Reglering av klinkerugn för framställning av zinkklinker

Institutionen för systemteknik

Department of Electrical Engineering

Examensarbete

Reglering av klinkerugn för framställning av

zinkklinker

Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping

av

Anders Bergmark

LITH-ISY-EX- -05/3759- -SE

Linköping 2005

Department of Electrical Engineering Linköpings tekniska högskola

Linköpings universitet Linköpings universitet

Reglering av klinkerugn för framställning av

zinkklinker

Examensarbete utfört i Reglerteknik

vid Tekniska högskolan i Linköping

av

Anders Bergmark LITH-ISY-EX- -05/3759- -SE Handledare: Magnus Ek Boliden AB Henrik Tidefelt

isy, Linköpings universitet

Examinator: Anders Hansson

isy, Linköpings universitet

Avdelning, Institution

Division, Department

Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet S-581 83 Linköping, Sweden Datum Date 2005-12-21 Språk Language  Svenska/Swedish  Engelska/English   Rapporttyp Report category  Licentiatavhandling  Examensarbete  C-uppsats  D-uppsats  Övrig rapport  

URL för elektronisk version

http://www.control.isy.liu.se http://www.ep.liu.se/2005/3759 ISBN — ISRN LITH-ISY-EX- -05/3759- -SE

Serietitel och serienummer

Title of series, numbering

ISSN

—

Titel

Title

Reglering av klinkerugn för framställning av zinkklinker Kiln control for processing of zinc clinker

Författare

Author

Anders Bergmark

Sammanfattning

Abstract

In the fuming plant at Rönnskärsverken smelter, zinc clinker is extracted from slags and steel mill dust. In the fuming furnace, zinc and lead are vapourised by coal injection. The reoxidised metal dust is further refined at the clinker plant to obtain a product that is low in halogenes. Zinc clinker, which contains approximately 70 - 75 % zinc, is exported to the Norzink zinc smelter in Norway. The refinement takes place in an industrial kiln. The kiln is a very slow system and therefore difficult to control which results in disturbances and dead time. This causes low production rate and poor quality in the clinker. In order to cope with this, automatic control is tested in this thesis.

Two process models have been built for simulation and control design and three controllers have been evaluated in simulation. Two of the developed controllers are tested on the actual process. A framework for fast controller prototyping has also been developed. A C++-class för communication using the DDE interface between controller and the operator user interface has also been implemented.

Nyckelord

Abstract

In the fuming plant at Rönnskärsverken smelter, zinc clinker is extracted from slags and steel mill dust. In the fuming furnace, zinc and lead are vapourised by coal injection. The reoxidised metal dust is further refined at the clinker plant to obtain a product that is low in halogenes. Zinc clinker, which contains approxi-mately 70 - 75 % zinc, is exported to the Norzink zinc smelter in Norway. The refinement takes place in an industrial kiln. The kiln is a very slow system and therefore difficult to control which results in disturbances and dead time. This causes low production rate and poor quality in the clinker. In order to cope with this, automatic control is tested in this thesis.

Two process models have been built for simulation and control design and three controllers have been evaluated in simulation. Two of the developed controllers are tested on the actual process. A framework for fast controller prototyping has also been developed. A C++-class för communication using the DDE interface between controller and the operator user interface has also been implemented.

Sammanfattning

I fumingverket på Rönnskärsverken utvinns zinkklinker ur slaggen från elugnen. En annan råvara är stålverksstoft. I fumingugnen omvandlas smältans zink- och blyinnehåll till metallånga som oxideras till ett stoft. Stoftet renas i en klink-erugn. Slutprodukten, zinkklinker, som består av 70 - 75 % zink, exporteras till zinksmältverket Norzink i Norge.

Klinkerugnen är ett väldigt långsamt system med stegsvarstider i storleksordningen en timme vilket gör den svårstyrd och det resulterar i störningar och stilleståndstid med låg produktion och låg kvalitet på klinkern. För att lösa detta problem testas automatisk reglering i detta arbete.

Två processmodeller tas fram för simulering och reglerdesign och tre regulator-er har utvecklats i simulregulator-ering. Två av dessa testas på den faktiska processen. Vidare har ett ramverk för snabb utveckling och testning av regulatorer utveck-lats. En C++-klass för kommunikation via DDE-gränssnittet mellan regulator och operatörsgränssnittet har också konstruerats.

Tack

Jag skulle vilja tacka min handledare på Boliden AB, Magnus Ek på RCP, samt Fredrik Lindström, driftsingenjör på R1F och Per Abrahamsson på Outokumpu. Jag vill även tacka personalen på klinkerverket (R1F) för all hjälp med identifier-ingsexperimentet och för alla bra svar på dumma frågor jag haft. Vidare skulle jag vilja tacka personalen på R1M som finansierat mina studier.

Jag vill även tacka min handledare på ISY, Henrik Tidefelt, framförallt för all hjälp med LA_{TEX och det är en hel del.}

I Linköping vill jag nämna herrarna och damerna i LRK, svinen i MB, [HG], grabbarna och tjejerna i fredagsgrillen och i Skellefteå, spelarna och publiken på ÖTP-touren, ni vet alla vilka ni är. . .

Sist men inte minst min familj för stöd, hjälp, uppfostran och allt annat sådant som man har en familj till.

Stort

TACK

från Anders Bergmark, Nedre Bäck, 21 december 2005

Innehåll

1 Inledning 1 1.1 Bakgrund . . . 1 1.2 Syfte . . . 2 1.3 Metod . . . 2 1.4 Disposition . . . 3 1.5 Resultat . . . 3 2 Klinkerverket 5 2.1 Överblick . . . 5 2.2 Klinkerugnen . . . 6 2.3 Metallurgi . . . 7

2.4 In- och utsignaler . . . 8

3 Modellbygge och identifiering 9 3.1 Identifiering . . . 9

3.2 Aggregerade modeller . . . 10

3.3 Linjära tillståndsmodeller . . . 10

3.4 ARX- och ARMAX-modeller . . . 11

3.4.1 Modellstruktur . . . 11

3.4.2 Parameterskattning . . . 11

3.4.3 Validering . . . 13

4 Modellering och identifiering 15 4.1 Identifieringsexperiment . . . 15

4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell. . . 16

4.2.1 Massflöde . . . 18

4.2.2 Temperatur . . . 18

4.2.3 Parameterskattning . . . 20

4.2.4 Validering . . . 21

4.3 Linjära parametriska modeller. . . 23

4.3.1 Linjär aggregerad tillståndsmodell . . . 23

4.3.2 ARX- och ARMAX-modeller . . . 24

4.4 Utvärdering av modeller . . . 32 ix

5 Regulatorstrukturer 33 5.1 Kalmanfiltret . . . 33 5.2 Linjär tillståndsåterkoppling. . . 34 5.3 Modellprediktiv reglering . . . 35 5.4 Fuzzy-reglering . . . 36 5.4.1 Medlemsskapsfunktioner . . . 36 5.4.2 Mängdoperationer . . . 37 5.4.3 Defuzzyfication . . . 37 6 Regulatorkonstruktion 39 6.1 Linjär tillståndsåterkoppling. . . 39 6.2 Modellprediktiv reglering . . . 40 6.3 Fuzzy-reglering . . . 41 6.4 Utvärdering av regulatorer. . . 42 7 Implementering 43 7.1 Nuvarande system . . . 43 7.2 Kommunikation. . . 44 7.3 Simulering . . . 44 7.4 Regulatorimplementation . . . 45 8 Resultat 47 8.1 Modellbygge. . . 47 8.2 Regulatorstrukturer . . . 47 8.3 Implementering . . . 48 9 Slutsatser 49 Litteraturförteckning 51 A Kod 53 A.1 Klassen DDEClient. . . 53

A.1.1 DDEClient.h . . . 53 A.1.2 DDEClient.cpp . . . 54 B Simulinkblock 58 C Beteckningar 65 C.1 Modellvariabler . . . 65 C.2 Modellkonstanter . . . 66

Kapitel 1

Inledning

1.1

Bakgrund

På Rönnskärsverkens zinkfumingverk i Skelleftehamn utvinns zinkoxid i form av zinkklinker. Zinkoxiden utvinns ur slagg från elektriska smältugnen, som in-nehåller ca 10 % zink och några procent bly. Förutom zink från kopparproduk-tionen utvinns zink även från stoft från elektrostålverk. I fumingugnen förångas smältans zink- och blyinnehåll till metallånga med hjälp av kol. Zinkångan återox-ideras därefter till zinkoxid som bildar ett zinkstoft. Stoftet renas från bly i en klinkerugn och så kallat klinker bildas. Klinkern kyls sedan i en kyltrumma med efterföljande hammarkvarn. Efter dessa steg består zinkklinkern till största del av en finkornig klinkersand. Produktens slutgiltiga partikelstorleksfördelning ås-tadkoms i en kulkvarn över vilken en vindsiktning äger rum. Slutprodukten som består av 70 - 75 % zink exporteras till zinkverket Boliden Norzink i Odda i Norge. På Boliden Norzink utgör zinkklinkern råmaterial för framställning av zinkmetall. Där lakas Zinkoxiden i varm svavelsyra och zink framställs ur lösningen genom elektrovinning.

