Relationer och grafer
Introduktion
Antag att vissa par x, y av element i en given mängd är relaterade till varandra i någon bemärkelse. T.ex. så att
”det finns en flygförbindelse från x till y”, ”y är förälder till x”,
”x är mindre än y”.
Ett illustrativt sätt att presentera sådana relationer är med hjälp av tabeller eller riktade grafer. Se exemplen nedanför.
EXEMPEL 1 Flygförbindelser
från till
London Los Angeles Los Angeles Stockholm Stockholm Los Angeles
Stockholm London Stockholm
London Los Angeles
EXEMPEL 2 Charles föräldrar och deras föräldrar …
barn föräldrar Charles Elisabeth II
Philip Elisabeth II Lady Elisabeth
George VI Philip Alice
Andrew Lady Elisabeth Cecilia
Claude George VI Mary Georg Alice Victoria Louis Andrew Olga George I Charles Elisabeth II Philip
Lady Elisabeth George VI Alice Andrew
Cecilia Claude Mary Georg Victoria Louis Olga George I
EXEMPEL 3 "<" på mängden 80, 1, 2, 3, 4< x < y 0 1 0 2 1 2 0 3 1 3 2 3 0 4 1 4 2 4 3 4
DEFINITION
Varje tabell i exemplen ovanför presenterar en mängd av ordnade par. Detta är bakgrunden till följande definition:
Med en tvåställig relation på mängden A avses en delmängd av A µ A. EXEMPEL 4 Här är två relationer på mängden 8a, b, c<.
a
b c
a
b c
8Ha, aL, Ha, bL, Ha, cL, Hb, bL, Hb, aL
Hb, cL, Hc, cL, Hc, aL, Hc, bL< 8Ha, bL, Hb, aL, Ha, cL, Hc, bL<
Notation
Givet två element x, y som är relaterade till varandra via någon relation R, skriver man x R y, RHx, yL eller Hx, yL œ R. Den första av dessa beteckningar är minst sagt väl inarbetad för vissa relationer: T.ex. x ! y och x < y.
Oändliga relationer
I den matematiska exempelfloran förekommer ofta relationer på oändliga mängder. Tex "<"-relationerna på de oändliga mängderna ! och ":
8Hx, yL œ ! µ ! » x < y<, 8Hx, yL œ " µ " » x < y<
Var och en av dessa två relationer innehåller oändligt många ordnade par. Men oändligt många objekt kan aldrig skrivas ned. Följaktligen kan vi inte upprätta någon tabell eller rita någon riktad graf som beskriver dessa relationer.
Emellertid finns det ett helt annat sätt att åskådliggöra tvåställiga relationer | ett sätt som passar utmärkt för relationer på " eller på
delmängder av ". Nämligen att representera de ordnade paren som punkter i ett koordinatsystem. Här är fyra exempel …
x = y på " ! ! x < y på " ! ! x delbar med y på # # # x2+y2!heltal2 på # # #
Ekvivalensrelation
En tvåställig relation har ofta någon av följande tre egenskaper.
3 Relationer och grafer
Egenskap Villkor Grafiskt Kommentar
reflexiv xRx
x Varje nod har en ögla.
symmetrisk xRy ï yRx y x
För varje förekomst av en riktad båge finns det en motriktad dito.
transitiv xRy och yRz
ïxRz
x
y z
För varje väg av två ihopskarvade bågar, finns det en direktväg.
DEFINITION En relation som har samtliga tre egenskaper kallas för en
ekvivalensrelation.
Exempelvis är likhetsrelationen på " en ekvivalensrelation, medan "mindre än"-relationen på " bara är transitiv.
EXEMPEL 5 Betrakta följande relation på $: z1R z2 omm z1-z2œ ".
R är en ekvivalensrelation: Reflexiviteten följer av att z - z är lika med 0,
som är (både imaginär och) reell. Symmetrin är en konsekvens av att z1-z2
är reell om z1-z2 är det. För att visa transitiviteten, antag att z1R z2 och
z2R z3, dvs z1-z2=x1œ ", z2-z3=x2œ ". Då är z1-z3=x1+x2œ ". Det följer att z1R z3.
Ekvivalensklasser
Med hjälp av en ekvivalensrelation på en mängd A, kan man "gruppera ihop" A:s element i klasser, ekvivalensklasser, där elementen i en given ekvivalensklass är likvärdiga i bemärkelsen att de är relaterade till varandra via ekvivalensrelationen ifråga.
