene tillfälle att komma till andra verksamma matematiklärare och se hur de bedriver sin
verksamhet. Det var väldigt givande att få besöka tre ämneskollegor från andra skolor för att se hur de arbetar med sina undervisningsgrupper. Även under den korta tid jag besökte lärarna och dennes elevgrupp fick jag en del inspiration och idéer kring min egen undervisning. Jag tycker att det är genom ämneslaget där det är närmast och mest givande att ta del av varandras kunskaper. Att få komma utanför mitt eget ämneslag och få höra hur andra mattelärare arbetar var mycket berikande. Så tack till de tre lärarna som ställde upp på min undersökning.
Ni är alltid välkomna att besöka mig om så önskas!
Även stort tack till min handledare Anna Wernberg för bra feedback och gedigen kunskap i ämnesområdet.
Sist men inte minst min familj och min fru. Utan er stöttning hade det här arbetet inte blivit av.
4
Abstract
Sociomatematiska normer är ett relativt nytt begrepp för att förstå hur elever kan lära sig matematik. Denna norm är specifik till ämnet matematik och handlar bland annat om
matematiska resonemang, jämföra och analysera olika lösningsmetoder och bearbeta misstag vid problemlösning. Normen skapas och formas av en rad olika faktorer, främst genom läraren och eleverna.
Flera rapporter från PISA och TIMMS konstaterar att resultaten i matematiken är ganska dystra. Enligt Skolverket och Skolinspektionen så ger matematikundervisningen inte eleverna möjligheterna att tillägna sig hela ämnets bredd. Mycket av undervisningen fokuserar
fortfarande på procedurella kunskaper men enligt ämnesplanernas innehåll så skall även eleverna tränas i matematisk kommunikation, resonemang och problemlösning, något som enligt rapporterna sker i för liten utsträckning. Dock så finns det även en del positiva indikationer på att resultaten i matematiken håller på att vända.
Min studie undersöker hur de sociomatematiska normerna ser ut i Malmös gymnasiefriskolor. Jag har intervjuat tre lärare respektive tre elevgrupper till undervisande lärare. Eleverna läser sista året på gymnasiet. Att analysera de sociomatematiska normerna kan leda till en ökad förståelse för varför resultaten och inställning till ämnet är som det är vilket i sin tur gör att man kan förändra och förbättra undervisningen.
Jag kom fram till att den sociomatematiska normen ser annorlunda ut mellan de undersökta skolorna och att på en av de tre undersökta skolorna är den mer utvecklad än på de andra två. Många elever har uppfattningen om att matematik handlar främst om siffor och räkneregler och att eleverna tycker att kunskap i matematik är att kunna lösa uppgifter. Eleverna ägnar stora delar av sin undervisning till enskilt räknande och mycket av deras undervisning kan kopplas till den traditionella matematikundervisningen, främst på två av de tre undersökta skolorna. Däremot så innehåller även undervisningen alternativa undervisningsformer så som problemlösning, laborationer och muntliga övningar men kanske inte i den utsträckningen som krävs för att utveckla den sociomatematiska normen. På den skolan där normen var mest utvecklad så innehåller läggs det större vikt på problemlösning, förklaringar och resonemang kring olika lösningsmetoder och matematiska resonemang.
5
1.Inledning
1.1 Mitt intresse och bakgrund
Valet av ämne till examensarbete har en personlig prägling. Jag har alltid haft en kärlek till tal, mönster och samband. Den euforiska känslan som infann sig då jag lyckades lösa någon klurig uppgift i matematiken gjorde att jag valde att läsa vidare till just matematiklärare. Dock var valet inte helt självklart då jag under gymnasiet tappade en del av glädjen och intresset för ämnet. Undervisningen som jag fick var av traditionell typ där läraren hade en genomgång på tavlan och därefter ägnade vi oss åt att räkna rakt upp och ner i matteboken. Så såg mina matematiklektioner ut, och så, som jag har förstått det rätt, även de flesta andras på den tiden. Även om jag upplevde matematiken som väldigt abstrakt under gymnasietiden så kände jag ändå att den var något mer bakom den stela fasaden.
Sättet jag bedrev min undervisning när jag började arbeta som matematiklärare var väldigt likt det jag själv hade föraktat en gång i tiden. Det var väl så man skulle göra resonerade jag. Ett par år senare insåg jag att det inte alls var den undervisningsmetodik jag ville bedriva och sedan dess har jag konstant försökt att utveckla mina arbetssätt. Åren fram tills idag så kom det en ny ämnesplan i matematik med gymnasieförordningen 2011 och mattelyftet strax där efter som också har hjälp mig vidareutveckla min undervisning.
I dagsläget ser min metodik väldigt annorlunda ut än vad den gjorde när jag började
undervisa. Även om jag försöker hitta nya och annorlunda vägar för att lära ut matematiken så tenderar min undervisning med vissa undervisningsgrupper att ibland att falla tillbaka i
samma gamla traditionella undervisningsmönster. Det känns olustig att inse, även om viljan finns där att pröva nya undervisningsmetoder och försöka variera sin undervisning så fortsätter jag i strid med mitt eget sunda förnuft och väljer att köra i samma gamla uppkörda spår. Det motiveras av att det känns för en själv lättare och tryggare samtidigt som det upplevs att kursen tenderar att flyta på lite smidigare.
Likheter i förhållningssättet till matematik går att hitta i många av de eleverna jag undervisat genom åren. Numera arbetar vi ofta med problemlösningsaktivteter under lektionerna. Ett väldigt givande och intressant arbetssätt. Däremot så stöter jag ofta på elever som motsätter sig valet av arbetsmetod. De känner sig inte bekväma med att försöka lösa matematiska problem och diskutera och resonera tillsammans. De önskar hellre sätta sig med boken och
6
räkna från första uppgiften i kapitlet och så långt de hinner. Det intressanta med detta är att när jag tar diskussionen med dessa elever om vilket arbetssätt de tror genererar bäst förståelse och inlärning i matematik så är de samstämmiga om att problemlösningsaktiviteter med diskussioner är det bättre alternativet.
Detta fick mig att fundera; Hur kommer det sig att både jag som undervisande lärare och mina elever inser att en viss undervisningsmetod förbättrar inlärningen men ändå väljer båda parter att ibland frångå ett väl fungerande arbetssätt för att istället välja det sämre alternativet?
1.2 Resultaten i Matematik – katastrofala eller tecken
på trendbrott?
Ett sätt att förstå barn och ungdomars intresse och uppfattningar om matematiken är att studera deras resultat. Här presenteras en del av Sveriges elevers resultat som finns tillgängliga från både nationella som internationella studier.
Resultaten för Sverige i matematik har både enligt PISA och TIMSS undersökningarna visat en negativ resultatutveckling under 2000-talet men enligt de senaste undersökningarna så verkar trenden ha vänt.
”Det är med stor glädje som vi i denna rapport kan presentera ett trendbrott i den negativa resultatutvecklingen som vi sett i de senaste PISA-mätningarna. Vad som ligger bakom detta trendbrott är dock för tidigt att i nuläget säga, likaså om det är starten på en ny positiv utveckling för svensk skola.” (Skolverket, 2015)
PISA (Programme for International Student Assesment) är en internationell studie som var tredje år sedan 2000 testar 15 åringars (niondeklassares) kunskaper i matematik, naturkunskap samt läsförståelse.
Tabellen nedan visar PISA resultaten på proven i matematik för Sverige och OECD-länderna från år 2000 till 2015.
År Sveriges medelvärde OECD – ländernas medelvärde
2000 510 500
2003 509 500
7
2009 494 498
2012 478 494
2015 494 490
(Skolverket; 2001, 2004, 2007, 2010, 2013, 2016)
I tabellen ser vi att även om elevernas resultat det senaste testet så är vi en bit ifrån den ursprungliga nivån för 15 år sedan.
PISA rapporten från skolverket visar också att 14 av de 35 OECD-länderna presterade signifikant bättre , 11 länder signifikant sämre och 9 länder skiljer sig inte signifikant från Sveriges resultat. Våra grannländer Danmark, Norge och Finland uppvisar samtliga ett betydligt bättre resultat än Sverige (Skolverket, 2016).
TIMSS (Third International Mathematics and Science Study även kallad Trends in
International Mathematics and Science Study) är världens hittills största komparativa studie som undersöker elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap visar på samma trend som PISA (IAE, 1998 & Skolverket, 2017).