Till klinkerugnen matas blandoxid och kol. Blandoxid består av ett finkornigt material innehållande zink, bly, halogener etc. Detta matas in i ugnens ena ände. I ugnens andra ände tillförs värme med en oljebrännare. Roterugnen arbetar enligt motströmsprincip då det kalla materialet möts av den varma blästern (förbrän-ningsgaser). Där det kalla materialet matas in är temperaturen ca 400 − 500◦C. Omkring två timmar senare matas materialet ut ur ugnen vid en temperatur omkring 1000◦C.

Mycket forskning har gjorts på att reglera roterande ugnar inom cementindus-trin, exempelvis [2], [6], [24] och [11]. När det gäller zinkklinkerugnar finns det väldigt lite publicerat. Detta arbete består i att undersöka möjligheten att re-glera ugnstemperaturen i en zinkklinkerugn automatiskt. [6] och [24] visar att det åtminstone för vissa typer av roterande ugnar är möjligt med automatiserad reglering.

2 Inledning

1.2

Syfte

Vid reglering av klinkerugnen är det långa svarstider på en förändring vilket gör att reglering är svårt att åstadkomma utan stora svängningar. Målsättningen är att hitta en regulator som kan appliceras för reglering av ugnens olika driftparametrar på ett optimalt sätt så att en jämn produktkvalitet uppnås, vidare ska en hög genomströmning uppnås och en minimering av stilleståndstid p.g.a. störningar i klinkringsprocessen. Regulatorn skall även konstrueras så att den är enkel att modifiera och bygga ut. I första hand kommer regulatorn att vara ett stöd för processoperatörerna. Den processvariabel som kommer att vara prioriterad i detta arbete är temperaturen eftersom den har den största inverkan på processen samt den bästa möjligheten till återkoppling. Mätningar av olika föroreningar görs vanligen på dygnsbasis och är därmed inte lämpliga att återkoppla ifrån.

1.3

Metod

Första steget för en lyckad reglerdesign är modellbygge. Därför kommer två olika modeller att tas fram. En baserad på fysikaliskt modellbygge samt en skattad från mätdata. För ett lyckat modellbygge måste man i sin tur ha bra mätddata att arbeta med. De främsta variablerna som finns att arbeta med är materi-alflöde och energitillförsel. Energitillförsel sker genom att kol matas in i ugnen med blandoxiden samt genom en oljebrännare i utmatningsänden. Därför kom-mer stegsvarsförsök att göras med dessa variabler. De begränsningar som finns vid experimenterandet är att det inte får äventyra produktkvaliteten villket är en ganska stor begränsning eftersom man då kanske inte kan fånga hela beteendet hos systemet. Vidare är det en tidsfråga eftersom systemet är väldigt långsamt med svarstider i storleksordningen timmar. Det gör att man inte kan göra mer än ett fåtal steg då det även påverkar produktkvaliteten.

Baserat på de modeller som tagits fram kommer några olika regulatorstrukturer att provas och utvärderas. Det kommer i första hand att ske med Matlab®/Simulink®. Därefter kommer den struktur som ger bäst prestanda att implementeras i pro-cessen. Vid valet av regulator kommer även hänsyn tas till vad som är imple-menteringsmässigt bäst ur programmeringshänseende. Därefter kommer regleral-goritmen implementeras och testas på processen i två steg. Först kommer den att köras med indata från processen men ej kopplad till styrsystemet för att utvärdera ifall de beräknade styrsignalerna är rimliga samt kunna studera stabiliteten hos datasystemet. Därefter kommer reglersystemets utsignaler att kopplas till pro-cessen under noggrann övervakning av opertörerna.

1.4 Disposition 3

1.4

Disposition

Efter det inledande kapitlet kommer kapitel2som beskriver klinkerverket och det som sker i ugnen och dess omgivning. Därefter följer kapitel3 som beskriver den teori som ligger till grund för skattning av linjära modeller åtföljt av kapitel4som beskriver de modeller som tagits fram, både linjära och en ickelinjär. På samma sätt följer kapitel5som beskriver den bakomliggande teorin för de regulatorer som används och sedan kapitel6där de regulatorer som tagits fram diskuteras. Därefter presenteras den implementationsteknik som använts i kapitel7. Till sist kommer kapitel8 och9 där resultat, slutsatser och utvecklingsmöjligheter presenteras.

1.5

Resultat

Arbetet har resulterat i två processmodeller, en linjär svartlådemodell och en ick-elinjär grålådemodell. Dessa presenteras i kapitel 4. Vidare har tre regulatorer provats i simulering varav två bedömdes tillräckligt bra för vidare test i realistisk miljö. Regulatorerna och deras prestanda diskuteras i kapitel6. Ett ramverk för testning i simulering och automatgenerering av regulatorer i Matlab®/Simulink® har utvecklats. Simuleringen sker med regulatorn kopplad till den ickelinjära mod-ellen. En kommunikationsklass har konstruerats för att skicka data mellan regula-torn och operatörssystemet. Hur implementeringen är gjord presenteras ingående i kapitel7. Hela systemet är gjort för att på ett enkelt sätt modifiera och bygga ut regulatorstrukturen.

Kapitel 2

Klinkerverket

I detta kapitel följer en beskrivning av klinkerverket i allmänhet och klinkerug-nen i synnerhet. Därefter beskrivs den process som renar blandoxiden från bly samt vilka in- och utsignaler som finns till ugnen. Ytterligare information om klinkerverket finns i [5].

2.1

Överblick

Blandoxid är råvaran i processen. Den kommer från fumingverket som smälter den slagg som bildas vid kopparproduktion. I fumingugnen omvandlas smältans zink-och blyinnehåll till metallånga som oxideras till ett stoft, blandoxid. Blandoxiden lagras i fem bunkrar. Inflödet till klinkerugnen sker via en så kallad dygnsfic-ka som matas från de fem bunkrarna. Det styrs av operatörerna i klinkerverket. Detta görs för att utjämna ojämnheter som uppstår av olika sammansättningar i blandoxiden beroende på innehållet i den slagg som smälts i fumingugnen osv. Blandoxiden blandas med kol innan den matas in i ugnen. Kolinblandningen görs med kvotreglering. När blandoxiden kommer in i ugnen håller den ungefär rum-stemperatur. Hela anläggningen är inomhus så temperaturvariationen är inte så stor över året.

Blandoxiden matas in via ett transportband vilket gör att det finns en tidsför-dröjning mellan vägningen vid dygnsfickan och inmatningen. Blandoxiden matas in i den kalla änden och möter där heta blästergaser på väg ut ur ugnen. Gaserna renas därefter, först med säckfilter och sedan med lut. I andra änden matas den färdiga klinkern ut. Klinkern går först genom en hammarkross som slår sönder klumpar. Klumpar bildas av klinker som sintrat ihop i ugnen samt bitar av beläg-gning som lossnat från ugnens väggar. Därefter går klinkern genom en kyltrumma som roterar och kyls med vatten. Efter kyltrumman går klinkern via transport-band till två fickor för mellanlagring. Innan klinkern når fickorna passerar den även en våg. Från fickorna går klinkern vidare till en kulkvarn som maler klinkern till ett fint pulver som sedan är färdigt att exporteras.

6 Klinkerverket

2.2

Klinkerugnen

Klinkerugnen är ett 40 m långt rör av stål. Ugnen hålls på plats av fyra stora kullager. Ugnen drivs runt av en hydraulmotor och roterar med en hastighet av mellan ett och två varv per minut. Insidan av röret är fodrat med tegel. På insidan finns även beläggning av avdrivet material som kondenserat fast på teglet. Detta är nödvändigt eftersom det gör att materialet i ugnen rörs om så att allt material värms upp och kan reagera. Om belägningen inte fanns skulle materialet bara glida fram längs ugnens botten. Vidare skulle teglet slitas mycket fortare eftersom beläggningen skyddar mot värmen. Problemet som finns är att beläggningen inte får bli för tjock för då hindrar det både genomströmningen av klinker och gas. Det finns två sätt att lösa problemet med för tjock beläggning. Båda har sina nackdelar. Ett sätt är att köra ugnen vid en låg temperatur. Nackdelen med det-ta är att kvaliteten på klinkern sjunker eftersom föroreningarna inte drivs av. Det andra sättet är att skjuta lös beläggningen. Det måste göras ett par gånger i må-naden i vilket fall som helst eftersom kallkörning inte alltid fungerar. Skjutningen består av att man att man skjuter med industrihagel mot beläggningen, ett par hundra skott per gång. Till det används en specialkonstruerad kanon bestående en hagelgevärspipa, fodrad på utsidan för att stå emot hettan i ugnen, och en avfyrn-ingsmekanism. Kanonen avfyras med ett snöre för att personalen inte ska riskera att träffas av rikoschetter från skjutningen. Nackdelen med skjutning är att det tar tid eftersom man måste minska matningen till ugnen samt dra ner varvtalet och det kan ta flera timmar att få tillbaka en jämn temperatur efter avslutad skjutning. Värmen i ugnen kommer dels från reaktionen mellan kol och blysulfat och dels från en oljebrännare som sitter i utmatningsänden av ugnen. Brännaren förses med luft från två pumpar samt med en mindre mängd falskluft som läcker in vid utmatningsidan. Luft/bränsleförhållandet är inte stökiometrisk, blandningen är litet åt det magra hållet eftersom det har visat sig ge det bästa resultatet trots att miljön i ugnen helst ska vara reducerande.

