Huvudräkning och
standardalgoritmer
En litteraturstudie om hur matematikdidaktisk forskning ser på huvudräkning
jämfört med standardalgoritmer.
KURS: Självständigt arbete, 15 hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning 4–6 FÖRFATTARE: Linda Axelsson & Ellinore Mattsson EXAMINATOR: Robert Gunnarsson
JÖNKÖPING UNIVERSITY Kurs: Självständigt arbete, 15 hp School of Education and Communication Program: Grundlärarprogrammet 4–6 Termin: VT2020
SAMMANFATTNING
Linda Axelsson och Ellinore Mattsson
Huvudräkning och standardalgoritmer - En litteraturstudie om hur matematikdidaktisk forskning beskriver huvudräkning jämfört med standardalgoritmer.
Mental computation and standard algorithms - A literature study on how research in
mathematics education describe mental computation compared to standard algorithms. Antal sidor: 19
Inom matematikämnet är metoden standardalgoritmer en stor del av undervisningen, vilket ibland leder till att huvudräkning inte prioriteras. Syftet med denna litteraturstudie är att beskriva hur matematikdidaktisk forskning beskriver huvudräkning respektive standardalgoritmer. Vi har även granskat vad forskningen hävdar att lärare har för betydelse i dessa undervisningsmoment. Litteraturstudien innehåller forskning från 11 olika länder, där det valda materialet har granskats genom noggrann läsning och en jämförande analys av våra gemensamma tolkningar. Det analyserade materialet pekar på att när elever använder sig av skriftliga beräkningar resulterar det i noggrannare svar. Skriftliga beräkningar medför även att eleverna lättare kan följa sin egen tankegång, vilket leder till en ökad förståelse för sitt tillvägagångssätt. Resultatet visar att lärare bör besitta djupa kunskaper om vanligt förekommande svårigheter inom huvudräkning och standardalgoritmer. Anledningen till det är att de ska kunna uppmärksamma svårigheter i undervisningen. Resultatet av våra valda forskningsstudier visar att standardalgoritmer är effektiva, automatiska och generaliserbara. Standardalgoritmer kan leda till att beräkningar som innehåller flersiffriga tal och tal i decimalform underlättas. Analysen av de valda forskningsartiklarna indikerar att båda metoderna bör användas och att den ena inte utesluter den andra.
Innehållsförteckning
1. Inledning ...1 1.1 Syfte och frågeställningar... 1 2. Bakgrund...3 2.1 Styrdokument ... 3 2.2 Huvudräkning ... 3 2.3 Standardalgoritmer ... 4 2.4 Förkunskaper vid användandet av huvudräkning ... 4 3. Metod ...5 3.1 Informationssökning ... 5 3.2 Materialanalys ... 8 4. Resultat... 10 4.1 Fördelar elever får genom att arbeta med huvudräkning ... 10 4.2 Fördelar elever får genom att arbeta med standardalgoritmer ... 11 4.3 Lärarens betydelse vid undervisningen av huvudräkning och standardalgoritmer ... 11 5. Diskussion ... 13 5.1 Metoddiskussion... 13 5.2 Resultatdiskussion ... 14 5.2.1 Fördelar forskningen visar att eleverna får genom att arbeta med huvudräkning och standardalgoritmer ... 14 5.2.2 Lärarens betydelse vid undervisning av huvudräkning och standardalgoritmer ... 17 5.2.3 Vidare forskning ... 19 6. Referenslista ... 21 Bilaga: översikt över analyserad litteratur ... 231
1. Inledning
Syftet med denna litteraturstudie är att beskriva hur matematikdidaktisk forskning beskriver huvudräkning respektive standardalgoritmer. Utifrån frågeställningarna vill vi även belysa vilka fördelar forskningen visar att användandet av huvudräkning och standardalgoritmer har inom grundskolan. Detta för att synliggöra vilken betydelse de olika metoderna har under hela grundskolan. Bakgrunden till denna uppsatsidé kommer främst från erfarenheter vi fått från vår verksamhetsförlagda utbildning, då vi har uppmärksammat att undervisningen i huvudsak består av standardalgoritmer och att huvudräkning inte prioriteras. Detta kan leda till att majoriteten av eleverna enbart använder sig av standardalgoritmer oavsett uppgiftens utformning. Dock står det i kursplanen för matematik att elever ska kunna ”välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter” (Skolverket, 2018, s. 8).
Syftet med litteraturstudien är även att belysa vad läraren bör lyfta fram i undervisningen, då det förekommer missuppfattningar med både huvudräkning och standardalgoritmer. En viktig del av lärarkompetensen är att kunna känna igen och förstå de bakomliggande orsakerna till dessa svårigheter. En vanligt förekommande svårighet med standardalgoritmer är att elever inte förstår alla stegen i proceduren och att de inte har en tillräcklig taluppfattning för att kunna bedöma svarets rimlighet (McIntosh, 2015, s. 124). För att elever ska kunna använda standardalgoritmer med god säkerhet, bör de introduceras senare än vad det traditionellt gjort (McIntosh, 2015, s. 122).
Huvudräkning utgör ungefär 80% av alla beräkningar som utförs i vardagen. Det är därför viktigt att elever behärskar flera olika huvudräkningsstrategier (McIntosh, 2015, s. 115). Vanliga svårigheter vid användandet av huvudräkning är att elever tappar räkningen eller att de har svårt att hålla ordning på de olika stegen när de räknar i huvudet. Sådana svårigheter beror på att arbetsminnet kan bli överbelastat, vilket leder till systematiska fel (McIntosh, s. 117).
1.1 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna litteraturstudie är att beskriva hur matematikdidaktisk forskning beskriver huvudräkning respektive standardalgoritmer. Vi vill uppfylla syftet genom att besvara följande frågor:
● Vilka fördelar får elever genom att använda huvudräkning respektive standardalgoritmer?
2 ● Vad behöver lärare lyfta fram i undervisningen om huvudräkning respektive
3
2. Bakgrund
2.1 Styrdokument
Läroplanen är ett centralt styrdokument och kan användas som ett pedagogiskt verktyg för lärare. De uppdrag som beskrivs i skolans styrdokument förväntas lärare realisera i undervisningen genom att göra olika didaktiska val. I det centrala innehållet i kursplanen för matematik i årskurs 4–6 står det att elever, genom undervisningen i ämnet matematik, ska erbjudas “Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Metodernas användning i olika situationer”. Det står även att eleverna, genom undervisningen i ämnet matematik, ska utveckla förmågan att göra ”rimlighetsbedömningar vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga situationer” (Skolverket, 2018, s. 3). Ett kunskapskrav som elever ska ha nått i årskurs 6 för betyget E är att “Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär” (Skolverket, 2018, s. 7). Ett annat kunskapskrav som eleverna ska ha nått i årskurs 6 för betyget E är att ”Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar och lösa enkla rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med tillfredsställande resultat” (Skolverket, 2018, s.7).