TIMSS Advanced testen har endast genomförts vid tre tillfällen. Under de tre tillfällena som provet genomförts så utvecklades Sverige från ett av de bättre länderna år 1995 till ett av de sämre 13 år senare. Det senaste provtillfället förbättras dock resultatet avsevärt (Skolverket, 2016).
Värt att notera är det är svårare att göra en korrekt jämförelse mellan Sveriges och andra länders resultat då skillnaden mellan hur många elever som deltog från varje land är stor. Av den anledningen presenteras inte något internationellt/OECD jämförelsesnitt.
ÅR Sveriges genomsnittspoäng 1995 512
2008 412 2015 431
(TIMSS Advanced 1996, 2009, 2016)
I de internationella studierna som Sverige har deltagit ser vi alltså att utvecklingen har gått från att Sverige har legat över genomsnittet till att hamna under och vid den senaste
mätningen så har det skett en tydlig förbättring även om vi fortfarande är en bra bit ifrån där vi var första gången då mätningarna startade.
På nationell nivå är det inte lika lätt att urskilja några förbättringar eller försämringar på gymnasienivå de senaste 5 åren. Däremot är resultaten svaga i många av de kurserna som finns på gymnasiet. I tabellen nedan redovisas de genomsnittliga provbetygen för respektive
8
gymnasiematematikkurs där det finns ett nationellt prov vårterminerna från 2012-2016. Eleverna går inom den nya gymnasieförordningen 2011. Betygsskalan är F-A, där F
motsvarar 0 poäng, E 10 poäng, D 12,5 poäng, C 15 poäng, B 17,5 poäng och A 20 poäng. År Ma1a Ma1b Ma1c Ma2a Ma2b Ma2c Ma3b Ma3c Ma4 2012 5,7 8,5 12,9 - 9,2 12,6 - - - 2013 9,7 11,5 14,6 6,6 8,4 12,4 9,3 10,5 11,9 2014 7,8 10,5 13,9 5,9 6,7 11,9 9,0 11,0 10,6 2015 8,2 10,6 14,6 4,2 5,7 11,4 8,4 11,1 10,9 2016 8,1 10,5 14,2 5,8 7,8 12,8 8,0 11,1 10,8 2017 7,0 10,6 14,3 4,5 5,9 11,1 8,4 11,4 10,9 (Skolverket, 2012-2017)
Det är en ganska dyster syn som presenterar sig i tabellen. I flera av matematikkurserna så ligger det genomsnittliga provbetyget på lägre än den lägsta godkända E nivån.
Statistiken talar för svaga prestationer i ämnet med vissa indikatorer på att trenden håller på att vända.
1.3 Problemformulering
Undervisningen i matematik har varit kritiserat under många år för att upplevas av eleverna som ett alltför tråkigt och abstrakt ämne där det finns lite eller ingen anknytning alls till det verkliga livet. Skolverket (2011) skriver i sin ämneskommentar till matematikämnet från att
”Skolämnet matematik handlar inte enbart om att ”räkna” och lära sig en samling regler utantill. En del i matematiken är just att hantera procedurer och räkna, men enligt flera studier har detta fått en alltför stor dominans i svensk skolas matematikundervisning (s.1)”.
Boaler (2011) menar att den amerikanska matematikundervisningen har allt för länge bedrivit en pedagogik bestående av mestadels passivitet och utantillinlärning som hon hävdar hämmar eller till och med skadar elevers utveckling. Liknande undervisning återfinns även i Sverige. I den nuvarande ämnesplanen för matematik både för grundskolan (Skolverket, 2017) och gymnasiet (Skolverket, 2011) ser vi en tydlig gestaltning av bredden av matematikens alla olika sidor. I dessa föreskrifter betonas det i ämnesplanerna att matematikämnet skall förankras bättre med både privat och yrkesliv.
9
”Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. Ämnet skall utveckla eleverna att kunna använda olika strategier för att kunna lösa matematiska problem och använda matematik i samhälls- och yrkesrelaterade situationer (Skolverket, 2011, s. 1).”
Många matematiklärare i Sverige har under de senaste åren genomgått fortbildningar där alternativa undervisningsmetoder och utveckling av matematikkulturen har varit i fokus. Hela 76 % av dagens matematiklärare har fortbildats genom matematiklyftet som har funnits sedan 2012 (Skolverket, 2017). De elever som nu läser gymnasiet bör således under de senaste 6 åren som de nya läroplanerna funnits fått en matematikundervisning som speglar detta. Men samtidigt som både den nya gymnasieförordningen och olika fortbildningar så som mattelyftet förespråkar nya undervisningsformer och ändrad matematikkultur så finns det fortfarande mycket som visar på att det inte har skett några större förändringar i
matematikundervisningen.
Jäder (2015) kom i sin studie fram till att eleverna ser matematikuppgifter som något som skall lösas genom att repetera lärarens lösningsmetoder. ”Utantill-inlärning” tycker eleverna är en bra strategi för att klara deras matematikstudier. Vidare kommer han fram till att eleverna alldeles för sällan utmanas i kreativt tänkande och resonemang. I deras
matematikundervisning så ges det för lite utrymme i träning av mer omfångsrika uppgifter där det krävs att eleverna diskuterar och resonerar för att kunna lösa problemet.
Westers (2015) studie visar på att även om läraren undervisar reforminriktat så finns det ingen garanti till att eleverna kommer tillägna sig matematiken på det sättet som läraren syftar till. Han upptäckte svårigheter som han kallar för spänningar mellan lärare och elever när nya alternativa undervisningsformer introducerades i klassrummet. Han menar att det behövs en gemensam syn på vad matematik är och hur inlärning sker om den ”nya”
matematikundervisningen skall få acceptans hos eleverna.
Skolinspektionens rapport (2016) om matematiken på gymnasieskolan konstaterar att många elever får begränsade möjligheter till att ta del av matematikens mångfaldiga sida utan deras matematikstudier innehåller mestadels inlärning av standardprocedurer.
10
Liknande observation framkom i Skolinspektionens kvalitetsrapport från 2010. De beskriver att många av elevernas matematiklektioner domineras av enskilt arbete och att de inte får tillräckliga förutsättningar till att utveckla förmågor som problemlösning och resonemang. Det framkommer ganska tydligt från rapporterna att i många skolor är matematiken ett tyst ämne där det inte ges något större utrymme för diskussioner, reflektioner och resonemang. Det verkar som att normen i dessa klassrum begränsar den matematiska inlärningen. Samtidigt som flera skolor visar på brister i undervisningen så finns det andra skolor där undervisningen är utmanande och präglas av diskussioner och reflektioner kring matematiken (Skolinspektionen, 2016). Rapporten konstaterar att ”Dagens undervisningskultur i matematik
har en förhållandevis lång tradition och har präglat både elever och lärare, vilket troligen gör att ett långsiktigt och systematiskt arbete krävs för att åstadkomma förändringar av undervisningen (s.6)”.
Det finns alltså indikationer på att undervisningen i ämnet har eller håller på att förändras. Frågan är hur långt förändringar har kommit? Uppvisar alla skolor förändringar i
undervisningen?
För att få en uppskattning om detta så kommer jag att studera hur den sociomatematiska normen ser ut på ett lokalt plan.
Genom att förstå hur den sociomatematiska normen ser ut i dagens matematikundervisning så finns möjligheten att påverka och styra normen dit man så önskar, vilket i sin tur skapar bättre förutsättningar för inlärning.
1.4
Syfte
Syftet är att undersöka hur den sociomatematiska normen ser ut på Malmös gymnasiefriskolor.
11
1.5
Frågeställningar
• Vad menas med matematik och matematisk kunskap enligt elever och lärare på Malmös gymnasiefriskolor?
• Hur ser matematikundervisningen ut på Malmös gymnasiefriskolor enligt elever och lärare?
• Hur ser kommunikationen ut i matematikundervisningen på Malmös gymnasiefriskolor?
12
2.Teori
I denna del av arbetet kommer jag att gå igenom den tidigare forskningen på området som jag ämnar undersöka. Till en början så behövs det klargöras vad som menas med sociomatematisk norm då detta inte är ett allmänt känt begrepp. Vidare så kommer jag diskutera vad som styr normen i sig och slutligen hur den påverkar lärmiljön i matematikundervisningen.