2.3 Metallurgi 7

2.3

Metallurgi

Den huvudsakliga föroreningen är bly. Blyet i blandoxiden förekommer huvudsak-ligen som blysulfat (P bSO4). Blyet avdrivs emellertid lättast som blysulfid (P bS).

För att detta ska vara möjligt på ett gynnsamt vis måste följande uppfyllas: 1. Tillräckligt med svavel (S) måste finnas i blandoxiden för att kunna binda

upp blyet som sulfat.

2. Blysulfatet måste först reduceras med kol till blysulfid enligt P bSO4+ 2C → P bS + 2CO2

3. Temperaturen måste vara tillräckligt hög för att P bS ska ryka av, dock ej för hög vilket medför att Zn drivs av och teglet förbrukas snabbare. 4. Ugnsatmosfären får ej vara för oxiderande.

I ugnen pågår även andra reaktioner men detta är den huvudsakliga och något annat kommer inte att tas upp.

8 Klinkerverket

2.4

In- och utsignaler

I klinkerverket finns en mängd mätapparatur. Alla signaler som finns kommer inte att tas upp utan endast de som kan ha en direkt inverkan på själva ugnen. Tyvärr fungerar den värmekamera som mäter temperaturen på utgående klinker bara sporadiskt sen en lång tid tillbaka vilket endast lämnar en indirekt möjlighet att mäta temperaturen på godset i ugnen. I tabell2.1listas de intressanta in- och utsignalerna i systemet.

Signal Beskrivning Enhet Typ

T001 Temperatur på utgående klinker (defekt) [◦C] ut T111 Temperatur på utgående gas [◦C] ut T121 Temperatur på kyltrumman [◦C] ut P001 Tryck bakom oljebrännare [ Pa] ut

P014 Tryck hydraulik [ Pa] ut

P012 Tryck i fallkammare(utgående gas) [ Pa] ut

W001 Våg dygnsficka [ t] ut

W002 Våg innan malning [ t/h] ut

1090 Blandoxidmatning [ t/h] in

1017 Kolmatning [ kg/h] in

F001 Flöde till oljebrännare [ kg/h] in F002 Flöde sekundärluft [ m3_{/h] in}

F003 Flöde primärluft [ m3_{/h] in}

F005 Flöde efter filter [ m3_{/h] ut}

S001 Varvtal klinkerugn [ r/min] in

S002 Varvtal kyltrumma [ r/min] in

Kapitel 3

Modellbygge och

identifiering

I detta kapitel presenteras den teori som ligger till grund för modellbygge och identifiering i allmänhet och modellbygget i kapitel4i synnerhet. De modeller som används i kapitel 4, 5 och 6 presenteras tillsammans med metoder för att skatta och validera dem. Tonvikt ligger på ARX- och ARMAX-modeller. Materialet är hämtat ur [14].

3.1

Identifiering

När man ska identifiera ett system är det viktigt att man har så mycket informa-tion som möjligt i de mätdata man använder. För att få ut mycket informainforma-tion behöver man skicka in mycket information. Det enklaste sättet är att göra ett steg i insignal. För att skatta en enkel första ordningens modell är detta tillräckligt om man inte har så höga krav på modellen. Vill man ha mer information kan man göra flera steg upp och ner mellan olika nivåer för att på så sätt få mer information om systemets uppträdande. Man bör låta stegen ske med ett mellanrum i storleksor-dningen systemets stegsvarstid. Har systemet flera insignaler bör steg göras i alla kombinationer. En annan variant är att utsätta systemet för vitt brus. Har man någon form av kännedom om systemets beteende bör man se till att insignalen främst ligger i det frekvensområde där man vill använda modellen. Man bör även använda mätdata där ingen del av systemet regleras med återkoppling eftersom regulatorn också är ett samband mellan in- och utsignaler. Vidare måste mätdata vara insamlat under samma förutsättningar som modellen är tänkt att användas. Skulle systemet ha väldigt olika uppträdande vid olika insignaler får man tänka igenom när och hur modellen ska användas och anpassa identifieringsexperimentet efter det.

10 Modellbygge och identifiering

Om några parametrar endast förekommer i modellen i produkter av typen

c = a· b (3.1)

kommer a och b inte att kunna identifieras var för sig utan bara som produkten c. a och b är då icke identifierbara. Det gör att man kan reducera modellen med en parameter.

3.2

Aggregerade modeller

Ibland kan en modell av ett kontinuerligt system bli väldigt komplicerat att mod-ellera. Ett sätt att förenkla är då att samla ihop ett oändligt antal tillstånd till ett ändligt antal. Till exempel skulle djupet i en sjö som är olika på alla punkter i sjön kunna approximeras så att djupet i varje kvadrat i ett rutnät antas ha sam-ma värde inom hela kvadraten. Modeller med ihopklumpade tillstånd på detta vis kallas aggregerade modeller.

3.3

Linjära tillståndsmodeller

En allmän tillståndsmodell kan skrivas ˙

x(t) = f (x(t), u(t)) (3.2)

y(t) = h(x(t), u(t)) (3.3)

där x(t) är systemets tillstånd vid tiden t, u(t) är insignalen och y(t) är utsignalen. Vanligen arbetar man med linjära eller linjäriserade tillståndmodeller. En tidskon-tinuerlig linjär tillståndsmodell är ett system av linjära differentialekvationer och skrivs vanligen

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (3.4)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (3.5)

I den tidsdiskreta varianten byts ˙x(t) i ekvation (3.4) mot x(t + 1). Hädanefter kommer endast tidsdiskreta modeller att betraktas. A, B, C och D är i normalfal-let matriser med dimensioner sådana att de är kompatibla med antanormalfal-let tillstånd, insignaler och utsignaler. Skattning av tillståndsmodeller kan ske på flera sätt. Antingen skattar man en av modellerna i avsnitt3.4 och skriver om den till lin-jär tillståndsform eller så skattar man matriserna direkt från data med samma metoder som i avsnitt3.4.2. Man kan då ansätta en struktur för hur man tror matriserna ser ut. Nackdelen när man skattar direkt från data som i avsnitt3.4är att de tillstånd som fås inte nödvändigtvis har en direkt fysikalisk tolkning. Om man däremot skattar parametrar till en modell med specificerad struktur har man kvar den tolkningen och det visar sig vara användbart exempelvis om modellen ska användas för reglering när man vill kunna återkoppla från givna, men icke mätbara, tillstånd.

3.4 ARX- och ARMAX-modeller 11

3.4

ARX- och ARMAX-modeller

Dessa modeller tillhör en klass som brukar kallas parametriska svartlådemodeller. Att de kallas svartlåde- eller blackboxmodeller beror på att de beskriver ett förhål-lande mellan in- och utsignaler där modellens inre egenskaper inte är intressanta. Det finns en mängd svartlådemodeller med olika struktur. Här tas två av dem upp, ARX och ARMAX. En större genomgång av olika modellstrukturer finns i [14]. ARX står för AutoRegressive, eXternal input och ARMAX står för AutoRe-gressive, Moving Average (glidande medelvärde), eXternal input.

3.4.1

Modellstruktur

I (3.6) definieras ARMAX-modellen, i ekvation (3.7) definieras ARX. y(t) är utsig-nalen vid tiden t, u(t) är insigutsig-nalen, e(t) är en störterm, vanligen vitt brus. Op-eratorn q i ekvation (3.11) är en tidsfördröjning med 1 tidsenhet.

A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) (3.6)

A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (3.7)

A(q) = 1 + a1q−1+ . . . + anaq −na _(3.8) B(q) = b1q−nk+ b2q−nk−1+ . . . + bnbq −nk−nb+1 _(3.9) C(q) = 1 + c1q−1+ . . . + cncq −nc _(3.10) q−kx(t) = x(t − kT ) (3.11)

Skillnaden mellan ARX och ARMAX är att i ARX-modellen är C(q) = 1. AR-MAX är således en mer generell modell än ARX. Det finns en än mer generell modell som kallas Box-Jenkins efter statistikerna Box och Jenkins men den kom-mer inte att användas i detta arbete då skattningen av denna typ av modell är mer beräkningskrävande. Vidare visar det sig i kapitel4att en mer generell mod-ell i det här fallet inte ger en bättre beskrivning av systemet. Termen A(q)y(t) beskriver autoregressionen, B(q)u(t) den externa signalen och termen C(q)e(t) ett glidande medelvärde av störningen. I ARX-modellen kan e(t) ses som en störning på insignalen eftersom den går genom samma dynamik, A(q), som u(t). Här är A(q), B(q), C(q) och D(q) polynom i q. Ordningstalen na, nb, nc och nk

beskriv-er hur stora modellbeskriv-erna är. Ordningstalet nk beskriver en ren tidsfördröjning av

insignalen. Hädanefter kommer samplingstiden T att antas vara 1.