2.2 Huvudräkning
Det finns olika definitioner av vad huvudräkning är. I kommentarmaterialet skiljer Skolverket (2017, s. 8) på huvudräkning och skriftlig beräkning vilket kan tolkas som att Skolverket hävdar att huvudräkning definieras som en beräkning som görs utan att notera beräkningsprocessen. Rockström (2002, s. 9) menar dock att det även finns något som kallas skriftlig huvudräkning, vilket är en metod där man skriver ner sina huvudräkningstankar som ett mellanled. Löwing (2017, s. 117) hävdar, precis som Rockström (2002, s. 9), att huvudräkning innefattar olika strategier där det är tillåtet att skriva ned sina mellanled. Flertalet elever använder sig av standardalgoritmer trots att det i vissa fall hade varit lämpligare att räkna ut med hjälp av huvudräkning (Rockström, 2002, s. 47). När man ska addera 427 med 198 anser Löwing (2008, s. 107) att huvudräkning är den lämpligaste metoden. Istället för att ställa upp additionen kan man dela upp talet 427 i 425+2 och flytta över 2:an till talet 198, för att sedan på ett enkelt och smidigt sätt räkna ut 425+ 200 vilket ger summan 625.
4
2.3 Standardalgoritmer
Löwings (2017, s 131) definition av standardalgoritmer är att elever opererar med tal med hjälp av en viss struktur. Grevholm (2014, s. 108) och McIntosh (2015, s. 124) definierar en standardalgoritm som en fast och stegvis regel eller process som används för att beräkna något. Enligt Miller (1969, s. 12–13) har hjärnan en begränsad kapacitet vilket gör att människan inte kan hantera flera räkneoperationer samtidigt. Detta är ett skäl till varför beräkningar har utförts skriftligt i form av standardalgoritmer. Detta medför att elever kan frigöra så mycket minne som krävs för att sedan kunna arbeta vidare med själva uppgiften istället för att lägga fokus åt varje delberäkning. Dock menar Rockström (2002, s. 46) att standardalgoritmerna har tagit en alldeles för stor plats i matematikundervisningen, trots att de är effektiva, tidsbesparande och kräver ytterst lite tankearbete. Rockström (2002, s. 47) hävdar att standardalgoritmer blir något mekaniskt som gör att elever inte behöver tänka själv, och eftersom alla tal i standardalgoritmer räknas som ental hämmas elevers förståelse för skillnaden mellan ental, tiotal, hundratal, tiondelar, hundradelar och tusendelar. McIntosh (2015, s. 117) hävdar att det finns elever, som har lärt sig standardalgoritmer, som försöker räkna i huvudet genom att visualisera standardalgoritmen i huvudet.
2.4 Förkunskaper vid användandet av huvudräkning
För att elever ska kunna använda huvudräkningsstrategier på ett effektivt sätt krävs det att de har en god taluppfattning, vilket innebär att eleverna förstår hur tal är uppbyggda och kan operera med dem (Löwing, 2008, s. 40). När det kommer till huvudräkning är det viktigt att elever har kunskaper om likhetstecknets innebörd. Likhetstecknet bidrar till att elever kan förenkla uttryck, som eleverna sedan kan skriva om på flera olika sätt (Rockström, 2002, s. 13). En annan viktig förkunskap är att behärska positionssystemet, vilket innebär att elever måste förstå siffrornas värde i ett tal. För att behärska huvudräkning, med eller utan skrivstöd, måste elever förstå skillnaden mellan hela tal och decimaltal (Rockström, 2002, s. 15). Ytterligare en förutsättning för att lyckas med olika beräkningar är att ha goda tabellkunskaper. Om elever har automatiserat tabellkombinationerna inom de fyra räknesätten (addition, subtraktion, division och multiplikation) kan man istället ägna tankekraft åt andra matematiska moment (Rockström, 2002, s. 15). Även Löwing (2017, s. 111) poängterar att tabellkunskaper är nödvändiga om man vill bli duktig i huvudräkning.
5
3. Metod
I denna del beskrivs hur vår informationssökning genomförts, och hur materialet som valts har analyserats.
3.1 Informationssökning
En systematisk informationssökning beskrivs som en nödvändighet för att litteraturstudien ska kunna ses som vetenskapligt (Nilholm, 2017, s. 15). Genom databasen ERIC har vi funnit relevant material till vår litteraturstudie. Sökningar har också utförts i SwePub, Artikelsök, Primo och Google Scholar, dock utan att tillföra relevant material till vår litteraturstudie. Sökprocessen inleddes med användandet av svenska sökord, så som exempelvis huvudräkning, huvudräkningsstrategier, standardalgoritmer och huvudräkning. Huvudräkning OCH standardalgoritmer* är ett exempel på hur en sökning som innehöll svenska sökord såg ut. Dessa sökord och sökningar gav ett begränsat sökresultat. Det ledde till att sökorden översattes till engelska sökord, exempelvis mental computation* och algorithm AND primary*. Databassökningen med dessa engelska sökord resulterade i våra elva forskningsartiklar. Utifrån dessa sökord sammanställde vi tabell 1 där vissa sökningar innehåller trunkering och ordet AND.
Kedjesökning och databassökning är de sökmetoder som använts i vår informationssökning. Det sistnämnda har utgjort majoriteten av våra sökningar. Genom kedjesökning fann vi relevanta artiklar som sedan användes i studien. Som metod i vår sökprocess valde vi även att studera andra examensarbetens sökord för att med hjälp av dessa sökord försöka finna lämpliga artiklar. Vi valde att begränsa våra sökningar genom att endast använda artiklar som publicerades inom tidsintervallet 2005–2019 då vi ville ta del av relativt ny forskning inom vårt ämne. En annan begränsning vi gjorde var att endast läsa artiklar som är peer reviewed, vilket innebär att artiklarna är kollegialt granskade. En annan begränsning vi gjorde var att enbart använda texter som utgår från elever från grundskolan som är mellan 6–15 år då vi ansåg att denna grupp var lämpligast för vår litteraturstudie och dess innehåll.
För att säkerställa att vårt material stämmer överens med vårt ämnesområde har vi valt att utgå från dessa kriterier:
1. Texterna ska utgå från elever i grundskolan.
2. Texternas innehåll ska handla om huvudräkning och/eller standardalgoritmer. 3. Texterna ska vara vetenskapligt granskade.
6 4. Texterna ska vara publicerade mellan 2005–2019.
Vid användning av sökordet “algorithm” fick vi upp mycket irrelevanta artiklar. Detta ledde till att vi fick komplettera med andra sökord för att förhålla oss till vårt ämne. Under sökprocessen valde vi att göra avgränsningar utefter artiklarnas titlar, detta innebar att vi studerade om titlarna innehöll våra huvudord. Genom att läsa artiklarnas abstract fick vi värdera relevansen och undersöka om artiklarna stämde överens med vårt syfte. Sedan granskade vi om våra artiklar uppfyllde våra valda kriterier. Detta resulterade i elva artiklar som vår litteraturstudie grundas på. Mer utförlig information om använt material finns i tabell 1. Figur 1 beskriver processen för hur en av sökningarna utfördes i databasen ERIC. Här beskrivs i olika steg vilka sökord och vilka begränsningar vi valt och slutligen hur många artiklar vi fann genom denna sökning som var relevant och användbart för vår studie. I Tabell 1: översikt över inkluderat material kan ni sedan se vilka sökordskombinationer som användes för att finna resterande av artiklarna.
Figur 1 beskriver flödesschema och sökningsprocess. Detta är ett exempel på en av våra sökningar som resulterade i sju använda artiklar. I nedanstående tabell är resten av våra sökord noterade.
Tabell 1: översikt över inkluderat material.