2.1
Normer i matematikundervisningen
Normer skapas i alla sociala kontexter där människor interagerar med varandra. Dessa normer kan ses som oskrivna regler, icke fastslagna tysta delar som styr hur man uppför sig i ett visst sammanhang som återfinns i alla praktiker och verksamheter. Nationalencyklopedin (2017) beskriver en norm som ”det normala eller godtagna beteendet i till exempel en social grupp;
konvention, praxis”.
Vissa av dessa normer har att göra med själva matematikundervisningen, som exempelvis hur en elev skall redovisa sina uträkningar till en viss uppgift. De normerna som har vuxit sig fram med tiden i klassrummet förklarar Skott, Jess, Hansen & Lundin (2010) är exempel på sociala normer. De ger följande exempel på vad som kan kallas för en social norm i
matematikundervisningen.
• att man ska förklara och motivera sina svar
• att man ska försöka förstå de förklaringarna som andra elever ger
• att man ska ge uttryck för och motivera sin enighet eller oenighet med andras förslag
och idéer
• att man ska jämföra och eventuellt kritisera olika förslag och undersöka om de står i
strid med varandra (s.125).
I den sociala normen i matematikklassrummet så ser vi vilka regler och förhållningssätt matematikläraren bygger upp. Dessa sociala normer är inte unika i det sättet att de gäller endast matematiken utan samma normer återfinns i samtliga ämnen (Cobb och Yackel, 1996).
I den litteraturen jag har studerat så är det Cobb och Yackel (1996) som var först med att identifiera och beskriva sociomatematiska normer. De utvecklade begreppet i och med att de undersökte hur den sociala normen såg ut i matematikundervisningen. För att kunna
13
analysera vad som hände under en matematiklektion så konstruerade de en modell med både psykologiska och sociala perspektiv som ges nedan.
Det sociala perspektivet Det psykologiska perspektivet
1. Sociala normer i klassrummet 2. Föreställningar om ens egen och andras roll i klassrummet och om den allmänna karaktären hos matematisk aktivitet 3. Sociomatematiska normer 4. Föreställningar om och värden
förbundna med matematik och matematisk aktivitet
5. Klassrummets matematiska praxis 6. Matematiska begrepp och aktiviteter
(Figuren är från Skott, m.fl. sid 124. De har i sin tur fått den ifrån Cobb & Yackel 1996, s.211).
Modellen antyder på att samtliga perspektiv såväl det sociala och det psykologiska har en påverkan på klassrumsnormen i matematik. Klassrummets matematiska praxis (nr. 5) kommer ifrån de sociala normerna som läraren och eleverna konstruerar. Efter att en social norm har blivit accepterad i klassrummet så har den således blivit en del av den existerande
matematiska praxisen (Skott, m.fl., 2010).
Ett exempel på detta i gymnasiet skulle kunna vara att läraren tillsammans med eleverna bestämmer att vid avrundning av decimaltal så skall detta alltid ske med två decimalers noggrannhet. Efter en tid så är detta ingenting som längre diskuteras utan det har blivit en del av den sociala praxisen.
Skillnaden mellan den sociala normen och den sociomatematiska är inte helt självklar. Cobb och Yackel (1996) ger sin förklaring på vad som skiljer de bägge normerna åt: ”The
understanding that when discussing a problem student should offer solutions different from those already contributed is a social norm, whereas the understanding of what constitutes mathematical difference is a sociomathematical norm (s. 461).”
Wikström (2014) ger en liknande beskrivning i texten ”Vad händer i klassrummet”: • Att ifrågasätta hur någon har löst ett problem beskrivs som en social norm. Ställer man
däremot en fråga som kräver ett matematiskt resonemang och förståelse till svar så är det en sociomatematisk norm.
• Att lösa ett problem genom att använda sig av flera lösningssätt ses som en social norm.
Jämför man sina olika lösningar för att se likheter och skillnader så är det en sociomatematisk norm.
14
• Att se misstag vid problemlösning som en naturlig del av inlärningen är en social norm.
Bearbetar man sina matematiska uppfattningar baserat på dessa misstag så är det en sociomatematisk norm (s.1-2).
Den sista punkten att arbeta med de misstagen som sker vid beräkningar av olika uppgifter är något som Boaler (2017) lyfter fram. Där beskriver hon hur hjärnaktiviteten ökar avsevärt hos de personerna som bearbetar sina misstag. Vidare förklarar hon vikten av att i arbeta med misstagen i undervisningen för att skapa en kultur där det är acceptabelt att göra fel. Jäder (2015) förklarar att den sociomatematiska normen kan ses som en metaförståelse om ämnet, snarare än i ämnet. Alltså kan normen uppfattas som en överenskommelse mellan läraren och eleverna om hur eleverna skall kommunicera, resonera och arbeta matematiskt. Vi ser att i den sociomatematiska normen så ställs det höga krav i kommunikation av både läraren och eleven. Den förutsätter att både parterna resonerar och diskuterar inte bara kring lösningarna till en given uppgift utan mer om själva uppgiften och lösningarna i sig.
Den sociomatematiska normen kommer att styras och påverkas i hög grad av den rådande sociala normen i klassrummet. Om den sociala normen exempelvis är att fokus under matematiklektionen endast är att komma fram till rätt svar på uppgifterna så blir det svårare att utveckla de sociomatematiska normerna. I andra hand om den sociala normen präglas av att eleverna alltid skall motivera sina lösningar, ta del av och sätta sig in i andras elevers lösningar och att alltid försöka hitta flera olika lösningar på samma uppgift så kommer det vara lättare för den sociomatematiska normen att utvecklas.
Innan Cobb och Yackel (1996) först myntade begreppet sociomatematisk norm finns det andra matematikdidaktiker som tidigare diskuterat likartade normer och kulturyttringar i matematiken men då definierat begreppet med andra ord. Guy Brousseau är en känd
matematikdidaktiker som var tidigt ute med att diskutera så kallade didaktiska kontrakt. Han menade att ett sådant kontrakt upprättas mellan läraren och eleven i en ämnesspecifik
undervisningsmiljö (Brousseau, 1997). Det didaktiska kontraktet bygger på de ömsesidiga förväntningar som finns i matematikundervisningen (Skott m.fl., 2010). Kontraktet bygger på grundöverenskommelsen att läraren undervisar och eleven lär sig.
Precis som de sociala normerna är det didaktiska kontraktet implicit och de syns oftast inte förrän någon part bryter mot överenskommelsen.
Schoenfeld, (2012) beskriver det didaktiska kontraktet som “the classroom version of the
social contract, the set of largely implicit rules that govern the interactions of teacher and students (s.4).”
15
Didaktiskt kontrakt, sociala och sociomatematiska normer är på många sätt överlappande begrepp. Vi ser att de beskrivningarna går in i varandra även om de var och en för sig har sin unika förklaring. Det didaktiska kontraktet är närbesläktat med den sociomatematiska normen (Schoenfeld, 2012).
2.2 Vilka faktorer påverkar den sociomatematiska
normen i gymnasiet?
I klassrummet finns det två huvudaktörer som har möjlighet att påverka hur den
sociomatematiska normen kommer att se ut, nämligen läraren och eleverna. Läraren har en central roll i hur den sociomatematiska normen ser ut i klassrummet men normen bestäms i samspelet med elevgruppen (Skott, m.fl., 2010). Både parterna har sina erfarenheter, tycken och tankar med sig sedan tidigare erfarenheter (Wester, 2015). Det de har med sig in i klassrummet det är det som ligger i grund för dynamiska överenskommelse som kan skapas och vilken sociomatematisk norm som växer fram (Jäder, 2015).
Jäder pekar på tre faktorer som styr hur den normen ser ut. Den första utgörs av läraren och dennes förväntningar, den andra av elevens och den sista av ämnet själv. Normen bildas genom ett dynamiskt samspel mellan lärare och elev och kan när som helst omförhandlas. Oavsett hur läraren väljer att lägga upp sin undervisning så kommer det att skapas en sociomatematisk norm (Cobb och Yackel, 1996).
För att visualisera detta samspel mellan de tre faktorerna så skapade Brousseau en modell för att kunna analysera didaktiska situationer. (Brousseau, 1997. Sid 56. Tagen från Schoenfeld, 2012. Sid 4).