3.4.2

Parameterskattning

Den metod som är helt dominerande när det gäller parameterskattning är minimer-ing av prediktionsfelet. Prediktionen är vad modellen förutsäger att en framtida utsignal ska vara baserat på tidigare in- och utsignaler. I en modell som innehåller någon form av vitbrusstörning är den bästa prediktionen att anta att bruset är 0 eftersom bruset definitionsmässigt inte kan predikteras. Prediktionen brukar betecknas ˆy(t). ARX-modellen har prediktorn

ˆ

12 Modellbygge och identifiering

I ekvation (3.12) beskrivs enstegsprediktionen för en ARX-modell, d.v.s. vad kom-mer utsignalen bli vid tiden t baserat på mätningar fram till och med tiden t − T . ARMAX-modellen har den mer komplicerade prediktorn

ˆ y(t) = (1 − A(q) C(q))y(t) + A(q) C(q)· B(q) A(q)u(t) (3.13) Prediktionsfelet ges av (t, θ) = y(t) − ˆy(t, θ) (3.14) θ är en vektor innehållande de parametrar som skall skattas, (ai, bi, ci), och ˆy(t, θ)

är prediktionen för givet θ enligt (3.12) eller (3.13). Det vanligaste är att man använder förlustfunktionen

VN(θ) = 1 N N X t=1 2(t, θ) (3.15)

som mått på hur bra prediktionen är. I de fall utsignalen är en vektor kan man välja någon kvadratisk norm av vektorn (t, θ). Den naturliga parameterskattningen blir då

ˆ

θN = argmin θ

VN(θ) (3.16)

Argmin betecknar det minimerande argumentet, d.v.s. det θ för vilken förlust-funktionen enligt (3.15) blir minimal.

I fallet ARX är modellen en linjär regression med parametrarna

θ =             a1 a2 .. . ana b1 .. . bnb             (3.17) och regressionsvektorn ϕ(t) =             −y(t − 1) −y(t − 2) .. . −y(t − na) u(t − nk) .. . u(t − nk− nb+ 1)             (3.18)

3.4 ARX- och ARMAX-modeller 13

med prediktionen

ˆ

y(t|θ) = θTϕ(t) (3.19)

Om man använder godhetsmåttet i ekvation (3.15) fås parameterskattningen av

θ = ˆθN = R−1N fN (3.20) RN = 1 N N X t=1 ϕ(t)ϕT(t) (3.21) fN = 1 N N X t=1 ϕ(t)y(t) (3.22) (3.23) Detta förutsätter att RN är inverterbar.

I ARMAX-fallet är minimeringen av prediktionsfelet enligt (3.15) mer komplicer-ad och kräver numerisk lösning med exempelvis Newton-Raphsons metod. Mer detaljer om minimering av (3.15) för olika typer av modeller finns i [14, kap. 12].

3.4.3

Validering

Modellvalidering beskrivs i [14, kap. 14.5]. För att en modell ska vara användbar måste man veta om den är någorlunda giltig inom det område där den är tänkt att användas. Ska den användas under särskilda betingelser eller i ett brett spektrum sammanhang, ska den användas till reglering eller simulering osv. Det viktigaste för att avgöra om en modell är acceptabel är att se om den klarar av att prediktera utsignaler från insignaler som inte använts vid skattningen. Då kan man upptäc-ka övermodellering, over-fit, genom att modellen återsupptäc-kapar samma utsignal för valideringsdatat som för skattningsdatat.

Man kan även undersöka residualerna, (t) definierade enligt ekvation (3.14). Dessa skall idealt vara oberoende av insignalen. Är inte det uppfyllt finns nå-gon form av dynamik i systemet som inte finns med i modellen. Vanligen bildar man då ˆ Ru(τ ) = 1 N N X t=1 (t + τ )u(t) (3.24) ˆ

Ru är skattningen av korskovariansfunktionen för prediktionsfelet och insignalen.

Korskovariansfunktionen beskriver graden av samvariation mellan två signaler. Är residualerna och insignalerna oberoende är ˆRuapproximativt normalfördelad med

variansen Pr= 1 N N X k=1 R(k)Ru(k) (3.25)

14 Modellbygge och identifiering

Roch Rui (3.25) är kovariansfunktionerna för residualerna respektive

insignaler-na och kan skattas enligt

ˆ R(τ ) = 1 N N X t=1 (t + τ )(t) (3.26) ˆ Ru(τ ) = 1 N N X t=1 u(t + τ )u(t) (3.27)

Man kan då rita upp ˆRui ett diagram och se om den håller sig inom ±3

√

Pr. Gör

de inte det för något τ är det en indikation på ett beroende mellan (t + τ ) och u(t) för detta τ . Skulle detta τ vara negativt är det en indikation på att datat är insamlat under återkoppling och inte att modellen är ofullständig.

En annan metod är att se på hur osäker skattningen av parametrarna är genom att betrakta variansen i varje parameterskattning. Vanligen får man ett lägre min-imum med en något större modell men det resulterar i att man har överflödiga parametrar, så kallad over-fit. Detta kan man upptäcka genom att parametern och dess varians är av samma storleksordning eller att variansen rentav är större. Då kan man inte utesluta att den är 0 och då bör man överväga att inte ta med den. Det kan ju helt enkelt vara så att större modell beskriver egenskaper som inte finns i systemet. Detta kan man även se i ett pol-nollställediagram genom att poler och nollställen för den skattade modellen sammanfaller.

Det finns främst två typer av modellfel, variansfel och biasfel. Variansfel kommer sig av att modellen skattas från data som är insamlat under brusiga förhållanden. Denna inverkan går vanligen att minimera genom att använda långa mätserier. Den andra typen av fel är biasfel. Den typen av fel beror på brister i själva modellstrukturen. Det kan vara sådant som att en linjär modell anpassas till ett ickelinjärt system eller att systemet har olika egenskaper vid olika arbetspunk-ter. Det kan man inte komma undan genom att använda stora mängder mätdata. Man bör därför se till att det mätdata som används vid skattning är hämtat från mätningar genomförda under samma förutsättningar som modellen är tänkt att användas för.

Kapitel 4

Modellering och identifiering

I detta kapitel beskrivs hur ett antal olika modeller tas fram som stöd till och för utvärdering av regulatordesignen. Först beskrivs det experiment som ligger till grund för modellbygget följt av en presentation av de olika modellerna som tagits fram samt validering av dessa. Störst vikt har lagts vid modellering av temperatur eftersom det är den variabel som ska regleras. Ytterligare detaljer om hur och vilka verktyg som använts finns i [4]. Allt arbete är gjort i Matlab®/Simulink®, se [13], [12] och [19].

4.1

Identifieringsexperiment

För att få bästa möjliga mätdata att skatta modeller från bör stegsvarsexperi-ment genomföras med flera steg upp och ner med olika amplitud och med olika styrsignaler i blandad ordning. Eftersom detta är svårt att genomföra beroende på processens känslighet och kostnader på grund av ojämn produktkvalitet under ex-perimentet kommer det endast att genomföras i liten skala. Det aktuella systemet är enkelt att övervaka eftersom det är datoriserat och kopplat till en databas för lagring av processdata. Det ger tillgång till stora mängder mätdata från normal drift för verifiering av modeller. Systemets uppbyggnad beskrivs mer ingående i kapitel2och7. Identifieringsexperimentet pågick under ca. 30 timmar. De mätda-ta som använts för modellskattning och validering är hämmätda-tat från en period på tre dygn med början några timmar innan experimentet. I figur4.1visas de steg som gjorts. Genomgående har första hälften av mätdatat använts för modellskattning och andra hälften för modellvalidering.

16 Modellering och identifiering

0 500 1000 1500 2000 2500

0 5 10

Chargering av blandoxid, [ton/h]

Tid [min] W [Ton/h] 0 500 1000 1500 2000 2500 50 100 150 200 250 Chargering av kol, [kg/h] Tid [min] W [kg/h] 0 500 1000 1500 2000 2500 0 50 100 150

Flöde till oljebrännare, [kg/h]

Tid [min]

F [kg/h]

Figur 4.1: Identifieringsexperiment

Den översta delen av figur4.1är antalet ton blandoxid per timme som matas in i ugnen. Chargering är den term operatörerna använder för ugnsinmatning. Den mittersta grafen i figur4.1visar antalet kg kol per timme som matas in i ugnen. Underst visas mängden olja i kg per timme som bränns i oljebrännaren.

Flest steg görs i matning av kol och olja för att kunna modellera hur lång tid det tar för en ändring att göra verkan. En ändring i massflöde har större påverkan på temperaturen men massflödet kommer inte att användas som styrsignal i reg-ulatorn och därför görs inte lika många steg i denna. Vidare är det inte en drift-parameter som ändras särskilt ofta och ändringar styrs normalt av tillgången på blandoxid vilken är känd flera dygn i förväg.