Författare Titel År Publikationstyp Sökord Ruiz, C & Balbi, A. The Effects of
Teaching Mental Calculation in the development of 2019 Academic journal Mental Computation* Mental computation* 816 träffar
Lägger till ”peer reviewed” till sökningen 541 träffar
Ändrar årtal till 2005-2019 362 träffar
7 Mathematical
Abilities Hickendorff, M &
M. van Putten, C & D. Verhelst, N & J. Heiser, W. Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation 2010 Academic Journal Mental Computation*
Torbeyns, Joke & Verschaffei, L. Mental Computation or Standard Algorithm? Children’s Strategy Choices on Multi-Digit Subtractions 2015 Academic Journal Mental Computation* Erdem, E. Mental Computation: Evidence from Fifth Graders 2017 Academic Journal Mental Computation* Barrera-Mora, F & Reyes-Rodriguez, A. Fostering middle school students' number sense through contextualized tasks 2019 Academic Journal Mental Computation*
Hurst, C & Hurrell, D. Algorithms Are Useful: Understanding Them Is Even Better! 2019 Academic Journal Algorithm AND primary*
Ulu, M & Ozdemir, K. Determining the mental Estimation strategies used by fourth-grade elementary students 2018 Academic Journal Mental Computation*
8 in four basic
mathematical operations
Schulz, A. Relational reasoning about numbers and operations-
Foundation for calculation strategies use in multi- digit multiplication and division 2018 Academic Journal “Calculation strategies”* Yang, D.C, & Huang, K.L An Intervention Study on Mental Computation for Second Graders in Taiwan 2014 Academic Journal Mental Computation*
Norton, S. The Use of Alternative Algorithms in Whole Number Computation 2013 Academic Journal Algorithm computation number mathematics McIntosh, A Developing Computation 2008 Academic Journal Kedjesökning 3.2 Materialanalys
Undersökningsmaterialet består av elva vetenskapliga artiklar som har granskats och analyserats. I ett första skede har vi läst igenom det valda materialet för att säkerställa att det berör vårt syfte och ämnesområde. Ett exempel är att vi först undersökte om artiklarna berörde standardalgoritmer eller huvudräkningsstrategier och sedan tog vi fram lösblad och noterade enskilt vad forsknignsartiklarna handlade om. Vissa av artiklarna hade undersökt både om huvudräkningsstrategier och standardalgoritmer. Sedan punktade vi upp i vilka länder studierna har genomförts, vilka årskurser eleverna som medverkade i studierna gick i och hur många elever som medverkade i varje studie. Efter det granskade vi så att artiklarnas syfte stämde överens med
9 vår studie och sedan studerade vi artiklarnas resultat. Efter dessa steg, har vi tillsammans resonerat kring våra stödanteckningar och jämfört våra tolkningar och analyser för att kunna sammanställa en objektiv litteraturöversikt (se bilaga). I denna översikt redogörs varje vetenskaplig artikels syfte, design, innehåll och resultat, vilket bidrog till att vi kunde synliggöra vilka likheter och skillnader som fanns mellan de olika källorna. De vetenskapliga artiklar som har exkluderats har exempelvis behandlat andra åldersgrupper än de som vi valt att fokusera på eller så har artiklarna varit utanför vårt tidsintervall.
10
4. Resultat
I resultatdelen redogörs vilka fördelar som forskningen åskådliggör gällande elevers lärande av huvudräkning och standardalgoritmer. I resultatdelen är litteraturstudiens material uppdelat i tre delar vilka grundar sig på de två forskningsfrågorna.
4.1 Fördelar elever får genom att arbeta med huvudräkning
Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez (2019, s. 79–80), Yang och Huangs (2014, s. 14); Schultz (2018, s. 128) och McIntoshs (2008, s. 49) forskningsstudier visar att huvudräkning ökar elevernas förståelse för tal och platsvärde. McIntosh (2008, s. 49) hävdar att huvudräkning ger en säker grund och ökad förståelse för senare introduktion av algoritmräkning. Schultz (2018, s. 128) hävdar också att en god huvudräkningsförmåga är grundläggande för att eleven ska utveckla förståelse för standardalgoritmers struktur och uppbyggnad. Erdem (2017, s. 1170) och Hickendorffs et al., (2010, s. 439) forskningsstudier visar att elevers resultat ökar när de använder sig av skriftlig huvudräkning. Hickendorff et al., (2010, s. 439), Torbeyns et al., (2015, s. 104) och Ulu och Ozdemirs (2018, s. 68) slutsats är att det är viktigt att elever använder skriftliga beräkningar för att förstå sina lösningar, då det i studien ledde till noggrannare svar.
De elever som behärskar huvudräkningsstrategier har förmågan att välja och använda den strategi som är lämpligast för uppgiften (Hickendorff et al., 2010, s. 448: Erdem, 2017, s. 1170). Eleverna som ingick i Ulu och Ozdemirs (2018, s. 68) forskningsstudie hade som uppgift att ge ett uppskattat svar på 20 olika frågor. Det innebar att eleverna skulle ge ett ungefärligt svar vilket betyder att det inte behövde vara exakt. Ett exempel på hur uppgiften kunde se ut är 237+159 där talet 237 kan avrundas till 240 och talet 159 kan avrundas till 160. Dessa två tal ger istället additionen 240+160 vilket är lika med 400. Detta är alltså ett exempel på en huvudräkningsstrategi där elever ger ett uppskattat svar genom rimlighetsbedömning och avrundning. De elever som valde att använda sig av huvudräkningsstrategier hade 83–100% korrekta svar. Resultatet av Ulu och Ozdemirs (2018, s. 68) forskningsstudie visar att de elever som använder sig av huvudräkningsstrategier när de ska ge ett uppskattat svar, ger rimliga svar inom väldigt kort tid.
Två av de valda forskningsartiklarna hävdar att elever bör behärska fler huvudräkningsstrategier för att underlätta sin beräkning. Om elever besitter flera huvudräkningsstrategier kommer de ständigt att arbeta med förståelsen för talens värde. Detta medför även att beräkningarna kommer att vara tydligare att följa, både för eleven och för läraren. Forskningsartiklarna lyfter även fram
11 huvudräkning som en viktig byggsten i elevers matematiska kunnande, som sedan ska användas i vardagliga situationer (Barrera-Mora & Reyes-Rodriguez, 2019, s. 75; Erdem, 2017, s. 1163). När det kommer till användandet av huvudräkning i vardagliga situationer iscensatte forskarna Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez (2019, s. 75) en händelse i klassrummet där eleverna låtsades vara i en matbutik.
4.2 Fördelar elever får genom att arbeta med standardalgoritmer
En av de främsta fördelarna eleverna får genom att arbeta med standardalgoritmer är att de vanligen får ett bättre resultat i sina beräkningar och lösningar, speciellt när talen blir större (Norton, 2013, s. 18). Torbeyns och Verschaffel (2015, s. 104) hävdar, precis som Norton (2013, s. 18), att standardalgoritmer underlättar beräkningar som innehåller större tal och tal i decimalform då metoden är effektiv, automatiserad och generaliserbar. Hickendorffs et al., (2010, s. 451) forskningsstudie resulterade i att elever som använder sig av standardalgoritmer enklare kan förstå sina lösningar och sin tankegång eftersom beräkningen är nedskriven. Forskaren drar även slutsatsen att skriftliga beräkningar leder till noggrannare och snabbare uträkningar (Hickendorff et al., 2010, s. 451).