16
Modellen som är en variant av den så kallade ”didaktiska triangeln" och bör ses som en förenklad version av det komplexa samspelet som sker i klassrummet. Modellen visar dels att studenten har en interaktion med ämnet matematik (milieu) och dels med läraren. Läraren i sin tur presenterar matematiken och de didaktiska valen kommer att interagera med dels faktorn eleven och dels faktorn elev-ämne (Schoenfeld, 2012).
Wester (2015) beskriver tre olika perspektiv som är med och styr hur utformningen av matematikundervisningen kommer att se ut, samhället, läraren och eleverna.
Samhällsperspektivet menar Wester har flera olika intressen av att vara med och styra hur matematikundervisningen ser ut, framförallt då genom att påverka de styrdokument som finns till handa.
Schoenfeld (2012) menar att det behövs en bredare syn än den som den didaktiska triangeln ger oss för att förstå hur ”kulturen” ser ut i matematikklassrummet. Såväl lärare, elev och ämnet styrs av underliggande faktorer. Jäder (2015) har vidareutvecklat den didaktiska triangelmodellen för att få en större helhetsbild av vilka faktorer som är med i påverkan av den socio- och sociomatematiska normen.
17
Bilden hämtad från Jäder (2015) sid 31
I modellen ser vi att högst upp i det didaktiska ”tornet” är de tre centrala faktorerna placerade. Undertill så hittar vi de tre nivåerna skolan, utbildningssystemet och samhället, alla med sina egna påverkan. Modellen är konstruerad med en viss hierarki, där den översta nivån är den med den största bidragande effekten på den sociomatematiska normen och därefter så följer de andra i fallande ordning. Vi ser att modellen visar en komplex bild av hur den
sociomatematiska normen styrs. Eftersom det är så många olika delar som är under konstant utveckling och förändring så måste modellen ses som dynamisk. Nedan följer längre
förklaring för var och en av de centrala faktorerna läraren, eleven och ämnet matematik samt de tre underliggande nivåerna skolan, utbildningssystemet och samhället påverkar den sociomatematiska normen.
18
2.3 Läraren och den sociomatematiska normen
Eftersom eleverna är i förtroendeposition till läraren så måste denne ses som den ”starka” mannen i påverkan på klassrumsnormen. Läraren har en central roll i hur den
sociomatematiska normen ser ut i klassrummet men normen bestäms i samspelet med
elevgruppen (Skott, m.fl., 2010). Samtidigt finns det mycket en matematiklärare skall förhålla sig till i klassrummet.
” utgå från den enskilda elevens behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande, i undervisningen skapa en sådan balans mellan teoretiska och praktiska kunskaper som främjar elevernas lärande, organisera och genomföra arbetet så att eleven utvecklas efter sina egna förutsättningar och samtidigt stimuleras att använda och utveckla hela sin förmåga, klargöra skolans normer och regler och hur dessa är en grund för arbetet och låta eleverna pröva olika arbetssätt och arbetsformer Skolverket, 2011, (s.6-8)”.
Det här är endast ett urval av moment som läraren skall ansvara för enligt lgy-11. Det är dock tydligt att läraren har ett ansvar gentemot eleven men läraren har också ett ansvar gentemot ämnet. Ansvaret mot eleverna är att möjliggöra deras lärande, att diskutera och resonera kring matematik för att kunna utveckla elevens lärande (Skott m.fl., 2010). Ansvaret mot ämnet består i, att skapa en sann bild av matematiken och behandla alla matematikens olika sidor som vi ser i ämnet. Den här dubbla skyldigheten som Skott m.fl beskriver gör läraren till en mer central figur i matematikundervisningen än tidigare.
Uppfattningarna om ämnet har läraren samlat på sig genom sin tidigare erfarenhet. Dels ifrån hur det själv var att vara elev en gång i tiden och dels ifrån sin egen erfarenhet som lärare. Sen har de allra flesta lärarna med sig en lärarutbildning som också påverkat deras uppfattning. Läroboken, fortbildningar, nationella prov, kollegor med mera är andra faktorer som är med och påverkar läraren. ”Hur läraren väljer att organisera undervisningen påverkas av
individuella föreställningar om matematik, matematikundervisning och hur lärandet av matematik går till (Wester, 2015, s. 19).”
Lärarens undervisningsteori som denne har byggt upp kommer lägga grunden för vilken typ av inlärning som sker. Skemp (1976) beskriver att hur läraren ser på matematisk förståelse
19
påverkar hur läraren bedriver sin undervisning. Skemp delar in matematisk förståelse i två olika delar. En del som fokuserar på att förstå procedurer som behövs för att lösa
matematikuppgifter som han benämner instrumentell förståelse och en som han benämner
relationell förståelse, vilket handlar om att förstå hur allting hänger ihop.
De lärarna som anser att matematisk bygger på instrumentell förståelse bygger sin
undervisning på att lära elever procedurer för att bemästra lösningsalgoritmer, lite förenklat kan vi kalla detta för en traditionell matematikundervisning. De lärarna som i sin tur fokuserar på att skapa förståelse genom att se samband och sammanhang i matematiken bedriver en relationell matematikundervisning, med andra ord en mer reforminriktad
matematikundervisning. Den traditionella undervisningen brukar förknippas mycket med att läraren lär ut genom att instruera eleverna i matematikens olika regler och formler. Fokus läggs på att memorera och imitera en given lösningsalgoritm. Eleverna brukar då vara passiva i sin roll ägnar sig efter lärarens genomgång till enskilt räknande.
Beroende på lärarens tolkning av vad matematisk förståelse innebär så kommer det att
påverka vad eleverna kommer få tillägna sig under matematiklektionerna. Om fokus ligger på instrumentell förståelse så kommer undervisningen lägga fokus på inlärning av olika
lösningsalgoritmer. I ett sådant klassrum så kommer den sociomatematiska normen bli begränsad då denna typ av undervisningspraktik bygger den enskilde elevens tillägnande av matematik, inte gruppens.
Den relationella matematiken har bättre möjlighet att skapa ett öppet klassrumsklimat där den sociomatematiska normen får mer utrymme att formas. Exempelvis då läraren
uppmärksammar särskilda matematiska lösningar eller metoder förstår eleverna att det är en bra lösning eller metod på grund av lärarens reaktion (Cobb & Yackel, 1996b)
Läraren är den personen som orkestrerar undervisningen genom att planera och att välja ut lämpligt material. Läraren är den personen i klassrummet som också kan lyfta diskussionen om själva ämnet, alltså den sociomatematiska normen. Här har denne möjlighet till att öppna upp för dialogen vad det innebär att arbeta matematiskt, t.ex. vilka typer av lösningar som är acceptabla till en uppgift, vilka metoder som är giltiga/ogiltiga och hur man kommunicerar matematiskt. Wester (2015) beskriver lärarens roll i klassrummet som organisatör av en rad olika praktiker som sker i matematikklassrummet. De praktiker som finns i klassrummet där matematikpraktik är endast en praktik av flera som föregår.
20
2.4 Elevens del i den sociomatematiska normen
Likt läraren så kommer eleverna till gymnasiet med uppfattning om vad matematik är för något. Några av dessa faktorer som påverkat eleven är desamma som läraren. Föräldrar och vänner har oftast även de en stark påverkan på en elev.
Hur eleven bedöms under sin matematikundervisning är en central faktor för hur eleven uppfattning om matematik. Det man blir bedömt på, det är oftast det som betraktas som det centrala i ämnet. De prov, inlämningsuppgifter, laborationer och muntliga framställningar som en elev ställs inför blir således viktiga i deras uppfattning. Om bedömningsmomenten till största del fokuserar på den procedurella kunskapen så kommer elevernas uppfattningar om matematiken bli därefter. Ämnet kräver att eleven utsetts för utmaningar för att utveckla sin konceptuella kunskap (Jäder, 2015).
Dagens elevcentrerade undervisning kräver att eleverna deltar aktivt. Det krävs mer arbeta från eleverna i en sådan praktik än i den som är tillrättalagd och styrd av läraren. Det som kännetecknar en elevcentrerad undervisning är att läraren ger instruktioner om vad som ska göras och eleverna arbetar aktivt, ofta på ett undersökande sätt och/eller i projekt, med detta under en längre tid, gärna i grupper.
2.5 Matematikens del i den sociomatematiska
normen
Vetenskapen matematik som såväl ämnet matematik kommer naturligtvis att påverka uppfattningen för både lärare och elever vad som menas med matematik.