4.2

Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell

Modellen är uppbyggd av block. Blocken beskriver de ingående delsystemen i och kring ugnen, se figur4.2. Ugnsmodellen består av 10 stycken sektioner där tem-peratur, massfördelning, gasflöde osv. antas vara konstanta i hela sektionen, därav namnet aggregerad tillståndsmodell. De ingående modellblocken finns i bilagaB. De parametrar och variabler som används nedan finns beskrivna i bilagaC, tabell

C.1 och C.2. K och C anger modellkonstanter, m betecknar en massa, klinker om inget index finns, c kolmassa, T temperatur, F ett flöde och N ett varvtal. Index h anger heat, värmeenergi, index m anger massa, k anger klinker och index g anger gas. En skiss över hur massor, flöden och energiöverföring i en ugnssektion sker finns i figur4.3. Här görs ett halvfysikaliskt modellbygge baserat på en rad antaganden som exempelvis relationen mellan temperaturderivatan och tillförd

4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell 17

energi,

mσ ˙T = q(t) (4.1)

Ekvation (4.1) ges i [22, sid. 193]. Vidare antas linjära samband gälla för de andra lite osäkrare processerna såsom massflöde, gasavdrivning osv. Inga anspråk görs på att bygga en helt korrekt fysikalisk modell eftersom reglering och inte modellering är syftet med arbetet. Modellen är endast ett hjälpmedel i arbetet.

Figur 4.2: Skiss av de ingående blocken

18 Modellering och identifiering

4.2.1

Massflöde

Ändringen i massa i varje sektion av ugnen är skillnaden i inflöde och utflöde samt en term som beskriver hur mycket som driver av enligt

˙

m = ˙min− ˙mut− ˙mavdrivning (4.2)

Här skulle även en term som beskriver beläggning kunna ingå. Beläggningen for-meras av det avdrivna materialet och lossnar i stycken då och då samt vid skjut-ning.

Massflödet ut ur en sektion modelleras som ˙

mut= Kmf· m · f(N) (4.3)

Ekvation (4.3) bygger på antagandet att mängden material som glider vidare från en sektion är proportionellt mot mängden i sektionen. Det är rimligt om material-matningen inte är alltför ryckig och sektionerna inte är alltför långa. Det visar sig att materialflödet inte är linjärt i N , där N är vartalet på ugnen, men någorlunda väl kan beskrivas med en styckvis linjär funktion, f (N ).

Massan klinker som driver av i en sektion ges av ˙

mavdrivning = Cm,cc· m · Tk (4.4)

I ekvation (4.4) görs antagandet att massan blandoxid som drivs av är proportionell mot massan gånger klinkertemperaturen. Antagandet är synnerligen osäkert efter-som det inte är mätbart men en högre temperatur ger mer avdrivning och mer massa ger mer blandoxid som kan driva av.

Massan kol i en sektion ges av

˙ck = ck,in− Kmf· f(N) · ck (4.5)

ck,ut = Kmf· f(N) · ck· (1 − Ccc)· Tk (4.6)

Här beskrivs samma typ av massupplagring som i ekvation (4.2)-(4.4) samt in-nehåller en term för hur mycket kol som reagerar med blandoxiden och därmed inte flödar vidare.

4.2.2

Temperatur

Temperaturen antas vara konstant i hela sektionen. Vidare bygger modellen på ekvation (4.1) där q(t) kan delas in i fem termer, värmeflöde mellan massor, qmf,k,

värmeledning mellan klinker och gas, qvl,k, värmeflöde av massa mellan klinker och

gas, qavdr, värmeutveckling vid reduktion, qred, samt värmeförlust till

omgivnin-gen, qloss,k. Ekvation (4.1) får då formen

˙ Tk =

qmf,k+ qvl,k− qavdr+ qred− qloss,k

σk· m

4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell 19

Energiflödet genom massflöde sker enligt

qmf = Kh,c2c· ( ˙min· Tk,in− ˙mut· Tk) (4.8)

Värmeledningen mellan klinker och gas ges av

qvl,k= Kh,c2g· (Tg− Tk) (4.9)

I ekvation (4.9) modelleras värmeledningen mellan blandoxid och gas som propor-tionell mot temperaturskillnaden enligt Newtons lag för extern värmeöverföring given i [22, sid. 193].

Energin som krävs för förgasning av klinker ges av

qavdr= Khm,c2c· mavdrivning (4.10)

Den energi som frigörs vid reduktionen av blysulfat ges av ekvation (4.11). Reak-tionen antas gå fortare vid högre temperatur men det är inte mätbart eftersom den reaktionen sker inne i ugnen. Det sker enligt

qred= Khrc· Ccc· ck· Tk (4.11)

En viss mängd energi förloras även genom manteln på ugnen. Den modelleras som konstant eftersom manteltemperaturen varierar relativt lite, ±40◦C, mellan de olika sektionerna i ugnen. Det ska jämföras med en temperaturskillnad på närmare 1000◦C mellan ugnens båda ändar. Manteltemperaturen mäts dagligen. Värmeförlusten ges av

qloss,k= Ch,c2a (4.12)

I gasen blir modellen lite mer komplicerad. Det som tillkommer är en term som beskriver värmeändringen som sker när trycket i ugnen ändras. Värmeförlust vid förgasning i ekvation (4.10) ersätts av en term som beskriver energiåtgången för att hetta upp förgasad klinker till samma temperatur som resten av gasen i sektionen. Trycket kommer inte att modelleras utan används som en mätbar insignal. Modellen kan då skrivas som

˙ Tg=

qmf,g+ qvl,g− qavdr,g+ qred+ qtryck− qloss,g

σg· mg

(4.13) I ekvation (4.13) gäller samma antagande som i övriga ugnsmodellen att temper-aturen är densamma i hela sektionen samt att gasflödet genom ugnen är propor-tionellt mot gasflödet in i ugnen. Gasflödet antas vara konstant genom hela ugnen. Energiöverföring genom gasflöde ges av

qmf,g = Kh,g2g· F · (Tg,in− Tg) (4.14)

Värmeledning mellan klinker och gas beskrivs på samma sätt som i ekvation (4.9) som

20 Modellering och identifiering

Den energi som åtgår för att värma upp den avdrivna klinkern till samma tem-peratur som resten av gasen ges av

qavdr,g= Kh,c2c· mavdrivning· (Tk− Tg) (4.16)

Det visar sig att modellen blir bättre om man antar att en del av reduktionsenergin går direkt ut i gasen. Anledningen till detta tros vara att reduktionen sker på ytan. Det ges av

qred= Khrg· Ccc· ck· Tk (4.17)

Tryckökning betraktas också som en form av energitillförsel enligt

qtryck= K_P˙P˙ (4.18)

På samma sätt som i ekvation (4.12) antas värmeförlusten till omgivningen vara konstant och ges av

qloss,g= Ch,g2a (4.19)

Osäkerheten i antagandet i ekvation (4.20) kommer av att brännlågan finns inne i ugnen medan modellen bygger på att hetluft blåses in. Dessutom är brännlågans utbredning i ugnen beroende av gasflödet till brännaren vilket också påverkar var energin tillförs. Vidare antas massan gas att värma upp vara proportionell mot gasflödet genom brännaren. Gastemperaturen i den gas som flödar ut från brännaren ges därmed av

Tg,in,0= Tg,0+

Kob· Fob

σg· ρg· F

(4.20) Tg,0 betecknar temperaturen på den gas som går till brännaren vilket är ungefär

rumstemperatur, Fob är oljeflöde till brännaren, ρg är gasens densitet, F är

gas-flödet, σg är gasens specifika värmekapacitet och Kob är energiinnehållet i oljan.

4.2.3

Parameterskattning

För att skatta de olika parametrarna i modellen har minimering av kvadratiska fel använts. Modellen har simulerats med några olika kombinationer av parame-trar varefter den kombination som gett bäst resultat har använts. De modellfel som betraktats är fel i massflöde ut ur ugnen, fel i gastemperatur samt fel i hy-draultryck. De olika modellfelen har använts för olika delar av modellen beroende på vad varje parameter främst påverkar. Ett stort problem med den här metoden har varit att man lätt hamnar i ett minimum som ger en konstant temperatur eller motsvarande som utsignal. För att vidare förenkla skattningsprocessen har vissa parametrar fixerats eftersom de ändå kommer att multipliceras med andra i modellen. Dessa är alltså inte identifierbara, se 3.1. Vidare har de parametrar som låsts hämtats ur [22]. Olinjäriteten gör även att skattningsmetoder baserat på derivering blir väldigt svårimplementerade och i vissa fall omöjliga exempelvis när det rör sig om styckvis linjära funktioner. Det har även varit tvunget att begränsa antalet parametrar att skatta samtidigt eftersom antalet simuleringar, N , växer med antalet parametrar och värden enligt

N = nnparametrar

4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell 21

där nvärden anger antalet värden för varje parameter och nparametrar anger antalet

parametrar att skatta samtidigt.

Metoden är relativt tidskrävande men har använts då en effektivare metod bedömdes vara mer svårimplementerad.

4.2.4

Validering

I figur4.4,4.5och4.6visas resultatet av en simulering av modellen med indata från identifieringsexperimentet samt motsvarande mätdata från den faktiska processen. Figur4.4visar temperaturen i ugnen. Modellen följer det allmänna beteendet hos

2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 300 350 400 450 500 550 600 650 700 T111 Tid [min] T [C] Greybox Uppmätt

Figur 4.4: Temperatur, ickelinjär modell

systemet men klarar ej av att förutse de spikar som finns på grund av att ugnen stannats för inspektion. En stillastående ugn blir alltid varmare eftersom den inte kyls ner av att kall klinker tillförs och att het klinker matas ut.