4.3 Lärarens betydelse vid undervisningen av huvudräkning och standardalgoritmer
Forskningsstudierna betonar vikten av att lärare behöver undervisa elever i huvudräkningsstrategier för att eleverna ska klara av vardagliga matematiska situationer, då en standardalgoritm inte alltid är lämplig i sådana situationer (Erdem, 2017, s. 1163; Barrera-Mora & Reyes-Rodriguez, 2019, s. 75). Yang och Huangs (2014, s. 14) resultat visar att huvudräkning ökar elevernas förståelse för tal och platsvärde, vilket forskarna hävdar ger en säker grund och ökad förståelse för senare introduktion av standardalgoritmer. I Schultz (2018, s. 12z8) och McIntoshs (2008, s. 49) forskningsstudie poängterar de lärare som ingick i studien att en god huvudräkningsförmåga är grundläggande för att elever ska kunna utveckla förståelse för standardalgoritmers struktur och uppbyggnad och få en förståelse för talens platsvärde. Norton (2013, s. 18) och Hurst och Hurrells (2019, s. 18) resultat visar att flera elever hade svårt att förstå hur standardalgoritmerna var uppbyggda och saknade även förståelse för talens värde och platsvärde.
Det framkommer att många elever inte väljer strategi beroende på uppgiftens utformning utan att de väljer den strategi som de är mest bekväma med och som deras undervisning har prioriterat under den senaste perioden (Norton, 2013, s. 20; Yang & Huang, 2014, s. 14). Ulu och Ozdemir
12 (2018, s. 68) har kommit fram till samma slutsats då majoriteten av fjärdeklassarna (74%) som ingick i deras forskningsstudie använde sig av standardalgoritmer som en huvudräkningsstrategi för att ge uppskattade svar, trots att en huvudräkningsstrategi hade varit lämpligare. Torbeyns och Verschaffels (2015, s. 108) studie visar ett liknande resultat då lärarna som ingick i studien enbart undervisade sina elever i huvudräkning i årskurs 1 och 2 och introducerade standardalgoritmer för eleverna i årskurs 3 och 4. Detta resulterade i att 52% av eleverna enbart använde sig av standardalgoritmer (Torbeyns & Verschaffel, 2015, s. 99). Det har uppmärksammats att flertalet lärare tidigare introducerat standardalgoritmer i årskurs 1 och 2, men efter dessa forskningsstudier har lärarna ändrat uppfattning och hävdar att standardalgoritmer istället bör introduceras i årskurs 4. Lärarna i dessa forskningsartiklar hävdar att eleverna bör behärska flera huvudräkningsstrategier för att de ska kunna utföra standardalgoritmer med en förståelse för talens platsvärde (McIntosh, 2008, s. 49; Schultz, 2018, s. 128). Forskarna Hickendorff et al., (2010, s. 448) och Erdem (2017, s. 1170) har uppmärksammat att högpresterande elever har förmågan att tillämpa den strategi som är lämpligast för uppgiften då de har fler huvudräkningsstrategier att välja från och som de känner sig bekväma med.
Ulu och Ozdemir (2018, s. 68), Hickendorff et al., (2010, s. 451), Torbeyns och Verschaffel (2015, s. 104) beskriver betydelsen av att lärare förklarar för eleverna hur viktigt det är att använda sig av skriftliga beräkningar, då skriftliga beräkningar leder till att eleverna lättare förstår sin beräkning. Det har också framgått i forskningsstudierna att skriftlig beräkning leder till noggrannare svar, och att eleverna kan förklara sitt tillvägagångssätt och ge realistiska uppskattningar.
Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez, (2019, s. 83) och Erdem, (2017, s. 1170) drar slutsatsen att när elever använder standardalgoritmer som en huvudräkningsstrategi leder det till svårigheter med talets värde, då eleverna ser tiotalen som ental vilket resulterade i felaktiga beräkningar och lösningar. Studierna poängterar lärarens ansvar i att uppmärksamma sådana missuppfattningar för eleverna, vilket syftar till att de sedan ska kunna utföra standardalgoritmer med förståelse (Barrera-Mora & Reyes-Rodriguez, 2019, s. 83; Erdem, 2017, s. 1170).
13
5. Diskussion
I diskussionsdelen diskuteras metodvalen och resultatet av studien. I metoddiskussionen reflekterar vi kritiskt över hur informationssökningen och materialanalysen har gått till och vilka svagheter respektive starka sidor arbetet har. I resultatdiskussionen diskuterar vi kring hur resultatet relaterar till vårt syfte och ämnesområde och hur resultatet kan relateras till yrkesverksamheten och vårt praktiska arbete som lärare.
5.1 Metoddiskussion
I vår litteraturstudie har vi under sökprocessen funnit material som givit svar på våra frågeställningar. Sökningarna begränsades till tidsintervallet 2005–2019 då vi ville ta del av nyare forskning, vilket kan ha påverkat resultatet då vissa artiklar uteslöts. Det kan vara så att våra artiklar bygger på tidigare forskning som diskuterat dilemmat mer ingående. Vidare har vår sökprocess resulterat i övervägande del forskningsartiklar som berör huvudräkning. En risk med detta är att resultatet kan ha påverkats då en mindre del av våra forskningsartiklar handlar om standardalgoritmer. Vår begränsning att enbart använda material som berörde grundskoleelever medförde att vissa forskningsartiklar valdes bort, trots att undersökningarna omfattade vårt ämnesområde.
I sökprocessen har vi i ett stadie valt att göra avgränsningar baserat på forskningsartiklarnas titel, trots att vi är medvetna om att titeln i vissa fall kan vara missvisande. Ett exempel på en avgränsning vi gjort är att vi enbart läste en artikel om titeln innehöll något av våra nyckelord. Detta gjorde vi trots att vi är medvetna om att titeln i vissa fall kan vara missvisande. Anledningen till varför vi utgick från titeln var för att vi fick så pass många träffar att det inte var realistiskt att läsa alla abstract. Detta hade kunnat undvikas genom att precisera sökningarna ytterligare för att få färre artiklar. Därmed finns det en risk att vi har gått miste om relevanta forskningsartiklar. Vi hade tänkt använda oss av databasen MathEduc, dock har den blivit borttagen. Detta kan ha begränsat oss då vi kan ha gått miste om relevanta forskningsartiklar som berör vårt ämnesområde. En modersmålskritisk aspekt med användandet av artiklar med engelsk text är att det kan ha förekommit felöversättningar och feltolkningar eftersom vårt modersmål är svenska. Detta har vi dock försökt minimera genom att vi separat har läst samtliga artiklar och sedan diskuterat innehållet, vilket stärker studiens trovärdighet. För att säkerställa att litteraturstudiens resultat blev tillförlitligt har det valda forskningsmaterialet lästs noggrant flera gånger och våra tolkningar och analyser har jämförts grundligt. Vidare har noggrann läsning bidragit till att vi har kunnat fastställa
14 att litteraturstudiens validitet är hög då samtliga forskningsartiklar har undersökt det vi har avsett att undersöka, nämligen vårt syfte och våra frågeställningar. Under analysprocessen har vi varit konsistenta med att ställa våra samtliga elva forskningsartiklar mot valda kriterier (se avsnitt 3.1) vilket har bidragit till att vi kunnat fastställa att litteraturstudiens reliabilitet är hög.
5.2 Resultatdiskussion
Nedan diskuteras det valda forskningsmaterial som presenterats i resultatdelen. I denna del diskuteras även hur resultatet relaterar till vårt syfte och frågeställningar.