Ordets skilda betydelse är i Skemps (1976) mening roten till många av de svårigheterna i matematikundervisningen.
Det råder en ganska bred syn på definitionen av matematik hos såväl matematiker som i olika kursplaner i gymnasieskolan.
Kieselman (http://www.cb.uu.se/~kiselman/vadmatematik.html, 2005) skriver att ”Matematik
är en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling”. Han ser
matematiken som ett verktyg som kan användas i en rad olika tillämpningar. Skolans syn har länge haft en liknande syn på matematiken men har ibland haft svårigheter med att tillämpa matematiken i ett större sammanhang.
21
Boaler (2011) beskriver matematiken som ett mänskligt verktyg vi har konstruerat för att kunna förstå och beskriva världen.
I styrdokumenten för matematiken i skolan hittar vi liknande beskrivningar.
Ämnesplanen i matematik för lgy-11 skriver att ”Matematik är ett verktyg inom vetenskap och
för olika yrken. Ytterst handlar matematiken om att upptäcka mönster och formulera generella samband (s.1)”.
I kommentarmaterialet till ämnesplanen skriver Skolverket (2011) att ett sätt att beskriva matematik är att se det som vetenskapen om mönsterstudie. Genom att studera olika samband mellan tal och geometri går det att hitta generaliserbara metoder som kan användas tillämpas inom och utanför matematiken så som exempelvis ekonomi, naturvetenskap och teknik. Skolverket fortsätter i sitt kommentarmaterial att belysa matematikens egenvärde. De lyfter vikten av att låta eleven upptäcka matematikens styrka och skönheten som återfinns i tal, logik, resonemang och geometri.
2.6 Skolan
Löwing (2017) skriver att målet för matematikundervisningen bör vara att eleverna skall lära sig matematik som senare behövs i samhället, på arbetsplatsen och för vidare studier av matematik och andra ämnen. Vilken inlärningskultur som råder på skolan kommer också att sätta sin prägel på undervisningen. Ljungblad och Lennerstad (2012) beskriver att under 2000-talet har det skett en ökad individualisering i skolan och detta återspeglas av att eleverna i matematikundervisningen får i större utsträckning tillägna sig ämnet själva. I ett sådant tänk är det lätt att diskussioner och samarbete kommer i skymundan.
Att just problemlösning är ett centralt innehåll som samtliga kursen innehåller kan tolkas som att Skolverket försöker lyfta vissa delar av matematiken som de anser ha större betydelse för inlärning och utveckling av de olika förmågorna. Just problemlösningsförmågan ses lite som nyckeln till framgång för att förbättra sina kunskaper i ämnet. Skolverket (2011) skriver i ämneskommentarerna ”Om ämnet matematik” att problemlösning kan ses som såväl ett mål som ett medel för att utveckla övriga matematiska förmågor.
Många matematiklärare är ofta väldigt lärobokstyrda. Flera läroböcker varierar i kvalité och att många av dessa böcker består av mer rutinmässiga uppgifter där framför allt procedurerna tränas (Hodgen & Wiliam, 2006). Skott, m.fl. (2010) nämner att elevaktiviteterna i
läroböckerna är ofta begränsade i användning av flera olika lösningstekniker och tankegångar. Istället är uppgifterna konstruerade så att eleverna skall följa en viss lösningsalgoritm och
22
uppgiften har alltid ett exakt givet svar. Jäder (2015) kom fram till i sin studie att när eleverna skall räkna uppgifter i läroboken så väljer de främst att lösa de enklare uppgifterna. Dessa uppgifter är innehåller ett lågt lärandeinnehåll och utvecklar sällan elevernas problemlösnings och resonemangsförmåga.
Vidare framkom det i studien att elever förväntar sig att en uppgifterna i boken skall kunna lösas med en tidigare känd algoritm. Då en elev möter en uppgift av svårare karaktär kan det ställa till problem för elevens självbild av dennes kompetens i ämnet.
Skolinspektionen (2016) beskriver att i några läroböcker så förekommer det avsnitt som benämns med problemlösning. Dock är det vanligtvis så att dessa problem kommer direkt i anslutning till ett visst moment i matematiken. Detta leder till att när eleverna skall arbeta med dessa så kallade problem så har de redan med sig en eller flera givna lösningsmetoder, således får de begränsade möjligheter med att arbeta med problemlösning i den definitionen som förmågan har.
Bedömning i ämnet matematik har sedan länge dominerats av skriftliga prov. Sverige likt många andra västländer har en provkultur i matematiken där bedömningsunderlag endast består av flera skriftliga prov (Ljungblad & Lennerstad, 2012).
Boaler (2011) beskriver det amerikanske bedömningssystemet i matematik så som att den endast består av prov på prov och testar många gånger inte vad eleverna kan utan mer hur det går för läraren och/eller skolan. Mycket av samma typ av system finner vi även i de svenska skolorna.
2.7 Utbildningssystemet
En del av lärarens uppgift är att följa ämnesplanen för ämnet. I dessa skrifter återkommer mycket av Skolverkets beskrivningar av själva ämnet. Ämnesplanerna är uppdelade i tre delar; syfte, centralt innehåll och kunskapskrav. I matematiken på gymnasiet finns det en bredd av olika matematiska förmågor som eleverna skall tillägna sig (Skolverket 2011). Läraren skall ge förutsättningar så att eleven utvecklar följande 7 förmågor; begrepp, procedur, problemlösning, modellering, relevans, kommunikation och relevans. På grundskolan hittar vi samma förmågor förutom modellering och relevans.
Det finns alltså en tydlig markering i ämnesplanerna att matematik inte är en ensidig kunskap där eleverna skall lära sig olika begrepp och algoritmlösningar till dessa. Istället skall eleverna kunna sätta matematiken i en ny kontext. Fokus ligger på en djupare förståelse vad matematik
23
är för något, hur och när vi använder matematiken i vår värld. I förmågorna ser vi att de bygger på den relationella förståelsen av matematik, så som Skemp (1976) beskriver. Eleven skall numera kunna ”prata” matte och argumentera och resonera kring sina val av lösningsmetoder. Problemlösning har getts en centralroll i den nya ämnesplanen för matematik i lgy-11 och Skolverket (2011) beskriver problemlösning som användning som både mål och medel. Skolverket skriver i kommentarmaterialet att
”Om eleverna ges förutsättningar för metakognitiva reflektioner kan de utveckla sin problemlösningsförmåga. Det handlar om situationer där eleverna får tänka högt, söka alternativa lösningar, diskutera och värdera lösningar, metoder, strategier och resultat (s.2).”
Formuleringen kan kopplas direkt till beskrivningen av den sociomatematiska normen. Styrdokumenten i Sverige kan sägas vara i linje med reformmatematiken och att de påtalar vikten av en norm inom ämnet som är välutvecklad.
2.8 Samhället
Ljungblad och Lennerstad (2012) beskriver att samhällets syn har under historiens lopp haft en tendens till att tro att alla eleverna inte kan lära sig matematik. De menar att det fortfarande råder en generell uppfattning om att ämnet är ouppnåeligt för vissa människor.
I syftet till ämnesplanen till matematik skriver Skolverket att ”undervisningen i matematik
skall bidra till att eleverna utvecklar förmåga att sätta in matematiken i olika sammanhang och se dess betydelse för individ och samhälle ”
I Sverige har ett antal olika intressegrupper varit med och påverkat hur de vill att matematikundervisningen skall se ut. Helenius och Mouwitz (2009) radar upp ett antal exempel på politiska ideologiska perspektiv så som konservativa, liberala och socialistiska vilka representeras av olika intressegrupper, exempelvis företagsintressen. Alla med sina egna agendor på vad ämnet skall innehålla. Vissa med större fokus på att ämnet skall bidra till teknisk och ekonomisk utveckling, andra med syftet att matematik är en vetenskap som kräver en mer avancerad förståelse och kompetens där ämnets egenvärde ligger högt (Helenius & Mouwitz, 2009).
24
Sen är det en tuff utmaning som lärare att förändra elevernas uppfattning och attityder till matematikämnet. Framförallt när de kommer upp till gymnasienivå och redan har en ganska bestämd bild vad ämnet är. Bilden har formats av deras tidigare erfarenheter från matematiken från såväl sina tidigare lärare men även från föräldrar och vänner (Jäder, 2015).
2.9
Vad har den sociomatematiska normen för
betydelse för undervisningen?