22 Modellering och identifiering 20000 2500 3000 3500 4000 4500 1 2 3 4 5 6 7 W002 Tid [min] W [Ton/h] Greybox Uppmätt

Figur 4.5: Massflödesmodell, ickelinjär

Figur4.5visar massflödet från ugnen. Det stora modellfelet i början av figur

4.5 härrör sig från det faktum att man sköt i ugnen strax innan mätningen av valideringsdatat började följt av en hastig avkylning som gjorde att väldigt mycket beläggning lossnade.

4.3 Linjära parametriska modeller 23 20000 2500 3000 3500 4000 4500 10 20 30 40 50 60 70 P012 Tid [min] P [Pa] Greybox Uppmätt

Figur 4.6: Tryckmodell, ickelinjär

Figur 4.6 visar trycket i hydraulsystemet som driver ugnen runt. På samma sätt som i massflödesmodellen beror felet till stor del på att en stor mängd klinker har skjutits lös samt att avkylningen ledde till att ytterligare beläggning lossnat. Ugnen går helt enkelt tyngre att driva runt under de förutsättningarna.

4.3

Linjära parametriska modeller

Här följer en beskrivning av de linjära svartlådemodeller som skattats. Teorin om linjära modeller samt hur de skattas finns beskriven i kapitel3.

4.3.1

Linjär aggregerad tillståndsmodell

Här har Matlabs System Identification Toolbox® använts för att skatta matris-er som approximmatris-erar systemet på linjär tillståndsform. System Identification Toolbox® beskrivs i [13] och [12]. Meningen med att göra en egen modell för detta är att kunna behålla den fysikaliska tolkningen av tillstånden för att på ett intuitivt sätt kunna använda den för tillståndsåterkoppling. Modellen är en linjäriserad förenkling av (4.2), (4.7) och (4.13) skriven som

  m Tk Tg  (t + T ) = A   m Tk Tg  (t) + B   mblandoxid mkol Folja  (t) (4.22) y(t) =   m Tk Tg  (t) (4.23)

24 Modellering och identifiering A =                        −a 0 0 . . . . a −a 0 . . . . 0 a −a . . . . .. . ... ... . . . −b 0 0 d 0 0 . . . c −b 0 0 d 0 . . . 0 c −b 0 0 d .. . ... ... . . . e 0 0 −f g 0 . . . 0 e 0 0 −f g . . . 0 0 e 0 0 −f .. . ... ...                        (4.24) B =                  1 0 0 0 0 0 .. . ... ... h 0.9· i 0 0 0.8· i 0 .. . ... ... 0 0 0 .. . ... ... 0 0 j                  (4.25) C =   . . . 0 1 0 . . . k . . . k 0 . . . . 0 . . . a 0 . . . .   (4.26)

Tyvärr visar det sig att den modellen ger ett undermåligt resultat med de struk-turer på A-, B- och C-matriser som beskrivs i (4.24)-(4.26). Den predikterar en temperatur i gasen med ett RMS-fel på cirka 400◦C (jfr. avsnitt4.4) vilket gör att fortsatt förfining av denna modell inte är meningsfull. RMS-felet definieras i (4.27).

4.3.2

ARX- och ARMAX-modeller

Modellstrukturen i ARX- och ARMAX-modeller beskrivs i kapitel 3. Här har Matlabs IDENT®, som är det grafiska användargränssnittet till System Identi-fication Toolbox, använts för att skatta parametrar till modeller av ARX- och ARMAX-typ. IDENT beskrivs i [13]. ARMAX-modellen tillåter endast en utsig-nal varför ARX-modellen har använts i de efterföljande kapitlen. Detta eftersom en ARX-modell kan skrivas om till en linjär tillståndsmodell på formen beskriv-en i ekvation (3.4) och (3.5) medan det inte är enkelt lösbart att skriva om tre olika modeller till en tillståndsmodell. Vidare har de skattade ARMAX-modellerna temperatur som utsignal eftersom det är den storhet som ska regleras. Inga skattningar av ARMAX-modeller med tryck eller massflöde som utsignal

4.3 Linjära parametriska modeller 25

kommer att redovisas då det visar sig att ARX-modellerna ger ett bättre resul-tat för temperaturmodellering, se tabell4.1, figur 4.11 och 4.12. Resultaten för tryck och massflöde är jämförbara med de för temperatur. Modellordningsvalet är baserat på förklaringsgraden i den skattade modellen. Förklaringgraden beskriver en modells förmåga att efterhärma verkligheten. Den stora nackdelen med dessa modeller är att de tillstånd som finns inte har någon direkt koppling till fysikaliska storheter annat än att utsignalerna ska vara lika.

Nedan jämförs några olika modeller i kategorierna RMS-fel i temperatur och parametrar icke signifikant skilda från noll. RMS-felet definieras som

eRM S=

s PN

t=1Tˆ2(t) − T2(t)

N (4.27)

Nämnaren i ekvation (4.27) är den totala tiden, N tidsintervall med sampeltiden 1. Som icke signifikant skilda från noll räknas de parametrar som är till beloppet mindre än sin variansskattning. Meningen med att jämföra dessa egenskaper hos modellen är att ta fram en tillräckligt stor modell för att förklara systemets be-teende men utan att ta med onödiga parametrar. Anmärkningen OS betecknar en modell skattat med bortdraget medelvärde. Eftersom ARX-modellen är mul-tivariabel medan ARMAX inte är det kommer det att finnas fler ickesignifikanta parametrar i ARX-modellerna. Det beror på att vissa insignaler inte är direkt kopplade till vissa utsignaler, t.ex. oljeflöde-hydraultryck.

Modell RMS-fel Ickesignifikanta parametrar

arx(2,2,1) 106 27 arx(2,2,1) (OS) 39 15 arx(3,1,1) 110 13 arx(3,1,1) (OS) 36 6 arx(3,1,3) 67 15 arx(3,1,3) (OS) 32 9 arx(3,3,3) 66 20 arx(3,3,3) (OS) 38 24 armax(2,2,2,1) 63 3 armax(2,2,2,1) (OS) 49 3 armax(3,1,1,1) 64 3 armax(3,1,1,1) (OS) 39 3 armax(3,1,1,3) 54 2 armax(3,1,1,3) (OS) 36 1 armax(3,3,3,3) 64 4 armax(3,3,3,3) (OS) 64 4

Tabell 4.1: Tabell över simuleringsfel och ickesignifikanta parametrar för ARX(na, nb, nk) och ARMAX(na, nb, nc, nk)

26 Modellering och identifiering

Nästa steg är att genomföra residualanalys för två av de testade modellerna. Residualanalys beskrives utförligare i kapitel 3. Modellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Detta är genomfört med Matlabs IDENT® där viss förbehandling av data skett jämförbart med offset-metoden som använts i skattningarna ovan. Metoden kallas detrend och tar bort långsiktiga trender ur data. Dessa två jämförs eftersom de har bäst egenskaper om man väger samman prediktionskraft och den residualanalys som följer nedan. Autokorrelationen är liten, inom ett 99%-igt konfidensintervall, förutom vid intilliggande tidpunkter, se figur4.7.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Autokorrelation för temperaturfel konfidensintervall, ARX(3,1,3) konfidensintervall, ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) konfidensintervall, ARX(3,3,3) konfidensintervall, ARX(3,3,3) ARX(3,3,3) ARX(3,3,3)

Figur 4.7: Autokorrelation mellan residualerna i temperaturmodellen. Modellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Korrelationen är beräknad från valideringsdata.

4.3 Linjära parametriska modeller 27 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Samples

Korskorrelation mellan materialinflöde och temperaturfel

+99% ARX(3,1,3) −99% ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) +99% ARX(3,3,3) −99% ARX(3,3,3) ARX(3,1,3)

Figur 4.8: Korrelation mellan inflöde av blandoxid och prediktionsfel i temper-atur. Modellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Korrelationen är beräknad från valideringsdata.

Man ser i figur 4.8 att det finns en viss korrelation mellan residualerna och insignalen, i det här fallet inmatad blandoxid i ugnen. Korrelationen är ganska stor då den går utanför ett 99%-igt konfidensintervall. Korrelationen är även större för andra modellordningar som provats. Korrelationen är mindre för de större modellen. Detta tolkas som att massflödets inverkan på temperaturen inte kan beskrivas särskilt väl av en linjär modell. Svårigheten att beskriva massflödets inverkan finns även i den ickelinjära modellen, se avsnitt4.4och figur4.15.

28 Modellering och identifiering −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Samples

Korskorrletaion mellan kolinflöde och temperaturfel

+99% ARX(3,1,3) −99% ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) +99% ARX(3,3,3) −99% ARX(3,3,3) ARX(3,3,3)

Figur 4.9: Korrelation mellan inflöde av kol och prediktionsfel i temperatur. Mod-ellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Korrelationen är beräknad från valider-ingsdata.