5.2.1 Fördelar forskningen visar att eleverna får genom att arbeta med huvudräkning och standardalgoritmer
Litteraturstudiens resultat visar att huvudräkning ökar elevernas taluppfattning och förståelse för talens platsvärde (McIntosh, 2008, s. 49; Yang & Huang, 2014, s. 14). Dessa forskare och Schultz (2018, s. 128) poängterar i sina studier att huvudräkning bidrar till en god huvudräkningsförmåga som de påstår är grundläggande för att eleverna ska kunna utveckla förståelse för standardalgoritmernas uppbyggnad. Forskarnas tillvägagångssätt har varierat (se bilaga), trots detta har de kommit fram till samma slutsats. McIntosh (2008, s. 49) har dragit denna slutsats genom att låta flera lärare undervisa elever i årskurs 2, 3 och 4 i enbart huvudräkning och helt utesluta undervisning av standardalgoritmer. I denna studie jämförde forskaren elevernas resultat från tidigare undervisning, med elevernas resultat efter forskningsstudien. Yang och Huang (2014, s. 14) kom fram till samma resultat genom användandet av en kontrollgrupp och en experimentgrupp, genom att jämföra de två olika gruppernas resultat mot varandra (se bilaga). Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez (2019, s. 79–80) iscensatte en vardaglig situation där eleverna använde sig av huvudräkning där hjälpmedel inte var tillåtet. Forskningsstudien visar att de elever som använde sig av standardalgoritmer stötte på problem, när de istället använde sig av huvudräkning gav det ett bättre resultat. Schultz (2018, s. 128) använde ett skriftligt test på elever i årskurs 4 som analyserade deras användning av beräkningsstrategier och standardalgoritmer (se bilaga). Testets resultat visar att huvudräkning ökar elevernas taluppfattning och förståelse för talens platsvärde. Utifrån de olika forskarnas resultat drar vi slutsatsen att huvudräkning ökar elevernas taluppfattning och elevernas förståelse för talens platsvärde. Trots att forskarnas studier har utgått från olika åldersgrupper och olika tillvägagångssätt, har samtliga forskare kommit fram till samma slutsats.
15 Erdem (2017, s. 1170) och Hickendorffs et al., (2010, s. 439) forskningsstudier visar att elevers beräkningar blir noggrannare och att eleverna lättare kunde förklara de olika stegen i sina tillvägagångssätt när de använder sig av skriftlig huvudräkning. Torbeyns et al., (2015, s. 104) och Ulu och Ozdemir (2018, s. 68) delar denna slutsats och hävdar att skriftlig beräkning (se avsnitt 4.1) leder till noggrannare beräkningar. Hickendorffs et al., (2010, s. 439) forskningsstudie skiljer sig dock från Erdems (2017, s.1170) på så sätt att studien endast omfattade division, medan Erdems (2017, s. 1170) studie omfattade alla de fyra räknesätten (addition, subtraktion, division och multiplikation). Något som kan ses som en nackdel i båda forskningsstudiernas genomförande är att de enbart har baserat deras slutsatser på ett test. En risk vi ser med att endast ha ett test som dessutom granskar elevers noggrannhet kan vara att vissa elever var trötta och inte förmådde att notera alla steg i sina beräkningar. Denna risk kan ha resulterat i lägre poäng då de undersökte om elevernas beräkningar blev noggrannare vid användning av skriftlig huvudräkning. Elevernas resultat kan skilja beroende på vilken tid på dagen testerna utfördes och denna information har vi inte kunnat finna från någon av forskningsstudierna. Om dessa elever var tvungna att endast utföra sina beräkningar med hjälp av skriftlig huvudräkning hade resultatet kunnat vara annorlunda. Om eleverna behärskade huvudräkningsstrategier kunde resultaten varit högre, men å andra sidan hjälpte standardalgoritmer kanske de elever som inte alls behärskar huvudräkningsstrategier. Dock har vi funnit forskningsstudier vars resultat visar att elever kan utföra standardalgoritmer utan att förstå vad de gör vilket leder till att vi har resultat som visar att både standardalgoritmer och huvudräkning kan leda till noggrannare svar (Hurst & Hurrell, 2019, s. 18; Norton, 2013, s. 18). Vid beräkningar som innehåller flersiffriga tal eller tal i decimalform pekar Nortons (2013, s. 18) resultat på att standardalgoritmer framförallt är en effektiv metod. Vilken metod leder då till noggrannare svar? För att elever ska komma fram till ett noggrannare svar och samtidigt ha en förståelse under beräkningen pekar forskningen på att huvudräkning är den metod som bör användas. Utifrån forskningsstudiernas resultat hävdar vi att skriftlig beräkning leder till en ökad noggrannhet, oavsett om det är med huvudräkning eller standardalgoritmer.
Hickendorffs et al., (2010, s. 448) och Erdems (2017, s. 1170) slutsatser är att elever som behärskar flera huvudräkningsstrategier har förmågan att välja och använda den strategi som är lämpligast för uppgiftens utformning. Forskarna Ulu och Ozdemir (2018, s. 68) delar denna slutsats genom att ha undersökt elevernas kunskaper i att göra en rimlighetsbedömning genom valfri beräkningsmetod. Resultatet visar att eleverna som valde att använda sig av huvudräkningsstrategier hade 83%-100% rätta svar. Resultatet av Ulu och Ozdemirs (2018, s. 68) forskningsstudie visar att de elever som använder sig av huvudräkningsstrategier när de ska ge ett
16 uppskattat svar, ger rimliga svar inom väldigt kort tid. Baserat på forskarnas slutsatser hävdar vi att huvudräkning är en bra strategi när elever ska ge ett rimligt och uppskattat svar. Ett exempel på en väl fungerande huvudräkningsstrategi som medför att elever lättare lyckas med att ge ett uppskattat och realistiskt svar är tomma tallinjen, även kallad talsorter för sig. Denna huvudräkningsstrategi har forskarna Yang och Huang (2014, s. 6) illustrerat i sin forskningsstudie för att visa hur den fungerar, se nedan.
Figur 2, tomma tallinjen och talsorter för sig (Yang & Huang, 2014, s. 6).
Ett argument till varför standardalgoritmer är så effektivt är att de är tidsbesparande och att standardalgoritmer minskar den kognitiva belastningen hos eleverna (Hurst & Hurrell, 2019, s. 17). Hjärnan har en begränsad kapacitet vilket gör att människan inte kan hantera flera räkneoperationer samtidigt. Detta är ett skäl till varför beräkningar har utförts skriftligt i form av algoritmberäkningar (Miller, 1969, s. 12–13). Detta medför att minnet frigörs och eleven kan då arbeta vidare med själva uppgiften istället för att lägga fokus på varje delberäkning (Miller, 1969, s. 12–13; Hurst & Hurrell, 2019, s. 17). Baserat på denna forskning poängterar vi vikten av att inte utesluta algoritmer utan att finna balansen till när algoritmer ska introduceras.
Sammanfattningsvis råder en viss enighet kring att skriftlig huvudräkning leder till en god taluppfattning, förståelse för platsvärde och noggrannare och exaktare beräkningar. Forskningsstudierna pekar på att huvudräkning som metod är ett viktigt redskap i vardagen och att det bidrar till en ökad förståelse för algoritmers uppbyggnad. Huvudräkningsstrategier ger elever chansen till att få rätt verktyg till att kunna hantera matematiska vardagliga situationer och att det är viktigt att ge eleverna flera strategier då alla elever uppfattar och tar till sig information på olika sätt. Detta styrks också av kursplanen för matematik då det står att eleverna ska utveckla förmågan att välja och använda sig av lämpliga matematiska metoder (Skolverket, 2018, s. 1). Forskningsstudiernas slutsats är att standardalgoritmer leder till snabba och korrekta uträkningar
17 och att metoden är effektiv vid uträkningar av flersiffriga tal. Ytterligare fördelar med metoden är att den är tidsbesparande, minskar den kognitiva belastningen och frigör arbetsminnet.