Den sociomatematiska normen som växer fram i klassrummet skapas som tidigare beskrivits i den didaktiska triangeln. Den gemensamma bilden av vad matematik egentligen är kommer bli central i vad eleverna lär sig i matematiken. Det kommer bli svårt om inte omöjligt att lära sig någonting som inte betraktas som matematik. Hur eleverna uppfattar matematik kommer att påverka hur de tar sig an matematiska problem (Schoenfeld, 1992). De sociomatematiska normerna har en avgörande betydelse för elevernas föreställningar om vad som kännetecknar god matematik (Skott m.fl., 2010).
Jäder (2015) har vidareutvecklat den didaktiska triangelnmodellen för att åskådliggöra sambanden mellan de tre faktorerna och dess påverkan på möjligheter till lärande.
Bilden hämtad från Jäder (2015) sid 27
Han beskriver den sociomatematiska normen som en grund för att eleverna skall få ta del av skall skapas.
Den rådande sociala normen i klassrummet är viktig för att möjliggöra det lärandet som utvecklas i klassrummet (Skott m.fl., 2010).
Cobb (1994) argumenterar för att det är viktigt att se hur det sociokulturella perspektivet påverkar möjligheten till inlärning. En aspekt av inlärning inom matematikgrenen som inte fått så stor uppmärksamhet under lång tid.
25
2.10.Hur ser den sociomatematiska normen ut i
dagsläget?
Inledningen av arbetet beskrev hur både Skolinspektionens rapporter och flera
matematikdidaktikers avhandlingar konstaterar att matematikundervisningen ofta ger eleverna en begränsad del av kursinnehållet och att största fokus under lektionen är att hantera
procedurer.
I Skolinspektionens texter (2010 & 2016) så framkommer det att matematiken fortfarande är ett tyst ämne där diskussioner och resonemang inte får något större utrymme utan eleverna arbetar mycket enskilt i läroboken.
”Ett vanligt upplägg av ett arbetspass på dessa skolor är att läraren gör en genomgång följt av att eleverna får arbeta enskilt eller ibland två och två medan läraren går runt och försöker svara på så många frågor som möjligt (Skolinspektionen, 2016, s.12).”
Bergqvist, E, Bergqvist, T, Boesen, Helenius, Lithner, Palm & Palmberg (2010) kom fram till att elevers matematikundervisning består i hög grad av individuellt räknande i läroboken. Detta leder till att eleverna främst får träna på procedursförmågan. Eleverna ges inte i någon större omfattning möjligheter att utveckla övriga förmågor i ämnet.
Skolinspektionen (2016) kom fram till så kallade utvecklingsbehov på drygt åtta utav tio granskade skolor. På dessa skolor konstaterades det att ett av de utvecklingsområdena var att skolorna behöver arbeta mer med problemlösningsförmågan, då kanske framförallt genom att tydliggöra vad som menas med problemlösning och hur eleverna kan gå tillväga för att angripa sådana uppgifter.
Granskningen visar också att flertalet lärare på dessa skolor inte pratar med eleverna om strategier för matematisk problemlösning. Enligt eleverna har deras lärare inte i någon större utsträckning diskuterat med dem vad matematisk problemlösningar handlar om; hur man ska tänka och hur man kan angripa ett problem.
Skolinspektionen (2016, sid 12)
I rapporten framkom det även att läraren sällan diskuterade olika sätt att lösa uppgifter på utan istället så väljer många lärare att direkt säga det rätta svaret på uppgiften. I många skolor så
26
saknades det diskussioner kring problemlösningsstrategier och vad som är en matematisk lösning och inte.
Eftersom den sociomatematiska normen bygger mycket på att i lärandesituationer får eleverna arbeta med utmanade uppgifter, likt problemlösning samt att det existerar en god dialog mellan både elev-lärare och elev-elev. Så med allt att döma från Skolinspektionens rapport så blir svårt för normen att utvecklas i positiv riktning i en undervisning som innehåller lite till ingen alla problemlösning och där det gås igenom och resoneras kring olika lösningsmetoder och matematiska problem.
I rapporten från skolverket från PISA (2016) kommer de fram till att undervisning som utmanar eleverna, så kallad Cognitive-activation instruction, är mindre vanligt i Sverige jämfört med i OECD. Vidare konstaterar rapporten att svenska elever förlitar sig ofta på repetition och utantillkunskaper när de ska lära sig något nytt.
Även Ljungblad och Lennerstad (2012) beskriver att undervisningen i matematik har dominerats av som de benämner för rätt-svarsparadigm. I en sådan miljö går det ut på att få rätt svar på räkneuppgifterna och de eleverna som löser flest uppgifter anses vara duktiga på matematik.
Många elever förväntar sig under sina matematiklektioner att bli lotsade av sin lärare (Jäder, 2015). Han beskriver att då eleven stöter på problem med någon uppgift önskar de endast få en förklaring på vad felet i deras uträkningar är eller vilken lösningsmetod som de skall använda. Sällan uppkommer en diskussion kring hur de löser uppgiften och varför de väljer den lösningsmetoden de gör.
Samma förväntningar har många på sina klasskamrater. De önskar snabbt få svaret på en specifik uppgift för att kunna komma vidare till nästa. Även matematikboken har eleverna liknande förväntningar av (Jäder, 2015). När eleven frågar sin klasskompis om någon uppgift i boken brukar frågorna lyda; Vad är svaret på den uppgiften? Fick du också det svaret? Boaler (2011) beskriver den amerikanska matematikundervisningen som uppdelad i två olika läger bestående av traditionella och icke-traditionella. De lärarna som där för en traditionell undervisning domineras som Boaler anser vara ett passivt lärande. Ett sådant klassrum står läraren längst fram och går igenom nya begrepp och lösningsmetoder till dessa och därefter ägnar sig eleverna till räknande av likartade uppgifter som läraren tidigare visat. Att imitera och kopiera läraren upplevs som en god strategi för att vara duktig i matematik. Många elever i en sådan undervisning uppfattar att de inte behöver tänka själva utan att det går ut på att följa
27 en rad olika memorerade metoder.
Mycket av det som Boaler beskriver återfinns även i den svenska matematikundervisningen. Wester (2015) beskriver att den traditionella synen på skolmatematik är att det handlar om att bemästra uppgifter.
Med alla att döma från de olika rapporterna och matematikdidaktikernas beskrivningar av hur den sociomatematiska normen ser ut i dagens matematikundervisning så är det mycket som pekar på att normen inte är speciellt välutvecklad. Många elevers undervisning fokuserar fortfarande till största del på själva räknandet och eleverna tränas i liten utsträckning på att kommunicera och resonera i matematiken även om det är förmågor som skall behandlas enligt läroplanen. Vidare så verkar problemlösning i matematiken vara en del av undervisningen som eleverna får ta del utav om det blir tid över i under kursens gång. Många elever får alltså arbeta lite med problemlösning och det enda tillfället eleverna får träning på att lösa problem blir i läroboken.
28
3.
Mitt arbete
Det finns en rad olika sätt att tillägna sig matematik. Mitt arbete utgår ifrån ett socialkonstruktivistiskt perspektiv så som Skott, m.fl. (2010) beskriver. I
socialkonstruktivistisk teori betraktas kunskap som något skapas tillsammans i klassrummet och växer och utvecklas i mötet mellan lärare och elev. Kunskap förmedlas enligt detta synsätt tillsammans och i samspelet mellan de bägge parterna där var och en kan betraktas som sin egen resurs i lärandet.
För att få en djupare förståelse hur matematikundervisningen ser ut i dagens gymnasieskola har jag studerat den sociomatematiska normen. Det kan vara ett sätt att förstå varför resultaten i matematiken ser ut som de gör och varför nyare undervisningsmetoder har svårt att bli accepterade av såväl lärare som elever. Det är också en relativt ny aspekt på hur inlärning kan ske i matematikundervisningen. En aspekt som inte är vidare omdiskuterad och det finns begränsat med tidigare forskning och framförallt inget på en lokal plan vilket gör arbetet relevant i forskningssynpunkt.