På samma sätt som i figur4.8finns i figur4.9en stark indikation på korrelation mellan insignalen kolinflöde och temperturfelet. Även här är korrelationen större för den mindre modellen och även större för andra modellordningar som provats. Även här ser man att massflöde är en svår process att beskriva.

4.3 Linjära parametriska modeller 29 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Samples

Korskorrelation mellan oljebrännarflöde och temperaturfel

+99% ARX(3,1,3) −99% ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) +99% ARX(3,3,3) −99% ARX(3,3,3) ARX(3,3,3)

Figur 4.10: Korrelation mellan oljeflöde till brännaren och prediktionsfel i tem-peratur. Modellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Korrelationen är beräknad från valideringsdata.

I figur 4.10 ser man en betydligt mindre korrelation mellan insignalen olje-flöde till brännaren och temperaturfelet än i figur4.8och4.9. Detta kan ses som att oljeflödets inverkan på temperaturen relativt väl kan beskrivas med en linjär modell. Energin som tillförs genom oljebränning går direkt ut i gasen medan en-ergitillförseln genom kol går via blandoxiden och leds därifrån till gasen.

De båda modellerna är snarlika när man betraktar residualanalysen. De trender som finns uppträder på liknande sätt i båda modellerna men med olika storlek. Den modell som kommer att användas för reglerdesign är ARX(3,3,3) då den ger ett något större prediktionsfel men har en väsentligt mindre korrelation mellan insignaler och prediktionsfel.

Nedan följer en presentation av den valda modellordningen och en jämförelse med motsvarande ARMAX-modell. ARX-modellerna är skattade ur mätdata där den ena är obehandlad och den andra är beräknad med medelvärde bortdraget. I figur

4.11 och 4.12 ser man att ARX-modellerna ger bättre prediktion än ARMAX-modellerna.

30 Modellering och identifiering 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 300 350 400 450 500 550 600 650 700 T111 Tid [min] T [C] ARX−modell ARMAX−modell Uppmätt

Figur 4.11: Temperaturmodeller, ARX(3,3,3) och ARMAX(3,3,1,3). Simuleringen är gjord med vailderingsdata.

2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 300 350 400 450 500 550 600 650 700 T111 Tid [min] T [C]

ARX−modell med offset ARMAX−modell med offset Uppmätt

Figur 4.12: Temperaturmodeller, ARX(3,3,3) och ARMAX(3,3,1,3) med offset. Simuleringen är gjord med vailderingsdata.

Genomgående för modellerna i figur 4.11-4.14 är att de som är beräknade med medelvärde bortdraget ger betydligt mindre fel. De klarar dock inte av att förutsäga systemets beteende helt.

4.3 Linjära parametriska modeller 31 20000 2500 3000 3500 4000 4500 10 20 30 40 50 60 70 P012 Tid [min] P [Pa] ARX−modell ARX−modell med offset Uppmätt

Figur 4.13: Tryckmodeller, ARX(3,3,3) med och utan offset. Simuleringen är gjord med vailderingsdata. 20000 2500 3000 3500 4000 4500 1 2 3 4 5 6 7 W002 Tid [min] W [Ton/h] ARX−modell ARX−modell med offset Uppmätt

Figur 4.14: Massflödesmodeller, ARX(3,3,3) med och utan offset. Simuleringen är gjord med vailderingsdata.

32 Modellering och identifiering

4.4

Utvärdering av modeller

Som kvalitetsmått har medelkvadratfelet, RMS, enligt ekvation (4.27) använts. Första hälften av mätdatat har använts för modellskattning och den andra hälften av mätdatat för validering. Detta eftersom första hälften kommer från identifier-ingsexperimentet medan andra hälften kommer från normal drift. Den ickelinjära modellen ger ett RMS-fel på ca. 24◦C medan ARX-modellen har ett fel på ca. 66◦C med den modell som är skattad direkt från data medan den som har ett medelvärde borttaget har ett fel på ca 32◦C. Motsvarande för ARMAX är ca 54◦C och 36◦C. Varianten med medelvärde bortdraget är den modell som har använts för reglerdesignen i kapitel 6. Skillnaden i resultat tolkas som att pro-cessen inte kan beskrivas särskilt väl av en linjär modell. Variansfelet minskar dock betydligt om man använder modellen med offset. Vidare kan de olika felen i den olinjära modellen delvis spåras till felet i massflöde som visar sig vara en väldigt osäker process eftersom den styrs av beläggningens mängd och karaktär. Det är egenligen inte mätbart men kan skönjas i figur4.15, framförallt i början och slutet av sekvenserna. En jämn beläggning ger ett jämt flöde medan en förträngn-ing dämmer upp flöde ända till beläggnförträngn-ingen lossnar eller skjuts lös osv. En annan källa till fel är här det faktum att värmekapaciteten i blandoxiden varierar kraftig, framförallt med järnhalten. Dessa båda felkällor har angetts som det svåraste att ta hänsyn till vid styrning av ugnen av processoperatörerna.

2000 2500 3000 3500 4000 4500 −40 −20 0 20 40 60 80

Fel i temperatur och fel i massflöde "modell vs. mätning" W002

modell − W002

T

modell − T111

Kapitel 5

Regulatorstrukturer

I detta kapitel presenteras den teori som ligger till grund för de regulatorer som används i kapitel 6. Vidare kommer kalmanfiltret att beskrivas eftersom till-ståndsskattning är en ytterst viktig del av linjär tillståndsåterkoppling. Materialet är hämtat från [8], [9], [7] och [26].

5.1

Kalmanfiltret

Kalmanfiltret beskrivs mer detaljerat i [9, kap. 8]. Kalmanfiltret har fått sitt namn efter statistikern Kalman som tillsammans med Bucy härledde filtret omkring 1960. Tanken med kalmanfiltret är att kunna vikta ihop mätningar och predik-tioner på ett optimalt sätt. Systemet antas vara beskrivet på tidsdiskret linjär tillståndsform. Tillståndsformen ges i ekvationerna (3.4) och (3.5). Vidare antas det finnas processbrus w(t) med väntevärdet 0 och kovariansfunktion Q och mät-brus v(t) med väntevärde 0 och kovariansfunktion R. Q är en kvadratisk matris med lika många rader och kolumner som antalet styrsignaler och R är en kvadratisk matris med lika många rader och kolumner som antalet mätsignaler. Målet är att skatta tillstånden x(t) baserat på samtliga tidigare mätningar y(t). Skattningen skrivs ˆx(t|τ ) och betecknar skattningen för tillstånden vid tiden t givet alla mät-ningar fram till och med τ . Kovariansmatrisen för skattningen skrivs P (t|τ ) och beskriver osäkerheten i skattningen vid tiden t givet alla mätningar fram till tiden τ . Första steget vid filtrering brukar kallas tidsuppdatering

ˆ

x(t + 1|t) = Aˆx(t|t) + Bu(t) (5.1) P (t + 1|t) = AP (t|t)AT + Q (5.2) Ekvation (5.1) beskriver prediktionen av x(t + 1) baserat på tidigare skattning och senaste insignalen när ingen ny mätning gjorts. Ekvation (5.2) anger hur osäkerheten ökar där första termen kommer från osäkerheten i tidigare skattning fortplantas och andra delen anger processbrusets inverkan på osäkerheten. Nästa

34 Regulatorstrukturer

steg kallas mätuppdatering ˆ

x(t|t) = x(t|t − 1) + L(t)e(t)ˆ (5.3)

e(t) = y(t) − (C ˆx(t|t − 1) + Du(t)) (5.4) L(t) = P (t|t − 1)CT[CP (t|t − 1)CT + R]−1 (5.5) P (t|t) = P (t|t − 1) − P (t|t − 1)CT[CP (t|t − 1)CT + R]−1CP (t|t − 1)(5.6) Ekvation (5.3) beskriver hur man ska väga in ny information som finns i mätnin-gen y(t). L(t) beskriver hur stor vikt som skall läggas vid den nya mätninmätnin-gen. Ekvation (5.6) anger hur mycket osäkerheten minskar när den nya mätningen har vägts in.

Allmänt kan matriserna A,B,C och D vara tidsberoende. I många tillämpningar är matriserna inte tidsberoende eller kan approximeras med konstanta matriser. Då kan man använda sig av det stationära kalmanfiltret. Det innebär att förstärknin-gen L är konstant och det beror på att kovariansen P går mot ett konstant värde när tiden går mot oändligheten. P beräknas då med den så kallade algebraiska riccatieekvationen

P = AP AT + Q − AP CT[CP CT + R]−1CP AT (5.7) Förenklat kan man beskriva det så att ett stort Q innebär att man har en väldigt osäker modell medan ett stort R innebär att man har väldigt brusiga mätningar.