5.2.2 Lärarens betydelse vid undervisning av huvudräkning och standardalgoritmer
Erdem (2017, s. 1163) och Barrerra-Mora och Reyes-Rodriguez (2019, s. 75) betonar vikten av att lärare behöver undervisa eleverna i huvudräkningsstrategier för att de ska kunna tillämpa dessa strategier i vardagliga matematiska situationer. Detta då standardalgoritmer inte alltid är lämplig att använda i vardagliga matematiska situationer. Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez (2019, s. 75) skapade en vardaglig situation där eleverna skulle, med hjälp av huvudräkningsstrategier, beräkna vanligt förekommande vardagsmatematik. Ett exempel på detta är hur mycket växel som eleverna ska få tillbaka efter att ha handlat x antal varor i en butik och har betalat kontant. Här fick eleverna i studien inte använda sig av papper och penna då forskarna ansåg att man inte alltid ha tillgång till det när man är och handlar. Att åka till affären och handla är ett exempel på en situation som ingår i många personers vardag. Forskarnas slutsats av studien var att de elever som använde sig av huvudräkningsstrategier lyckades bättre och här poängterar forskarna lärarens ansvar i att komplettera den ordinarie undervisningen med olika vardagliga scenarion. Forskarna hävdar också att konkret material, så som låtsaspengar, är nödvändigt för vissa elevers förståelse och att det är lärarens ansvar att anpassa undervisningen till varje enskild individ. Detta stödjs av läroplanen då det står att undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov (Skolverket, 2018, s. 2).
Yang och Huangs (2014, s. 14) resultat visar att huvudräkning ökar elevernas förståelse för tal och platsvärde, vilket forskarna hävdar ger en säker grund och ökad förståelse för senare introduktion av standardalgoritmer. Schultz (2018, s. 128) och McIntoshs (2008, s. 49) resultat visar att de lärare som ingick i studien antyder att huvudräkningsförmåga är grundläggande för att elever ska kunna utveckla förståelse för standardalgoritmers struktur och uppbyggnad och få en förståelse för talens platsvärde. Norton (2013, s. 18) och Hurst och Hurrells (2019, s. 18) resultat visar att flertalet elever hade svårt att förstå hur standardalgoritmerna var uppbyggda och saknade även förståelse för talens värde och platsvärde. Utifrån vad ovanstående forskning visar drar vi slutsatsen att huvudräkning är en viktig metod som ger eleverna talförståelse och förståelse för platsvärde. Med det sagt hävdar vi att det är lärarens ansvar att erbjuda eleverna en undervisning som innehåller båda metoderna kontinuerligt och att undervisningen inte bara prioriterar en strategi under en
18 längre period (Yang & Huang, 2014, s. 14; Norton, 2013, s. 20; Torbeyns & Verschaffel, 2015, s. 108).
Norton (2013, s. 20), Yang och Huang (2014, s. 14), Ulu och Ozdemir (2018, s. 68) och Torbeyns och Verschaffels (2015, s. 108) pekar på att många elever inte väljer strategi beroende på uppgiftens utformning utan att de väljer den strategi som de är känner sig mest bekväma med och som deras undervisning har prioriterat under den senaste perioden. Detta har forskarna kommit fram till genom att låta elever utföra ett skriftligt test (se bilaga). Utifrån det resultatet drar vi slutsatsen att eleverna inte behärskar tillräckligt många strategier för att kunna välja strategi beroende på uppgiftens utformning. Dessutom visar forskning att elever som har lärt sig att utföra beräkningar med hjälp av standardalgoritmer med största sannolikhet alltid kommer välja den metoden vid uträkningar, oavsett uppgiftens utformning (Yang & Huang (2014, s. 14; Norton, 2013, s. 20). Utifrån det påståendet vill vi hävda att dessa elever som alltid använder sig av standardalgoritmer inte besitter tillräcklig kunskap av huvudräkningstrategier. Hur har forskarna kommit fram till den slutsatsen? Det som skiljer Torbeyns och Verschaffels (2015, s. 108) forskningsstudie från de andra forskningsstudierna är att det är lärare som har medverkat i forskningsstudien. Utifrån detta har resultatet visat att 52 % av de elever som introducerades i standardalgoritmer i årskurs 3 och 4 enbart använde sig av standardalgoritmer. Vad visar detta resultat? Resultatet visar hur viktigt det är att ha en utbildad lärare som har kunskap om hur standardalgoritmer påverkar eleverna och när det passar att introducera standardalgoritmer. Och hur viktigt det är att läraren har en djup kunskap kring elevernas missuppfattningar och svårigheter för att kunna uppmärksamma dem och använda sig av elevernas missuppfattningar och svårigheter i matematikundervisningen.
Resultatet visar också att eleverna behöver bli erbjudna både huvudräkning och standardalgoritmer kontinuerligt. Detta för att elever ska känna sig trygga i flera metoder och att elever ska välja den metod som är lämpligast för respektive uppgift. Detta styrks av forskning då Hickendorff et al., (2010, s. 448) och Erdem (2017, s. 1170) har uppmärksammat i deras forskningsstudier att högpresterande elever har förmågan att tillämpa den strategi som är lämpligast för diverse uppgifter, då de har fler huvudräkningsstrategier att välja från och som de känner sig bekväma med. Forskningen stärks också av kursplanen för matematik då det står att eleven ska kunna “välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter”, och reflektera och värdera över dessa valda strategier och metoder (Skolverket, 2018, s. 1).
19 Forskningsresultatet poängterar betydelsen av att lärare förklarar för sina elever vilka fördelar det ger genom att använda sig av skriftliga beräkningar. Våra valda forskningsartiklar visar att skriftliga beräkningar tydliggör uträkningens olika steg vilket leder till att eleverna lättare förstår sina beräkningar och att det blir lättare för eleverna att förklara sitt tillvägagångsätt. Forskning visar också att skriftliga beräkningar (skriftlig huvudräkning och standardalgoritmer) leder till noggrannare beräkningar och att eleverna kan ge rimliga förklaringar (Ulu & Ozdemir, 2018, s. 68; Hickendorff et al., 2010, s. 451; Torbeyns & Verschaffel., 2015, s. 104). Utifrån forskarnas resultat så drar vi slutsatsen att läraren har ett stort ansvar att kommunicera med sina elever och visa vilka fördelar det finns med olika metoder och att skriftlig beräkning utvecklar elevernas rimlighetstänk.