EXEMPEL 6 Betrakta åter relationen på $ i EXEMPEL 5. Här ligger olika komplexa tal i samma ekvivalensklass omm deras imaginärdelar överensstämmer. Ekvivalensklasserna i detta fall utgöres därför av det komplexa planets horisontella linjer.
Funktioner
Funktioner
En funktion f från X till Y är en relation som till varje element x i X relaterar exakt ett element y i Y . (X och Y antas båda vara icketomma.) Man säger att y returneras av f .
EXEMPEL 7
Morfunktionen som för varje människa returnerar dess mor går från hela
människomängden och tillbaka (fastän inte alla människor returneras).
Personnummerfunktionen som för varje svensk returnerar dess
personnummer går från mängden av svenskar till mängden av personnummer.
EXEMPEL 8 Vilka av följande relationer är funktioner?
x y 1 2 3 2 1 3 x y 1 2 1 2 1 3 ! ! ! ! a b c d Stockholm
London Los Angeles
"+
"+
"+
"+
SVAR: Ja i vänster kolumn, nej i höger.
5 Relationer och grafer
NOTATION
I fortsättningen är det lämpligt att använda någon av följande beteckningar. f : X öY eller X f Y eller X öY
x # fHxL eller X ú x # fHxL œ Y
Mängden X ovanför kallas för f :s definitionsmängd eller inputmängd och betecknas vanligtvis med Df. Mängden 8f HxL » x œ X< kallas för f :s
värdemängd eller outputmängd, och skrivs ofta Vf. Notera att Vf inte
behöver vara lika med Y (f:s målmängd).
Sammansättning (seriekoppling) av funktioner
Ibland kan två funktioner f och g sammansättas (seriekopplas) till en ny funktion g  f enligt nedan.
X öf Y ög Z
x # fHxL # gHf HxLL
X g  f Z
x # gHf HxLL
Nödvändigt och tillräckligt för att g  f skall vara väldefinierad är att f och
g "passar ihop", dvs. att g kan ta f:s värden som input. M.a.o. att Vf ŒDg. EXEMPEL 9 " x # x2 " x # x+1 " blir " x # x2+1 ". " x # x+1 " x # x2" blir " x #Hx+1L 2 ". " x#x2 " x#x2 " blir " x#x4 ". EXEMPEL 10
Om morfunktionen sammansätts med sig själv uppstår mormorsfunktionen som för varje människa returnerar dess mormor.
Injektiv, surjektiv, bijektiv
X öf Y är injektiv om varje output fHxL kommer från exakt ett input, dvs
om x1!x2 ï fHx1L ! f Hx2L. En injektiv funktion sägs vara en injektion.
X öf Y är surjektiv om Vf =Y . En sådan funktion sägs vara en surjektion.
X öf Y är bijektiv om X öf Y är injektiv och surjektiv. (Kallas bijektion.)
EXEMPEL 11
Morfunktionen (se EXEMPEL 7) är inte injektiv. Varför?
Personnummerfunktionen däremot är injektiv. Det är det som är själva
poängen med personnummerfunktionen.
EXEMPEL 12 a) Konstruera en injektion från #+ till M =8q œ % » 0 § q § 1<.
bL Konstruera en surjektion från M till #+.
a) fHnL = n1 returnerar tal inuti M (men inte alla sådana tal). Injektiviteten: fHn1L ! f Hn2L ï n1
1 !
1
n2 ï n2! n1. b) g H0L = 1 och gJmnN = n +1, 0 < m § n, SGDHm, nL = 1.
7 Relationer och grafer
f
1
g
0 1
Surjektiviteten hos g: För varje bråktal som är förkortat så långt som möjligt, returnerar g nämnaren ökad en enhet. Eftersom nämnaren tillåts vara ett godtyckligt positivt naturligt tal, så kommer alla naturliga tal ¥2 att returneras. Dessutom returneras 1 då input är lika med 0. Således returneras hela #+.
Invers
Varje injektiv funktion kan "köras baklänges", dvs om x # fHxL är injektiv så är fHxL # x en funktion från Vf till Df, Denna "omvända" funktion kallas för
inversen till f . Betecknas med f-1.
EXEMPEL 13 f-1 som en återställare.
Sammansättningen av f och f-1 blir lika med den s.k. identitetsfunktionen, som för varje input x skickar tillbaka x ograverad. T.ex. återställer
kvadreringsfunktionen det som kvadratrotsfunktionen "ställer till med", och kvadratrotsfunktionen återställer det som kvadreringsfunktionen gör. Nämnda två sammansättningar går från 80< ‹ "+ och tillbaka.