5.2

Linjär tillståndsåterkoppling

Materialet är hämtat från [8, kap. 9]. Antag att man har en modell

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) (5.8)

y = Cx(t) + Du(t) (5.9)

och regulator enligt

z(t) = M x(t) (5.10)

u(t) = −Kx(t) (5.11)

Här är x(t) tillstånden vid tiden t, u(t) styrsignalen, z(t) reglerstorheten och y(t) mätsignalen. Dessa är i allmänhet vektorer. Denna typ av återkoppling förutsätter att alla tillstånden x(t) är mätbara. Kan man inte mäta dessa får man använda sig av tillståndsskattning till exempel med kalmanfiltret som beskrevs i avsnitt

5.1. Den teknik som används här är så kallad LQ-reglering (Linear Quadratic). Idén är att minimera kriteriet

V = ∞ X t=0 ||x(t)||2Q1+ ||u(t)|| 2 Q2 (5.12)

5.3 Modellprediktiv reglering 35

Här kan den kvadratiska normen beräknas som ||x(t)||2

Q1 = x

T_{(t)· Q}

1· x(t) (5.13)

Lösningen till minimeringsproblemet att minimera V i ekvation (5.12) är

L = Q−1₂ BTS (5.14)

där S löses ut ur riccatieekvationen

ATS + SA + MTQ1M − SBQ−12 B

T_{S = 0 (5.15)}

Q1och Q2 brukar kallas straffmatriser och avgör hur man prioriterar mellan små

styrsignaler och små reglerfel. Stort Q1 ger en snabb reglator medan stort Q2ger

en regulator med små styrutslag.

5.3

Modellprediktiv reglering

Materialet är hämtat från [7, kap. 10]. Modellprediktiv reglering brukar betecknas MPC, Model Predictiv Control. Modellen antas vara given på tidsdiskret linjär tillståndsform. Den grundläggande tanken är att man vill kunna göra LQ-reglering enligt5.2och samtidigt ta hänsyn till bivillkor, exempelvis begränsningar i styrsig-naler. Det problemet är i allmänhet inte lösbart. Det första steget är att trunkera summan i ekvation (5.12) till en ändlig summa

V = N −1 X j=0 ||x(t + j + 1)||2 Q1+ ||u(t + j)|| 2 Q2 (5.16)

där N betecknas prediktionshorizont. Därefter skrivs framtida tillstånd om i ter-mer av nuvarande tillstånd och framtida styrsignaler. Resultatet blir att summan kan skrivas som ett kvadratiskt uttryck i framtida styrsignaler. Problemet löses därefter med så kallad kvadratisk programmering (QP, Quadratic Programming). Kvadratisk programmering tillåter även att man tar hänsyn till linjära bivilkor. De bivilkor som gäller tillstånd eller utsignaler skrivs därefter om i termer av styrsignalen. Sedan beräknas den optimala styrsignalsekvensen. Den första av styrsignalerna appliceras sedan till nästa mätuppdatering sker. Då upprepas hela förfarandet men baserat på ett nytt tillstånd x(t). En vanlig metod för att minska beräkningarna är att bara beräkna de första M styrsignalerna och därefter anta att de är lika som den sista i sekvensen. M benäms då reglerhorizont.

36 Regulatorstrukturer

5.4

Fuzzy-reglering

Materialet är hämtat från [7, kap. 12] och [26]. Fuzzy control eller Fuzzy logic är en teknik för att genom enkla regler kunna bygga en regulator. Reglerna kan vara av typen ”Om rummet är varmt så dra ner termostaten” eller ”Om du har bråttom så jobba hårt”. Temperaturen i rummet, handlingen att dra ner termostaten, arbetssituationen och arbetsinsatsen kallas lingvistiska variabler. Temperaturen skulle till exempel kunna anta värdena kallt, lagom och varmt.

5.4.1

Medlemsskapsfunktioner

För att kunna definiera vad det innebär att ett rum är varmt eller att man har bråttom tar man mängdläran till hjälp. Normalt tillhör ett värde en mängd eller så gör det inte det. Inom den här grenen av reglerteknik använder man en utvidgn-ing av mängdläran där medlemsskapsfunktioner beskriver till vilken grad ett värde tillhör en mängd. I figur5.1finns exempel på hur medlemskapsfunktioner kan se ut. I traditionell mängdlära skulle motsvarande medlemsskapsfunktioner bara

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Exempel på medlemskapsfunktion Låg Mellan Hög

Figur 5.1: Exempel på medlemsskapsfunktioner

anta värdena 1 och 0 och brukar betecknas indikatorfunktioner. Medlemskaps-funktionerna bestämmer då entydigt till vilken grad ett värde x tillhör en mängd A och till därmed till vilken vilken grad en lingvistisk variabel antar det lingvistiska värde som beskrivs av A.

5.4 Fuzzy-reglering 37

5.4.2

Mängdoperationer

Man behöver även definiera mängdoperationerna snitt, union och komplement. Antag att man har mängderna A och B med medlemsfunktionerna µA och µB.

Då ges snitt, union och komplement av

Snitt: µ(x) = min(µA(x), µB(x)) (5.17)

Union: µ(x) = max(µA(x), µB(x)) (5.18)

Komplement: µ(x) = 1 − µA(x) (5.19)

Med dessa definitioner kan man definiera vad som menas med uttryck som och , eller och inte. Det naturliga valet är att använda snitt för och, union för eller och komplement för inte. Då får man samma resultat som med vanlig boolesk logik om man använder medlemsskapsfunktioner som bara antar värdena 1 och 0.

5.4.3

Defuzzyfication

Nästa steg är att beräkna en utsignal från systemet. Baserat på graden av uppfyll-nad av vilkoren viktas de olika handlingarna samman. Sammanviktningen brukar kallas defuzzyfication. För en utförligare beskrivning av olika defuzzyfication-metoder se [26, chap. 6] Den enklaste metoden som även används i kapitel 6 är Center-of-Maximum. Antag att de olika reglerna i är uppfyllda till grad νi

beräk-nat exempelvis med de definitioner som getts ovan. Vidare har varje handlings medlemskapsfunktion ett värde yisom ges av centrum för det maximala värdet på

handlingens medlemskapssfunktion. Den resulterande handlingen ges då av y = P iνi· yi P iνi (5.20) Metoden är av typen bästa kompromiss. Utsignalen från denna typ av regulator är kontinuerlig vilket inte är fallet med alla defuzzyfication-metoder. Man skulle till exempel kunna välja den utsignal som ges av det villkor som är uppfyllt till högst grad och få en mest trolig handling-metod. Ett exempel när en sådan metod skulle vara användbar är fallet där en regel säger ”Gå till höger om trädet” och en annan säger ”Gå till vänster om trädet” och villkoren är ungefär lika mycket uppfyllda. De skulle en bästa kompromissmetod föreslå att man går i mitten medan troligaste handling-metoden skulle gå på den sida som rekommenderas av den regel som har mest uppfyllt villkor.

Kapitel 6

Regulatorkonstruktion

I detta kapitel beskrivs de olika regulatorstrukturer som provats i simulering samt deras respektive prestanda. De olika typerna av regulatorstrukturer finns utförli-gare beskrivna i kapitel 5. Som referenssignal till samtliga regulatorer finns en önskad ugnstemperatur. Massflöde in i ugnen, tryck i ugnen samt varvtal i ugnen används som mätbara störningar i de linjära modellerna medan fuzzy-regulatorn även styr varvtal. De linjära modellerna använder alla utsignaler medan fuzzyreg-ulatorn endast använder massflöde ut ur ugnen samt temperaturen.

6.1

Linjär tillståndsåterkoppling

Linjär tillståndsåterkoppling bygger på en kompromiss mellan snabbhet och min-imering av styringrepp. För att det ska fungera väl måste man skatta tillstånden i systemet. I det här fallet har ett kalmanfilter baserat på ARX-modellen som beskrevs i kapitel4 använts för att skatta tillstånden samt en linjär återkoppling från dessa beräknat med LQ-teknik. Kalmanfiltret och LQ-reglering beskrivs i kapitel5. Regulatorn är konstruerad med verktyg från Control Systems Toolbox® i Matlab®, se [15]. Den tekniken bygger på att man styr systemet mot origo och därför har den modell som är linjäriserad kring en arbetspunkt använts, se kapi-tel4. Regulatorn styr därmed avvikandet från den arbetspunkten. Straffmatrisen Q1 för reglerfelet är sådan att den straffar både fel i tillstånd, ändring i tillstånd

och summan av reglerfelet. För att få integratorverkan i regulatorn har ytterligare ett tillstånd lagts till som

xn+1(t + 1) = xn+1+ KI(r − y) (6.1)

För att undvika integratoruppvridning kommer r och y vara samma då regulatorn är i passiv mod.

40 Regulatorkonstruktion

6.2

Modellprediktiv reglering

Den MPC-regulator som används har tagits fram med Matlab®-verktyget Model Predictive Control Toolbox®, se [3]. Verktyget ger användaren möjlighet att trim-ma både regulatorn och tillståndsskattningen till önskat resultat. Den främsta anledningen att verktyget använts är att målsättningen med hela arbetet är att konstruera en regulator som är möjlig att implementera och att Matlabs Real-Time Workshop® inte stöder det inbyggda kommandot för kvadratisk programmering, se [17]. Som beskrevs i kapitel5är kvadratisk programmering hörnstenen i MPC. MPC-regulatorn visade sig ha relativt låg prestanda och eftersom kvadratisk pro-grammering inte ligger inom arbetets ramar kommer ingen egen algoritm för detta implementeras.