Två forskningsgrupper som kommit fram till ett liknande resultat är Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez, (2019, s. 83) och Erdem (2017, s. 1170). Dessa forskare har dragit slutsatsen att elevers användande av standardalgoritmer som en huvudräkningsstrategi leder till svårigheter med talets värde, då elever ser tiotal som ental. Sådana missuppfattningar resulterar i felaktiga beräkningar och lösningar. För att dessa svårigheter och missuppfattningar inte ska bestå, belyser Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez, (2019, s. 83) och Erdem (2017, s. 1170) vikten av att lärare måste uppmärksamma dessa missuppfattningar, vilket medför att elever sedan ska kunna utföra standardalgoritmer med förståelse för talets värde. Erdems (2017, s. 1162) forskningsstudies deltagarantal var fem gånger så stort som antalet deltagare i Barrera-Mora och Reyes-Rodriguez, (2019, s. 78) forskningsstudie. Trots detta har studierna ändå kommit fram till ett liknande resultat. Det är även viktigt att poängtera att användandet av standardalgoritmer som en huvudräkningsstrategi förekommer i flera olika årskurser, då forskningsstudierna var utförda i årskurs 5–9 (Barrera-Mora & Reyes-Rodriguez, 2019, s. 78; Erdem 2017, s. 1162).
5.2.3 Vidare forskning
Vi anser att vidare forskning inom användandet av huvudräkning och standardalgoritmer är viktigt då vår litteraturstudie visar att det är ett stort område inom matematikämnet. Med grund i denna litteraturstudies resultat har vi därför utformat tre idéer som kan vara intressanta att forska vidare om:
- Vilka metoder inom huvudräkning eller standardalgoritmer behärskar eleverna?
- Kan eleven tillämpa olika metoder och göra aktiva val för vilken metod som är lämpligast beroende på uppgiftens utformning?
20 - Vilka metoder väljer läraren att undervisa eleverna i?
21
6. Referenslista
Barrera-Mora, F., & Reyes, R. A. (2019). Fostering middle school students' number sense through contextualized tasks. International Electronic Journal of Elementary Education, 12(1), 75-85.
Erdem, E. (2017). Mental Computation: Evidence from Fifth Graders. International Journal of Science and Mathematics Education, 15(6), 1157–1174.
Grevholm, B. (2014). Lära och undervisa matematik - från förskoleklass till åk 6. Lund, Sverige: Studentlitteratur.
Hickendorff, M,. Cornelis, M. van Putten. Norman, D,. Verhelst & Willem, J. Heiser. (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written
Computation. Journal of Educational Psychology, 102(2), 438 – 452.
Hurst, C., & Hurrell, D. (2019). Algorithms Are Useful: Understanding Them Is Even Better! Australian Primary Mathematics Classroom, 23(3), 17-21.
Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik - matematikdidaktik för lärare. Lund, Sverige: Studentlitteratur.
Löwing, M. (2017). Grundläggande aritmetik. Lund, Sverige: Studentlitteratur. Miller, G.A. (1969). Kommunikation och psykologi: om människan som ett
informationssamlande och informationsbehandlande system. Stockholm: Beckman.
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla – Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund, Sverige: Studentlitteratur.
McIntosh, A. (2008). Developing Computation. Australian Primary Mathematics Classroom, 9(4), 47-49.
McIntosh, A. (2015). Förstå och använda tal – en handbok. Göteborg, Sverige: Göteborgs Universitet.
Nilholm, C. (2017). SMART – Ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Lund, Sverige: Studentlitteratur.
Norton, S. (2013). The Use of Alternative Algorithms in Whole Number Computation. International Journal for Mathematics Teaching and Learning, 13.
22 Ruiz, C. & Balbi, A. (2019). The Effects of Teaching Mental Calculation in the Development of Mathematical Abilities. Journal of educational research, 112, 315-326.
Schultz, A. (2018). Relational reasoning about numbers and operations- Foundation for
calculation strategies use in multi- digit multiplication and division. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 20(2), 108–141.
Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Skolverket. Skolverket. (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11 (reviderad 2018). Stockholm: Skolverket.
Torbeyns, J & Verschaffel, L. (2015). Mental Computation or Standard Algorithm? Children’s Strategy Choices on Multi-Digit Subtractions. European Journal of Psychology of Education, 31, 99–116.
Ulu, M., & Ozdemir, K. (2018). Determining the Mental Estimation Strategies Used by Fourth-Grade Elementary Students in Four Basic Mathematical Operations. International Electronic Journal of Elementary Education, 11(1), 63-75.
Yang, D.C., & Huang, K.L. (2014). An Intervention Study on Mental Computation for Second Graders in Taiwan. Journal of Educational Research, 107(1), 3-15.
23
Bilaga: översikt över analyserad litteratur
Författare Titel Tidskrift Publikations år Syfte Design Urval Datainsamling Land Ansåg att algoritmer i undervisning är ett hinder Resultat
Ruiz, Carola & Balbi, Alejandra The Effects of Teaching Mental Calculation in the development of Mathematical Abilities Academic journal 2019 Studera mentala beräkningars effekter på utvecklingen av olika matematiska förmågor. Genomföra ett inventionsprogr am för undervisning i mental beräkning i grundskolan. 50 stycken slumpmässigt utvalda andra klassare. 15 stycken undervisnings sektioner. Uruguay Författarna ville bevisa och belysa att huvudräkningsst rategier gav eleverna fler matematiska förmågor än algoritmer. Visade inga större högre resultat genom undervisning främst om huvudräkningsst rategier, dock visade resultatet att eleverna i denna undersökning som var med i undersökningsg ruppen förbättrade sina resultat mer, dock startade de med lägre kunskapsförmåg or i de flesta delarna. Marian Hickendorff and Cornelis M. van Putten & Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Academic journal Studera elevernas val av huvudräkningsst rategier eller skriftliga strategier i divisions
uppgifter och att undersöka elevernas noggrannhet.
Eleverna fick göra ett test som innehöll 13 divisions uppgifter som även innefattade decimaler. 362 stycken slumpmässigt utvalda elever som går i årskurs 6. Samlade in allt material och poäng räknade elevernas resultat. Nederländerna Artikeln anser att algoritmer ska införas när eleverna behärskar att använda sig att huvudräkningsst rategier skriftligt. Resultatet visade att eleverna lyckas bättre när de skrev ner sina huvudräkningsst rategier.