I Malmö så finns det i dagsläget 38 gymnasieskolor, varav 24 av dessa är friskolor (Malmö stad, 2016). Många friskolor marknadsför sig med ledord som innovation, anpassade arbetsmetoder och lärande i verkligheten. De flesta skolorna har en hög målsättning och skriver till exempelvis att de vill ge bästa möjliga förutsättningar för eleven, att vara bästa gymnasieskolan samt ge dem de rätta verktygen för att klara av framtida studier och arbete. Med friskolans framfart och höga målsättning så tycker jag att det vore intressant att just studera om även matematikundervisningen ligger långt fram i utvecklingen hos några av dessa skolor.
3.1
Metod
Jag har valt att använda mig av en kvalitativ undersökningsmetod bestående av
semistrukturerade intervjuer. Intervjuerna sker efter ett klassrumsbesök. Tanken är att besöket skall lägga en grund för intervjufrågorna och således kommer studien baseras enbart på intervjuerna och inte klassrumsobservationer. Däremot så har jag ställt frågor relaterat till upplevelsen av klassrumsbesöket.
Eftersom den sociomatematiska normen bygger på uppfattningar och inställningar om ämnet så blev valet av undersökningsmetod intervjuer. Under ett samtal är det lättare att få fram
29
längre och djupare svar (Bryman, 2011). Vidare så består majoriteten av de studierna inom forskningsområdet sociomatematiska normer som jag tagit del utav av just kvalitativa studier. Intervjuerna skedde separat mellan lärare och elevgrupp och i samband med
klassrumsbesöket. Intervjuerna skedde på plats på lärarnas skolor i en ostörd miljö så som grupprum.
Jag har genomfört totalt sex intervjuer, tre lärar- och tre elevgruppsintervjuer. Intervjuerna spelades in som ljudfil med hjälp utav mobiltelefon och därefter transkriberade jag dem till från tal till skrift. Längden på intervjuerna varierade från 15 till 23 minuter. I en lärarintervju så kompletterade jag med ytterligare ett par frågor via mejl då jag tyckte att jag saknade svar på någon fråga. Jag har även dubbelkollat lärarnas bakgrundsfakta via mejl.
3.2
Urval
Urvalsprocessen inleddes med att jag kontaktade ett antal matematiklärare från de olika gymnasiefriskolorna i Malmö via mejl. Målet var att få till intervjuer med lärare och elever från ett par olika skolor. Eftersom jag önskade intervjua elever som läser matematik sista året på gymnasiet så begränsar det urvalet till de lärarna på de skolorna som har
gymnasieprogrammen som erbjuder de högre matematikkurserna. Detta leder till att elevurvalet blir begränsat till de eleverna som går på ekonomi-, natur- eller
teknikprogrammet. De eleverna som läser samhällsprogrammet brukar också ha möjlighet att välja matematik 3b som valbar kurs som de då läser sista året. De skolorna som inte erbjöd någon/några utav dessa teoretiska program ströks ur urvalsprocessen.
Anledning till urvalet av elevklientel är dubbel; dels har avgångseleverna redan läst två år på gymnasiet och deras uppfattningar om matematik kan då förmodligen mestadels grundas på deras erfarenheter under gymnasietiden och dels så är det de eleverna som gått längst i de nya läroplanerna för grundskolan och gymnasiet.
Som första steg kontaktade jag 15 matematiklärare på 7 olika gymnasiefriskolor. I min mejlförfrågan beskrev jag vad jag ämnade att undersöka och hur det är tänkt att gå till. Tre av lärarna på tre olika skolor accepterade min förfrågan och jag nöjde mig med det urvalet. Självklart blir urvalet något begränsat och kan således inte helt representera samtliga gymnasiefriskolor i Malmö. Anledningen till det begränsade urvalet är att omfattningen på arbetet inte har större utrymme än så.
30
De tre lärarna fick därefter mer information via mejl om syftet med studien samt vilka villkor som gäller för deltagarna. Jag bad även lärarna att fråga 3–4 elever om de frivilligt kunde ställa upp på en intervju. Jag uttryckte att såväl kön som prestationsnivå var av sekundär betydelse, däremot så önskade jag helst en blandning av elever. Vidare så specificerade jag att önskade jag att de eleverna som kunde tänka sig ställa upp på kunde göra sig talförda under ett samtal. Jag har nöjt mig med de elevgrupperna som respektive lärare hade på förhand valt ut till intervju. Könsfördelningen blev så jämn som den kan bli, däremot har jag inte tagit reda på någon mer information kring elevernas kunskap eller intresse för matematik.
Innan intervjuerna startade informerade jag igen lärarna och eleverna om syftet och villkoret med min studie.
Namn på såväl lärare och elev har tagits bort och istället tilldelats en siffra eller bokstav i resultatet. Vilken skola lärarna och eleverna tillhör har även det tagits bort för att förhindra identifiering.
Urvalet består alltså av tre matematiklärare och en elevgrupp till vardera lärare bestående av 3-4 elever. Lärarna arbetar på tre olika gymnasiefriskolor i Malmö. Eleverna som blev intervjuade läser sista året på gymnasiet och går antingen på Ekonomi eller
Samhällsprogrammet. Samtliga elever läser under sista läsåret Matematik 3b. Nedan följer en kortare beskrivning av lärarna.
Lärare A
Undervisat i 14 år, varav 7 år som matematiklärare. Elevgruppen som blivit intervjuad går sista året på ekonomi eller samhällsprogrammet. Elevgruppen har haft en annan
matematiklärare tidigare läsår, således är det första terminen som de har lärare A. Lärare A har genomfört två moduler i matematiklyftet 2012.
Lärare B
Undervisat i 12 år som matematiklärare. Nyligen färdig med speciallärarexamen i matematik. Har följt elevgruppen under hela deras matematikstudier på gymnasiet. Har genomfört två olika sorters lärarlyft, på två olika arbetsplatser.
31
Lärare C
Undervisat i 15 år som matematiklärare. Har följt delar av undervisningsgruppen under tidigare år på gymnasiet dock så är det första gången som lärare C undervisar de fyra eleverna som intervjuades. C har genomfört 3 moduler av matematiklyftet och arbetat med dem i 5 terminer.
32
4.
Resultat och analys
Nedan presenteras en sammanställning av vad som framkom under intervjusamtalen med lärarna och elevgrupperna. Lärarna har tilldelats bokstäverna A, B och C och eleverna siffrorna 1, 2, 3 och 4. Nedan följer en tabell med en förteckning av lärarna och eleverna.
Lärare A Elev A1 Elev A2 ElevA3
Lärare B Elev B1 Elev B2 Elev B3 Elev B4 Lärare C Elev C1 Elev C2 ElevC3 Elev C3
4.1 Synen på matematik och kunskap i ämnet
I samtalen med lärarna och eleverna så framkommer det att den sociomatematiska normen i de gymnasiefriskolor jag besökte är lik i flera avseenden den som beskrivs i skolinspektionens rapporter (2010 & 2016) samt Jäder (2015) och Wester (2015).
I frågan vad eleverna anser matematiken är för något och vad kunskap i ämnet är så var det vanligaste svaret att de tycker att matematik handlar främst om att hantera siffror och att lära sig räknereglerna.
”Jag tänker på siffror och massa räknesätt och så.
Kunskap i matte är att man kan lösa uppgifter utan några svårigheter. Och en duktig matteelev kan skilja mellan vilka räknemetoder den skall använda vid olika tillfällen.” (Elev A3)
”Massa svåra tal. Det är regler” (Elev B4)
”Du skall kunna räkna dig fram till ett svar.” (Elev B1)
”Många siffror.” (Elev C2)
Deras beskrivning är lik den som Ljungblad och Lennerstad (2012) ger att undervisningen i matematik domineras av lära sig att räkna och eleverna anser att det viktigaste är att få rätt svar på uppgifterna.
Under diskussionen så dyker det upp flera negativa associationer med ämnet. Några elever beskriver ämnet som tråkigt och jobbigt.
33
”På lektionerna måste man verkligen anstränga sig. Alltså, det är inte kul.” (Elev C3)
En elev associerar till att matematiken är ett ämne som kräver en särskild hjärnkapacitet.
”Du skall ha bra minne för att kunna matte.” (Elev B3)
Boaler (2017) beskriver en kultur inom det amerikanska utbildningssystemet där flera lärare och elever tror att inte alla kan lära sig matematik på en hög nivå på grund av olika
hjärnkapacitet. Något som Boaler påpekar att så är verkligen inte fallet utan hon menar på att i stort sett samtliga människor kan lära sig matematik på en avancerad nivå. Däremot så har kulturen i ämnet länge varit sådan att det är endast de särskilt begåvade eleverna som kan lära sig ämnet på en högre nivå. Något som också framkommer i mina intervjuer.