Resultatet visade också att elever med högre resultat använde sig av både beräkningar i huvudet och skriftliga beräkningar. I denna artikel räknas dock skriftlig huvudräkning
24
2010 inte som en
mental beräkning. Resultatet visade också att endast 3/362 elever använde skriftlig algoritm, resterade använde sig av skriftlig huvudräkning. Torbeyns, J & Verschaffel, L. Mental Computation or Standard Algorithm? Children’s Strategy Choices on Multi-Digit Subtractions Academic Journal 2015 Studera elevernas användning av huvudräkningsst rategier och av algoritmer inom subtrationsberäk ning av två eller flersiffrigt tal. Undersökning 58 stycken slumpmässigt valde fjärde klassare. Alla elever fick utföra ett test individuellt i ett tyst och tomt extra rum så snabbt som möjligt. Belgien Artikeln antydde att algoritmer är en bra strategi, dock efter att eleverna behärskar och använder sig av olika huvudräkningsst rategier. 50% av eleverna använde sig av både huvudräkningsst rategier och algoritmer och 48% enbart algoritmer och 2 % av eleverna använde sig enbart av huvudräkningsst rategier. Eleverna var mer osäkra på huvudräkningsst rategierna och att det tog mycket längre tid frö dem att utföra. Erdem, Emrullah. Mental Computation: Evidence from Fifth Graders Academic Journal 2017 Undersöka elevernas kunskaper inom huvudräkningsst rategier. Huvudräkningst est (MCT) 118 stycken slumpmässigt valda elever i femte klass. Ett digitalt test om huvudräkningsst rategier inom de fyra räknesätten har utförts. Artikeln förespråkar att undervisningen ska lära elever att använda sig av
huvudräkningsst rategier istället för att eleverna ska känna sig säkrare av att använda sig av algoritmer. då eleverna inte kontrollerar 78,8 % av eleverna har en bra huvudräkningsf örmåga. Resultatet visar att eleverna behärskar huvudräkningsst rategierna inom addition bäst och lägst inom multiplikation. Resultatet visade också att
25 Turkiet resultatet. Detta
leder dels till ineffektiva metoder och onödiga fel. eleverna hade svårare att beräkna tvåsiffrigt eller flersiffrigt tal. Barrera-Mora, Fernando & Reyes Rodriguez, Aaron. Fostering middle school students' number sense through contextualized tasks Journal articles 2019 Motivera och visa eleverna att de behöver huvudräkningsst rategier för att lösa vardagliga problem. Övning (The store) som skulle främja att eleverna använder sig av huvudräkningsst rategier istället för algoritmer. 24 stycken slumpmässigt valda elever i årskurs 7–9. Eleverna fick göra ett test dokumenterades genom att sektionen filmades. México Artikeln anser att algoritmer är ett hinder om inte eleverna har skapat sig bra
huvudräkningsst rategier och har en bra taluppfattning. Artikeln poängterar att skriftlig huvudräkning gynnar taluppfattning mer än algoritmer. Att elever behöver behärska huvudräkningsst rategier och inte algoritmer för att klara sig i vardagliga situationer och att det är genom huvudräkning eleverna skapar sig en bra taluppfattning. Hurst, C. & Hurrell, D. Algorithms Are Useful: Understanding Them Is Even Better! Journal Articles 2019 Syftet med studien är att undersöka om grundskoleeleve r kan genomföra den vertikala algoritmen för multiplikation och om de kan visa en förståelse och ge en förklaring för hur algoritmen fungerar. Elever från årskurs 5 och 6. Intervjuer Australien De anser att algoritmräkning är ett bra verktyg när en uppgift exempelvis innehåller för svåra tal för att kunna beräkna mentalt, men att eleverna behöver ha en förståelse för hur algoritmer fungerar, varför de fungerar och när de ska användas. Resultatet av studien visar att det finns en hel del elever som saknar förståelsen för hur den skriftliga algoritmen faktiskt
fungerar, och att de har svårt för att tillämpa den distributiva lagen. Ulu, M & Ozdemir, K Determining the mental Syftet med studien var att undersöka vilka strategier eleverna 26 stycken slumpmässigt valda elever i årskurs 4. Studien visade att algoritmer i detta fallet var ett hinder eftersom syftet Studien visade att majoriteten av eleverna använde sig av algoritmiska
26 Estimation strategies used by fourth-grade elementary students in four basic mathematical operations Journal articles 2018 använde sig av inom de fyra räknesätten. Eleverna skulle göra uppskattningar i fem grundläggande uppgifter inom varje räknesätt. Eleverna fick genomföra ett test bestående av 20 frågor, 5 grundläggande uppgifter inom varje räknesätt. Turkiet med uppgifterna var att ge ett uppskattat svar, där tankegången sedan skulle kunna presenteras muntligt i efterhand. uträkningar, även fast de endast skulle ge ett uppskattat svar på uppgiften. Resultatet visade däremot positivt för de få elever som använde sig av huvudräkningsst rategier när de skulle ge ett uppskattat svar, det var nämligen rimliga och kunde uppskatta svaret inom en väldigt kort tid. De elever som ville använda sig av algoritmräkning för att ge ett uppskattat svar gav oftast orealistiska svar och det tog längre tid för dem att komma fram till svaret. Schulz, A Relational reasoning about numbers and operations- Foundation for calculation strategies use in multi-digit multiplication and division Journal articles 2018 Studien hade som syfte att analysera heltalsbaserade beräkningsstrate gier och sifferbaserade algoritmuträkni ngar för flersiffrig multiplikation och division. Huvudräkning som strategi innehöll två olika typer av resonemang/rela 221 slumpmässigt valda elever i årskurs 4. Eleverna fick genomföra ett test med 18 uppgifter på 60 minuter. Tyskland Studien visade att huvudräkningsst rategier gjorde att eleverna kunde resonera om relationen mellan både siffror och beräkningsopera tioner, medan algoritmräkning gjorde att eleverna endast kunde resonera kring relationen mellan siffror. Studien visade att om eleverna använde sig av huvudräkningsst rategier inom multiplikation och division, blev det en positiv inverkan på förmågan att resonera om relationen mellan siffror. Förmågan att resonera om relationerna mellan olika
27 tioner: relationen mellan siffror och relationen mellan beräkningsopera tioner. Algoritmräknin g syftar däremot till att minska de nödvändiga resonemangspro cesserna. beräkningsopera tioner påverkade endast strategianvändni ng inom multiplikation. Användandet av algoritmräkning påverkade endast relationen mellan siffror, och inte relationen mellan operationer. Yang, D.C, Huang, K.L An Intervention Study on Mental Computation for Second Graders in Taiwan Journal articles 2014 Syftet med studien var att undersöka utvecklingen av huvudräkning och huvudräkningsst rategier. Två klasser i årskurs 2, en klass var en experimentell grupp och den andra klasser var en kontrollgrupp. De två grupperna blev undersökta före och efter en instruktionsinter vention. Taiwan.
Det var endast huvudräkning och huvudräkningsst rategier som undersöktes, däremot kom man fram till att vertikala algoritmer inte främjar utvecklingen av mental beräkning. Studien visade att användningen av mentala strategier i kontrollgruppen minskade eller till och med försvann efter interventionen. I den experimentella gruppen kunde de dock tillämpa mentala beräkningsstrate gier på en till och med högre nivå. Resultatet visade även att undervisningen av den vertikala adderings- och subtraktionsalgo ritmen inte främjar utvecklingen av mental beräkning. Norton, S Syftet med
studien var att undersöka hur
Årskurs 4, 5, 6 och 7 från tre skolor.
Studien visade att det gav ett bättre resultat
Resultatet av studien visade att de elever
28 The Use of Alternative Algorithms in Whole Number Computation Journal articles 2013 grundskolelever utför grundläggande heltalsberäkning ar. De metoder som användes var antingen algoritmer eller alternativa skriftliga beräkningar. Eleverna fick genomföra ett test. Australien om eleverna använde sig av den traditionella algoritmräkning en.
som valde att använda sig av de alternativa skriftliga beräkningarna hade ett sämre resultat än de elever som använde sig av den traditionella algoritmräkning en. McIntosh, A Developing Computation Journal Articles 2008 Syftet med studien var att undersöka effekten av att utveckla informella skriftliga beräkningar. Årskurs 2, 3 och 4 från 9 olika skolor. Projektet innebar att lärarna skulle ändra sitt sätt att undervisa och endast fokusera på att lära ut huvudräkningsst rategier, istället för algoritmer. Tasmanien.
Lärarna som var involverade i projektet hade tidigare introducerat algoritmer redan i årskurs 1 eller 2, men ansåg nu att det vore lämpligare att introducera algoritmräkning i senare
årskurser. De ansåg även att mentala beräkningsstrate gier fungerar som en bro mellan skriftliga och mentala beräkningsmeto der. Resultatet av projektet visade att fokuseringen på huvudräkningsst rategier ökade elevernas förståelse för platsvärde och deras egen talförståelse.