Skolverkets rapport om lust att lära (2001-2002) konstaterade att alltför många människor har negativa erfarenheter av matematik som leder till känslor av misslyckande och ibland till och med ångest.
Boaler (2011) beskriver också liknande observationer när hon studerade amerikanska
matematikstudenter på olika skolor i landet. Där framkom det att elever som lär sig matematik genom att memorera lärarens algoritmmetoder och där ett passivt inlärningssätt dominerar, där förståelse, resonemang och logiskt tänkande inte existerar, uttrycker i högre grad negativa tankar om ämnet.
Några elever jag intervjuade uttryckte att de gillade ämnet men att det helt och hållet berodde på att de uppskattade lärarens och dennes undervisningsmetoder.
Lärarnas syn på ämnet innehåller en del likheter med elevernas men också stora skillnader. Två utav de tre lärarnas syn på ämnet innehåller också beskrivningar likt elevernas som att ämnet handlar om att kunna begrepp och procedurer. Däremot så skildrar alla lärarna ämnet även ur ett bredare perspektiv. En lärare beskriver ämnet som ett verktyg, en annan som övning av logiskt tänkande och den tredje tänker att matematik finns i allt runt om kring oss så som naturen och samhället.
Lärare C skiljer sig i avseendet på vad denne anser att matematik är för något. Denne
beskriver ämnet som sagt med övning i logiskt tänkande och gör inga kopplingar till att ämnet handlar om att lära sig begrepp och procedurer utan förmedlar istället en bild av ämnet där kunskap i matematik är förståelse för hur världen fungerar och där matematiken blir ett användbart verktyg. Dock är svaren från elevgruppen till lärare C väldigt lika de andra två
34
elevgruppernas i avseendet på synen på och kunskaper i ämnet. Lärare B ser matematiken utifrån två olika synvinklar, en i sin yrkesroll och en från sin egna personliga syn.
”Skolämnet matematik jag ser det som något som är styrt uppifrån, skolverket och centrala innehåll och kursplaner och så. Om jag tar ut mig ur rollen som matematiklärare, min personliga tanke om matematik då tänker jag att matematik finns i allt.” (Lärare B)
I intervjuerna framkommer det att samtliga tre lärare att de försöker förklara och visa nyttan med matematiken och att arbeta med att motivera vikten av att lära sig ämnet.
Alla tre ansåg att det var viktigt att förklara varför och hur matematiken kan användas i vardagslivet och yrkeslivet.
Eftersom elevernas personliga syn kontra lärarens skiljer sig så mycket så skulle det kunna tolkas som att för att elevernas inställning till ämnet och kunskap i ämnet så behöver läraren arbeta mer aktivt i det avseendet. Det räcker alltså inte enbart att undervisa ämnesstoffet utan förståelsen kring vad ämnet är och vad kunskap i ämnet är, är minst lika viktig för att påverka elevens inställning och uppfattning om ämnet.
Däremot så säger flera elever att de nu bättre förstår vad de skall ha matten till i framtiden. De eleverna som läser ekonomiprogrammet säger att de ser kopplingen mellan ekonomiyrket och matematiken.
”Det är mer användbart nu. Man kan se vad man skall ha det till i framtiden. När man var liten så ifrågasatte man mer vad skall jag ha det här till.” (Elev B3)
”Det mesta är ju till för att det skall vara användbart i framtiden. De ämnena som företagsekonomi där lär vi oss att räkna på företagsekonomi och där använder vi vissa grundregler som vi fått ifrån matte 2 och så där.” (Elev C2)
Elevernas syn kan också påverkas av i hur stor utsträckning som läraren lyfter de sju
matematiska förmågorna och kopplar dem till de olika delarna i undervisningen. Eleverna från lärare A och C säger att de ibland tar upp de olika förmågorna i samband med prov och inför och efter nationella provet i matematik. Eleverna nämner att det ibland förekommer
diskussioner kring de sju förmågorna och kunskapskraven och att de får feedback på vad de göra för att förbättra sina kunskaper i en viss förmåga. Eleverna till lärare C nämner också det centrala innehållet och kunskapskraven till matematikkursen går att hitta på deras digitala
35
plattform men att det inte är något som de nästan aldrig kollar på.
Lärare A och C bekräftar i sina intervjuer att de vid valda tillfällen presenterar ämnesplanen och dess innehåll för eleverna.
Eleverna till lärare B nämner att de inte tror att de har gått igenom varken de sju matematiska förmågorna eller kunskapskraven. Detta bekräftas även av lärare B som beskriver att hen istället arbetar med förklaringar och exempel på vad en matematisk redovisning på de olika betygsnivåerna.
4.2 Matematikundervisningen
Elevernas inställning kan härledas till vilken typ av matematikundervisning de upplevt under sina år på gymnasiet och grundskolan. Många av elevernas beskrivningar är lik den
traditionella matematikundervisningen så som Boaler (2011) beskrev om den amerikanska matematikundervisningen. I det traditionella matematikklassrummet är det läraren som styr undervisningen och går igenom begrepp och procedurer och eleven lär sig genom att repetera lärarens metoder.
”Läraren går igenom på tavlan och sen räknar vi i boken.” (Elev
A1)
”Ja, det börjar med presentation och så avslutas det med att vi jobbar enskilt med våra uppgifter.” (Elev A2)
”Genomgång och sen enskilt arbete, brukar väl vi ha. Ibland är det mer ingående på tavlan, längre föreläsningar. Någon gång har vi haft att vi börjat räkna direkt.” (Elev B1)
När diskussionerna går vidare kring elevernas undervisning så framkommer det att även om mycket av deras beskrivningar kan kopplas till den traditionella matematikundervisningen så delger de att deras undervisning innehåller även en del andra moment så som problemlösning, diskussionsövningar och laborativt material. Utifrån elevernas svar blir tolkningen att deras undervisning främst bestod av traditionell undervisning med vissa inslag av mer
reforminriktad undervisning med undantag från elevgruppen till lärare C. I den gruppen så fanns det också inslag av föreläsningar och enskilt räknande men deras undervisning bestod mycket av att eleverna själva fick gå fram på tavlan och redovisa på förhand ett antal utvalda uppgifter som de sedan tillsammans gick igenom med läraren.
36
Samtliga elever bekräftar att mycket av deras matematikundervisning går ut på att lösa
uppgifter, antingen tillsammans med läraren när den går genom moment på tavlan eller enskilt eller i par vid räkneövningar. Eleverna säger att de ibland också arbetar med problemlösning men när de skall beskriva vad det är de arbetar med vid momentet så har de svårigheter med att förstå vad som är problemlösning och vad som inte är.
”Det kan ju komma några uppgifter om det i matteboken”. (Elev
A1)
”På de där veckoläxorna är det ju flera uppgifter som är ju liksom problem vi löser”. (Elev C1)
Eleverna verkar ha uppfattningen det eventuellt kan komma problemlösningssuppgifter i boken och att eftersom det är en stencil som läraren har konstruerat så är det per automatik problemlösning. I elevgruppen till lärare C så framkommer det att eleverna ibland arbetar med ”större” uppgifter som de anser vara problemlösning som de sen går igenom gemensamt på tavlan.
”Om någon har jobbigt med en uppgift, så tar lärare B upp den upp den på tavlan så alla får se den”. (Elev B2)
Om uppgiften i sig är en problemlösningsuppgift enligt eleven framkommer inte under intervjun utan eleven förklarar att det kan vara vilken uppgift som helst men att många har svårt att lösa den.
Elevernas syn på problemlösning är likt den som framkom från Skolinspektionens rapport 2016, där eleverna säger att det ingår problemlösningsaktiviteter i deras undervisning men de har svårt att definiera vad som verkligen är en problemlösningsuppgift och vad som inte är. När lärarna får beskriva sin undervisning så är den väldigt lik elevernas beskrivningar. Lärare A medger att denne upplever sig själv som mer traditionell som matematiklärare.
”Undervisning är bestående av mycket genomgångar och ganska mycket räkna” (Lärare A)
Däremot när diskussionen går vidare så framkommer det att lärare A också arbetar med andra typer av undervisningsmoment.
” Jag försöker plocka in lite aktiviteter från boken och lite annat.”
